lecciÓn 5: ecuaciones diferenciales …jpaez/ma3b06/contenidos/contenido_ma3b06_te… · variable...
TRANSCRIPT
96
LECCIÓN 5: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER
ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES
JUSTIFICACIÓN:
En esta Lección se centrará la atención en el estudio de aquellas ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden las cuales pueden transformarse en
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de variables separadas, mediante
la aplicación de operaciones elementales entre sus términos o por medio de algún
cambio de variable. En estos casos se dirá que las ecuaciones dadas son ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables.
Estudiaremos tres casos:
Caso1: La ecuación diferencial tiene la forma
P (x) dx + Q (y) dy = 0
Caso 2: La ecuación diferencial tiene la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
Caso 3: La ecuación diferencial tiene la forma
y F (x.y) dx + x G (x.y) dy = 0
OBJETIVOS:
El estudiante podrá:
1- Identificar si la ecuación diferencial dada es una ecuación diferencial
ordinaria de primer orden de variables separables.
97
2- Transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación diferencial de
variables separadas.
3- Obtener la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden de variables separables.
PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
En la Lección 4 ¿qué estudiamos?
Estudiamos las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de
variables separadas.
¿Cuál es la característica esencial de este tipo de ecuación diferencial?
Se caracterizan por tener la forma P (x) dx + Q (y) dy = 0
Muy bien. ¿Podrían darme algún ejemplo de ecuación diferencial ordinaria de
primer orden de variable separada?
Por ejemplo:
1- 2x dx + y dy = 0
2- x3 dx + dyy = 0
Correcto. ¿Qué pasos seguimos para obtener la solución general?
98
Integramos cada término de la ecuación diferencial. Sumamos solo una
constante arbitraria y en los casos en los cuales fue posible despejamos la variable
dependiente, para dar la solución en forma explícita.
Exactamente. Si yo les pidiera la solución general de la ecuación diferencial
del ejemplo 2 que acabamos de anotar ¿qué obtenemos?
Si tomamos la ecuación diferencial
x3 dx + dyy = 0
integrando se obtiene
Cdyydxx3
Al resolver las integrales, las cuales son inmediatas resulta
C3
y2
4
x 34
Ya que de aquí se puede despejar "y" se tendrá entonces que la solución
general de la ecuación diferencial x3 dx + dyy = 0 es y = 3
24
8
x3k
Correcto. En esta Lección se estudiarán tres casos de ecuaciones diferenciales,
las cuales mediante la aplicación de ciertas operaciones fundamentales o ciertos
cambios de variable se pueden transformar en ecuaciones diferenciales de variables
separadas. A este nuevo tipo de ecuación diferencial se les denomina ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables.
99
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables:
Caso 1: Ecuaciones diferenciales de la forma Q (y) dx + P (x) dy = 0
Consideremos la ecuación diferencial y dx + x dy = 0 ¿es esta una
ecuación diferencial de variables separadas?
No.
¿Podrían decirme por qué?
Porque la diferencial dx está multiplicada por una función que depende de la
variable "y", y la diferencial dy está multiplicada por una función que depende de la
variable "x".
Exactamente. Observen la ecuación diferencial. ¿Qué operación o qué
operaciones sugieren se efectúen en la ecuación diferencial a fin de transformarla en
una ecuación diferencial de variables separadas?
Se debe multiplicar la ecuación diferencial dada por el factor xy1 ; así la
ecuación se transforma en la ecuación diferencial 0dyy
1dx
x
1 en la cual las
variables están separadas.
Correcto. Ya que las variables están separadas ¿qué se debe hacer ahora?
Ahora se debe integrar kdyy
1dx
x
1
100
Muy bien ¿Qué tipo de integrales son estas?
Son integrales inmediatas. Resolviéndolas se obtiene
xlndxx
1 , ylndy
y
1
Exacto. ¿Cómo queda la solución general?
La solución general queda
ln x + ln y = K , o equivalentemente ln xy = K
¿Será posible despejar "y"?
Sí. Despejando "y" resulta y = xC
Muy bien. Veamos otro ejemplo. Consideremos la ecuación diferencial (y + 1)
dx - x3 dy = 0
¿Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables
separadas?
No.
¿Por qué?
Porque la función que multiplica a la diferencial dx depende de la variable y
mientras que la función que multiplica a la diferencial dy depende de la variable x.
101
Exactamente. ¿Qué sugieren entonces que hagamos para separar las
variables?
Debemos multiplicar la ecuación por el factor )1y(x
13
Correcto. ¿Qué obtenemos al multiplicar la ecuación diferencial dada por ese
factor?
Obtenemos 0dy1y
1dx
x
13
Exacto. Observen que ahora las variables si están separadas. ¿Cuál es el
siguiente paso?
El siguiente paso consiste en integrar cada término de la ecuación diferencial
0dy1y
1dx
x
13
de lo cual se obtiene:
Kdy1y
1dx
x
13
¿Cómo resuelven estas integrales?
Estas integrales son inmediatas
23 x
1dx
x
1;
1ylndy
1y
1
¿Cómo queda la solución general?
102
La solución general queda K1ylnx
12
¿Se puede despejar la variable "y" de este resultado?
Sí. Al despejar la variable "y" resulta que la solución general es
1eCy2x1
Muy bien. Observemos nuevamente las dos ecuaciones diferenciales que
acabamos de resolver
y dx + x dy = 0
(y + 1) dx + (- x3) dy = 0
¿Qué característica común tienen estas dos ecuaciones, en cuanto a su forma?
Ambas están escritas como una función que depende de la variable "y" por la
diferencial dx más una función que depende de la variable "x" por la diferencial dy.
Correcto. Eso podríamos escribirlo en forma general diciendo que esas
ecuaciones diferenciales tienen la forma Q (y) dx + P (x) dx = 0
¿Por qué factor multiplicamos cada función a fin de separar las variables?
Multiplicamos cada ecuación diferencial por un factor igual al inverso del
producto entre la función que multiplica la diferencial dx con la función que
multiplica la diferencial dy
103
Exactamente. Podemos entonces escribir que el factor por el cual
multiplicamos las ecuaciones diferenciales para separar las variables tiene la forma
)y(Q)x(P
1
Abran sus guías en la página 20 y leamos la información que allí aparece.
CASO 1: ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA FORMA
Q (y) dx + P (x) dy = 0
Una ecuación diferencial de la forma
Q (y) dx + P (x) dy = 0
se dice que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables
separables.
Para transformar dicha ecuación diferencial en una de variables separadas
basta con multiplicar la ecuación dada por el factor )y(Q)x(P
1, obteniendo
0dy)y(Q
1dx
)x(P
1
Resuelvan el Problema 1 que aparece en la página 20 de sus guías. Tienen
tres minutos. Trabajen en forma individual.
PROBLEMA 1:
Obtenga la solución general de la ecuación diferencial
(y2 - 2) dx + (2x2 - x - 3) dy = 0
Revisemos como resolvieron el Problema 1.
104
¿Cuál es el factor por el cual debemos multiplicar la ecuación diferencial dada
para transformarla en una ecuación diferencial de variables separadas?
El factor por el cual debemos multiplicar la ecuación diferencial dada es
)3xx2()2y(
122
Muy bien. ¿Cómo queda entonces la ecuación diferencial al multiplicarla por
ese factor?
La ecuación diferencial queda
0dy2y
1dx
3xx2
122
Correcto. Ya están separadas las variables. ¿Qué deben hacer ahora?
Ahora lo que tenemos que hacer es integrar
Kdy2y
1dx
3xx2
122
¿Por cual método de integración se resuelve dx
3xx2
12
?
Para resolver esa integral hay que aplicar fracciones simples
Exacto. Si se factoriza el polinómio 2x2 - x - 3 ¿cómo queda?
Al factorizar el polinómio 2x2 - x - 3 queda (2x - 3) (x + 1)
105
¿Qué deben hacer ahora?
Lo que se debe hacer es escribir la fracción
)1x()3x2(
)B3A(x)B2A(
)1x()3x2(
)3x2(B)1x(A
1x
B
3x2
A
3xx2
12
Muy bien. Si comparas los polinomios que aparecen en los numeradores de
las dos fracciones a los extremos de esta cadena de igualdades ¿qué resulta?
Resulta el sistema de ecuaciones
1B3A
0B2A
Exactamente. Al resolver el sistema de ecuaciones ¿qué valores tienen las
constantes A y B?
Los valores de las constantes son A = 5
2 y B =
5
1
¿Qué hacen con estos valores que obtuvieron de las constantes A y B?
Estos valores los sustituimos en 1x
B
3x2
A
3xx2
12
y resulta
entonces que dx1x
1
5
1dx
3x2
1
5
2dx
3xx2
12
Ambas integrales son inmediatas, por lo cual
51
22 3x2
1xln1xln
5
13x2ln
5
2dx
3xx2
1
106
Correcto. Ahora debe resolverse la otra integral. ¿Por cuál método de
integración resolvemos la integral dy
2y
12
?
Esta integral se resuelve por sustitución trigonométrica.
Exacto. ¿Cuál es el cambio trigonométrico que se aplica en este caso?
En este caso el cambio trigonométrico que corresponde es
y = 2 sec dy = 2 sec tg d
¿Qué resulta al hacer el cambio trigonométrico?
Al hacer el cambio trigonométrico resulta que
dy
2y
12
=
dtg
tgsec
2
2dtgsec2
2sec2
122
=
gcoteccosln2
2d
sen
1
2
2d
tg
sec
2
2
= 2y
y2ln
2
22
=
2y
2yln
4
2
Ahora que ya están resueltas las dos integrales ¿Cuál es entonces la solución
general de la ecuación diferencial (y2 - 2) dx + (2x2 - x - 3) dy = 0?
La solución general de la ecuación diferencial planteada es
107
K
2y
2yln
4
2
3x2
1xln
51
2
Si se aplican las propiedades del logaritmo ¿Cómo queda simplificada la
solución?
La solución queda
K)2y()3x2(
)2y()1x(ln
4252
4251
o equivalentemente
42524251 )2y()3x2(K)2y()1x(
¿Es posible despejar la variable y?
No. En este ejercicio no es posible. La función solución queda en forma
implícita.
Muy bien. El Problema 2 les queda como asignación a fin de que consoliden
los aspectos tratados hasta este momento.
PROBLEMA 2:
Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables de la forma Q (y)
dx + P (x) dy = 0
1- (1 - 2y) dx + (4 - x2) dy = 0
2- y2 dx - x2 dy = 0
108
3- cotg d + d = 0
4- tg y dx + (1 - x2) dy = 0
5- cotg y dx + (1 + e-x) dy = 0
6- (1 + y2) dx - (x + x2) dy = 0
7- sec2x dy + cosecy dx = 0
8- (ey + 1)2 e-y dx + (ex + 1)3 e-x dy = 0
9- (y + y ) dx - (x + x ) dy = 0
10- dx - 4 (x2 + 1) dy = 0
11- 0dyedx6x5x
1 5y2
Caso 2: Ecuaciones diferenciales de la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
Consideremos ahora la siguiente ecuación diferencial
x y4 dx + ( y2 + 2) e-3x dy = 0
¿Es esta una ecuación diferencial de variables separadas, es decir tiene la
forma P (x) dx + Q (y) dy = 0?
No.
¿Por qué?
Porque la función que multiplica a la diferencial dx no depende solo de la
variable "x"; de igual forma la función que multiplica a la diferencial dy no depende
solo de la variable "y".
109
¿Es esta una ecuación diferencial de variables separables de la
forma Q (y) dx + P (x) dy = 0?
No.
¿Por qué?
Porque la función que multiplica a la diferencial dx no depende solo de la
variables "y"; de igual forma la función que multiplica a la diferencial dy no depende
solo de la variable "x".
¿Podrían ustedes determinar algún factor por el cual multiplicar la ecuación y
de esta forma separar las variables?
Sí. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor 4y
x3ex3e4y
1
las
variables quedan separadas.
Muy bien. ¿Cómo queda entonces transformada la ecuación diferencial?
La ecuación diferencial se transforma en
x e3x dx +
4
2
y
2y dy = 0
Ahora que ya están separadas las variables ¿qué debe hacerse a continuación?
Lo que debe hacerse es integrar cada término
110
Kdy
y
2ydxex
4
2x3
¿Por qué método de integración se resuelve la integral dxex x3 ?
Esta integral se resuelve por el método de integración por partes
Muy bien. ¿Cómo hacen para aplicar el método?
Hacemos
3
e vdx e dv
dx du x u 3x
3x
de donde se tiene que
)1x3(9
ee
9
1ex
3
1dxe
3
1ex
3
1dxex
x3x3x3x3x3x3
Muy bien. Ahora ¿cómo se resuelve la integral
dy
y
2y4
2?
Se separa en dos integrales que son inmediatas
dy
y
2y4
2 =
342 y3
2
y
1dy
y
2dy
y
1
¿Quién es entonces la solución general de la ecuación diferencial dada?
La solución general es:
111
Cy3
2
y
1)1x3(
9
e3
x3
Correcto. Analicemos otro ejemplo.
ey sen2x dx + (e2y - y) cosx dy = 0
¿Es esta una ecuación diferencial de variables separadas?
No, ya que las funciones que multiplican a las diferenciales dx y dy
dependen tanto de la variable "x" como de la variable "y".
Exacto. ¿Podemos conseguir algún factor por el cual multiplicar la ecuación
diferencial de tal forma que las variables queden separadas?
Si multiplicamos la ecuación diferencial por el factor xcose
1y
las variables
quedarán separadas.
Muy bien. ¿Cómo se transforma entonces la ecuación diferencial al
multiplicarla porxcose
1y
?
La ecuación diferencial queda
0dye
yedx
xcos
x2seny
y2
Ahora que ya están separadas las variables ¿qué deben hacer?
112
Se debe integrar cada término de la ecuación diferencial
Kdye
yedx
xcos
x2seny
y2
¿Qué método de integración deben utilizar para resolver ?dxxcos
x2sen
Usamos la integración de funciones trigonométricas aplicando la identidad
trigonométrica sen2x = 2 cosx senx. Así, la integral se transforma en una integral
inmediata.
xcos2dxxsen2dxxcos
xcosxsen2dx
xcos
x2sen
Muy bien. ¿Qué método usamos para resolver ?dye
yey
y2
Separamos en diferencia de cocientes e integramos cada cociente
dyeydyedye
ydy
e
edy
e
ye yyyy
y2
y
y2
Es para todos claro que dyey es inmediata
dyey = ey
¿Cómo resuelven ?dyey y
113
Se resuelve usando el método de integración por partes
Exacto. Resolvámosla.
y
y
evdydu
dyedvyu
)1y(eeyedyeyedyey yyyyyy
¿Cuál es entonces la solución general de la ecuación diferencial planteada?
La solución general de la ecuación diferencial
ey sen2x dx + (e2y - y) cosx dy = 0
es
-2 cosx + ey + e-y (y+1) = C
¿Se puede despejar la variable "y"de esta solución?
No
¿Por qué?
Porque la variable "y" aparece en un polinomio, pero también aparece como
argumento de la función exponencial.
Correcto. Observemos nuevamente las dos ecuaciones que acabamos de
resolver:
x y4 dx + ( y2 + 2) e-3x dy = 0
ey sen2x dx + (e2y - y) cosx dy = 0
114
¿Qué característica común, en cuanto a la forma en que están escritas, puede
observarse en ambas ecuaciones diferenciales?
Tanto la diferencial dx como la diferencial "dy" están multiplicadas por el
producto de dos funciones, una que depende sólo de la variable "x" y otra que
depende sólo de la variable "y".
Exacto. Podríamos decir entonces que en general ambas ecuaciones
diferenciales tienen la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
¿Qué fue lo que hicieron en ambos casos para separar las variables?
Multiplicamos la ecuación diferencial por un factor igual al inverso del
producto entre la función Q1(y) y la función P2(x), es decir, se multiplica la ecuación
diferencial por el factor )x(P)y(Q
1
21
Correcto. Abran ahora sus guías en la página 21 y leamos la información que
allí aparece acerca del Caso 2
CASO 2: ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA FORMA
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
Una ecuación diferencial de la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables
separables.
Para transformar dicha ecuación diferencial en una de variables separadas
115
)y(Q)x(P
1
12
obteniendo basta con multiplicar por el factor
0dy)y(Q
)y(Qdx
)x(P
)x(P
1
2
2
1
Resuelvan el Problema 3 que aparece en la página 21 de sus guías. Trabajen
en forma individual. Disponen de 5 minutos para ello.
PROBLEMA 3:
Obtenga la solución general de la ecuación diferencial
(4y + yx2) dx - (2x + xy2) dy = 0
Revisemos que procedimiento siguieron para resolver el Problema 3
¿Cómo hacen para escribir la ecuación diferencial de la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0?
Debemos sacar "y" factor común en la función que multiplica a dx y sacar
"x" factor común en la función que multiplica a dy
Correcto. ¿Cómo queda entonces escrita la ecuación diferencial?
La ecuación diferencial queda de la forma y(4 + x2)dx - x(2 + y2)dy = 0
¿Qué deben hacer ahora para separar las variables?
116
Debemos multiplicar la ecuación diferencial por el factor xy
1
Exactamente. Escribamos como queda la ecuación diferencial al efectuar el
producto
0dyy
y2dx
x
x4 22
Ahora que ya están separadas las variables ¿qué deben hacer?
Se debe integrar
Cdyy
y2dx
x
x4 22
¿Cómo hacen para resolver las integrales?
Cada una de ellas se separa en dos integrales, las cuales resultan ser integrales
inmediatas.
Muy bien, resolvamos las integrales
2
xxln4dxxdx
x
14dx
x
x4 22
2
yyln2dyydy
y
12dy
y
y2 22
¿Cuál es entonces la solución general de la ecuación diferencial?
La solución general de la ecuación diferencial (4y+yx2)dx - (2x+xy2)dy = 0
es
117
4 lnx+ 2
x 2
- 2 lny - 2
y2
= C
Se puede despejar "y"
No
Se podrá simplificar la solución
Sí. Si se aplican las propiedades del logaritmo se tendrá
ln C2
yx
y
x 22
2
4
Si ahora aplican "e" a ambos lados de la última igualdad, ¿Qué obtienen?
Se obtiene
Key
x 2
yx
2
422
El Problema 4 les queda como asignación, a fin de que consoliden lo tratado
hasta ahora
PROBLEMA 4:
Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables de la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
118
1- (2y + x2y) dy + (3x + xy2) dx = 0
2- y dx + (x3 y2 + x3) dy = 0
3- dx - (8xy + 3y) dy = 0
4- er (3 + cos2) dr - sen (1 + e2r) d = 0
5- x2 (y+1) dx + y2 (x-1) dy = 0
6- xy dx + (1 + x2) dy = 0
7- (2xy4 + 2xy2) dx + (x2y3 + x2y) dy = 0
8- (1 + x2 + y2 + x2y2) dy - y2 dx = 0
9- (xy + 3x - y - 3) dx - (xy - 2x + 4y - 8) dy = 0
10- (xy + 2y - x - 2) dx - (xy - 3y + x - 3) dy = 0
11- (x - y + xy - 1) dx + xy dy = 0
12- (2xy2 + 2xy) dx - (2x2y + x2) dy = 0
13- y2 sec2x tg2x dx + y (sec2x + 2) dy = 0
Caso 3: Ecuaciones diferenciales de la forma y P(x.y) dx + x Q(x.y) dy = 0
Observen las siguientes funciones:
A) F(x,y) = 1 - xy
B) G(x,y) = 1 + xy
C) H(x,y) = 1 - xy + x2y2
D) I(x,y) = x2y2 - xy
E) J(x,y) = 1 + 2xy
F) K(x,y) = 1 - xy
¿Qué característica común observan en las seis funciones escritas anteriormente?
En todas aparece el producto x.y
119
Muy bién. Si para cada una de esas funciones, hacen el cambio de
variable v = x.y ¿Cómo se transforman cada una de ellas?
Se transforman en:
A) F(x,y) = 1 - v
B) G(x,y) = 1 + v
C) H(x,y) = 1- v - v2
D) I(x,y) = v2 - v
E) J(x,y) = 1 + 2v
F) K(x,y) = 1 - v
¿De quién quedaron dependiendo ahora cada una de esas funciones?
Quedaron dependiendo sólo de la variable v
Exacto. Abran sus guías en la página 22 y leamos la definición que allí
aparece.
DEFINICIÓN: Se dice que la función F(x,y) depende de x.y, si el cambio de
variable x.y = v transforma la función F(x,y) en una función que sólo depende
de v.
Resuelvan el Problema 5 que aparece en sus guías en la página 22. Tienen 3
minutos para ello.
PROBLEMA 5:
Verifique cual de las funciones dadas a continuación depende de x.y
120
1- F(x,y) = 2xy + 2y2xe
2- G(x,y) = 2x3y2 + xy
Revisemos los pasos que siguieron en la resolución del Problema 5.
Tomemos la primera función F(x,y) = 2xy + ¿Qué deben hacer para
verificar si F depende de x.y?
2y2xe
Se debe sustituir x.y = v en la función
¿Qué se obtiene?
Se obtiene F(x,y) = 2v + 2ve
¿Quedó F dependiendo solo de v?
Sí.
¿Qué se puede entonces concluir?
Se puede concluir que F depende de x.y
Muy bien. Tomemos ahora la función G(x,y) = 2x3y2 + xy
¿Qué deben hacer para verificar si G depende de x.y?
Se debe sustituir x.y = v en la función.
121
¿Qué se obtiene?
Se obtiene G(x,y) = 2xv2 + v
¿Quedó G dependiendo solo de v?
No, también aparece x
¿Que se puede entonces concluir?
Se puede concluir que la función G no depende de x.y
Muy bien. Observen ahora las siguientes ecuaciones diferenciales
a) y (1 - xy) dx - x (1 + xy) dy = 0
b) y (1 - xy + x2y2) dx + x (x3y3 - 2x2y2 + 3xy - 1) dy = 0
c) y (xy + 1) dx + x (xy - 1) dy = 0
d) y (1 + 2xy) dx + x (1 - xy) dy = 0
¿Qué característica común pueden observar en la función que multiplica a la
diferencial dx en los cuatro ejemplos?
En todos los ejemplos la función que multiplica a la diferencial dx tiene la
forma "y F(x,y)"
122
Correcto. ¿Qué característica común pueden observar en la función que
multiplica a la diferencial dy en los cuatro ejemplos?
En todos los ejemplos la función que multiplica a la diferencial dy tiene la
forma "x G(x,y)"
Exactamente. ¿Qué característica esencial tienen tanto la función F(x,y) como
la función G(x,y) en cada uno de los cuatro ejemplos?
Tanto F(x,y) como G(x,y) en cada uno de esos ejemplos dependen de "x.y"
Muy bien. ¿Cómo podríamos entonces generalizar, en cuanto a la forma en
que están escritas, las ecuaciones diferenciales de los cuatro ejemplos?
Podemos decir que en general las ecuaciones de los cuatro ejemplos tienen la
forma:
y F(x.y) dx + x G(x.y) dy = 0
Excelente. Para resolver este tipo de ecuación diferencial se sugiere realizar el
cambio de variable v = x.y, para así transformar la ecuación diferencial dada en otra
que dependa de las variables x , v
Al hacer el cambio de variable v = x.y deberá despejarse una de las dos
variables (x o y) y buscar su diferencial correspondiente
Al despejar queda
123
2x
dxvdvxdy
x
vyxyv
2y
dyvdvydx
y
vxxyv
tambiéno
Muy bien. ¿Cómo se transforma entonces la ecuación diferencial de la
forma y F(x.y) dx + x G(x.y) dy = 0?
Se transforma en:
0x
dxvdvx)v(Gxdx)v(F
x
v2
Si multiplica por x toda la ecuación ¿Cómo queda?
Queda
v F(v) dx + G(v) (x dv - v dx) = 0
o equivalentemente
v [F(v) - G(v)] dx + x G(v) dv = 0
¿Qué deben hacer para separar las variables?
Se debe multiplicar por el factor )v(G)v(Fvx
1
¿Cómo queda la ecuación diferencial?
La ecuación diferencial queda
124
0dv)v(G)v(Fv
)v(Gdx
x
1
Está última ecuación diferencial es de variables separadas, la cual ya sabemos
que se resuelve integrando cada término.
Abran sus guías en la página 23 y leamos la información que allí aparece.
CASO 3: La ecuación diferencial de la forma
y F (x.y) dx + x G(x.y) dy = 0
es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables
separables.
Para transformar dicha ecuación diferencial en una de variables separadas
basta con efectuar el cambio de variable
2x
dxvdvxdy
x
vyy.xv
Resuelvan ahora el Problema 6 que aparece en sus guías en la página 23
Disponen de 5 minutos para ello. Trabajen en forma individual.
PROBLEMA 6:
Obtenga la solución general de la ecuación diferencial
y (1 - xy + x2 y2) dx + x (x2 y2 - xy) dy = 0
Pasemos ahora a revisar cómo resolvieron el Problema 6.
125
Si hacen el cambio de variable
2x
dxvdvxdy
x
vyy.xv
¿Cómo se transforma la ecuación diferencial dada?
La ecuación diferencial dada queda:
0x
dxvdvx)v1(xdx)v1(
x
v2
Al multiplicar la ecuación por x ¿Cómo queda?
Queda:
v (1 - v) dx - (1 + v) (x dv - v dx) = 0
Exacto. Si ahora agrupan los términos en la diferencial dx ¿Qué obtienen?
Se obtiene
(v - v2 + v + v2) dx - x (1 + v) dv = 0
o equivalentemente
2v dx - x (1 + v) dv = 0
¿Cómo hacen para separar las variables?
Para separar las variables multiplicamos por el factor v.x
1
126
Al multiplicar por ese factor, ¿Cómo queda la ecuación diferencial?
La ecuación diferencial queda:
0dvv
v1dx
x
2
¿Que deben hacer ahora que ya están separadas las variables?
Debemos integrar
Cdvv
v1dx
x
12
¿Cómo resuelven las integrales?
La primera es una integral inmediata y la segunda se separa en dos integrales
que también son inmediatas.
Muy bien ¿Cuál es entonces en resultado, luego de integrar?
Al integrar resulta
2 ln x - ln v - v = C
o equivalentemente
vCv
xln
2
¿Es esta la solución de la ecuación diferencial planteada?
No.
127
¿Por qué?
Por que falta que se devuelva el cambio de variable.
¿Qué obtienen el devolver el cambio de variable?
Se obtiene
xyCxy
xln
2
o equivalentemente, al aplicar "e" a ambos lados
xyeKy
x
Como pueden observar no se puede despejar "y" ¿cuál es entonces la solución
de la ecuación diferencial planteada?
La solución general de la ecuación diferencial
y (1 - xy + x2 y2) dx + x (x2 y2 - xy) dy = 0
es
x = Kyexy
El Problema 7 les queda como asignación a fin de que consoliden los aspectos
aquí estudiados
PROBLEMA 7:
Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables de la forma
128
y F(x.y) dx + x G(x.y) dy = 0
1- y (1 + 2xy) dx + x (1 - xy) dy = 0
2- y sen(xy) dx + x sen (xy) dy = 0
3- (3y2 x + y) dx + 2x dy = 0
4- (7x2 y + 14x) dy - (2x y2 + 10y) dx = 0
5- y dx - x xy dy = 0
6- y ln(xy) dx - x dy = 0
7- x3 y4 dx + (x4 y3 - x2 y) dy = 0
8- x (1 + x2 y2) dy + y (x2 y2 - 1) dx = 0
9- (x2 y3 - x y2 - 2y) dx + (2x2 y - 3x - x3 y2) dy = 0
10- (3x2 y3 + 2y) dx + (2 x3 y2 + x ) dy = 0
11- (x2 y3 + 2 x y2 + 2 y) dx + (2 x2 y + x) dy = 0
CIERRE:
¿Qué hemos estudiado en esta lección?
Hemos estudiado las ecuaciones diferenciales de variables separables.
¿Cuántos casos de ecuaciones diferenciales de variables separables
estudiamos?
Estudiamos tres casos.
¿Cómo identificamos el Caso 1?
Lo identificamos porque la ecuación diferencial tiene la forma
129
Q(y) dx + P(x) dy = 0
¿Qué debe hacerse para separar las variables?
Se debe multiplicar toda la ecuación diferencial por el factor
)y(Q)x(P
1
¿Cómo identificamos el Caso 2?
Lo identificamos porque la ecuación diferencial tiene la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
¿Qué debe hacerse para separar las variables?
Se debe multiplicar toda la ecuación diferencial por el factor
)y(Q)x(P
1
12
¿Cómo identificamos el Caso 3?
Lo identificamos porque la ecuación diferencial tiene la forma
y P(x.y) dx + x Q(x.y) dy = 0
¿Qué debe hacerse para separar las variables?
130
Se debe hacer el cambio de variable
2x
dxvdvxdy
x
vyxyv
¿Qué tipo de ecuación diferencial resulta luego de realizar el cambio de
variable?
Resulta una ecuación diferencial de variable separable del Caso 2.