Diferenciación e Integración Numérica Diferenciación Numérica El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce unicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas. Formulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" esta dada en términos del limite:

De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:

(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numérica para aproximar la derivada:

Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de contestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:

Donde esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta formula por f'(x) y usamos la definición

de tenemos que:

Esta formula nos dice que aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O(h).

Ejemplo 1: Tomamos y queremos aproximar cuyo valor exacto es nueve. En la

siguiente figura ilustramos los errores como función de "h" en escala logarítmica.

Podemos ver que los errores disminuyen hasta un cierto valor crítico "hmin" luego del cual los errores aumentan según la "h" disminuye. ¿Contradice esto el resultado de arriba de O(h) del error? ¡NO! El resultado de arriba es sobre la convergencia si la aritmética es exacta y se dice que es un resultado asintótico. La figura ilustra los efectos de redondeo debido a la aritmética finita los cuales se hacen significativos para "h" pequeño y pueden afectar cualquier formula numérica para aproximar la derivada. Sin embargo, una formula con un grado de aproximabilidad digamos O(h2) es preferible a una O(h) ya que los errores (teóricos) tienden a cero más rápido y así la "h" no se tiene que hacerse tan pequeña reduciendo así los efectos de los errores por la aritmética finita. <> El método de arriba usando la expansión de Taylor se puede utilizar para obtener formulas para aproximar la derivada con un grado de aproximabilidad más alto que uno. Ilustramos esto para la obtención de una formula O(h2). Si en lugar de llegar hasta términos de orden dos, expandimos hasta términos de orden tres en la expansión de Taylor, obtenemos las formulas:

Si restamos estas dos ecuaciones, despejamos para f'(x), y usamos el teorema del valor medio aplicado a f'''(x) obtenemos la formula:

Donde

Y esta entre [x-h, x+h]. Tenemos pues que la formula tiene un error proporcional a O(h2). Ejemplo 2: Comparamos las dos formulas obtenidas hasta ahora para aproximar f'(x) con el

ejemplo de para . Los resultados los presentamos en forma tabulada para distintos valores de h:

h

0.1 13.5795 4.57948 9.85264 0.852636

0.05 11.0266 2.02656 9.21079 0.210788

0.025 9.95452 0.954519 9.05255 0.0525492

0.0125 9.46337 0.463374 9.01313 0.0131281

Este ejemplo ilustra lo superior de la formula . Note que cada ves que h se divide entre

dos, el error en la formula se divide por dos (aproximadamente) mientras que en la

formula se divide (aproximadamente) por cuatro (¿por qué?). <> En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando expansiones de Taylor

que envuelvan x2h, x3h, etc. Por ejemplo la expansión

Nos da una formula de orden cuatro para f'(x). Es importante observar que mientras más alto el grado de aproximabilidad de la formula, más suave tiene que ser la función para que dicha aproximación sea valida. Por ejemplo esta formula de orden cuatro requiere que la función tenga cinco derivadas continuas en el intervalo en cuestión mientras que la formula de orden dos requiere únicamente tres derivadas continuas. Fórmulas para la segunda derivada: El proceso de arriba se puede usar para obtener formulas para las derivadas de orden mayor de uno de una función f(x). Usamos este proceso para obtener una formula para la segunda derivada. Usando el Teorema de Taylor, podemos escribir las expansiones:

Sumando estas dos expansiones y despejando para f''(x) obtenemos:

Donde

Y esta entre [x-h, x+h]. Tenemos aquí una fórmula de orden dos para f"(x).

Ejemplo 3: Examinamos la fórmula de arriba en el caso y para aproximar f '' (1)=72. Tenemos los resultados:

h

0.1 74.5368 2.53682

0.05 72.6311 0.63105

0.025 72.1576 0.157566

0.0125 72.0394 0.0393791

Nuevamente se puede ver el factor de cuatro en el error, característico de la convergencia de orden dos. En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando expansiones de Taylor

que envuelvan x2h, x3h, etc. Por ejemplo la expansión

Nos da una formula de orden cuatro para f"(x). La fórmula de orden cuatro para f'(x) requiere que la función tenga: Cinco derivadas continuas en un intervalo dado Integración Numérica Cuadratura gaussiana:

Las fórmulas de Trapecios y Simpson utilizan nodos equidistantes y dan valores exactos para polinomios de grado menor o igual que n (n = 1 en el caso de Trapecios y n = 2 en el caso de Simpson).La elección de puntos equidistantes no es la mejor. Puede seleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximación.

La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera óptima. El método consiste en seleccionar los nodos x1, x2,..., xn en [a, b] y los coeficientes c1, c2,..., cn que minimicen el error de la aproximación Reglas de Cuadratura Gaussiana: Consideramos por el momento integrales de la forma

Note que si el integral esta dado en un intervalo arbitrario [a, b] entonces mediante el cambio de variables

Tenemos que

Lo cual nos da una integral en [-1,1]. Así que sin pérdida de generalidad podemos asumir que el integral es en [-1,1]. Sean x1, x1,…,xn puntos (no necesariamente uniformemente distribuidos) en [-1,1] y w1, w2,…, wn números llamados pesos ("weights"). Los puntos xj's y los pesos wj's se determinan de modo que la fórmula de integración numérica

Sea exacta para polinomios de grado a lo más 2n-1, i.e., In(p)=I(p) para todo polinomio p de grado a lo más 2n-1. Como In é I son operadores lineales, basta verificar que

Caso n=1: Aquí I1 (f)=w1f(x1) y requerimos que I1 (1)=I (1), I1(x)=I(x). Pero I (1)=2 y I1 (1)=w1 de modo que w1=2. Además I (x)=0 y I1 (x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0. Tenemos pues la fórmula numérica I1 (f)=2f (0) lo cual se conoce como la fórmula del punto medio. Caso n=2: Tenemos ahora que I2 (f)= w2f(x1)+ w2f(x2) y se requiere que I2 (xi)=I (xi) para i=0, 1, 2, 3. Esto nos lleva al siguiente sistema no lineal para x1, x2, w1, w2:

Suponiendo que x1, x2 son conocidas, resolvemos la tercera y cuarta ecuación (que son lineales en los w's) mediante la regla de Cramer para w1, w2 obteniendo así que

Sustituyendo estas expresiones en la primera y segunda ecuación y resolviendo para x1, x2 obtenemos que

Así que nuestra fórmula numérica en el caso n=2 lee como sigue:

Caso n>2: Al aplicar las condiciones se obtiene un sistema no lineal de 2n ecuaciones en 2n desconocidas (las x's y las w's). Este sistema se puede resolver numéricamente usando el método de Newton para sistemas nolineales. Pero en lugar de proceder

de esta forma se utiliza el hecho de que se puede demostrar que los xi's son los ceros del n-esimo polinomio de Legendre Ln(x). Estos polinomios se definen por la recursión

En particular tenemos que L2(x)= (3/2) x2-(1/2) cuyos ceros son ±1/?3 que fueron los x's que determinamos en el caso n=2. También

De donde podemos obtener los x's para las fórmulas de los casos n=3,4 respectivamente. Teniendo los x's podemos ahora calcular los w's resolviendo un sistema lineal de ecuaciones. Ejemplo 2: Aproximamos

Usando la regla de cuadratura con n=2. Primero hacemos un cambio de variables de modo que el integral sea en el intervalo de [-1,1]. Para esto usamos el cambio de variables discutido al principio de esta sección lo que resulta en:

Tenemos ahora que

Hay 2n parámetros que elegir. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, un polinomio de grado 2n - 1 también tiene 2n parámetros. Este es el tipo de polinomios de mayor grado para el cual se puede esperar que la solución sea exacta. Teniendo en cuenta la lectura anterior: Para el Caso n=1: Aquí I1 (f)=w1f(x1) y requerimos que I1 (1)=I (1), I1(x)=I(x). Pero I (1)=2 y I1 (1)=w1 de modo que w1=2. Además I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0. Tenemos pues la fórmula numérica I1 (f)=2f (0) lo cual se conoce como:

La fórmula del punto medio REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIO Suponemos que tenemos los datos:

Donde xm es el punto medio entre a y b. En este caso se tiene que:

Donde f2(x) es el polinomio de interpolación para los datos en la tabla anterior. Usaremos el polinomio de Lagrange. Así, tenemos que:

Si denotamos , entonces:

Simplificando términos:

Vemos que cada uno de los términos anteriores, es esencialmente de la misma forma, es decir, una constante por (x-?)(x-?) Así, calculamos la siguiente integral por partes:

Sea:

Por lo tanto,

Usamos esta fórmula para calcular la integral de cada uno de los tres términos de f2(x).

Debido al factor 1/3h se le conoce como la regla de Simpson de un tercio.

En la práctica, sustituimos el valor de para obtener nuestra fórmula final:

Ejemplo 1. Usar la regla de Simpson de 1/3 para aproximar la siguiente integral:

Solución. Aplicamos la fórmula directamente, con los siguientes datos:

Por lo tanto, tenemos que:

Ejemplo 2. Usar la regla de Simpson de 1/3, para aproximar la siguiente integral:

Solución. Igual que en el ejercicio anterior, sustituimos datos adecuadamente:

Al igual que con la regla del trapecio, podemos extender la regla de Simpson de 1/3, si

Subdividimos el intervalo [?, b] en n subintervalos de la misma longitud . Sea P = {x0, x1,…, xn } la partición que se forma al hacer la subdivisión, y denotemos por xM ?[xi-1 , xi] el punto medio en cada subintervalo. Aplicamos primero propiedades básicas de la integral definida:

Ahora, aplicamos la regla de Simpson de 1/3, en cada una de las integrales de arriba:

Sustituimos y usamos la notación sigma:

Ejemplo 1. Aproximar la siguiente integral, aplicando la regla de Simpson de 1/3 y subdividiendo en 5 intervalos.

Solución. En este caso, tenemos que n=5, y la partición que se genera es: P = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1} Además, los puntos medios de cada subintervalo son: PM = {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9} Por lo tanto, sustituimos los datos en la fórmula para obtener:

Nótese que esta aproximación ya es exacta hasta el cuarto decimal! Ejemplo 2. Aproximar la siguiente integral, utilizando la regla de Simpson de 1/3 y subdividiendo en 4 intervalos.

Solución. En este caso, tenemos que n=4, y la partición que se genera es: P = {2, 2.5, 3, 3.5, 4} Además, los puntos medios de cada subintervalo son: PM = {2.25, 2.75, 3.25, 3.75} Sustituyendo todos estos datos en la fórmula obtenemos la siguiente aproximación:

Según en el método de Simpson de 1/3, el puntoxm que se encuentra entre a y b se conoce como: Punto medio MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG

Sea I (h) el valor de la integral que aproxima a , mediante una partición

De subintervalos de longitud y usando la regla del trapecio. Entonces,

I = I (h) + E ( h ) Donde E (h) es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla. El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de integración numérica, para obtener un tercer valor más exacto. El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de Romberg, la cual es una fórmula recursiva. Supongamos que tenemos dos aproximaciones: I (h1) e I (h2)

Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio para n subintervalos está dado por las siguientes fórmulas:

Donde es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a cada uno

de los subintervalos. Ahora bien, si suponemos que el valor de f n es constante, entonces:

Sustituyendo esto último en nuestra primera igualdad, tenemos que:

De aquí podemos despejar E (h2):

En el caso especial cuando h2 = h1/2 (que es el algoritmo de Romberg), tenemos:

Esta fórmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para entender el método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un primer nivel, es cuando aplicamos la regla del Trapecio, y para poder usar la fórmula anterior, debemos de duplicar cada vez el número de subintervalos: así, podemos comenzar con un subintervalo, luego con dos, cuatro, ocho, etc., hasta donde se desee. Posteriormente, pasamos al segundo nivel de aproximación, que es donde se usa la fórmula anterior, tomando las parejas contiguas de aproximación del nivel anterior, y que corresponden cuando h2 = h1/2. Después pasamos al nivel tres de aproximación, pero aquí cambia la fórmula de Romberg, y así sucesivamente hasta el último nivel, que se alcanza cuando solo contamos con una pareja del nivel anterior. Desde luego, el número de niveles de aproximación que se alcanzan, depende de las aproximaciones que se hicieron en el nivel 1. En general, si en el primer nivel, iniciamos con n aproximaciones, entonces alcanzaremos a llegar hasta el nivel de aproximación n. Hacemos un diagrama para explicar un poco más lo anterior.

Ejemplo 1. Usar el algoritmo de Romberg, para aproximar la integral

Usando segmentos de longitud 1, ½, ¼. Solución. Primero calculamos las integrales del nivel 1, usando la regla del trapecio para las longitudes de segmentos indicadas:

Con estos datos, tenemos:

Ahora pasamos al segundo nivel de aproximación donde usaremos la fórmula que se dedujo anteriormente:

Donde I(h1) es la integral menos exacta (la que usa menos subintervalos) e I(h2) es la más exacta (la que usa el doble de subintervalos). En un diagrama vemos lo siguiente:

Para avanzar al siguiente nivel, debemos conocer la fórmula correspondiente. De forma similar a la deducción de la fórmula,

Se puede ver que la fórmula para el siguiente nivel de aproximación (nivel 3) queda como sigue:

Donde: Im es la integral más exacta Il es la integral menos exacta En el siguiente nivel (nivel 4) se tiene la fórmula

En el ejemplo anterior, obtenemos la aproximación en el nivel 3 como sigue:

Así, podemos concluir que el valor de la aproximación, obtenido con el método de Romberg en el ejemplo 1, es:

Ejemplo 2. Usar el algoritmo de Romberg para aproximar la integral:

Agregando a la tabla anterior I (h4) donde h4=1/8. Solución. Calculamos I (h4) con la regla del trapecio:

Tenemos entonces la siguiente tabla:

De donde concluimos que la aproximación buscada es:

¿Cuando se aplica la regla del trapecio para la comprension del metodo de Romberg? En el primer nivel

En el Ejemplo 1 de la lectura anterior, para aproximar la integral con el método de Romberg se usan los segmentos de longitud: 1; 1/2; 1/4 MÉTODO DE EULER La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado. Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto x1 como una aproximación al valor deseado y(x1).

Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto (x0,y0). De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es: y=m(x-x0)+y0 Donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: y = f(x0,y0)(x-x0)+y0

Ahora bien, suponemos que x1 es un punto cercano a x0, y por lo tanto estará dado como x1= x0 + h. De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación: y(x0 + h) = y0 + hf(x0,y0) Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia h=?x1 – x0? en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando

la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a . En una gráfica, tenemos lo siguiente:

Ahora bien, sabemos que: y1 = y0 + hf(x0,y0) Para obtener y2 únicamente hay que pensar que ahora el papel de (x0,y0) lo toma el punto (x1,y1), y por lo tanto, si sustituimos los datos adecuadamente, obtendremos que: y2 = y1 + hf(x1, y1) De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por: y n+1 = yn + hf(xn,yn) Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de y(x1) aplicándola sucesivamente desde x0hasta x1en pasos de longitud h. Ejemplo 1 Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial: y’ = 2xy y (0) = 1 Aproximar y(0,5). NOTA Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones. Solución Analítica.

Sustituyendo la condición inicial: x = 0 ? y = 1 ln 1 = 02 + c entonces 0 = c Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada:

Y por lo tanto, el valor real que se pide es:

Solución Numérica Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre x0 = 0 y x1 = 0,5 no es lo suficientemente pequeña. Si dividimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de h = 0,1 y por lo tanto, obtendremos la aproximación deseada en cinco pasos. De esta forma, tenemos los siguientes datos:

Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso:

Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso:

Y así sucesivamente hasta obtener y5. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n xn

yn

0 0 1

1 0.1 1

2 0.2 1.02

3 0.3 1.0608

4 0.4 1.12445

5 0.5 1.2144

Concluimos que el valor aproximado, usando el método de Euler es: y(0,5) = 1,2144 Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler. Tenemos que:

Ejemplo 2 Aplicar el método de Euler para aproximar y(1,3), dada la ecuación diferencial. y’ = x2 + 0,5y2 si se tiene que y(1) = 2 Solución

Nuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente h =0,1 para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes datos:

En un primer paso, tenemos que:

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n

0 1 2

1 1.1 2.3

2 1.2 2.6855

3 1.3 3.1901

De lo cual, concluimos que la aproximación buscada es: y (1,3) = 3,1901 La fórmula de aproximación: y (x0 + h)= y0 + h f(x0, y0) Por el método de Euler puede ser suficientemente buena, si el valor de h es: Realmente pequeño Los valores de x1 y y1, que se obtiene en el ejemplo 2 de la página 10: Método de Euler son: X1= 1,1 Y1= 2,3 MÉTODO DE RUNGE – KUTTA Sin entrar en mucho detalle, mencionamos solamente que el método de Runge-Kutta cambia la dirección en el sentido de que no sigue la misma línea de los métodos de Euler. De hecho está basado en una aplicación de los polinomios de Taylor.

Comentamos sin embargo, que el método de Runge-Kutta si contiene como casos especiales los de Euler. Las fórmulas

Donde

Se conocen como las reglas o fórmulas de Runge-Kutta de orden cuatro para la ecuación diferencial: y’ = f(x,y) y (x0) = y0 Ejemplo 1 Usar el método de Runge-Kutta para aproximar y (0.5). dada la siguiente ecuación diferencial: y’ = 2xy y (0) = 1 Solución Primero, identificamos el mismo ejemplo 1 de los dos métodos anteriores. Segundo, procedemos con los mismos datos:

Primeros los valores de k1, k2, k3 y k4. Tenemos entonces que:

Con el fin de un mayor entendimiento de las fórmulas, veamos la siguiente iteración:

El proceso debe repetirse hasta obtener y5. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n xn

yn

0 0 1

1 0.1 1.01005

2 0.2 1.04081

3 0.3 1.09417

4 0.4 1.17351

5 0.5 1.28403

Concluimos que el valor obtenido con el método de Runge-Kutta es: y (0.5) ? 1.28403 Finalmente, calculamos el error relativo verdadero:

Con lo cual vemos que efectivamente se ha reducido muchísimo el error relativo. De hecho observamos que tenemos 6 cifras significativas en la aproximación! Ejemplo 2 Usar el método de Runge-Kutta para aproximar y(2.2) dada la ecuación diferencial: y’ = x + y

y(2) = 4

Solución Igual que siempre, tomamos h=0.1 y llegaremos a la aproximación en dos pasos. Con esta aclaración, tenemos los siguientes datos:

Primera Iteración:

Segunda Iteración:

Concluimos entonces que el valor buscado es: y (2.2) ? 5.34982 Teniendo en cuenta el ejemplo 1 del tema anterior, el método de Runge-Kutta, la tercera iteración, es decir y3, es igual a: 1.09417 El método de Runge-Kutta de hecho está basado en una aplicación de: Los polinomios de Taylor. Método Multipasos. Los métodos de Euler y Runge-Kutta descritos anteriormente son ejemplos de métodos de un paso. En ellos, se calcula cada valor sucesivo yn+1 solo con base en la información acerca del valor inmediato anterior yn. Por otra parte, un método de varios pasos o continuo utiliza valores de varios pasos calculados con anterioridad para obtener el valor de yn+1. Existen numerosas formulas aplicables en la formulación de soluciones de ecuaciones diferenciales. Como no se pretende describir el extenso campo de los procedimientos numéricos únicamente se presentara uno de estos métodos. Método de Adams-Basforth/Adams-Moulton de Cuarto Orden. Este es uno de los métodos más populares. En este método, la predicción es la fórmula de Adams-Basforth:

Luego de lo anterior se sustituye el valor de en la corrección de Adams-Moulton

Obsérvese que la formula (1) requiere que se conozca los valores de y0, y1, y2 y y3para obtener el y4. Por supuesto, que el valor de y0 es la condición inicial dada. Como el error local de truncamiento en el método de Adams-Basforth/Adams-Moulton es O (h5), los valores de y1, y2 y y3 se suelen calcular con un método que tenga la misma propiedad de error, como la formula de Runge-Kutta de cuarto orden. Ejemplo. Use el método Adams-Basforth/Adams-Moulton con h=0,2 para llegar a una aproximación a y (0,8) de la solución de: y’ = x+y-1, y(0)=1 Solución: Dado el tamaño de paso es h=0,2, entonces y4 aproximara y (0,8). Para comenzar aplicamos el método de Runge-Kutta, con x0 = 1, y0 = 1 y h = 0,2 con lo cual, y1= 1,02140000, y2 = 1,09181796, y3 = 1,22210646. Ahora definimos x0 = 0; x1 = 0,2; x2 = 0,4; x3 = 0,6 y f(x, y) = x + y -1, y obtenemos

Con los valores anteriores, la predicción, ecuación (1) da:

Para usar la corrección, ecuación (2), necesitamos primero:

Si comprobamos el valor exacto de y (0,8) se obtiene que y (0,8) = 1,42554093 Ventajas y Desventajas de los métodos multipasos. En la selección de un método para resolver numéricamente una ecuación diferencial intervienen muchos aspectos. Los métodos usados de un paso (en especial el de Runge-Kutta) suelen usarse por su exactitud y facilidad de programación; sin embargo, una de las mayores desventajas es que el lado derecho de la ecuación diferencial debe evaluarse muchas en cada etapa. Por ejemplo, para el método de Runge-Kutta de cuarto orden se necesitan cuatro evaluaciones de función en cada paso. Por otra parte, si se han calculado y guardado las evaluaciones de función en la etapa anterior, con un método de multipasos solo se necesita una sola evaluación de función por paso. Esto puede originar grandes ahorros de tiempo y costo Otro asunto que interviene en los métodos de multipasos es la cantidad de veces que se debe repetir la de Adams-Moulton en cada paso. Cada que se usa el corrector ocurre otra evaluación de función, con lo cual aumenta la precisión al costo de perder una de las ventajas del método de varios pasos. En la práctica, el corrector solo se calcula una vez, y si el valor de yn+1 cambia mucho, se reinicia el problema con un menor paso. En el método multipasos la predicción es la fórmula de: Adams-Basforth: Adams-Basforth: