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Prof.ssa Angela Donatiello 1

L’ECONOMIA E LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE

(COSTO FISSO E VARIABILE, COSTO TOTALE, MEDIO E

MARGINALE)


Ogni bene che viene prodotto ha uncosto che deriva dalla combinazione didiversi fattori: la mano d’opera, lematerie prime, la gestione delmagazzino,imacchinari,etc…Una corretta valutazione dei costi è digrande importanza per la gestione diun’azienda,inquantodaessasipossonoricavare importanti informazioni eprendereopportunedecisioni.Hai già affrontato questi argomenti nel

corso di Economia Aziendale. Nel nostro caso vogliamo ora rivedere tali argomenti,soffermandocisugliaspettimatematicidellateoriadeicostiperstabiliredeilegamitracosti,ricavi,profittieprezzo.L’obiettivo principale di un’impresa è stabilire quale quantità di bene è opportunoprodurreperraggiungereilmassimoprofitto,minimizzandoicosti.Anche inquestocasoverrannoanalizzatideimodellimatematicichebenrappresentano lasituazionereale,pursesemplificati.


LAFUNZIONEDELCOSTONellaproduzionediunbeneintervengonodiversifattoridicostocomematerieprime,manod’opera,mezzidiproduzione,…LateoriadiMarshallraggruppaifattoridiproduzionediunbeneintrecategorie:Terra–Lavoro–Capitalecheequivalgono,sostanzialmente,aifattoriindicatisopra.Terra:materieprime.Lavoro:manod’opera.Capitale:mezzidiproduzionetracuimacchinari,energiaelettrica,etc…Dalpuntodivistamatematico,quindi,lafunzionedeicostidovrebbeessereunafunzionedipiùvariabili.

C=f(x1,x2,….)

Nel modello semplificato, invece, si considera che in un dato lasso di tempo i fattori suindicatirimanganocostanti(ilnumerodeidipendentirimanefisso,ilcapitaleadisposizionedell’aziendanoncambia,…),pertantopossiamocostruireunmodelloincuiilcostototalediunbenedipendasolodallaquantitàprodotta.


COSTIFISSI:Costichenondipendonodallaquantitàdibeneprodotta.Neldiagrammacartesianosonodunquerappresentatidaunarettaparallelaall’assex.Sonocostifissiicostidiaffittodeilocali,glistipendideidipendenti,leassicurazionicontrofurtoeincendio,lapubblicità,…COSTIVARIABILI:Costichedipendonodallaquantitàdibeneprodotta.Sonocostivariabililematerieprime,lespesedimagazzinaggio,eventualistraordinaripagatiaidipendenti,…COSTITOTALI:lasommadiCostiFissieCostiVariabili

CT=CF+CV

C(q)=CF+CVLavariabileqindicalaquantitàdibeneprodotto,pertantosaràsemprepositiva.Inoltre,acausadilimitidiproduzione,essanonpotràsuperareuncertovaloremassimol.Pertanto:

0 ≤ 𝑞 ≤ 𝑙


La funzione dei costi fissi, essendo una funzione costante, chenondipendedallaquantitàprodotta,saràrappresentatadaunarettaparallelaall’assex.Icostivariabili, invece,possonoessererappresentatimediantediversi modelli matematici (lineare, parabolico, esponenziale,ad“Srovesciata”)Inognicaso,saràunafunzionecrescentedellaquantitàprodotta, inquantoicostitendonocomunqueadaumentarealcresceredellaquantitàdibeneimmessasulmercato.

Ilmodello ad “S rovesciata” ben rappresenta l’andamentodeicostivariabili.Essomostracheinunprimoperiodo,quandolaquantità prodotta è bassa, i costi variabili cresconorapidamente, in quanto i costi si ripartiscono su pochi beniprodotti.Colcresceredellaproduzione,invece,icostivariabilitendonoacresceremenorapidamente,raggiungendounvaloreminimo in corrispondenza di un valore ottimale di q, per ilquale i costi si distribuiscono su ogni unità di beneprodotto.


Col crescere ulteriore della quantità prodotta, però, i costi tendono nuovamente adaumentare inmodo repentino, in quantoperprodurremolto bene sarànecessariopagarestraordinariaidipendentioacquistarenuovimacchinari.Lafunzionedeicostisicomponedallasommadelleduefunzioni,costifissiecostivariabili.Daunpuntodivistaanalitico,unafunzioneadSrovesciatapuòessererappresentatadaunpolinomiodeltipo:

𝐶 𝑞 = 𝑎𝑞! − 𝑏𝑞! + 𝑐𝑞 + 𝑑peropportunivaloridia,b,ced


Noianalizzeremoessenzialmenteimodellilineareeparabolico.Modellolineare:C(q)=mq+b

COSTI VARIABILI Dovemrappresentailcoefficienteangolarechedeveesserepositivo,poichélafunzioneèdaconsiderarsicrescente. m > 0

COSTI FISSI dovebrappresental’ordinataall’origineeindicaicostiFISSI,pertantononpuòesserenegativab>0


Modelloparabolico:

𝐶 𝑞 = 𝑎𝑞! + 𝑏𝑞 + 𝑐

Intalcasocdeveesserenecessariamentepositivo,inquantorappresentaicostifissichenonpossonoesserenegativi.C>0Ilparametroa, invece,puòesseresiapositivo,sianegativo,percuièpossibileconsiderareparabole con concavità rivolta verso l’altoo verso il bassoma inogni casova consideratosoloiltrattoincuilacurvasaràcrescente.Esempio:𝐶 𝑞 = −𝑞! + 200𝑞 + 10000saràunafunzionedeicostisolocon0 ≤ 𝑞 ≤ 100Osservazione:icostifissisonosemprepositiviesonodatidall’intersezionedellafunzionedeicosticonl’assey.


ILCOSTOMEDIO

Si definisce costo medio o costo unitario di un bene, il rapporto tra il costo totale C,necessarioperprodurreunbene,elaquantitàprodotta.

𝐶!"#$% =𝐶!"!#$%𝑞

Talerapportopermettedicomprendereilcostoperunitàdibeneprodotto,supponendocheogniunitàabbialostessocosto.E’interessantecalcolare,conimetodidell’analisi,ilvaloredelminimodelcostomedio,cheindicailvaloredelcostounitariopiùbasso.Esempio:𝐶 𝑞 = 0,08𝑞! + 16𝑞 + 28800Ilcostomedioè: 𝐶! = !,!"!!!!"!!!""##

!= 0,08𝑞 + 16+ !""##

! rappresentaun’iperbolecon

asintotoverticaleq=0,asintotoobliquoC=0,08q+16epuntodiminimoinm(600;112)


ILCOSTOMARGINALEIl costomarginale aiuta il produttore a comprendere di quanto aumenta il costo del beneprodotto,modificandolapropriaproduzione,ossiaaumentandolaodiminuendola.Il costo marginale si calcola in maniera diversa, a seconda se per il bene consideriamoquantitàdiscreteocontinue.CASODISCRETOIlcostomarginaleCmaèilcostochesidevesostenereperaumentarediunaunitàlaproduzionediunbene.

𝐶!" = 𝐶 𝑞 + 1 − 𝐶(𝑞)CASOCONTINUONelcasocontinuo,levariazionidiprodottopossonoesserediversedall’unità,pertantoilcostomarginalesaràdatodalrapportotral’aumentodicostochesidevesostenereperunaumentoΔ𝑞dellaquantità,el’incrementoΔ𝑞stesso.

𝐶!" =! !!! !!(!)

!!

Essendo questo il rapporto incrementale della funzione dei costi, possiamo sicuramenteaffermareche,se la funzionedeicostièderivabile, ilCostoMarginaleèdatodalladerivatadellafunzionedeicosti.

𝐶!" = 𝐶′(𝑞)


CONFRONTOTRACOSTOMEDIOECOSTOMARGINALE


Bibliografia: • Re Fraschini, Grazzi, Spezia, Matematica per l’economia, ATLAS, 2007 • Bergamini, Trifone, Barozzi, Matematica.rosso, Zanichelli, 2013 • Prof. Pasca Di Magliano, Lezioni di Economia Politica, 2015 • Prof. Luigi Bosco, Il Mercato di Concorrenza perfetta, Lezioni di Microeconomia,

Università degli Studi di Siena • Il Mercato, ITC Calamandrei:

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