leçons sur l'histoire de la logique

7/29/2019 Leons sur l'histoire de la logique

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BIBUOTHEOUE DE PHllOSOPHIE CONTEMPORAINEHISTOIRE DE LA PHILOSOPHIE ET PHllOSOPHIE CI:NERAlESECTioN diRiGE PAR Piuu-MAXiME SCHUHl, P A o f E S U ~ RA lA SORbo.,ftE

LECOI\IS SUR[HISTOIRE

DE

LA LOGIOUEPAR

T4DEUSZ KOTARBINSKI


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i!'

XVI

LA LOGIQUE DE DE MORGAN

1. Les lois dites de De Morgan

Le nom d'Augustus De Morgan (1806-1878), mathmaticien londonien, est associ a deux lois de la logiqueextremement simples, qu'il a formules pour les variables


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150 LA LOGIQUE DE DE ~ [ O R G A N

2. Un systeme de syIlogistique catgorique enrichie

De Morgan, auteur d'ouvrages intitul s Formal Logic,

Budget 01 Paradoxes, Syllabus 01 a Proposed Systemof Logic, ainsi que d'une srie d'articles spcialissportant su r la logique, reprsente en quelque sortele trait-d'union entre l'ancienne syllogistique des propositions catgoriques et la logique algbrique moderne.11 a en effet orient ses efforts vers un perfectionnement de cette syllogistique, tandis que sa culturede mathmaticien familiaris avec l'algebre a influ su rsa mthode.

Il cherchait tant }L enrichir qu'a gnraliser la syllog i : t ! . q ~ _ ~~ t , d a n ~lesc:lfjux cas, a la mie"l!xsystmatiser.Intressons-nous tout d'abord a son systeme de syllogistique enrichie.

C'est la, en quelque sorte, un appareillogique a ramifications. Les formes des propositions sont notes selonun schma homogene; a 'aide de certaines transformationstablies et dfinies indpendamment, on obtient lesquivalents des diverses formes considres; ensuite -a partir de deux prmisses et au moyen de transformationsdfinies de fac;on purement formelle - on obtient laconclusion, rejetant au moyen de criteres extrieurs

Donstants certains modes comme incorrects et en acceptantd'autres comme corrects. L'enrichissement et en memetemps l'homognisation de la syllogistique traditionnelle.consiste ici avant tout dans Ja quantification no n seulementge_s _ S l ] j ~ 1 ; 8 , J l l : ~ l ~ _ g J ~ m e n tdes a t ~ r i b l l t s(ce qui constitueun trait qui lui est commun avec HanUTton), et, en outre,dans le fait qu'il illtroduit _de fac;on aussi tendue. queP Q s J t > ! ~des termes Jlg'tifs et non seulement des termes~ ~ i ~ i ! ~_(ce qui, dans l'expos de la logique traditionnelle,n'apparat que pour les obversions et les formes en dpendant, dans les cas de transfert de la ngation de la

L A LOGIQUE DE DE MORGAN 151

copule a l'attribut). Voici comme se prsente en rsumc'et appareil (2).

L'auteur dsigne les termes po sitis pa r des majuscules:X, Y, Z, les termes ngatifs leur correspondant pa r desminuscules: x, y, z. Un terme pris dans un e propositiondonne dans toute son extension, un terme - ! ~ : r ' i J ? u ,~ l ! , n t i f i l l n i y e r s e . l l e m e n t ,es t accompagn d'un croissantdont la convexit es t tourne vers l'extrieur, ce quidonne pa r exemple: X :J ou C X; pa r contre un terme .!l:0nd i s t r i b u , , _ q 1 J ~ J : L t i f i c a t i o I 1 ,partielle, es t accompagn d'uncroissant en sens contraire, pa r exemple: X e ou ':) X.Deux termes avec croissants juxtaposs sans signe intermdiaire ou relis a 'aide de deux points disposs horizontalement forment un e proposition affirmative. En voici ,.

des exemples: X ,:):J Y, X :J .C Y. Pa r contre, deux termesavec croissants relis par un point forment une propositio n ngative; pa r exemple: X ':).C y, ou X C.':) Y. Cesexplications un e fois donnes, nous pouvons noter sanshsitation les quatre formes que revet la propositionuniverselle affirmative usuelle (ou l 'attribut n'est pas prisdans toute son extension), ainsi que les quatre formesque revet la proposition particuliere affirmative usuelle(ou, galement, l 'attribut n'est pa s pris dans toute sonextension), autrement dit les formes qu i se prsentent,dans la notation courante, sous l'aspect Sa P et SiP,

mais compte tenu des diverses dispositions des termespositifs et ngatifs ponr le sujet et l 'attribut.

Sa P Si PX:J':) y XC':) Y

x-:J:Jy xC:JyX:J:J y X C ' J y

x:J ' J Y xC,:) Y

(2) Nous rsumons l'algol'ithme de la syllogistique enrichie selonl'ouvrage cit ci-dessus de LEWIS, p. 38-41 .


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152 LA LOGIQUE DE DE 1 ~ I O R G A N

Ensuite, pour chacune des formes ci-dessus, cOlnportant au moins un terme n gatif nous 'ouvonsun quivalent composuniquement de termes positifs,et ce, enprocdant eomme suit: nous rempla y CertainsX ne sont pas eert,ains Y,autrement dit:Une partie de l'extension deX es t extrieurea une partie de l'extension deY.

.xc.e

y Oertains X 11e sont aueuns Y, autrement dit:Une partie de l'extensio11 deX es t extrieurea toute l'extension de Y.

.A. l'aide de ces formes propositionnelles,on cre ensuiteles divers modesdu syllogisme. Le syllogismees t toujourseorrect si sesdeux prmissessont universelles ( ycrire Yc e X qui en est l'quivalent, etc.), onobtientdone tontes les figures du syl1ogisme. E t puisque, pa railleurs, pour toute propositioncomportant un OH deuxtermes llgatifs il existeun quivalent necomportant quedes terules positifs,on peut done obtenirune quantitde modes supplmentaires,en introduisant a la place despropositions composantesdu syIlogismen'ayant que destermes positifs, les propositions composantes quivalentescomportant des termes ngatifs.


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15 4 L A LOGIQUE D E DE MORGA N

L'appareil syIlogistique de De Morgan comported'antres complications encore, sons forme de dmonstl'ations a partir de pl'opositions complexes, mais nous nousdispenserons de les exposer ici. N ous nous occuperons pa r

contre de la question de l'interprtation de ce t algorithmeformel. No us avons donn ci-dessus l'interprtation de chacu n des types de propositions composantes, et par la meme,de fali on mdiate, de chacun des modes du syIlogisme.TI nous faut toutefois constater que les logiciens se heurtenta certaines difficults lorsqu'ils veulent recourir a cetteinterprtation avec esprit de suite.

En quoi ceIles-ci consistent-ellesTI es t clair que la proposition universeIle affirmative

avec attribut pris dans toute son extension ne saurait selire dans ce cas tout X es t tout YI>, ca r cela donneraitde toute vidence le faux dans tous les cas, a l'exceptioIlde celui OU l'extensioIl de X ne comporterait qu'un lmente t celle de Y galement. N ous aVOIlS donc rejet des ledbut cette interprtation - qui es t la plus adquatepour les schmas de la syIlogistique ~ r a d i t i o n n e l l eonl 'attribut n'est pa s quantifi - tout comme nous l 'avonsfait en lisant les schmas de Hamilton. Nous avons adoptun e interprtatioIl non pas distributive, mais coIlective,globale, tout comme alors, qui consiste a constater l'identit ou l'exclusion rciproque des extensions, a cette

variante pres qu'en quantifiant partiellement nous nepensons pa s spcialement a la partie propre de l'extensionconsidre, mais a la partie prise dans son acception laplus gnrale, de telle sorte que le tout es t galementtrait comme une partie, inais videmment comme laplus vaste de toutes les parties possibles. Donc, lorsquenous disons: {(est identique (ou encore: es t extrieur)a une partie de l'extension de Y ou certains X)), nouscomprenons pa r Ut: est identique (ou: es t extrieur)a une certaine partie de l'extension de Y ou et , dans le second cas:certains obj ets ne sont ni X, ni YI). Force nous es t donede constater que des logiciens srieux se heurtent au xplus grandes difficults lorsqu'ils essayent d'interprterde falion homogene Palg orithme en croissant de De Morgan.En ce qu i nous con cerne, nous ne relevons pas de difficults relles en cas d'adoption de l'interprtation qu e nousavons propose ci-dessus; en effet, avec cette interprta-tion, nous ne voyons pa s d'inconsquence dans le faitqu'une proposition universelle puisse etre l'quivalentd'une proposition particuliere, qui lui est gale du pointde vu e de la qualit (positivit ou ngativit) de termes,

ou de la qualit de l'ensemble de la proposition.

3. Tbeses de la thorie des relations

Le mrite de De Morgan es t d'avoir entrepris de batirla thorie gnrale des relatio.ns. Voici quelles sont lestheses les plus importantes qu'il a tablies:

1) Les ngatifs des converses sont eux-memes des converses l 'un de Pautre. Done si, pa r exemple, le fait d'etre

(3) Cf. C. 1. LEWIS, op. eit., p. 40.


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un subordonn est la converse du fait d'etre un suprieur,le fait de ne pas etre un subordonn (de demeurer dansune relation ou l'on n'est pas un subordonn) est la converse du fait de ne pas etre un suprieur (de demeurerdans une relation ou l'on n'est pas un suprieur). 01',souvenons-nous que la converse d'une relation donneentre un x et un y est la relation qui s'tablit alors entre yet x, et inversement; pa r exemple, la converse de la relationde supriorit est la relation d'infriorit, du moment quesi x est plus grand que y, par la meme y est plus petitque x, et rciproquement.

2) Les converses des ngatifs sont des ngatifs l'unel'autre, autrement dit: si une relation est la ngationd'une autre relation, alors la converse de la premiered'entre elles est la ngation de la converse de la seconde.Par exemp1e, du moment qu'en arithmtiqlle la re1ation > est la ngation de la re1ation::(, alors la relation < estla ngation de la re1ation ~ .

3) Le ngatif de la converse est la converse du ngatif;pa r exemple, pour la relation de supriorit, la conversees t l'infriorit, le ngatif de la converse, la non-infriorit,tandis que le ngatif en est la non-supriorit, et la converse du ngatif, la non-infriorit, etc.

4) Si une premiere relation en entrame une seconde,la converse de la premiere entrame la converse de la

seconde; par' exemple, si que1qu'un est pere, i l est ascendant, et , dans ce cas-1a, celui qui est fils (ou fille) estdescendant.

5) Si pa r contre une premiere relation en entraineune seconde, le ngatif de la seconde entraine le ngatifde la premiere; dans l'exemple prcdent, ce1ui qui n'estpas ascendant n'est pa s pere.

6) On introduit le concept appe1 par la suite le produitre1atif, qui s'tablit entre a et c toujours et seulement siun premier rapport s'tablit entre a et b, et un secondentre b et c; pa r exemp1e, le fait d'etre oncle paternel es t

L A LOGIQUE DE DE .1110RGAN 157

le produit relatif de la paternit et de la fraternit, parceque a est l'oncle de c toujours et seulement si a es t lefrere de b et b est le pere de c. 01' la these suivante nonceque la converse du produit re1atif es t le produit relatif des

converses, inverses pour ce, qui est de 1eur succession,des deux relations entrant en jeu; on a done pa r consquent et pa r exemple: la converse du fait d'etre onclepaternel est d'etre neveu (ou niece), du moment quea est le neveu de e toujours et seulement si a est le filsde b et b le frere de c.

7) De Morgan introduit ensuite une certaine quantification dans l'analyse des relations. Il s'interroge sur les casou un objet donn demeure dans une relation donneavec tout objet d'une classe donne, ou seulement avecdes objets d'une certa,ine classe. Nous obtenons entreautres la these que si x est en relation d'UD certain gem'eavec tout objet qui est en relation d'un second genre avectout y, alors y est en relation converse de cette re1ation desecond genre seulement avec les objets qui sont en relationconverse de la relation de prenrier genre avec x. Pa rexemple, si x est l'instituteur de chaque enfant de y,a10rs y n'est le pere (ou la mere) que des leves de x.

8) Le lecteur saura exprimer sous sa forme gnralela these illustre pa r l'exemple suivant: celui qui est dela meme tribu que tout N or est non de la melne tribu

que les non-Nors seulement.9) Voici un probleme analogue a partir de l'exemplesuivant: celui qui est de la meme tribu que les Noirsseulement, est non de la mme tribu que tout nonNOr.

Nous nous en tiendrons aux exemples ci-dessus, quiprouvent que De Morgan avait abord et fait progresserla thorie des re1ations. Nous n ~ a v o n spas voulu accablerle lecteur sous un trop grand nombre d'informationsrelatives a la symbolique utilise pa r De Morgan et audroulement de ses dmonstrations, qui sont du reste


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15 8 LA LOGIQUE DE DE MORGAN

simples. L'auteur savait eombien i l innovait en ee domaine,puisqu'il a erit: L'ide gnrale de relation s'est alorsdgage et, pour la premiere fois dan s,1'histoiredes seienees,les eoneepts de relation et de relation de la relation on t

obtenu leur propre symbolique>) (4). I l es t toutefoisimpossible d'oublier que eertaines formes du raisonnementportant su r les relations avaient attir l'attention delogieiens antrieurs. C'est ainsi pa r exemple que Leibnizs'intressait au x infrenees asyIlogistiques qui avaientveill la euriosit de Joachim Jungius (1587-1657), dugenre de: (J)avid es t le pere de Salomon, pa r eonsquentSalomon est le fils de David>) ou


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160 LA LOGIQUE D E DE .1l10RGAN

une partie de l'extension de X es t incluse dans l'extensionincluse dans l'extension de Z. 111, pa r contre, nous donnece qui suit: si toute l'extension de y es t incluse dansl'extension de X et s'il n'est pas vrai qu'une partie del'extension de Y soit incluse dans l'extension de Z, alorsun e partie de l'extension de X embrasse toute l'extensionpour laquelle il n'est pas vrai qu'une partie soit incluse dan sl'extension de Z (quivalent du traditionnel Felapton).

Dans le cas ou L e t M reprsentent la melle relationtransitive, on obtient une srie de formes qui sont descas particuliers des formes prcdantes, qui sont les plusgnrales; ces formes sont pourtant elles aussi des gnralisations de certains schmas de la syllogistique traditionnelle, schmas interprets selon les relations d'inclnsiondes classes.

Voici certaines de ces formes:

X ..L Y1 Y ..LZ

X .. LZ

X ..L YII Z ..L 'y

X .. LZ

Y ..L XI I I Y ..L 'Z

X .. L' Z

Y ..L XIV Z .. L Y

X .. L 'Z

Que L soit pa r exemple un e relation de supriorit(sous l'angle de la tailler disons), alors,' en vertu de I:si X es t plus grand que Y et Y plus grand que Z, ::tlors Xes t plus grand que Z; en vertu de 11: si X es t plus grand

que Y, et Z plus petit que Y, X est plus grand que Z, etc.Evidemment, en prenant pour L un rapport d'inclusiond'une classe dans une autre, " Q . _ l ~ S9btenons a. partir de 1 le~ . Y l l o g i s m eordinaire Barbara et , a. partir des autres formesnumres ci-dessus ainsi que des formes non cites,divers modes de la syllogistique usuelle ou qu'il est faciled' y ramener. Pa r exemple, selon 11, nous avons: si la c1assedes X es t incluse dans la classe des Y, et la classe des Zinclut la classe des Y, alors la classe des X es t inclusedans la classe des Z, ce qui se ramene a. 1, en raison dufait que Z ..L ' Y toujours et seulement si Y ..LZ , puis-

L A LOGIQUE DE DE lJI0RGAN 161

que L I est la converse de L (la classe des Z inclut la classedes Y toujours et seulement si la classe des y est inclusedans la classe des Z) (6).

5. Le syllogisme oblique

e'est ainsi que nous traduisons le vieux terme syllo-gismus obliquus. Cette notion se rattache aux dmonstrations de De Morgan, dans la mesure ou De :Morgan auraitdi t que la syllogistique traditionnelle ne connaissait pasde forme dans laquelle faire entrer le raisonnement suivant:si le eheval es t un mammifere, alors la tete du cheval estla tete d'un mammifere (7). 01' le schma 1 du premiergroupe d ~ quatre formes donn ci-dessus permet de menerun te l raisonnement. Supposons qu'il s'agisse de la tted'un cheval particulier. Appelons cette tete X, ce cheval Y,le terme gnral (mammere)} sera reprsent pa r Z, larelation etl'e la tete ... pa r L et la relation (etre l 'un des ... pa r M ; nous obtenons alors le schma I . Un raisonnementportant su r toutes les tetes de chevaux pourrait se traduirepa r ce meme schma. I1 suffira pour cela d'interprter Xcomme la classe des tetes de chevaux, Y comme la classedes chevaux, Z eomme la classe des mammiferes, L commela relation (tre la tte de l 'un des ... , s'tablissant entre

les lments des elasses X et Y, M en tant que relationd'inclusion. Le raisonnement pourra tre exprim dan.;les termes suivants: si tout X es t la tete de l 'un des Y,et la classe des Yest inc1use dans la classe des Z (autremeni;dit, tout Y es t un Z) , alors tout X es t la tte de l 'un des Ydont la classe est incluse dans la c1assedes Z (autrementdi t de l'un des Z). Remarquons que l'on avait depuis

(6) Cf. C. I. LEWIS, op. cit., p. 49-50 . Nous avons choisi librement les exemples.

(7) Cf. J. SLESZY:NSKI [rdig pa r S. K. Zaremba], Teorw dowod1fIThorie de la dmonstration], tome 1, Cracovie, 1925, p. 74.


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162 LA LOGIQUE DE DE MORGAN

longterops ,

. ~ ' o nne pa;rvenait pas " les faire en trer dans un systeme

de . syl1ogistique. C'e st a;insi, pa;r exerople, qU

sensatiOlll}(9).(S) Cf. T. CZEZOWSKI,Logika, p. 137, 243 et suiv.(9) AJuSTOTE, Topiq1U'. n. S. 114 a. 15-20. C'es

t

\e doetenrStefan Zieros ki qui ro'a fait remarquer ce pa.ssag

e .

XVII

L'ALGEBRE DE BOOLE

1. Les ides directrices

TI y a un peu plus d'un siecle que s'est p rodui t le tournant dcisif qui a donn:l!aissance a a logistique cont.em-1 L ~ - ! l e _(1). En effet, en 1854 paraissait l'ouvrage de Ge-'rgeBoole: Anlnvestigationoj the Law8 oi Thoughton whichare founded the M athematical Theories 01 Logic and Probabi-Ut y (2). Le tonrnant consistait en ce que la logique formelley tait : t ~ a i t e c 9 I I l m ~ . U nc e J ' t j ~ i ! ! g ~ n r ~ ! . ~ ~ l g ~ J : > r e .Corrlat i v e m e n ~ ,apparait une autre innovation tres importantedans les conceptions touchant a la. na.ture des mathmatiques. C'est Boole en effet qui, le premier, a. lancr i ~ ~ e q : u . ' ala nature des mathm_'tiques n'appartient pasl ' ~ ~ t : u . d e. cte. l!l!llbres ou des grandeurs, que cette science

(1) Le terme logistique, qui.signifie en grac tant argumentation'que calcul, fu t employ pour la premiere fois au Congres de Philosophie de Geneve (septembre 1904): MM.!telaon, Lalande et Couturat,:sans entente ni communication pralable, se sont rencontrs pourdonner a. la logique nouvelle le UOID de logistique; cette triple cOln-cideuce sembIe justifier l'introduction de ce mo t nou veau, plus courtet plus exact que les locutions usuelles: Logique symbolique, mathmat ique, algorithmique, Algebre de la Logique (L. COUTURAT,Compterendu du Deuxieme Congres de Philosophie, Logique et Philosophie,des Sciences, Revue de Mtaphvsique et de Morale, 1904, p. 1042).

(2) Cf. J. SL'ESZY:NSKI [rdige pa r S. K. Zaremba], Teoria dowodu.{Thorie de la dmonstration], t. n. p. 13et 14. G. BOOLE (1815-1864).a nota.mment crit les ouvrages suivants: The Mathematical Analysisel Logic (1847), l'a.rticle Th e Calculus of Logic (IS48) et son ouvragelogique fondamental: An Investigation 01 the Laws 01 TM'Ught on'which are tQunded the Mathematical Theories ot Logic an d Probability.(1854).


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16 4 L'ALGEBRE DE BOOLE

}Leutp9-,I3der des chapitres ne t.raitant n i de l 'un, ni del ' a u t ! ' ~(3): l'exemple en devait etre, se10n Boo1e, la thoriedes classes traite comme un e sorte d'algebre, OU lesvariables ne reprsentent ni des nombres, ni des grandeurs " MaJgr le tournant qu'il accomplissait et la grandeaudace novatrice dont'il faisait montre en appliquant1esprocds de l'algebre classique aux prob1emes de J'a1gebre ~ J ,logigue (cal' c'est ainsi qu'on avait commenc appele'r cette nouvelle science), Boole trahissait dans salogique cel'taines t e n d ~ n c ~ ~ j \ ' , , - t : J : _ ~ ~ I l s ~ r ~ ' t i s m enon justifi.

(\ I l estimait que le calcul des classes est le chapitre fondamental de la logique, ne comprenant pas la pl'imaut ducalcul pl'opositionnel (4). En second lieu, i l concevait defa90n trop troite les taches de la dduction dans son

ensemble,ayant l ' ~ - p l ' i t

fixsu r

lem(!el(3!1el'infrene

~ y M g i t l q u e ,ou, d'une pal't,on limine le moyen termeet ou, d'autre part, le petittel 'lne es t mis en relation avecle grand tel'me prsent dans les prmisses, mais aveclequel i l n'est pas en l'e1ation dans la prmisse dans laquelle il figure lui-meme (5). Ce qui a peut-etre contribu a ce fait, c'est que Boole s'est occup de !Jtdisc U ' ~ ! ( ) ] L ~ ! l t r eHamilton et .I?eMOl'gan touchant a l'aspectcorrect de la thorie du syllogisme catgorique (6).

(3) C'est prcisment Boole qui a le premier ralis cette ide,et l 'a formule dans cette phrase lapidaire: d I n'est pa s de l'essencedes mt thmatiques de s'occuper des ides de nombre et de quantit[Laws 01 Thought, Prface, p. 12 (1854))> (L. COUTURAT, Philosophiedes mathmatiques de Kant, Revue de Mt.aphysique et de Mm'ale,Paris, ma i 1904, p. 381). .

(4) Depuis Boole, le crateur gnial de l 'Algebre de la Logique,presque tous les logiciens on t adopt sa distinction fondamentale despropositions primairea et des propositions secondaires, ou, commedi t M. Scbroder, du Calcul des claases et du Calcul des p r o p o s i t i o n s ~(L. COUTURAT, La logique mathmatique de M. Peano, Revue deMtaphysique et de Morale, Palis, septembre 1899, p. 617).

(5) Boole a meme 1 jusqu'a considrer la dduction commaconsistant essentiellemen dans l' limination des moyens terme8. Cetteconception, trop exclusive, lui tait suggre pa r l 'exemple du~ y l l o g i s m e[ .. }) (L. COUTURAT, L'Algebre de la Log'que, GauthierVillars, Paria, 1905, p. 64).

(6) Cf. J. SLESZYNSKI, op. cit., p. 13.

I\

L'ALGEBRE DE BOOLE 16 5

.Boole compr enait comme suit le pl'incipal p ro bleme "lde l'algebre de la logique: de l'enchevetrement des classes

'i auxquelles es t mle, dans les prmisses, une classe donne, liminer certaines classes et trouver l'quivalent dela, classe considre sous la forme de la somme de certainsprodlts des classes restantes ou de leurs ngations (7).Poser le probleme de la SOl'te revient a rsoudl'e desquations logiques tout en en liminant certains 1ments.

: , Demandons-nous ce qui dcoule pour E pa r rapporta P des pl'misses: E es t inclus dans J I et lJI est inc1usdans P; la rponse sous forme de la proposition: 8 estinclus dans P, autrement dit la conclusion, peut etl'eobtenue a partir des prmisses conformment au modeleBarbara, en rsolvant un systeme de deux quationslogiques simples. En effet, l'hypothese que 8 es t inclusdans M est l'quivalent de l'hypothese que la classe 8M 'es t vide, autrement di t que 8111' = 0, et l'hypotheseque ~ 7 J i Iest inclus dans P, comprise de meme, s'crit:MP' = o. La conclusion EP' = O es t quivalentea s = quelque P, et constitue la solution du systemed'quations, si 1'011 prend _ ~ ' p u l 'inconnue dans l'quation, tQ!!.1:iuep. liminant M . ~01' Boole pose son pro blemedans toute sa gnralit et le pl'ob1eme de la justuicationdes modes de la syllogistique se ramene a des caFl particuliers d'une nalve simplicit.

2. Exemple de rsolution d'une quation logique

Examinolls l'exemple suivant de rso1ution d'unequation logique concrete par la mthode de Boole:

(7) Cf. C. 1. LEWIS, A Survey 01 S y n ~ b o l i cLogic, p. 162 et, dansle meme ouvrage l'ensemble de Particle su r Boole et Schroder.

~ G i v e nany equation connec.ting th e symbols x, y .. w, z [ .. )Required to determine the lorical expres8ion of an y class expressedin any way by tb e symbols x, y ... in terms of th e remaining symbolsto , z [ .. Wemayexpress this: given t = (x, y, ... ) an d 1f1 (x , y, ... )= cp (w , z, ... ); to determine t in terms of w, z [ .. >. (C. l. LEWIS.op. cit., p. 162).


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\ , ~

166 L'ALGEBRE DE BOOLE

-exprimer s de fa90n quivalente sous la forme d'une certaine somme de produits forms de p, t, et w ou de leursngations, tout en liminant r, dans le cas ou: s est unesubstanee quantitativement limite; p, donnant du plaisir;t, changeable; w, des richesses; r, protgeant contre lasouffrance; et en admettant l'hypothese que les richesses:se composent de substances quantitativement limites,ehangeables, d o n ~ tdu plaisir ou protgeant cntrela souffrance ( 8 ). 1

n adoptant la notation ci-dessus, nous crivonsl'hypothese comme s it :

w = st[p +r(1-p)]

en remarquant que, dans l'algebre de Boole, nous notons(Iet eomme un produit et (IOU bien comme une somme,et que nous notons la ngation de la classe p sous laforme de 1 - p (puisque la ngation de p es t ce qu'il fautajouter a la classe p pour avoir un e c1asse pleine, autrement dit comprenant l'ensemble des objets examins; langation de p es t done ce qui reste de la classe pleinedsigne pa r 1 apres qu'on en ai t soustrait la classe p),~ _ : t _ J l . u . ~ ~ J ] J i _ n _ J 3 J _ ~ o _ m m e(+ , o u b i ~ ~ ) E ! " ~ ~_ ~ g I l l p r i s echez-~ o o l ~ , ~ j Q 1 ! ~ } i y ~ l n e n t ,e'est-a-dire que ses membres n'ontpa s d'lments communs, si bien que donnant du plaisir

ou protegeant contre la souffrance>, c'e st t res prcis mentdonnant du plaisir ou bien: protgeant contre la souffranceBt ne donnant pa s de plaisir).

En entreprenant de rsoudre l'quation ci-dessus, nousnous effor90ns tout d'abord de l'crire sous une formeou le zro apparait dans le seeond membre:

w-st[p +r(1-p)] = O

(8) Cf. J. SLESZYNSKI, op. cit., p. 21, ainsi que l'ensemble del 'article intitul Rachunek logiczny Boole'a [Le caleul logique deBoole], ibid.

L'ALGEBRE DE BOOLE 167

Cherchons a prsent a li!piner r ~ Nous recourons pourcela au thoreme suivant, dmontr dans l'algebre deBoole: f(x) = O es t quivalent a. f(O) ' f ( l ) = O. Pa r x,nous ne eomprenons videmment pa s iei une variable

individuelle; ~ _ r e p J . ' s e n t eiei des termes de classes ett e s t e n quelque sorte un rseau dans lequel x se trouvepris au _ ein d'un terme de elasse complexe. N otre thoremedi t que si un terme complexe f(x), dans lequel se trouvele terme de elasse x eonsidr, es t l'appellation d'uneclasse vide (dsigne pa r zro), alors l'appellation declasse vide eonviendra galement au produit (autrementdi t a la eonjonetion) du terme eomplexe 1(0), deoulantde f(x) pa r remplaeement de x pa r zro (nom de la elassevide) da n s f(x), et du terme eomplexe f ( l ) , deoulantde f (x) pa r remplaeement de x pa r l'unit (non de laelasse pleine) dans I(x). Or, l'quation que nous tudionsa. prsent peut galement revetir la forme f (x) = O, pa rexemple si nous rempla90ns x pa r r et si nous comprenons f comme tant en quelque sorte le symbole de l'ensemble du rseau dans lequel r se trouve pris da n s lepremier membre de eette quation. Notre quation devient alors f ( r ) = O. Dans ce eas, 1(0) = w-st [p + 0 (1-p)] = w - s t p , et 1(1) = w-s t [p +1 ' (1-p) ] = w -stoDone, du moment que f(O) f(1) = O, nous avons(w-s tp) ' (w-s t ) = O, d'ou w-st'lO-stp'lO+stp = O (selon

des regles analogues au x regles de l'algebre ordinaire,a. cette diffrenee pres que s s ne donne pa s iei 8 2 , mais s,puisqu'est de vigueur la loi de la tautologie du produitlogique), pus w = stw+stpw-stp, soit stw +s tpw-s tp= 'lf.i, d'ou s( tw+tpw-tp) = w, done

'lOs=

t ' lO+tpw-tp

Nous avons done obtenu, apres limination de r,un e expression quivalente a. s, mais construite avec p, tet W. TI reste a donner au second membre de eette quation


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un e forme normale, autrement dit la forme d'une eertaine somme de produits eomposs de w, t, p, ou deleurs ngations.Pour ce faire, nous nous sermons duthoreme suivant,. dmontr dans l'algebre de Boole:

(x) = l ( l ) x + / ( O ) ( l - x ) .Afn de nous convaincre subjectivement de sa justesse, r e c ~ o u r o n sa une analogie avecl'algebre usuelle, (JU les x repr' sentent des nombres etles 1 des oprations numriques faites a l'aide de ces x.R e m p 1 a ~ o n spa r exemple x pa r 2 1 et 1 pa r 5 +. Nous obtenons: 5 + 2 = (5 + 1) x 2 +(5 +0) x ( 1 - 2 ) , autrement di t7 = 12 +(5 x - 1 ) , autrement di t 7 = 1 2 - 5 , donc 7 = 7.Voici un autre exemple numrique: r e m p 1 a ~ o n sx pa r1 et 1 pa r x 3. Nous obtenons 1 x 3 = (1 x 3) x l + (0 x3) xx ( 1 - !), autrement di t t = t + O, soit 1 = 1. TI en va

de meme dans l'algebre de Boole; pa r exemple, dans le

cas de notre quation, p, t, w sont des variables de classeset f es t en quelque sorte le rseau dans lequel elles sontprises. L'affaire se complique toutefois parce que nousn'avoris pa s affaire ici a I(x), non pas al d'un seul-argument X, mais a f(p, t, w) , a 1 de trois arguments. Pourde tels 1 'algebre de Boole tablit les relations suivantes,plus compliques:

I (x , y, z) = 1(1, 1, l ) x y z + / ( l , 1 , O)xy( l -z ) ++ 1(1, O, l )x ( l - y)z + 1(0, 1 , l ) ( l - x ) y z +

+1(1, O, O ) x ( l - y ) ( l - z ) + / ( O , 1 , O ) ( l - x ) y ( l - z ) +

+/(0, O, l ) ( l - x ) ( l - y ) z + / ( O , O, O ) ( l - x ) ( l - y ) ( l - z ) .En traitant notre expression eomme 1 w, t, p ,)

1 11(1 ,1 ,1 , ) donne ----- , autrement dit -1 '

1 1 + 1 1 1 - 1 1

1 11(1 ,1 , O) donne ----- , soit - ,

. 1 1 + 1 0 1 - 1 0 1

1 . 11(1, O, 1) donne , SOlt - , etc.

. 0 1 + 0 1 1 - 0 1 O


Au total:

w 1 1 1s = = -wtp + - w t ( l - p) + - w ( l - t ) p +

tw + t p w - t p 1 1 O

O 1 O+ - 1 ( l - w ) t p + O W ( l - t ) (l - p ) + O l - w ) t ( l - p ) +O O

+0 ( l - w ) ( l - t ) P +0 ( l - w ) ( l - t ) ( l - p ) .

A prsent nous ngligeons le coefficient numriquepartout ou -il es t gal a 1 (puisque le produit d'nne classep1eine et de n'importe quelle autre elasse es t gal a cettederniere) et nous liminons de t'a1ternative les membresou le eoeffieient numriq ue es t gal a o (puisque le produitd'une c1asse vide et de n'importe quelle autre c1asse es tun e elasse vide). Mais que faire des coefficients nigmatiques % et t? Boole rsout la question comme suit: i llimine le membre de l'altemative pred du eoefficient i, considrant ce dernier eomme nu1, tandis qu'ilcomprend ~ ~ d'une fa


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et nous obtenons la rponse dfinitive:

o O8 = wt + - ( 1 - w ) t ( l - p ) + - ( l - w ) ( l - t ) ,

O O

autrement dit: les substances quantitativement limitessont: soit des richesses c h a n g e a b ~ s ,soit certaines choses

. changeables qui ne sont pas d$ richesses et qui nedonnent pas de plaisir,soit certaifes choses qui ne sontpas des richesses et qui ne sont pas changeables.

xvmL' ALGEBRE DE BOOLE

(SillTE ET FIN)

1. Le sens des perfectionnements

~ ' a 1 g e b r e_de Boole souffrait d'un certain nombre de! t ~ a l . l ~ s . _

Avant tout elle comprenait des_ e ~ p r e s s i o n s

n i g ~ ~ ~ ~ ! l ! 1 : j j ~ t .pa r exemple les coefficients % ou i donti l a t question au chapitre prcdent, ou encore lecoefficient i qu i s' y rencontre de temps a autre, etc.Parfois galement, la dmonstration permettant d'allerde prmisses ayant une interprtation logique a un econclusion ayant une interprtation logique, 1!-s._ait par_ d e - t h ~ s e spour_lesquelles on ne pouvait pas trouver une~ e m b l a b 1 einterprtation (1). En outre, cette algebreoprait avec le symbole de l'alternative disjointe (le

symbole x +y ne dsignant pas tout simplement l'ensemble des obje ts tant soit des x, soit des y,-!lla!s l'ensem- ~ ."J;ede tels objets n'tant pas, en outre, des x et des y a af o i ~ )ce qui entrainait aussi, POJlT cette raison, l'introduction des ~ y ~ b o l e sde la soustraction (a cot de celuide l'addition), JJt de la division (a cot de celui de lamultiplication). Or, i1 apparut que ces symboles n'taient~ . s _ ' p r a , t i q u e s .En effet, lorsque cette somme disjonctivees t remplace pa r un e somme purement alternative, lasoustraction cesse alors d'etre une relation dfinie de

(1) Cf. J. SLESZYNSKI [rdig pa r S. K. Zaremba], Teora dowodu[Thorie de la dmonstration], t. n, p. 17, 48.

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: ' 1 f ~ ~ o nunivoque. Posons quex es t la diffrenceobtenueen soustrayant b de a, toujourset seulement six + b = a,et posons queb est une partie propre dea; dans ce casxpeut etre non seulement le complmenta b pour obtenir a,mais toute classe contenuedans a et comprenant ce complment, entre autres la classe a elle-meme.

a - totalit du cerc1e;b - croissant ombr, dlimit pa r la droite:complment a. b pour obtenir a - croissant

clair, dlimit par la droite.

Des difficults analogues surgissenta propos de ladivision telle que la comprend Boole. Les perfectionnements on t done tendu (en gnral, bien qu'il yai t desexceptions(2, a dbarasser l'algorithme des nigmes quien dcoulaientet a. viter les oprationsrecourant a lasomme disjointe,a. la soustraction et a. la division (3).

La thorie et la technique dela rsolution des qua

tions logiques et des inquations logiques,a.

partir de(2) K. KURATOWSKI introduit la division des ensembles, dfinie

pa r la formule A : B = A. +B' . W step do teorii mnogosci i topologU[Introduction a la thorie des ensembleset a la topologe], Varsovie,1955, p. 23. Cf. gaLement,du meme, Topologie 1, Varsovie, 1948,p. 358 et suiv.

(3) Sur la divil'ion logique,cf. ibid., p. 50. 68, 69.Ponr ce qu iest ne la critique de la conception de la soustraction et de la divisionlogiques, c.f. C. 1. LEW1S, A Burvey 01 Bymbolic Logic, p. 173. Avecle temps, il es t appant toutefois qu'il est possibled'introduire la soustraction de fal{on correcte. Cf.pa r exemple Teora mnogosci [Thoriedes ensembles]de Kuratowski et Mostowski (Varsovie--Wroclaw,1952,p. 32), OU, a la suite de Huntington (1904),on admet axiomatiquement que ( A - B ) + B = A + B et que (A--B) .B = O. On a dememe sauv la possibilit de la division.

L'ALGEBRE D E BOOLE 173

l'algebre de Boole ainsi mo difieon t considrablementprogress graee aux travaux de Platon Porecky (4),publisen russe et en fran9ais .A l'aide de eette technique,on peut exprimer l'extensiond'un terme gnral donnau .moyen de 1'altel'native des conjonctionsd'autres t e r ~mes gnraux ou de leurs ngations (oupa r la conjonctiondes alternatives de ces memes termes),en vertu de prmisses dans lesquelles les divers termes gnraux, y eompris le terme qu'il s'agit de dfinir, sont pris dans unrseau de relations: somme logique de elasses,produitlogique de elasses, quivalence de classes, subsomptionde elasses et eomplmenta une classe pour obtenir laelasse reprsentant l'ensemble des objets considrs.

2. Les systemes d'axiomatisation

Boole traitait son a1gebre dela logique de la f a ~ o l ldont a l'poque on traitait l'algebre ordinaire, c'est-adire sous la forme d'un algorithme soumisa. ee.rtainspr!ueipes,et non sous celle d'un _systeme dduetif. Aprestui, on 1'a maintesfois axiomatise de diverses fa90ns.;L'axiow,titi!)u de H1!ntingtoIl(1904) est sans doutela plus largement adopte, paree qu'ellees t la plus naturelle. L'une de ses modifieations (quiest en memetemps

un e simplification) sert de basea Lewis pour son exposde l'algebre de Boole, lorsqu'il passeen revue les eonquetes de la logique symbolique. Voicil'axiomatique de!fewis (5). 1) Si a et b sont des lments deK, alorsa X b es t un lment de K. 2) Pour tout a, a X a = a.3) Pour tout a et tout b, a x b = b x a. 4) Pour tout a,tout b et tout c, a x (b xc ) = (a x b) xc . 5) TI n'existequ'un seul lmentK , autrement dit O, pour lequel on

(4) Cf. daus l'ouvrage de SLESZYNSKI cit ci-dessusl'article surles sept lois de Porecky (1846-1907), p. 76 et SIUV.

(5) C. 1. LEWIS, QP. cit., p. 119 et suv.

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ai t a x O = O pour tout a. 6) Pour tout a il existe unlment a', pour lequel on a: si x x a' = O, alors x X a = xet si y x a = y et y x a' = y, alors y = O.

En plus des signes primitifs constants apparaissant

dans ces axiomes, on trouve dan s les thoremes lessignes 1, + et C. lI s sont ntroduits pa r les dfinitionssuivantes: Df.1, 1 = O'; DI. 2, a + b = (a' xb') ' ; Df.3,a e b es t quivalent a a x b = a. On dmontre que a',1 et a + b sont uniques.

L'axiome 6 demande une certaine rflexion. Poul'saisir son sens, i l sera bon de recourir a l'interprtationde a; comme la classe des objets tant des x, a l'interprtation de a' comme la classe des objets tant desnon-a>), a l'interprtation de zro comme tant une classevide}) et a l'interprtation des deux traits comme tantle signe affirmant l'quivalen ce des classes. Alors il devientclair que si x x a' = O, on a {1} x a = {1}

L'axiomatique de Lewis a unestructure linguistique@xte, la symbolique s' y mele a des passages en langageC O U ~ l L p t .L'auteur n'aborde pas le probleme de l'indpen = a n c e _ ! ~ _ ~ _ - ~ i o : l ! l : e ~et il rsoud la question de leur compatibilit en se rfrant a leur interprtation.

Par contre, l'axiomatique de l'algebre de Boole donnepa r _ M ~ t o w s k i J 6 ) ,reposant galement sur Huntington,es t ~ p - t ; i ~ ! ' ~ l l : l ~ p : t~ ( ) J ' p : 1 , f I , 1 j . s e .lc i ill,St l ' a ! l ~ e u rsacrifie

r e x i g ~ 1 ! 9 - __ , ~ _ 1 } ! i l l g . - g , : f : l C ~_IDut\lellecies. axiomes auP l : Q ! ~ t j t elaclart de l a structure de l'axiomatique et del a _ ~ ~ . - p l J ! 3 i t ~ _ - - ~ ~__ r o c ~ s . d m o n s t r a t i f s .N ous donnonsci-dessous ce systeme d'axiomes (( --* tant signe d'implication) auquel doit satisfaire la classe K et ses lmentsx, y, z arbitrairement choisis:

1) Os K3} l e K

2) ( 0 = 1 ) '4) x + y s K

(6) Cf. A. MOSTOWSKI, Logika matematyczna [Logique mathmatique], Varsovie-Wrocla,w, 1948; p. 103.


5) x' eK 6) x 'YeK7) ( x = y ) - - * ( y = x ) 8) x = x9) ( x = Y ) ' ( y = z ) - - * ( x = z ) 1 0 ) ( x = y ) - - * ( x + z = y + z )

11) (x = y)--*(x'z = y z ) 12) x+ O = x13) x ' l = x 14 ) x + x ' = 115) x 'x ' = O 16 ) x + y = y + x17) x y = y-x 18 ) x + ( y + z ) = ( x + y ) + z19) x'(Y'z) = (x y) z 20) x + y z = (x+Y) ' (x+z)

21) x'(y +z) = x ' y + x z

Le lecteul' aura remarqu qu'a partir du n 10), a cha-que axiome de numro d'ordre pair correspond l'axiomesuivant, de numro d'ordre imp air et qu'ils different enceci qu'a la place du signe d'addition dans l'un, apparaitdans l'autre le signe de multiplication, et rciproquement,et qu'a la place du zro dans l'un, apparait le un dansl'autre, et rciproquement. Qette Y I p . ~ 1 ' ! ~ p e ~ m e t ,d 'obte- i ' .ni r immdiatement d'une these donne une autre these,selon, prcisment, ce principe de correspondance. ExempIes: x-O = O et x + l = 1, ou enco1'e (x-y)' = x' + y ' et(x +y) ' = x' .y' .

3. Interprtations et applications

Nous avons jusqu'a prsent formul ce que nousavons dit touchant a l'algebre de Boole comme s'il s'agissait la d'une so1'te de calcul des classes, d'une sorted'algorithme servant spcialement a dterminer des 1'elations prcises entre telles et non telles autres classesd'objets arbitrairement choisis, a partir de relationsdonnes entre des classes dfinies de tels objets. TI seraiten effet difficile de se passer d'une quelconque interprtation de cette algebre, si l'on voulait en exposer le contenu de fa90n int uitive. Pourtant, ce systeme es t en raliMpu1'ement formel; i l es t un systeme de notations de struc-


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ture dfinie, composes de lettres et de signes de formedtermine figurant entre ou avant les lettres, et il es tsoumis a des regles dfinies permettant de crer de nouvelles notations a partir des notations admises prcdemmento C'est ainsi que Boole comprenait l'objet a cettealgebre, parfaitement eonseient de son caractere d'abstraction pouss au maximum et de la multiplicationdes applicatioris possibles d'n tel algorithme. E t ; defai t ,il es t apparu que sa conception tait tonnament fcondeet oprante. Quant au x applications varies de l'algebrede Boole, elles atteignent leur objectif a11 moyen des interprtations diverses qui en sont faites, autrement di t endonnant a. ses symboles des significations diverses.

C'est ainsi que les interprtations selon les classes

sont apparues tout particulierement utiles; alors a, b, c ...(ou, tout aussi bien x, y, z ... ) sont des symboles de classes,et K , le symbole de la c1asse des classes des lments del'ensemble donn d'objets considrs. On comprend alorsle signe ' cornme dsignant le comp1ment a un e classedonne 1)our parvenir a cet ensemble; le un comme lesymbole de tout ce t ensemble, autrement dit d'une classep1eine, le zro eomme le symbole d'une classe vide; + deyient le signe de la somme de classes, autrement di t dela classe comprenant tous les lments et seu1ement lesllnents qui appartiennent pour le moins a 'une d'entreelles, le point ou le signe x celui de l'int ersection desclasses, autrement dit d'une classe "Comprenant tous leslments appartenant a eh acune des classes composanteset eu x seulement. Que signifie alors, pa r exemple, lethoreme (ti +b)' = a' x b', qu'il es t facile de tirer desaxiomes, et dans lequel nous reconnaissons l'analogue del 'une des lois de De Morgan du ca1cul p r o p o s ~ t i o n n e l ?11 nonce que ee qui est ncessaire pour complter la:sornme de deux elasses afin de parvenir a l'ensemble desobjets considrs es t identique a l'intersection du complment a la premiere et du complment a la seconde.

L'ALGEBRE DE BOOLE 1 '7'"'II

Posons que l'ensemble considr es t la classe des artisans,.a tant la classe des cordonniers et b, la classe des tailleurs. Nous pouvons fue notre these eomme suit: la classedes artisans qui ne sont pas cordonniers ou tailleurs es tidentique a la classe des artisans n'tant pa s cordonnierse t n'tant pas non plus tailleurs.

Cependant, une semb1able interprtation pa r les classesn'est pas la seule de cet ordre possible pour l'algebre deBoole. Nous obtiendrons une autre interprtation parallele (7) en donnant au signe + le role de signe d'intersection des classes et au signe x celui de somme deselasses, et en intervertissant en consquence le r61e duun et du zro ... Alors, la notation (b' + a = l ) -+(ba = b)pa r exemple, devra etre lue: si l'intersection du compl

ment a la classe b et de la classe a est une classe vide,a10rs la somme des classes a et b est identique a la classe b.Posons que a signifie berger et b rebouteux, nons lirom:a10rs brievement notre formule comme suit: s'il n' y a, pasde berger qui ne soit a la fois rebouteux, alors seulemclltles rebouteux s{mt bergers. Inutile d'ajouter que lesapplications srieuses de l'algebre de Boole doivent etrcherches dans le domaine des thories mathmatiquesou appliquant les mathmatiques, et que nos exempleRlmentaires ne nous sont ncessaires qu'a des fins didactiques, pour expliciter les relations fondamentales de

cette a1gebre de la fa!;on la plus vidente. Ajoutons pa rcontre que l'on utilise les deux interprtations pa r leR-classes donnes ci-dessus, paree que tantt l'une, tantotl'autre apparait rpondre mieux a un objectif donn.

TI ne faut pa s confondre l'interprtation de l'algebrede Boole pa r les elasses avec celle que nous nous permettrons d'appeler mrologique (8) (du grec mero8, gn.mereo8, qui signifie partie au sens de fragment). N ousobtiendrons une interprtation de ce genre si nous trai-

(7) Cf. A. MOSTOWSKI, op. cit., p. 103.(8) Cf. pa r exemple C. 1. LEWIS, op. cit., p. 120.


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wn s 1 pa r exemple comme un solide donn, a, b, e ... etc.,comme des fragments de ce solide, a', comme le complment a a pour obtenir le solide complet, autrement di tcomme le fragment qui, additionn a a, forme la totalitdu solide, a + b, comme un fragment dont les fragmentsconstitutifs sont les fragments a et b, a X b, comme unfragment commun a a et b ...

Le thoreme a = ab +ab' se lira alors, pa r exemple:l'ensemble du fragment a se compose d'un fragment dufragment a qui es t en meme temps un fragment dufragment b, et d'un fragment du fragment a qui est enmeme temps un fragment du complment au fragmentb pour obtenir la totalit du solide. Posons que l'ensembledu solide considr es t pa r exemple une horloge, lalettre a dsignant la partie mobile de cette horloge (lesressorts, les roues, les aiguilles) et la lettre b, la partiede cette horloge visible de l'extrieur. Notre thoremetout simple donnera alors: la totalit de la partie mobilede l'horloge se compose de: la partie commune a sa partiemobile et a sa partie visible de l'extrieur (les aiguilles)et de la partie commune a sa partie mo bile et a sa partiequi n'est pas visible de l'extrieur (les ressorts, les roues ... ).TI est curieux que, postrieurement a la constitution del'algebre de Boole, apparurent plusieurs systemes de latho1'ie des fragments et que plus tard seulement on

commenga a se rendre compte que c'taient la tout simplement des interprtations de l'algebre de Boole.TI en fu t ainsi, pa r exemple, du premier systeme de

ce genre, autrement dit de la mrologie de Stanis}awLesniewski, datan t. de 1916 (9). Celle-ci se fonda it su rles axiomes suivants: 1) Si P es t une partie d'un objet Q,alors Q n'est pas une partie de l'objet P; 2) Si P est une

(9) On peut tro1.lver des informations de premiere main sur cesysteme et les systemes mrologiques ultrieurs de LESNIEWSKIdansJes articles qu'il a publis sous le titre O podstawach matematyki(Des bases des mathmatiques], dans les nO 30-34 de PrzeglqdF'iwzoticzn1/. Varsovie, 1927-1931.


partie de l'objet Q et Q est une partie de l'objet R,alors P est une partie de l'objet R; 3) Si P es t la classedes objets a et Q la c1asse des objets a, alo1's P es t Q;4) Si un objet est a, alors un certain objet es t la classe

des objets a. Dans les deux derniers axiomes intervientle terme classe (des o bjet s a). I1 est dfini pa r rfrenceau terme ingrediens, lequel a son tour l 'est pa r rfrenceau terme partie, unique terme spcifique primitif dela mrologie. Voici les dfinitions: Df. 1: P es t l'ingrdient de l'objet Q alors et seulement si P est le memeobjet que Q ou une partie de l'objet Q. Df. 2: P es t la.c1asse des objets a alors et seulement si les conditionssuivantes sont remplies: a) P es t un objet; b) tout a es tingrdient de l'objet P; c) pour tout Q, si Q es t ingrdientde l'objet P, alors un certain ingrdient de l'objet Q es tingrdient d'un certain a.

I1 pourrait sembler que nous nous mouvons ici allssisu r le terrain de l'interprtation pa r les classes, puisqu'ilest question de classes. Ce n'est qu'une apparence, pourtanto TI s'agit ici, en ralit, de la relation entre le fragmentet le tout. Ce que l 'auteur appelle une partie de l'objet Q,c'est justement un fragment de l'objet Q, et ce qu'ilappelle l'ingrdient d ~ l'objet Q, c'est soit un fragment,soit justement la totalit meme de cet objet; enfin, cequ'il appelle la classe des objets a, c'est un objet P com

pos de tous les objets a jouant le role de ses fragments,tout comme les 64 cases de l'chiquier composent la totalit de l'chiquier. TI estbon, a l'occasion, de prendreconscience de l'ambiguit du terme partie sur lequelici tout se fondeo En effet, dan s la thorie mathmatiquedes ensembles, pa r partie propre de l'ensemble des M oncomprend tout ensemble de N pour lequel tout N es t M,la rciproque n'tant pa s vraie. En ce sens, pa r exemple,l'ensemble des nombres pairs es t une partie p1'opre del'ensemble des nombres naturels. Pa r partfe de l'ensembledes M en gnral, sans spcifier propre, on comprend


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tou tensemblede N qui est soit une partie propre del'ensemble des M , soit cet ensemble lui-meme. En mrologie, le terme ), (',comme des oprateurs crateurs de propositions attachsau x arguments propositionnels, zro comme n'iinportequelle proposition fausse, et le un comme n'importe quelleproposition vraie. Dans ce cas, il faut toutefois adopterun e hypothese supplmentaire, sous la forme de la these:(x = O) + ( x = 1) = 1, autrement dit: il es t vrai pour touteproposition (appartenant a I'ensemble des propositionsexamines) qu'elle est soit fausse, soit vraie. L' axiom e 12 dusysteme de Mostowski signifie dans cette interprtationque, pour toute proposition, l'alternative d'une proposition donne et de n'importe quelle proposition fausse es tquivalente a cette proposition donne, l'axiome 14 setransforme en un e formulation particuliere de la loi dutiers exclu propre au calcul propositionnel ( p + p ' = 1,ce qui es t quivalent a p +p') , I'axiome 15 en une fOl'mulation particuliere de la lo de contradiction (p .p ' = 0,ce qui es t quivalent a [p .p'J'), l'axiome 21 devient la,Ioi de distributon propre au calcul propositionnel, etc. ete.


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Toutefois, bien que le calcul propositionnel constituel'une des interprtations, renforce pa r l'hypothese, mentionne ci-dessus, de l'algebre de Boole, on ne saurait enconclure que cette derniere est une partie de la logiqueformelle prcdant, du point de vue de l'ordre logique,

le calcul propositionnel. Tout au contraire, lorsqu'ondmontre les thoremes de l'algebre de Boole, on estcontraint de se rfrer a certaines ~ e s e sdu calcul propositionnel, ainsi qu'a certaines theses ~ calcul fonctionnelavec quantificateurs (11). 1

Pour terminer, rappelons l'interprtation inattendue ettout rcemment dcouverte de l'algebre de Boole commethorie de certaines structures techniques (12), a savoirdes circuits lectriques a commutateurs biphass eta effets terminaux biphass (une ampouIe s'allume ou non;une sonnette sonne ou pas, etc.). Si nous dsignons certainscontacts des conducteurs pa r le symbole +, des contactsd'un autre type par le symbole x, d'autres encore pa r lesymbole -+ , et si nous dsignons pa r le signe I un certaintype de dviation du conducteur, nous obtiendrons uneinterprtation des formules du calcul propositionnel, etpa r consquent galement de l'algebre de Boole, commela reprsentation d'un circuit lectrique de telle ou tellestructure; en vrifiant la correction et le caractere consquent de ces formules, on pourra donc controler le bononctionnement du rseau leur correspondant. C'est ainsique se ralise la prdiction de Lewis, qui crivait en 1918,a propos de l'algebre de Boole perfectionne pa r Schroderet d'autres (13): L'algebre de la logique, dans sa formegnralement admise, eat a peine assez anci enne pourmriter le nom de c1assique [ .. ] Maia si ce quali ficat if

(11) Cf. A. MOSTOWSKI, op. cit., p. 105.(12) Cf. ibid., p. 104, Voir aussi: H. GRENIEWSKI, K. BOCHENEK,

R. MARCZYNSKI, Application of Bielemental Boolean Algebra toElectronic Circuits, article publi dans St'Udia Logica, t. n, Varsovie,1955, p. 7.(13) C. 1. LEWIS, op. cit., p. 118.


ne convient pas a prsent, nous nous permettons tout.efoisde l'employer a titre de prdiction. Ainsi que Whiteheadl' a dja montr, ce systeme constitue une espece particuliere du genre algebre, espece qui difiere de toutes lesautres algebres dcouvertes jusqu'a prsent, pa r soncaractere non numrique. C'est la indubitablement lesysteme mathmatique le plus simple qui soit, dont lesapplications pratiques pourront etre aussi larges que l'onvoudra, et i l existe des symptomes permettant de penserqu'il servira de tronc d'ou sortiront d'autres algorithmesimportants.


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XXV

RSOLUTIONDE PROBLEMESCOl\1PORTANT DES VARIABLES

ATTRmUTIVES A L'AIDEDE GRAPIDQUES

1. Les ceJ;'cles d'Euler

On appelle cercles d'Euler desg r ~ b i q r i e squi facili-tent l'enseignement des thoremes dela doctrine traditionnelle de l'infrence directeet de la s y l l o g i ~ u e ,classique. La relation entre l'extensiondu Butet S etcelle de l'attribut P dans une proposition universelleaffumativeSa P est figurea l'aide du dessin suivant:.

Pour l'universelle ngativeSeP, nous avons le dessin::"

LES GRAPHIQUES LOGIQUES 245

Pour-!a particnliere affirmativeSiP, le dessin:

Et enfin pour la partieuliere ngativeSoP, le d e s s i n ~

Le mathmaticien Lonard Euler, alors qu'il enseignaitla syIlogistiquepa r correspondance(1768-1772) (1), employait des dessins de ce genre et, depuis, ils fignrentdans les manuels de logique entant que procd didactique communment employ.

Incontestablement, ils facilitent l'enseignement dansune certaine mesure.Pa r exemple,on voit tout de suite,

a l'aide du graphiquede la propositionSeP, que celle-ciest convertible sans restriction enPeS, puisque, si lecercle S est situd a n ~son entieren dehors du cercle P,alors rciproquement, le cercleP est entierement situen dehors du cercle S. On peut galement reprsenterle syIlogisme Barbara de fagon fort image:du momentque le cercleS est entierement situa 'intrieurdu cercleM et que le cerc1e M est entierement situa l'intrieur

(1) Cf. C.l. LEwIS,.A. Su,rvey 01 SymboZic Logia, p. 176 et suiv.Cf. galement (pour le prnomet la date) UEBERWEG-OESTERREICH.Gru1ul!ri88 der Geschichte der Phi108opkie. Berlin, 1916, p. 551.


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246 LE S GRAPHIQUES LOGIQUES

du cercle P, i l es t clair que le cercle S es t entierementsitu a l'intrieur du cercle P. TI es t pourtant difficile deremplacer des dmonstrations strictes pa r les grapruquesd'Euler, et cela en raison des dfauts qu'ils comportent.

C'est ainsi, pa r exemple, que le des sin correspond anta l'universelle affirmative suggere davantage qu'une telleproposition ne dit. En effet, tout S es t P non seulementlorsque l'extension de E constitue une partie propre del'extension de P (comme pour S, homme, et P, vertbr),mais galement lorsque l'extension de E est identiquea celle de P (comme pour E, crature vivante, et p ~crature mortelle). De meme, les dessins reprsentantles propositions particulieres suggerent un e comm;autpartielle et un e non communaut partielle entre les xten-sions de E et de P, bien que cela ne dcoule nulIem nt dusens des propositions quelque E es t P et quelque S n'estpas P. En effet, quelque signifie en syllogistique aumoins Ull, ce qui n'exclut pas l'ventualit que, pourun E donn et un P donn, la vrit ne sera pa s seulementque quelque E es t P, mais en outre que tout S es t P,comme c'est le cas pa r exemple pour E corps et P lourd.

2. Les grapbiques de Venn

Bien meilleurs se sont rvls les graphiques que,plus de cent ans apres Euler, John Venn (2) a propos danssa Symbolic Logic (1881). Leur principe eonsiste a di-viser l'extension complete des objets considrs en do-maines correspondant successivement a toutes les pos-sibilits, selon que ce t objet est dot ou non de te l oute l des attributs examins. C'est ainsi, pa r exemple, quele graphique n 1 divise tout le domaine en champsd'objets tant E et tant P, tant E et n'tant pa s P,

(2) ef. J. V E N N , Symbolic Logic. 2 e d., 1894, p. 5 ~ 9et suiv.

. ,

L ES GRAPHIQUEE LOGIQUES 247

n'tant pa s E et tant P et enfin n'tant pas S et n'tantpas P.

s,pt

graphique nO 1

De meme, dans le cas de trois attributs, le graphiquen 2 diffrencie les champs correspondant a. toutes lescombinaisons possibles: EMP, SMP' , SM'P, S 'MP,SM'P', S'M'P, S'MP', 8'H'P ' .

graphique n 2

De fa90n gnrale, pour n attributs, i l faut tablirun graphique divisant l'ensemble de l'extension desobjets considrs en 2 n champs.

3. Exemples de rsolution de problemesa I'aide des grapbiques de Venn

Des graphiques de ce genre permettent de rsoudregraphiquement des problemes touchant a l'infrence di-recte ou a la syllogistique. TI faut se souvenir, ce faisant,qu'en affirmant Sa P nous reconnaissons pa r la memequ'il n'existe pas d'objets tant E et n'tant pa s P,


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248 LES GRAPHIQUES LOGIQUES

autrement dit que le> champ SP/e s t vide. De meme,en affirmant SeP, nous reconnaissons quele champSP es t vide. Par contre, en affirmant SiP, autrementdi t (SeP)', nons reconnaissons que le champSP n'est

pa s vide et en afirmant SoP, soit (SaP)', nous reconnaissons quel ~ champ SP ' n'est pas vide.On voit maintenant que la base thoriquesur laquelle

1'eposela technique des graphiques de Vennes t son interprtation existentielle des propositionsdu type SaP, SeP,SiP et SoPo SaP, c'est la meme chose que:


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NOTIONS ESSENTIELLES RELATIVESA LA THORIE DES RELATIONS

/ ~ ~ - - - -

1. Le conceptde frelation

De meme que, selon l'hypothese admise,a. tout f(x)(ou x reprsente des termes individuels) corresllondunattribut P te l que xeP (llar exemllle, llour[fx] signifiant x russit,on a xeP: x est veinard), de meme,a toutI(x, y), en vertu d'une hYI>othese analogue, correspondun attribut se rapportant au x deux sujetset qui faitqu e s'tablit xR y (1). Nous l'appelleronsun relatif.AJors que l'attribut se rapportant a. un sujet uniqueconnote une certaine proprit,ou un certain ensemblede proprits de l'individu tudi, le relatif connoteunecertaine relation,un certain rapport entre le premieretle second des individua tudis. Supposons,pa r exemple,que notre f(x, y) soit x +y = O. Dans ce cas,une relationd'opposition (relation of being opposite) existe entrex et y, appele ainsi parce que:i; = y quant a. la grandeuret en difiere quant au signe, puisquex = - y. N ouspouvons done dire quex est en oppositiona. y (plus brievement,x est le ngatif dey), en l'crivant sousla formexOpy, ce qui es t le substitut de la fonction proposition-

(1) el. A. TARSKI. lntroduction to Logic and to tho Mothodologyo/ DAducti1JO 8ci6'nC08, Oxford-New York, 1941,p. 89., traductionfran


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256 LA THORIE DES RELATIONS

lations, Res. En principe, on l'crit diffremment,a savoir t . Mais pour simplifier la notation, nous ngligerons le point qui surmonte le signe, tant ici queci-dessous dans des cas semb1ables. Dire que se produit

l'inclu8ion R e s, cela signilie que nx,y(xRy < xSy); pa rexemple, si x es t infrieur a y, a10r8 x e8t diffrent de y.I l es t bo n de remarquer tout de suite que cela difierede l'inclusion des classes e n t r ~les premiers membres desrelations R et S. Considrons \l'exemp1e suivant: R: es tgrand pere de ... S: ' es t pere ~ .. TI es t cla.ir que nes'tablit pas dans ce cas l'inclusion R e S, cal' i l n'estpas vrai que si x es t le grand-pere de y, x soit le perede y. Pa r contre, se produit l'inclusion des classes entrela cla,sse des grands-peres et la classe des peres, puisquetout grand-pere eat pere (plus prcisment, tout grandpere de quelqu'un est pere de quelqu un maia videmment pas de la meme personne). Ensuite, paI' analogieavec la somme des classes M +N, nous avons galementla somme des relations, qui es t noMe R U S et dont ladfinition est: nx,y[x(R U S)y = (sRy +xSy)J; le produitdes relations, analogue au produit des claases M N, dfinicomme suit flx,y[x(R t l S) y = (xRy xSy)J; enfinl'analoguede la ngation de la classe, M', la ngaMonde la relation(negation or complement 01 areldtiQn E' , autrement" di tla re1ation se produisant entre x et y toujours et seulement si (xRy)'. Nous noterons en outre le symbole V,signe de la relation universelle et 1\, signe de la relationvide, autrement 'dit nulle. Le premier de ces symbolesdsigne une relation qui se produit entre tous les lments (deux a. deux) de l'ensemble d'objets considrs,done, si l'ensemble de tous les individus es t examin, le.symbole V dsigne la relation qui s'tablit entre chaqueindividu et tout autre. Ce peut tre, pa r exemple, l'nonciation: est le frere de ... ou n'est pa s le frere de ... }Par contre, une relation es t vid si elle ne s'tablit entreaucun x et y de l'ensemble des objets considrs" et

j'I

I

J

LA THOEIE DES RELATIONS 257

done, si nous considrons l'ensemble des individus, si ellene se produit entre aucun individu et aucun autre individuoC'est ainsi que, prenant pour E: {(est le frere et n'est pasfrere de ... , nous obtenons l'nonciation d'une relation

vide, puisqu'videmment'f pour aucun x, y i l n'est vraique x es t le frere et n'est pa s le frere de y.

3. Oprateurs particuliers au calcul des relations

Dans le domaine des relations, nous avons toutefois~ e r t a i n e sre1ations spcifiques qui n'ont pa s d'analoguesdans le calcul des classes. Entre autres, pa r exemple, larelation entre la converse d'une relation donne et cette

relation. R sera lu R converse, autrement di t conversede la relation R. R es t dfini comme suit: elle se produitentre x et y alors et seulement si E s'tablit entre y et x.Pa r exemple la relation d'infriorit es t la converse dela relation de supriorit, puisque x es t infrieur a. y tou-jours et seulement si y es t suprieur a x. ,Est galementspcifique au calcul des relations la notion de produitrelatif des relations (relative product or composition),diffrent du produit ordinaire des relations, dont i l a t question ci-dessus. Ex definitione, le produit relatif desrelations R et E entre x et y s'tablit toujours et seulement s'il existe un z tel qu'on ai t xR z et zSy. Le symboledu produit relatif es t la barre oblique. Nous avons donenX,lI[xE/Sy = ' z(xRzzSy)] .Dans les questions de la viecourante, ce lien entre relations es t des 11lus banals.Si, pa r exemple, R signifie: est le mari de ... , S: es t lafilie de ... alors R/S signifie: es t le gendre de ... puisquex es t le gendre de y tonjours et seulement s'il existe unepersonne - appelons-Ia z - dont x est le mari et quiest fili de y.


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258 LA THORIE DES RELATIONS

4. Quelques relations choisies: d'galit; d'ordre,fonctionnelles

Nous examinerons a prsent certains genres de re

lations particnlierement importantes pour maintes applications .A ce t gard, les relations d'galit se distinguenten premier len. Chaque relation de ce genre est caractrise pa r le fait qu'elle est a la fois rflexive, symtriqueet transitive. Mais qu'est-ce a dire qn'une relation donneest rflexive, dans un e certaine classe d'individns considrs? Cela signifie qn'elle se produit entre chaquelment de cette classe et l u i - m ~ m e ,antrement dit qn'ansein de cette classe, nx(xRx). Pour la classe universellecomprenant tous les individus, des exemples en seront larelation d'identit, la relation de ressemblance... Unerelation irrflexive es t celle ou l'on a, au contraire,[]x(xRx)', pa r exemple une relation de diffrence, un erelation de supriorit .. Une relation es t symtrique (iciaussi au sein d'nne classe donne, condition restrictivequ e nous ngligerons d'indiquer pa r l ~ suite, commetant pose dans tous les cas) tonjours/ et seulement sinx,y(xRy < yRy), pa r exemple la ~ o n t e m p o r a n i t ,laparent ... Es t antisymtrique, ou asymtrique une relation pour laquelle, an contraire, nx,y[xRy < (yRx)'],pa r exemple la supriorit, l'infriorit, le fait d'etre plus

ag ...TI

existe des relations qui ne sont ni symtriques, niasymtriqnes, mais qui satisfont a la condition:[[]x.y(xRy < yRxW. On les appelle des relations no nsymtriques. Soit comme exemple la relation d'affection:i l es t des cas ou x aime y et ou y aime x, mais i l est aussides cas ou x aime y, mais ou y n'aime pas x. Un rapportest transitif toujours et seulement si n x.lI.z(xRyyRz , ou encore:pour tout x, si x est un ..LH, alors x est un N)}; 01' danachacune de ces trois dernieres nonciations quivalentesne figurent exclusivement que des noms d'individus, 011des variables parcourant la gamme des noms d'individus.Exemple d'application: l'nonciation: la classe des horlogesest incluse dans la classe des instrmnents', comporte desnoms de classe


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316 LA PHILOSOPHIE DE L.A. LOGIQUE

de y, 2) pom' tout z, si z est un M, alors z est identiquea x on bien z est identique a (2). Toutefois les difficultss'accroissent chaque foia qu'apparaissent dans les formulesce que l'on appelle les noms dsignant les classes de classes

ou les classes de relations, etc. Dans ce cas-la, la rductionristique n'est ene ore qu'un programme. eorome exemplede polmique a notre avis victorieuse, mene des positionsdu risme, nous pouvons citer les dmonstrations deDubislav.touchant a la queatioll des dfinitions dites parabstraction (3). Dubislav considere qu'il n'est pas possible,lorsqu'on caractrise ce type de dfinition, de se contenterde dclarel' qu'elle dsigne une


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318 LA PHILOSOPHIE DE LA LOGIQUE

substitutions concretes aient ce caractere, i l est impossibled'en douter. Afin de se convaincre de la vrit de la proposition: tout chat noir es t noir, i l n'est pas neessaired'observer des chats noirs; le faire ne servirait a rien et

serait inadquat pou!' qui ehercherait a fonder la vritlogique nongant que pour tout A et tout B, tout AB est B,thoreme (ou plus prcisment, fonction propositionnellecorrecte incluse dans ce thoreme: tout AB est B) dont laproposition sur les ehats noirs est une substi tntion concrete.

Sur quoi d'autrepeut done porter le d i f f r e n d ~Larponse a cette question est donne pa r les polmiques enoours sur le caractere empirique ou a priori des thoremesde la logique. Nons estimons que ces controverses pourraient cesser si l'on acceptait de respecter avec toutes sesconsquences la diffrenee entre les deux acceptions duterme empirique)) .Au sens mthodologique, est empiriquetont thoreme et tel thoreme seulement qui exige entant que justification, pour tre dmontr, des donnesde l'observation externe o u de l'introspection. Pa r contre,au sens gntique, est empirique tout thoreme et telthoreme seulement qui, pour tre compris et admis,comporte comme condition indispensable l'excution pralable de telles et non telles autres observations externeson introspectives. 01' i1 est absolument hors de doute quetoute proposition comprhensible est empirique danacette seconds acception, et i l est galement clair que lestheses logiques, en tant qu'analytiques, ne sont pas empiriques au sens mthodologique. Si, a prsent, nous faisonsdpendre, des deux acceptions diffrencies ci-dessus de ~l'empirisme, les nuances correspondantes du sens del'expression: apriori; alors, sans hsiter, nous reeonnaitronsau x theses logiques un earactere a priori au sens mthodologique, et nous le leur refuserons au sens gntique.Nons n'encourageons personne, toutefois, a user du termeapriorique), et ce en raison de ses implications indirectesqui dcoulent des hypotbeses avances par certains pen-

LA PHILOSOPHIE DE LA LOGIQUE 319

seurs au cours de l'histoil'e de la philosophie, sur l'exis tencede sourees mystl'ieuses du savoir bumain, nullement conditionnes pa r la moindre exprienee.

5. Les matbmatiques et la logique

Le dernier probleme, enfn, que nous youIons soulever,est celui des rapports entre la logique forrnelle et lesmathmatiques. Qu'y a-t-il ici d ' i n c o n t e s t a b l e ~L'antipsychologisme a mis en lumiere le fait que le caracterepsychologique des thOI'emes de la logique formelle es tune apparence trompeuse, aussi la diffrence entre lalogique et les lnathmatiques est-elle apparue illusoire.La logique formelle a commenc a s'panouir des l'instant

ou l'on s'est mis a a traiter comme une sorte particuliered'algebre. Le concept de quantit numrique (de puissance,de nombre cardinal) d'un ensemble a t dfini en termesde logique. On a galement dfini en termes de logique lesconcepts des nombres 1, 2,3, etc., et l'on a montr commentdfinir de la sorte n'importe quel nombre naturel arbitrairement choisi (6). Si, en derniere analyse, toute these dematbmatiques est une these arithmtique, et si les termes:ensemble, classe, relation, sont des termes de logique, uneseme chose, sans doute, s'oppose al'ide que tout thoremede mathmatiques puisse tre exprim en termes exclusivement logiques, et fond a partir d'axiomes exclusivementlogiques. En e.ffet, les spcialistes esti ment en gnral qu'ilest indispensable d'adjoindre au x axiomes de la logiquel'axiome spcifiquement mathmatique de l'infinit, quiaffirme l'existence d'un nombre infini d'objets (7).

(6) Cf. chapitre XXVII du prsent ouvrage.(7) C. A. TARSKI, Introd1.wtionto Logic ... , p. 81. Trad. franQ. p. 71.

leçons sur l'histoire de la logique

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