lecture 6

DZCE NVERSTES TEKNOLOJ FAKLTES ELEKTRK-ELEKTRONK MHENDSL BLM

EET107 ELEKTRK-ELEKTRONK MHENDSLNE GR

Dr. Uur HASIRCI

KONTROL SSTEMLER 1

Elektrik Mhendislii

Elektrik Makinalar G Sistemleri (Elektrik Tesisleri) Kontrol Sistemleri

Elektronik Mhendislii

Devreler ve Sistemler Haberleme Sistemleri Elektromanyetik Alanlar ve Mikrodalga Teknii Elektronik(Yariletken Teknolojisi, Analog-Saysal Elektronik, Lazer Elektronii, G Elektronii vs.)



Dr. Uur HASIRCI

2

KONTROL SSTEMLER Bir sistemi kontrol etmek, herhangi bir insan mdahalesi olmakszn, o sistemin evresel artlar ne olursa olsun nceden belirlenmi bir takm performans kriterlerini yerine getirecek ekilde almasn salamak demektir.

rnein ekildeki gibi vin motoru olarak kullanlan bir elektrik motorunun hznn kontrol edildiini dnelim. Bu motorun hznn kontrol edilmesi demek, kaldrd cismin ok hafif olmas durumunda da, ok ar olmas durumunda da cismi ayn hzla kaldrmas demektir.

KONTROL SSTEMLER



Dr. Uur HASIRCI

3

Herhangi bir anda motorun milinde ok byk bir yk olabilir. Bu da motorun hznda bir de neden olabilir. Byle anlarda kontrol sistemi, motora uygulanan gerilimi artrarak motorun hzn artrr ve yeniden arzu edilen deere (rnein 1500 devir/dakika) getirir. Bu rnekte; Kontrol Edilen Sistem : Motor Kontrol Giri Deikeni : Uygulanan Gerilim Kontrol k Deikeni : Motorun Hzdr. Esasen bu tanm ve rnek, dorudan Otomatik Kontrol kavramnn tanmdr. Yani kontrol sistemi, motorun hzn (insan etkisi olmadan) otomatik olarak ayarlar. KONTROL SSTEMLER



Dr. Uur HASIRCI

4

imdi de ekildeki gibi bir uydunun pozisyonunun kontrol edildiini dnelim. Uzaya frlatlan bir uydunun, yerdeki bir referans noktas ile belirli bir a yapacak konumda olmas istenir (rnein =45). Eer herhangi bir harici etki sebebiyle uydu hareket eder ve a 45 dereceden farkl bir deer alrsa, kontrol sistemi uyduya uygulanan momenti (tork - T) ayarlayarak, uydunun yeniden referans noktas ile ayn ay yapmasn salar. Bu rnekte; Kontrol Edilen Sistem : Uydu Kontrol Giri Deikeni : Uygulanan Tork Kontrol k Deikeni Pozisyon.

KONTROL SSTEMLER



Dr. Uur HASIRCI

5

Bu rneklerden de anlayacamz zere, bir kontrol sisteminde en temel geler, u ekilde ifade edilebilir.

KONTROL SSTEMLER

Kontrol Edilen Sistem Kontrol Girii (Giri Deikeni) Kontrol k (k Deikeni)

Bu geler, blok diyagram eklinde aadaki gibi gsterilebilir:



Dr. Uur HASIRCI

6

Kontrol sistemlerine rnekler vermeye devam edelim. Yeni nesil otomobillerdeki Cruise Control Hz Sabitleme fonksiyonu, kontrol sistemlerine ilikin ok iyi bir rnektir. Src, otomobil belirli bir hzda iken (rnein 90 km/saat) hz sabitleme dmesine basar ve bu andan itibaren otomobil yoku da ksa, dz yolda da gitse, yoku da inse, ar rzgara da maruz kalsa (yani evresel artlar ne olursa olsun), srekli 90 km/saat hzla gider. Src ise hz ayarlamaya ilikin hibir ey yapmaz, otomobildeki hz kontrol sistemi, otomobilin hzn srcnn istedii deerde otomatik olarak tutar.

KONTROL SSTEMLER



Dr. Uur HASIRCI

7

Oda scakln ayarladmz deerde sabit tutan klimalar da kontrol sistemleri aklamak iin olduka kullanl bir rnektir. Oda scakl kullanc tarafndan kumanda ile rnein 22 dereceye sabitlenir ve bu andan itibaren dardaki hava souk da olsa scak da olsa, temiz hava gelmesi iin cam da alsa her trl evresel artlarda klimann iindeki kontrol sistemi, oda scakln 22 derecede tutar.

KONTROL SSTEMLER



Dr. Uur HASIRCI

8

Esasen tabiatta ok sayda doal kontrol sistemi de vardr. rnein insan vcudundaki pankreas bir doal kontrol sistemidir. Zira insan kanndaki eker konsantrasyonu artnca pankreas insulin salglayarak bu fazla ekeri s ve enerjiye dntrr ve kandaki eker konsantrasyonunu normal deerine getirir. Kandaki eker azalnca da bunu tekrar normal deerine getirir. Btn bunlar otomatik olarak yapar.

KONTROL SSTEMLER



Dr. Uur HASIRCI

9

Bir sistemi kontrol etmek iin, nce o sistemin matematiksel modelinin ortaya konulmas gerekir. Tabiattaki tm dinamik sistemler Diferansiyel Denklemler ile modellenir. Daha sonra bu diferansiyel denklem modeli, kontrolr tasarm iin ok daha kullanl bir forma dntrlr. Bu dnm iin iki yaklam sz konusudur: 1. Frekans Domeni Yaklam (Klasik Yaklam): Sistemi modelleyen

diferansiyel denklem, Laplace Dnm yoluyla frekans domeninde ifade edilir.

2. Zaman Domeni Yaklam (Modern Yaklam): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Durum-Uzay Dnm yoluyla zaman domeninde ifade edilir.

imdi srasyla Diferansiyel Denklemler, Laplace Dnm ve

Durum Uzay Dnmnden bahsedelim.

KONTROL SSTEMLER



Dr. Uur HASIRCI

10

Diferansiyel Denklemler Tanm: y=f(x) eklinde bilinmeyen bir fonksiyon ve onun eitli mertebelerden trevlerini ieren denklemlere Diferansiyel Denklemler denir. Diferansiyel denklemler genel olarak,

KONTROL SSTEMLER

2 3

2 3, , , , ,............., 0

n

n

dy d y d y d yF x y

dx dx dx dx

Burada y deikeni, xe bal olarak deerler ald iin baml deiken olarak adlandrlr. x deikeni ise rastgele deer alabildii iin bamsz deiken olarak adlandrlr.



Dr. Uur HASIRCI

11

Mertebe: Bir diferansiyel denklemin mertebesi, o denklemdeki en yksek trevin mertebesidir. rnein diferansiyel denkleminde; Bamsz deiken: x Baml deiken: y Denklemin mertebesi: 2. rnein diferansiyel denkleminde; Bamsz deiken: t Baml deiken: x Denklemin mertebesi: 1.

KONTROL SSTEMLER

2

2

d y dyx

dx dx

5dx

xtdt



Dr. Uur HASIRCI

12

Derece: Bir diferansiyel denklemin derecesi, o denklemdeki en yksek mertebeden trevin ssdr. rnein diferansiyel denkleminde;

Bamsz deiken: x Baml deiken: y Denklemin mertebesi: 4 Denklemin derecesi: 3.

KONTROL SSTEMLER

3 54 2

4 24 0

2

d y d y dy x

dx dx dx



Dr. Uur HASIRCI

13

Bir Diferansiyel Denklemin zm: Bir diferansiyel denklemin zm, o denklemi salayan bir fonksiyondur. rne in fonksiyonunun, diferansiyel denkleminin bir zm olup olmadna bakalm (burada c1 ve c2 sabit saylardr);

KONTROL SSTEMLER

1 2( ) sin3 cos3y x c x c x 9 0y y

1 2 1 2

1 2

( ) sin3 cos3 ( ) 3 cos3 3 sin3

( ) 9 sin3 9 cos3

y x c x c x y x c x c x

y x c x c x

iin elde ettiimiz bu ifadeyi ve y(x) ifadesini, verilen diferansiyel denklemde yerine koyup, denklemin salanp salanmadna bakalm:

( )y x

1 2 1 29 0 9 sin3 9 cos3 9 sin3 cos3 0y y c x c x c x c x Denklem saland iin, fonksiyonu, verilen diferansiyel denklemin bir zmdr denir.

1 2( ) sin3 cos3y x c x c x



Dr. Uur HASIRCI

14

rnein fonksiyonunun, diferansiyel denkleminin bir zm olup olmadna bakalm;

KONTROL SSTEMLER

2( ) 1y x x 4 2 1y y

2( ) -1 ( ) 2y x x y x x

iin elde ettiimiz bu ifadeyi ve y(x) ifadesini, verilen diferansiyel denklemde yerine koyup, denklemin salanp salanmadna bakalm:

( )y x

?24 42 2

4 4 2 4 2

1 2 1 1

16 2 1 17 2 1 1

y y x x

x x x x x

Denklem salanmad iin, fonksiyonu, verilen diferansiyel denklemin bir zm deildir denir.

2( ) 1y x x



Dr. Uur HASIRCI

15

Not: Bir diferansiyel denklemi zmek demek, o denklemi salayan fonksiyonu bulmak demektir. Baz diferansiyel denklemlerin zm olmayabilir. Eer bir zm varsa bile, btn diferansiyel denklemlerin zmn bulmak iin genel bir yntem/algoritma henz gelitirilememitir. Belli baz tr denklemler iin, o denklem trne zg zm yntemleri gelitirilmitir ve halen de gelitirilmektedir.

KONTROL SSTEMLER



Dr. Uur HASIRCI

16

Dorusallk (Lineerlik): Eer bir diferansiyel denklemde, 1. Baml deiken ve onun tm trevlerinin ss 1 ise, 2. Herhangi bir terimde baml deiken ve onun trevlerinin arpm yoksa, 3. Herhangi bir terimde, baml deikenin sins fonksiyonu, stel fonksiyon gibi dorusal olmayan fonksiyonlar yoksa, bu diferansiyel denklem lineerdir (dorusaldr) denir. Bu artlardan herhangi biri salanmyorsa, o diferansiyel denklem nonlineer (dorusal olmayan) denklemdir.

KONTROL SSTEMLER



Dr. Uur HASIRCI

17

r: Aada verilen diferansiyel denklemlerin bamsz deikenini, baml deikenini, mertebesini, derecesini ve dorusal olup olmadn belirtiniz. 1.

KONTROL SSTEMLER

2

2

d y dyx

dx dx

Bamsz deiken: x Baml deiken: y Mertebesi: 2 Derecesi: 1 Dorusallk: 3 art da salyor, dorusal (lineer).

2

0y y x Bamsz deiken: x Baml deiken: y Mertebesi: 1 Derecesi: 2

2.

Dorusallk: lk terimde baml deikenin karesi var. Nonlineer.



Dr. Uur HASIRCI

18 KONTROL SSTEMLER

Bamsz deiken: t Baml deiken: z Mertebesi: 2 Derecesi: 1

1sin( )y y

x Bamsz deiken: x

Baml deiken: y Mertebesi: 3 Derecesi: 1

4.

Dorusallk: kinci terimde baml deikenin dorusal olmayan bir fonksiyonu var. Nonlineer.

3. 0dz

z z tdt

Dorusallk: kinci terimde baml deikenin ile trevinin arpm var. Nonlineer.



Dr. Uur HASIRCI

19 KONTROL SSTEMLER

Bamsz deiken: x Baml deiken: y Mertebesi: 3 Derecesi: 1

3x dye y xdx

Bamsz deiken: x Baml deiken: y Mertebesi: 1 Derecesi: 1

6.

Dorusallk: Dorusal

5.

Dorusallk: Bamsz deikenin nonlineer terimleri, denklemi nonlineer yapmaz. Bu nedenle bu denklem lineerdir.

1sin( )y x

x



Dr. Uur HASIRCI

20

imdi sistemlerin diferansiyel denklem modellerine rnekler verelim. nce ekilde grlen seri RL devresine bakalm. Bu devreyi sistem yaklam iinde incelersek, Sistem Giri Deikeni: Uygulanan gerilim (v) Sistem k Deikeni: Devrede dolaan akm (i) olacaktr. imdi Kirchhoffun Gerilimler Yasasn kullanarak devre denklemini yazalm:

KONTROL SSTEMLER

diL Ri vdt

v Grld gibi bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemin bamsz deikeni t, baml deikeni i, mertebesi ve derecesi 1 dir. Denklem lineer olduu iin, bu denklem ile modellenen sistem de lineer bir sistemdir.

i



Dr. Uur HASIRCI

21

Baka bir rnek olarak, ekildeki gibi Ktle-Yay-Damper sistemini ele alalm. Esasen bu sistem, otomobillerdeki sspansiyon sisteminin bir modelidir. m ktleli bir otomobil, herhangi bir ukurdan/tmsekten getiinde belli bir F kuvvetine maruz kalr. Bu kuvveti otomobilin iindeki yolcularn daha az hissetmesi iin gerilme katsays k olan bir yay ve snmlme katsays c olan bir damper, bu kuvveti sndrmeye alrlar. Araba ise dey eksende x kadar yer deitirir. Bu sistemde Sistem Giri Deikeni: Uygulanan Kuvvet (F) Sistem k Deikeni: Yer deitirme (x)

KONTROL SSTEMLER

F



Dr. Uur HASIRCI

22

Bu sistemin diferansiyel denklem modelini oluturalm. Newtonun ikinci kanununa gre;

KONTROL SSTEMLER

F

2

2

2

2

F ma

d xF cx kx m

dt

d x dxm c kx F

dt dt

Grld gibi bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemin bamsz deikeni t, baml deikeni x, mertebesi 2 ve derecesi 1 dir. Denklem lineer olduu iin, bu denklem ile modellenen sistem de lineer bir sistemdir.



Dr. Uur HASIRCI

23

Aslnda burada elde ettiimiz model, belirli kabullerle (varsaymlarla) elde edilen bir modeldir. Yani modeli olutururken, analizi ve tasarm zorlatracak bir takm unsurlar ihmal edilir. Somut rnek vermek gerekirse, bu Ktle-Yay-Damper sisteminde, hem damperin hem de yayn daha gereki kuvvet denklemleri kullanlrsa, bu sistemin dinamik modeli

KONTROL SSTEMLER

F

3

0 1mx cx x k x k x F

eklinde olur. Grld gibi bu sistemi modelleyen daha gereki diferansiyel denklem lineer deil nonlineerdir. Dolaysyla bu sistem bir dorusal olmayan (nonlineer) sistemdir.



Dr. Uur HASIRCI

DEVRE TEORS 24

Daha nce Devre Teorisi dersinde bu konudan ksaca bahsetmitik ve aslnda tabiatta lineer sistem olmadn, her sistemin belli bir lden sonra nonlineer davran gsterdiini, ancak belirli yaklam ve ihmallerle dorusal olmayan baz sistemlerin, dorusal bir sistem gibi modellenebileceini ve bylelikle sistemin analizinin kolaylaacan sylemitik. imdi bir sistemin dorusal olup olmadn nasl test ettiimizi hatrlayalm:



Dr. Uur HASIRCI

DEVRE TEORS 25

Sperpozisyon Teoremi Sperpozisyon prensibi, bir sistemin lineer (dorusal) olup olmadn test etmek iin kullanlr. ncelikle sperpozisyon prensibinden balayalm: Herhangi bir sisteme x1 girii uygulandnda sistemin tepkisi (k) y1, farkl bir x2 girii uygulandnda ise sistem k y2 olsun. olmak zere, sisteme ax1 girii uygulandnda sistem k ay1, ve sisteme ax1+bx2 girii uygulandnda sistem k ay1+by2 oluyorsa, bu sistem lineerdir denir.

,a b

Sistem x1 y1

Sistem x2 y2

Sistem ax1

Sistem ax1+ bx2

ay1

ay1+ by2

Toplamsallk ilkesi

arpmsallk ilkesi



Dr. Uur HASIRCI

DEVRE TEORS 26

Sperpozisyon prensibine uyan sistemler lineer sistemlerdir. Ancak pratikte tabiatta lineer sistem yoktur! Mekanik, elektriksel, biyolojik, sosyal, kltrel vs. btn sistemler gerekte lineer olmayan (nonlinear) sistemlerdir. Lineer sistemler, tabiattaki gerek sistemlerin analizinin daha kolay yaplabilmesi iin retilmi teorik modellerdir. Zira lineer sistemlerin analizi olduka basittir ve gnmze kadar lineer sistemlerin analizi ve tasarm iin ok sayda gl ve kullanl yntem gelitirilmitir. Lineer olmayan sistemlerin analizi ve tasarm ise grece daha zordur. Gnmzde hala lineer olmayan sistemlerin analizi ve tasarm iin gl, kullanl, sihirli yntemler gelitirilememitir. Herhangi bir sistemin lineer ya da lineer olmayan modellerden hangisi seilerek ele alnaca, tasarmcnn vermesi gereken nemli bir karardr. Kimi basit sistemlerde, sistem modelinin lineer olmayan ksmnn ihmal edilmesi ok fazla bir hataya sebep olmaz. Ancak daha karmak sistemlerde (rnein bir hava tat) sistem modelinin dorusal olmayan ksmlarnn ihmal edilmesi ya da analitik/nmerik/istatistik yntemlerle sistem modelinin lineerletirilmesi, uan okyanusa aklmasna neden olur ki tarihte rnekleri vardr. Btn bu aklamalardan, lineer sistem modellerinin ve lineer analiz yntemlerinin ie yaramaz olduu sonucu kmaz!



Dr. Uur HASIRCI

27

Daha nce bir sistemi kontrol etmek iin, nce o sistemin matematiksel modelinin ortaya konulmas gerektiini, tabiattaki tm dinamik sistemlerin Diferansiyel Denklemler ile modellendiini, sonra bu diferansiyel denklem modelinin, kontrolr tasarm iin ok daha kullanl bir forma dntrldn sylemitik. Bu dnm iin iki yaklam sz konusudur: 1. Frekans Domeni Yaklam (Klasik Yaklam): Sistemi modelleyen

diferansiyel denklem, Laplace Dnm yoluyla frekans domeninde ifade edilir. Bu yaklam sadece dorusal sistemlere uygulanabilir.

2. Zaman Domeni Yaklam (Modern Yaklam): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Durum-Uzay Dnm yoluyla zaman domeninde ifade edilir. Bu yaklam hem dorusal, hem de dorusal olmayan sistemlere uygulanabilir.

imdi srasyla Laplace Dnm ve Durum Uzay Dnmnden

bahsedelim.

KONTROL SSTEMLER



Dr. Uur HASIRCI

28

Laplace Dnm Matematiksel adan, bir sistemi kontrol etmek demek, o sistemi modelleyen diferansiyel denklemin zmn belli bir deere/blgeye zorlamak demektir. rnein otomobillerin Ktle-Yay-Damper ile modellenen sspansiyon sisteminde, araba bir ukur ya da tmsekten getiinde x yerdeitirmesinin mmkn olduunca az (hatta sfr) olmas istenir. Benzer ekilde RL devresinde de akmn, istenilen belli bir deeri almas istenir. Ancak diferansiyel denklemlerden bahsederken de vurguland gibi, bir diferansiyel denklemin zmn bulmak, her zaman ok kolay olmamaktadr.

KONTROL SSTEMLER

F

i



Dr. Uur HASIRCI

29

Fransz matematiki ve astronom Pierre Simon Laplace, 1809 ylnda daha sonra kendi adyla anlacak olan Laplace Dnm yntemini nermitir. Bu yntem, diferansiyel denklemlerin zmne alternatif bir yntem nermekte ve trev/integral ieren diferansiyel denklemleri, birer cebirsel denkleme dntrmektedir. Bylece denklemin zm ok daha kolay olmaktadr.

KONTROL SSTEMLER

Laplace dnm sadece lineer diferansiyel denklemlere uygulanabilir. Dolaysyla, tabiattaki sistemlerin sadece lineer olanlar bu dnm yoluyla analiz edilebilir.



Dr. Uur HASIRCI

30

Laplace Dnm: Zaman domenindeki (yani bamsz deikeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dnm F(s) ile gsterilir ve u ekilde hesaplanr:

KONTROL SSTEMLER

Burada Laplace dnm operatr, s ise s=+j eklinde reel bileenine ve imajiner (frekans) bileenine sahip bir kompleks saydr. imdi baz temel fonksiyonlarn Laplace dnmn hesaplayalm.

0

( ) ( ) ( ) stf t F s f t e dt



Dr. Uur HASIRCI

31

r: f (t)=C (C sabit)

KONTROL SSTEMLER

Yani C gibi bir sabitin Laplace Dnm C/s dir.

0 0

00

( ) ( ) ( )

1

st st

st st

t

f t C F s f t e dt Ce dt

CC e dt C e

s s

C

Cs



Dr. Uur HASIRCI

32

r: f (t)=t

KONTROL SSTEMLER

Yani f (t)=t fonksiyonunun Laplace Dnm

0 0

2

0 0

( ) ( ) ( )

1 1

st st

st st

t

f t t F s f t e dt te dt

t e e dts s

21

ts

1 stst

dt dut u

e Ve dt dVs



Dr. Uur HASIRCI

33

Kontrol sistemlerinde yaygn olarak karlalan baz temel fonksiyonlarn Laplace dnm, Laplace Dnm Tablosu ad verilen tablolarda zetlenmitir.

KONTROL SSTEMLER

F(s)



Dr. Uur HASIRCI

34

Laplace Dnm Teoremleri: 1. Trev Teoremi: Zaman domenindeki (yani bamsz deikeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun zamana gre trevini almak, o fonksiyonun Laplace Dnm olan F(s) ile sin arpmna eittir.

KONTROL SSTEMLER

Burada f(0), f(t) fonksiyonunun t=0 anndaki deeridir.

( ) ( ) (0)d

f t sF s fdt

2. ntegral Teoremi:

0

1( ) ( )

t

f t F ss



Dr. Uur HASIRCI

35

3. Son Deer Teoremi: Zaman domenindeki (yani bamsz deikeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun, zaman sonsuza giderken alaca deer, o fonksiyonun Laplace Dnm olan F(s) ile s ile arpmnn, s sfra giderken limitine eittir.

KONTROL SSTEMLER

0

lim ( ) lim ( )t s

f t sF s

4. Balang Deer Teoremi: Zaman domenindeki (yani bamsz deikeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun, zaman sfra giderken (yani balangta) alaca deer, o fonksiyonun Laplace Dnm olan F(s) ile s ile arpmnn, s sonsuza giderken limitine eittir.

0

lim ( ) lim ( )t s

f t sF s



Dr. Uur HASIRCI

36

Laplace Dnmnn zellikleri:

KONTROL SSTEMLER

1 2 1 2

1 2 3

( ) ( ) ( sabit)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (0) (0) (0) ......

( ) ( )

nn n n n

n

at

Af t AF s A

f t f t F s F s

df t s F s s f s f s f

dt

e f t F s a



Dr. Uur HASIRCI

37

r: Bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dnm,

KONTROL SSTEMLER

1

( ) ( )( 1)

f t F ss s

olarak veriliyor. Buna gre f(t) fonksiyonunun zaman sonsuza giderken alaca deeri bulunuz. C: Son Deer Teoremine gre;

0 0

1lim ( ) lim ( ) lim 1

( 1)t s sf t sF s s

s s

Bu sonucun salamas kolaylkla yaplabilir. Zira soruda verilen F(s), zaman domenindeki f(t)=1-e-t fonksiyonunun Laplace dnmdr ve zaman sonsuza giderken bu fonksiyonun alaca deer 1 dir.



Dr. Uur HASIRCI

38

r: Bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dnm,

KONTROL SSTEMLER

2( ) ( ) 1s

f t F ss

olarak veriliyor. Buna gre e-3tf(t) fonksiyonunun Laplace Dnmn bulunuz. C: Laplace dnmnn zelliklerinden sonuncusuna gre;

Bu sonucun salamasn yapabilir misiniz?

3

2

( ) ( )

3( ) ( 3)

3 1

at

t

e f t F s a

se f t F s

s



Dr. Uur HASIRCI

39

r: Daha nce ktle-yay- damper sisteminin diferansiyel denklemini

KONTROL SSTEMLER

F

( )mx cx kx F t

olarak elde etmitik. Bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemi kullanarak, sistem modelini frekans domeninde yaznz. Tm balang koullarn sfr kabul ediniz.

C: Her iki tarafn Laplace Dnm alnrsa

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

ms X s csX s kX s F s

ms cs k X s F s



Dr. Uur HASIRCI

40

r: Daha nce ekildeki RL devresinin diferansiyel denklemini

KONTROL SSTEMLER

diL Ri vdt

v

i

olarak elde etmitik. Bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemi kullanarak, sistem modelini frekans domeninde yaznz. Tm balang koullarn sfr kabul ediniz.

C: Her iki tarafn Laplace Dnm alnrsa

( ) ( ) ( )

( ) ( )

LsI s RI s V s

Ls R I s V s



Dr. Uur HASIRCI

41

Transfer Fonksiyonu ve Blok Diyagramlar: Daha nce bir sistemi kontrol etmek iin, nce o sistemin matematiksel modelinin ortaya konulmas gerektiini, tabiattaki tm dinamik sistemlerin Diferansiyel Denklemler ile modellendiini, sonra bu diferansiyel denklem modelinin, kontrolr tasarm iin ok daha kullanl bir forma dntrldn sylemitik. Bu dnm iin iki yaklam sz konusuydu: Frekans Domeni Yaklam ve Zaman Domeni Yaklam. Frekans domeni yaklamnda, sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Laplace Dnm yoluyla frekans domeninde ifade edilir ve sistem giri ile k arasnda bir Transfer Fonksiyonu tanmlanr. Daha sonra bu Transfer Fonskiyonu; kontrolr tasarm, kararllk ve performans analizleri gibi eitli amalar iin kullanlr. Transfer Fonksiyonu, lineer bir sistemde, tm balang koullar sfr kabul edilmek artyla, sistem girii ile sistem k arasndaki matematiksel ilikinin Laplace dnmdr. Yani frekans domeninde sistem knn sistem giriine orandr.

KONTROL SSTEMLER



Dr. Uur HASIRCI

42

rnek olarak, tekrar ekilde grlen seri RL devresine bakalm. Bu devreyi sistem yaklam iinde incelersek, Sistem Giri Deikeni: Uygulanan gerilim (v) Sistem k Deikeni: Devrede dolaan akm (i) olacaktr. Devre denklemi;

diL Ri vdt

v

Bu denklemin Laplace dnm: i

( ) ( )Ls R I s V s

Bu durumda transfer fonksiyonu:

( ) 1

( )

I s

V s Ls R



Dr. Uur HASIRCI

43

r: Ktle-yay- damper sisteminin transfer fonksiyonunu elde edelim:

KONTROL SSTEMLER

F

( )mx cx kx F t

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

ms X s csX s kX s F s

ms cs k X s F s

2

( ) 1

( )

X s

F s ms cs k



Dr. Uur HASIRCI

44

imdi de ekildeki gibi bir uydunun pozisyonunun kontrol edildii sistemin transfer fonksiyonunu elde edelim.

Kontrol Edilen Sistem : Uydu Kontrol Giri Deikeni : Uygulanan Tork

Kontrol k Deikeni Pozisyon. Newtonun ikinci yasas dairesel olarak hareket eden sistemlere uygulanrsa

KONTROL SSTEMLER

2

2

2

2

( ) ( )

( ) 1

( )

T J

dT J

dt

T s Js s

s

T s Js

J : Eylemsizlik T : Uygulanan Tork



Dr. Uur HASIRCI

45

Elde edilen bu transfer fonksiyonu, blok diyagram formunda u ekilde gsterilebilir:

KONTROL SSTEMLER

2

( ) 1

( )

s

T s Js

2

1

Js

( )T s ( )s

Giri Transfer Fonksiyonu

k



Dr. Uur HASIRCI

46

Blok diyagramlar, bir sistemdeki bileenlerin her birinin ilevinin ekilsel olarak gsterimidir. Kontrol sistemleri genellikle ok sayda bileenden oluur. Blok diyagramlar, karmak kontrol sistemlerinde her bir bileenin ilevini gstermek asndan ok kullanldr. Yukarda olduka basit bir sistemin blok diyagram gsterilmektedir. Bu sistemde uygulanan tork Giri, uydunun pozisyonu ise k deikenidir. Oklarn ynne dikkat edilirse, blok diyagramlarn sadece bir ekilsel gsterim olmad ve kendi iinde bir cebir barndrd anlalabilir.

KONTROL SSTEMLER

2

( ) 1

( )

T s

s Js

2

1

Js

( )T s ( )s

2

1( ) ( )s T s

Js



Dr. Uur HASIRCI

47

rnein aadaki gibi kaskat bal iki bloktan oluan bir blok diyagramda;

KONTROL SSTEMLER

1 2( ) ( ) ( ) ( )C s T s T s U s

( )C s1( )T s 2 ( )T s

( )U s



Dr. Uur HASIRCI

48

Ktle-yay- damper sisteminin blok diyagramn oluturalm:

KONTROL SSTEMLER

F

2

( ) 1

( )

X s

F s ms cs k

2

1

ms cs k

( )F s ( )X s



Dr. Uur HASIRCI

49

v

i

( ) 1

( )

I s

V s Ls R

1

Ls R

( )V s ( )I s

Aslnda yukardaki blok diyagram, bir Ak evrim Kontrol Sistemine ilikin blok diyagramdr. Ak evrim kontrol sistemlerinde, sistem knn gerekten istenen deerde (referans deerde) olup olmadn tehis etmek iin sistem k ile referans deer karlatrlmaz. Yukarda elde edilen dinamik model kullanlarak, sistem knn (akmn) istenen bir deerde olmasn salayacak giri (gerilim) deeri belirlenerek sisteme uygulanr. Ancak bu sistem dinamik bir sistemdir ve eitli sebeplerden akm, istenen deerden sapabilir. Byle bir durumda kontrol amac hassas bir ekilde gerekletirilemeyebilir.

RL devresinin transfer fonksiyonu:



Dr. Uur HASIRCI

50

rnek bir tasarm yapalm. Bu RL devresinde gerilimin zamana gre deitiini dnelim.

KONTROL SSTEMLER

( )di

L Ri v tdt

v(t)

i

Bu durumda

( ) ( ) ( )

( ) ( )

LsI s RI s V s

Ls R I s V s

( ) 1

( )

I s

V s Ls R



Dr. Uur HASIRCI

51 KONTROL SSTEMLER

v(t)

i

( ) 1

( )

I s

V s Ls R

Bu devreden dolaacak akmn, t zaman deikeni olmak zere, i(t)=te-t eklinde deimesini istiyoruz. Yani kontrol amacmz akm i(t)=te-t deerine srmek. Yukardaki devrede L=1 H ve R=1 alalm. Bu durumda transfer fonksiyonu;

( ) 1

( ) 1

I s

V s s

olur.



Dr. Uur HASIRCI

52 KONTROL SSTEMLER

Eer sistem knn, yani akmn, zaman domeninde, i(t)=te-t eklinde deimesini istiyorsak, akmn Laplace Dnm

2

1

1( ) 1 1 1 ( )

( ) 1 ( ) 1 1

sI sV s

V s s V s s s

olur. Elde ettiimiz transfer fonksiyonunda bu deeri yerine yazarsak

2

1( )

1I s

s

Yani elde ettiimiz transfer fonksiyonu bize unu sylyor: Eer sistem knn, yani akmn, zaman domeninde, i(t)=te-t eklinde deimesini istiyorsak, sistem giriinin, yani uygulanacak gerilimin, frekans domenindeki ifadesi V(s)=1/(s+1) olmaldr. O halde gerilimin zaman domenindeki ifadesi ne olmaldr?



Dr. Uur HASIRCI

53 KONTROL SSTEMLER

Laplace Dnm V(s)=1/(s+1) eklinde olan fonksiyon:

zetle, belirtilen kontrol amacn (yani devreden i(t)=te-t eklinde bir akm dolatrma amacn) yerine getirecek olan bu ak evrim kontrol sisteminin blok diyagram ekildeki gibidir:

Ak evrim kontrol sistemlerinde, yukarda bir rneini yaptmz ekilde, transfer fonksiyonunu kullanarak sistem knn arzu edilen bir deeri almas iin sistem giriinin deeri hesaplanr ve bu giri sisteme uygulanr. Ancak zaman getike akmn gerekten i(t)=te-t eklinde deiip deimedii lm yoluyla belirlenmez. Sair sebeplerle akm bu deerden saparsa, bu durumda arzu edilen deerle gerek deer arasnda, umulmadk bir hata oluabilir.

( ) tv t e

1

1s

1( )

1V s

s

2

1( )

1I s

s



Dr. Uur HASIRCI

54 KONTROL SSTEMLER

Bu ekilde bir olas problemin zm yolu, bir Kapal evrim (Geribeslemeli) Kontrol Sistemi kullanmaktr. Kapal evrim kontrol sistemlerinde, sistemin k srekli olarak referans deerle (yani istenen deerle) karlatrlp, aradaki farkn (yani hatann) sfr olup olmad belirlenir. Kontrolr, bu hata deerini sfra ekmek iin tasarlanr. Kapal evrim Kontrol Sistemlerinin blok diyagram aadaki gibidir.

IKI GR (REFERANS) HATA

KONTROL EDLEN SSTEM KONTROLR

ekilde grld gibi kapal evrim kontrol sistemlerinde, sistemin k bir sensr kullanlarak llmekte ve bir geribesleme yolu zerinden giri (referans) deeriyle karlatrlmakta ve hata hesaplanmaktadr. Kontrolr, bu hata deerini sfra srecek ekilde tasarlanr.

C(s) R(s) E(s) U(s)



Dr. Uur HASIRCI

KONTROL SSTEMLER

Hatrlanaca zere transfer fonksiyonunu, bir sistemin k ile girii arasndaki matematiksel ifadenin Laplace dnm olarak tanmlamtk. Bir ak evrim kontrol sisteminin transfer fonksiyonunu belirlemek gayet basit olacaktr:

Peki bir kapal evrim kontrol sisteminin transfer fonksiyonu nasl elde edilir? Hesaplamalarda kolaylk salamas asndan, kontrolr ve kontrol edilecek sistemin transfer fonksiyonlarn tek bir blok olarak ifade edelim:

( )T s( )R s ( )C s ( )

( )( )

C sT s

R s

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) 1 ( )

C s G s E s

E s R s C s

C s G s R s C s

C s G s G s R s

C s G s

R s G s



Dr. Uur HASIRCI

56

( ) ( )

( ) 1 ( )

C s G s

R s G s

Yukarda grlen sistem, birim geribeslemeli kapal evrim kontrol sistemi olarak adlandrlr. nk sistem k herhangi bir ek ileme tabi tutulmakszn referans deerle karlatrlmaktadr, yani geribesleme yolunda herhangi bir kazan yoktur. Aadaki sistemde ise k deikeni bir H(s) bloundan geirilerek giri sinyal ile karlatrlabilir. H(s) bazen bir sensrn kazanc olabilecei gibi, bazen de dorudan kontrolr olabilir.

G(s)

H(s)

Bu durumda ise kapal evrim transfer fonksiyonu:

( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

C s G s

R s G s H s

E(s)



Dr. Uur HASIRCI

r: ekildeki birim geribeslemeli sistemde, G(s) transfer fonksiyonu,

2

2( )

3 4

sG s

s s

a.

2

3 2

2 0.5 0.9( )

3 2 4

s sG s

s s s

b.

olarak verildiinde kapal evrim transfer fonksiyonunu bulunuz.

C: a. 22

2 2 2

2

2

( ) ( ) 2 3 4 23 42( ) 1 ( ) 3 4 4 6 4 6

13 4

s

C s G s s s s ss ssR s G s s s s s s s

s s

b. 2

3 2

( ) ( ) 2 0.5 0.9

( ) 1 ( ) 5 2.5 3.1

C s G s s s

R s G s s s s



Dr. Uur HASIRCI

r: Daha nce, pankreasn insan vcudunda bir doal kontrol sistemi gibi altn sylemitik. Eer kandaki eker konsantrasyonu belli bir deerin stne karsa, pankreas insulin salglayarak bu fazla ekeri s ve enerji yoluyla vcuttan atp, kandaki eker konsantrasyonunu normal deerine getiriyordu. Ancak sair sebeplerle pankreas hastalklarnn ba gstermesi, hastann fazla ekeri vcuttan atamamasna sebep olur ve bu ar eker konsantrasyonu ok sayda salk problemini beraberinde getirir. Bu problemlerin oluumunu nlemek iin, Biyomhendislik uzmanlar, Yapay Pankreas retmilerdir.

Yapay pankreas, en basit haliyle ekilde grld gibi, bir insulin pompas ve bir glikoz sensr ierir. Sensr, kandaki glikoz (eker) miktarn ler ve kablosuz haberleme yoluyla bu bilgiyi, insulin pompasnn iindeki kontrol sistemine gnderir. Kontrol sistemi , llen glikoz deeri ile referans glikoz deerini karlatrp, uygun miktarda insulini bir kateter yoluyla vcuda pompalar.



Dr. Uur HASIRCI

Aslnda bu sistemin dinamik modeli nonlineerdir ancak eitli yaklam ve kabullerle, bu sistemi temsil eden lineer bir model de retilebilir ve bu modelin blok diyagram ekildeki gibi gsterilebilir. Geribesleme yolu zerinde, kazanc 100 olan blok, kandaki glikoz miktarn len sensrn kndaki sinyalin ok zayf olmas nedeniyle bir op-amp yardmyla 100 kat ykseltilmesini temsil eder. imdi bu sistemin kapal evrim transfer fonksiyonunu bulalm.

E(s)

100

2

0.0267 0.0033

0.00278

s

s



Dr. Uur HASIRCI

E(s)

100

2

0.0267 0.0033

0.00278

s

s

2 2

0.0267 0.0033 0.0267 0.0033( )

0.00556 0.00000770.00278

( ) 100

( ) ( )...........

( ) 1 ( ) ( )

s sG s

s ss

H s

C s G s

R s G s H s



Dr. Uur HASIRCI

61 KONTROL SSTEMLER

Kutuplar ve Sfrlar: Bir sistemin transfer fonksiyonunun paydasn sfr yapan deerlere o sistemin kutuplar, payn sfr yapan deerlere ise o sistemin sfrlar denir. Kutuplarn ve sfrlarn s-dzlemindeki lokasyonu, o sistemin performansn tayin eder. rnek olarak aadaki basit transfer fonksiyonunu ele alalm:

( 2)( 5)( )

( 3)( 4)( 9)

s sT s

s s s

Bu sistemin sfrlar; 1

2

2

5

z

z

ve kutuplar; 1

2

3

3

4

9

p

p

p



Dr. Uur HASIRCI

62 KONTROL SSTEMLER

Kutuplar s-dzleminde birer iareti ile, Sfrlar ise s-dzleminde birer ile gsterilir. Bu rnekte verilen sistemin, s-dzleminin sa yar dzleminde 1 adet kutbu (3 noktasnda) ve s-dzleminin sol yar dzleminde ise iki adet kutbu (-4 ve -9 noktalarnda) vardr. Sfrlarn ise her ikisi de s-dzleminin sol yar dzlemindedir.

1

2

2

5

z

z

1

2

3

3

4

9

p

p

p

j

-9 -5 -4 -3 3



Dr. Uur HASIRCI

63 KONTROL SSTEMLER

r: Transfer fonksiyonu aada verilen sistemin kutuplarn ve sfrlarn bularak s-dzleminde gsteriniz.

1 5z

1

2

3

0

1 2

1 2

p

p j

p j

j

j2

25

( )2 5

sT s

s s s

-j2

0 -1 -5



Dr. Uur HASIRCI

64 KONTROL SSTEMLER

r: Blok diyagram aada verilen birim geribeslemeli sistemin kutuplarn ve sfrlarn bularak s-dzleminde gsteriniz.

100

( )2

G ss s



Dr. Uur HASIRCI

65 KONTROL SSTEMLER

KARARLILIK Kararllk, en zensiz ifadeyle, bir sistemde snrl bir giri iin sistem knn da snrl kalmasdr. Yani bir sisteme snrl bir giri uygulandnda sistem k da snrl kalyorsa, o sistem kararldr. Kararllk, kontrol sistemlerinde en nemli performans kriteridir.

( )T s



Dr. Uur HASIRCI

Kararllk kavramn grsel olarak anlatmak iin genellikle aada verilen rnek kullanlr.

Bir bilyenin en soldaki ekilde grlen konumda olduunu dnelim. Eer bu bilye, hafif bir kuvvet uygulamak suretiyle saa ya da sola doru hareket ettirilirse, tekrar eski konumuna dnecektir. Bu nedenle bu bilye kararl bir durumdadr. Yani snrl bir giri (uygulanan kuvvet) iin, sistem k (bilyenin yerdeitirmesi) snrl kalmtr.

imdi de bilyenin yukarda en solda grlen konumda olduunu dnelim. Bu bilyeye en ufak bir kuvvet uygulanmas bile bilyenin (bir engel tarafndan durdurulmad srece) snrsz yerdeitirmesine , yani sistem knn sonsuza gitmesine sebep olur. Bu nedenle bu bilye kararsz durumdadr



Dr. Uur HASIRCI

67 KONTROL SSTEMLER

Peki bir dinamik sistemin kararl olup olmad nasl test edilir? Tahmin edilecei zere o sistemin matematiksel modeli kullanlarak ! Tabiattaki tm dinamik sistemlerin Diferansiyel Denklemler ile modellendiini, sonra bu diferansiyel denklem modelinin, kontrolr tasarm iin ok daha kullanl bir forma dntrldn sylemitik. Bu dnm iin iki yaklam sz konusuydu: Frekans Domeni Yaklam ve Zaman Domeni Yaklam. Frekans domeni yaklamnda, sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Laplace Dnm yoluyla frekans domeninde ifade ediliyor ve sistem giri ile k arasnda bir Transfer Fonksiyonu tanmlanyordu. te bu transfer fonksiyonu, bize sistemin kararll hakknda bilgi verir.

Eer bir sistemin transfer fonksiyonunun

kutuplar s-dzleminin sol yar dzleminde ise, o

sistem kararldr. Neden?



Dr. Uur HASIRCI

68 KONTROL SSTEMLER

rnein aadaki ak evrim kontrol sistemini gz nnde bulunduralm.

1

( 1) 2s s

( )R s ( )C s

Bu sistemin kutuplar; 1

2

1

2

p

p

j

-2 1

Sistemin kutuplarndan bir tanesinin sa yar dzlemde olmas nedeniyle bu sistem kararszdr.



Dr. Uur HASIRCI

69 KONTROL SSTEMLER

imdi aadaki sistemin kararlln inceleyelim:

2

1

5 4s s

( )R s ( )C s

Bu sistemin kutuplar; 1

2

1

4

p

p

j

-4 -1

Sistemin kutuplarnn her ikisinin de sol yar dzlemde olmas nedeniyle bu sistem kararldr.



Dr. Uur HASIRCI

70 KONTROL SSTEMLER

Aadaki gibi tam j-ekseni zerinde kutbu bulunan sistemlere marjinal kararl sistemler denir. Marjinal kararl bir sistemde, snrl bir giri iin sistem k sonsuza gitmez (snrl kalr), ancak srekli ayn genlikte osilasyon yapar.

2

1

4s

( )R s ( )C s

j

j2

-j2



Dr. Uur HASIRCI

71 KONTROL SSTEMLER

www.roymech.co.uk



Dr. Uur HASIRCI

72 KONTROL SSTEMLER

Eer ekildeki gibi, sistemin hem j-ekseni zerinde kutuplar, hem de sa yar dzlemde bir kutbu varsa, sistemin kararll hakknda ne syleyebilirsiniz?

j

4

j2

-j2



Dr. Uur HASIRCI

73 KONTROL SSTEMLER

Eer ekildeki gibi, sistemin hem j-ekseni zerinde kutuplar, hem de sa yar dzlemde bir kutbu varsa, sistemin kararll hakknda ne syleyebilirsiniz?

j

-6

j5

-j5

lecture 6

Documents