lecture lagrange[1]
TRANSCRIPT
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
กฏของ Hamilton และ Lagrange’s Equationsกฏของ Hamilton และ Lagrange’s Equations
1 - บทนำ �ที่��ผ่�านมา เร์าได้�ศ�กษาถึ�งกฏของน�วต#น ซึ่��งสามาร์ถึน%ามาใช้�ในการ์ ที่%านายการ์เคล��อนที่�� ของว#ตถึ*ต�างๆ ในกร์ณี�ที่��ผ่-�ส#งเกตอย-�น��ง (หร์�อม�ความเร์/วคงที่��) จะได้�ว�า
m
Fa NET
กล�าวค�อ ความเร์�งของว#ตถึ*ใด้ๆ ข��นอย-�ก#บื้แร์งล#พที่�และมวลน#�นเอง ยกต#วอย�างเช้�น กล�องกร์ะด้าษที่��เล��อนลงมาตามพ��นลาด้ ด้#งจะเห/นในภาพที่�� (1.1)
gm
N kf
NETF
สมการ์ (1.1)
ภาพที่�� (1.1) ในขณีะที่��ว#ตถึ*ก%าล#งเล��อนลงมา ก/ย�อมม�ความเร์�ง ในที่�ศขนานก#บื้พ��นลาด้ หร์�ออ�กน#ยหน��ง
kfgmN
NETF
แบื้บื้ฝึ6กห#ด้ ถึ�ากล�องเร์��มเคล��อนที่��ด้�วยความเร์/วต�นเป็8นศ-นย� และส#มป็ร์ะส�ที่ธิ์�:ของแร์งเส�ยด้ที่านจลย�เป็8น จงที่%านายต%าแหน�งของกล�อง ณี เวลาใด้ๆ
k
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
gm
N kf
NETF
cosmgsinmg
x
y
2
2
1)( attx
cosmgN เน��องจากว#ตถึ*ไม�ม�การ์เคล��อนที่��ตามแนวแกน y
cosmgNf
โด้ยธิ์ร์ร์มช้าต�ของแร์งเส�ยด้ที่านน#�น แป็ร์ผ่#นตร์งก#บื้แร์ง N
cossin
cossinFNET
mg
mgmg
ด้#งน#�น แร์งล#พที่�ที่��กร์ะที่%าก#บื้ว#ตถึ*ค�อ
cossinm
Fa NET
g
ตามกฏของน�วต#น จะได้�ว�า
ต%าแหน�งของกล�อง ณี เวลาใด้ๆ ก/ค�อ 2cossin
2
1)( tgtx
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
ตามต#วอย�างข�างต�น จะเห/นว�า กลศาสตร์�ของน�วต#นน#�นม�ห#วใจส%าค#ญ ก/ค�อการ์หา แร์งล#พที่�ที่��กร์ะที่%าก#บื้ว#ตถึ*ใด้ๆ แต�ในบื้างกร์ณี� การ์ค%านวนหาแร์งล#พที่� อาจจะกร์ะที่%าได้�ล%าบื้าก ด้#งจะเห/นในภาพที่�� (1.2)
gm
1N
2N
ภาพที่�� (1.2) แสด้งการ์เคล��อนที่��ของกล�องในร์างที่��เป็8นเส�นโค�ง เน��องจากต#วกล�องม�จ*ด้ส#มผ่#สก#บื้ร์างอย-� 2 จ*ด้ แร์งที่��ต#วร์างกร์ะที่%าก#บื้กล�องจ�งม�ความซึ่#บื้ซึ่�อน อ�กที่#�งต#วร์างที่��โค�ง ที่%าให�ที่�ศที่างของแร์ง และ เป็ล��ยนแป็ลงไป็ตามต%าแหน�งของกล�อง
1N
2N
gm
1N
2N
เม��อการ์ค%านวนหาแร์งล#พที่�เป็8นไป็ด้�วยความล%าบื้าก กฏของน�วต#นตามสมการ์ที่�� (1.1) ในบื้างคร์#�งอาจไม�สามาร์ถึน%ามาศ�กษาการ์เคล��อนที่��ของว#ตถึ*ในร์ะบื้บื้น#�นๆได้�
เม��อการ์ค%านวนหาแร์งล#พที่�เป็8นไป็ด้�วยความล%าบื้าก กฏของน�วต#นตามสมการ์ที่�� (1.1) ในบื้างคร์#�งอาจไม�สามาร์ถึน%ามาศ�กษาการ์เคล��อนที่��ของว#ตถึ*ในร์ะบื้บื้น#�นๆได้�
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
กฏของ Hamilton เป็8นอ�กม*มมองหน��งที่��สามาร์ถึใช้�ในการ์ที่%านาย การ์เคล��อนที่��ของว#ตถึ* ได้�คล�ายๆก#บื้กฏของน�วต#น ซึ่��งที่#�ง 2 ที่ฤษฏ�น�� ม�ป็ร์ะว#ต�ความเป็8นมา ยาวนานไม�แพ�ก#น
อย�างไร์ก/ตาม กฏของ Hamilton น#�น นอกจากจะน%ามาใช้�ในแง�ของกลศาสตร์� กล�าวค�อ ว�าด้�วยการ์เคล��อนที่��ของอน*ภาค แล�วน#�น กฏของ Hamilton ย#งสามาร์ถึน%ามาป็ร์ะย*กต�ใช้�ในการ์ศ�กษาสาขาอ��นๆของฟิ�ส�กส� ยกต#วอย�างเช้�น Optics สนามแม�เหล/กไฟิฟิ>า ที่ฤษฏ�ส#มพ#ธิ์ภาพที่#�วไป็ quantum electrodynamics และอ��นๆ
Newton
ร์�เร์��ม Variational Calculus
1686
Johann and Jacob Bernoulli16
96
Euler1744
ขยายขอบื้เขต
Legendre1786
Lagrange1788
Hamilton1833
Jacobi1837
ต�อยอด้Marion Thornton, “Classical dynamics of particles and systems.” 4th edition.ภาพบื้*คคลส%าค#ญจาก Wikipedia
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2 – Hamilton Principleเพ��อที่��จะหากฏเกณีฑ์�ที่างฟิ�ส�กส�ที่��สามาร์ถึอธิ์�บื้ายป็ร์ากฏการ์ณี�ต�างๆ ของธิ์ร์ร์มช้าต�น#�น เร์��มมาต#�งแต�อด้�ต น#กว�ที่ยาศาสตร์�ม�แนวความค�ด้เก��ยวก#บื้ Minimum Principle กล�าวค�อ การ์เคล��อนไหวของสร์ร์พส��งน#�น เก�ด้จากการ์ที่��ธิ์ร์ร์มช้าต�พยามที่��จะที่%าให�ป็ร์�มาณีในที่างฟิ�ส�กส� ม�ค�าต%�าที่��ส*ด้ (หร์�อส-งที่��ส*ด้) ยกต#วอย�างเช้�น
(1) ล-กบื้อล พยามจะอย-�ในสถึานะที่��ม�พล�งง�นำ ต่ำ ��ท��สุ�ด
(2) น#กธิ์*ร์ก�จวางแผ่นการ์ตลาด้เพ��อให�ได้� ก �ไร สุ�งท��สุ�ด
(3) น#กเร์�ยนเด้�นจากต�กคณีะบื้ด้� ไป็ย#งต�กฟิ�ส�กส� โด้ยเล�อกระยะท�งที่�� สุ��นำท��สุ�ด
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2.1 – ก�รเคล��อนำท��ของแสุง ต่ำ�มแนำวค!ดของ Alexander มห�ร�ชพร์ะองค�ที่ร์งส#งเกตว�า ม*มสะที่�อนของแสงน#�น จะเที่�าก#บื้ม*มตกที่บื้ ซึ่��งป็ร์ากฏการ์ณี�ด้#งกล�าวน�� สามาร์ถึอธิ์�บื้ายโด้ยหล#กการ์ที่��ว�า การ์ที่��แสงเด้�นที่างจาก A ไป็ B โด้ยผ่�านกร์ะจกน#�น ม#นจะเล�อกเสุ$นำท�งที่��สุ��นำท��สุ�ดเสมอ
A
B
C
d
y
x
C
C
การ์บื้�าน (1.1a) ก%าหนด้ให�กร์ะจกวางในแนวแกน y ด้#งภาพ สมม*ต�ว�าแสงเร์��มเด้�นที่างออกจากจ*ด้ A กร์ะที่บื้ก#บื้กร์ะจกที่��จ*ด้ C และพ* �งมาย#งจ*ด้ B ตามล%าด้#บื้ จงพ�ส-จน�ว�า ร์ะยะที่างที่#�งหมด้ที่��แสงจะต�องเด้�นที่างน#�น ม�ค�าเป็8น 2
BC22
CA2 )()(S yydyyd
การ์บื้�าน (1.1b) จงพ�ส-จน�ว�า ร์ะยะที่าง S จะม�ค�าน�อยที่��ส*ด้ ก/ต�อเม��อ
2BA
C
yyy
กล�าวค�อ แสงจะตกกร์ะที่บื้ที่��
คร์��งที่างร์ะหว�าง A และ B ซึ่��งเป็8นเหต*ให�ม*มตกกร์ะที่บื้ และม*มสะที่�อนม�ค�าเที่�าก#นตามแนวค�ด้ของ Alexander แสงเล�อกที่��จะเด้�นตามเส�นที่างด้#งกล�าวน�� ก/
เพร์าะเป็8นร์ะยะที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้น#�นเองตามแนวค�ด้ของ Alexander แสงเล�อกที่��จะเด้�นตามเส�นที่างด้#งกล�าวน�� ก/เพร์าะเป็8นร์ะยะที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้น#�นเอง
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
A
B2
1
2.1 – ก�รเคล��อนำท��ของแสุง ต่ำ�มแนำวค!ดของ Fermatอย�างไร์ก/ตาม หล#กการ์ของ Alexander น#�น ไม�สามาร์ถึอธิ์�บื้ายการ์ห#กเหของแสงได้� ด้#งจะเห/นในภาพ ถึ�งแม�ว�า เส�นที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้จากจ*ด้ A ไป็ย#ง B น#�น ก/ค�อเส�นตร์งส�แด้ง
แต�ในความเป็8นจร์�งตามธิ์ร์ร์มช้าต�แล�ว แสงจะม�การ์ห#กเหเม��อม#นเด้�นที่างผ่�านร์อยต�อของว#สด้*ต�างช้น�ด้ก#น กล�าวค�อ แสงจะเด้�นที่างตามเส�นที่างส�เข�ยวน#�นเองFermat ม�แนวความค�ด้ที่��แตกต�างออกไป็ จาก Alexander กล�าว
ค�อ Fermat ค�ด้ว�าแสงจะเล�อกเด้�นที่างจากจ*ด้ A ไป็ย#งจ*ด้ B โด้ยเล�อกเสุ$นำท�งที่��ใช$เวล�นำ$อยท��สุ�ด
Fermat ม�แนวความค�ด้ที่��แตกต�างออกไป็ จาก Alexander กล�าวค�อ Fermat ค�ด้ว�าแสงจะเล�อกเด้�นที่างจากจ*ด้ A ไป็ย#งจ*ด้ B โด้ยเล�อกเสุ$นำท�งที่��ใช$เวล�นำ$อยท��สุ�ด
2n
1n
การ์บื้�าน (1.2) ถึ�าสมม*ต�ว�า ด้#ช้น�ห#กเหของแสงในต#วกลางที่#�งสองม�ค�าเป็8น n1 และ n2 ด้#งที่��เห/นในภาพ จงใช้�หล#กการ์ของ Fermat พ�ส-จน�ให�เห/นจร์�งว�า
ซึ่��งสมการ์ข�างต�นน�� เป็8น สมการ์การ์ห#กเหของแสงตามกฏของ Snell น#�นเอง
2211 sinsin nn
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
C (xC,0)
B (xB,yB)
A (xA,yA)
2
11n
2n
ความเร์/วของแสงในต#วกลางเที่�าก#บื้
11 n
cv
ร์ะยะที่าง AC เที่�าก#บื้ 22ACA yxx
ก%าหนด้ให�แสงเด้�นที่างผ่�านจ*ด้ ACB โด้ยสมม*ต�ว�าเร์าย#งไม�ที่ร์าบื้แน�ช้#ด้ว�า จ*ด้ C ค�อต%าแหน�งใด้ก#นแน� จ�งให�เป็8นต#วแป็ร์ที่��เป็ล��ยนค�าได้�
ด้#งน#�น เวลาที่��แสงใช้�ในการ์เด้�นที่างในร์ะยะ AC เที่�าก#บื้
221ACA yxx
c
n
ในร์ะยะ CB เที่�าก#บื้
222BBC yxx
c
n
222221T BBCACA yxxc
nyxx
c
nซึ่��งร์วมเป็8นเวลา
ที่#�งหมด้จะเห/นว�าเวลาที่��แสงเด้�นที่างน#�น ข��นอย-�ก#บื้ค�า xc ซึ่��งตามหล#กของ Fermat แล�ว แสงจะเล�อกเด้�นที่างโด้ยใช้�เวลาน�อยที่��ส*ด้ กล�าวค�อ
Cx
T0
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
22
2
22
1
Cx
T0
BBC
BC
ACA
CA
yxxc
xxn
yxxc
xxn
C (xC,0)
B (xB,yB)
A (xA,yA)
2
11n
2n
22
2
22
1
BBC
BC
ACA
CA
yxx
xxn
yxx
xxn
จะได้�ว�า
2211 sinsin nn กฏการ์ห#กเหแสง Snell
21
1n 2nเม��อ และ ค�อ ด้#ช้น�การ์ห#กเหของแสงในต#วกลาง ค�อ ม*มตกกร์ะที่บื้ ค�อ ม*มสะที่�อน
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2.1 – ก�รเคล��อนำท��ของว�ต่ำถุ� ต่ำ�มแนำวค!ดของ Hamiltonในการ์ศ�กษาการ์เคล��อนที่��ของว#ตถึ*ใด้ๆน#�น Hamilton ต�พ�มพ�ผ่ลงาน 2 ฉบื้#บื้ในป็A 1834 และ 1835 ซึ่��งต�อมาภายหล#งเป็8นพ��นฐานของที่ฤษฏ�ในที่างกลศาสตร์�อ�กหลายสาขา โด้ยม�ใจความว�าการ์ที่��ว#ตถึ*จะเคล��อนที่��จากจ*ด้ A ไป็ย#งจ*ด้ B น#�น ม#นจะเล�อกเส�นที่างที่�� ม�ค�าน�อยที่��ส*ด้
2
1
)dt x,xL( ii
t
t
อ#นจะได้�ขยายความด้#งต�อไป็น��
1) เม��อว#ตถึ*ม�การ์เคล��อนที่�� ก/ย�อมจะม� พ�ก#ด้ และความเร์/ว ที่��เป็ล��ยนแป็ลงตามเวลา
ix ix
2) ในขณีะที่��เคล��อนไหว ว#ตถึ*ม�พล#งงานจลย� ซึ่��งข��นอย-�ก#บื้ความเร์/ว)x(TT i
3) ถึ�าว#ตถึ*อย-�ที่�ามกลางสนาม เช้�น สนามโน�มถึ�วงของโลก สนามไฟิฟิ>า ม#นก/ย�อมม�พล#งงานศ#กย�
ixUU
4) ให�ค%าน�ยามของผ่ลต�างร์ะหว�างพล#งงานจลย�และพล#งงานศ#กย�เป็8น ii xU)x(TL
5) ถึ�งแม�ว�าการ์เคล��อนที่��จาก A ณี เวลา t1 ไป็ย#ง B ณี เวลา t2 จะเป็8นไป็ได้�หลายเส�นที่าง เส�นที่างที่��แที่�จร์�งน#�นจะม�ค�า น�อยที่��ส*ด้เสมอ
2
1
)dt x,xL( ii
t
t
A
BmgyU
2
2
1T mv
ยกต่ำ�วอย'�ง
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
0 2 4 6 8 10
100
X-Axis
Y-A
xis
T
0
22 mgy(t)ym2
1xm
2
1dt
2tg2
150ty(t)
tx(t)
0y(t)
tx(t)
2Ttt)30(T
2Tt30ty(t)
tx(t)
t)T
2π(sin40y(t)
tx(t)
ต่ำ�วอย'�ง การ์เคล��อนที่��ของว#ตถึ*ในสนามแร์งโน�มถึ�วง บื้นพ��นผ่�วโลก
A B
mgy(t)U(y)
ym2
1xm
2
1)y,xT( 22
พล#งงานจลย�พล#งงานศ#กย� -
4162 Js5 Js
1584 Js
-2995 Js
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2.2 – คณิ!ต่ำศ�สุต่ำร*เก��ยวก�บ Euler’s Equation
2
1
α
α
qq,fdαJ สมม*ต�ว�าเร์าม�ค�าของ J ซึ่��งอย-�ในร์-ป็ของ Integral
โด้ยที่�� เป็8นฟิCงช้#นส�ใด้ๆ
qq,f dα
dqqαq q
ถึ�าเร์าต�องการ์จะหา ที่��ที่%าให� J ม�ค�าต%�าที่��ส*ด้ จะท �อย'�งไร?
qq,f
Euler ค�นพบื้ว�ธิ์�เป็8นคร์#�งแร์กเม��อป็A 1774 โด้ยกล�าวว�า ที่��ที่%าให� J ม�ค�าต%�าที่��ส*ด้น#�น เป็8นค%าตอบื้ของ สมการ์
qq,f
0q
f
dα
d-
q
f
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
ต่ำ�วอย'�ง จงหาเส�นที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้ ร์ะหว�างจ*ด้สองจ*ด้ โด้ยใช้�สมการ์ของ Eulery
x
A (x1,y1)
y(x) 1) ก%าหนด้ให� y(x) เป็8นสมการ์ของเส�นที่างที่��เช้��อมร์ะหว�าง จ*ด้ A และ จ*ด้ B2) ด้#งน#�น ร์ะยะที่างที่#�งหมด้ในการ์เคล��อนที่��เที่�าก#บื้
2
1
x
x
2y1dxS
3) เม��อเป็ร์�ยบื้เที่�ยบื้ก#บื้สมการ์ของ Euler จะได้�ว�า
2y1)yy,(f
4) จ�งสร์�างสมการ์ของ Euler ได้�ด้#งน��
0
y1
y
dx
d
0y
y1
dx
d
y
y1
2
22
ค�าคงที่��
2y1
y
B (x2,y2)
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
(ค�าคงที่�� ใด้ๆ)
2y1
y
2
2
2222
22
2
1y
yy
y1
y
ค�าคงที่�� หร์�ออ�กน#ยหน��ง
dx
dyy Cmxy(x)
เส�นที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้ ร์ะหว�างจ*ด้สองจ*ด้ ค�อเส�นตร์ง
เส�นที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้ ร์ะหว�างจ*ด้สองจ*ด้ ค�อเส�นตร์ง
การ์บื้�าน (1.3) จงหาเส�นที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้ ร์ะหว�างจ*ด้สองจ*ด้ ในสามม�ต�
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2.2 – คณิ!ต่ำศ�สุต่ำร*เก��ยวก�บ Euler’s Equation แบบม�เง��อนำไขในบื้างคร์#�ง การ์ที่��จะหาจ*ด้ส-งส*ง หร์�อต%�าส*ด้ของฟิCงช้#นส� ก/ม�สมการ์ของเง��อนไข เข�ามาเก��ยวข�อง
ข�อจ%าก#ด้ : ความยาวร์อบื้ร์-ป็ 2 เมตร์ฟิCงช้#นส�ที่��ต�องการ์ Optimize : พ��นที่��
ยกต#วอย�าง ม�เช้�อกยาว 2 เมตร์ จะขด้ให�เป็8นวงร์-ป็ที่ร์งใด้ จ�งจะได้�พ��นที่��ส-งที่��ส*ด้
0) วาด้ร์-ป็ให�สวยงาม และ เล�อกพ�ก#ด้ที่��เหมาะสม
(r,)
Polar Coordinate
r=r()
(x,y)
Cartesian
y=y(x)
r
ในกร์ณี�ของร์-ป็ที่ร์งข�างต�น 2,0
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2) สร์�างสมการ์เง��อนไข
2) ก%าหนด้ให�สมการ์เง��อนไข (Constraint Equations)
กร์ณี�ต#วอย�างกร์ณี�ต#วอย�าง
กร์ณี�ใด้ๆ ในภาษาแบื้บื้ Euler-Lagrange
กร์ณี�ใด้ๆ ในภาษาแบื้บื้ Euler-Lagrange
LdrS
drdS
2
0
)(
)(
Ldr
2
0
)(0 Ldr
2
0
)(0 )(0 qg )(0 qg
1) ก%าหนด้ส��งที่��ต�องการ์ Optimize drdA 2)(
2
1
2
0
2)(2
1drA
2
0
2)(2
1drA
2
1
α
α
dαqq,fJ 2
1
α
α
dαqq,fJ
Lagrange เผ่ยแพร์�ว�ธิ์�การ์แก�เม��อป็A 1788 (44 ป็Aหล#งจากสมการ์ของ Euler ในข�างต�น)
0g(q)
0q
g
q
f
dα
d-
q
f
3) สร์�างร์ะบื้บื้ของ Lagrange undetermined multiplier และแก�สมการ์
เร์�ยกว�า Lagrange undetermined multiplier ซึ่��งเป็8นค�าคงที่��
2
2
1f r
Ldrqg
d
drrq
rq
2
0
)()(
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2g
g
02
1f
2
1f
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
r
d
drr
Lr
rdr
Lrdrr
rrr
rrrr
4) ตร์ะเตร์�ยมความพร์�อมของเที่อมต�างๆ
0g(q)
0q
g
q
f
dα
d-
q
f
0
020d
d
2
0
Lrd
r
5) จากน#�นอ�างถึ�งสมการ์ของ Lagrange Undetermined Multiplier Equation
แล�วสร์�างสมการ์ของร์ะบื้บื้ที่��ก%าล#งศ�กษาอย-�
6) ล*ย! (โด้ยใช้�ที่#กษะที่างคณี�ตศาสตร์�)
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2r
Lrd
2
0
2
2
0
4
2
L
Ld
2)(
24 2
Lr
Lr
ซึ่��งเป็8นสมการ์ของวงกลม ที่��ม�ร์#ศม�เที่�าก#บื้ จ�งจะเป็8นร์-ป็ที่��ม�พ��นที่��มากที่��ส*ด้
2
L
0
020d
d
2
0
Lrd
r
จากสมการ์ Euler-Lagrange
ลด้ร์-ป็ให�ง�ายข��น
Ld
2
0
2
Equ(1)
Equ(2)
แที่นค�าของ ในสมการ์ที่�� (1) เข�าไป็ในสมการ์ที่�� (2)
r
แที่นค�าของ ค�อเข�าไป็ในสมการ์ที่�� (1)
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2.3 – ต่ำ�วอย'�ง Classic แบบสุ�กล: CatenaryCatenary ม�ร์ากศ#พที่�มาจากค%าภาษาลาต�นว�า “Catena” ซึ่��งแป็ลว�า โซึ่� ม�ที่��มาจากการ์ศ�กษาล#กษณีะความโค�งของโซึ่� ที่��ป็ลายที่#�งสองข�างข�งอย-�ในร์ะด้#บื้เด้�ยวก#น
Galileo claims (ข��เด้า) ว�าโซึ่�จะห�อยเป็8นร์-ป็ Parabolaป็A1969 - Jungius พ�ส-จน�ให�เห/นจร์�งว�าไม�ใช้� Parabola แต�ที่ว�าร์-ป็ที่ร์งจร์�งจะเป็8นอย�างไร์น#�น ไม�ที่ร์าบื้ป็A1971 - Robert Hook ป็ร์ะกาศอย�างเป็8นที่างการ์ว�าต�อร์าช้วงศ�อ#งกฤษว�า สามาร์ถึออกแบื้บื้ร์-ป็ที่ร์งของโด้ม ที่��ม�ความแข/งแร์งที่��ส*ด้ แต�ไม�บื้อกว�ธิ์�การ์ที่%า (ป็ล�อยให�งง)ป็A 1691 - Jacob Bernoulli ถึ�าล-กศ�ษย�ต#วเองให�แก�โจที่ย�ข�อน�� - Leibneiz, Huygens, และ Johann Bernoulli แก�สมการ์ร์-ป็ที่ร์งของโซึ่�ได้�ส%าเหร์/จ
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
เกล/ด้ความร์- � แผ่นผ่#งคร์อบื้คร์#วของ ตร์ะก-ล Bernoulli
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2) สร์�างสมการ์เง��อนไข
LdxyS
dxydSa
a
2
2
1
1
1) ก%าหนด้ส��งที่��ต�องการ์ Optimize dxygydU 21 x
y(+a,0)
(-a,0)
y(x) ค�ออะไร์?
a
a
dxygyU 21
Ldxya
a
210
ข�อสอบื้ Final จงพ�ส-จน�ว�า ล#กษณีะของเส�นโค�ง อย-�ในร์-ป็ของ Hyperbolic Cosine กล�าวค�อ
//
2)cosh()( xx eexxy ว�ธิ์�การ์ที่%าด้#งจะได้�ขยายความ ด้#งต�อไป็น��
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
ล#กษณีะความโค�งแบื้บื้ Catenary เป็8นความโค�งของโด้มที่��ให�ความแข/งแร์งส-งที่��ส*ด้
ข�อสอบื้ Final ร์วมกล*�ม กล*�มละไม�เก�น 6 คน สร์�าง The Arc of Catenary ความส-งอย�างน�อย 1 เมตร์ ที่%าจากกร์ะด้าษแข/ง งบื้ป็ร์ะมาณีเบื้�กได้�
The Gateway ณิ เม�อง St.Louis
สุะพ�นำ แบบ Catenary
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2.4 – สุมก�รก�รเคล��อนำท��ของ Lagrangeตามหล#กการ์ของ Hamilton ว#ตถึ*จะเคล��อนที่��ตามเส�นที่างที่��ที่%าให� ม�ค�าน�อยที่��ส*ด้
โด้ยที่�� ก/ค�อผ่ลต�างของพล#งงานศ#กย�และพล#งงานจลย� หร์�อ
ค%าถึามก/ค�อว�า แล�วเส�นที่างที่��ว�าน�� จะหาได้�อย�างไร์?
2
1
)dt q,qL( ii
t
t
)q,qL( ii )U(q-)qT()q,qL( iiii
ค%าตอบื้ค�อ เร์าสามาร์ถึใช้�หล#กการ์ของ Euler มาแก�หาจ*ด้ต%�าส*ด้ได้�ด้#งต�อไป็น��
0q
λq
L
dt
d-
q
L
iii
g
ซึ่��ง ค�อสมการ์ข�อจ%าก#ด้ (equations of constraint) ที่��แสด้งถึ�งความส#มพ#นธิ์�ร์ะหว�าพ�ก#ด้ต�างๆ ที่��เข�ยนให�อย*�ในร์-ป็มาตร์ฐาน
0)q( i g
)q( ig
สมการ์น��เร์�ยกว�า Lagrange Equation
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2crz
r θ
ต่ำ�วอย'�ง พ�จาร์ณีาร์ะบื้บื้ที่��ม�พ�ก#ด้แบื้บื้ที่ร์งกร์ะบื้อก ถึ�าเร์างอลวด้เป็8นที่ร์งพาร์าโบื้ล�า ที่��ม�สมการ์
2crz
จากน#�นน%าล-กป็Cด้มวล m ไป็เส�ยบื้ไว�ที่��ข�างได้ข�างหน��ง เส�นลวด้จะต�องหม*นด้�วยความเร์/วเช้�งม*มเที่�าได้� ล-ด้ป็Cด้จ�งจะไม�หล�นลงพ��น แต�อย-�น��งก#บื้ที่��?
ω
ω 222222 rr4cωrrm
2
1T
2mgcrU
2222222 mgcrrr4cωrrm2
1L
z
mgcr2rr4crωmLr
222
rr4crmLr
22
2222 rr8crr4crmLr
dt
d
2ω2gc
ว�ธิ์�ที่%าแบื้บื้ที่�� 1 ต#วแป็ร์อ�สร์ะค�อ r
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
ว�ธิ์�ที่%าแบื้บื้ที่�� 2 ต#วแป็ร์อ�สร์ะค�อ r และ z + สมการ์ข�อจ%าก#ด้ 2222 zωrrm
2
1T
mgzU
2crz
mgzzωrrm2
1L 2222
2crz0g
0r
λr
L
dt
d-
r
L
g
0z
gλ
z
L
dt
d-
z
L
0crz 2
02cr)λ(rmmrω2
0λzmmg-
0crz 2
------- Equation (1)------- Equation (2)
2ω2gc
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2.4 – คว�มหม�ยของ จากสมการ์ของ Lagrange ในร์ะบื้บื้แบื้บื้ม�ข�อจ%าก#ด้
0q
λq
L
dt
d-
q
L
iii
g
เร์าสามาร์ถึที่��จะต�ความได้�ว�า ก/ค�อ Force of Constrain น#�นเอง iq
λg
Force of Constrain แป็ลว�าแร์ง ที่��ม�ผ่ลที่%าให�ว#ตถึ* เคล��อนที่��ตามข�อจ%าก#ด้น#�นๆต#วอย�าง การ์เคล��อนที่��ของว#ตถึ*ตามแนวร์าบื้ ก%าหนด้ให�ต#วแป็ร์อ�สร์ะเป็8น {x,y}
จะได้�ว�า mgq
λi
g
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
ต#วอย�าง ว#ตถึ*ที่��เคล��อนที่��บื้นที่ร์งกลม จงหาม*ม ที่��ว#ตถึ*เร์��มเคล��อนที่��ออกจากพ��นผ่�ว
ar 0 0θmamgasinθ
0λmgcosθθma2
2
สร์�างสมการ์การ์เคล��อนที่��ได้�ด้#งน��
θsina
gθ
a
gcosθ
a
g
2
θ 2
2)-mg(3cosθλ
2)-mg(3cosθr
λ gด้#งน#�น แร์งในแนวร์#ศม�
ค�อ)
3
2arccos(θ0 ซึ่��งเที่�าก#บื้ศ-นย�เม��อ
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2.5 – ใช$ กฏของ Hamilton เพ��อ derive หล�กก�รต่ำ'�งๆ ในำท�งฟิ.สุ!กสุ*
Derive กฏของน�วต#น
Derive กฏการ์อน*ล#กษ�พล#งงาน
Derive กฏการ์อน*ล#กษ�โมเมนต#ม
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2.5 – Generalized Coordinates
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
2.5 – สุมก�รก�รเคล��อนำท�� ในำร�ปแบบของ Hamiltonian
(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข
Dr.Teepanis Chachiyo
ต#วอย�าง
การ์บื้�าน (3.1)