Lecture Note: Kinetics of Particles

Central force motion

말을 아끼는 자는 지식이 있고

성품이 안존한 자는 명철하니라.

(잠언 17: 27)

53

질점의 각운동량 (Angular momentum of a particle)

질량 m 인 질점 P 가 r의 위치에서 속도 v

로 운동할 때 다음과 같은 물리량을

정의할 수 있다.

vmrH

0

여기서 0H

를 O점에 대한 질점 P 의 각운동량(Angular momentum)이라 부른다.

평면운동 시 각운동량의 성분 표기

1) 직교 좌표계 사용 시

kyvxvmvmrH

jvivvjyixr

xyo

yx

ˆ)(

ˆˆˆˆ

2) 극 좌표계 사용 시

)ˆˆˆˆ

ˆˆˆ

2

eeeemrvmrH

ererverr

rzzo

rr

(

각운동량의 변화율 oH

ooii

o

MMFr

amrvmvdt

vdmrvmr

)vmr(dt

dH

즉, oo MH

54

구심력을 받는 질점의 운동

질점에 작용하는 힘 F가 O 점을 향하는 경우 (예: 태양과 행성 사이의 만유인력)

이러한 힘을 구심력이라고 부른다. 그런데 구심력은 O 점에 대해 팔 길이를 가지지

못하므로 O점에 관한 모멘트의 값은 0이 된다 (즉, 0oM ). 그러므로

0

constant

OP

o o

o

H M r F

H

결론적으로 질점에 구심력만 작용하는 경우, 그 질점의 각운동량은 보존된다.

(예) 질점이 평면운동을 할 때 극좌표계를 이용하여 각운동량을 나타내면

zo emrH ˆ2

시간에 따라 zê 는 방향이 일정하므로 const2mr

또 질량이 일정하므로 hr 2

아래 그림과 같이 질점이 운동할 때, POP 으로 이루어진 조각의 면적은 다음과 같다.

22

1

2

1

2

1

22

2

hr

dt

dr

dt

dA

drdA

즉, 구심력을 받는 질점이 만드는 단위시간당 면적은 일정하다는 결과를 얻을 수

있는데, 이는 나중에 케플러의 제 2 행성운동 법칙을 설명하는데 사용될 수 있다.

55

만유인력의 법칙

뉴톤은 운동의 법칙과 케플러의 행성운동의 법칙을 통해 이 법칙을 거꾸로 유도하였다.

2r

MmGFF

G 는 만유인력상수라고 불리며 수소의 발견자로서

유명한 영국 과학자 Henry Cavendish 에 의해 1798 년

최초로 측정되었으며 나중에 정밀하게 측정된 값은

다음과 같다.

1 2 3 26 6 . 7 3 0 . 0 3 1 0 /G m k g s

지구표면에서 질량 m을 갖는 물체에 작용하는 힘은

2R

mMGF

여기서 R 은 지구반경, M 은 지구질량

mgF 로 통상 표기하므로 2R

MGg

실제로 지구는 정확한 구가 아니고 밀도도 일정하지 않으므로 중력 가속도는 지구 표면의

위치마다 조금씩 차이가 난다. 또한 자전에 의한 원심력이 위도마다 다르다는 것을 고려한

다면 동일 질량의 무게가 지구 표면 상의 위치마다 약간씩 다르게 측정될 수 있다.

833.9781.9 g ( 2/ sm )

610376 .R ( m )

Comment

만유인력의 법칙은 엄밀하게는 두 질점 사이에 작용하는 힘에 관한 법칙이다. 부피를 갖는

한 물체와 (질점의 집합) 질점 사이에 작용하는 힘을 분석하면 그 힘은 일반적으로 질점과

물체의 질량중심을 연결하는 방향을 갖지 않는다. 이것이 일치하는 물체를

등심체라고(Centrobaric body) 말한다. 예를 들어, 밀도가 일정한 구는 등심체의 예라고 할

수 있다. 등심체가 아닌 물체는 중력 모멘트도 (Gravitational moment) 받게 되며 이 때

발생하는 모멘트는 질점에서 물체 질량중심까지 거리의 3승에 반비례하는 크기를 갖는다.

56

구심력을 받는 질점의 궤적방정식

구심력이 작용하는 고정점을 원점으로 하면 극좌표

계를 이용하여 운동을 기술하는 것이 편리하므로

< 극좌표계 운동방정식>

운동방정식을 성분 별로 분리하면,

2( )m r r F (1)

( 2 ) 0m r r (2)

(2)식을 적분하면 hr 2 , 즉,

2r

h (3)

그런데

)1

(2 rd

dh

d

dr

r

h

d

dr

dt

d

d

dr

dt

drr

(4)

)1

())1

(( 2

2

2

2

2

2

rd

d

r

h

rd

dh

d

d

r

h

d

rd

r

h

d

rd

dt

d

d

rd

dt

rdr

(5)

(3)식과 (5)식을 (1)식에 대입하여 정리하면,

)()]1

([ 222

2

2

2

Fr

hmr

rd

d

r

hm

1

ru 이라 정의하고, 위 식을 u 에 대해 정리하면,

222

2

umh

Fu

d

ud

이 식을 ‘구심력을 받는 질점의 궤적방정식’이라 부르며 각도를 독립변수로 그리고 반경을

종속변수로 하는 2 계 상미분방정식이다.

errerra

Fam

rˆ)2(ˆ)( 2

57

천체 역학에의 적용

구심력을 받는 질점의 운동에서 만유인력이 구심력으로 작용한다면

2

2muGM

r

mGMF (6)

이것을 앞 절의 궤적방정식에 대입하면,

)constant ( 22

2

h

GMu

d

ud

(7)

(7)식은 비제차 미분방정식이며, 이 방정식의 일반해는 출발점을 정점으로 정한다고 하면

(즉, 0 일 때, 0d

du의 조건을 이용하면) 다음과 같이 나타낼 수 있다.

cos2

Ch

GMu (8)

2/ hGM

C 이라 정의하면,

)cos1(2

h

GMu (9)

여기서 을 편심도(Eccentricity)라고 부른다.

1) 1ε (즉, 2h

GMC ) 궤적은 쌍곡선 (Hyperbola)

2) 1ε (즉, 2h

GMC ) 궤적은 포물선 (Parabola)

3) 1ε (즉, 2h

GMC ) 궤적은 타원 (Ellipse) * 0ε 은 원

여기서

1

-cos ( 1ε 의 범위에서)

) 0u r ( , 값때의일즉때일

58

정점에서의 초기조건과 궤적의 관계

구심운동 시

)(22 ooooooo rvvrrrh

앞에서 구한 궤적방정식은

cosCh

GMu

2

정점에서 0 이므로 (또 지구 표면에서 2gRGM 이므로)

22

2

2

11

oooo vr

gR

rh

GM

rC

앞에서

1) 2

h

GMC 이면 궤적은 쌍곡선 (hyperbola)

즉, o

o

ooooo r

gRv

vr

gR

vr

gR

r

2

22

2

22

2 2

1

2) 2

h

GMC 이면 궤적은 포물선 (parabola)

즉, o

or

gRv

22 탈출속도

3) 2

h

GMC 이면 궤적은 타원 (ellipse)

즉, o

or

gRv

22

59

궤적이 타원일 때, =0 이면 궤적은 원이 된다. 즉 C =0일 때에 해당되므로,

01

22

2

ooo vr

gR

rC

o

or

gRv

2

따라서 질점의 운동 초기조건에 따라 발생하는 타원의 형태는 다음 세 가지가 된다.

(1) o

or

gRv

2

출발점을 원정점으로 하는 타원

(2) o

or

gRv

2

정원

(3) o

or

gRv

2

출발점을 근정점으로 하는 타원

여기서 (1)번과 (3)번은 타원 그리고 (2)번 궤적은 정원을 나타낸다.

ICBM 즉 대륙간 탄도탄의 궤적설계를 할 때 이러한 내용의 지식이 사용될 수 있다.

원점

출발점

60

타원 궤적운동의 주기

타원의 장축을 a , 단축을 b라 하면 면적은

abA

그런데 앞의 강의내용 중에서 구한 바와 같이

22

1 2 hrdt

dA

그러므로 타원을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간 즉 질점의 타원운동 주기 는 다음과 같이

구할 수 있다.

h

ab

h

ab

2

)2

(

---- (*)

이미 앞에서 언급되었듯이 h 는 운동 초기조건 0r 와 0v 를 이용하여 00vrh 로 구한다.

타원의 장축 및 단축의 길이는 구심운동 원점에서 근정점까지의 거리 0r 및 원정점까지의

거리 1r 과 기하학적으로 다음 관계식을 갖는다.

.)(2

111 rrbrra oo

위 식에서 보듯이 타원 장축의 길이는 원점에서 두 정점까지의 거리의 산술평균이고 단축의

길이는 원점에서 두 정점까지의 거리의 기하평균이다.

61

케플러의 행성운동 법칙

제 1법칙: 태양계 내의 모든 행성은 타원 운동을 하며 태양은 타원의 한 초점에 위치한다.

제 2법칙: 행성이 움직이며 만드는 단위 시간당 면적은 일정하다.

2

h

dt

dA

제 3법칙: 행성 주기의 제곱은 타원 장축의 3제곱에 비례한다.

h

ab

2

GM

a322 4

케플러의 행성운동법칙은 뉴톤역학이 알려지기 반세기 전에 발표된 것으로서 오랜 기간에

걸친 관측된 데이터에 근거해서 제시되었다는 점에서 그의 천재성과 위대함을 보여준다.

■ 케플러의 행성운동 3법칙의 증명

앞에서 h

ab

2 --- (1)

)(2

1 1rra o , 1 rrb o --- (2)

또한 57 쪽 (8)식에 0 과 를 넣어 얻어진 두 식을 더하면

1

2

112

rrh

GM

o

식 (2)를 이용하여 위 식을 정리하면

a

GMbh

22 --- (3)

식(1)을 제곱한 식에 식(3)을 대입하면

3232

2

2222 44 a

GM

a

h

ba

62

정지궤도위성의 높이를 구하라.

)(360093.23

2

)(81.9

)(1037.6

2

6

srad

smg

mR

F : 만유인력

이 높이는 지구반경의 약 5.6배에 해당한다.

정지궤도위성은 지구와 동일 각속도로 도는 위성 중 적도 상 동일 지점의 상공에 위치한다.

)(1058.3

)(

)()(

73

1

2

2

2

2

2

3

2

2

mRgR

h

gRGMhR

hR

GMmhRm

Fmar

63

질량 m인 질점이 A점에서 속력 0v 로 OA선에 수직으로 발사되어서 구심력 F 를

받으며 직경 OA로 하는 반원을 따라 운동을 한다. 0 cosr r 이고 hr 2 라면,

(a) 질점의 속력이 02cos

vv

로 나타냄을 보이라.

0 cosr r 이므로 0 sinr r 이다. 따라서,

0 0ˆ ˆ ˆ ˆ sin cosr rv re r e r e r e

그러므로,

0v v r

그런데, 2

0 0r h r v 이므로 0 0 0 0 0

2 2 2 2

0 0cos cos

r v r v v

r r r

.

이 식을 위에 유도된 식에 대입하면

02cos

vv

(b) 구심력 F 의 접선방향 성분을 구하라.

가속도의 접선방향 성분은

2

00 3 5

0

2 sin2 sin

cos cost

va v v

r

그러므로,

2

0

5

0

2 sin

cost t

mvF ma

r

m

O A

r 0v

0r

64

한 우주선이 질량 M 반경 R 인 행성의 높이 h 상공을 따라 원운동을 하고 있다.

만유인력상수를 G 라 나타낸다면,

(a) 이 우주선의 속력을 구하라.

2

2( )

GMm mvF

R h R h

GMv

R h

(b) 이 우주선이 행성 상공을 일주하는데 걸리는 시간을 구하라.

2 ( )GM

v R hR h

그러므로

32 ( ) ( )2

R h R h

v GM

R

h

M

65

질량 m인 질점이 A점에서 속력 0v 로 OA선에 수직으로 발사되어서 구심력 F 를

받으며 식 0

2 cos

rr

로 주어지는 타원을 따라서 운동을 한다. 이 때, 구심력 F 가

r 의 제곱에 반비례함을 보이라.

0

1 2 cosu

r r

따라서

0

sindu

d r

and

2

2

0

cosd u

d r

위 두식을 궤적방정식에 대입하면,

2

2 2 2

0

2d u Fu

d r mh u

그러므로,

2

2 2

0

2 1mhF

r r r

m

O A

r 0v

v

0r

66

지구반경 R

타원운동을 하는 우주선의 지구표면에서의 최소높이는 1h 이고 최대높이는

2h 이다. 우주선이 최소높이 1h 에서 원운동을 하다 A점을 지나며 타원운동을 하도

록 속도를 증가시킨다면, A지점에서 발생하는 속력의 증가분은 얼마인지 구하라.

원주운동을 할 때의 우주선 속력을 Cv 라 하면

2

2

1 1

CmvGMmFr r

2

1 1 1

C

GM GM gRv

r R h R h

궤적방정식에서,

)cos1(2

h

GMu

2

2

1(1 cos )

gR

r h

두 점 A와 B에서

2

2

1

1(1 cos )A

gR

R h h

2

2

2

1(1 cos )B

gR

R h h

위 두 항을 더하면,

2

2

1 2

1 1 2gR

R h R h h

2 1 21

1 2

2( )

2A

gR R h R hh R h v

R h h

따라서

2 1 2

1 1 2

21

( ) 2A

gR R h R hv

R h R h h

그러므로

2 21 2

1 1 2 1

21

( ) 2A C

gR R h R h gRv v v

R h R h h R h

1h 2h

A B 지구

67

우주선이 정점 A 를 지날 때 지구중심으로부터 거리는 Ar 이고 속력은 Av 라 하자.

우주선이 만드는 궤적이 포물선이라 할 때, 우주선이 B 지점에서 C 지점까지 도달하는데

걸리는 시간을 구하라.

궤적방정식에서,

)cos1(2

h

GMu

2

2

1(1 cos )

gR

r h

포물선이므로, 1 . 따라서 A에서

2

2

1 2

A

gR

r h

두 지점 B 와 C 에서, 90 이고 90 이다. 따라서

2

2

1 1

B B

gR

r r h

B 에서 C 까지 형성시키는 면적 S 는 다음 식을 이용하여 구할 수 있다.

24 8

3 3B A AS r r r

구심운동을 하는 물체가 단위시간당 만드는 궤적은 / 2h 이므로, B 에서 C 까지 걸리는

시간 BCt 는 다음과 같이 구할 수 있다.

2 162 16

3 3

A ABC

A A A

r rSt

h r v v

Ar

A

B

C

포물선

Br

68

한 인공위성이 행성주위를 타원운동하며 돌고 있다. 행성 중심에서 두 정점까지의

거리를 각각 Ar 와 Br 라 한다면, 두 정점에서 궤적의 곡률반경 는 다음 식으로 구할 수

있음을 증명하라.

1 1 1 1

2 B Br r

궤적방정식에서 2

1(1 cos )

GM

r h

2

1 1 2

B B

GM

r r h --- (*)

정점 A에서 인공위성 가속도의 법선방향 성분은, A Ah r v 이므로, 다음과 같다.

2 2

2

An

A

v ha

r

따라서

2

2 2n n

A A

mh GMmF ma

r r

2

1 GM

h --- (**)

그러므로 (*)식과 (**)식을 비교하면 다음 식을 얻을 수 있다.

1 1 1 1

2 A Br r

Ar Br

A B

69

Voyager 호가 명왕성 궤도에 도착하여 임무를 완수하고 명왕성을 떠나려 한다. 돌고 있던

Voyager 호가 명왕성에 가장 접근하였을 때 거리가 200000km 이라면, 근정점에서 135 도

방향으로 탈출을 하려면 탈출 속도가 얼마가 되어야 하는지를 구하라. 참고로 명왕성의 한

위성이 반경 300000km 의 정원궤도를 속도는 10km/s 로 돌고 있다.

(풀이)

궤적방정식은

)cos1(r

1

2

h

GM

그런데 Voyager 호의 근정점( 0 )에서의 반경과 속도를 0r 와 0v 라 하자. 그런데

00vrh 이므로

1- 2

00

GM

vr

그런데 명왕성의 위성이 반경 1r 의 원형 궤도를 1v 의 속도로 도는 경우 0 이므로

2

1

2

1 1

vGMm m

r r 21 1GM r v

그러므로

2

0 0

2

1 1

-1 r v

r v

그런데 탈출 각도가 135 도이므로

0 135 1 cos 즉 2

따라서

2

1 10

0

(1 ) 19.03

rvv

r

(km/s)

탈출 자체는 1 일 때 가능하므로 단순 탈출속도는 다음과 같이 구할 수 있다.

2

1 1escape

0

(1 1) 17.32

rvv

r

(km/s)

45 Satan

Tethys

Voyager

1r

0r