legendre eq main

Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân

Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite

Phần III: Hàm Đặc Biệt

Phương Trình Legendre

Phương Trình Hermite




I. Phương Trình Legendre

1. Định Nghĩa:

Phương trình vi phân Legendre là phương trình có dạng:

(1− x2)d2y

dx2− 2x

dy

dx+ ν(ν + 1) = 0 (1)

Hay:d2y

dx2− 2x

1− x2dy

dx+

ν(ν + 1)

1− x2= 0 (2)

2. Nghiệm Phương Trình Legendre:

Nghiệm phương trình biểu diễn dạng chuỗi:

y =

∞∑

m=0

amxm (3)




(1−x2)

∞∑

m=2

m(m− 1)amxm−2−2x

∞∑

m=1

mamxm−1+k

∞∑

m=0

amxm = 0

Trong đó: k = ν(ν + 1)Đồng nhất hai vế của phương trình trên ta có:

as+2 = −(ν − s)(ν + s+ 1)

(s+ 1)(s + 2)as (s = 0, 1, ...) (4)

Hệ thức truy hồi này cho phép ta tính các giá trị an theo a1 vàa0. Từ đó ta có:

y(x) = a0y1(x) + a1y2(x) (5)




Với:

y1(x) = 1− ν(ν + 1)

2!x2 +

(ν − 2)ν(ν + 1)(ν + 3)

4!x4 −+... (6)

Và

y2(x) = x−(ν − 1)(ν + 2)

3!x3+

(ν − 2)(ν − 1)(ν + 2)(ν + 4)

5!x5−+...

(7)

Chú ý: Các chuỗi trên chỉ hội tụ khi: |x| < 1




Trong một số bài toán tham số ν là một số nguyên dương n. Từphương trình (4) chúng ta thấy: an+2 = 0 và an+4 = 0... Vì vậynếu n chẳn (lẻ) y1(x) (y2(x)) là đa thức bậc n các đa thức đógọi là Đa thức Legendre

as = − (s+ 2)(s + 1)

(n− s)(n + s+ 1)as+2 (8)

Chọn:

an =(2n)!

2n(n!)2=

1× 3× 5...(2n − 1)

n!, n = 1, 2, ... (9)

Khi đó:

an−2m = (−1)m(2n− 2m)!

2nm!(n −m)!(n− 2m)!(10)




Nghiệm của phương trình Legendre khi đó gọi là Đa ThứcLegendre Bậc n Pn(x)

Pn(x) =M∑

m=0

(−1)m(2n− 2m)!

2nm!(n −m)!(n − 2m)!xn−2m (11)

Với M = n/2 hoặc (n− 1)/2. Một và đa thức Legendre:

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =1

2(3x2−1), P3(x) =

1

2(5x3−3x),

P4(x) =1

8(35x4 − 30x2 + 3), P5(x) =

1

8(63x5 − 70x3 + 15x).




3. Công Thức Rodrigues Cho Pn(x):

Các đa thức Legendre Pn(x)) có thể được viết dưới dạng:

Pn(x) =1

2nn!

dn

dxn[(x2 − 1)n] (12)

CM:

Đặt: z = (x2−1)n

2nn! . Ta có:

(x2 − 1)dz

dx= 2nxz (13)

Đạo hàm phương trình (13) (n+ 1) lần:

(1− x2)dn+2z

dxn+2− 2x

dn+1z

dxn+1+ n(n+ 1)

dnz

dxn= 0 (14)




Đây chính là phương trình Legendre với y = dnzdxn

. Vậy nghiệmphương trình Legendre:

y = Pn(x) =1

2nn!

dn

dxn[(x2 − 1)n] (15)




4. Đa Thức Sinh Của Pn(x):

Khảo sát hàm Φ(x, z):

Φ(x, z) = (1− 2xz + z2)−1

2 ; |z| < 1 (16)

Khai triễn công thức (16) chúng ta có:

Φ(x, z) = 1 +1

2z(2x − z) +

1× 3

22 × 2!z2(2x− z)2 + ...

+1× 3...(2n − 1)

2nn!zn(2x− z)n + ... (17)

Lấy hệ số của zn trong chuỗi trên:

1× 3...(2n − 1)

2nn!(2nxn)+

1× 3...(2n − 3)

2n−1(n− 1)![−(n−1)(2x)n−2]+... = Pn(x)

(18)Phần III: Hàm Đặc Biệt



Φ(x, z) = (1− 2xz + z2)−1

2 =

∞∑

n=0

Pn(x)zn; |z| < 1 (19)

Đạo hàm hai vế phương trình trên theo z:

(x− z)(1 − 2xz + z2)−3

2 =

∞∑

n=1

nzn−1Pn(x) (20)

Nhân hai vế phương trình trên cho (1− 2xz + z2) và dùngphương trình (19) ta có:

(x− z)

[

P0(x) +

∞∑

n=1

Pn(x)zn

]

= (1− 2xz + z2)

∞∑

n=1

nzn−1Pn(x)

(21)Phần III: Hàm Đặc Biệt



Cân bằng hệ số hai vế phương trình chúng ta có hệ thức truyhồi:

(2n+ 1)xPn(x) = (n+ 1)Pn+1(x) + nPn−1(x) (22)

Ngoài ra ta có một số hệ thức truy hồi khác (Homework):

xP′

n(x)− P′

n−1(x) = nPn(x) (23)

P′

n(x)− xP′

n−1(x) = nPn−1(x) (24)

(1− x2)P′

n(x) = nPn−1(x)− nxPn(x) (25)

(2n+ 1)Pn(x) = P′

n+1(x)− P′

n−1(x) (26)




5. Các Tính Chất Của Đa Thức Legendre:

5.1. Tính Trực Giao Của Đa Thức Legendre:

Các đa thức Legendre trực giao với nhau:∫ +1

−1Pn(x)Pm(x)dx =

{

22n+1 if m = n

0 if m 6= n(27)

CM:m 6= n:

Chúng ta viết lại phương trình Legendre cho Pm(x) dưới dạng:

d

dx[(1− x2)P

′

m(x)] +m(m+ 1)Pm(x) = 0 (28)

Và phương trình tương tự cho Pn(x) :

d

dx[(1− x2)P

′

n(x)] + n(n+ 1)Pn(x) = 0 (29)




Nhân phương trình (28) cho Pn(x) và phương trình (29) choPm(x) và trừ nhau:

d

dx[(1− x2)(PmP

′

n − PnP′

m)] + [n(n+ 1)−m(m+ 1)]PmPn = 0

(30)Tích phân hai vế ⇒ ĐPCM

CM:m = n:

Nhân hai vế hệ thức (23) với Pn(x) và tích phân từ −1 −→ +1 :

n

∫ +1

−1[Pn(x)]

2dx =

∫ +1

−1xPn(x)P

′

n(x)dx−∫ +1

−1Pn(x)P

′

n−1(x)dx

(31)




Tích phân thứ hai bên vế phải bằng 0, và dùng tích phận từngphần cho số hạng thứ nhất:

∫ +1

−1xPn(x)P

′

n(x)dx =x

2[Pn(x)]

2|1−1 −

1

2

∫ 1

−1[Pn(x)]

2dx

= 1− 1

2

∫ 1

−1[Pn(x)]

2dx (32)

Thay vào phương trình (31) ⇒ ĐPCM

5.2. Tính Đối Xứng Và Phản Xứng:

Pn(−x) = (−1)nPn(x) (33)




5.3. Tính "Chuẩn Hóa"

Pn(1) = 1 (34)

P′

n(1) =n(n+ 1)

2(35)




II. Phương Trình Hermite

1. Định Nghĩa:

Phương trình Hermite là phương trình có dạng:

d2y

dx2− 2x

dy

dx+ 2νy = 0 (36)

2. Nghiệm Phương Trình Hermite:

Nghiệm phương trình biểu diễn dạng chuỗi:

y =

∞∑

j=0

ajxj (37)




Thay vào phương trình Hermite ta được:

∞∑

j=0

[(j + 1)(j + 2)aj+2 + 2(ν − j)aj ]xj = 0 (38)

Từ đó ta có:

(j + 1)(j + 2)aj+2 + 2(ν − j)aj = 0 (39)

Hay

aj+2 =2(j − ν)

(j + 1)(j + 2)aj (40)

Khi ν = nan+2 = an+4 = ... = 0 (41)




Khi n chẳn, phương trình (40) cho ta:

a2 = (−1)2n

2!a0; a4 = (−1)2

22(n− 2)n

4!a0; (42)

a6 = (−1)323(n− 4)(n − 2)n

6!a0;

Tổng quát ta có:

an = (−1)n/22n/2n(n− 2)...4 × 2

n!a0; (43)

Nghiệm này gọi là đa thức Hermite bậc n hay Hn(x). Nếuchúng ta chọn:

a0 =(−1)n/22n/2n!

n(n− 2)...4 × 2=

(−1)n/2n!

(n/2)!(44)




Thì ta có:

Hn(x) = (2x)n−n(n− 1)

1!(2x)n−2+

n(n− 1)(n − 2)(n − 3)

2!(2x)n−4+...

(45)Khi n lẻ nghiệm của phương trình Hermite vẫn còn có thể biểudiễn dạng công thức trên nếu chọn:

a1 =(−1)(n−1)/22n!

(n/2− 1/2)!(46)

Vài đa thức Hermite:

H0(x) = 1; H1(x) = 2x; H2(x) = 4x2 − 2; H4(x) = 8x3 − 12x; (47)

H4(x) = 16x4 − 48x2 + 12; H5(x) = 32x5 − 160x3 + 120x; ...




3. Công Thức Rodrigues Cho Đa Thức Hermite:

Đa thức Hermite cũng có thể biễu diễn dạng sau:

Hn(x) = (−1)nex2 dn

dxn

(

e−x2)

(48)

CM:

Đặt q = e−x2

, chúng ta có:

Dq + 2xq = 0, D =d

dx(49)

Đạo hàm phương trình trên (n+ 1) lần

Dn+2q + 2xDn+1q + 2(n + 1)Dnq = 0 (50)




Đặt y = (−1)nDnq chúng ta có:

D2y + 2xDy + 2(n + 1)y = 0 (51)

Thay u = ex2

y thì:

Du = ex2{2xy +Dy} (52)

VàD2u = ex

2{D2y + 4xDy + 4x2y + 2y} (53)

Vì vậy phương trình (51) trở thành

D2u− 2xDu+ 2nu = 0 (54)

Vì vậyu = (−1)nex

2

Dn(e−x2

) (55)

là nghiệm phương trình HermitePhần III: Hàm Đặc Biệt



4. Các Hệ Thức Truy Hồi Cho Đa Thức Hermite:

Đạo hàm hai vế của công thức Rodrigues:

H′

n(x) = (−1)n2xex2

Dn(e−x2

) + (−1)nex2

Dn+1(e−x2

) (56)

Vì vậy:H

′

n(x) = 2xHn(x)−Hn+1(x) (57)

Đạo hàm hai vế:

H′′

n(x) = 2Hn(x) + 2xH′

n(x)−H′

n+1(x) (58)

Mặt khác Hn(x) Thỏa Phương trình Hermite:

H′′

n(x)− 2xH′

n(x) + 2nHn(x) = 0 (59)




Từ đó ta có:H

′

n+1(x) = 2(n+ 1)Hn(x) (60)

Thay n bằng n+ 1 trong phương trình (57) và kết hợp vớiphương trình trên ta có:

Hn+2(x) = 2xHn+1(x)− 2(n+ 1)Hn(x) (61)




5. Hàm Sinh Cho Hn(x)::

Bằng cách dùng công thức Rodrigues ta có thể tìm ra hàm sinhcủa Hn(x)

Φ(x, t) = e2xt−t2 = ex2−(t−x)2 =

∞∑

n=0

Hn(x)

n!tn (62)

Đạo hàm hai vế n lần:

ex2 ∂n

∂tne−(t−x)2 = ex

2

(−1)n∂n

∂xne−(t−x)2 =

∞∑

k=0

Hn+k(x)tk

k!(63)

Thay t = 0 vào phương trình trên chúng ta thu được công thứcRodrigues:

Hn(x) = (−1)nex2 dn

dxn

(

ex2)

(64)




6. Tính Trực Giao Của Hn(x)::

Định nghĩa:Fn(x) = e−x2/2Hn(x) (65)

Ta có:D2Fn(x)− x2Fn(x) + (2n + 1)Fn(x) = 0 (66)

Nhân Fm(x) hai vế

Fm(x)D2Fn(x)−x2Fn(x)Fm(x)+(2n+1)Fn(x)Fm(x) = 0 (67)

Đổi chỉ số m và n

Fn(x)D2Fm(x)−x2Fm(x)Fn(x)+(2m+1)Fm(x)Fn(x) = 0 (68)




Trừ hai phương trình cho nhau vế theo vế và tích phân từ−∞ → +∞

In,m =

∫ +∞

−∞

Fn(x)Fm(x)dx =1

2(n −m)

∫ +∞

−∞

(F′′

nFm−F′′

mFn)dx

(69)Tích phân từng phần → VP=0

m 6= n:

Thì

In,m =

∫ +∞

−∞

Fn(x)Fm(x)dx = 0 (70)




m = n:

In,n =

∫ +∞

−∞

e−x2

Hn(x)Hn(x)dx =

∫ +∞

−∞

ex2

Dn(e−x2

)Dn(e−x2

)dx

(71)Tích phân từng phần với u = ex

2

Dn(e−x2

) và v = Dn−1(e−x2

)Ta có:

In,n =

∫ +∞

−∞

[2xex2

Dn(e−x2

) + ex2

Dn+1(e−x2

)]Dn−1(e−x2

)dx

(72)Dùng phương trình (51) với y = (−1)nDnq = (−1)nDn(e−x2

) Tathu được:

In,n =

∫ +∞

−∞

2nex2

Dn−1(e−x2

)Dn−1(e−x2

)dx = 2nIn−1,n−1

(73)




Mà

I0,0 =

∫ +∞

−∞

e−x2

dx =√π (74)

Vì vậy:

In,n =

∫ +∞

−∞

e−x2

Hn(x)Hn(x)dx = 2nn!√π (75)

Vì vậy hệ hàm (1/2nn!√π)1/2e−x2/2Hn(x) là hệ hàm trực

giao chuẩn hóa.



Hàm ThửHàm Delta DiracHàm Suy Rộng Và Vi Phân

Phần IV: Phương Pháp Biến Phân

Hàm Thử

Hàm Delta Dirac



Hàm ThửHàm Delta DiracHàm Suy Rộng Và Vi Phân


legendre eq main

Documents