Legkisebb négyzetek módszere - Nyitólapvajda/WS2012_13/NumMat/nummethods...Legkisebb négyzetek módszere Legkisebb négyzetek módszere 1. TÉTEL Az alapproblé ma és a tétel
7
Legkisebb négyzetek módszere Legkisebb négyzetek módszere 1. TÉTEL Az alapproblé ma és a tétel Adott n db különböz: pont, x 1 < x 2 < … < x n I x j ˛ RM és n db függvényérték, f 1 , f 2 ,… , f n I f j ˛ RM . Ker- essünk egy olyan legfeljebb M-edfokú p polinomfüggvényt, melyre j =1 n I p A x j E - f j M 2 minimális. Tétel. Pontosan egy olyan legfeljebb M-edfokú (M£ n-1) polinom létezik, melyre a négyzetösszeg minimális. 1. MEGJEGYZÉS A p polinom Α j együtthatóit végtelen sokféleképpen választhajuk meg. A cél az optimális (véges) együttható- sorozat megtalálása. Tehát egy többváltozós optimalizálási problémával van dolgunk. Æ Kalkulus, normá legyenletek Legyen p = j = 0 m Α j x j Mivel G H Α 0 , Α 1 ,… L = j =1 n I p A x j E - f j M 2 minden Α j szerint parciálisan differenciál- ható, a probléma vizsgálható a kalkulus eszközeivel. 1. PÉLDA M=0 X={1,2,3}, F={2,5,10} P0@ x_ D :=Α0; X = 8 1, 2, 3<; F = 82, 5, 10<; G = Plus Map@HP0@ P 1TD - P 2TL ^2 &, Transpose @8 X,F <DD H-10 +Α0L 2 + H-5 +Α0L 2 + H-2 +Α0L 2
