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Lego: un gioco di costruzioniI processi iterativi per la modellizzazione
del quotidiano
Primo Brandi
Dipartimento di Matematica ed Informatica
Università degli Studi di Perugia
http://www.matematicaerealta.it
[email protected] Pellegrino Terme, 6 settembre 2006
Summer School - Incontriamo la Matematica
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P.Brandi (Univ. Perugia) - Lego: un gioco di costruzioni, San Pellegrino 6 settembre 2006
Lego: un gioco di costruzioni - I processi iterativi per la modellizzazione del quotidiano
Cosa è un processo iterativo
Processi iterativi nella simulazione della realtà
La dinamica della geometria frattale
Il progetto MATEMATICAC&REALTA’
Mondo reale & mondo matematico
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“azione ripetuta più volte”
processo iterativo
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Processo iterativoun secondo esempio
diffusore-microfono-amplificatore-diffusore
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segnale
rumore bianco
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10 cicli 50 cicli
1250 cicli 6250 cicli
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i 0
u0
i1
u1
i2 u
2
i3
T
Schema di processo iterativo
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Approccio numerico Formalizzazione analitica
0
1
0,1, 2,...
( )n n
n
x start
x T x+
=
=
(xn)n è detta successione delle iterate
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Perchè gli algoritmi iterativi?… per almeno 6 buone ragioni:
sono uno strumento elementare
utilizzati sin dagli albori della modellizzazione
di costante attualita’
di crescente interesse (computers)
offrono una vasta gamma di applicazioni
propongono spunti di riflessione ed approfondimento multidisciplinare
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Alcuni problemi della vita reale
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Depurazione di carburante
Le leggi federali USA prescrivono di depurare il kerosene utilizzato come carburante dei jet.
L’operazione avviene mediante filtraggio attraverso un’apposita condotta contenente argilla.
Se 1 foot di filtro elimina il 20% di impurità, quanto deve essere lunga la condotta per abbattere gli inquinanti del 75%?
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Problemi di vita reale
Caratteristiche conformi
Detersivo residuo
5%
ogni risciacquo finale
25/109
in economynormaleLavaggio
13 l0 g21 l0 grisciacquo13 l50 g21 l80 glavaggio
H2OdetersivoH2Odetersivo
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Piani di investimento a confronto
12,50% sugli interessi
12,50% sugli interessi
Ritenute di legge
100€ annuali posticipati
100€ sem. anticipati
Spese fisse
4% annuale2% sem.Tasso di interesse
Piano BPiano A
L’agente finanziario afferma che il Piano A è più conveniente per investimenti superiori a 10.000 €. VERO O FALSO?
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Prescrizione medica
Iodio131 è somministratoa pazienti ipertiroidei
Non è prudente prendere in braccio i bambini fin
quando l’attività radioattiva non si è ridotta del 70%
50
100
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Tempo di emi-vita 8 giorni
Quale sarà il consiglio del medico?
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Datazione di sostanze organiche
Castello di Winchester
E’ la leggendaria tavola rotonda di re Artù ?
datazione con C14 : alberi tagliati nel secolo XIII
Diametro 5.5 m 25 settori
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I problemi presentati sono suscettibili di una medesima
formulazione matematica
attraverso la struttura di
processo iterativo
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Depurazione di carburante
Le leggi federali USA prescrivono di depurare il kerosene utilizzato come carburante dei jet.
L’operazione avviene mediante filtraggio attraverso un’apposita condotta contenente argilla.
Se 1 foot di filtro elimina il 20% di impurità, quanto deve essere lunga la condotta per abbattere gli inquinanti del 75%?
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Depurazione di carburante –Costruzione del modello
Start: quantità iniziale di inquinanti
1 foot di filtro elimina il 20% di impurità, quanto deve essere lunga la condotta per abbattere gli inquinanti del 75%?
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( )2 10.8P P=
MM
( ) 10.8n nP P −=
Stadio 1: ( )1 00.8P P=
Stadio 2:
Stadio 3: ( )3 20.8P P=
0P
Stadio n:
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Depurazione di carburante –Costruzione del modello
Start: quantità iniziale di inquinanti
1 foot di filtro elimina il 20% di impurità, quanto deve essere lunga la condotta per abbattere gli inquinanti del 75%?
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( ) ( ) ( ) ( )2
2 1 0 00.8 0.8 0.8 0.8P P P P= = =
MM
( ) ( )1 00.8 0.8n
n nP P P−= =
Stadio 1: ( )1 00.8P P=
Stadio 2:
Stadio 3: ( ) ( )( ) ( )2 3
3 2 0 00.8 0.8 0.8 0.8P P P P= = =
0P
Stadio n:
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Depurazione di carburante –Costruzione del modello
1 foot di filtro elimina il 20% di impurità, quanto deve essere lunga la condotta per abbattere gli inquinanti del 75%?
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MM
( ) 0 1 2
0
00 8 n , , , ...n
n
P start
P . P =
=
Sequenza delle iterate
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Depurazione di carburante –Costruzione del modello
1 foot di filtro elimina il 20% di impurità, quanto deve essere lunga la condotta per abbattere gli inquinanti del 75%?
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MM
( ) 0 1 2
0
1 00 8 n , , , ...n
n
P start
P . P =+
=
Sequenza delle iterate
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Depurazione di carburante –Risposta ai quesito
1 foot di filtro elimina il 20% di impurità, quanto deve essere lunga la condotta per abbattere gli inquinanti del 75%?
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MM
( ) 0 1 2
0
1 00 8 n , , , ...n
n
P start
P . P =+
=
( ) ( )0
04
0.8 0.8 0.25n
n nPP P <= ⇔ <
Risposta al quesito:
Il primo intero che soddisfa la disuguaglianza è 7n =La condotta deve essere lunga almeno 7 feet
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Decadimento radiattivo
Gli isotopi radiattivi decadono: % ad ogni stadio λ
Start step 1 step 2 step 3 …
Successione decrescente
00
1 1,2,(1 )
(1 )n
nn n
start
n
RR R
R Rλ
λ+ =
= − = − K
λ
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Classi di Processi iterativi elementari
( )T x x q= + una traslazione genera un processo lineare
Progressione aritmetica, capitalizzazione semplice…
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diagramma di Web
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Classi di Processi iterativi elementari
( )T x m x=Progressione geometrica, capitalizzazione composta, lavatrice, decadimento radioattivo, …
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una omotetia genera un processo exp
diagramma di Web
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Classi di Processi iterativi elementari
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( )T x m x q= +una trasformazione lineare genera un processo exp
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Classi di Processi iterativi elementari
( )T x m x=
( )T x x q= + una traslazione genera un processo lineare
Progressione aritmetica, capitalizzazione semplice…
Progressione geometrica, capitalizzazione composta, lavatrice, decadimento radioattivo, …
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( )T x m x q= +
una omotetia genera un processo exp
una trasformazione lineare genera un processo exp
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Processi iterativi associati a trasformazioni punto-punto
1 1| ( ) ( ) | | |n n n nT x T x x x+ +− = −
1 1| ( ) ( ) | | |n n n nT x T x x x+ +− > −
1 ( )n nx T x+ =
1 1| ( ) ( ) | | |
0 1n n n nT x T x K x x
K+ +− ≤ −
≤ <
P. isometrico
P. di espansione
P. di contrazione
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Classi di Processi iterativi elementari
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Teorema di Renato Caccioppoli per le contrazioni
Ogni contrazione ammette un unico punto fisso
Fissato comunque un punto start, il processo
ammette come attrattore . L’approssimazione dell’attrattore migliora ad ogni pass o
( )x T x=
( )0
1 0 1 2n n n , , ,
x start
x T x+ =
= K
x
1 0 1 2n n n , , ,...| x x | | x x |+ =− ≤ −
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Il caffè versato in una tazzina si raffredda secondo la legge di Newton: la diminuzione della temperatura è proporzionale all a differenza di temperatura tra il caffè e l’ambiente
Raffreddamento di una tazzina di caffè
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Processo iterativo del raffreddamento
Ta la temperatura ambiente
T0 la temperatura del caffè appena versato
Tn la temperatura del caffè dopo n stadi
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Processo iterativo del raffreddamento
Ta la temperatura ambiente
T0 la temperatura del caffè appena versato
Tn la temperatura del caffè dopo n stadi
0
1
0,1, ...
0
( ) 0 1a
n n n a
n
T T start
T T k T T k+
=
− > − = − − < <
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Una opportuna semplificazione
Introduciamo una nuova variabile
la differenza termica tra caffè e ambiente
Sn=Tn-Ta
( ) ( )1 1 ( )
1 ( ) 1n n a n n a a
n a n
S T T T k T T T
k T T k S+ += − = − − −
− − = −
0
1
0,1, ...0 1
0
(1 )n n
nk
S start
S k S+
=< <
> = −
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Processo iterativo del raffreddamento
Il processo è generato dalla trasformazione
T(x) = (1-k) x
si tratta di un processo di contrazione
0
1
0,1, ...0
(1 ) 0 1nn
nS start
S k S k+=
> = − < <
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Processo iterativo del raffreddamento
Formula chiusa
0 .0,1,..(1 )nn nS k S == −
01 (1 )S k S= −2 1 0 0
2(1 ) (1 ) (1 ) (1 )S k S k k S k S= − = − − = −..................................
0 .0,1,..(1 ) ( )na an nT T k T T =− = − −
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Processo iterativo del raffreddamento
Il processo evolve verso l’ attrattore, punto fisso di T T(x) = (1-k) x = x
x=0
0nS →
n aT T→
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Verifica e messa a punto del modello
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Esperimento con sensore di temperatura collegato ad un CBL
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
tempo [minuti]
tem
pera
tura
[°C
elsi
us]
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valori osservati
0
10
20
30
40
50
60
70
1 368 735 1102 1469 1836 2203 2570 2937 3304 3671 4038 4405 4772
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Confronto
0
10
20
30
40
50
60
70
1 363 725 1087 1449 1811 2173 2535 2897 3259 3621 3983 4345 4707
valori osservati
valori teorici
Differenza max: 1.5 gradi errore ma x 2,5%�
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Prato di erba medica
Famiglia R: seme da incrocio
Famiglia V: seme da auto impollinazione
i Rossi diventano parte Verdi e parte restano Rossi secondo un rapporto fisso
i Verdi diventano Rossi
Evoluzione della popolazione al trascorrere delle generazioniStimare il rapporto fra le due popolazioni in un prato naturale
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Prati di erba medicaInterazione tra ROSSI e VERDI: ad ogni stadio
VERDI ROSSI
% ROSSI VERDE
Start step 1 step 2 step 3 …
λ
0 0
1 1
1 1, 2, 3,
1
1n n
n n
start
n
R V
R V
V Rλ+ +
+ =
+ = = − = K
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Prati di erba medica
Formula chiusa
( )
0 0
12 30 1, 2, ...
1
1
1
n n
n nn
start
n
R V
R V
V Rλ λ λ λ+=
+ = = −
= − + + + − L
• L’evoluzione tende a stabilizzarsi dopo un certo numero di generazioni
• La configurazione asintotica non dipende dalla configurazione iniziale, ma solo dal parametro
λ
λλλλ
Nei nostri prati si è stimato λ = 40%λ = 40%λ = 40%λ = 40% 71%R ≅n
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Preda-predatori
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Il tasso di accrescimento di due popolazioni isolate è proporzionale al numero di individui di ciascuna
1
1
n n n n
n n n n
x x ax by
y y cx dy+
+
− = + − = +
Modello lineare
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Preda-predatori
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Il tasso di accrescimento di due popolazioni isolate è proporzionale al numero di individui di ciascuna
1
1
n n n
n
n n
n n nn
x x ax
y y
hx y
y kx yd+
+
− = + − = +
Modello non lineare
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Modello preda predatore
lepri e volpi
Le lepri senza le volpi esploderebbero
Le volpi senza le lepri scomparirebbero
invece la loro interazione …
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I Premio - Migliore comunicazione
Tommaso Bientinesi
Tutor Prof. Mara Massarucci
Classe V Liceo scientifico Donatelli, Terni
III convegno Esperienze a confronto
Perugia, 10-11 aprile 2001
P.Brandi (Univ. Perugia) - Lego: un gioco di costruzioni, San Pellegrino 6 settembre 2006
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Processi iterativi
Trasformazionipunto-punto
modelli lineari
eco-sistemi isolatiregimi di coop/comp mod. preda-predatori
modelli non lineari
crescita logisticaeffetto farfalla
caos
Trasformazionifigura-figura
geometria frattale
crescita dentritica in una cellula elettrolitica
fluttuazioni di un titolo azionario
dithering di stampa
percolazione di liquidi
paesaggi virtuali
strutture frattali in anatomia, astronomia, botanica
compressione immagini
Trasformazionifunzionali
Algoritmi di approssimazione
algoritmo babilonese quadratura del cerchio e rettificazione della circonferenza
processo di esaustionesecondo Archimede
metodi di linearizzazioneper il calcolo degli zeri(corde, secanti, regula
falsi, tangenti)
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Processi iterativi
Trasformazionipunto-punto
automi cellulari
A new kind of science di Wolfram
Life-game
automi a stati finiti
Trasformazionifigura-figura
geometria frattale
crescita dentritica in una cellula elettrolitica
fluttuazioni di un titolo azionario
dithering di stampa
percolazione di liquidi
paesaggi virtuali
strutture frattali in anatomia, astronomia, botanica
compressione immagini
Trasformazionifunzionali
Algoritmi di approssimazione
algoritmo babilonese quadratura del cerchio e rettificazione della circonferenza
processo di esaustionesecondo Archimede
metodi di linearizzazioneper il calcolo degli zeri(corde, secanti, regula
falsi, tangenti)
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Processi iterativi
Trasformazionifigura-figura
tecniche diInterpolazione frattale
per lo studio di seriestoriche
Trasformazionifunzionali
Algoritmi di approssimazione
algoritmo babilonese quadratura del cerchio e rettificazione della circonferenza
processo di esaustionesecondo Archimede
metodi di linearizzazioneper il calcolo degli zeri(corde, secanti, regula
falsi, tangenti)
Trasformazionipunto-punto
automi cellulari
A new kind of science di Wolfram
Life-game
automi a stati finiti
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Processi iterativi
Trasformazionifunzionali
modelli continui in dinamica delle popolazioni
equazioni diff. ordinarie
teorema di punto fisso di Banach
metodo delle approssimaz. successive
Trasformazionipunto-punto
automi cellulari
A new kind of science di Wolfram
Life-game
automi a stati finiti
Trasformazionifigura-figura
tecniche diInterpolazione frattale
per lo studio di seriestoriche
P.Brandi (Univ. Perugia) - Lego: un gioco di costruzioni, San Pellegrino 6 settembre 2006
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Introduzione alla geometria frattale
•Crescita dentritica in una cellula elettrolitica
•Fluttuazioni di un titolo azionario
•Dithering nel processo di stampa computerizzata
•Percolazione di liquidi
•Paesaggi virtuali
•Strutture frattali in anatomia, astronomia, botanica
•Algoritmi di compressione delle immagini
•Interpolazione frattale
Processi iterativi associati a trasformazioni figura-figura
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La geometria frattale introduce una dinamica nella geometria Euclidea.
I frattali sono definiti attraverso algoritmi che, pur agendo sugli usuali elementi della geometria classica, introducono un processo dinamico.
Questa teoria, proprio perché espressione della complessità della natura, si presta a numerose applicazioni.
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Processi iterativi su figure
alcuni esempi
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T
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F0 startF1
F2 F3
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Gerla di Sierpinski
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T
![Page 69: Lego: un gioco di costruzioni I processi iterativi per la ...matnet.unibg.it/fileadmin/user_upload/Summer_school_06/ProcessiIt... · Summer School-Incontriamo la Matematica. P.Brandi](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022721/5c677eac09d3f2034d8bfc75/html5/thumbnails/69.jpg)
F1F0 start
F2 F3
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Tappeto di Sierpinski
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Il merletto a trina
di
Helge von Koch (1904)
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P.Brandi (Univ. Perugia) - Lego: un gioco di costruzioni, San Pellegrino 6 settembre 2006
![Page 73: Lego: un gioco di costruzioni I processi iterativi per la ...matnet.unibg.it/fileadmin/user_upload/Summer_school_06/ProcessiIt... · Summer School-Incontriamo la Matematica. P.Brandi](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022721/5c677eac09d3f2034d8bfc75/html5/thumbnails/73.jpg)
P.Brandi (Univ. Perugia) - Lego: un gioco di costruzioni, San Pellegrino 6 settembre 2006
T1
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T1
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T1
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T2 T3
T4
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CODICE GENETICO di un IFS
Il generatore della curva di Koch è governato dallatrasformazione geometrica T(w 1,w2.w3,w4)
T=(w1,w2,w3,w4)
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=′
=′ω
3
yy
3
xx
)1
=′
+=′
3
3
2
3)4 yy
xx
ω
++
=′
+−
=′ω
03
2
yx
2
3
y
3
1
3
y2
3
2
x
x)2
++−
=′
++
=′
ω
6
3
32
yx
2
3
y
2
1
3
y2
3
2
x
x
)3
Trasformazioni geometriche
Contrazione
Contrazione+ traslazione
Contrazione + traslazione + rotazione
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Curva di Koch
Koch classico
Metodo del codice genetico
L-system
Processi iterativi associati a trasformazioni figura-figura
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Principali caratteristiche dei frattali
� dimensione frazionaria
curva di Koch D= 1.2619
interpolanti frattali in Idrologia 1.2 < D < 1.4
� invarianza per scala (autosimiglianza)
se si esaminano i frattali su scale diverse, si
osservano sempre gli stessi elementi fondamentali
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Frattali con condensing
felce
alberi
Processi iterativi associati a trasformazioni figura-figura
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Maila Agostini – Valeria Fabbri – Jonathan Monti
Classe IV
Prof. Maria Vittoria Buzzi
Liceo scientifico Galilei, Terni
IV convegno Innovamatica
Esperienze a confronto
Perugia, 10-11 aprile 2002
Processi iterativi associati a trasformazioni figura-figura
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Il concetto di modello e … il Lego
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Mediante strutture semplici combinate possiamo modellare fenomeni complessi
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Matematica e mondo reale
Una possibile interazione…
Educazione alla modellizzazione
Sviluppare un’attitudine sperimentale nei confronti della matematica evidenziando il suo ruolo chiave nella modellizzazione della realtà
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PROGETTO INNOVAMATICAUniversità di Perugia
MATEMATICA & REALTA’
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CENTRO PRISTEMUniversità Bocconi
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Il progetto Matematica & Realtà è nato con l’intento di offrire una gamma di opportunità:
per un insegnamento più tradizionale , mettendo a disposizione numerosi modelli di supporto da svilup pare alla voce “saper fare” come “esercizi”
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Il progetto Matematica & Realtà è nato con l’intento di offrire una gamma di opportunità:
per un insegnamento più tradizionale , mettendo a disposizione numerosi modelli di supporto da svilup pare alla voce “saper fare” come “esercizi”
per un insegnamento più aperto alla innovazione tecnologica , fornendo un ampio ventaglio di modelli (per il cui sviluppo è indispensabile il ricorso alle nuove tecnologie)
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Il progetto Matematica & Realtà è nato con l’intento di offrire una gamma di opportunità:
per un insegnamento più tradizionale , mettendo a disposizione numerosi modelli di supporto da svilup pare alla voce “saper fare” come “esercizi”
per un insegnamento più aperto alla innovazione tecnologica , fornendo un ampio ventaglio di modelli (per il cui sviluppo è indispensabile il ricorso alle nuove tecnologie)
per un insegnamento aperto all’innovazione didattica , proponendo un percorso di educazione alla modellizzazione.
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Educare alla modellizzazione comporta un modo diverso di proporre lo studio della matematica, riv olto alla descrizione e comprensione del mondo reale.
Punto centrale della proposta è una
interazione dinamica tra mondo reale e mondo matematico
azione principale
LABORATORI DIDATTICIsvolti presso la propria scuola o all’Università
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… abbiamo raccolto una sfida …
E’ possibile introdurre ai modelli matematici con strumenti elementari
Riavvicinare alla matematica … chi si sente indifferente al sentore scientifico
… e nutriamo una speranza …
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Grazie per l’attenzione
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