Leis de Newton• Ação e reação…

• Inércia…

• Força… Variação da quantidade de movimento

dt

PdF

MOMENTUM…

Quantidade de movimento Momento linear

vmP

Leis de Newton para rotações

• Ação e reação…

• Inércia…

• Força… Variação da quantidade de movimento

• Torque… Variação da quantidade de movimento angular

dt

Ld

Quantidade de movimento angular ou Momento angular

PrL

Fr

rPsenvmrL

r

O

F

F

//F

//FFF

k̂ rFsenFr

Leis de Newton para rotações

•Para uma partícula…

Para um sistema de partículas…

PrL

senPrL rP

wrmrmrL

vmrL

2

IL

i

ii PrL

iii

iiiii

iiii

rmrmrL

vmrL

2

r

v

IL

P = m v L = I

momento linear momento angularmomento linear momento angular

F = m a = I força torqueforça torque

I = m R 2

massa momento de inérciamassa momento de inércia

m

RFdt

Pd

Rdt

Ld

Translação Rotação

Leis de Conservação

dt

Ld

Momento Linear de um sistema de partículas

Fdt

Pd

Conservação da Energia de um sistema de partículas

N

iipP

1

N

iiLL

1

N

i

extii UUTE

1

int

Momento Angular de um sistema de partículas

Ri

ii Frdt

Ld

- Conservação do momento angular

A mergulhadora da figura ao lado parte com um momento angular total L devido ao torque externo inicial

Mas, no referencial do CM (acelerado neste caso)

0

grmFrdtLd

iii

iii

0

.0 constLdtLd

gM

R L

e o CM segue o movimento parabólico !

- Conservação do momento angular

No sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto,

ffiiz IIconstIL .)(

iI fi fI

Momento angular inicial do sistema roda de bicicleta – menino (+ banco)

ibicbici ILL Menino inverte o eixo de rotação da roda de bicicleta

ibic LL

- Exemplo

srotemkgImkgI itotbic /9,3.8,6;.2,1 22 Dados

Queremos calcular a velocidade angular final do sistema após o menino inverter o eixo de rotação da roda de bicicleta (ver figura)

Conservação do momento angular pois só há forças internas no sistema

itot II 2imen

iimenif

LL

LLLLL

2

Momento angular final do sistema

imenmenbicf LLLLL

- Exemplo

srotII

tot

i /4,12

- Precessão do momento angular

Módulo do torque da força peso

sinMgr

Lei fundamental da dinâmica das rotações

tL

tMgrL sin

sinsin ILL

Da figura temos

- Precessão do momento angular

sinsin ItMgr

IMgr

dtd

Velocidade angular de precessão

- Precessão do momento angular

Como a Terra é um esferóide a Lua e o Sol provocam forças como as mostradas abaixo e em 13000 anos...

Exercício

)( mN

-2

20

4

2

4 8 12 16)(st

O gráfico mostra o torque que atua sobre um disco inicialmente estacionário que pode girar em torno de seu centro como um carrossel. Qual é o momento angular do disco nos tempos (a) t = 7,0 s e (b) t= 20s?

Exercício

)/( 2 smkgL

-2

20

4

2

4 8 12 16)(st

O gráfico mostra o Momento Angular de um disco girando em torno de seu centro como um carrossel. Qual é o torque externo aplicado nos intervalos (a) 0 a 2 segundos; (b) 9 a 12 segundos e (c) 17 a 20s?