lekcii po slu˜ajni procesi - store.fmi.uni-sofia.bg · 1. ponqtie za stohasti˜en proces 5 pri...

lekcii po slu˜ajni

procesi

mARUSIQ bOVKOWA

11 @NI 2001 G.

s˙D˙RVANIE

1 pONQTIE ZA STOHASTIÊN PROCES 41 pONQTIE ZA STOHASTIÊN PROCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 sPOMENI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 oPREDELENIE ZA STOHASTIÊN PROCES . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 tEOREMA NA kOLMOGOROW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 gAUSOWI PROCESI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1 wINEROW PROCES wt, t ∈ R+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 bRAUNOWO DWIVENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 eKSPONENCIALNO RAZPREDELENIE. pOASONOW PROCES 101 dOPUSKANIQ PRI MATEMATIÊSKOTO MODELIRANE I ROLQTA NA EKSPO-

NENCIALNOTO RAZPREDELENIE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 eKSPONENCIALNO RAZPREDELENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 oPREDELENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 sWOJSTWA NA Exp RAZPREDELENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 dRUGI SWOJSTWA NA Exp RAZPREDELENIE . . . . . . . . . . . . . 13

3 pOASONOW PROCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1 bROQ] PROCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 dEFINICIQ NA pOASONOW PROCES . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 rAZPREDELENIE NA WREMETO NA ÂKANE DO P˙RWO POQWQWANE NA

S˙BITIE I WREMETO MEVDU DWE POSLEDOWATELNI POQWQWANIQ

NA S˙BITIETO W pOASONOW PROCES. . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 uSLOWNI RAZPREDELENIQ NA WREMENATA ZA POQWQWANE . . . . . . 18

4 oBOB]ENIQ NA pOASONOWIQ PROCES - SLOVEN I NEHOMOGENEN pOASONOWPROCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1 sLOVEN POASONOW PROCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 nEHOMOGENEN pOASONOW PROCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 rAZPREDELENIE NA FUNKCII OT pOASONOW PROCES . . . . . . . . 23

3 wINEROW PROCES 241 nQKOLKO ZADAÎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 mOMENT NA P˙RWO DOSTIGANE NA NIWO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 sWOJSTWA NA TRAEKTORIITE NA wINEROWIQ PROCES . . . . . . . . . . . 28

1

2 s¨d¨rvanie

4 nEPREK˙SNATOST - DEFINICII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1 nEPREK˙SNATOST P.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 sTOHASTIˆNA NEPREK˙SNATOST . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 sEPARABELNOST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 nEOBHODIMI I DOSTAT˙ˆNI USLOWIQ ZA NEPREK˙SNATOST . . . . 314.5 L2−NEPREK˙SNATOST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 dIFERENCIRANE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 bRAUNOW MOST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 wERIGI NA mARKOW - 1 351 dEFINICIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 uRAWNENIQ NA ˜EPMEN-kOLMOGOROW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 kLASIFIKACIQ NA S˙STOQNIQTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 wERIGI NA mARKOW - 2 441 gRANIˆNI WEROQTNOSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 sREDNO WREME W PREHODNITE S˙STOQNIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 rAZKLONQWA]I SE PROCESI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 oBRATIMI mARKOWSKI WERIGI( W˙W WREMETO) . . . . . . . . . . . . . . 51

6 mARKOWSKI WERIGI S NEPREK˙SNATO WREME (mwnw) 531 dEFINICIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 pROCESI NA RAVDANE I UMIRANE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 wEROQTNOSTTA FUNKCIQ NA PREHODITE Pij(t) . . . . . . . . . . . . . . . 574 gRANIˆNI WEROQTNOSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 pRESMQTANE NA PREHODNITE WEROQTNOSTI . . . . . . . . . . . . . . . . 616 zADAÎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 iNTEGRIRANE NA SLUÂJNI PROCESI 681 iNTEGRAL OT SLUÂEN PROCES OTNOSNO NESLUÂJNA MQRKA . . . . . . . 682 oSNOWNA TEOREMA NA STOHASTIˆNOTO SMQTANE (ANALOG NA FORMULATA

NA lAJBNIC-n@TON) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 iNTEGRAL OT NESLUÂJNA FUNKCIQ PO SLUÂEN PROCES . . . . . . . . . 73

8 sTOHASTIˆNI URAWNENIQ 781 sTOHASTIÊN INTEGRAL PO wINEROW PROCES . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.1 pREDWARITELNI BELEVKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.2 sTIHASTIÊN INTEGRAL ZA ELEMENTARNI FUNKCII . . . . . . . 80

2 nQKOI SWOJSTWA NA JT (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.1 sTOHASTIÊN INTEGRAL ZA PROIZWOLNA FUNKCIQ S INTEGRUEM

KWADRAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 sWOJSTWA NA STOHASTIˆNITE INTEGRALI . . . . . . . . . . . . . . . . . 844 fORMULA NA iTO ZA SMQNA NA PROMENLIWITE . . . . . . . . . . . . . . 845 sTOHASTIˆNI DIFERENCIALNI URAWNENIQ . . . . . . . . . . . . . . . . 87

s¨d¨rvanie 3

6 dOKAZATELSTWO NA FORMULATA NA iTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9 sTOHASTIˆNI DIFERENCIALNI URAWNENIQ 901 oPREDELENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902 pRIMERI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913 s˙]ESTWUWANE I EDINSTWENOST NA RE[ENIETO NA sdu . . . . . . . . . 934 nQKOI WAVNI FORMULI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955 zADAˆI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

lEKCIQ 1

pONQTIE ZA STOHASTIÊN PROCES

w TAZI LEKCIQ SI POSTAWQME SLEDNITE CELI:

• DA DADEM PONQTIE ZA STOHASTIÊN PROCES;

• DA FORMULIRAME TEOREMATA NA kOLMOGOROW;

• DA DADEM PONQTIE ZA STACIONARNOST W TESEN I [IROK SMIS˙L;

• DA DEFINIRAME gAUSOW PROCES.

1 pONQTIE ZA STOHASTIÊN PROCES

1.1 sPOMENI

nEKA E ZADADENO WEROQTNOSTNO PROSTRANSTWO ν = (Ω,F ,P) , K˙DETO Ω 6= ∅ ePROSTRANSTWOTO OT ELEMENTARNI S˙BITIQ, F E σ ALGEBRATA NA SL. S˙BITIQ I P eWEROQTNOSTNATA MQRKA.

nEKA ξ : Ω → R I E TAKAWA, Ê ZA WSEKI INTERWAL (−∞, x) MNOVESTWOTO

Ax = ω : ξ(ω) < x E ELEMENT NA σ ALGEBRATA F , TOGAWA ξ SE NARIÂ SLUÂJNAWELIÎNA.

fUNKCIQTA Fξ(x) = P(Ax) = P(ξ < x) SE NARIÂ FUNKCIQ NA RAZPREDELENIE (F.R.) NA ξ, A AKO S˙]ESTWUWA fξ(x) = F ′

ξ(x) SE NARIÂ PL˙TNOST NA RAZPREDELENIETONA SL. W. ξ.

1.2 oPREDELENIE ZA STOHASTIÊN PROCES

pO-NATAT˙K S T ]E SE OZNAÂWA NQKOE OT MNOVESTWATA N,Z,Q,R,Rn.

oPREDELENIE 1.1. sTOHASTIÊN PROCES ξt, t ∈ T ]E NARIÂME S˙WKUPNOSTOT SLUÂJNI WELIÎNI DEFINIRANI W PROSTRANSTWOTO ν.

4

1. ponqtie za stohasti˜en proces 5

pRI FIKSIRANO ω ∈ Ω, ξt(ω) : T → R e REALNA FUNKCIQ DEFINIRANA W T , KOQTOSE NARIÂ TRAEKTORIQ NA PROCESA.

pRI WSQKO FIKSIRANO t ∈ T, ξt E SL. W. OPREDELENA W PROSTRANSTWOTO ν.

oPREDELENIE 1.2. pRI PROIZWOLNO FIKSIRANO n, I PROIZWOLEN NABORt1, t2, . . . , tn ∈ T, S˙WMESTNATA FUNKCIQ NA RAZPREDELENIE NA SL.W. (ξt1 , . . . , ξtn)

Fξt1 ,...,ξtn(x1, . . . , xn) = P(ξt1 < x1, . . . , ξtn < xn),

K˙DETO x1, x2, . . . , xn ∈ R SE NARIÂ KRAJNOMERNO RAZPREDELENIE NA SLUÂJNIQ

PROCES ξt.

kOGATO T = N ILI Z PROCES˙T SE NARIÂ WREMENEN RED.

pRIMER 1.1. 1. nEKA T = Z I ξi : Eξi = 0,Varξi < ∞ I ξi SA NEZAWISIMI W

S˙WKUPNOST. tOGAWA SEMEJSTWOTO ξi, i ∈ T OBRAZUWA SLUÂEN PROCES, KOJTO SENARIÂ BQL [UM.

2. nEKA T = N I ξi, i ∈ T OBRAZUWAT BQL [UM. tOGAWA Sn =∑n

i=1 ξi OBRAZU-WAT SL. PROCES KOJTO SE NARIÂ SLUÂJNO LUTANE.

3. nEKA T = R I KRAJNOMERNITE RAZPREDELENIQ SA MNOGOMERNI NORMALNI

RAZPREDELENIQ. tOGAWA SL. PROCES SE NARIÂ gAUSOW.

1.3 tEOREMA NA kOLMOGOROW

tEOREMA 1.1. nEKA Ft1,...,tn(x1, . . . , xn), n ≥ 1, tk ∈ T E SEMEJSTWO OT FUNKCII

NA RAZPREDELENIE,KOITO UDOWLETWORQWAT USLOWIQTA ZA S˙GLASUWANOST:1. Ft1,...,tn,tn+1,...,tn+m(x1, . . . , xn,∞, . . . ,∞) = Ft1,...,tn,(x1, . . . , xn),2. Ft1,...,tn(x1, . . . , xn) = Ftk1

,...,tkn(xk1 , . . . , xkn),

K˙DETO (k1, . . . , kn) e PROIZWOLNA PERMUTACIQ NA (1,. . . ,n).tOGAWA S˙]ESTWUWA WEROQTNOSTNO PROSTRANSTWO (Ω,F ,P) I DEFINIRAN NA

NEGO STOHASTIÊN PROCES, KOJTO IMA ZA KRAJNOMERNI RAZPREDELENIQ FUNKCIITEFt1,...,tn(x1, . . . , xn), n ≥ 1

oPREDELENIE 1.3. kAZWAME, Ê DWA PROCESA ξt, ηt, t ∈ T DEFINIRANI NA WERO-QTNOSTNOTO PROSTRANSTWO ν SA STOHASTIÊSKI EKWIWALENTNI, AKO ZA WSQKO

t ∈ TP(ω : ξt(ω) 6= ηt(ω)) = 0.

oPREDELENIE 1.4. aKO m(t) = Eξt < ∞,∀t ∈ T, TO AWTOKOWARIACIONNA MAT-RICA NA PROCESA ξt NARIÂME MATRICATA A = (A(ti, tj)) S ELEMENTI A(ti, tj) =Cov(ξti , ξtj), ti 6= tj.

(Cov(ξti , ξtj) = E[(ξti − Eξti)(ξtj − Eξtj)]).w SLUÂQ, KOGATO ti = tj, TO A(ti, ti) = VarξtieDIN STOHASTIÊN PROCES MOVE DA B˙DE ZADADEN ˆREZ KRAJNOMERNITE SI RAZP-

REDELENIQ ILI ˆREZ AWTOKOWARIACIONNATA SI MATRICA.

6 lekciq 1. ponqtie za stohasti˜en proces

lEMA 1.1. aKO ξt, t ∈ T E STOHASTIÊN PROCES S KOWARIACIONNA FUNKCIQ

A(t, s), TQ E POLOVITELNO OPREDELENA, T.E. ZA WSEKI t1, t2, . . . , tn ∈ T I x1, x2, . . . ,xn ∈ R ⇒ 〈Ax, x〉 ≥ 0

oPREDELENIE 1.5. kAZWAME, Ê PROCES˙T ξt, t ∈ T E SLABO STACIONAREN, ILISTACIONAREN W [IROK SMIS˙L AKO SA IZP˙LNENI:

1) m(t) = const;2) kOWARIACIONNATA FUNKCIQ A(t, s) = R(|t − s|) ZAWISI SAMO OT RAZLIKATA

|t− s|.

oPREDELENIE 1.6. kAZWAME, Ê PROCES˙T ξt, t ∈ T E SILNO STACIONAREN, ILISTACIONAREN W TESEN SMIS˙L, AKO ZA WSQKO h > 0 I PROIZWOLNI t1, t2, . . . , tn ∈ TI x1, x2, . . . , xn ∈ R E IZP˙LNENO:

P(ξt1+h < x1, . . . , ξtn+h < xn) = P(ξt1 < x1, . . . , ξtn < xn).

2 gAUSOWI PROCESI

oPREDELQT SE NAP˙LNO ˆREZ MATEMATIÊSKOTO OÂKWANE I KOWARIACIONNATA MAT-RICA.

tEOREMA 1.2. zA WSQKA FUNKCIQ m(t) I NEOTRICATELNO OPREDELENA FUNKCIQA(t, s), t, s ∈ R, S˙]ESTWUWA EDINSTWEN (PO OTNO[ENIE NA KRAJNOMERNITE RAZ-PREDELENIQ) gAUSOW PROCES ξt, t ∈ R S MATEMATIÊSKO OÂKWANE m(t) = Eξt IKOWARIACIQ Cov(ξs, ξt) = A(s, t).

2.1 wINEROW PROCES wt, t ∈ R+oPREDELENIE 1.7. sTOHASTIÊN PROCES wt, t ∈ R+, ZA KOJTO:

1) w0 = 0;2) wt − ws ∈ N(0, |t− s|σ2);3) wt e PROCES S NEZAWISIMI NARASTWANIQ, T.E. ZA PROIZWOLNI t1 < t2 < . . . <

tn SL. WELIÎNIwtn − wtn−1 , wtn−1 − wtn−2 , . . . , wt2 − wt1

SA NEZAWISIMI W S˙WKUPNOST;4) tRAEKTORIITE NA PROCESA SA NEPREK˙SNATI PO t ZA WSQKO ω.

aKO σ = 1 PROCES˙T SE NARIÂ STANDARTEN wINEROW PROCES.

tEOREMA 1.3. nEKA wt, t ∈ R+ e WINEROW PROCES. tOGAWA S˙WMESTNATA MU

PL˙TNOST IMA WIDA:

fw1,...,wn(x1, . . . , xn) =1√

2π√t1√t2 − t1 . . .

√tn − tn−1

exp

(−

n∑i=1

(xi − xi−1)2

2(ti − ti−1)

)ZA WSEKI t1, t2, . . . , tn ∈ R+ I x1, x2, . . . , xn ∈ R

2. gausowi procesi 7

tUK E OZNAÊNO wi = wti .sLEDOWATELNO wINEROWIQ PROCES E gAUSOW.

dOKAZATELSTWO: dA RAZGLEDAME ηk = wk − wk−1, k = 1, 2, . . . , n. nEKA σ = 1 ⇒ηk ∈ N(0, |tk − tk−1|). oSWEN TOWA ηk SA NEZAWISIMI SL.W. I NAKRAQ wtk = η1 + . . .+ηk. tOGAWA fw1,...,wn(x1, x2, . . . , xn) = fη1,...,ηn(x1 − x0, x2 − x1, . . . , xn − xn−1) KATOqKOBIAN˙T NA SMQNATA E EDINICA. sLEDOWATELNO

fη1,...,ηn(y1, y2, . . . , yn) =n∏

i=1

fηi(yi) =

n∏i=1

1√2π(ti − ti−1)2

e− y2

i2(ti−ti−1) .

pOLAGAME yk = xk − xk−1, k = 1, 2, . . . , n I POLUÂWAME

fw1,...,wn(x1, . . . , xn) =1√

2π√t1√t2 − t1 . . .

√tn − tn−1

exp

(−

n∑i=1

(xi − xi−1)2

2(ti − ti−1)

)

oPREDELENIE 1.8. KaZWAME, Ê ξt, t ∈ T E mARKOWSKI STOHASTIÊN PROCES,AKO ZA ∀s, t ∈ T : s < t USLOWNOTO MATEMATIÊSKO OÂKWANE

E(ξt|ξτ , τ ≤ s) = E(ξt|ξs),

T.E. PRI FIKSIRANO NASTOQ]E B˙DE]ETO NE ZAWISI OT MINALOTO.

2.2 bRAUNOWO DWIVENIE

dWIVENIETO NA ÂSTICI W TEˆNOST (ILI GAZ). d˙LVI SE NA NEPREK˙SNATITE

UDARI NA MOLEKULITE NA TEˆNOSTTA (GAZA).nEKA S Xt OZNAÎM x KOORDINATATA NA BRAUNOWATA ÂSTICA W MOMENTA t I NEKA

X0 = 0. Xt, t ≥ 0 E STOHASTIÊN PROCES, KATO:1) tRAEKTORIITE MU SA NEPREK˙SNATI;2) pROCES˙T E EDNORODEN, T.E. RAZPREDELENIETO NA Xt+h −Xt e EDNAKWO S TOWA

NA Xh.tOWA OZNAÂWA, Ê RAZPREDELENIETO NA NARASTWANETO (NA OTMESTWANETO) NA ÂS-

TICATA NE ZAWISI OT MOMENTA t I MOVE DA SE PRIEME, AKO SREDATA E HOMOGENNA IZAKONITE ZA DWIVENIE NE SE MENQT S WREMETO.

3) Xt e S NEZAWISIMI NARASTWANIQ, T.E. UDARITE NA ÂSTICITE S MOLEKULITE NASREDATA ZA RAZLIˆNI INTERWALI OT WREME SA NEZAWISIMI.

oT TEZI SWOJSTWA ZAKL@ÂWAME, Ê Xt e wINEROW PROCES.

tEOREMA 1.4. nEKA ξt, t ∈ R+ UDOWLETWORQWA SLEDNITE USLOWIQ:1) ξ0 = 0,Eξt = 0,∀t ∈ R+;2) ξt E S NEZAWISIMI NARASTWANIQ;

8 lekciq 1. ponqtie za stohasti˜en proces

3) ξt+h − ξt e EDNAKWO RAZPREDELENA S ξh ZA WSQKO h > 0, t ∈ R+ (PI[EM

ξt+h − ξtd= ξh);

4) ξt IMA NEPREK˙SNATI TRAEKTORII;tOGAWA ξt, t ≥ 0 E wINEROW PROCES.

dOKAZATELSTWO: nEKA S f(x, t) DA OZNAÎM PL˙TNOSTTA NA ξt I S Φh(x) - PL˙T-NOSTTA NA NARASTWANETO ξt+h− ξt. pO FORMULATA ZA P˙LNATA WEROQTNOST E NALICESLEDNOTO S˙OTNO[ENIE:

f(x, t+ h) =

∫R

f(x−∆, t)Φh(∆)d∆,

KOETO OTRAZQWA FAKTA, Ê ZA DA IMA ÂSTICATA ABCISA x W MOMENTA t+h TQ TRQBWADA E BILA W TOˆKA S ABCISA x−∆ W MOMENTA t I ZA WREME h DA E IZMENILA ABCISATASI S ∆, K˙DETO ∆ ∈ R.

pO FORMULATA NA tEJLOR IMAME:

f(x, t+ h) ≈ f(x, t) + h∂f

∂t(x, t) + o(h), (1.1)

f(x−∆, t) ≈ f(x, t)−∆∂f

∂t(x, t) +

∆2

2

∂2f

∂x2(x, t) + o(∆2),

sLEDOWATELNO

f(x, t+ h) =

∫R

(f(x, t)−∆

∂f

∂t(x, t) +

∆2

2

∂2f

∂x2(x, t) + o(∆2)

)Φh(∆)d∆

≈ f(x, t)

∫R

Φh(∆)d∆− ∂f

∂t(x, t)

∫R

∆Φh(∆)d∆ +∂2f

∂x2(x, t)

∫R

∆2

2Φh(∆)d∆.

kATO ZNAEM, Ê∫R

Φh(∆)d∆ = 1, ZA]OTO Φh(∆) E PL˙TNOST I∫R

∆Φh(∆)d∆ =E(ξt+h − ξt) = Eξt+h − Eξt = 0− 0 = 0, POLUÂWAME:

f(x, t+ h) ≈ f(x, t) +∂2f

∂x2(x, t)

∫R

∆2

2Φh(∆)d∆. (1.2)

kATO PRIRAWNIM DESNITE STRANI NA (1.1) I (1.2), RAZDELIM NA h I OSTAWIM

h→ 0 POLUÂWAME (URAWNENIE NA DIFUZIQ):

∂f

∂t(x, t) = D

∂2f

∂x2(x, t),

K˙DETO

D = limh→0

1

h

∫R

∆2

2Φh(∆)d∆,

KOETO SE NARIÂ KOEFICIENT NA DIFUZIQ.

2. gausowi procesi 9

zADAˆATA NA kO[I ZA URAWNENIETO NA DIFUZIQTA E:∂f∂t

(x, t) = D ∂2f∂x2 (x, t),

f(x, 0) = δ(x).

tUK FUNKCIQTA δ(x) SE OPREDELQ ˆREZ δ(x) = 1, PRI x = 0 I δ(x) = 0, PRIx 6= 0.

rE[ENIETO SE DAWA S FORMULATA NA pOASON:

f(x, t) =1√

4πDt

∫R

f(x− y, 0)e−y2

4Dtdy

ILI

f(x, t) =1√

4πDte−

x2

4Dt .

lEKCIQ 2

eKSPONENCIALNO RAZPREDELENIE.pOASONOW PROCES


• DA RAZGLEDAME SWOJSTWATA NA EKSPONENCIALNOTO RAZPREDELENIE;

• DA DEFINIRAME pOASONOW PROCES;

• DA IZUÎM NQKOI SWOJSTWA NA pOASONOW PROCES;

1 dOPUSKANIQ PRI MATEMATIÊSKOTO MODELIRANE

I ROLQTA NA EKSPONENCIALNOTO RAZPREDELENIE.

pRI MATEMATIÊSKOTO MODELIRANE NA REALNI QWLENIQ WINAGI E NEOBHODIMO DA

SE PRAWQT OPREDELENI OPROSTQWA]I PREDPOLOVENIQ TAKA, Ê MODEL˙T DA MOVE DASE IZSLEDWA MATEMATIÊSKI. oT DRUGA STANA TEZI OPROSTQWANIQ NE TRQBWA DA SAPREKALENO MNOGO. T˙J KATO MODEL˙T NQMA DA MOVE DA B˙DE PRILOVEN ZA REALNI QW-LENIQ. nAKRATKO, NIE PRAWIM ”DOSTAT˙ˆNO” TAKIWA DOPUSKANIQ OT MATEMATIÊSKAGLEDNA TOˆKA I TAKA, Ê DA NE SE OTDALEÂWAME OT ISTINSKIQ REALEN OBEKT.

eDNO TAKOWA OPROSTQWANE E DOPUSKANETO, Ê NQKOI SL. W. SA Exp RAZPREDELENI(LESNO SE RABOTI I ÊSTO E DOBRA APROKSIMACIQ NA AKTUALNOTO RAZPREDELENIE.)sWOJSTWOTO, KOETO GO PRAWI LESNO DA SE RABOTI S NEGO E, Ê TO NE SE PROMENQ

S WREMETO. tOWA OZNAÂWA, Ê AKO WREMETO NA VIWOT NA NQKAK˙W ELEMENT E ExpRAZPREDELENO TOZI ELEMENT, NEZAWISIMO, Ê E RABOTIL OPREDELENO WREME, TOJ E

TOLKOWA ”DOB˙R”, KAKTO I AKO NE E RABOTIL IZOB]O. (pO OTNO[ENIE NA WREMETOKOETO MU OSTAWA DOKATO OKONÂTELNO OTKAVE DA RABOTI.)

˝E FORMULIRAME STROGO TOWA SWOJSTWO I ]E POKAVEM, Ê Exp RAZPREDELENIEE EDINSTWENOTO S TOWA SWOJSTWO.

10

2. eksponencialno razpredelenie 11

2 eKSPONENCIALNO RAZPREDELENIE

2.1 oPREDELENIE

nEPREK˙SNATATA SL. W. X ∈ Exp(λ), λ > 0 AKO IMA PL˙TNOST:

f(x) =

λe−λx, x ≥ 0,0, x < 0,

ILI F.R. F (x) =

∫ x

−∞f(y)dy =

1− e−λx, x ≥ 0,0, x < 0.

mATEMATIÊSKOTO OÂKWANE E EX =∫ +∞−∞ xdF (x) = 1/λ.

pORAVDA]ATA FUNKCIQ NA MOMENTITE E

ϕ(t) = EetX =

∫ ∞

0

etxλe−λxdx =λ

λ− t, t < λ

I

EX2 =d2

dt2ϕ(t)|t=0 =

2

λ2⇒ VarX =

1

λ2.

2.2 sWOJSTWA NA Exp RAZPREDELENIE

kAZWAME, Ê SL. W. X IMA RAZPREDELENIE BEZ POSLEDEJSTWIE (memoryless) AKO

P(X > s+ t|X > t) = P(X > s), ∀s, t ≥ 0,

ILI EKWIWALENTNOP(X > s+ t,X > t)

P(X > t)= P(X > s).

aKO X ∈ Exp(λ) TOP(X > s+ t,X > t)

P(X > t)=

e−λ(t+s)

e−λt= e−λs = P(X > s),

SLEDOWATELNO Exp RAZPREDELENIE E BEZ POSLEDEJSTWIE.

pRIMER 2.1. dA DOPUSNEM, Ê WREMETO, KOETO ÔWEK PREKARWA W BANKATA EExp(1/10), T.E. SREDNO 10 min.

a) kOLKO E WEROQTNOSTTA, DADEN KLIENT DA PREKARA POWEÊ OT 15 min?b) kOLKO E WEROQTNOSTTA EDNI KLIENT DA PREKARA PONE O]E 15 min, AKO SE

ZNAE, Ê WEÊ E PRESTOQL W BANKATA 10 min?rE[ENIE. nEKA X E SL. W. RAWNA NA WREMETO NA PRESTOJ NA SLUÂJNO WZET

ÔWEK W BANKATA. tOGAWA X ∈ Exp(1/10).a) P(X > 15) = e−15λ = e−15/10 ∼ 0.220.b) P(X > 25|X > 10) = e−15λ = e−15/10 ∼ 0.220.

pRIMER 2.2. w PO]ENSKI OFIS IMA DWE GI[ETA ZA OBSLUVWANE NA KLIENTITE.g-N iWANOW, WLIZAJKI W PO]ATA WIVDA, Ê G-N pETROW E NA EDNOTO GI[E, A G-NdIMOW NA DRUGOTO. dA DOPUSNEM, Ê G-N iWANOW ]E B˙DE OBSLUVEN WEDNAGA SLEDKATO B˙DE OBSLUVEN pETROW ILI dIMOW. aKO WREMETO ZA OBSLUVWANE NA EDINKLIENT E Exp RAZPREDELENA SL. W. S PARAMET˙R λ, KOLKO E WEROQTNOSTTA ZATOWA iWANOW DA NAPUSNE PO]ATA POSLEDEN OT TRIMATA? (oTG. 1/2).

12lekciq 2. eksponencialno razpredelenie. poasonow proces

oKAZWA SE, Ê Exp RAZPREDELENIE E EDINSTWENOTO S TOWA SWOJSTWO. nEKA F (x)E F.R. NA SL. W.X BEZ POSLEDEJSTWIE I DA OZNAÎM F (x) = 1 − F (x) = P(X > x).tOGAWA F (s+ t) = F (s)F (t) ZA WSEKI s, t ≥ 0, T.E. F e RE[ENIE NA FUNKCIONALNOTOURAWNENIE g(s+ t) = g(s)g(t), KOETO IMA EDINSTWENO NEPREK˙SNATO RE[ENIE e−λt S

λ = − log g(1).sWOJSTWOTO BEZ POSLEDEJSTWIE SE IL@STRIRA OT T. NAR. FUNKCIQ NA ZAGUBITE

(failure rate function), r(t), KOQTO SE OPREDELQ KATO r(t) =f(t)

F (t).

nEKA X e SL. W. RAWNA NA WREMETO NA RABOTA NA EDNA SISTEMA. iNTERESUWAMESE OT WEROQTNOSTTA SISTEMATA DA OTKAVE W INTERWALA (t, t + dt) AKO RABOTI W

MOMENTA t, T. E.

P(X ∈ (t, t+ dt)|X > t) =P(X ∈ (t, t+ dt), X > t)

P(X > t)

=P(t < X < t+ dt)

P(X > t)=f(t)dt

F (t)= r(t)dt,

T.E. r(t) e USLOWNATA WEROQTNOST ZA IZLIZANE OT STROQ NA SISTEMATA PREVIWQLA

WREME t.aKO X ∈ Exp(λ) TO OSTAWA]OTO WREME NA RABOTA NA TAZI SISTEMA E EDNAKWO

RAZPREDELENO S WREMETO ZA RABOTA NA NOWA SISTEMA. tOGAWA STEPENTA NA OTKAZ

TRQBWA DA E POSTOQNNA. dEJSTWITELNO r(t) = λe−λt

e−λt = λ, T.E. FUNKCIQTA NA ZAGUBITEPRI Exp RAZPREDELENIE E POSTOQNNA. pO TAZI PRIÎNA λ MOVE DA SE INTERPRETIRAO]E KATO STEPEN NA RAZPREDELENIETO (TQ E OBRATNO PROPORCIONALNA NA SREDNOTO).

fUNKCIQTA r(t) OPREDELQ PO EDINSTWEN NAÎN F.R. F (t), ZA]OTO

r(t)dt =f(t)dt

1− F (t)⇒ log F (t) = −

∫ t

0

r(t)dt+ k1

ILI

F (t) = ke−∫ t0 r(t)dt.

pRI t = 0 SE OPREDELQ k = 1, TAKA F (t) = e−∫ t0 r(t)dt.

pRIMER 2.3. hIPEREKSPONENCIALNO RAZPREDELENI SL. W.: nEKA Xi ∈ Exp(λi), i =1, . . . , n I λi 6= λj, PRI i 6= j I SL. W. N e NEZAWISIMA OT X1, . . . , Xn, P(N = j) =pj, j = 1, . . . , n I

∑nj=1 pj = 1.

sL. W. XN SE NARIÂ HIPEREKSPONENCIALNA I ZA NEJNOTO RAZPREDELENIE, POFORMULATA ZA P˙LNATA WEROQTNOST IMAME:

FXN(t) = P(XN > t) =

n∑j=1

P(XN > t|N = j)P(N = j) =n∑

j=1

P(Xj > t)pj =n∑

j=1

e−λjtpj.

2. eksponencialno razpredelenie 13

k˙DE W˙ZNIKWAT HIPEREKSPONENCIALNI SL.W.?dA DOPUSNEM, Ê W EDNA KUTIQ IMA n TIPA BATERII, K˙DETO BATERIITE OT TIP

j IMAT WREME NA VIWOT λj. nEKA OTNOSITELNIQT DQL NA BATERIITE OT TIP j WKUTIQTA E 100pj%. aKO IZBEREM PO SLUÂEN NAÎN BATERIQ OT TAZI KUTIQ, TONEJNOTO WREME NA VIWOT ]E E HIPEREKSPONENCIALNO.

kATO WZEMEM W PREDWID, Ê fXN(t) = −F ′

XN(t) POLUÂWAME fXN

(t) =∑nj=1 pjλje

−λjt. nEKA λi = minλ1, . . . , λn. oPREDELQME

r(t) =

∑nj=1 pjλje

−λjt∑nj=1 e

−λjtpj

.e−λi

ε−λi

=

∑nj=1 pjλje

−(λj−λi)t∑nj=1 e

−(λj−λi)tpj

=piλi +

∑j 6=i pjλje

−(λj−λi)t

pi +∑

j 6=i e−(λj−λi)tpj

.

pORADI TOWA, Ê λi 6= λj,∀j 6= i TO (λj − λi) > 0,∀j 6= i. sLEDOWATELNOlimt→∞ r(t) = piλi

pi= λi, T.E. WREMETO NA VIWOT NA SLUÂJNO IZBRANA BATERIQ KLO-

NI K˙M STEPENTA NA ZAGUBA NA Exp RAZPREDELENIE S NAJ-MALKA STEPEN NA ZAGUBA.iNTUITIWNO NAISTINA E TAKA, KOLKOTO PO-D˙LGO E RABOTILA BATERIQTA, TOLKOWASME PO-SKLONNI DA SMQTAME, Ê NEJNATA STEPEN NA ZAGUBA E NAJ-MALKA.

2.3 dRUGI SWOJSTWA NA Exp RAZPREDELENIE

1. aKO SL. W. X1, . . . , Xn ∈ Exp(λ) I SA NEZAWISIMI TO SL.W. X =∑n

i=1Xi ∈Γ(n, λ), T.E. fX(t) = λeλt(λt)n−1

(n−1)!.

dOKAZATELSTWO: pO INDUKCIQ OTNOSNO n :

fX1+...+Xn(t) =

∫ t

0

fX1+...+Xn−1(u)fXn(t− u)du =

∫ n

0

λe−λu(λu)n−2

(n− 2)!λe−λ(t−u)du

=

∫ t

0

λe−λt (λu)n−2

(n− 2)!d(λu) =

λe−λt(λt)n−1

(n− 1)!.

2. aKO X1 ∈ Exp(λ1), X2 ∈ Exp(λ2) I SA NEZAWISIMI SL.W., KAKWA E WEROQTNOST-

TA P(X1 < X2)?

P(X1 < X2) =

∫ ∞

0

P(X1 < X2|X1 = x)λ1e−λ1xdx =

=

∫ ∞

0

P(x < X2)λ1e−λ1xdx =

∫ ∞

0

e−λ2xλ1e−λ1xdx

=λ1

λ1 + λ2

∫ ∞

0

e−(λ1+λ2)xd(λ1 + λ2)x =λ1

λ1 + λ2

.

3. aKO X1, . . . , X2 SA NEZAWISIMI EKSPONENCIALNO RAZPREDELENI SL.W. (Xi ∈Exp(µi), i = 1, . . . , n), TO X = minX1, . . . , Xn ∈ Exp(

∑µi).


P(minX1, . . . , Xn > x) = P(X1 > x,X2 > x, . . . , Xn > x)

= P(X1 > x)P(X2 > x) . . .P(Xn > x) = e−µ1x . . . e−µnx = e−(µ1+...+µn)x.

4. sUMA NA NEZAWISIMI EKSPONENCIALNO RAZPREDELENI SL.W. nEKA Xi ∈ Exp(λi),i = 1, . . . , n SA NEZAWISIMI I λi 6= λj PRI i 6= j. tOGAWA SL. W. X = X1 + . . .+Xn SE

NARIÂ HIPOEKSPONENCIALNA. zA NEJNOTO RAZPREDELENIE IMAME:A) pRI n = 2

fX1+X2(x) =

∫ t

0

fX1(s)fX2(t− s)ds =

∫ t

0

λ1e−λ1sλ2e

−λ2(t−s)ds =

= λ1λ2e−λ2t

∫ t

0

ε−(λ1−λ2)sds

=λ1λ2e

−λ1t

λ1 − λ2

(1− e−(λ1−λ2)t) =λ1

λ1 − λ2

λ2e−λ2t +

λ2

λ1 − λ2

λ1e−λ1t.

B) pO ANALOGIÊN NAÎN SE POLUÂWA

fX1+...+Xn(t) =n∑

i=1

Ci,nλie−λit,

K˙DETO Ci,n =∏j 6=i

λj

λj − λi

.

5. sUMA NA SLUÂEN BROJ EKSPONENCIALNO RAZPREDELENI SL.W.nEKA Xi ∈ Exp(λi), i = 1, . . . , n SA NEZAWISIMI EL.W. I NEKA N e NEZAWISIMA OT

TQH SL.W. TAKAWA, Ê: P(N = n) = pn, n = 1, 2, . . . ,m I∑m

n=1 pn = 1. rAZGLEVDAMESL.W.

Y =N∑

n=1

Xi,

KOQTO SE NARIÂ SL.W. NA Cox. zA PL˙TNOSTTA NA Y IMAME:

fY (x) =m∑

n=1

fY (x|N = n)P(N = n) =m∑

n=1

pnfX1+...+Xn(x)

=m∑

n=1

pn

n∑i=1

Ci,nλie−λx.

KATO E IZPOLZWANO I SWOJSTWO 4.

3 pOASONOW PROCES

3. poasonow proces 15

3.1 bROQ] PROCES

oPREDELENIE 2.1. pROCES˙T N(t), t ≥ 0 SE NARIÂ BROQ] PROCES, AKO N(t) EOB]IQT BROJ NA SB˙DWANIQTA (POQWQWANIQTA) NA OPREDELENO S˙BITIE W INTER-WALA [0, t].

pRIMER 2.4. a) N(t) = BROQ NA KUPUWAÎTE WLEZLI W EDIN MAGAZIN OT OTWA-RQNETO MU DO DADEN MOMENT t. s˙BITIETO, KOETO SE SB˙DWA E WLIZANETO NAKUPUWAˆ W MAGAZINA.

N(t) =BROQ NA KUPUWAÎTE, NAMIRA]I SE W MAGAZINA W MOMENTA t NE E BROQ]PROCES.

B) aKO SÎTAME, Ê QWLENIETO SE SB˙DWA, KOGATO SE RODI DETE TO N(t) eBROQ] PROCES.

W) bROQ NA GOLOWETE WKARANI OT EDIN FUTBOLIST OT NAÂLOTO NA KARIERATA

MU DO DADEN MOMENT t S˙]O E BROQ] PROCES I T.N.

oT OPREDELENIETO SLEDWA, Ê BROQ]IQT PROCES UDOWLETWORQWA SLEDNITE USLO-WIQ:

(i) N(t) ≥ 0;(ii) N(t) E CELOÎSLENA WELIÎNA ZA WSQKO t;(iii) aKO t > s⇒ N(t) ≥ N(s);(iv) aKO s < t⇒ N(t)−N(s) E BROQT NA SB˙DWANIQTA NA S˙BITIETO W INTERWALA

(s, t).

oPREDELENIE 2.2. bROQ]IQT PROCES E S NEZAWISIMI NARASTWANIQ, AKO BROQ NAS˙BITIQTA SB˙DNALI SE W NEPRESIÂ]I SE INTERWALI OT WREME SA NEZAWISIMI

SL.W.

- w PRIMER A) LOGIˆNO E DA SE DOPUSNE, Ê PROCESA E S NEZAWISIMI NARASTWANIQ.- w PRIMER B) NE E LOGIˆNO T˙J KATO, KOLKOTO E PO-GOLQMO N(t) TOLKOWA E PO-

GOLQM BROQ NA HORATA W NASELENOTO MQSTO I SLEDOWATELNO BROQT NA RAVDANIQTA

]E E PO-GOLQM, T.E. IMA ZAWISIMOST MEVDU NARASTWANIQTA.- w PRIMER W) MOVE DA SE PREDPOLAGA NEZAWISIMOST NA NARASTWANIQTA.

oPREDELENIE 2.3. bROQ]IQT PROCES E S˙S STACIONARNI NARASTWANIQ, AKO F.R.NA N(t2+s)−N(t1+s) -BROQ NA S˙BITIQTA SB˙DNALI SE W INTERWALA (t1+s, t2+s)NE ZAWISI OT s (POLOVENIETO NA INTERWALA W˙RHU OSTA NA WREMETO) ZA WSEKIt2 > t1 ≥ 0 I s ≥ 0.

- w PRIMER A) LOGIˆNO E DA SE DOPUSNE, Ê PROCESA E S˙S STACIONARNI NARAST-WANIQ, AKO PREDPOLOVIM, Ê NQMA PIKOW ÂS.

- w PRIMER B) LOGIˆNO E, AKO DOPUSNEM, Ê ÔWE[KATA POPULACIQ E KONSTANTA.- w PRIMER W) NE E LOGIˆNO, T˙J KATO E PO-WEROQTNO IGRAˆ˙T DA WKARWA POWEÊ

GOLOWE NA W˙ZRAST 25-30 G., OTKOLKOTO NA 35-40 G.


3.2 dEFINICIQ NA pOASONOW PROCES

eDIN OT NAJ-WAVNITE BROQ]I PROCESI E pOASONOWIQT PROCES. tOJ SE DEFINIRA POSLEDNIQ NAÎN:

oPREDELENIE 2.4. pROCES˙T N(t), t ≥ 0 SE NARIÂ pOASONOW S˙S STEPEN

λ > 0, AKO(i) N(0) = 0;(ii) IMA NEZAWISIMI NARASTWANIQ;(iii) bROQ NA S˙BITIQTA W˙W WSEKI INTERWAL S D˙LVINA t E pOASONOWO RAZP-

REDELENA SL.W. (Po(λt)) S˙S SREDNO λt, T.E. ZA ∀s, t ≥ 0,P(N(t+ s)−N(t) = n) =

e−λt (λt)n

n!, n = 0, 1, 2, . . . .

oT (iii) SLEDWA, Ê pOASONOWIQT PROCES IMA STACIONARNI NARASTWANIQ I OSWENTOWA EN(t) = λt (KOETO OBQSNQWA, ZA]O λ SE NARIÂ STEPEN NA PROCESA.)

zA DA OPREDELIM DALI EDIN BROQ] PROCES E pOASONOW TRQBWA DA PROWERIM

USLOWIQTA (i)-(iii).(i) SE PROWERQWA LESNO;(ii) OBIKNOWENO SLEDWA OT NA[ETO ELEMENTARNO POZNANIE ZA PROCESA;(iii) NE E QSNO KAK DA SE PROWERI. zATOWA EDNA DRUGA DEFINICIQ NA pOASONOW

PROCES SE OKAZWA PO-POLEZNA:

oPREDELENIE 2.5. bROQ]IQT PROCES N(t), t ≥ 0 SE NARIÂ pOASONOW S˙S

STEPEN λ > 0, AKO(i) N(0) = 0;(ii) IMA STACIONARNI I NEZAWISIMI NARASTWANIQ;(iii) P(N(h) = 1) = λh+ o(h), h→ 0;(iv) P(N(h) > 2) = o(h), h→ 0.

tEOREMA 2.1. oPREDELENNIQTA 2.4 I 2.5 SA EKWIWALENTNI.

dOKAZATELSTWO:A. oT oPREDELENIE 2.4 ⇒ oPREDELENIE 2.5.nEKA Pn(t) = P(N(t) = n). ˝E POLUÎM DIFERENCIALNO URAWNENIE ZA P0(t) PO

SLEDNIQ NAÎN:

P0(t+ h) = P(N(t+ h) = 0) = P(N(t) = 0, N(t+ h)−N(t) = 0) =

(PORADI NEZAWISIMOSTTA NA NARASTWANIQTA N(t) = N(t)−N(0) I N(t+h)−N(t))

= P(N(t) = 0)P(N(t+ h)−N(t) = 0) = P0(t)(1− λh+ o(h)),

(ZA]OTO OT (ii-(iv) SLEDWA, Ê P(N(h) = 0) = 1− λh+ o(h).)sLEDOWATELNO

P0(t+ h)− P0(t)

h= λP0(t) +

o(h)

h, h→ 0,⇒


P ′0(t) = −λP0(t).

kATO SE RE[I TOWA URAWNENIE S NAÂLNO USLOWIE P0(0) = P(N(0) = 0) = 1 SEPOLUÂWA, Ê

P0(t) = e−λt. (2.1)

pRI n > 0 IMAME

Pn(t+h) = P(N(t) = n,N(t+h)−N(t) = 0)+P(N(t) = n−1, N(t+h)−N(t) = 1)+

+n∑

n=2

P(N(t) = n− k,N(t+ h)−N(t) = k)

= P(N(t) = n,N(t+h)−N(t) = 0)+P(N(t) = n−1, N(t+h)−N(t) = 1)+ o(h) =

Pn(t)P0(h) + Pn−1(t)P1(h) + o(h) = Pn(t)(1− λh) + Pn−1(t)λh+ o(h)

⇒ Pn(t+ h)− Pn(t)

h= −λPn(t) + λPn−1(t) +

o(h)

h, h→ 0,

⇒ P ′n(t) = −λPn(t) + λPn−1(t).

uMNOVAWAME POSLEDNOTO URAWNENIE S eλt I POLUÂWAME

eλt[P ′n(t) + λPn(t)] = eλtλPn−1(t) ⇒

d

dt(eλtPn(t)) = λeλtPn−1(t),

ZA WSQKO n > 0. sEGA OT (2.1) NAMIRAME

d

dt(eλtP1(t)) = λ⇒ P1(t) = (λt+ c1)e

−λt

I T˙J KATO P1(0) = 0, TO

P1(t) = λte−λt.

pO INDUKCIQ OTNOSNO n SE NAMIRA, Ê Pn(t) = (λt)n

n!e−λt ZA WSQKO n ≥ 2.

b. oT oPREDELENIE 2.4 ⇒ 2.5. (uPRAVNENIE.?).

3.3 rAZPREDELENIE NA WREMETO NA ÂKANE DO P˙RWO POQWQ-WANE NA S˙BITIE I WREMETO MEVDU DWE POSLEDOWATELNI

POQWQWANIQ NA S˙BITIETO W pOASONOW PROCES.

nEKA T1 e MOMENTA NA SB˙DWANE NA P˙RWOTO S˙BITIE I PRI n > 1, Tn e WREMETOMEVDU n − 1-TO I n-TO SB˙DWANE NA S˙BITIETO. rEDICATA Tn, n = 1, 2, . . . SE

NARIÂ REDICA NA WREMENATA MEVDU SB˙DWANIQTA NA S˙BITIETO.dA NAMERIM RAZPREDELENIQTA NA SL.W. Tn.


P(T1 > t) = P(NE SE E SB˙DNALO NITO WEDN˙V S˙BITIETO W INTERWALA [0,t)) =

= P(N(t) = 0) = e−λt ⇒ T1 ∈ Exp(λ).

pO-NATAT˙K P(T2 > t) = E[P(T2 > t|T1)], NO

P(T2 > t|T1 = s) = P(0 S˙BITIQ W INTERWALA (s,s+t]|T1 = s)

= P(0 S˙BITIQ W INTERWALA (s,s+t]) = e−λt ⇒ T2 ∈ Exp(λ).

pREDLOVENIE 2.1. sL. W. Tn, n = 1, 2, . . . SA NEZAWISIMI, EDNAKWO RAZPREDELENIS Exp(λ) RAZPREDELENIE.

zABELEVKA 2.1. pREDPOLOVENIETO ZA STACIONARNOST I NEZAWISIMOST NA NA-RASTWANIQTA NA pOASONOWIQ PROCES E EKWIWALENTNO NA TW˙RDENIETO, Ê W˙WWSEKI MOMENT OT WREMETO PROCES˙T ZAPOˆWA OTNAÂLO (STOHASTIÊSKI EKWI-WALENTEN).

s DRUGI DUMI PROCES˙T, ZAPOˆWAJKI OT PROIZWOLEN MOMENT OT WREME E

NEZAWISIM OT TOWA, KOETO SE E SLUÎLO DO TOZI MOMENT (PORADI NEZAWISIMI-TE NARASTWANIQ) I IMA S˙]OTO RAZPREDELENIE, KAKTO ZAPOˆWAJKI OT NAÂLO-TO(PORADI STACIONARNOSTTA NA NARASTWANIQTA), T.E. PROCES˙T NQMA ”PAMET”I SLEDOWATELNO TRQBWA DA OÂKWAME EKSPONENCIALNO RAZPREDELENIE NA WREMETO

MEVDU POSLEDOWATELNITE NAST˙PWANIQ NA S˙BITIQTA.

nEKA Sn e MOMENT˙T NA NAST˙PWANE NA n−TO S˙BITIE, NAREÊNO O]E WREME NAÂKANE DO n−TO SB˙DWANE. qSNO E, Ê Sn = T1 + . . . + Tn ⇒ Sn ∈ Γ(n, λ), T.E.

fSn(t) = λe−λt (λt)n−1

(n−1)!, t ≥ 0. pO DRUG NAÎN FSn(t) = P(Sn ≤ t) = P(N(t) ≥ n) =∑∞

j=n e−λt (λt)j

j!. oT TUK SLED DIFERENCIRANE PO t SE POLUÂWA OTNOWO PL˙TNOSTTA

NA SL. W. Sn.pREDLOVENIE 2.1 NI DAWA DRUG NAÎN ZA DEFINIRANE NA pOASONOW PROCES. nEKA

Tn, n = 1, 2, . . . SA NEZAWISIMI EDNAKWO RAZPREDELENI Exp(λ) SL.W. nEKA S0 = 0 ISn = T1 + . . .+Tn, n = 1, 2, . . . , iNTERPRETIRAME Sn KATO POSLEDOWATELNI MOMENTI

NA NAST˙PWANE NA NQKAKWO S˙BITIE. tOGAWA BROQ]IQT PROCES N(t) = maxn :Sn ≤ t E pOASONOW S˙S STEPEN λt.

3.4 uSLOWNI RAZPREDELENIQ NA WREMENATA ZA POQWQWANE

dA DOPUSNEM, Ê TOˆNO EDNO S˙BITIE SE E SB˙DNALO DO MOMENTA t I ISKAME

DA NAMERIM RAZPREDELENIETO NA WREMETO NA SB˙DWANE NA TOWA S˙BITIE. oT TOWA,Ê pOASONOWIQT PROCES IMA NEZAWISIMI I STACIONARNI NARASTWANIQ E QSNO, ÊW˙W WSEKI PODINTERWAL NA [0, t] S FIKSIRANA D˙LVINA E RAWNOWEROQTNO DA SE ESB˙DNALO S˙BITIETO. s DRUGI DUMI, MOMENT˙T NA POQWQWANE NA S˙BITIETO BI


TRQBWALO DA E RAWNOMERNO RAZPREDELEN W INTERWALA [0, t]. tOWA LESNO SE PROWERQWA,T.E. ZA s ≤ t

P(T1 < s|N(t) = 1) =P(T1, N(t) = 1)

P(N(t) = 1)=

P(1 S˙BITIE W [0,s), 0 S˙BITIQ W [s,t])

P(N(t) = 1)=

=P(1 S˙BITIE W [0,s))P(0 S˙BITIQ W [s,t])

P(N(t) = 1)=

=λse−λs.e−λ(t−s)

λte−λt=s

t.

zA DA OBOB]IM TAZI FORMULA ]E IMAME NUVDA OT PONQTIETO NAREDENA (PORQD-KOWA) STATISTIKA.

oPREDELENIE 2.6. nEKA Y1, . . . , Yn SA NABL@DENIQ NA SL.W. kAZWA SE ˆE Y(1), . . . ,Y(n) SA PORQDKOWI STATISTIKI S˙OTWETSTWA]I NA Y1, . . . , Yn AKO Y(k) E k−TAPO GOLEMINA STOJNOST SRED Y1, . . . , Yn.

pRIMER 2.5. nEKA Y1 = 4, Y2 = 5, Y3 = 1 ⇒ Y(1) = 1, Y(2) = 4, Y(3) = 5aKO Yi, i = 1, . . . , n I SA NEZAWISIMI I EDNAKWO RAZPREDELENI SL.W. S WEROQTNOS-

TNA PL˙TNOST f(), TO S˙WMESTNATA PL˙TNOST NA NAREDENITE STATISTIKI

Y(1), . . . , Y(n) e n!n∏

i=1

f(yi), y1 < y2 < . . . , < yn.

tOWA SLEDWA OT:(i) (Y(1), . . . , Y(n)) ]E E RAWNO NA (y1, . . . , yn), AKO E EDNA OT n! W˙ZMOVNI

PERMUTACII NA (y1, . . . , yn).(ii) wEROQTNOSTTA ZA TOWA, ˆE (Y1, . . . , Yn) = (yi1 , . . . , yin) E

n∏j=1

f(ynj) =

n∏j=1

f(yj),

KOGATO i1, . . . , in E PERMUTACIQ NA 1, . . . , n.aKO Yi, i = 1, . . . , n SA RAWNOMERNO RAZPREDELENI W INTERWALA (0, t) TO S˙W-

MESTNATA PL˙TNOST NA PORQDKOWITE STATISTIKI Y(1), . . . , Y(n) e

f(y1, y2, . . . , yn) =n!

tn, 0 < y1 < . . . < yn < t.

tEOREMA 2.2. aKO N(t) = n TO MOMENTITE NA PRISTIGANE S1, S2, . . . , Sn IMAT

S˙]OTO RAZPREDELENIE, KAKTO NAREDENITE STATISTIKI S˙OTWETNI NA n NEZA-WISIMI SL. W. RAWNOMERNO RAZPREDELENI W INTERWALA (0, t).

zABELEVKA 2.2. ξ ∈ U(0, t) ⇐⇒

fξ(x) =

1t, x ∈ (0, t),

0, x∈(0, t)., Fξ(x) =

0, x ≤ 0,x/t, x ∈ (0, t),1, x ≥ t.


dOKAZATELSTWO: zA DA POLUÎM USLOWNATA PL˙TNOST NA S1, S2, . . . , Sn PRI US-LOWIE, Ê N(t) = n DA ZABELEVIM, Ê ZA 0 < s1 < . . . < sn < t S˙BITIETOS1 = s1, . . . , Sn = sn, N(t) = n e EKWIWALENTNO NA S˙BITIETO

T1 = s1, T2 = s2 − s1, T3 = s3 − s2, . . . , Tn = sn − sn−1, Tn+1 > t− sn.

kATO IZPOLZUWAME, Ê Ti, i = 1, 2, . . . , n SA NEZAWISIMI SL.W. I EDNAKWO RAZPRE-DELENI Exp(λ) POLUÂWAME

f(s1, s2, . . . , sn|n) =f(s1, s2, . . . , sn, n)

P(N(t) = n)=

=λe−λs1λe−λ(s2−s1) . . . e−λ(sn−sn−1)e−λ(t−sn)

e−λt(λt)n/n!=n!

tn, 0 < s1 < . . . < sn < t.

zABELEVKA 2.3. pOLUÊNIQT REZULTAT MOVE DA SE PREFORMULIRA PO SLEDNIQ

NAÎN: pRI USLOWIE, Ê n S˙BITIQ SA SE SB˙DNALI W INTERWALA (0, t), MOMENTI-TE NA SB˙DWANE S1, S2, . . . Sn RAZGLEDANI KATO NENAREDENI SLUÂJNI WELIÎNI SA

RAZPREDELENI NEZAWISIMO I RAWNOMERNO W INTERWALA (0, t).

4 oBOB]ENIQ NA pOASONOWIQ PROCES - SLOVEN I

NEHOMOGENEN pOASONOW PROCES

4.1 sLOVEN POASONOW PROCES

oPREDELENIE 2.7. pROCES˙T X(t), t ≥ 0 SE NARIÂ SLOVEN pOASONOW PROCES,AKO

X(t) =

N(t)∑i=1

Yi, t ≥ 0,

K˙DETO N(t), t ≥ 0 E pOASONOW PROCES I Yn, n = 0, 1, 2, . . . E REDICA OT

NEZAWISIMI EDNAKWO RAZPREDELENI SL.W. NEZAWISIMI OT PROCESA N(t).

pRI FIKSIRANO t SL.W. X(t) SE NARIÂ SLOVNA pOASONOWA SL.W.

pRIMER 2.6. (i) nEKA Yn ≡ 1, n = 0, 1, 2, . . .⇒ X(t) ≡ N(t).(ii) nEKA ZA NQKAKWO SPORTNO S˙BITIE PRISTIGAT ZRITELI S AWTOBUSI. nEKA

PRISTIGANETO NA AWTOBUS E S˙BITIETO W EDIN pOASONOW PROCES N(t), A BROQTNA HORATA W AWTOBUSITE Y1, Y2, . . . SA N.e.R. SL. W. tOGAWA BROQT NA HORATA

PRISTIGNALI DO DADEN MOMENT E SLOVEN pOASONOW PROCES.

4. obob˝eniq na poasonowiq proces - sloven i nehomogenen poasonow proces21

(iii) nEKA KUPUWAÎTE NAPUSKAT EDIN SUPERMARKET W S˙OTWETSTWIE S pOA-SONOW PROCES N(t). aKO Yi SA PARITE POHARÊNI OT i−TIQ KUPUWAˆ, TO SUMATAKOQTO SE E NATRUPALA W KASITE NA SUPERMARKETA OBRAZUWA SLOVEN pOASONOW

PROCES.

zADAÂ 2.1. dA PRESMETNEM EX(t) I VarX(t).

rE[ENIE: zA EX(t) IMAME EX(t) = E(E(X(t)|N(t)), NO

E(X(t)|N(t) = n) = E(

N(t)∑i=1

Yi|N(t) = n) = E(n∑

i=1

Yi) = nEY1.

sLEDOWATELNO E(X(t)|N(t)) = N(t)EY1, T.E.

EX(t) = (EN(t))(EY1) == λtEY1.

zA PRESMQTANETO NA VarX(t) ]E IZPOLZUWAME SLEDNATA FORMULA ZA USLOWNADISPERSIQ

VarX(t) = E(Var(X(t)|N(t))) + Var(E(X(t)|N(t))).

Var(X(t)|N(t) = n) = Var(

N(t)∑i=1

Yi|N(t) = n) = Var(n∑

i=1

Yi) = nVarY1,

(POSLEDNOTO RAWENSTWO E IZP˙LNENO PORADI NEZAWISIMOSTTA NA Yi).tAKA Var(X(t)|N(t)) = N(t)VarY1. sLEDOWATELNO

VarX(t) = E(N(t)VarY1) + Var(N(t)EY1) =

= λtVarY1 + (EY1)2VarN(t) = λtVarY1 + (EY1)

2λt =

= λt[VarY1 + (EY1)2] = λtE(Y 2

1 ).

iZPOLZWANO E, Ê VarN(t) = λt T˙J KATO N(t) ∈ Po(λt).

4.2 nEHOMOGENEN pOASONOW PROCES

nEHOMOGENEN pOASONOW PROCES E pOASONOW PROCES, ZA KOJTO E NARU[ENO USLOWI-ETO ZA STACIONARNOST. tOWA SE POLUÂWA, AKO DOPUSNEM, Ê STEPENTA NA POQWQWANENA S˙BITIETO W MOMENT t E FUNKCIQ NA WREMETO.

oPREDELENIE 2.8. pOASONOWIQT PROCES N(t), t ≥ 0 SE NARIÂ NEHOMOGENEN SFUNKCIQ NA INTENZIWNOST λ(t), t ≥ 0, AKO:

(i) N(0) = 0;(ii) N(t), t ≥ 0 E S NEZAWISIMI NARASTWANIQ;(iii) P(N(t+ h)−N(t) ≥ 2) = o(h), h→ 0;(iv) P(N(t+ h)−N(t) = 1) = λ(t)h+ o(h), h→ 0.


aKO POLOVIM m(t) =∫ t

0λ(x)dx⇒

P(N(t+ s)−N(t) = n) = e−(m(t+s)−m(t)) [m(t+ s)−m(t)]n

n!, n ≥ 0. (2.2)

ILI S DRUGI DUMI, BROQT NA S˙BITIQTA SB˙DNALI SE W INTERWALA (t, t + s), N(t +s)−N(t) ∈ Po(m(t+ s)−m(t)) I OSWEN TOWA N(t) ∈ Po(m(t)).

zABELEVKA 2.4. aKO λ(t) = λ TO m(t) = λt I TOGAWA N(t+ s)−N(t) ∈ Po(λs).

dOKAZATELSTWO: (nA (2.2). ˝E GO DOKAVEM SAMO ZA n = 0. nEKA t E FIKSIRANO INEKA Pn(s) = P(N(t+ s)−N(t) = n). tOGAWA

P0(s+ h) = P(N(t+ s+ h)−N(t) = 0) =

= P(0 S˙BITIQ W INTERWALA(t, t+ s), 0 S˙BITIQ W INTERWALA[t+ s, t+ s+ h]) =

= P(0 S˙BITIQ W INTERWALA(t, t+ s))P(0 S˙BITIQ W INTERWALA[t+ s, t+ s+ h]) =

= P0(s)(1− λ(t+ s)h+ o(h)), h→ 0.

sLEDOWATELNO

P0(t+ s)− P0(s)

h= −λ(t+ s) +

o(h)

h, h→ 0,⇒

P ′0(s) = −λ(t+ s)P0(s).

kATO SE RE[I POSLEDNOTO DIFERENCIALNO URAWNENIE SE NAMIRA

P0(s) = e−(m(t+s)−m(t)).

wAVNOSTTA NA NEHOMOGENNIQ pOASONOW PROCES IDWA OT TOWA, Ê POWEÊ NE ISKA-

ME STACIONARNOST NA NARASTWANIQTA. pO TOZI NAÎN NIE DOPUSKAME W˙ZMOVNOSTTAS˙BITIETO DA B˙DE PO-WEROQTNO W EDNI MOMENTI OT WREME, OTKOLKOTO W DRUGI.

nEKA Sn e MOMENTA NA n−TO POQWQWANE NA S˙BITIETO W NEHOMOGENEN pOASONOWPROCES. tOGAWA ZA NEGOWATA PL˙TNOST IMAME:

P(t < Sn < t+ h) = P(N(t) = n− 1, 1 S˙BITIE W(t, t+ h)) + o(h) =

P(N(t) = n− 1)P(1 S˙BITIE W(t, t+ h)) + o(h)

= e−m(t) (m(t))n−1

(n− 1)![λ(t)h+ o(h)] + o(h)

= λ(t)e−m(t) (m(t))n−1

(n− 1)!h+ o(h).

sLEDOWATELNO

fSn(t) = λ(t)e−m(t) (m(t))n−1

(n− 1)!, m(t) =

∫ t

0

λ(s)ds.

4. obob˝eniq na poasonowiq proces - sloven i nehomogenen poasonow proces23

4.3 rAZPREDELENIE NA FUNKCII OT pOASONOW PROCES

˜ESTO SE NALAGA DA ZNAEM RAZPREDELENIETO NA NQK˙KWA FUNKCIQ f(N(t)), KAKTOPRI FIKSIRANO t TAKA I PRI t→∞.

tEOREMA 2.3. nEKA N(t), t ≥ 0 e pOASONOW PROCES S PARAMET˙R λ. tOGAWA PRI

t→∞ F.R. NA SL.W. N(t)−λt√λt

KLONI K˙M STANDARTNO NORMALNO RAZPREDELENIE, T.E.

limt→∞

P(N(t)− λt√

λt< x) = Φ(x) =

1√2π

∫ x

−∞e−u2/2du.

dOKAZATELSTWO: pORADI TOWA, ˆE N(t) ∈ Po(λt) TQ IMA HARAKTERISTIˆNA FUNK-CIQ ϕN(t)(z) = EeiN(t)z = eλt(eiz−1). sLEDOWATELNO ξt = N(t)−λt√

λt]E IMA HARAKTERIS-

TIˆNA FUNKCIQ

ϕξt(z) = e−iz√

λtϕN(t)(z√λt

)

ILI

logϕξt(z) = −iz√λt+ λt(eiz/

√λt − 1).

kATO IZPOLZUWAME RAZWITIETO NA eiz/√

λt W RED NA tEJLOR NAMIRAME:

logϕξt(z) = −iz√λt+ λt(1 +

iz√λt− z2

2λt+ . . .− 1)

ILI

logϕξt(z) → −z2

2, t→∞,

NO TOGAWA

ϕξt(z) → e−z2

2 , t→∞,

a e−z2/2 E HARAKTERISTIˆNATA FUNKCIQ NA STANDARTNOTO NORMALNO RAZPREDELENIE.tOGAWA PO TEOREMATA ZA NEPREK˙SNATOST PRI HARAKTERISTIˆNITE FUNKCII SLEDWA

TW˙RDENIETO NA TEOREMATA.

zABELEVKA 2.5. iNTERESNO E, ˆE PRI λ→∞ OTNOWON(t)−λt√

λt→ N(0, 1).

lEKCIQ 3

wINEROW PROCES


• DA RE[IM NQKOLKO ZADAÎ ZA wINEROW PROCES;

• DA DEFINIRAME NEPREK˙SNATOST I DIFERENCIRUEMOST NA SL. PROCES PRI RAZ-LIˆNI WIDOWE SHODIMOST;

• DA DADEM DOSTAT˙ˆNI USLOWIQ ZA NEPREK˙SNATOST I DIFERENCIRUEMOST;

• DA PROWERIM TEZI USLOWIQ ZA wINEROW I pOASONOW PROCES.

1 nQKOLKO ZADAÎ

oT P˙RWATA LEKCIQ ZNAEM, Ê wINEROW PROCES E SL. PROCES, KOJTO UDOWLETWO-RQWA SLEDNITE USLOWIQ:

1) X(0) = 0;2) pROCES˙T E STACIONAREN I S NEZAWISIMI NARASTWANIQ;3) X(t) ∈ N(0, σ2t);4) TRAEKTORIITE SA NEPREK˙SNATI PO t ZA WSQKO ω.dOKAZAHME, Ê PL˙TNOSTTA f(t, x) NA X(t) UDOWLETWORQWA URAWNENIETO NA DI-

FUZIQTA: ∂f

∂t= D

∂2f

∂x2(x, t)

f(x, 0) = δ(x) = P(X(0) = 0) = 1.

pRI σ = 1 SE POLUÂWA STANDARTEN wINEROW PROCES.

zADAÂ 3.1. nEKA X(t), t ≥ 0 E wINEROW PROCES. dOKAVETE, Ê PRI s1 < s2 <. . . < sm < s < t NARASTWANETO X(t) − X(s) NE ZAWISI OT X(s1), . . . , X(sm) IX(s) I

E(X(t)−X(s)) = 0, Var(X(t)−X(s)) = σ2(t− s).

24

1. nqkolko zada˜i 25

rE[ENIE: iMAME

X(s1) = x1, . . . , X(sm) = xm, X(s) = x,X(t) = y =

X(s1) = x1, X(s2)−X(s1) = x2 − x1, . . . , X(t)−X(s) = y − x STAC.=

X(s1) = x1, X(s2 − s1) = x2 − x1, . . . , X(t− s) = y − x.

tOGAWA

P(X(t) < y|X(s1) = x1, . . . , X(s) = x) =

P(X(t− s) < y − x|X(s1) = x1, . . . , X(s) = x = P(X(t− s) < y − x) =

1√2πσ2(t− s)

∫ y−x

−∞e− u2

2σ2(t−s)du.

sLEDOWATELNO wINEROWIQT PROCES E MARKOWSKI, T.E. NASTOQ]ETO NE ZAWISI OTMINALOTO.

zADAÂ 3.2. nEKA X(t) E wINEROW PROCES. pOKAVETE, Ê NARASTWANIQTA X(t)−X(s) NE ZAWISQT OT MINALOTO I IMAT MATEMATIÊSKO OÂKWANE 0 I, Ê X(t)−X(s) ∈ N(0, σ2(t− s)).

zADAÂ 3.3. pRI s < t NAMERETE P(X(s) < x|X(t) < y) =?

rE[ENIE: bEZ OGRANIÊNIE NA OB]NOSTTA MOVEM DA PREDPOLOVIM, Ê σ = 1.tOGAWA

fX(s)|X(t)(x|y) =fX(s)(x)fX(t)−X(s)(y − x)

fX(t)(y)=

1√2πs. 1√

2π(t−s)e−1

2[x2

s+

(y − x)2

t− s]

1√2πte−1

2

y2

t

= ke−x

2

2s− (y − x)2

2(t− s) =

Ce−x2[

1

2s+

1

2(t− s)+

xy

t− s]= Ce

−x2[t+ 2sxy

2s(t− s)s]

= de−

(x− y st)2

2 st(t− s) .

tAKA POLUÎHME NORMALNO RAZPREDELENIE, SLEDOWATELNO

E(X(s)|X(t) = y) =s

ty, Var(X(s)|X(t) = y) =

s

t(t− s).

zADAÂ 3.4. w S˙STEZANIE MEVDU DWAMA WELOSIPEDISTI NEKA Y (t) E WREMETO WSEKUNDI, KOETO S˙STEZATELQT A IZPREWARWA S˙STEZATELQ B, KOGATO E IZMINA-LO WREME t ∈ [0, 1]. nEKA Y (t), t ∈ [0, 1] E wINEROW PROCES S DISPERSIQ σ2.

26 lekciq 3. winerow proces

a) aKO S˙STEZATELQT A WODI S˙S σ SEKUNDI PO SREDATA NA S˙STEZANIETO t =1/2, TO NAMERETE WEROQTNOSTTA, Ê TOJ E POBEDITEL W KRAQ NA S˙STEZANIETO.

B) aKO A POBEVDAWA S˙S σ SEKUNDI PRED B, KAKWA E WEROQTNOSTTA, TOJ DAE PO-NAPRED I W SREDATA NA S˙STEZANIETO (T.E. PRI t = 1/2), ILI P(Y (1/2) >0|Y (1) = σ) =?

uP˙TWANE Φ(√

2) = 0.92,Φ(1) = 0.84.

rE[ENIE: a)

P(Y (1) > 0|Y (1/2) = σ) = P(Y (1)− Y (1/2) > −σ|Y (1/2) = σ)NEZAW.NAR

=

P(Y (1)− Y (1/2) > −σ)STAC.

= P(Y (1/2) > −σ) =

nO Y (1/2) ∈ N(0, σ2/2) ⇒ Y (1/2)

σ/√

2∈ N(0, 1) I PROD˙LVAWAJKI WERIGATA OT

RAWENSTWA, NAMIRAME

= P(Y (1/2)

σ√

2> −

√2) = 1−P(

Y (1/2)

σ√

2< −

√2) =

1− Φ(−√

2) = Φ(√

2) = 0.92.

B) zA UPRAVNENIE.

2 mOMENT NA P˙RWO DOSTIGANE NA NIWO

nEKA τa E P˙RWIQT MOMENT, W KOITO wINEROW PROCES wt PRESIÂ NIWOTO a, T.E.

τa = inft : wt ≥ a.

˝E NAMERIM RAZPREDELENIETO NA τa. iMAME, Ê

τa = max0≤s≤t

ws > a

I ]E RE[AWAME TAZI ZADAÂ ˆREZ IZPOLZUWANE NA RAZPREDELENIETO NA wt.pO FORMULATA ZA P˙LNATA WEROQTNOST IMAME

P(wt ≥ a) = P(wt ≥ a|τa ≤ t).P(τa ≤ t) + P(wt ≥ a|τa > t)P(τa > t).

nO

P(wt ≥ a|τa > t) =P(wt ≥ a; τa > t)

P(wt ≥ a)= 0,

SLEDOWATELNO

P(wt ≥ a) = P(wt ≥ a|τa ≤ t).P(τa ≤ t) =1

2P(τa ≤ t),

2. moment na p¨rwo dostigane na niwo 27

KATO POSLEDNOTO RAWENSTWO SLEDWA OT NEPREK˙SNATOSTTA NA TRAEKTORIITE NA wI-NEROWIQ PROCES. pRI USLOWIE τa ≤ t I IZHODNOTO S˙STOQNIE E wτa = a W SLED-WA]OTO SI DWIVENIE BRAUNOWATA ÂSTICA PRI t ≥ τa RAWNOWEROQTNO PREMINAWANALQWO ILI NADQSNO OT IZHODNATA TOˆKA wτa = a. sLEDOWATELNO (PORADI TOWA, Êwt ∈ N(0, tσ2)),

P(τa ≤ t) = 2P(wt ≥ a) =2√2πt

∫ ∞

a

e−x2

2t dx =

kATO NAPRAWIM SMQNA NA PROMENLIWITE W INTEGRALA (x = y√y, dx =

√tdy),

PROD˙LVAWAME WERIGATA OT RAWENSTWA

=

√2√π

∫ ∞

a/√

t

e−y2

2 dy = 2[1− Φ(a/√t)].

tAKA

P( sup0≤s≤t

ws ≥ a) = P(τa < t) = 2[1− Φ(a/√t)].

zABELEVKA 3.1. rAWENSTWOTO P(max0≤s≤tws ≥ a) = 2P(wt ≥ a) SE NARIÂ

PRINCIP NA OTRAVENIETO.

zADAÂ 3.5. nAMERETE Cov(wt, ws) =?, ∀s, t.

rE[ENIE: Cov(wt, ws) = E[(wt − Ewt)(ws − Ews)] = E(wswt).a) nEKA t > s⇒

Cov(wt, ws) = E(wtws) = E[(wt − ws)(ws − w0) + w2s ] = Ew2

s = s,

T˙J KATO Varws = Ew2s − (Ews)

2 = Ew2s I Varws = σ2s = 1.s = s.

B) pRI s > t ANALOGIˆNO POLUÂWAME Cov(wt, ws) = Ewt = t,⇒

Cov(wt, ws) = min(t, s).

sWOJSTWO NA wINEROWIQ PROCES: wINEROWIQT PROCES E KWADRATIˆNO INTEG-RUEM PROCES, T.E.

E(wt − ws)2 = E(w2

t − 2wtws + w2s) = t− 2E(wtws) + s = t+ s−min(t, s) <∞.

oPREDELENIE 3.1. wINEROW PROCES X(t) S TREND µ NARIÂME PROCES ZA KOJTO:1) X(0) = 0, P.S.;2) IMA STACIONARNI I NEZAWISIMI NARASTWANIQ;3) X(t) ∈ N(µt, σ2t).

aKO wt E STANDARTEN wINEROW PROCES, TO X(t) = µt+ σwt.


3 sWOJSTWA NA TRAEKTORIITE NA wINEROWIQ PRO-

CES

lEMA 3.1. (mARTINGALNO SWOJSTWO NA wINEROW PROCES)

E(wt|wu, 0 ≤ u ≤ s ≤ t) = ws.

dOKAZATELSTWO:

E(wt−ws+ws|ws) = E(wt−ws|ws)+E(ws|ws)NEZ.NAR.

= E(wt−ws)+ws = 0+ws = ws,

KOETO OZNAÂWA, Ê wINEROWIQT PROCES E MARTINGAL.

lEMA 3.2. (bEZ DOKAZATELSTWO) tRAEKTORIITE NA wINEROWIQ PROCES SA S NEOG-RANIÊNA WARIACIQ.

lEMA 3.3. (nEDIFERENCIRUEMOST) nEKA wt, t ∈ R+ E STANDARTEN wINEROW PRO-

CES. dIFERENˆNOTO ÂSTNOwt+h − wt

hE RAZHODQ]O PRI h → 0 OTNOSNO SHODI-

MOST PO RAZPREDELENIE.

dOKAZATELSTWO: oÊWIDNOwt+h − wt

h∈ N(0,

1

|h|). tOGAWA ZA PROIZWOLNO k > 0 E

IZP˙LNENO:

P

(∣∣∣∣wt+h − wt

h

∣∣∣∣ > k

)=

2√2π

∫ ∞

k√

h

e−y2

2 dy → 1, h→ 0,

T.E. ÂSTNOTO NE E SHODQ]O PO RAZPREDELENIE.

4 nEPREK˙SNATOST - DEFINICII

zA DA PROD˙LVIM PO-NATAT˙K S˙S SWOJSTWATA NA wINEROWIQ PROCES ]E DADEMNQKOLKO OB]I DEFINICII ZA NEPREK˙SNATOST, DIFERENCIRUEMOST I INTEGRUEMOSTNA SL. PROCESI. nEKA OTNOWO NAPOMNIM PONQTIETO ZA NEPREK˙SNATOST NA SLUÂEN

PROCES PORADI NEGOWATA IZKL@ÎTELNA WAVNOST.

4.1 nEPREK˙SNATOST P.S.

oPREDELENIE 3.2. sL. PROCES ξ(t), t ∈ [a, b] SE NARIÂ NEPREK˙SNAT (NEPREK˙S-NAT S WEROQTNOST 1), AKO POˆTI WSIˆKI NEGOWI TRAEKTORII SA NEPREK˙SNATIFUNKCII W [a, b]. (tOWA OZNAÂWA, Ê ZA OTDELNI ELEMENTARNI S˙BITIQ ω TRA-EKTORIQTA MOVE DA SE OKAVE PREK˙SNATA, NO MNOVESTWOTO A OT TEZI ω E

IZMERIMO, T.E. A PRINADLEVI NA SIGMA-ALGEBRATA NA SL. S˙BITIQ I P(A) = 0.)

4. neprek¨snatost - definicii 29

iMA RAZLIˆNI KRITERII ZA NEPREK˙SNATOST, NO NIE ]E DADEM, BEZ DOKAZATELS-TWO, EDIN OT P˙RWITE W TOWA NAPRAWLENIE, DOKAZAN OT kOLMOGOROW W NAÂLOTO NA30-TE GODINI NA MINALIQ WEK, A IMENNO:

tEOREMA 3.1. aKO S˙]ESTWUWAT POLOVITELNI ÎSLA p, r I C, TAKIWA, Ê ZAPROIZWOLNI t1, t2 ∈ [a, b] e IZP˙LNENO NERAWENSTWOTO

E[|ξ(t2)− ξ(t1)|p] ≤ C|t2 − t1|1+r,

TO PROCES˙T ξ(t), t ∈ [a, b] E NEPREK˙SNAT.

pRIMER 3.1. wINEROWIQT PROCES wt, t ≥ 0 E NEPREK˙SNAT. dEJSTWITELNO E[|wt−ws|4] = 3|t− s|2.

sEGA ]E SE SPREM PO-PODROBNO NA PONQTIETO NEPREK˙SNATOST. dA ZAPI[EM

NERAWENSTWOTO NA mARKOW ZA wINEROWIQ PROCES

P(|wt − ws| ≥ ε) ≤ E[|wt − ws|2]ε2

=|t− s|ε2

,

OT KOETO PRI s FIKSIRANO I t→ s SLEDWA, Ê P(|wt − ws| ≥ ε) → 0 ZA WSQKO ε > 0I WSQKO s ≥ 0.

tOGAWA W˙ZNIKWA TAK˙W W˙PROS: dALI SL. PROCES ξ(t), t ∈ [a, b] e NEPREK˙SNAT,AKO E IZWESTNO, Ê PRI ∀ε > 0 I s ∈ [a, b] IMAME P(|ξ(t) − ξ(s)| ≥ ε) → 0, PRIt→ s?

oTGOWOR˙T E OTRICATELEN, A TAK˙W PRIMER E pOASONOWIQ PROCES πt, t ≥ 0 S

PARAMET˙R λ. nAISTINA E[|πt − πs|] = λ|t − s| I OT NERAWENSTWOTO NA ˜EBI[OW

SLEDWA, Ê

P[|πt − πs| ≥ ε] ≤ λ|t− s|ε

,

KOETO PRI t → s KLONI K˙M 0, A TRAEKTORIITE NA pOASONOWIQ PROCES SA ST˙PALO-WIDNI FUNKCII S EDINIˆNI SKOKOWE (T.E. NE SA NEPREK˙SNATI).

4.2 sTOHASTIˆNA NEPREK˙SNATOST

cELTA NA NAPRAWENOTO RAZS˙VDENIE BE[E DA POKAVEM, Ê MOVE DA SE W˙WEDEPO-SLABA OT DEFINIRANATA WEÊ SHODIMOST (NEPREK˙SNATOST) S WEROQTNOST 1.

oPREDELENIE 3.3. sL. PROCES ξ(t), t ∈ T SE NARIÂ STOHASTIˆNO NEPREK˙SNAT

W T. t0 ∈ T, AKO ZA ∀ε > 0

P(|ξ(t)− ξ(t0)| ≥ ε) → 0, PRI t→ t0. (3.1)

aKO (3.1) E IZP˙LNENO ZA WSIˆKI t ∈ T, TO KAZWAME, Ê PROCES˙T E STOHASTIˆNONEPREK˙SNAT W T . t˙J KATO S (3.1) SE DEFINIRA SHODIMOST PO WEROQTNOST, TOWMESTO STOHASTIˆNA NEPREK˙SNATOST KAZWAME PO-KRATKO P−NEPREK˙SNATOST.


pRIMER 3.2. pOASONOWIQT PROCES πt, t ≥ 0 E P−NEPREK˙SNAT.

oT WR˙ZKATA MEVDU SHODIMOST POˆTI SIGURNO I SHODIMOST PO WEROQTNOST,SLEDWA, Ê AKO EDIN PROCES E NEPREK˙SNAT, TO TOJ E I P−NEPREK˙SNAT. oBRATNOTONE E WQRNO (pOASONOWIQT PROCES!)

˝E OTBELEVIM SPECIALNO, Ê P−NEPREK˙SNATOSTTA NA PROCESA ξ(t), t ∈ T E

EDNO SLABO IZISKWANE, NO OT DRUGA STRANA TQ E NEPOSREDSTWENO SW˙RZANA S TAKIWAWAVNI NEGOWI SWOJSTWA KATO SEPARABELNOST I IZMERIMOST.

aKO SL. PROCES ξ(t), t ∈ T E P−NEPREK˙SNAT, TO PRI [IROKI PREDPOLOVENIQS˙]ESTWUWA PROCES ξ(t), t ∈ T, KOJTO E SEPARABELEN, IZMERIM I EKWIWALENTEN NA

DADENIQ.oT DADENITE PO-GORE DEFINICII E QSNO, Ê P−NEPREK˙SNATOSTTA E SW˙RZANA S

LOKALNOTO POWEDENIE NA SL. PROCES W OTDELNI MOMENTI OT WREMETO, DOKATO NEPRE-K˙SNATOSTTA S WEROQTNOST 1 E EDNA GLOBALNA HARAKTERISTIKA.

4.3 sEPARABELNOST

˝E SE SPREM SAMO NAKRATKO BEZ DOKAZATELSTWA, T˙J KATO NE SE IZPOLZUWA PO-NATAT˙K.

nEKA E DADEN EDIN PROIZWOLEN PROCES ξ(t), t ∈ T ⊆ R. kOGATO WREMETO T E

”NEPREK˙SNATO”, T.E. T E NEIZBROIMO, ZA REDICA INTERESNI S˙BITIQ NE MOVE DA SEKAVE DALI SA IZMERIMI ILI NE I S˙OTWETNO NE MOVE DA SE PRESMQTA TQHNATA WERO-QTNOST. nAPRIMER A = ω : supt∈[a,b] ξt(ω) ≤ C ILI Bt0 = ω : ξt(ω) e NEPR. W t0I T.N.

oÊWIDNO A =⋂

t∈[a,b]ξt ≤ C, T.E. NE E IZBROIMO SEÊNIE NA IZMERIMI MNO-VESTWA ξt ≤ C I NE MOVE DA SE KAVE, Ê E IZMERIMO W OB]IQ SLUÂJ. tEZIPROBLEMI SE RE[AWAT S POMO]TA NA PONQTIETO SEPARABELNOST I CELTA E KATO OG-RANIÎM KLASA NA RAZGLEVDANITE PROCESI DO SEPARABELNITE, POSOÊNITE S˙BITIQSTAWAT IZMERIMI.

oPREDELENIE 3.4. zA PROCESA ξt, t ∈ R KAZWAME, Ê E SEPARABELEN, AKO S˙-]ESTWUWA IZBROIMO MNOVESTWO S ⊆ R I P− NULEWO MNOVESTWO N, TAKA, ÊZA PROIZWOLEN OTWOREN INTERWAL ∆ ⊆ R I PROIZWOLNO ZATWORENO MNOVESTWO

F ⊆ Rω : ξt(ω) ∈ F, t ∈ ∆∆ω : ξt(ω) ∈ F, t ∈ ∆

⋂S ⊆ N,

K˙DETO A∆B = A\B+B \A OZNAÂWA SIMETRIˆNATA RAZLIKA NA MNOVESTWATA

A I B.

zABELEVKA 3.2. kOGATO WEROQTNOSTNOTO PROSTRANSTWO E P˙LNO, TO OÊWIDNOE, Ê OT A,N ∈ F ,P(N) = 0 I A∆B ⊆ N SLEDWA, Ê B S˙]O E IZMERIMO.

oPREDELENIE 3.5. wEROQTNOSTNOTO PROSTRANSTWO (Ω,F ,P) SE NARIÂ P˙LNO,AKO OT B ⊆ A SLEDWA, Ê B e IZMERIMO ZA PROIZWOLNO P−NULEWO MNOVESTWO A.kAZWA SE O]E, Ê SIGMA ALGEBRATA F E P˙LNA OTNOSNO P.

4. neprek¨snatost - definicii 31

4.4 nEOBHODIMI I DOSTAT˙ˆNI USLOWIQ ZA NEPREK˙SNATOST

nEKA SEGA OTNOWO DA SE W˙RNEM K˙M NEPREK˙SNATOSTTA NA gAUSOWITE PROCESI.nEKA ξ(t), t ∈ [a, b] E gAUSOW PROCES S˙S SREDNO Eξ(t) = a(t) I DISPERSIQ Varξ(t) =σ2(t). zA HARAKTERISTIˆNATA FUNKCIQ φt(z) NA ξ(t) IMAME

φt(z) = E(e−izξ(t)) = exp(iza(t)− 1

2z2σ2(t)).

nEKA DADENIQT PROCES E NEPREK˙SNAT. tOGAWA NE E TRUDNO DA SE POKAVE, Êφt(z) E NEPREK˙SNATA FUNKCIQ NA t ZA WSQKO z. sLEDOWATELNO lnφt(z) E NEPREK˙S-NATA I S˙]O FUNKCIITE

σ2(t) =lnφt(z) + lnφt(−z)

−z2, a(t) =

lnφt(z) + z2

2σ2(t)

iz.

nEOBHODIMO USLOWIE gAUSOWIQT PROCES DA E NEPREK˙SNAT E FUNKCIITE a(t)I σ2(t) DA SA NEPREK˙SNATI.

dOSTAT˙ˆNI USLOWIQ ZA NEPREK˙SNATOST. nEKA a(t) = Eξ(t) = 0 (AKOEξ(t) 6= 0, ]E RAZGLEDAME ξ(t) − a(t).), a KORELACIONNATA FUNKCIQ NA PROCESA E

K(t, s). tOGAWAE[(ξ(t)− ξ(s))2] = K(t, t)− 2K(t, s) +K(s, s) ≡ ∆K,E[(ξ(t)− ξ(s))2m] = (2m− 1)!!|∆K|. (3.2)

oT (3.2) I (3.1) SLEDWA, Ê AKO KORELACIONNATA FUNKCIQ K(t, s) UDOWLETWORQWAUSLOWIQTA

|∆K| = |K(t, t)− 2K(t, s) +K(s, s)| ≤ C|t− s|r,

PRI NQK˙KWI POLOVITELNI C I r, TO PROCES˙T ]E E NEPREK˙SNAT.

4.5 L2−NEPREK˙SNATOST

oPREDELENIE 3.6. pROCES˙T ξ(t), t ∈ [a, b] SE NARIÂ NEPREK˙SNAT W L2−SMIS˙L(W SREDNO-KWADRATIÊN SMIS˙L) W T. t0 ∈ [a, b], AKO

E[(ξ(t)− ξ(t0))2] → 0, t→ t0. (3.3)

aKO (3.3) e W SILA ZA WSQKO t ∈ [a, b], KAZWAME, Ê PROCES˙T E L2−NEPREK˙SNATW [a, b].

oT NERAWENSTWOTO NA ˜EBI[OW SLEDWA, Ê AKO EDIN PROCES E L2−NEPREK˙SNAT,TO TOJ E I P−NEPREK˙SNAT, OBRATNOTO NE E WQRNO.


pRIMER 3.3. wINEROWIQT PROCES wt, t ≥ 0 I pOASONOWIQT PROCES πt, t ≥ 0 SA

L2−NEPREK˙SNATI. tW˙RDENIQTA SLEDWAT OT RAWENSTWATA:

E[(wt − ws)2] = |t− s|,

E[(πt − πs)2] = λ|t− s|+ λ2|t− s|2.

aNALOGIˆNO MOVE DA SE W˙WEDE Lp−NEPREK˙SNATOST, ZA PROIZWOLNO POLOVI-TELNO p.

nALICE SA SLEDNITE WR˙ZKI:Lp− NEPREK˙SNATOST ⇒ P−NEPREK˙SNATOST,NEPREK˙SNATOST S WER. 1 ⇒ P−NEPREK˙SNATOST.

5 dIFERENCIRANE

nEKA E DADEN SL. PROCES ξ(t), t ∈ [a, b]. rAZGLEVDAME DIFERENˆNOTO ÂSTNO

∆h(t) =ξ(t+ h)− ξ(t)

h, t, t+ h ∈ [a, b].

fIKSIRAME t I OSTAWQME h → 0. iNTERESUWAME SE DALI ∆h(t) IMA GRANICA WNQKAK˙W SMIS˙L. qSNO E, Ê NA WSEKI OT WIDOWETE SHODIMOST MOVE DA SE S˙POSTAWIS˙OTWETNA PROIZWODNA. dIFERENCIRANETO S WEROQTNOST 1, ]E OZNAÂWA, Ê POˆTIWSIˆKI TRAEKTORII NA PROCESA SA DIFERENCIRUEMI FUNKCII W T. t. pRI TOWA ZAOTDELNI ELEMENTARNI S˙BITIQ ω MOVE DA SE OKAVE, Ê ξ(t, ω) NE E DIFERENCIRUEMAW T. t, NO MNOVESTWOTO A OT TEZI ω IMA P(A) = 0. tAZI DEFINICIQ NA DIFERENCI-RUEMOST NE SE OTLIÂWA OT DEFINICIQTA W KLASIÊSKIQ ANALIZ ZA DETERMINIRANI

FUNKCII.w tEORIQTA NA WEROQTNOSTITE IMAME W˙ZMOVNOST DA DADEM O]E DWE DEFINICII

NA PROIZWODNA SW˙RZANI S Lp− I P− SHODIMOSTITE.

oPREDELENIE 3.7. pROCES˙T ξ(t), t ∈ [a, b] SE NARIÂ L2−DIFERENCIRUEM W T.t ∈ [a, b], aKO S˙]ESTWUWA limh→0 ∆h(t) W L2−SMIS˙L, T.E. S˙]ESTWUWA SL.W. ξ′(t)TAKAWA, Ê

E[|∆h(t)− ξ′(t)|2] → 0, h→ 0. (3.4)

aKO (3.4) E IZP˙LNENO ZA WSQKO t ∈ [a, b], KAZWAME, Ê PROCES˙T E DIFERENCIRUEMW L2−SMIS˙L W [a, b] I ξ′(t) NARIÂME L2−PROIZWODNA NA ξ(t).

oPREDELENIE 3.8. aKO S˙]ESTWUWA GRANICATA limh→0 ∆h(t) PO WEROQTNOST,T.E. S˙]ESTWUWA SL.W. ξ′(t) TAKAWA, Ê ZA WSQKO ε > 0

limh→0

P(|∆h(t)− ξ′(t)| > ε) = 0,

TO KAZWAME, Ê ξ(t) e P−DIFERENCIRUEM W T. t I ξ′(t) E NEGOWATA P−PROIZWODNA.

5. diferencirane 33

zABELEVKA 3.3. 1. oT NERAWENSTWOTO NA ˜EBI[OW SLEDWA, Ê AKO ξ(t) E L2−DIFERENCIRUEM, TO TOJ E I P− DIFERENCIRUEM I DWETE PROIZWODNI S˙WPADAT.

2. s˙]ESTWUWANETO NA L2− (P−) PROIZWODNI WLEÊ I S˙OTWETNATA NEPRE-K˙SNATOST.

pRIMER 3.4. nEKA wt, t ≥ 0 E wINEROW PROCES. tOGAWA ZA WSQKO t

wt+h − wt

h∈ N(0,

1

|h|),

T.E. DISPERSIQTA NA TOWA ÂSTNO KLONI K˙M BEZKRAJNOST, PRI h → 0 I OT

TUK SLEDWA, Ê wINEROWIQ PROCES NE MOVE DA B˙DE DIFERENCIRUEM DAVE I PO

WEROQTNOST A OT TAM I W L2− SMIS˙L.

pRIMER 3.5. nEKA πt, t ≥ 0 E pOASONOW PROCES. tOGAWA S WEROQTNOST 1,πt+h − πt

h= 0 ZA WSIˆKI DOSTAT˙ˆNO MALKI h.

sLEDOWATELNOπt+h − πt

h

P→ 0, PRI h → 0, KOETO POKAZWA, Ê pOASONOWIQ

PROCES E P−DIFERENCIRUEM S P−PROIZWODNA RAWNA NA 0. dA DOPUSNEM, Ê TOJ EI L2−DIFERENCIRUEM. tOGAWA I L2−PROIZWODNATA TRQBWA DA E RAWNA NA 0, NO

E

(πt+h − πt

h− 0

)2

=λ

|h|+ λ2 9 0, h→ 0.

oSWEN TOWA, E(|πt+h − πt|p) ≈ λ|h|1−p OTK˙DETO SE WIVDA, Ê pOASONOWIQTPROCES NE E Lp− DIFERENCIRUEM ZA NIKOE p ≥ 1.

rAZGLEDANITE PRIMERI POKAZWAT, Ê P−PROIZWODNATA NE E DOSTAT˙ˆNO S˙D˙R-VATELNA I ZATOWA EDWA LI IMA SMIS˙L DA SE RAZGLEVDA. nA[ATA CEL E DA IZPOL-ZUWAME ONOWA PONQTIE ZA DIFERENCIRUEMOST, KOETO BI OSIGURILO S˙D˙RVATELNOSTNA RAZWIWANATA TEORIQ. w ÂSTNOST, BIHME ISKALI SL. PROCES DA SE W˙ZSTANOWQWAEDNOZNAˆNO (S TOˆNOST DO KONSTANTA) PO SWOQTA PROIZWODNA. oKAZWA SE, Ê TAKAWAEDNOZNAˆNOST IMAME PRI L2−SHODIMOSTTA, S˙OTWETNO PRI L2−DIFERENCIRANETO.

kRITERII ZA S˙]ESTWUWANE NA L2−PROIZWODNA:nEKA ξ(t), t ≥ 0 E TAK˙W, Ê Eξ(t) = 0, t ∈ [a, b]. tOGAWA KORELACIONNATA FUNK-

CIQTA K(t, s) S˙WPADA S KOWARIACIONNATA FUNKCIQ C(t, s).

oPREDELENIE 3.9. kAZWAME, Ê C(t, s), t, s ∈ [a, b] IMA OBOB]ENA WTORA SMESENAPROIZWODNA W T. (t0, s0) AKO IZRAZ˙T

1

hh1

(C(t0 + h, s0 + h)− C(t0, s0 + h1)− C(t0 + h, s0) + C(t0, s0))

IMA KRAJNA GRANICA PRI h → 0 I h1 → 0. tAZI PROIZWODNA ]E OZNAÂWAME S˙SSIMWOLA

∂2C(t, s)

∂t∂s

∣∣∣∣t=t0,s=s0

.

tEOREMA 3.2. sL. PROCES ξ(t), t ∈ [a, b] e L2−DIFERENCIRUEM W T. t0 ∈ [a, b] SAMOTOGAWA, KOGATO KOWARIACIONNATA FUNKCIQ C(t, s) IMA OBOB]ENA WTORA SMESENAPROIZWODNA W T. (t0, t0). (w TOˆKITE (t, t) OT DIAGONALA NA KWADRATA [a, b]×[a, b].)


6 bRAUNOW MOST

oPREDELENIE 3.10. nEKA wt, t ∈ [0, 1] e STANDARTEN wINEROW PROCES. tOGAWAPROCES˙T wo

t := wt − tw1, ZA t ∈ [0, 1] SE NARIÂ bRAUNOW MOST.

dA NAMERIM WEROQTNOSTNITE HARAKTERISTIKI NA TOZI PROCES.1) wo

0 = 0 = wo1;

2) Ewot = E(wt − tw1) = 0;

3) Cov(w0t , w

os), 0 ≤ s < t ≤ 1,⇒

Cov(w0t , w

os) = E(wo

t .wos) = E[(wt − tw1)(ws − sw1)] =

E[wtws − twsw1 − swtw1 + stw21] =

KATO IZPOLZUWAME, Ê ZA wINEROWIQ PROCES Cov(wt, ws) = min(t, s),∀s, t ≥ 0 POLU-ÂWAME PO-NATAT˙K)

= min[s, t]− tmin[s, 1]− smin[t, 1] + st = min[s, t]− ts = s− ts = s(1− t).

4) E(wot )

2 = E(wt − tw1)2 = E(w2

t − 2tw1wt + t2w21) =

(I PONEVE t ≤ 1)= t− 2t2 + t2 = t− t2 = t(1− t).

5) E(wot − wo

s)2 = E(wo

t )2 − 2Ewo

twos + E(wo

s)2 =

(PRI s < t)= t(1−t)−2s(1−t)+s(1−s) = (t−s)(1−t)−s(1−t−1+s) = (t−s)(1−t)+s(t−s) == (t− s)(1− (t− s)) = E(wo

t−s)2.

sLEDOWATELNO BRAUNOWIQT MOST E S NEZAWISIMI STACIONARNI NARASTWANIQ.

oPREDELENIE 3.11. sL. PROCES wot = wt|w1 = 0, K˙DETO wt e wINEROW PROCES SE

NARIÂ BRAUNOW MOST.

pREDLOVENIE 3.1. oPREDELENIQTA 3.10 I 3.11 SA EKWIWALENTNI.

dOKAZATELSTWO: pROWERQWA SE, Ê WEROQTNOSTNITE HARAKTERISTIKI S˙WPADAT.

lEKCIQ 4

wERIGI NA mARKOW - 1


• DA DADEM DEFINICIQ NA MARKOWSKA WERIGA;

• DA IZWEDEM URAWNENIQTA NA ˜EPMEN-kOLMOGOROW;

• DA DADEM KLASIFIKACIQ NA S˙STOQNIQTA NA MARKOWSKA WERIGA;

• DA RAZGLEDAME PRIMERI NA MARKOWSKI WERIGI.

1 dEFINICIQ

nEKA STOHASTIˆNIQT PROCES Xn, n = 0, 1, 2, . . . WZEMA STOJNOSTI W KRAJNO ILIIZBROIMO MNOVESTWO, KOITO ]E PREDPOLAGAME, Ê SA NEOTRICATELNI CELI ÎSLA

0, 1, 2, . . . (AKO IZRIˆNO NE E KAZANO NE]O DRUGO). aKO Xn = i ]E KAZWAME, ÊPROCES˙T E W S˙STOQNIE i W MOMENTA n. pREDPOLAGAME O]E, Ê AKO PROCES˙T E WS˙STOQNIE i S˙]ESTWUWA FIKSIRANA WEROQTNOST pij, Ê W SLEDWA]IQT MOMENT TOJ]E B˙DE W S˙STOQNIE j I TEZI WEROQTNOSTI UDOWLETWORQWAT RAWENSTWATA:

P(Xn+1 = j|Xn = i,Xn−1 = in−1, . . . , X1 = i1, X0 = i0) = pij, (4.1)

ZA WSEKI NABOR i0, i1, . . . , in, j I WSQKO n ≥ 0. tOGAWA PROCES˙T Xn, n ≥ 0 SE

NARIÂ mARKOWSKA WERIGA.

zA WEROQTNOSTITE ZA PREHOD OT S˙STOQNIE i W S˙STOQNIE j pij E W SILA:

pij ≥ 0,∞∑

j=0

pij = 1,

T˙J KATO PROCES˙T W MOMENTA n+ 1 ]E B˙DE W EDNO OT W˙ZMOVNITE SI S˙STOQNIQ.

35

36 lekciq 4. werigi na markow - 1

mATRICATA

P =

p00 p01 . . . p0j . . .p10 p11 . . . p1j . . .. . . . . . . . . . . . . . .pi0 pi1 . . . pij . . .. . . . . . . . . . . . . . .

,

NARIÂME MATRICA OT PREHODNITE WEROQTNOSTI pij ZA EDNA ST˙PKA.

pRIMER 4.1. pROGNOZA ZA WREMETO. dA DOPUSNEM, Ê [ANS˙T UTRE DA WALI

ZAWISI OT TOWA KAKWO E BILO WREMETO DNES, NO NE ZAWISI OT TOWA KAKWO E BILO

WREMETO PREZ PREDNITE DNI. dA DOPUSNEM, Ê WEROQTNOSTTA UTRE DA WALI, AKOE WALQLO DNES E α, A WEROQTNOSTTA UTRE DA WALI, AKO NE E WALQLO DNES E β.dA KAVEM, Ê EDIN PROCES E W S˙STOQNIE 0, AKO WALI I W S˙STOQNIE 1 AKO NE

WALI. pRI NAPRAWENITE PREDPOLOVENIQ TOZI PROCES E mARKOWSKA WERIGA S DWES˙STOQNIQ 0, 1 I MATRICATA OT PREHODNITE WEROQTNOSTI ZA EDNA ST˙PKA E

P =

(α 1− αβ 1− β

),

pRIMER 4.2. sLUÂJNO LUTANE. eDNA mARKOWSKA WERIGA S MNOVESTWO OT S˙S-TOQNIQTA . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . SE NARIÂ SLUÂJNO LUTANE, AKO ZA FIKSIRANO

p ∈ (0, 1), pi,i+1 = p, pi,i−1 = 1− p ZA i = 0,±1,±2, . . ..tAKAWA mARKOWSKA WERIGA SE NARIÂ SLUÂJNO LUTANE, T˙J KATO TQ MOVE

DA SLUVI ZA MODEL NA RAZHODKA NA ÔWEK PO PRAWA LINIQ, KOJTO W˙W WSEKI

MOMENT OT WREME PRAWI ST˙PKA NADQSNO S WEROQTNOST p ILI ST˙PKA NALQWO SWEROQTNOST 1− p.

pRIMER 4.3. eDIN HAZARTEN MODEL. eDIN KOMARDVIQ NA WSEKI TUR OT IGRATA

ILI PEÊLI $1 S WEROQTNOST p ILI GUBI $1 S WEROQTNOST 1 − p. aKO DOPUSNEM,Ê IGRAˆ˙T PRIKL@ˆWA IGRATA ILI, KOGATO SE RAZORI, ILI KOGATO SPEÊLI $N, TOGAWA NEGOWATA S˙DBA (S˙STOQNIE) E mARKOWSKA WERIGA S PREHODNI WEROQT-NOSTI

pi,i+1 = p, pi,i−1 = 1− p, p00 = 1, pNN = 1.

w TAK˙W SLUÂJ S˙STOQNIQTA 0 I N SE NARIÂT POGL˙]A]I, ZA]OTO POPADAJKIW TQH PROCES˙T OSTAWA W TEZI S˙STOQNIQ ZAWINAGI.

tOZI MODEL SE NARIÂ, KRAJNO SLUÂJNO LUTANE S POGL˙]A]I BARIERI (S˙S-TOQNIQTA 0 I N .)

2 uRAWNENIQ NA ˜EPMEN-kOLMOGOROW

˝E DEFINIRAME PREHODNI WEROQTNOSTI pnij ZA PREMINAWANE OT S˙STOQNIE i W

S˙STOQNIE j ZA n ST˙PKI PO SLEDNIQ NAÎN:

pnij = P(Xn+m = j|Xm = i), n ≥ 0, m ≥ 0,

2. urawneniq na ˜epmen-kolmogorow 37

KATO

p1ij = pij.

uRAWNENIQTA NA ˜EPMEN-kOLMOGOROW NI DAWAT METOD ZA PRESMQTANE NA PRE-HODNITE WEROQTNOSTI ZA n ST˙PKI. tE SA:

pn+mij =

∞∑k=0

pmikp

nkj,∀n,m ≥ 0,∀i, j. (4.2)

iNTUITIWNO E QSNO, Ê PROCES˙T ZA n + m ST˙PKI ]E PREMINE OT S˙STOQNIE

i W S˙STOQNIE j, KATO SLEDWA TRAEKTORIITE KOITO ZA m ST˙PKI ]E GO DOWEDAT W

NQKOE S˙STOQNIE k, A SLED TOWA OT S˙STOQNIE k ZA n ST˙PKI PROCES˙T ]E POPADNEW S˙STOQNIE j. sUMIRAJKI PO WSIˆKI W˙ZMOVNI MEVDINNI S˙STOQNIQ POLUÂWAMEWEROQTNOSTTA ZA PREHOD OT i W j ZA n+m ST˙PKI.

sTROGOTO DOKAZATELSTWO E SLEDNOTO:

pn+mij = P(Xn+m = j|X0 = i) =

PO FORMULATA ZA P˙LNATA WEROQTNOST

=∞∑

k=0

P(Xn+m = j,Xn = k|X0 = i) =

=∞∑

k=0

P(Xn+m = j|Xn = k,X0 = i)P(Xn = k|X0 = i) =

PORADI mARKOWSKOTO SWOJSTWO

=∞∑

k=0

P(Xn+m = j|Xn = k)P(Xn = k|X0 = i) =

=∞∑

k=0

pmkjp

nik.

aKO OZNAÎM S P(n) MATRICATA S ELEMENTI pnij PREHODNITE WEROQTNOSTI ZA n

ST˙PKI, TO URAWNENIQTA (4.2) OZNAÂWAT, Ê

P(n+m) = P(n)P(m),

KATO MATRICITE SA UMNOVENI PO PRAWILOTO RED PO ST˙LB. tOGAWA KATO IZPOLZU-WAME, Ê P(1) = P, POLUÂWAME POSLEDOWATELNO:

P(2) = P(1)P(1) = PP = P2, P(3) = P(2)P(1) = P2P = P3,

I PO INDUKCIQ

P(n) = Pn.


pRIMER 4.4. nEKA W pRIMER 4.1, α = 0.7, β = 0.4. kAKWA E WEROQTNOSTTA

AKO DNES WALI, SLED 4 DNI PAK DA WALI? nEKA P =

(0.7 0.30.4 0.6

). pRESMQTAME

POSLEDOWATELNO

P2 =

(0.61 0.390.52 0.48

), P4 = P2P2 =

(0.5749 0.42510.5668 0.4332

).

sLEDOWATELNO p400 = 0.5749.

dO TUK WSIˆKI RAZGLEVDANI WEROQTNOSTI BQHA USLOWNI. tAKA pnij e WEROQTNOST-

TA PROCES˙T DA E W S˙STOQNIE j NA n−TA ST˙PKA (ILI W MOMENTA OT WREME n) PRIUSLOWIE, Ê E BIL W S˙STOQNIE i W MOMENTA 0. aKO SA NI NEOBHODIMI BEZUSLOW-NITE WEROQTNOSTI ZA TOWA PROCES˙T DA E W S˙STOQNIE j W MOMENTA n, TRQBWA DAZNAEM RAZPREDELENIETO NA NAÂLNOTO S˙STOQNIE NA PROCESA. nEKA SÎTAME, Ê EZADADENO RAZPREDELENIETO:

αi = P(X0 = i), i ≥ 0, (∞∑i=0

αi = 1).

tOGAWA BEZUSLOWNITE WEROQTNOSTI NA S˙STOQNIETO NA PROCESA W MOMENT n SE PO-LUÂWAT PO FORMULATA ZA P˙LNATA WEROQTNOST:

P(Xn = i) =∞∑

k=0

P(Xn = i|X0 = k)P(X0 = k) =∞∑

k=0

pnkiαk.

pRIMER 4.5. aKO α0 = 0.4, α1 = 0.6 (NAÂLNOTO RAZPREDELENIE) W pRIMER 4.4,TO TOGAWA WEROQTNOSTTA, Ê ]E WALI SLED 4 DNI OT MOMENTA, KOGATO SME

ZAPOˆNALI DA SLEDIM WREMETO E

P(X4 = 0) = 0.4p400 + 0.6p4

10 = 0.4× 0.5749 + 0.6× 0.5668 = 0.57.

3 kLASIFIKACIQ NA S˙STOQNIQTA

oPREDELENIE 4.1. s˙STOQNIETO j SE NARIÂ DOSTIVIMO OT S˙STOQNIETO i,AKO pn

ij > 0 ZA NQKOE n ≥ 0.

s DRUGI DUMI, S˙STOQNIETO j E DOSTIVIMO OTS˙STOQNIETO i ⇐⇒ , ZAPOˆWAJKIOT S˙STOQNIE i E W˙ZMOVNO PROCES˙T DA POPADNE W S˙STOQNIE j, T˙J KATO, AKO jNE E DOSTIVIMO OT i, TO

P( DA POPADNE W j| ZAPOˆWA OT i) =

= P(∪∞n=0Xn = j|X0 = i) ≤∞∑

n=0

P(Xn = j|X0 = i) =∞∑

n=0

pnij = 0.

3. klasifikaciq na s¨stoqniqta 39

oPREDELENIE 4.2. dWE S˙STOQNIQ i I j SE NARIÂT S˙OB]AWA]I SE, AKO SA

DOSTIVIMI EDNO OT DRUGO. (pI[EM i↔ j.)

zABELEVKA 4.1. wSQKO S˙STOQNIE E S˙OB]AWA]O SE S˙S SEBE SI, T˙J KATO

P(X0 = i|X0 = i) = 1.

dEFINIRANATA RELACIQ IMA SLEDNITE SWOJSTWA:(i) i↔ i, ∀i;(ii) i↔ j ⇒ j ↔ i;(iii) i↔ j I j ↔ k,⇒ i↔ k.sWOJSTWATA (i)-(iii) SLEDWAT OT oPREDELENIE 2. zA DA DOKAVEM NAPR. (iii), NEKA

i ↔ j I j ↔ k. tOGAWA S˙]ESTWUWAT ÎSLA m ≥ 0 I n ≥ 0 TAKA, Ê pnij > 0 I

pmjk > 0. sLEDOWATELNO, OT URAWNENIQTA NA ˜EPMEN-kOLMOGOROW POLUÂWAME

pn+mik =

∞∑l=0

pnilp

mlj ≥ pn

ijpmjk > 0 ⇒ k E DOSTIVIMO OT i.

pO ANALOGIÊN NAÎN MOVE DA SE DOKAVE, Ê i E DOSTIVIMO OT k.rELACIQTA ↔ E RELACIQ NA EKWIWALENTNOST I MNOVESTWOTO OT S˙STOQNIQTA NA

PROCESA SE RAZPADA NA NEPRESIÂ]I SE KLASOWE NA EKWIWALENTNOST, KATO WSEKI DWES˙STOQNIQ OT EDIN I S˙]I KLAS SA S˙OB]AWA]I SE.

oPREDELENIE 4.3. kAZWAME, Ê EDNA mARKOWSKA WERIGA E NERAZLOVIMA, AKOMNOVESTWOTO OT S˙STOQNIQTA NA WERIGATA OBRAZUWA EDIN KLAS S˙OB]AWA]I

SE S˙STOQNIQ, T.E. KOGATO WSEKI DWE S˙STOQNIQ SA S˙OB]AWA]I SE.

pRIMER 4.6. dA RAZGLEDAME mARKOWSKA WERIGA S TRI S˙STOQNIQ 0,1,2 I MAT-RICA NA PREHODNITE WEROQTNOSTI

P =

1/2 1/2 01/2 1/4 1/40 1/3 2/3

lESNO SE WIVDA, Ê TAZI mARKOWSKA WERIGA E NERAZLOVIMA. nAPRIMER OT 0 → 2

e W˙ZMOVEN PREHOD ZA DWE ST˙PKI 0 → 1 → 2, A PREHOD˙T 2 → 0 E W˙ZMOVEN ˆREZ2 → 1 → 0.

pRIMER 4.7. dA RAZGLEDAME MARKOWSKA WERIGA S 4 S˙STOQNIQ 0,1,2,3 I MATRICAOT PREHODNITE WEROQTNOSTI ZA EDNA ST˙PKA

P =

1/2 1/2 0 01/2 1/2 0 01/4 1/4 1/4 1/40 0 0 1

mNOVESTWOTO OT S˙STOQNIQTA SE S˙STOI OT SLEDNITE KLASOWE 0, 1, 2, 3,

KATO S˙STOQNIETO 3 E POGL˙]A]O.


oPREDELENIE 4.4. eDNO S˙STOQNIE NA mARKOWSKA WERIGA SE NARIÂ POGL˙]A]O,AKO NIKOE DRUGO S˙STOQNIE NE MOVE DA B˙DE DOSTIGNATO OT NEGO.

zA WSQKO S˙STOQNIE i OZNAÂWAME S

fi = P(Xn = i, ZA NQKOE n ≥ 1|X0 = i)

WEROQTNOSTTA PROCES˙T, ZAPOˆWAJKI OT S˙STOQNIE i NQKOGA DA SE W˙RNE OTNOWO WTOWA S˙STOQNIE.

oPREDELENIE 4.5. kAZWAME, Ê S˙STOQNIETO i E W˙ZWRATNO, AKO fi = 1 ILI

PREHODNO, AKO fi < 1.

dA DOPUSNEM, Ê PROCES˙T ZAPOˆWA OT S˙STOQNIE i I TO E W˙ZWRATNO. tOWA OZ-NAÂWA, Ê S WEROQTNOST 1, PROCES˙T EWENTUALNO ]E SE W˙RNE W S˙STOQNIE i, NOTOGAWA OT DEFINICIQTA NA mARKOWSKA WERIGA SLEDWA, Ê PROCES˙T ZAPOˆWA OTNA-ÂLO, WSEKI P˙T KOGATO SE W˙RNE W S˙STOQNIETO i. tOGAWA PROCES˙T EWENTUALNO ]EPOPADNE ZA WTORI P˙T W S˙STOQNIETO i I T.N. s DRUGI DUMI, STIGAME DO ZAKL@Ê-NIETO, Ê AKO S˙STOQNIETO i E W˙ZWRATNO, TO PROCES˙T ZAPOˆWAJKI OT S˙STOQNIE i]E SE WR˙]A W NEGO BEZBROJ MNOGO P˙TI.

oT DRUGA STRANA, NEKA i e PREHODNO S˙STOQNIE. tOGAWA WSEKI P˙T, KOGATOPROCES˙T POPADNE W S˙STOQNIE i ]E IMAME POLOVITELNA WEROQTNOST 1− fi > 0, ÊPROCES˙T NIKOGA NQMA DA SE W˙RNE W S˙]OTO S˙STOQNIE. sLEDOWATELNO, ZAPOˆWAJKIOT PREHODNO S˙STOQNIE i, PROCES˙T ]E POPADNE W NEGO TOˆNO n P˙TI S WEROQTNOSTfn−1

i (1−fi), n ≥ 1. tAKA BROQT NA WR˙]ANIQTA W EDNO PREHODNO S˙STOQNIE E SL. W.

S GEOMETRIˆNO RAZPREDELENIE I TQ IMA KRAJNO MATEMATIÊSKO OÂKWANE =1

1− fi

.

iZWOD˙T OT NAPRAWENITE RAZS˙VDENIQ E SLEDNIQT: s˙STOQNIETO i e W˙ZWRATNO⇐⇒ , ZAPOˆWAJKI OT NEGO, SREDNIQT BROJ WR˙]ANIQ W TOWA S˙STOQNIE E BEZKRAEN.

nEKA OZNAÎM

In =

1, AKOXn = i0, AKOXn 6= i.

tOGAWA∑∞

n=0 In ]E PREDSTAWLQWA BROQ NA WR˙]ANIQTA NA PROCESA (PERIODITEOT WREME) W S˙STOQNIE i.

dA RAZGLEDAME

E[∞∑

n=0

In|X0 = i] =∞∑

n=0

E[In|X0 = i] =∞∑

n=0

P(Xn = i|X0 = i) =∞∑

n=0

pnii.

tAKA STIGAME DO SLEDNOTO TW˙RDENIE:

pREDLOVENIE 4.1. s˙STOQNIETO i E W˙ZWRATNO, AKO∑∞

n=0 pnii = ∞ I E PREHOD-

NO, AKO∑∞

n=0 pnii <∞.


tOWA PREDLOVENIE E OSOBENO WAVNO, ZA]OTO TO POKAZWA, Ê W PREHODNO S˙S-TOQNIE MOVE DA SE POPADA SAMO KRAEN BROJ P˙TI, KOETO OT SWOQ STRANA WODI DOZAKL@ÊNIETO, Ê W KRAJNA mARKOWSKA WERIGA (S KRAEN BROJ S˙STOQNIQ) NE WSIˆ-KI S˙STOQNIQ MOGAT DA B˙DAT PREHODNI. zA DA GO DOKAVEM NEKA DA DOPUSNEM,Ê mARKOWSKA WERIGA IMA KRAEN BROJ S˙STOQNIQ 0, 1, 2, . . . ,M I DA DOPUSNEM, ÊWSIˆKITE SA PREHODNI. tOGAWA SLED WREME T0 < ∞ W S˙STOQNIETO 0 NQMA DA SE

POPADA, SLED WREME T1 NQMA DA SE POPADA W S˙STOQNIE T1 I T.N. tOGAWA SLED WREMET = maxT0, T1, . . . , TM NQMA DA SE POPADA W NIKOE S˙STOQNIE. nO T˙J KATO PRO-CES˙T WSE TRQBWA DA E W NQKOE S˙STOQNIE, STIGAME DO PROTIWOREÎE, KOETO POKAZWA,Ê NE MOVE WSIˆKI S˙STOˆNIQ DA SA PREHODNI, PONE EDNO TRQBWA DA E W˙ZWRATNO.

sLEDSTWIE 4.1. aKO S˙STOQNIETO i E W˙ZWRATNO i ↔ j, TO I S˙STOQNIETO jS˙]O E W˙ZWRATNO.

dOKAZATELSTWO: T˙J KATO i ↔ j ⇒, Ê S˙]ESTWUWAT m, k ≥ 0 CELI TAKIWA, Êpk

ij > 0, pmji > 0. tOGAWA ZA WSQKO CQLO n ≥ 0

pn+m+kjj ≥ pm

jipniip

kij, (4.3)

T˙J KATO W LQWATA STRANA E WEROQTNOSTTA ZA PREHOD OT j W j ZA n+m+k ST˙PKI, aOTDQSNO E WEROQTNOSTTA ZA PREHOD OT j W j PO TRAEKTORII, TAKIWA, Ê ZA m ST˙PKI

PROCES˙T POPADA OT j W i SLED TOWA ZA n ST˙PKI OT i OTIWA PAK W i I ZA POSLEDNITEk ST˙PKI OT i OTIWA W j.

sUMIRAJKI W (4.3) PO n POLUÂWAME

∞∑n=1

pn+m+kjj ≥ pm

jipkij

∞∑n=1

pnii = ∞,

T˙J KATO pmjip

kij > 0 I

∑∞n=1 p

nii = ∞, (i E W˙ZWRATNO.) sEGA OT pREDLOVENIE 4.1

SLEDWA, Ê j S˙]O E W˙ZWRATNO.

zABELEVKA 4.2. (i) pREHODNOSTTA S˙]O E OB]O SWOJSTWO NA WSIˆKI S˙STOQNIQOT EDIN KLAS, T.E. i↔ j I i e PREHODNO, TO I j e PREHODNO.

(ii) sLEDSTWIE 4.1 ZAEDNO S TW˙RDENIETO, Ê NE WSIˆKI S˙STOQNIQ W KRAJNAMARKOWSKA WERIGA SA PREHODNI NI DAWA, Ê AKO EDNA KRAJNA mARKOWSKA WERIGA ENERAZLOVIMA, TO WSIˆKITE I S˙STOQNIQ SA W˙ZWRATNI.

pRIMER 4.8. nEKA MARKOWSKATA WERIGA IMA 4 S˙STOQNIQ 0, 1, 2, 3 I MATRICATAOT PREHODNITE WEROQTNOSTI E

P =

0 0 1/2 1/21 0 0 00 1 0 00 1 0 0


pRIMER 4.9. nEKA MARKOWSKA WERIGA IMA 5 S˙STOQNIQ 0, 1, 2, 3, 4 I MATRICATAOT PREHODNITE WEROQTNOSTI E

P =

1/2 1/2 0 0 01/2 1/2 0 0 00 0 1/2 1/2 00 0 1/2 1/2 01/4 1/4 0 0 1/2

dA SE NAMERQT W˙ZWRATNITE S˙STOQNIQ.

rE[ENIE. s˙STOQNIQTA NA mARKOWSKATA WERIGA SE RAZDELQT NA TRI KLASA

0, 1, 2, 3, 4. s˙STOQNIETO 4 E PREHODNO, T˙J KATO WEDN˙V IZLQZ˙L OT NEGO

PROCES˙T NE SE WR˙]A POWEÊ. dRUGITE S˙STOQNIQ SA W˙ZWRATNI.

pRIMER 4.10. sLUÂJNO LUTANE: mARKOWSKA WERIGA S˙S S˙STOQNIQ: 0,±1,±2, . . .I PREHODNI WEROQTNOSTI:

pi,i+1 = p, pi,i−1 = 1− p, 0 < p) < 1, i = 0,±1,±2, . . . .

qSNO E, Ê WSIˆKI S˙STOQNIQ SA S˙OB]AWA]I SE. sLEDOWATELNO TE ILI WSIˆ-KITE SA W˙ZWRATNI ILI WSIˆKI SA PREHODNI. dA RAZGLEDAME S˙STOQNIETO 0 I

DA WIDIM∑∞

n=1 pn00 E KRAJNA ILI BEZKRAJNA. t˙J KATO NE E W˙ZMOVNO SLED NE-

ÊTEN BROJ ST˙PKI, IZLIZAJKI OT 0 PROCES˙T OTNOWO DA SE W˙RNE W 0, TOp2n−1

00 = 0,∀n ≥ 1. sLED ÊTEN BROJ 2n ST˙PKI PROCES˙T ]E E OTNOWO W S˙STO-QNIE 0, AKO SA NAPRAWENI TOˆNO n ST˙PKI W LQWO I TOˆNO n ST˙PKI W DQSNO. nOPORADI TOWA, Ê WSQKA ST˙PKA NE ZAWISI OT PREDNITE, TO BROQ NA ST˙PKITE WDQSNO E BINOMNO RAZPREDELENA SL.W. S PARAMETRI p, 2n. tOGAWA WEROQTNOSTTA ZA

TOˆNO n OT 2n ST˙PKI DA SA W DQSNO E (2nn)pn(1− p)n, KOETO E I WEROQTNOSTTA

ZA WR˙]ANE W S˙STOQNIETO 0 ZA 2n ST˙PKI. tAKA

p2n00 =

(2n)!

n!n![p(1− p)]n, n = 1, 2, . . .

kATO IZPOLZUWAME FORMULATA NA sTIRLING n! ∼ nn+1/2e−n√

2π, NAMIRAME

p2n00 ∼

[4p(1− p)]n√πn

.

tOGAWA RED˙T

∞∑n=1

pn00 ]E E SHODQ], TOGAWA I SAMO TOGAWA, KOGATO E SHODQ]

REDA

∞∑n=1

[4p(1− p)]n√πn

.

pORADI TOWA, Ê 4p(1 − p) ≤ 1,∀p ∈ (0, 1) KATO RAWENSTWO SE DOSTIGA SAMOPRI p = 1/2 ZAKL@ÂWAME, Ê

∑∞n=1 p

n00 = ∞ ⇐⇒ p = 1/2.

tAKA S˙STOQNIQTA SA W˙ZWRATNI PRI p = 1/2 I PREHODNI PRI p 6= 1/2.


pRI p = 1/2 SLUÂJNOTO LUTANE SE NARIÂ SIMETRIˆNO.dA RAZGLEDAME SIMETRIˆNO SLUÂJNO LUTANE W RAWNINATA (DWUMERNO SL. LU-

TANE). nA WSQKA ST˙PKA MOVEM DA PREMINEM W EDNO OT 4-TE W˙ZMOVNI S˙SEDNI

S˙TOQNIQ(NAGORE, NADOLU, NALQWO I NADQSNO) S WEROQTNOSTI S˙OTWETNO PO 1/4, T.E.

p(ij)(i,j−1) = p(ij)(i−1,j) = p(ij)(i,j+1) = p(ij)(i+1,j) = 1/4.

˝E DOKAVEM, Ê TOWA SLUÂJNO LUTANE S˙]O E W˙ZWRATNO.t˙J KATO WERIGATA E NERAZLOVIMA (WSIˆKI S˙STOQNIQ SA S˙OB]AWA]I SE), TO

DOSTAT˙ˆNO E OTNOWO DA RAZGLEDAME S˙STOQNIETO (00). wEROQTNOSTTA ZA WR˙]ANE WNAÂLOTO SLED NEÊTEN BROJ ST˙PKI OTNOWO E RAWNA NA 0. zA DA SE W˙RNE PROCES˙TW S˙STOQNIE (00) SLED 2n ST˙PKI TRQBWA DA SA NAPRAWENI i PREHODA W LQWO, iPREHODA W DQSNO n− i PREHODA NAGORE I n− i PREHODA NADOLU, ZA NQKOE i, 0 ≤ i ≤ n.tOGAWA ZA p2n(00)(00) POLUÂWAME

p2n(00)(00)

n∑i=0

(2n)!

i!i!(n− i)!(n− i)!

(1

4

)2n

=

=n∑

i=0

(2n)!

n!n!

n!

i!(n− i)!

n!

i!(n− i)!

(1

4

)2n

=

=

(1

4

)2n(2n)!

n!n!

n∑i=0

(n

i)( n

n− i)

=

=

(1

4

)2n(2n)!

n!n!

(2n)!

n!n!.

nO(2n)!

n!n!∼ (2n)2n+1/2e−2n

√2π

n2n+1e−2n2π=

4n

√πn

.

sLEDOWATELNO p2n(00)(00) ∼

1

πn⇒

∞∑n=1

pn(00)(00) = ∞. sLEDOWATELNO S˙STOQNIETO (00)

W˙ZWRATNO, A OT TAM I WSIˆKI S˙STOQNIQ SA W˙ZWRATNI.iNTERESNO E DA SE OTBELEVI, Ê SLUÂJNO LUTANE W PROSTRANSTWO S TRI I

POWEÊ IZMERENIQ NE MOVE DA B˙DE W˙ZWRATNO.

lEKCIQ 5

wERIGI NA mARKOW - 2


• DA DEFINIRAME GRANIˆNI WEROQTNOSTI;

• DA DEFINIRAME OBRATIMI W˙W WREMETO MARKOWSKI WERIGI;

• DA RAZGLEDAME KATO PRIMER EDIN KLAS RAZKLONQWA]I.

1 gRANIˆNI WEROQTNOSTI

dA SE W˙RNEM K˙M pRIMER 4.4, IZPOLZWAJKI , Ê P(8) = P(4)P(4) ⇒

P(8) =

(0.572 0.4280.57 0.430

)tRQBWA DA OTBELEVIM, Ê:1) mATRICATA P(8) E POˆTI IDENTIˆNA S P(4) I

2) pO REDOWE STOJNOSTITE NA P(8) S˙]O POˆTI S˙WPADAT ILI pnij KLONI K˙M

NQKAKWA STOJNOST PRI n → ∞, KOQTO E EDNA I S˙]A ZA WSIˆKI i. s DRUGI DUMI

IZGLEVDA, Ê S˙]ESTWUWA GRANIˆNA WEROQTNOST, Ê PROCES˙T ]E B˙DE W S˙STOQNIEj SLED GOLQM BROJ PREHODI I TAZI WEROQTNOST NE ZAWISI OT NAÂLNOTO S˙STOQNIE.zA DA NAPRAWIM GORNITE EWRISTIˆNI RAZS˙VDENIQ PO-STROGI E NEOBHODIMO DA

OTBELEVIM O]E DWE DOP˙LNITELNI SWOJSTWA NA mARKOWSKITE WERIGI.

oPREDELENIE 5.1. s˙STOQNIETO i SE NARIÂ PERIODIˆNO S PERIOD d > 1 ⇐⇒ ,KOGATO NAJ-GOLQMIQT OB] DELITEL NA ÎSLATA n, ZA KOITO pn

ij > 0 E d.

nAPRIMER, ZAPOˆWAJKI OT i E W˙ZMOVNO PROCES˙T DA SE WR˙]A W i SAMO W

MOMENTITE 2, 4, 6, 8, . . . , ⇒ i IMA PERIOD d = 2.

oPREDELENIE 5.2. s˙STOQNIE S PERIOD 1 SE NARIÂ APERIODIˆNO.

44

1. graniñi weroqtnosti 45

pERIODIˆNOSTTA E OB]O SWOJSTWO, NA S˙STOQNIQTA OT EDIN I S˙]I KLAS NA

EKWIWALENTNOST, T.E. AKO i E S PERIOD d I i↔ j SLEDWA, Ê j E S PERIOD d.

oPREDELENIE 5.3. mARKOWSKATA WERIGA E PERIODIˆNA, AKO E NERAZLOVIMA I

IMA PERIODIˆNO S˙STOQNIE S PERIOD d.

oPREDELENIE 5.4. s˙STOQNIE i SE NARIÂ POLOVITELNO W˙ZWRATNO, AKO E W˙Z-WRATNO I ZAPOˆWAJKI OT i, OÂKWANOTO WREME, ZA KOETO PROCES˙T ]E SE W˙RNE

W i E KRAJNO.

pOSLEDNOTO SWOJSTWO S˙]O E OB]O ZA S˙STOQNIQTA OT EDIN KLAS NA EKWIWALEN-TNOST, T.E. AKO i E POLOVITELNO W˙ZWRATNO I i ↔ j SLEDWA, Ê j E POLOVITELNOW˙ZWRATNO.

oPREDELENIE 5.5. s˙STOQNIE, KOETO NE E POLOVITELNO W˙ZWRATNO SE NARIÂNULEWO W˙ZWRATNO.

oPREDELENIE 5.6. mARKOWSKATA WERIGA E POLOVITELNO W˙ZWRATNA, AKO E NE-RAZLOVIMA I IMA PONE EDNO POLOVITELNO W˙ZWRATNO S˙STOQNIE.

˝E B˙DE POKAZANO, Ê W KRAJNA mARKOWSKATA WERIGA WSQKO W˙ZWRATNO S˙STOQ-NIE E POLOVITELNO W˙ZWRATNO.

oPREDELENIE 5.7. pOLOVITELNO, W˙ZWRATNO, APERIoDIˆNO S˙STOQNIE SE NARI-Â ERGODIˆNO.

tEOREMA 5.1. (BEZ DOKAZATELSTWO) zA NERAZLOVIMA ERGODIˆNA mARKOWSKA WE-RIGA S˙]ESTWUWA:

limn→∞

pnij,

NEZAWISE]A OT i. aKO OZNAÎM

πj = limn→∞

pnij, j ≥ 0,

TO πj E EDINSTWENOTO NEOTRICATELNO RE[ENIE NA

πj =∞∑i=0

πipij, j ≥ 0. (5.1)

zABELEVKA 5.1. (i) aKO π = limn→∞ pnij S˙]ESTWUWA I NE ZAWISI OT i, NE E

TRUDNO (EWRISTIˆNO) DA WIDIM, Ê UDOWLETWORQWA (5.1). dArAZGLEVDAME:

P(Xn+1 = j) =∞∑i=0

P(Xn+1 = j|Xn = i)P(Xn = i) =∞∑i=0

pijP(Xn = i). (5.2)


pRI n→∞ W (5.2)

πj =∞∑i=0

πipij.

(ii) mOVE DA SE POKAVE, Ê πj E S˙]O RAWNO NA OTNO[ENIETO NA WREMETO,KOGATO PROCES˙T E BIL W S˙STOQNIE jK˙M n, ZA GOLEMI n.

(iii) w NERAZLOVIMIQ, POLOVITELNO W˙ZWRATEN I PERIODIÊN SLUÂJ, OTNOWOS˙]ESTWUWA πj, j ≥ 0 I E EDINSTWENOTO NEOTRICATELNO RE[ENIE NA (5.1).

pRIMER 5.1. dA RAZGLEDAME OTNOWO pRIMER 4.1. oT URAWNENIETO (5.1) ZA GRA-NIˆNITE WEROQTNOSTI π0 I π1 IMAME:

π0 = απ0 + βπ1

π1 = (1− α)π0 + (1− β)π1

π0 + π1 = 1,

sLEDOWATELNO π0 =β

1 + β − α, π1 =

1− α

1 + β − α. pRI α = 0.7, β = 0.4 ⇒ π0 =

4/7 = 0.571.

pRIMER 5.2. ( Hardy - Weinberg Law. MARKOWSKA WERIGA W GENETIKATA. ) rAZ-GLEVDAME GOLQMA POPULACIQ OT INDIWIDI, WSEKI OT KOJTO PRITEVAWA DWOJKA

GENI,OT KOITO SA KLASIFICIRANI OT TIP A I a. nEKA W POPULACIQTA IMAME AA I

aa ILI aA INDIWIDI S˙OTWETNO S WEROQTNOST p0, q0, r0 (p0+q0+r0 = 1). kOGATODWA INDIWIDA SE KR˙STOSAT, WSEKI OT TQH DAWA SLUÂJNO EDINIQT OT GENITE SI

W NOWOTO POKOLENIE. dA DOPUSNEM, Ê KR˙STOSWANETO STAWA SLUÂJNO I WSEKIINDIWID RAWNOWEROQTNO MOVE DA SE KR˙STOSA S WSEKI DRUG OT POPULACIQTA.

iSKAME DA OPREDELIM WEROQTNOSTITE p, q, r ZA RAZPROSTRANENIE NA TIPOWETEAA, aa, Aa W SLEDWA]OTO POKOLENIE.

nEKA OTBELEVIM, Ê SLUÂJNIQT IZBOR NA RODITEL I SLED TOWA SLUÂJNIQT

IZBOR NA NEGOWITE GENI E EKWIWALENTNO NA SLUÂEN IZBOR NA GEN OT CQLATA PO-PULACIQ NA GENITE. kATO WZEMEM USLOWNATA WEROQTNOST PRI DWOJKATA GENI NA

RODITELQ WIVDAME, Ê SLUÂJNO PODBRAN GEN ]E B˙DE TIP A S WEROQTNOST

P(A) = P(A|AA)p0 + P(A|aa).q0 + P(A|aA)r0 = p0 +r02.

aNALOGIˆNO

P(a) = p0 +r02.

i TAKA SLED SLUÂJNO KR˙STOSWANE, SLUÂJNO IZBRAN INDIWID OT SLEDWA]O POKO-LENIE ]E B˙DE:

- OT TIP AA S WEROQTNOST p = P(A)P(A) = (p0 +r02

)2;

1. graniñi weroqtnosti 47

- OT TIP aa S WEROQTNOST q = (q0 +r02

)2 I

- OT TIP Aa S WEROQTNOST r = 2P(A).P(a) = 2(p0 +r02

)(q0 +r02

).

pROCENT˙T NA TIPOWETE AA, aa, Aa W SLEDWA]OTO POKOLENIE E S˙OTWETNO p, qI r.

nEKA SEGA RAZGLEDAME NOWOTO POKOLENIE. pRI NEGO PROCENTNOTO S˙D˙RVANIE

NA GENITE TIP A ]E B˙DE p +r

2I TOWA E ÂSTTA OT GENITE OT TIP A, KOITO SA

OSTANALI NEPROMENENI OT PREDI[NOTO POKOLENIE. tOWA SLEDWA ILI OT ARGUMENTA,Ê (CQLATA) TOTALNATA GENNA POPULACIQ NE SE MENI OT POKOLENIE NA POKOLENIE,ILI OT SLEDNATA PROSTA SMETKA:

p+r

2= (p0+

r02

)2+(p0+r02

)(q0+r02

) = (p0+r02

)[p0+2r02

+q0] = p0+r02

= P(A) (5.3)

sLEDOWATELNO, S˙OTNO[ENIETO NA A I a W GENNATA POPULACIQ E S˙]OTO, KAKTOW NAÂLNATA POPULACIQ. oT TOWA SLEDWA, Ê PRI SLUÂJNO KR˙STOSWANE W˙W WSIˆKISLEDWA]I POKOLENIQ SLED NAÂLNOTO, PROCENTNOTO S˙OTNO[ENIE NA INDIWIDITE SGENI AA, aa I Aa ]E OSTANE FIKSIRANO S˙S STOJNOSTI: p, q I r. tOWA SE NARIÂZAKON NA Hardy-Weinberg.

dA DOPUSNEM, Ê GENNATA POPULACIQ NA DWOJKITE GENI AA, aa, Aa SE E STABILI-ZIRALA OKOLO % : p, q, r I DA PROSLEDIM GENETIˆNATA ISTORIQ NA EDIN EDINSTWEN

INDIWID I NEGOWITE NASLEDNICI (ZA PROSTOTA DOPUSKAME, Ê WSEKI INDIWID IMATOˆNO EDIN NASLEDNIK). nEKA ZA DADEN INDIWID Xn OZNAÎM GENETIˆNOTO S˙STO-QNIE NA NEGOWIQ n−TI NASLEDNIK (ILI NEGOWIQ NASLEDNIK W n−TOTO POKOLENIE).mATRICATA NA PREHODNITE WEROQTNOSTI NA TAZI mARKOWSKA WERIGA E: p+ r

20 q + r0

2

0 q + r2

p+ r2

p2

+ r4

q2

+ r4

p2

+ q2

+ r2

iNTUITIWNO E QSNO, Ê GRANIˆNITE WEROQTNOSTI NA TAZI mARKOWSKA WERIGA ]E

B˙DAT OTNOWO p, q, r ZA NASLEDNICITE NA INDIWIDITE OT TRITE TIPA AA, aa, Aa.zA DA POKAVEM TOWA E DOSTAT˙ˆNO DA PROWERIM, Ê TE UDOWLETWORQWAT URAWNENIE(5.1), T.E.

p = p(p+r

2) + r(

p

2+r

4) = (p+

r

2)2,

q = q(q +r

2) + r(

q

2+r

4) = (q +

r

2)2,

p+ q + r = 1,

NO TOWA E IZP˙LNENO PORADI (5.3).

zABELEVKA 5.2. πj, j ≥ 0 SE NARIÂT O]E STACIONARNI WEROQTNOSTI.


pRIÎNATA E, Ê AKO DOPUSNEM, Ê NAÂLNOTO S˙STOQNIE E IZBRANO W S˙OT-WETSTWIE S RAZPREDELENIE πj, j ≥ 0, TO TOGAWA WEROQTNOSTTA DA SE NAMIRAME OT-NOWO W TOWA S˙STOQNIE ZA WSQKO n E πj, T.E. AKO P(X0 = j) = πj, j ≥ 0, TOP(Xn = j) = πj,∀n, j ≥ 0.

lESNO SE WIVDA, Ê TOWA E TAKA ˆREZ INDUKCIQ PO n. nEKA E IZP˙LNENO ZA n− 1I DA PROWERIM ZA n. iMAME OT (5.1):

P(Xn = j) =∞∑i=0

P(Xn = j|Xn−1 = i)P(Xn−1 = i) =∞∑i=0

pijπi = πj.

2 sREDNO WREME W PREHODNITE S˙STOQNIQ

rAZGLEVDAME KRAJNA mARKOWSKA WERIGA I NEKA S˙STOQNIQTA SA NOMERIRANI I T =1, 2....t E MNOVESTWOTO OT PREHODNITE S˙STOQNIQ,

PT =

p11 p12 . . . p1t

. . . . . . . . . . . .pt1 pt2 . . . ptt

I DA OTBELEVIM, Ê T˙J KATO P SE S˙STOI SAMO OT PREHODNI WEROQTNOSTI ZA PRE-MINAWANE OT PREHODNo S˙STOQNIE W PREHODNO S˙STOQNIE, TO NQKOJ OT SUMITE PO

REDOWE SA PO-MALKI OT 1.nEKA S sij OZNAÎM OÂKWANIQ BROJ PERIODI OT WREME mARKOWSKATA WERIGA DA

B˙DE W PREHODNO S˙STOQNIE j, PRI USLOWIE, Ê ZAPOˆWA OT PREHODNO S˙STOQNIE i(ILI RESPEKTIWNO BROJ WR˙]ANIQ W j.)

nEKA δi,j =

1, i = j0, i 6= j

pRI USLOWIe NAÂLNIQ PREHOD POLUÂWAME

sij = δi,j +∑

k

pikskj = δi,j +t∑

k=1

pikskj, (5.4)

K˙DETO POSLEDNOTO RAWENSTWO SLEDWA OT TOWA, Ê NE E W˙ZMOVEN PREHOD OT W˙ZW-RATNO W PREHODNO S˙STOQNIE, OTK˙DETO skj = 0, KOGATO k E W˙ZWRATNO S˙STOQNIE.

nEKA S E MATRICATA OT STOJNOSTI sij, T.E.

S =

s11 s12 ... s1t

si1 si2 ... sit

... ... ... ....st1 st2 ... stt

.

tOGAWA (5.4) MOVE DA SE PRESTAWI W SLEDNIQ MATRIÊN ZAPIS

S = I + PT S, (5.5)

K˙DETO I E EDINIˆNATA MATRICA S RAZMERNOST t I T˙J KATO (5.5) E EKWIWALENTNONA (I − PT )S = I, POLUÂWAME S = (I − PT )−1, T.E. SREDNITE WREMENA NA PRESTOJ WPREHODNO S˙STOQNIE SE POLUÂWAT LESNO SLED OBR˙]ANE NA MATRICA I− PT .

3. razklonqwa˝i se procesi 49

3 rAZKLONQWA]I SE PROCESI

kLAS mARKOWSKI WERIGI S [IROKO PRILOVENIE W BIOLOGIQTA, SOCIOLOGIQTA,INVENERNITE NAUKI.

dA RAZGLEDAME POPULACIQ OT INDIWIDI, KOITO ”PROIZWEVDAT”INDIWIDI OT S˙-]IQ WID. nEKA WSEKI INDIWID W KRAQ NA SWOQ VIWOT PROIZWEDE j NOWI INDIWIDI SWEROQTNOST pj, j ≥ 0, NEZAWISIMO OT BROQ PROIZWEVDANI INDIWIDI OT OSTANALITE,S˙]ESTWUWA]I INDIWIDI.

nAÂLNIQ BROJ OZNAÂWAME S X0 I NARIÂME RAZMER NA NULEWOTO POKOLENIE.cQLOTO POTOMSTWO NA NULEWOTO POKOLENIE OBRAZUWA P˙RWOTO POKOLENIE I BROQT NA

INDIWIDITE W NEGO OZNAÂWAME S X1. nEKA S Xn OZNAÎM BROQ INDIWIDI W n−TOPOKOLENIE ⇒ Xn E mARKOWSKA WERIGA S MNOVESTWO NA S˙STOQNIQTA NEOTRICA-TELNI CELI ÎSLA (N ∪ 0). 0-TA E W˙ZWRATNO S˙STOQNIE , T˙J KATO p00 = 1. aKOp0 > 0 WSIˆKI S˙STOQNIQ SA PREHODNI. tOWA SLEDWA OT FAKTITE, Ê pi0 = pi

0, KO-ETO POKAZWA, Ê ZAPOˆWAJKI S i INDIWIDA, S˙]ESTWUWA POLOVITELNA WEROQTNOST≥ pi

0, NIKOE SLEDWA]O POKOLENIE DA NE SE S˙STOI OT i INDIWIDA. nE]O POWEÊ, T˙JKATO WSQKO KRAJNO PODMNOVESTWO NA PREHODNITE S˙STOQNIQ 1, 2, ..., n ]E B˙DEPOSETENO KRAEN BROJ P˙TI, TOWA WODI DO WAVNOTO ZAKL@ÊNIE, Ê AKO p0 > 0, TOPOPULACIQTA ILI ]E SE IZRODI (T.E. NQMA DA IMA POWEÊ INDIWIDI) ILI NEJNIQRAZMER KLONI K˙M BEZKRAJNOST.

nEKA µ =∑∞

j=0 jpj E SREDNIQT BROJ INDIWIDI PORODENI OT EDIN INDIWID I

σ2 =∑∞

j=0(j − µ)2pj, e DISPERSIQTA NA BROQ NA INDIWIDITE.nEKA X0 = 1, MOVEM DA ZAPI[EM, Ê

Xn =

Xn−1∑i=1

Zi,

Zi− E BROQ POToMSTWOTO NA i−TIQ INDIWID W n− 1−TO POKOLENIE. s USREDNQWANE

PO Xn−1 ⇒

EXn = E(E(Xn|Xn−1)) = E(E(

Xn−1∑i=1

Zi)|Xn−1) = E(Xn−1µ) = µEXn−1 (5.6)

oT (5.6) ⇒ (EX0 = 1, QSNO!)EX1 = µEX2 = µEX1 = µ2

. . .EXn = µEXn−1 = µn

aNALOGIˆNO ZA DISPERSIQTA KATO IZPOLZUWAME FORMULATA ZA USLOWNA DISPER-SIQ, T.E.

VarXn = E[Var(Xn|Xn−1)] + Var[E(Xn|Xn−1)]


I FAKTA, Ê PRI ZADADENO Xn−1 , Xn E SUMA OT NEZAWISIMI EDNAKWO RAZPREDELENI

S pj, j ≥ 0 SL. W., TOVar(Xn|Xn−1) = Xn−1σ

2

I OT FORMULATA ZA USLOWNATA DISPERSIQ I OT (5.6) ⇒VarXn = E(Xn−1σ

2) + Var(Xn−1µ) = σ2µn−1 + µ2VarXn−1,

I KATO WZEMEM W PREDWID, Ê VarX0 = 0 PO INDUKCIQ, POLUÂWAME:

VarXn =

σ2µn−1

(µn−1µ−1

), AKO µ 6= 1

nσ2, AKO µ = 1

nEKA OZNAÎM π0 = limn→∞P(Xn = 0|X0 = 1) E WEROQTNOSTTA PROCES˙T DA SEIZRODI (DA POPADNE W POGL˙]A]OTO S˙STOQNIE 0).

zA P˙RWI P˙T ZADAÂTA ZA NAMIRANE NA WEROQTNOSTTA π0 E W˙ZNIKNALA I E FOR-MULIRANA OT gALTON PREZ 1889 G. W˙W WR˙ZKA S IZRAVDANETO NA BLAGORODNIÊSKITEFAMILII W aNGLIQ.

dA OTBELEVIM, Ê π0 = 1, AKO µ < 1, ZA]OTO

µn = EXn =∞∑

j=1

jP(Xn = j) ≥∞∑

j=1

P(Xn = j) = P(Xn ≥ 1),

I OT µn → 0, n → ∞ (µ < 1) SLEDWA WEDNAGA, Ê P(Xn ≥ 1) → 0, ILI S˙OTWETNOP(Xn = 0) → 1, n→∞. mOVE DA SE DOKAVE, Ê π0 = 1 DORI I PRI µ = 1.

pRI µ > 1 ⇒ π0 < 1 I URAWNENIETO, OT KOETO MOVEM DA PRESMETNEM π0

POLUÂWAME KATO USREDNIM PO POTOMSTWOTO NA NAÂLNATA ÂSTICA:

π0 = P(POPULACIQTA SE IZRAVDA) =∞∑

j=0

P(POPULACIQTA SE IZRAVDA|X1 = j)pj.

pRI USLOWIE, Ê X1 = j, POPULACIQTA ]E SE IZRODI ⇐⇒ WSQKA OT j−TE FAMI-LII, ZAPOˆWA]I OT WSEKI OT INDIWIDITE NA P˙RWOTO POKOLENIE, UMIRA. t˙J KATOWSQKA FAMILIQ EWOL@IRA NEZAWISIMO OT OSTANALITE I WEROQTNOSTTA ZA NEJNOTO

IZRAVDANE E S˙]O π0, TO

P(POPULACIQTA SE E IZRODILA|X1 = j) = πj0 ⇒

π0 UDOWLETWORQWA URAWNENIETo

π0 =∞∑

j=0

πj0pj. (5.7)

kOGATO µ > 1 MOVE DA SE POKAVE, Ê π0 E NAJ-MALKOTO POLOVITELNO ÎSLO,KOETO E KOREN NA URAWNENIETO (5.7).

zADAÂ 5.1. aKO p0 = 1/4, p1 = 1/4, p2 = 1/2 DA SE OPREDELI π0.

zADAÂ 5.2. aKO W NAÂLNIQT MOMENT X0 = n, I OTNOWO IMAME S˙]ITE STOJ-NOSTI NA WEROQTNOSTITE OT zADAÂ 5.1, NA KOLKO E RAWNA WEROQTNOSTTA ZAIZRAVDANE NA POPULACIQTA?

4. obratimi markowski werigi( w¨w wremeto) 51

4 oBRATIMI mARKOWSKI WERIGI( W˙W WREMETO)

rAZGLEVDAME STACIONARNA ERGODIˆNA mARKOWSKA WERIGA S PREHODNI WEROQTNOSTI

pij I STACIONARNI WEROQTNOSTI πj I DA DOPUSNEM, Ê ZAPOˆWAJKI OT DADEN MOMENTPROSLEDQWAME S˙STOQNIQTA NA TEZI mARKOWSKA WERIGA OBRATNO W˙W WREMETO, T.E.ZAPOˆWAJKI OT n DA RAZGLEDAME Xn, Xn−1, Xn−2, . . .. oKAZWA SE, Ê TAZI REDICA E

OTNOWO mARKOWSKA WERIGA S PREHODNI WEROQTNOSTI Qij DEFINIRANI, ˆREZ

Qij = P(Xm = j|Xm+1 = i) =P(Xm = j,Xm+1 = i)

P(Xm+1 = i)

=P(Xm = j)P(Xm+1 = i|Xm = j)

P(Xm+1 = i)=πjpji

πi

.

zA DA POKAVEM, Ê OBRATNIQT PROCES E NAISTINA mARKOWSKA WERIGA, TRQBWA DAUSTANOWIM, Ê

P(Xm = j|Xm+1 = i,Xm+2, Xm+3, . . .) = P(Xm = j|Xm+1 = i).

nEKA NASTOQ]IQT MOMENT E m+ 1. t˙J KATO X0, X1, X2, . . . e mARKOWSKA WERI-GA, USLOWNOTO RAZPREDELENIE NA B˙DE]ETO Xm+2, Xm+3, . . . PRI ZADADENO NASTOQ]EXm+1 E NEZAWISIMO OT MINALOTO S˙OTWETNO OT Xm. (nO NEZAWISIMOSTTA E SIMET-RIˆNA RELACIQ, T.E. AKO A NE ZAWISI OT B TO I B NE ZAWISI OT A). tOWA OZNAÂWA,Ê PRI ZADADENO Xm+1, Xm NE ZAWISI OT Xm+2, Xm+3, . . .. tOˆNO TOWA, KOETO BE[ENEOBHODIMO DA PROWERIM.

aKO Qij = pij ZA WSIˆKI i I j, KAZWAME Ê mARKOWSKATA WERIGA E OBRATIMA W˙WWREMETO. tOWA USLOWIE S˙]O MOVE DA SE IZRAZI I TAKA

πipij = πjpji,∀i, j. (5.8)

aKO S˙]ESTWUWAT ÎSLA xi, UDOWLETWORQWA]I (5.8) I∑

i xi = 1, TO mARKOW-SKATA WERIGA E OBRATIMA I TEZI ÎSLA PREDSTAWLQWAT GRANIˆNOTO RAZPREDELENIE

NA WERIGATA. tOWA E TAKA, T˙J KATO xipij = xjpji I SUMIRAJKI PO i POLUÂWAME:∑i

xipij = xj

∑i

pji,∑

i

xi = 1, (5.9)

NO GRANIˆNITE WEROQTNOSTI πi SA EDINSTWENOTO RE[ENIE NA (5.9). sLEDOWATELNOxi = πi,∀i.

tEOREMA 5.2. eDNA ERGODIˆNA mARKOWSKA WERIGA,ZA KOQTO pij = 0 WINAGI KOGATOPji = 0 E OBRATIMA W˙W WREMETO, TOGAWA I SAMO TOGAWA, KOGATO, ZAPOˆWAJKI OTS˙STOQNIE i, WSQKA TRAEKTORIQ, WODE]A OBRATNO W i IMA S˙]ATA WEROQTNOST,KAKTO OBRATNATA, T.E.

pii1pi1i2 . . . piki = piikpikik−1. . . pi1i, (5.10)

ZA WSEKI NABOR i1, i2, . . . , ik.


dOKAZATELSTWO: nEOBHODIMOST: wEˆE E DOKAZANA.dOSTAT˙ˆNOST: fIKSIRAME S˙STOQNIQTA i I j I DA ZAPI[EM (5.10), TAKA

pii1pi1i2 . . . pikjpji = pijpjikpikik−1. . . pi1i,

SUMIRAJKI PO WSIˆKI S˙STOQNIQ i1, i2, . . . , ik, SLEDWA:

pk+1ij pji = pijp

k+1jk .

pRI k →∞ POLUˆAWAME:πjpji = πipij,

S KOETO TEOREMATA E DOKAZANA.

lEKCIQ 6

mARKOWSKI WERIGI S

NEPREK˙SNATO WREME (mwnw)


• DA DADEM DEFINICIQ NA MARKOWSKA WERIGA S NEPREK˙SNATO WREME;

• DA IZWEDEM PRAWITE I OBRATNI DIFERENCIALNI URAWNENIQ kOLMOGOROW;

• DA RAZGLEDAME KATO PRIMERI PROCESITE NA RAVDANE I UMIRANE;

• DA RE[IM NQKOI ZADAÎ.

1 dEFINICIQ

s EDIN PRIMER NA mwnw NIE WEÊ SE ZAPOZNAHME - TOWA E pOASONOWIQ PROCES.t˙J KATO S N(t) OZNAÎHME OB]IQ BROJ NA ZAQWKITE (ILI POQWQWANIQTA NA DADE-NO S˙BITIE) DO MOMENTA t, TOWA E S˙]O S˙STOQNIETO NA PROCESA W MOMENT t, TOpOASONOWIQT PROCES E mwnw S˙S S˙STOQNIQ 0, 1, 2, . . . , KOQTO WINAGI PREMINAWAOT S˙STOQNIE n W S˙STOQNIE n + 1, n ≥ 0. tAK˙W PROCES SE NARIÂ O]E PROCESNA ÎSTO RAVDANE, PORADI TOWA, Ê S˙STOQNIETO MU WINAGI NARASTWA S EDINICA.pO-OB]O, EDIN EKSPONENCIALEN MODEL, KOJTO MOVE DA PREMINE (ZA EDIN PREHOD)SAMO OT S˙STOQNIE n W S˙STOQNIE n − 1 ILI W S˙STOQNIE n + 1 SE NARIÂ PROCESNA RAVDANE I UMIRANE. zA TAK˙W MODEL PREHODITE OT S˙STOQNIE n W S˙STOQNIE

n+1 SE NARIÂT ”RAVDANE”, A OT n W n− 1 ”SM˙RT”. tEZI MODELI NAMIRAT [IROKOPRILOVENIE W BIOLOGIQTA, A S˙]O I PRI IZUÂWANE NA OPA[KITE (W TEORIQTA NAMASOWOTO OBSLUVWANE), PRI KOITO S˙STOQNIETO PREDSTAWLQWA BROQ NA KLIENTITE WOPA[KATA NA OBSLUVWA]ATA SISTEMA. ˝E POLUÎM T. NAR. PRAWI I OBRATNI DIFE-RENCIALNI URAWNENIQ NA kOLMOGOROW, KOITO OPISWAT WEROQTNOSTNITE ZAKONI NA

SISTEMATA.

oPREDELENIE 6.1. nEKA X(t), t ≥ 0 E STOHASTIÊN PROCES S NEPREK˙SNATO

WREME I S˙S STOJNOSTI W MNOVESTWOTO OT CELITE NEOTRICATELNI ÎSLA (Z+).

53

54lekciq 6. markowski werigi s neprek¨snato wreme (mwnw)

kAZWAME, Ê X(t) E mwnw, AKO ZA WSEKI s, t ≥ 0 I NEOTRICATELNI CELI ÎSLA

i, j I WSQKA CELOÎSLENA FUNKCIQ x(u) : [0, s) → Z+

P(X(t+ s) = j|X(s) = i,X(u) = x(u), 0 ≤ u < s) = P(X(t+ s) = j|X(s) = i).

s DRUGI DUMI, EDNA mwnw E STOHASTIÊN PROCES, PRITEVAWA] mARKOWSKOTO

SWOJSTWO, Ê USLOWNOTO RAZPREDELENIE NA B˙DE]ETO X(t+ s) PRI DADENO NASTOQ]EX(s) I MINALO X(u), 0 ≤ u < s, ZAWISI SAMO OT NASTOQ]ETO I E NEZAWISIMO OTMINALOTO.

aKO DOP˙LNITELNO WEROQTNOSTTA P(X(t + s) = j|X(s) = i) NE ZAWISI OT s, TOmwnw E S HOMOGENNI PO WREMETO PREHODNI WEROQTNOSTI I SE NARIÂ HOMOGENNA

mwnw.pO-NATAT˙K ]E RAZGLEDAME SAMO HOMOGENNI mwnw.dA RAZGLEDAME mwnw, KOQTO SE NAMIRA W S˙STOQNIE i W MOMENTA 0 I DA DOPUS-

NEM, Ê TQ NE NAPUSKA TOWA S˙STOQNIE W SLEDWA]ITE 10 MIN. kAKWA E WEROQTNOSTTA,Ê ]E OSTANE W S˙]OTO S˙STOQNIE O]E 5 MIN? t˙J KATO PROCES˙T E W S˙STOQNIEi 10 MIN., TO OT mARKOWSKOTO SWOJSTWO SLEDWA, Ê WEROQTNOSTTA DA OSTANE W TOWAS˙STOQNIE W INTERWALA [10, 15] E TOˆNO BEZUSLOWNATA WEROQTNOST, Ê PROCES˙T ]ESTOI W S˙STOQNIE i PONE O]E 5 MIN. tOWA OZNAÂWA, Ê AKO OZNAÎM S Ti D˙LVI-NATA NA INTERWALA OT WREME, W KOJTO PROCES˙T SE NAMIRA W S˙STOQNIE i PREDI DAPREMINE W DRUGO S˙STOQNIE, UDOWLETWORQWA

P(Ti > 15|Ti > 10) = P(Ti > 5)

ILI PO OB]O

P(Ti > s+ t|Ti > s) = P(Ti > t), s, t ≥ 0.

tOWA OZNAÂWA, Ê Ti e SL. WELIÎNA, KOQTO E ”BEZ PAMET” (BEZ POSLEDEJSTWIE) ITRQBWA DA E EKSPONENCIALNO RAZPREDELENA. tAKA ESTESTWENO STIGAME DO SLEDNATAEKWIWALENTNA DEFINICIQ NA mwnw.

oPREDELENIE 6.2. nEKA X(t), t ≥ 0 E STOHASTIÊN PROCES S NEPREK˙SNATO

WREME I S˙S STOJNOSTI W MNOVESTWOTO OT CELITE NEOTRICATELNI ÎSLA (Z+).kAZWAME, Ê X(t) E mwnw, AKO:

(i) WREMETO NA PRESTOJ Ti W S˙STOQNIE i, PREDI DA POPADNE W DRUGO S˙STOQ-NIE E Exp RAZPREDELENA SL. W. S˙S SREDNO 1/νi;

(ii) KOGATO PROCES˙T NAPUSKA i I POPADA W S˙STOQNIE j S WEROQTNOST pij,

TO pij TRQBWA DA UDOWLETWORQWA USLOWIQTA: pii = 0,∀i I∑

j

pij = 1, ∀i.

s DRUGI DUMI mwnw E STOHASTIÊN PROCES, KOJTO PREMINAWA OT EDNO S˙STOQ-NIE W DRUGO W S˙OTWETSTWIE S PREHODNITE WEROQTNOSTI NA EDNA mARKOWSKA WERIGA,NO WREMETO MEVDU PREHODITE NE E KONSTANTA 1, A E Exp RAZPREDELENA SL. WELI-ÎNA S RAZPREDELENIE, ZAWISE]O OT S˙STOQNIETO (Exp(1/νi)), KOETO PROCES˙T ]ENAPUSNE PRI PREHODA. nE]O POWEÊ, WREMENATA NA PRESTOJ W DADENO S˙STOQNIE i ISLEDWA]OTO S˙STOQNIE j SA NEZAWISIMI SL. W.

2. procesi na ravdane i umirane 55

2 pROCESI NA RAVDANE I UMIRANE

rAZGLEVDAME SISTEMA, ÎETO S˙STOQNIE W˙W WSEKI MOMENT E BROQ HORA W SISTEMATAW TOZI MOMENT. dA DOPUSNEM, Ê WSEKI P˙T, KOGATO IMA n ÔWEKA, TOGAWA:

(i) NOWI HORA PRISTIGAT W S˙OTWETSTWIE S Exp RAZPREDELENIE S PARAMET˙R

1/λn (Exp(1/λn));(ii) NQKOI OT PRIS˙STWUWA]ITE NAPUSKAT SISTEMATA W S˙OTWETSTWIE S Exp(1/µn).tOWA ]E REÊ, Ê WSEKI P˙T, KOGATO W SISTEMATA IMA n ÔWEKA, WREMETO DO

PRISTIGANE NA NOWI HORA E Exp(1/λn) I E NEZAWISIMO OT WREMETO DO SLEDWA]OTONAPUSKANE NA HORA OT SISTEMATA, KOETO P˙K E Exp(1/µn).

tAKAWA SISTEMA NARIÂME PROCES NA RAVDANE I UMIRANE S PARAMETRI λn∞n=0−STEPENI NA RAVDANE I µn∞n=0− STEPENI NA SM˙RTNOST.

i TAKA PROCESITE NA RAVDANE I UMIRANE (pru) SA mwnw S˙S S˙STOQNIQ

0, 1, 2, . . . I PREHODI OT n W n− 1 ILI W n+ 1.wR˙ZKITE MEVDU STEPENITE NA RAVDAEMOST I SM˙RTNOST I PREHODNITE WEROQT-

NOSTI SA SLEDNITE:ν0 = λ0;

νi = λi + µi, i > 0;

p01 = 1;

pi,i+1 =λi

λi + µi

, i > 0;

pi,i−1 =µi

λi + µi

, i > 0.

pRIMER 6.1. (pROCES NA pOASON) rAZGLEVDAME pru, ZA KOJTO µn = 0, ∀n ≥ 0I λn = λ, ∀n ≥ 0. tOWA E PROCES, PRI KOJTO NQMA SM˙RT I WREMETO MEVDU

POSLEDOWATELNITE RAVDANIQ E SL. W. S Exp(1/λ) RAZPREDELENIE. sLEDOWATELNO,TOWA E TOˆNO pOASONOW PROCES.

pROCES NA RAVDANE I UMIRANE, ZA KOJTO µn = 0, ∀n ≥ 0 SE NARIÂ PROCES NAÎSTO RAVDANE.

pRIMER 6.2. (pROCES NA RAVDANE S LINEJNA STEPEN (SKOROST) NA RAVDAEMOST.)rAZGLEVDAME POPULACIQ, ÎJTO ˆLENOWE MOGAT DA IMAT POKOLENIE, NO NIKOGANE UMIRAT. aKO WSEKI INDIWID SE RAZWIWA NEZAWISIMO OT OSTANALITE I IMA

Exp(1/λ) RAZPREDELENO WREME DOKATO DADE POTOMSTWO, TO AKO X(t) E RAZMER˙TNA POPULACIQTA W MOMENT t, TOGAWA X(t), t ≥ 0 E ÎST PROCES NA RAVDANE S

λn = nλ, n ≥ 0. tOZI PROCES SE NARIÂ ÊSTO PROCES NA ‘L.

pRIMER 6.3. (pROCES NA RAVDANE I UMIRANE S LINEJNA SKOROST I IMIGRACIQ.)pROCES, ZA KOJTO µn = nµ, n ≥ 1 λn = nλ+θ, n ≥ 0 SE NARIÂ pru S IMIGRACIQ.tAK˙W PROCES ESTESTWENO W˙ZNIKWA PRI IZUÂWANE NA BIOLOGIˆNATA REPRODUK-TIWNOST I NARASTWANETO NA POPULACIQTA. wSEKI INDIWID SE PREDPOLAGA, Ê IMAPOKOLENIE SLED WREME NA VIWOT S Exp(1/λ) RAZPREDELENIE I IMA DOP˙LNITELNA


EKSPONENCIALNA STEPEN NA NARASTWANE θ NA POPULACIQTA, KOQTO SE D˙LVI NAW˙N[EN IZTOˆNIK NA IMIGRACIQ. tAKA OB]ATA STEPEN NA RAVDAEMOST, KOGATOIMAME n INDIWDA W SISTEMATA e nλ + θ. sM˙RTNOSTTA SE PREDPOLAGA, Ê EExp(1/µ) ZA WSEKI INDIWID I SLEDOWATELNO, µn = nµ.

nEKA X(t) =RAZMER˙T NA POPULACIQTA W MOMENT t I X(0) = i I DA OZNAÎMS M(t) = EX(t).

˝E POLUÎM DIFERENCIALNO URAWNENIE ZA M(t). iMAME

M(t+ h) = EX(t+ h) = E(E(X(t+ h)|X(t))).

tAKA PRI X(t) DADENO IMAME:

X(t+ h) =

X(t) + 1, S WEROQTNOST [θ + λX(t)]h+ o(h),X(t)− 1, S WEROQTNOST µX(t)h+ o(h),X(t), S WEROQTNOST 1− [θ + λX(t) + µX(t)]h+ o(h),

tOGAWA

E(X(t+ h)|X(t)) = X(t) + [θ +X(t)λ−X(t)µ]h+ o(h).

kATO WZEMEM MATEMATIÊSKOTO OÂKWANE OT DWETE STRANI NA TOWA RAWENSTWO NA-MIRAME:

M(t+ h) = M(t) + (λ− µ)M(t)h+ θh+ o(h) ⇒M(t+ h)−M(t)

h= (λ− µ)M(t) + θ +

o(h)

h,

KOETO PRI h→ 0 DAWA (PRI λ 6= µ)

M ′(t) = (λ− µ)M(t) + θ. (6.1)

tOWA E LINEJNO DIFERENCIALNO URAWNENIE OT 1 RED S POSTOQNNI KOEFICIENTI I

SLEDOWATELNO IMA OB]O RE[ENIE NA HOMOGENNOTO URAWNENIE M(t) = Ce−(λ−µ)t I

OÊWIDNO ÂSTNO RE[ENIE M0(t) = −θλ−µ

. tAKA OB]OTO RE[ENIE NA (6.1) e

M(t) = Ce−(λ−µ)t − θ

λ− µ.

kATO WZEMEM W PREDWID I NAÂLNOTO USLOWIE M(0) = i NAMIRAME, Ê

M(t) =θ

λ− µ[e−(λ−µ)t − 1] + ie−(λ−µ)t.

kOGATO λ = µ URAWNENIETO (6.1) STAWAM ′(t) = θ I S˙S S˙]OTO NAÂLNO USLOWIEM(0) = i NAMIRAME:

M(t) = θt+ i.

3. weroqtnostta funkciq na prehodite PIJ(T ) 57

3 wEROQTNOSTTA FUNKCIQ NA PREHODITE Pij(t)

nEKA Pij(t) = P(X(t + s) = j|X(s) = i) E WEROQTNOSTTA, Ê AKO W MOMENTA sPROCES˙T E W S˙STOQNIE i SLED WREME t ]E B˙DE W S˙STOQNIE j. nARIÂT SE PREHODNIWEROQTNOSTI NA mwnw.

oPREDELENIE 6.3. zA WSQKA DWOJKA S˙STOQNIQ i, j NEKA DA OZNAÎM S

qij = νipij.

t˙J KATO νi E SKOROSTTA, S KOQTO PROCES˙T IZW˙R[WA PREHOD OT i I pij

E WEROQTNOSTTA ZA PREHOD OT i W j, TO qij e SKOROSTTA, S KOQTO PROCES˙TOT S˙STOQNIE i PREMINAWA W S˙STOQNIE j. ˜ISLATA qij SE NARIÂT MOMENTNI

PREHODNI SKOROSTI (T.E. OT i BEZ DA PRESTOQWA PREMINAWA W j.)

oT νi =∑

j

νipij =∑

j

qij I pij =qijνi

=qij∑j qij

, SLEDWA, Ê qij ZADAWAT EDNOZNAˆ-

NO PARAMETRITE NA mwnw.

lEMA 6.1. w SILA SA:

A) limh→0

1− Pii(h)

h= νi,

B) limh→0

Pij(h)

h= qij, i 6= j.

dOKAZATELSTWO: A) p˙RWO DA OTBELEVIM, Ê T˙J KATO WREMETO DOKATO SE IZW˙R-[I PREHOD E EKSPONENCIALNO RAZPREDELENO, TO WEROQTNOSTTA ZA 2 I POWEÊ PREHODAZA WREME h E o(h). sLEDOWATELNO, 1−Pii(h)− WEROQTNOSTTA, Ê AKO PROCES˙T E BILW MOMENTA 0 W S˙STOQNIE i DA SI OSTANE W i SLED WREME h, e RAWNA NA WEROQTNOSTTA,Ê ]E IMAME EDIN PREHOD W INTERWALA S D˙LVINA h+NE]O MALKO W SRAWNENIE Sh. sLEDOWATELNO

1− Pii(h) = νih+ o(h),

KOETO DOKAZWA A).B) dA ZABELEVIM, Ê Pij(h)− WEROQTNOSTTA, Ê PROCES˙T PREMINAWA OT S˙STOQ-

NIE i W S˙STOQNIE j ZA WREME h E RAWNA NA WEROQTNOSTTA, Ê ]E IMAME EDIN PREHODZA TOWA WREME UMNOVENA S WEROQTNOSTTA ZA PREHOD OT i W j +o(h). sLEDOWATELNO

Pij(h) = hνipij + o(h),

OT K˙DETO SLEDWA B).

lEMA 6.2. zA WSQKO s ≥ 0 I WSQKO t ≥ 0

Pij(t+ s) =∞∑

k=0

Pik(t)Pkj(s). (6.2)

(uRAWNENIQ NA ˜EPMEN-kOLMOGOROW.)


dOKAZATELSTWO: iZRAZQWAME Pij(t+ s) KATO SUMIRAME PO WSIˆKI MEVDINNI S˙S-TOQNIQ k, W KOITO POPADA PROCES˙T ZA WREME t, T.E.

Pij(t+ s) = P(X(t+ s) = j|X(0) = i) =∞∑

k=0

P(X(t+ s) = j,X(t) = k|X(0) = i) =

∞∑k=0

P(X(t+ s) = j|X(t) = k,X(0) = i)P(X(t) = k|X(0) = i) =

∞∑k=0

P(X(t+ s) = j|X(t) = k)P(X(t) = k|X(0) = i) =

=∞∑

k=0

Pik(t)Pkj(s).

s TOWA DOKAZATELSTWOTO E ZAW˙R[ENO. oT (6.2) SLEDWA, Ê

Pij(t+ h)− Pij(t) =∞∑

k=0

Pik(h)Pkj(t)− Pij(t) =

=∑k 6=i

Pik(h)Pkj(t)− [1− Pii(h)]Pij(t).

sLEDOWATELNO

limh→0

Pij(t+ h)− Pij(t)

h=

limh→0

∑k 6=i

Pik(h)

hPkj(t)−

[1− Pii(h)]

hPij(t)

,

I AKO PREDPOLOVIM, Ê MOVE DA SE SMENI REDA NA SUMIRANETO I GRANIˆNIQ PREHODI IZPOLZUWAME lEMA 6.1, ]E POLUÎM, Ê

P ′ij(t) =

∑k 6=i

qikPkj(t)− νiPij(t).

i TAKA, BEZ DA DOKAZWAME STROGO ZAKONNOSTTA NA SMQNATA NA GRANIˆNIQ PREHODS˙S SUMIRANETO (KOETO PRI WERIGA S KRAEN BROJ S˙STOQNIQ E OÊWIDNO) STIGAMEDO SLEDNATA TEOREMA.

tEOREMA 6.1. (oBRATNI URAWNENIQ NA kOLMOGOROW.) zA ∀i, j, I t ≥ 0

P ′ij(t) =

∑k 6=i

qikPkj(t)− νiPij(t).

3. weroqtnostta funkciq na prehodite PIJ(T ) 59

pRIMER 6.4. oBRATNITE URAWNENIQ NA kOLMOGOROW ZA PROCES NA ÎSTO RAVDA-NE IMAT WIDA

P ′ij(t) = λiPi+1,j(t)− λiPij(t). (6.3)

sEGA ]E POLUÎM I T. NAR. PRAWI URAWNENIQ NA kOLMOGOROW. oTNOWO OT (6.2)IMAME

Pij(t+ h)− Pij(t) =∞∑

k=0

Pik(t)Pkj(h)− Pij(t) =

=∑k 6=j

Pik(t)Pkj(h)− [1− Pjj(h)]Pij(t).

sLEDOWATELNO

limh→0

Pij(t+ h)− Pij(t)

h=

limh→0

∑k 6=i

Pik(t)Pkj(h)

h− [1− Pjj(h)]

hPij(t)

,

I AKO PREDPOLOVIM, Ê MOVE DA SE SMENI REDA NA SUMIRANETO I GRANIˆNIQ PREHODI IZPOLZUWAME lEMA 6.1, ]E POLUÎM, Ê

P ′ij(t) =

∑k 6=j

qkjPik(t)− νjPij(t).

tAKA STIGAME DO SLEDNATA TEOREMA.

tEOREMA 6.2. (pRAWI URAWNENIQ NA kOLMOGOROW.) pRI PODHODQ]I USLOWIQ ZA

REGULQRNOST

P ′ij(t) =

∑k 6=j


zABELEVKA 6.1. sMQNATA NA REDA NA SUMIRANETO I GRANIˆNIQ PREHOD NE WI-NAGI E ZAKONNA. tOWA E WQRNO ZA KRAJNI SUMI I PRI IZWESTNI USLOWIQ ZA REDA,AKO TOJ E BEZKRAEN. tEZI USLOWIQ SA NAREÊNI PO-GORE USLOWIQ ZA REGULQRNOST.s˙]O TAKIWA USLOWIQ SÎTAME, Ê SA NALICE I PRI TEOREMATA ZA OBRATNITEURAWNENIQ NA kOLMOGOROW.

pRIMER 6.5. dA RE[IM PRAWITE URAWNENIQ ZA ÎST PROCES NA RAVDANE. iMAME

P ′ij(t) = λj−1Pi,j−1(t)− λjPij(t).

t˙J KATO Pij = 0 ZA i < j (NQMA ”UMIRANE”), TO

P ′ii(t) = −λiPii(t) (6.4)

I

P ′ij(t) = λj−1Pi,j−1(t)− λjPij(t), j ≥ i+ 1. (6.5)


pREDLOVENIE 6.1. zA ÎST PROCES NA RAVDANE

(i) Pii(t) = e−λit, i ≥ 0,

(ii) Pij(t) = λj−1e−λjt

∫ t

0

eλjsPi,j−1(s)ds, j ≥ i+ 1.

dOKAZATELSTWO: mOVE DA SE NAPRAWI ˆREZ NEPOSREDSTWENA PROWERKA W (6.4) I(6.5).

4 gRANIˆNI WEROQTNOSTI

pO ANALOGIQ NA DISKRETNITE mARKOWSKI WERIGI I PRI mwnw WEROQTNOSTTA

PROCES˙T DA POPADNE W S˙STOQNIE j W MOMENTA t KLONI K˙M GRANIˆNA STOJNOST,KOQTO NE ZAWISI OT NAÂLNOTO S˙STOQNIE, T.E. AKO TAZI STOJNOST E Pj, TO

Pj = limt→∞

Pij(t).

˝E POLUÎM SISTEMA ALGEBRIˆNI URAWNENIQ ZA Pj. dA RAZGLEDAME SISTEMATAPRAWI DIFERENCIALNI URAWNENIQ NA kOLMOGOROW:

P ′ij(t) =

∑k 6=j


aKO NAPRAWIM GRANIÊN PREHOD PO t→∞ W TOWA URAWNENIE ]E POLUÎM

limt→∞

P ′ij(t) = lim

t→∞

[∑k 6=j

qkjPik(t)− νjPij(t)

]=

∑k 6=j

qkjPk − νjPj. (6.6)

oT TOWA, Ê 0 ≤ Pij(t) ≤ 1 SLEDWA, Ê AKO S˙]ESTWUWA GRANICATA limt→∞ P ′ij(t)

TO TQ NEPREMENNO E RAWNA NA 0. tOGAWA OT (6.6) SLEDWA

0 =∑k 6=j

qkjPk − νjPj

ILI

νjPj =∑k 6=j

qkjPk, (6.7)

ZA WSQKO S˙STOQNIE j.tOGAWA SISTEMATA (6.7) I O]E URAWNENIETO∑

j

Pj = 1, (6.8)

MOVE DA SE IZPOLZUWA ZA NAMIRANE NA GRANIˆNITE WEROQTNOSTI Pjj≥0.

5. presmqtane na prehodnite weroqtnosti 61

zABELEVKA 6.2. 1. pREDPOLOVIHME, Ê GRANIˆNITE WEROQTNOSTI S˙]ESTWU-WAT. dOSTAT˙ˆNI USLOWIQ ZA TOWA SA:

A) wSIˆKI S˙STOQNIQ NA mARKOWSKATA WERIGA SA S˙OB]AWA]I SE, T.E. ZA-POˆWAJKI OT i IMA POLOVITELNA WEROQTNOST DA SE POPADNE W j ZA WSEKI DWE

S˙STOQNIQ i, j IB) mARKOWSKATA WERIGA E POLOVITELNO W˙ZWRATNA, T.E. ZAPOˆWAJKI OT DA-

DENO S˙STOQNIE SREDNOTO WREME ZA WR˙]ANE W TOWA S˙STOQNIE E KRAJNO.aKO A) I B) SA IZP˙LNENI, TO S˙]ESTWUWAT GRANIˆNITE WEROQTNOSTI Pj

I UDOWLETWORQWAT URAWNENIQTA (6.7) I (6.8). Pj SE RAZGLEVDAT S˙]O I KATO

ÂSTTA OT WREMETO, PREZ KOETO mwnw E BILA W S˙STOQNIETO j PRI DOSTA-T˙ˆNO D˙L˙G PERIOD (0, t).

2. (6.7) I (6.8) IMAT SLEDNATA INTERPRETACIQ: w˙W WSEKI INTERWAL (0, t)BROQ NA PREHODITE W S˙STOQNIE j TRQBWA DA E RAWEN NA PREHODITE OT S˙STOQNIE

j.

νjPj = SKOROSTTA, S KOQTO PROCES˙T NAPUSKA S˙STOQNIETO j

qkj E SKOROSTTA, S KOQTO OT k WLIZA W j, Pk E ÂSTTA OT WREMETO, PREZKOETO SE NAMIRA W S˙STOQNIETO k. sLEDOWATELNO, SKOROSTTA, S KOQTO SE IZ-W˙R[WA PREHOD˙T OT k W j E qkjPk. tOGAWA∑

k 6=j

qkjPk = SKOROSTTA, S KOQTO PROCES˙T WLIZA W S˙STOQNIE j.

3. kOGATO Pj S˙]ESTWUWAT mwnw SE NARIÂ ERGODIˆNA I Pj SE NARIÂT

STACIONARNI WEROQTNOSTI.

5 pRESMQTANE NA PREHODNITE WEROQTNOSTI

nEKA OZNAÎM ZA ∀i, j

rij =

qij, i 6= j,−νi, i = j.

tOGAWA OBRATNITE

P ′ij(t) =

∑k 6=i

qikPkj(t)− νiPij(t) (6.9)

I PRAWITE

P ′ij(t) =

∑k 6=j

qkjPik(t)− νjPij(t) (6.10)

URAWNENIQ NA kOLMOGOROW IMAT S˙OTWETNO PREDSTAWQNETO:

P ′ij(t) =

∑k

rikPkj(t) (6.11)


I

P ′ij(t) =

∑k

rkjPik(t) (6.12)

oZNAÂWAME MATRICITE R = (rij), P(t) = (Pij(t)) I P′(t) = (P ′ij(t)). sLEDOWATEL-

NO OT (6.11) NAMIRAMEP′(t) = RP(t), (6.13)

A OT (6.12) SLEDWAP′(t) = P(t)R. (6.14)

tOGAWA RE[ENIETO NA (6.13) E P(t) = P(0)eRt I T˙J KATO P(0) = I TO SLEDWA, ÊP(t) = eRt, K˙DETO MATRICATA eRt SE DEFINIRA ˆREZ:

eRt =∞∑

n=0

Rn tn

n!, (6.15)

a S Rn E OZNAÊNA n− TATA STEPEN NA MATRICATA R.oT IZÎSLITELNA GLEDNA TOˆKA WMESTO DA SE IZPOLZUWA (6.15) ZA PRESMQTANE

NA eRt E PO-UDAˆNO DA SE IZPOLZUWA MATRIˆNIQ EKWIWALENT NA RAWENSTWOTO

ex = limn→∞

(1 +x

n)n,

T.E.

eRt = limn→∞

(I +Rtn

)n.

sLEDOWATELNO, AKO n = 2k, TO MOVEM DA PRESMETNEM P(t) ˆREZ POWDIGANE NA MAT-

RICATA M = I+Rt

nNA n− TA STEPEN, KOETO MOVE DA SE IZW˙R[I ˆREZ k UMNOVENIQ

M2 = MM, M4 = M2M2, . . .

dA PRESMETNEM GRANIˆNITE WEROQTNOSTI ZA PROCES NA RAVDANE I UMIRANE:oT URAWNENIETO NA BALANSA SLEDWA

s˙STOQNIE INTERWAL NA NAPUSKANE=INTERWAL NA PRISTIGANE0 λ0p0 = µ1p1

1 (λ1 + µ1)p1 = µ2p2 + λ0p0

2 (λ2 + µ2)p2 = µ3p3 + λ1p1

. .

. .

. .n, n ≥ 1 (λn + µn)pn = µn+1pn+1 + λn−1pn−1

. .

. .

. .k˙M WSQKO URAWNENIE DOBAWQME PREDHODNITE I POLUÂWAME

5. presmqtane na prehodnite weroqtnosti 63

λ0p0 = µ1p1

λ1p1 = µ2p2

λ2p2 = µ3p3

.

.

.λnpn = µn+1pn+1

.

.

.kATO RE[IM SISTEMATA ˆREZ p0 NAMIRAME

p1 =λ0

µ1

p0

p2 =λ1

µ2

p1 =λ1λ0

µ2µ1

p0

.

.

.

pn =λ0

µ1

pn−1 =λ0λ1 . . . λn−1

µnµn−1 . . . µ2µ1

p0

oT∑∞

n=0 pn = 1 ⇒

1 = p0 + p0

∞∑n=1

λ0λ1 . . . λn−1

µnµn−1 . . . µ2µ1

,

SLEDOWATELNO

p0 =1

1 +∑∞

n=1λ0λ1...λn−1

µnµn−1...µ2µ1

. (6.16)

tAKA ZA n ≥ 1,

pn =λ0λ1 . . . λn−1

µnµn−1 . . . µ2µ1(1 +∑∞

n=1λ0λ1...λn−1

µnµn−1...µ2µ1). (6.17)

s˙]O POLUˆAWAME I NEOBHODIMO USLOWIE ZA TOWA , TEZI GRANIˆNI WEROQTNOSTIDA S˙]ESTWUWAT, A IMENNO

∞∑n=1

λ0λ1 . . . λn−1

µnµn−1 . . . µ2µ1

<∞.

(mOVE DA SE DOKAVE, ˆE TOWA USLOWIE E S˙]O I DOSTAT˙ˆNO.)


zADAÂ 6.1. nEKA W EDIN CEH IMA M MA[INI, KOITO SE OBSLUVWAT OT 1 Ô-WEK. nEKA WREMETO, KOETO RABOTI WSQKA MA[INA PREDI OTKAZ E EKSPONENCIALNORAZPREDELENO S˙S SREDNO 1/λ I NEKA WREMETO ZA REMONT E EKSPONENCIALNO RAZP-REDELENO S˙S SREDNO 1/µ. ˝E OTGOWORIM NA SLEDNITE W˙PROSI:

A) kAK˙W E SREDNIQT BROJ MA[INI, KOITO NE SA IZPOLZUWA?

B) kAKWA ÂST OT WREMETO WSQKA MA[INA E W S˙STOQNIE RABOTA?

rE[ENIE: aKO PRIEMEM, Ê SISTEMATA E W S˙STOQNIE n, KOGATO n OT MA[INITE

RABOTQT, TO OPISAHME EDIN PROCES NA RAVDANE I UMIRANE S PARAMETRI:

µn = µ, n ≥ 1,

λn =

(M − n)λ, n ≤M0, n > M.

oT (6.16) ⇒

p0 =1

1 +∑M

n=1[(Mλ(M − 1)λ . . . (M − n+ 1)λ)/µn]=

=1

1 +∑M

n=1[(λµ)n M !

(M−n)!

,

pk =(λ/µ)kM !/(M − k)!

1 +∑M

n=1(λµ)n M !

(M−n)!

, k = 1, . . . ,M.

a) sREDNIQT BROJ MA[INI, KOITO NE RABOTQT E

M∑k=0

kpk =M∑

k=0

k(M !/(M − k)!)(λ/µ)k

1 +∑M

n=1(λµ)n M !

(M−n)!

. (6.18)

B)

P(MA[INA DA RABOTI) =

M∑n=0

P(MA[INA DA RABOTI| n MA[INI NE RABOTQT)pn

=M∑

n=0

M − n

Mpn = 1−

M∑n=0

npn

M,

KATO POSLEDNATA SUMA E SMETNATA W (6.18).

6. zada˜i 65

6 zADAÎ

zADAÂ 6.2. nAMERETE WEROQTNOSTTA EDNA SL. W. X1 ∈ Exp(λ1) DA E NE PO-MALKAOT DRUGA SL. W. X2 ∈ Exp(λ2). sL. W. X1 I X2 SA NEZAWISIMI.

rE[ENIE:

P(X1 < X2) =

∫ ∞

0

P(X1 < X2|X1 = x)λ1e−λ1xdx =∫ ∞

0

P(X2 > x)λ1e−λ1xdx =

∫ ∞

0

e−λ2xλ1e−λ1xdx = . . . =

λ1

λ1 + λ2

.

zADAÂ 6.3. lICETO a PRODAWA HOT-DOG NA ]AND, KOJTO OTWARQ W 800ˆ. oT800 − 1100ˆ. KLIENTITE PRISTIGAT S POSTOQNNO NARASTWA]A INTENZIWNOST,KATO ZAPOˆWA OT 800ˆ. S 5 KLIENTI W ÂS I DOSTIGA W 1100ˆ. - 20 KLIENTI W

ÂS. oT 1100 − 1300ˆ. INTENZIWNOSTTA OSTAWA POSTOQNNA, A POSLE NAMALQWA WINTERWALA 1300 − 1700ˆ., KATO W 1700ˆ. E 12 KLIENTI ZA ÂS. lICETO a ZATWARQ

W 1700ˆ.A) aKO PREDPOLOVIM, Ê BROQ NA KLIENTITE W NEPRESIÂ]I SE INTERWALI OT

WREME E NEZAWISIM I KLIENTITE NE IDWAT EDNOWREMENNO (T.E. P(DA DOJDAT ≥2) = o(h), TO KAK˙W WEROQTNOSTEN MODEL DA IZBEREM ZA OPISANIQ PROCES?

B) kAKWA E WEROQTNOSTTA DA NQMA KLIENTI W INTERWALA 830 − 930ˆ., T.E.P(ξ(3/2) − ξ(1/2) = 0) =?, KATO S ξ(t) E OZNAÊN BROQ NA PRISTIGNALITE DO

MOMENTA t KLIENTI.W) kAK˙W E OÂKWANIQ BROJ KLIENTI W TOZI PERIOD, T.E. E(ξ(3/2)−ξ(1/2)) =?

rE[ENIE: a) ξ(0) = 0

λ(t) =

5 + 5t, 0 ≤ t ≤ 3,20, 3 ≤ t ≤ 5,30− 2t, 5 ≤ t ≤ 9.

tAKA PROCES˙T ξ(t) E NESTACIONAREN pOASONOW PROCES.

B) P(ξ(3/2)− ξ(1/2) = 0) = exp(−∫ 3/2

1/2(5 + 5t)dt) = e−15.

W) E(ξ(3/2) − ξ(1/2)) = 15, ZA]OTO NARASTWANETO E pOASONOWO RAZPREDELENASL.W. Po(15), T.E.

∞∑n=0

ne−15 15n

n!= . . . = 15.

zADAÂ 6.4. (pRIMER ZA SLOVEN pOASONOW PROCES) fALIT NA ZASTRAHOWATELNA

KOMPANIQ - mODEL NA kRAMER-lUNDBERG (Cramer-Lundberg).- iSKOWETE K˙M ZASTRAHOWATELNATA KOMPANIQ NAST˙PWAT W SLUÂJNI MO-

MENTI OT WREME

0 < τ1 < τ2 < . . . τn < . . . , P.S.


- sTOJNOSTITE NA ISKOWETE Jn SA POLOVITELNI N.E.R. SL.W. S F.R. F (x) I M.O.EJn = µ,VarJn = σ2 <∞.- iNTERWALITE MEVDU ISKOWETE T1 = τ1, T2 = τ2 − τ1, . . . Tn = τn − τn−1 SA

NEZAWISIMI EDNAKWO RAZPREDELENI Exp(λ).sLEDOWATELNO N(t) = maxk : τk ≤ t ∈ Po(λt)-BROQ NA ISKOWETE NAST˙PILI

DO MOMENTA t E pOASONOW PROCES.rEDICITE OT SL.W. τk I Jk SA NEZAWISIMI. tOGAWA SUMARNIQT ISK DO

MOMENTA t E

S(t) =

N(t)∑i=1

Ji, t ≥ 0,

KOETO E S˙STAWEN pOASONOW PROCES.zA F.R. NA S(t) IMAME

Gt(x) = P(S(t) ≤ x) =∞∑

n=0

P(n∑

i=0

Ji ≤ x|N(t) = n)P(N(t) = n)

=∞∑

n=0

P(n∑

i=0

Ji ≤ x)e−λt (λt)n

n!=

=∞∑

n=0

e−λt (λt)n

n!F ∗n(x).

tUK F ∗n(x) E F.R. NA SUMATA∑n

i=1 Ji OT n NEZAWISIMI EDNAKWO RAZPREDELENISL. W. S F.R. F (x).

sEGA RISK˙T NA KOMPANIQTA SE DEFINIRA KATO

R(t) = u+ ct− S(t), t ≥ 0,

KATO u e NAÂLNIQT KAPITAL NA KOMPANIQTA, A c e RAZMERA NA WNOSKITE POS-T˙PWA]I ZA EDINICA WREME ILI c e INTENZIWNOSTTA NA POST˙PWANE NA WNOSKI-TE (premium income rare).

sÎTAME, Ê NAST˙PWA FALIT, KOGATO W DADEN MOMENT t, R(t) < 0.dA PRESMETNEM WEROQTNOSTTA ZA FALIT PRI IZWESTEN NAÂLEN KAPITAL

(u ≥ 0) I IZWESTNA INTENZIWNOST NA POST˙PLENIQTA (c > 0).

rE[ENIE:

ψ(u) = P(R(t) < 0 ZA NQKOE t) = P(u+ cτn − S(τn) < 0 ZA NQKOE n ≥ 1) =

= P(u+ c

n∑k=1

Tk −n∑

k=1

Jk < 0, ZA NQKOE n ≥ 1) =

P(u+n∑

k=0

(cTk − Jk) < 0, ZA NQKOE n ≥ 1)

6. zada˜i 67

= P(supn≥1

(n∑

k=1

(Jk − cTk) > u)) =1

1 + ρexp(−ρu/µ(1 + ρ)),

K˙DETO ρ = c/(λµ)− 1 - (risk premium rate).

zADAˆA 6.5. nAPI[ETE du NA kOLMOGOROW ZA pOASONOW PROCES.

rE[ENIE: pn(t) UDOWLETWORQWAT (sISTEMA OBRATNI du NA kOLMOGOROW)∣∣∣∣ p′0(t) = −λp0(t),p′n(t) = −λpn(t) + λpn+1(t).

qij =

−λ, j = i,λ, j = i+ 1,0, W OSTANALITE SLUˆAI.

Pij(t+ s) = P(X(t+ s) = j|X(s) = i)

= P(X(t+ s)−X(s) = j − i|X(s) = i,X(0) = 0)

NEZ. NA NAR.= P(X(t+ s)−X(s) = j − i)

= P(X(t)−X(0) = j − i)

= P(X(t) = j − i)p. PROC.

=(λt)j−ie−λt

(j − i)!.

lEKCIQ 7

iNTEGRIRANE NA SLUÂJNI

PROCESI


• DA DEFINIRAME INTEGRAL OT SLUÂEN PROCES OTNOSNO NESLUÂJNA MQRKA;

• DA DEFINIRAME INTEGRAL OT NESLUÂJNA FUNKCIQ OTNOSNO SLUÂJNA MQRKA;

• DA DOKAVEM NQKOI SWOJSTWA NA TEZI INTEGALI;

• DA RAZGLEDAME NQKOI PRIMERI;

1 iNTEGRAL OT SLUÂEN PROCES OTNOSNO NESLU-

ÂJNA MQRKA

w MNOGO TEORITIˆNI I PRILOVNI ZADAÎ SE NALAGA DA SE RAZGLEVDAT INTEGRA-LI OT WIDA

I(ω) = I =

∫ b

a

ξ(t)dt, (7.1)

K˙DETO ξ(t), t ∈ [a, b] E DADEN SLUÂEN PROCES.tOZI INTEGRAL MOVE DA SE DEFINIRA PO NQKOLKO NAÎNA:

oPREDELENIE 7.1. (I NAÎN - tAZI DEFINICIQ SE NARIÂ POTRAEKTORNA.) aKOFIKSIRAME ω ]E POLUÎM EDNA OBIKNOWENA FUNKCIQ NA t, ξ(t, ω) I ZA DA B˙DE TQINTEGRUEMA E DOSTAT˙ˆNO DA IMA NE POWEÊ OT IZBROIMO MNOGO PREK˙SWANIQ

W [a, b]. tOWA OZNAÂWA, Ê I(ω) = I PRI FIKSIRANO ω e GRANICA NA INTEGRALNISUMI OT WIDA:

n−1∑k=0

ξ(sk, ω)(tk+1 − tk), sk ∈ (tk, tk+1),

68

1. integral ot sluãen proces otnosno nesluãjna mqrka69

PRI n→∞ I maxk |tk+1 − tk| → 0.

i TAKA, AKO ξ(t) = ξ(t, ω) E IZMERIMA FUNKCIQ I∫ b

aE(ξ2(t))dt < ∞, TO PO

TEOREMATA NA fUBINI

E

(∫ b

a

ξ2(t)dt

)=

∫ b

a

E(ξ2(t))dt <∞,

OTK˙DETO∫ b

aξ2(t)dt S˙]ESTWUWA, A OTTAM I INTEGRALA W (7.1) S˙]ESTWUWA S WERO-

QTNOST 1. pRI TOWA I = I(ω) E SL. WELIÎNA.

oPREDELENIE 7.2. (II NAÎN - mOVEM DA DEFINIRAME I KATO SREDNO KWADRATIˆ-NA GRANICA NA REDICA OT SL. WELIÎNI.) nEKA ξ(t) ∈ L2[a, b] I NEKA ξ(t) E ELEMEN-TAREN PROCES, T.E. S˙]ESTWUWAT TAKIWA TOˆKI a = t0 < t1 < . . . < tn+1 = b, ISL. WELIÎNI ξ0, . . . , ξn, TAKA Ê ξ(t, ω) = ξk(ω) PRI t ∈ [tk, tk+1], k = 0, 1, 2, . . . , n.tOGAWA

I =

∫ b

a

ξ(t)dt =n∑

k=1

ξk∆tk, ∆tk = (tk+1 − tk)

E DEFINIRAN ZA WSQKO ω.aKO ξ(t), t ∈ [a, b] E PROIZWOLEN PROCES OT L2[a, b], TO S˙]ESTWUWA REDICA OT

ELEMENTARNI PROCESI ξn(t), t ∈ [a, b], n = 0, 1, 2, . . . , TAKAWA, Ê

limn→∞

ξn(t) = ξ(t), t ∈ [a, b], P.S..

t˙J KATO |ξ(t)− ξn(t)| ≤ |ξ(t)|, TO PO tEOREMATA NA lEBEG

E

(∫ b

a

ξ(t)dt−∫ b

a

ξn(t)dt

)2≤ E

∫ b

a

(ξ(t)− ξn(t))2dt

→ 0,

PRI n→∞ I SLEDOWATELNO

(L2)

∫ b

a

ξ(t)dt = limn→∞

∫ b

a

ξn(t)dt.

oPREDELENIE 7.3. (III NAÎN - kATO GRANICA NA RIMANOWI INTEGRALNI SUMI WTERMINITE NA KOWARIACIONNATA FUNKCIQ C(t, s) NA PROCESA.) rAZGLEVDAME

In =n∑

k=1

ξ(tnk)∆tnk, ∆tnk = tnk − tn,k−1,

K˙DETO

a = tn0 < tn1 < . . . < tnn = b.

sPORED KRITERIQ ZA NEPREK˙SNATOST ZA S˙]ESTWUWANETO NA L2− GRANICATA

NA In E nd IZRAZ˙T

E(InIm) =n∑

k=1

m∑r=1

C(tnk, tmr)∆tnk∆tmr, (7.2)

70 lekciq 7. integrirane na sluãjni procesi

DA IMA GRANICA PRI n→∞,m→∞ I maxk ∆tnk → 0, maxr ∆tmr → 0.nO TOWA E EKWIWALENTNO NA INTEGRUEMOST PO rIMAN NA FUNKCIQTA C(t, s) W

KWADRATA [a, b]× [a, b].

pOSLEDNATA DEFINICIQ NA INTEGRALA∫ b

aξ(t)dt E PO-TQSNA OT POTRAEKTORNATA,

NO IMA TOWA PREDIMSTWO, Ê NE E SW˙RZANA S PONQTIETO IZMERIMOST.tAKA DEFINIRAHME INTEGRAL OT SLUÂEN PROCES POTAEKTORNO, A SLED TOWA I

KATO SREDNO KWADRATIˆNA GRANICA NA SL. WELIÎNI. wTORIQT INTEGRAL ]E OZNA-ÂWAME S (L2)

∫ b

aξ(t)dt. w˙ZNIKWA W˙PROS˙T, DALI TOWA NE E EDIN I S˙]I INTEGRAL?

oTGOWOR˙T E POLOVITELEN, KAKTO ]E SE UBEDIM.nEKA ZA WSQKO ω TRAEKTORIITE ξ(t, ω) SA INTEGRUEMI. pONEVE L2 INTEGRAL˙T

E GRANICA W L2 SMIS˙L NA INTEGRALNI SUMI (7.2), I SLEDOWATELNO E GRANICA I

PO WEROQTNOST NA S˙]ITE SUMI. oT DRUGA STRANA, POTRAEKTORNIQT INTEGRAL E

GRANICA NA S˙]ITE SUMI ZA POˆTI WSQKO ω, OT K˙DETO SLEDWA, Ê I TOJ E GRANICAPO WEROQTNOST NA TEZI SUMI. sLEDOWATELNO DWATA INTEGRALA S˙WPADAT, T˙J KATOPRI SHODIMOSTTA PO WEROQTNOST GRANICATA E EDINSTWENA S TOˆNOST DO S˙BITIE S

WEROQTNOST 0.dA PREDPOLOVIM, Ê ξ(t), t ∈ [a, b] e L2−NEPREK˙SNAT PROCES. tOGAWA NEGOWATA

KOWARIACIONNA FUNKCIQ C(t, s) E NEPREK˙SNATA W [a, b] × [a, b] I SLEDOWATELNO E

INTEGRUEMA W TOZI KWADRAT, A OTTAM I INTEGRAL˙T∫ b

aξ(t)dt S˙]ESTWUWA.

zADAÂ 7.1. wINEROWIQT PROCES wt, t ≥ 0 I pOASONOWIQT PROCES πt, t ≥ 0 SA

INTEGRUEMI, T.E. S˙]ESTWUWAT

ξ(t) =

∫ t

0

wsds, I η(t) =

∫ t

0

πsds, ZA WSQKO t ≥ 0.

oSWEN TOWA ξ(t) I η(t) SA L2−DIFERENCIRUEMI, PRI KOETO ξ′(t) = wt, η′(t) =

πt.pO-OB]O: nEKA PROCES˙T x(t), t ∈ [a, b] E L2−INTEGRUEM. tOGAWA

y(t) =

∫ t

a

x(s)ds, t ∈ [a, b] (7.3)

E SL. PROCES W PROSTRANSTWOTO L2[a, b]. ˝E POKAVEM, Ê ZA y(t) E IZP˙LNENO:1) y(t) e L2−NEPREK˙SNAT W [a, b];2) AKO x(t) E L2−NEPREK˙SNAT W [a, b], TO y(t) e L2− DIFERENCIRUEM W [a, b] I

y′(t) = x(t).

rE[ENIE: oT (7.3) SLEDWA

E[(y(t+ h)− y(t))2] =

∫ t+h

t

∫ t+h

t

C(s, τ)dsdτ → 0, h→ 0,

KOETO DOKAZWA 1).iMAME

1. integral ot sluãen proces otnosno nesluãjna mqrka71

∆h = E

(y(t+ h)− y(t)

h− x(t)

)2

= h−2E

[∫ t+h

t

(x(τ)− x(t))dτ

]2

=

=

∫ t+h

t

∫ t+h

t

E(x(s)− x(t))(x(τ)− x(t))dsdτ/h2 =

≤[∫ t+h

t

(E(x(τ)− x(t))2)1/2dτ

]2

/h2,

NO ∫ t+h

t

(E(x(τ)− x(t))2)1/2dτ = h2(E(x(τ0)− x(t))2

)1/2, τ0 ∈ (t, t+ h),

SLEDOWATELNO ∆h → 0 PRI h→ 0 S KOETO E DOKAZANO I 2).pONQKOGA PREDSTAWLQWA INTERES DA SE NAMERI RAZPREDELENIETO NA INTEGRALA

OT SLUÂEN PROCES. w OB]IQ SLUÂJ TAZI ZADAÂ E TRUDNA, DAVE I DA ZNAEM S˙W-MESTNOTO RAZPREDELENIE NA PROIZWOLEN BROJ SL. WELIÎNI. wSE PAK ZA EDIN [IROKI WAVEN KLAS SL. PROCESI RAZPREDELENIETO NA

∫ b

aξ(t)dt MOVE DA SE NAMERI. tOWA

SA gAUSOWITE PROCESI.

pREDLOVENIE 7.1. nEKA ξ(t) e gAUSOW PROCES I E IZWESTNO, Ê TOJ E L2 NEPRE-

K˙SNAT. tOGAWA I =∫ b

aξ(t)dt S˙]ESTWUWA I IMA gAUSOWO RAZPREDELENIE.

dOKAZATELSTWO: I E L2−GRANICA NA INTEGRALNI SUMI OT WIDA

In =n∑

k=0

ξ(sk)(tk+1 − tk).

oÊWIDNO

In = C0 + C1ξ(s1) + . . .+ Cnξ(sn).

t˙J KATO DADENIQT PROCES E gAUSOW, TAZI LINEJNA KOMBINACIQ IMA gAUSO-WO RAZPREDELENIE I ZA HARAKTERISTIˆNATA FUNKCIQ φn(z) NA In IMAME φn(z) =exp[izan + σ2

nz2/2]. oSTAWA DA SE OTBELEVI, Ê In → I, n→∞, A TOWA OZNAÂWA, Ê

an I σ2n IMAT GRANICI I GRANICATA NA HARAKTERISTIˆNITE FUNKCII IMA S˙]IQ

WID, SLEDOWATELNO I S˙]O IMA gAUSOWO RAZPREDELENIE.

zADAÂ 7.2. aKO ξ(t) =∫ t

0wsds, K˙DETO wt, t ≥ 0 E wINEROW PROCES IMA gAUSOWO

RAZPREDELENIE S PARAMETRI 0 I t3/3.

rE[ENIE: ∫ t

0

Ew2sds =

∫ t

0

s2ds = t3/3.


zADAÂ 7.3. oTNOWO ZA ξ(t) =∫ t

0wsds, DA SE DOKAVE, Ê PRI ∀t DWUMERNATA SL. W.

(wt, ξt) IMA gAUSOWO RAZPREDELENIE S˙S SREDNI STOJNOSTI (0, 0) I KOWARIACIONNA

MATRICA RAWNA NA

(t t2/2t2/2 t3/3

).

uP˙TWANE:

Ew2t Ewtξ(t)

Ewtξ(t) t3/3 = Eξ2(t)

.

˜ESTO E WAVNO NE RAZPREDELENIETO NA INTEGRALA, A NQKOI NEGOWI ÎSLENI HA-RAKTERISTIKI.

tEOREMA 7.1. nEKA SL. PROCES ξ(t), t ∈ [a, b] E L2−NEPREK˙SNAT I PRINADLEVI NA

L2[a, b]. nEKA a(t) I C(t, s) SA SREDNATA STOJNOST I KOWARIACIONNATA FUNKCIQ

NA PROCESA. ˝E POKAVEM, Ê ZA INTEGRALA I =∫ b

aξ(t)dt SA W SILA SLEDNITE

S˙OTNO[ENIQ:

E(

∫ b

a

ξ(t)dt) =

∫ b

a

Eξ(t)dt =

∫ b

a

a(t)dt; (7.4)

Cov(

∫ b

a

ξ(t)dt, ξ(s)) =

∫ b

a

C(t, s)dt; (7.5)

Cov(

∫ b

a

ξ(t)dt,

∫ b

a

ξ(s)ds) =

∫ b

a

∫ b

a

C(t, s)dtds. (7.6)

dOKAZATELSTWO: iMAME

E∫ b

a

ξ(t)dt = Elimn

n∑k=0

ξ(sk)∆tk = limn

n∑k=0

E(ξ(sk))∆tk.

nO PO USLOWIE ξ(t) E L2−NEPREK˙SNAT, KOETO OZNAÂWA, Ê a(t) e NEPREK˙SNATAW [a, b] I SLEDOWATELNO INTEGRUEMA, KATO GRANICATA W POSLEDNIQ IZRAZ NA GORNOTO

RAWENSTWO E TOˆNO∫ b

aa(t)dt. s TOWA E DOKAZANO (7.4).

wS˙]NOST (7.4) E WARIANT NA TEOREMATA NA fUBINI, T˙J KATO E OBOSNOWANA

SMQNATA NA INTEGRIRANETO PO MQRKATA P I INTEGRIRANETO PO lEBEGOWATA MQRKA

dt. ∫Ω

(

∫ b

a

ξ(t, ω)dt)dP(ω) =

∫ b

a

(

∫Ω

ξ(t, ω)dP(ω))dt.

tOGAWA (7.5) I (7.6) SA QSNI. pO ANALOGIÊN NAÎN SE DOKAZWA I RAWENSTWOTO

Cov

(∫ b

a

f(t)ξ(t)dt,

∫ b

a

g(s)η(s)ds

)=

∫ b

a

∫ b

a

f(t)Cξη(t, s)g(s)dtds, (7.7)

K˙DETO ξ(t) I η(t) SA PROIZWOLNI L2−NEPREK˙SNATI SL. PROCESI S KOWARIACIONNAFUNKCIQ Cξη(t, s), A f, g SA NESLUÂJNI FUNKCII OT L2[a, b].

2. osnowna teorema na stohastiñoto smqtane (analog na formulata na lajbnic-n‘ton)73

dO TUK RAZGLEVDAHME INTEGRALI OT SLUÂJNI PROCESI, PREDPOLAGAJKI, Ê TESA DEFINIRANI W KRAEN ZATWOREN INTERWAL. pO ANALOGIQ S KLASIÊSKIQ ANALIZI TUK IMA SMIS˙L DA GOWORIM ZA NESOBSTWENI INTEGRALI OT SL. PROCESI. qSNOE, Ê AKO S˙]ESTWUWA NESOBSTWEN INTEGRAL

∫∞0

∫∞0C(t, s)dtds OT KOWARIACIONNA-

TA FUNKCIQ, TOGAWA PROCES˙T ξ(t) ]E B˙DE INTEGRUEM W [0,∞), T.E. S˙]ESTWUWANESOBSTWEN INTEGRAL

∫∞0ξ(t)dt.

2 oSNOWNA TEOREMA NA STOHASTIˆNOTO SMQTANE

(ANALOG NA FORMULATA NA lAJBNIC-n@TON)

tEOREMA 7.2. nEKA x(t), t ∈ [a, b] E SL. PROCES S KOWARIACIONNA FUNKCIQ C(t, s).

nEKA S˙]ESTWUWAT∂C(t, s)

∂tI∂2C(t, s)

∂t∂sI SA NEPREK˙SNATI. tOGAWA x(t) e L2−

DIFERENCIRUEM, NEGOWATA PROIZWODNA x′(t) E L2−INTEGRUEMA I ZA WSQKO t ∈ [a, b]S WEROQTNOST 1

x(t)− x(a) =

∫ t

a

x′(s)ds.

dOKAZATELSTWO: ˝E DOKAVEM, Ê ZA WSQKO t ∈ [a, b]

δt = E

(x(t)− x(a)−

∫ t

a

x′(s)ds

)2

= 0. (7.8)

zNAEM, Ê∂2C(t, s)

∂t∂se KOWARIACIONNATA FUNKCIQ NA x′(t), A

∂C(t, s)

∂te KOWARIA-

CIONNATA FUNKCIQ NA x′(t) I x(s). tOGAWA ZA WELIÎNATA δt OT (7.8) NAMIRAME

δt = E

(x(t)− x(a))2 − 2(x(t)− x(a))

∫ t

a

x′(s)ds+

∫ t

a

x′(s)ds

∫ t

a

x′(τ)dτ

=

C(t, t)− 2C(t, a) + C(a, a)− 2

∫ t

a

[∂C(t, s)

∂s− ∂C(a, s)

∂s

]ds+

∫ t

a

∫ t

a

∂2C(t, s)

∂s∂τdsdτ.

oT NAPRAWENITE PREDPOLOVENIQ SLEDWA, Ê PRI PRESMQTANE NA INTEGRALITE

W DQSNATA STRANA NA POSLEDNOTO RAWENSTWO MOVEM DA PRILOVIM KLASIÊSKATA

FORMULA NA lAJBNIC-n@TON. tOGAWA SE POLUÂWA, Ê δt = 0,∀t ∈ [a, b].

3 iNTEGRAL OT NESLUÂJNA FUNKCIQ PO SLUÂEN

PROCES


sLEDWA]ATA NI CEL E DA POSTROIM STOHASTIÊN INTEGRAL OT WIDA

J(f) =

∫ b

a

f(t)dη(t), (7.9)

K˙DETO f(t) E NESLUÂJNA FUNKCIQ, A η(t) E SL. PROCES.

zABELEVKA 7.1. nQMA SMIS˙L DA RAZGLEVDAME INTEGRALA J(f), KOGATO η(t) E

L2−DIFERENCIRUEM, T˙J KATO WMESTO J(f) MOVEM DA WZEMEM∫ b

af(t)η′(t)dt, a S

NEGOWOTO POSTROQWANE WEÊ SE ZAPOZNAHME.

˝E DEFINIRAME (7.9) ZA PROCESI S NEKORELIRANI NARASTWANIQ, A TE KAKTO NE ETRUDNO DA SE WIDI SA NEDIFERENCIRUEMI.

nEKA E DADEN SL. PROCES η(t), t ∈ [a, b], η ∈ L2[a, b], ÎJTO NARASTWANIQ SA

NEKORELIRANI, T.E. ZA PROIZWOLNI a ≤ t1 < t2 ≤ t3 < t4 ≤ b IMAME E[(η(t2) −η(t1))(η(t4)− η(t3))] = 0.

p˙RWO ]E POKAVEM, Ê S˙]ESTWUWA NENAMALQWA]A FUNKCIQ F (t), t ∈ [a, b] TA-KAWA, Ê η(t)− η(s), t > s IMA DISPERSIQ F (t)− F (s). nEKA t0 ∈ [a, b] E FIKSIRANOÎSLO. pOLAGAME

F (t) =

E(η(t)− η(t0))

2, t0 ≤ t ≤ b−E(η(t)− η(t0))

2, a ≤ t ≤ t0(7.10)

oÊWIDNO F (t) ZAWISI OT t0, NO AKO WZEMEM DRUGO FIKSIRNO ÎSLO t′0 ∈ [a, b], TOF (t) ]E SE IZMENI SAMO S ADITIWNA KONSTANTA. nEKA t′0 < t0 < t (ANALOGIˆNO SERAZGLEVDAT SLUÂJTE t′0 > t0 > t). tOGAWA

E(η(t)− η(t′0))2 = E(η(t)− η(t0) + η(t0)− η(t′0))

2 =

E(η(t)− η(t0))2+ 2E(η(t)− η(t0))(η(t0)− η(t′0))+ E(η(t0)− η(t′0))

2.sEGA TW˙RDENIETO SLEDWA OT FAKTA. Ê:

E(η(t)− η(t0))(η(t0)− η(t′0)) = 0;

E(η(t)− η(t0))2 = F (t);

I

E(η(t0)− η(t′0))2 = const.

aKO OTNOWO IZPOLZUWAME SWOJSTWOTO NEKORELIRANOST (7.10) NA NARASTWANIQTANA PROCESA η(t), TO ZA WSEKI t > s

E(η(t)− η(s))2 = F (t)− F (s).

sLEDOWATELNO F (t) E NENAMALQWA]A FUNKCIQ. oSWEN TOWA, MOVE DA SE DOKAVE,Ê S˙]ESTWUWA GRANICA OTDQSNO F (t + 0) I OTLQWO F (t − 0) ZA WSQKO t ∈ [a, b].pO-NATAT˙K

η(t+ 0)− η(t) = limh↓0

(η(t+ h)− η(t)),

3. integral ot nesluãjna funkciq po sluãen proces 75

η(t)− η(t− 0) = limh↓0

η(t)− η(t− h),

OTK˙DETO

E(η(t+ 0)− η(t))2 = F (t+ 0)− F (t),

E(η(t)− η(t− 0))2 = F (t)− F (t− 0).

nEKA W ZAKL@ÊNIE DA OTBELEVIM, Ê NARASTWANETO η(t) − η(t0) e L2− NEPRE-K˙SNATO W T. t ⇐⇒ F (t) E NEPREK˙SNATA W TAZI TOˆKA. aKO F (t) IMA PREK˙SWANEW T. t, TO PONE EDNA OT SL. WELIÎNI η(t + 0) − η(t) I η(t) − η(t − 0) ]E IMA NU-LEWA DISPERSIQ. dA DOPUSNEM, Ê η(t) e L2− NEPREK˙SNATA OTDQSNO. sLEDOWATELNOF (t) E NEPREK˙SNATA OTDQSNO. oT η(t) ∈ L2[a, b] SLEDWA, Ê F (t) E OGRANIÊNA W[a, b], PRI KOETO E DOPUSTIMO a = −∞, b = +∞. nO WSQKA OGRANIÊNA I NENAMA-LQWA]A FUNKCIQ, NEPREK˙SNATA OTDQSNO (KAKWATO E F (t)) PORAVDA W DEFINICION-NATA SI OBLAST [a, b] KRAJNA MQRKA I TO TAKAWA, Ê MQRKATA NA INTERWALA (s, t)E F (t) − F (s). iMENNO OTNOSNO TAKIWA FUNKCII SE STROI INTEGRAL NA sTILTES∫ b

ag(t)dF (t).

nEKA f(t), t ∈ [a, b] e NESLUÂJNA FUNKCIQ, ZA KOQTO∫ b

af 2(t)dF (t) < ∞. cELTA

E DA DEFINIRAME STOHASTIˆNIQ INTEGRAL

J(f) =

∫ b

a

f(t)dη(t). (7.11)

1) nEKA f(t) e ELEMENTARNA FUNKCIQ, T.E.

f(t) =

f0, a ≤ t ≤ t1,f1, t1 ≤ t ≤ t2,..fn, tn ≤ t ≤ b

zA TAKAWA FUNKCIQ E ESTESTWENO DA POLOVIM

J(f) =n∑

k=0

fk[η(tk+1 − η(tk)], (7.12)

K˙DETO t0 = a, tn+1 = b.oT (7.12) SLEDWA, Ê J(f) ZAWISI LINEJNO OT f :

J(c1f1 + c2f2) = c1J(f1) + c2J(f2). (7.13)

oSWEN TOWAE[J(f)] = 0,E[J2(f)] =

∑nk=0 f

2k [F (tk+1)− F (tk)].

(7.14)

iLI (7.14) MOVE DA SE PREDSTAWI I KATO

E[J2(f)] = Var[J(f)] =

∫ b

a

f 2(t)dF (t). (7.15)


nEKA g(t), t ∈ [a, b] E DRUGA ELEMENTARNA FUNKCIQ OT TIPA NA f S∫ b

ag2(t)dF (t) <

∞. tOGAWA

Cov(J(f), J(g)) = E(J(f), J(g)) =

∫ b

a

f(t)g(t)dF (t). (7.16)

nAISTINA, NEKA f IMA POSTOQNNI STOJNOSTI W INTERWALITE OPREDELENI OT a, t1,t2, . . . , b, A g IMA POSTOQNNI STOJNOSTI W INTERWALITE OPREDELENI OT a, s1, s2, . . . , b.

oBEDINQWAME TOˆKITE OT DWETE DELENIQ W OB]A RASTQ]A REDICA

a < τ1 < τ2 < . . . < τm < b.

nEKA f0, f1, . . . , fm SA STOJNOSTITE NA f W [a, τ1], (τ1, τ2], . . . , (τm, b] I g0, g1, . . . , gm

SA S˙OTWETNITE STOJNOSTI NA g. tOGAWA

J(f) =m∑

i=0

fi(η(τi+1)− η(τi)),

J(g) =m∑

j=0

gj(η(τj+1)− η(τj)),

OTK˙DETO

E[J(f)J(g)] =m∑

i=0

m∑j=0

figjE(η(τi+1)− η(τi))(η(τj+1)− η(τj)).

nO

E(η(τi+1)− η(τi))(η(τj+1)− η(τj)) =

0, i 6= j,F (τi+1)− F (τi), i = j.

sLEDOWATELNO

E[J(f)J(g)] =

∫ b

a

f(t)g(t)dF (t).

nAKRATKO DO TUK, AKO f, g SA ELEMENTARNI, TO S (7.12) DEFINIRAHME STOHASTIˆ-NI INTEGRALI J(f) I J(g), ZA KOITO SA IZP˙LNENI (7.13) I (7.14), A KOWARIACIQTASE ZADAWA S (7.16).

dA PROD˙LVIM POSTROQWANETO NA J(f) ZA PROIZWOLNI FUNKCII, UDOWLETWORQ-

WA]I∫ b

af 2(t)dF (t) <∞. s˙WKUPNOSTTA NA TEZI FUNKCII ]E OZNAˆAWAME S L2(dF ).

nO WSQKA FUNKCIQ f ∈ L2(dF ) MOVE DA SE APROKSIMIRA S POMO]TA NA ELEMEN-TARNI FUNKCII OT S˙]IQ KLAS, T.E. S˙]ESTWUWA REDICA OT ELEMENTARNI FUNKCIIfn(t) TAKIWA, ˆE ∫ b

a

(fn(t)− f(t))2dF (t) → 0, n→∞.

tOGAWA J(fn) SE DEFINIRAT S (7.12), A

J(f) =

∫ b

a

f 2(t)dη(t)

3. integral ot nesluãjna funkciq po sluãen proces 77

]E B˙DE L2− GRANICATA NA J(fn)

E(J(fn)− J(f))2 =

∫ b

a

(fn(t)− f(t))2dF (t) → 0, n→∞.

sWOJSTWATA NA J(f) SE POLUÂWAT ZA PROIZWOLNO f ∈ L2(dF ) ˆREZ GRANIÊNPREHOD OT SWOJSTWATA NA J(fn).

i TAKA POSTROIHME J(f) =∫ b

af(t)dη(t), f ∈ L2(dF ) PRI USLOWIE, Ê η(t) ∈

L2-NEPREK˙SN OTDQSNO (sLEDOWATELNO F (t) E NEPREK˙SNATA OTDQSNO). aNALOGIˆNOMOVE DA SE POST˙PI I KOGATO η(t) E L2− NEPREK˙SNATA OTLQWO.

aKO η(t) E L2− NEPREK˙SNATA, TO TOGAWA F e NEPREK˙SNATA I REDICATA OT ELE-MENTARNI FUNKCII MOVE DA SE IZBERE PO KOJTO I DA E OT DWATA NAÎNA. w˙ZMOVNOE F (t) DA E ABSOL@TNO NEPREK˙SNATA, T.E. DA S˙]ESTWUWA F ′(t) = p(t). ToGAWA J(f)

SE DEFINIRA PO S˙]IQ NAÎN S TAZI RAZLIKA, Ê ISKAME∫ b

af 2(t)p(t)dt <∞.

lEKCIQ 8

sTOHASTIˆNI URAWNENIQ


• dA DEFINIRAME STOHASTIÊN INTEGRAL PO wINEROW PROCES;

• dA POKAVEM NQKOI NEGOWI SWOJSTWA;

• dA IZWEDEM FORMULATA NA iTO;

• dA DEFINIRAME STOHASTIˆNO DIFERENCIALNO URAWNENIE;

• dA RAZGLEDAME PRIMERI.

1 sTOHASTIÊN INTEGRAL PO wINEROW PROCES

1.1 pREDWARITELNI BELEVKI

wSQKO URAWNENIE, ÎJTO KOEFICIENTI ZAWISQT OT SL. W. ILI OT SL. PROCESI,OPREDELENI W DADENO WEROQTNOSTNO PROSTRANSTWO (Ω,F ,P) SE NARIÂ STOHASTIˆNO.

pRI DOSTAT˙ˆNO OB]I PREDPOLOVENIQ, RE[ENIQTA NA TAKOWA URAWNENIE SA SL.PROCESI W S˙]OTO WEROQTNOSTNO PROSTRANSTWO.

sTROGATA MATEMATIÊSKA TEORIQ NA STOHASTIˆNITE URAWNENIQ E ZAPOˆNALA DA

SE S˙ZDAWA S RABOTITE NA bERN]AJN PREZ 30-TE GODINI I OSOBENO W SREDATA NA

40-TE GODINI S RABOTITE NA iTO I gIHMAN. ˝E RAZGLEDAME OSNOWNITE W˙PROSI

SW˙RZANI S˙S STOHASTIˆNITE DIFERENCIALNI URAWNENIQ (sdu) NA BAZATA NA wI-NEROWIQ PROCES.

cELTA E NAJ-NAPRED DA POSTROIM I DA NAMERIM OSNOWNITE SWOJSTWA NA INTEG-RALA

JT (f) =

∫ T

0

f(t, ω)dwt, (8.1)

78

1. stohasti˜en integral po winerow proces 79

K˙DETO f(t) SLUÂJNA FUNKCIQ I wt E wINEROW PROCES.dO SEGA RAZGLEVDANITE METODI NE SA PRILOVIMI, T˙J KATO TRAEKTORIITE NA

wINEROWIQ PROCES W PROIZWOLNO MAL˙K INTERWAL IMAT BEZKRAJNA WARIACIQ.

lEMA 8.1. wINEROWIQT PROCES IMA NEOGRANIÊNA WARIACIQ.

dOKAZATELSTWO: rAZGLEVDAME [0, T ] S TOˆKI NA DELENE 0 = t0 < t1 < t2 < . . . <tn = T. wARIACIQTA W [0, T ] ]E POLUÎM KATO GRANICA NA WELIÎNITE

Vn =n−1∑k=0

|wtk+1− wtk |.

t˙J KATO wINEROWIQ PROCES E S NEZAWISIMI NARASTWANIQ I gAUSOWO RAZPREDE-LENIE, TO

EVn = c

n−1∑k=0

(tk+1 − tk)1/2 ≥ cT

maxk(tk+1 − tk)→∞,max

k∆tk → 0, n→∞,

VarVn =n−1∑k=0

Var|wtk+1− wtk | = c1

n−1∑k=0

(tk+1 − tk) = c1T.

sLEDOWATELNO VnP→∞, n→∞.

w˙ZMOVNOSTTA DA SE POSTROI STOHASTIÊN INTEGRAL (8.1) SE D˙LVI NA SLED-NOTO SWOJSTWO NA wINEROWIQ PROCES, (ANALOGIˆNO NA OGRANIÊNA WARIACIQ). nEKAPRI n→∞,maxk ∆tk → 0. tOGAWA

n−1∑k=0

(wtk+1− wtk)

2 L2→ T, (8.2)

T.E. ZA WSQKO ε > 0

P

∣∣∣∣∣E(

n−1∑k=0

(wtk+1− wtk)

2

)− T

∣∣∣∣∣ > ε

→ 0, n→∞.

nAISTINA

E

(n−1∑k=0

(wtk+1− wtk)

2

)= T,

Var

(n−1∑k=0

(wtk+1− wtk)

2

)= c2

n−1∑k=0

(tk+1 − tk)2 ≤ c2T max

k∆tk → 0, n→∞.

tOGAWA (8.2) e SLEDSTWIE OT NERAWENSTWOTO NA ˜EBI[OW.p˙RWATA KONSTRUKCIQ NA (8.1) E DADENA O]E PREZ 30-TE GODINI OT pELI, NO ZA

NESLUÂJNA FUNKCIQ f S INTEGRUEM KWADRAT. (∫ T

0f 2(t)dt <∞), T.E. f ∈ L2[0, T ].

80 lekciq 8. stohastiñi urawneniq

nEKA P˙RWO f IMA NEPREK˙SNATA PROIZWODNA f ′ I f(0) = f(T ) = 0. tOGAWAPOLAGAME

JT (f) =

∫ T

0

f(t)dwt = −∫ T

0

f ′(t)wtdt.

KATO WZEMEM W PREDWID, Ê ZA wINEROW PROCES Ewt = 0 I Ewtws = mint, sPOLUÂWAME

EJT (f) = 0,

E(JT (f)JT (g)) = E

(∫ T

0

f ′(t)wtdt

∫ T

0

g′(s)wsds

)=∫ T

0

∫ T

0

f ′(t)g′(s) min(t, s)dtds =

∫ T

0

f(s)g(s)ds.

w ÂSTNOST EJ2T (f) =

∫ T

0f 2(t)dt.

pO-NATAT˙K SE IZPOLZUWA FAKT˙T, Ê PROIZWOLNA FUNKCIQ f ∈ L2[0, T ] MOVEDA SE APROKSIMIRA S FUNKCII OT TIPA NA RAZGLEDANATA. pO TAK˙W NAÎN STOHAS-TIˆNIQ INTEGRAL JT (f) E DEFINIRAN ZA WSQKO f ∈ L2[0, T ].

nO TOZI METOD MOVE DA SE PRILOVI, I AKO f E SLUÂJNA FUNKCIQ.

1.2 sTIHASTIÊN INTEGRAL ZA ELEMENTARNI FUNKCII

nEKA Ft, t ≥ 0 E SEMEJSTWO OT NENEMALQWA]I σ-PODALGEBRI NA OSNOWNATA

σ-ALGEBRA F , T.E. PRI s < t⇒ Fs ⊂ Ft I ZA WSQKO t ≥ 0,Ft ⊂ F .

oPREDELENIE 8.1. kAZWAME, Ê PROCES˙T ξt, t ≥ 0 E S˙GLASUWAN S POTOKA OT

σ− ALGEBRI Ft, t ≥ 0 AKO ZA WSQKO t ≥ 0 : ξt E Ft− IZMERIM, T.E. (ξt,Ft), t ≥ 0.

dA PREDPOLOVIM, Ê (wt,Ft), t ≥ 0 E wINEROW PROCES. tOWA OZNAÂWA, Ê wt

E Ft IZMERIMA, NO NEGOWITE NARASTWANIQ, NAPRIMER wt+h − wt NE ZAWISQT OT Ft.˜ESTO W KAÊSTWOTO NA Ft SE WZEMAT σ−ALGEBRITE Fw

t , PORODENI OT SAMIQ wINEROWPROCES W INTERWALA [0, t].

s L2([0, T ] × Ω) OZNAÂWAME S˙WKUPNOSTTA NA WSIˆKI (t, ω) IZMERIMI SL. FUN-

KCII (f(t, ω),Ft), t ∈ [0, T ], ZA KOITO E(∫ T

0f 2(t, ω)dt) <∞.

pO ANALOGIQ S OBIKNOWENATA TEORIQ NA INTEGRALA P˙RWO OPREDELQME STOHAS-TIˆNIQT INTEGRAL JT (f) ZA NQK˙KWO MNOVESTWO OT ”ELEMENTARNI FUNKCII”, S˙SSWOJSTWA: 1) DA B˙DE DOSTAT˙ˆNO ”BOGATO”, ZA DA MOVE S FUNKCII OT NEGO DA SE

APROKSIMIRA PROIZWOLNA FUNKCIQ OT L2([0, T ] × Ω); 2) pROSTO I NAGLEDNO DA SEOPISWAT SWOJSTWATA NA STOHASTIˆNIQ INTEGRAL.

oPREDELENIE 8.2. fUNKCIQTA e(t), t ∈ [0, T ] OT KLASA L2([0, T ] × Ω) SE NARIÂELEMENTARNA, AKO S˙]ESTWUWAT TOˆKI 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T I SL. WELIÎNIξ0, ξ1, . . . , ξn−1, K˙DETO ξk E Ftk IZMERIMA, TAKIWA Ê:

e(t, ω) = ξk(ω),

PRI t ∈ [tk, tk+1).

2. nqkoi swojstwa na JT (E) 81

oPREDELENIE 8.3. nEKA e(t, ω) E ELEMENTARNA FUNKCIQ. tOGAWA STOHASTIˆNIQTINTEGRAL SE DEFINIRA S

JT (e) =

∫ T

0

e(t, ω)dwt =n−1∑k=0

ξk[wtk+1− wtk ]. (8.3)

2 nQKOI SWOJSTWA NA JT (e)

aKO a1, a2 SA KONSTANTI, A e1(t, ω), e2(t, ω) SA ELEMENTARNI FUNKCII OT L2([0, T ]×Ω), TO:

1) JT (a1e1 + a2e2) = a1JT (e1) + a2Jt(e2);

2) aKO∫ t

se(u, ω)dwu =

∫ T

0e(u, ω)χ[s,t](u)dwu, K˙DETO χ[s,t](u) E INDIKATOR˙T NA

[s, t], TO ∫ t

0

e(u, ω)dwu =

∫ t1

0

e(u, ω)dwu +

∫ t

t1

e(u, ω)dwu;

3)∫ t

0e(u, ω)dwu E NEPREK˙SNATA FUNKCIQ NA GORNATA SI GRANICA t ∈ [0, T ];

4) pRI s < t S WEROQTNOST 1

E

∫ t

0

e(u, ω)dwu|Fs

=

∫ s

0

e(u, ω)dwu;

W ÂSTNOST

4’) E

∫ t

0

e(u, ω)dwu

= 0 ZA WSQKO t ∈ [0, T ];

5) E

∫ t

0

e1(u, ω)dwu

∫ t

0

e2(u, ω)dwu

= E

∫ t

0

e1(u, ω)e2(u, ω)du

.

dOKAZATELSTWO: 1) I 2) SA OÊWIDNI; 3) SLEDWA OT NEPREK˙SNATOSTTA NA wINE-ROWIQ PROCES. zA 4) E DOSTAT˙ˆNO DA SE OTBELEVI, Ê PRI tk ≥ s S WEROQTNOST1

Eξk(ω)[wtk+1− wtk ]|Fs = EE(ξk[wtk+1

− wtk ]|Ftk)|Fs =

Eξk(ω)E(wtk+1− wtk |Ftk)|Fs = 0.

aNALOGIˆNO SE DOKAZWA 5). bEZ OGRANIÊNIE NA OB]NOSTTA, MOVEM DA SMQTAME,Ê e1(t, ω), e2(t, ω) PRIEMAT POSTOQNNI STOJNOSTI W˙RHU EDNI I S˙]I INTERWALI.

pOSLE RAZS˙VDAWAME, KAKTO PRI JT (f) =∫ T

0f(s)dη(s).

2.1 sTOHASTIÊN INTEGRAL ZA PROIZWOLNA FUNKCIQ S IN-TEGRUEM KWADRAT

i TAKA OT JT (e) ]E DEFINIRAME STOHASTIÊN INTEGRAL ZA PROIZWOLNA FUNKCIQf ∈ L2([0, T ]× Ω).


lEMA 8.2. zA WSQKA FUNKCIQ f ∈ L2([0, T ] × Ω) S˙]ESTWUWA REDICA OT ELEMEN-TARNI FUNKCII fn, n = 1, 2, . . . OT S˙]IQ KLAS, TAKA Ê

E∫ T

0

[fn(t, ω)− f(t, ω)]2dt → 0, n→∞. (8.4)

dOKAZATELSTWO: a) nEKA f(t, ω) ∈ L2([0, T ]× Ω), |f(t, ω)| ≤ C I f(t, ω) e NEPRE-

K˙SNATA PO t S WEROQTNOST 1. pOLAGAME fn(t, ω) = f(kT

n) PRI t ∈ [

kT

n,(k + 1)T

n) I

POLUÂWAME REDICATA fn, n = 1, 2, . . . , K˙DETO fn ∈ L2([0, T ]× Ω) I

E∫ T

0

[fn(t)− f(t)]2dt → 0, n→∞.

B) nEKA |f(t, ω)| ≤ C. tOGAWA FUNKCIITE

fn(t, ω) = n

∫ t

tn

f(t, ω)ds, tn = max[t− 1/n, 0]

SA NEPREK˙SNATI, PRINADLEVAT NA L2([0, T ] × Ω) I OBRAZUWAT REDICA, KOQTO S

WEROQTNOST 1 KLONI K˙M f(t, ω). t˙J KATO |f(t, ω)| ≤ C, TO

E∫ T

0

[fn(t)− f(t)]2dt → 0, n→∞.

W) zA PROIZWOLNA FUNKCIQ f(t, ω) ∈ L2([0, T ] × Ω). tQ SE APROKSIMIRA W L2

SMIS˙L OT OGRANIÊNI FUNKCII

f(t, ω) = f(t, ω)χ[−n,n](t).

i TAKA NEKA f ∈ L2([0, T ]×Ω). s˙GLASNO DOKAZANATA lEMA, S˙]ESTWUWA REDICA

OT ELEMENTARNI FUNKCII fn, n = 1, 2, . . . , ZA KOITO E IZP˙LNENO (8.4). nO TOGAWA

limn→∞Eto∞

E∫ T

0

[fn(t, ω)− fm(t, ω)]2dt = 0

I OT sWOJSTWO 5) SLEDWA, Ê

limn→∞m→∞

E∫ T

0

[fn(t, ω)dwt −∫ T

0

fm(t, ω)dwt] =

limn→∞m→∞

E∫ T

0

[fn(t, ω)− fm(t, ω)]2dt = 0,

T.E. JT (fn) E FUNDAMENTALNA W L2−SMIS˙L. sLEDOWATELNO S˙]ESTWUWA GRANICA

KOQTO OZNAÂWAME S JT (f) ILI∫ T

0f(t, ω)dwt, T.E.

JT (f) =

∫ T

0

f(t, ω)dwt = l.i.m.JT (fn).

2. nqkoi swojstwa na JT (E) 83

pO TOZI NAÎN SE DEFINIRA STOHASTIÊN INTEGRAL JT (f) PO wINEROW PROCESZA PROIZWOLNA FUNKCIQ OT L2([0, T ] × Ω). dEFINICIQTA NE ZAWISI OT IZBORA NA

APROKSIMIRA]ATA REDICA, T.E. STOJNOSTTA NA GRANICATA NE ZAWISI OT APROKSIMI-RA]ATA REDICA S TOˆNOST DO STOHASTIˆNA EKWIWALENTNOST. s˙]ITE SWOJSTWA 1)-5)SA W SILA I W OB]IQ SLUÂJ.

dEFINIRAME SEMEJSTWOTO STOHASTIˆNI INTEGRALI Jt(f) PRI t ∈ [0, T ], KATOPOLOVIM

Jt(f) = JT (fχ[0,t])

T.E.

Jt(f) =

∫ T

0

f(s, ω)χ[0,t](s, ω)dws =

∫ t

0

f(s, ω)dws.

dADENATA KONSTRUKCIQ NA STOHASTIˆNI INTEGRALI JT (f), t ∈ [0, T ] I TEHNITEOSNOWNI SWOJSTWA OSTAWAT W SILA I PRI T = ∞. tRQBWA SAMO f ∈ L2([0,∞) × Ω),T.E. E

∫∞0f 2(s, ω)ds <∞.

pRIMER 8.1. nEKA wt, t ≥ 0, w0 = 0 E wINEROW PROCES. ˝E POKAVEM, Ê∫ T

0

wtdwt =1

2(w2

T − T ).

fUNKCIQTA wt E IZMERIMA, Ft− S˙GLASUWANA I ZA WSQKO T <∞ IMAME∫ T

0

Ew2t dt =

∫ T

0

tdt = T 2/2.

nEKA 0 = t0 < t1 < t2, . . . < tn = T. pOLAGAME f(t, ω) = wtk PRI t ∈ [tk, tk+1).sLEDOWATELNO ∫ T

0

E[f(t, ω)− wt]2dt =

n−1∑k=0

∫ tk+1

tk

E[wt − wtk ]2dt = 1/2

n−1∑k=0

(tk+1 − tk)2 → 0,

max(tk+1 − tk) → 0 n→∞.

sLEDOWATELNO ∫ T

0

wtdwt = l.i.m.n→∞

n−1∑k=0

wtk [wtk+1− wtk ].

rAZGLEVDAME

w2T =

n−1∑k=0

(wtk+1− wtk)

2 + 2n−1∑k=0

∑j<k

(wtk+1− wtk)(wtj+1

− wtj) = (8.5)

n−1∑k=0

(wtk+1− wtk)

2 + 2n−1∑k=0

wtk(wtk+1− wtk).


lQWATA STRANA NA (8.5) NE ZAWISI OT TOˆKITE NA DELENE NA [0, T ]. oT (8.2)SLEDWA, Ê P˙RWATA SUMA W (8.5) KLONI K˙M T . tOGAWA OT (8.2) I (8.5) SLEDWA∫ T

0

wtdwt =1

2(w2

T − T ).

3 sWOJSTWA NA STOHASTIˆNITE INTEGRALI

dA OZNAÎM ηt =∫ t

0f(s, ω)dws.

1) zA WSQKO t ∈ [0, T ] E|ηt| <∞;nAISTINA

E|ηt| ≤(E(ηt)

2)1/2

=

(E∫f 2(s, ω)ds

)1/2

<∞,

T˙J KATO f ∈ L2([0, T ]× Ω).2) pRI t > s S WEROQTNOST 1 E IZP˙LNENO (PORADI SWOJSTWO 4))

E(ηt|Fs) = ηs.

zNAEM, Ê wt e MARTINGAL I OT POSLEDNOTO SWOJSTWO 2) SLEDWA, Ê INTEGRALAPO wINEROW PROCES E S˙]O MARTINGAL. pRI TOWA S WEROQTNOST 1

E(ηt − ηs)2|Fs = E

∫ t

s

f 2(u, ω)du|Fs.

4 fORMULA NA iTO ZA SMQNA NA PROMENLIWITE

nEKA (Ω,F ,P) E WEROQTNOSTNO PROSTRANSTWO, Ft E POTOK OT σ ALGEBRI, t ≥ 0 I

(wt,Ft) E wINEROW PROCES.dADENI SA SL. FUNKCII a(t, ω) I b(t, ω), t ≥ 0, KOITO SA S˙GLASUWANI S POTOKA

Ft I UDOWLETWORQWAT RAWENSTWATAP∫∞

0|a(s, ω)|ds <∞ = 1

P∫∞

0b2(s, ω)ds <∞ = 1.

(8.6)

oPREDELENIE 8.4. kAZWAME, Ê SL. PROCES ξt, t ≥ 0 DOPUSKA STOHASTIÊN DIFE-RENCIAL S KOEFICIENTI NA PRENOS a(t, ω) I DIFUZIQ b2(t, ω), AKO ZA WSQKO t ≥ 0 SWEROQTNOST 1

ξt = ξ0 +

∫ t

0

a(s, ω)ds+

∫ t

0

b(s, ω)dws, (8.7)

K˙DETO ξ0 E SL. WELIÎNA NEZAWISIMA OT wINEROWIQ PROCES.wMESTO (8.7) ZA UDOBSTWO ZAPISWAME

dξt = a(t, ω)dt+ b(t, ω)dwt, ξt|t=0 = ξ0.

4. formula na ito za smqna na promenliwite 85

aKO g(t, x), t ≥ 0, x ∈ R E IZMERIMA FUNKCIQ I WMESTO ARGUMENTA x ZAMESTIMPROCESA ξt, TO ]E POLUÎM NOW SLUÂEN PROCES

η(t) = g(t, ξt), t ≥ 0.

oSNOWEN W˙PROS, KOJTO NI INTERESUWA E PRI KAKWI USLOWIQ η(t), t ≥ 0 DOPUSKASTOHASTIÊN DIFERENCIAL?

tEOREMA 8.1. (fORMULA NA iTO W EDNOMERNIQ SLUÂJ) nEKA g(t, x) IMA NEPRE-

K˙SNATI PROIZWODNI g′t = ∂g∂t, g′x = ∂g

∂xI g′′xx = ∂2g

∂x2 , A ξt, t ≥ 0 SE ZADAWA S˙S (8.7).tOGAWA η(t) DOPUSKA STOHASTIÊN DIFERENCIAL

dη(t) = A(t, ω)dt+B(t, ω)dwt, η(0) = g(0, ξ0), (8.8)

K˙DETO

A(t, ω) = g′t(t, ξt) + a(t, ω)g′x(t, ξt) +1

2b2(t, ω)g′′xx(t, ξt),

B(t, ω) = b(t, ω)g′x(t, ξt).

˝E OTBELEVIM 2 WAVNI SLUÂQ NA FORMULATA NA iTO W MNOGOMERNIQ SLUÂJ.I. nEKA g = g(t, x1, x2, . . . , xn), t ≥ 0, xk ∈ R, k = 1, 2, . . . , n E TAKAWA, Ê PROIZ-

WODNITE

g′t =∂g

∂t, g′k =

∂g

∂xk

, g′′kj =∂2g

∂xk∂xj

, k, j = 1, . . . , n

S˙]ESTWUWAT I SA NEPREK˙SNATI. dADENI SA n SLUÂJNI PROCESA ξ1(t), . . . , ξn(t),K˙DETO

dξk(t) = ak(t, ω)dt+ bk(t, ω)dwt, k = 1, . . . , n,

I FUNKCIITE ak I bk SA OT TIPA (8.6). tOGAWA SL. PROCES η(t) = g(t, ξ1(t), . . . , ξn(t))IMA STOHASTIÊN DIFERENCIAL

dη(t) =

[g′t +

n∑k=1

akg′k +

1

2

n∑k=1

n∑j=1

bkbjg′′kj

]dt+

[n∑

k=1

g′kbk

]dwt, (8.9)

η(0) = g(0, ξ1(0), . . . , ξn(0)).

II. nEKA ξ(t), t ≥ 0, IMA DIFERENCIAL

dξ(t) = a(t, ω)dt+ b(t, ω)dw(t),

K˙DETO a(t, ω) = (a1(t, ω), . . . , an(t, ω)), b(t, ω) = (bkj(t, ω)), k, j = 1, . . . , n, w(t) =(w1(t), . . . , wn(t)).

aKO g(t, x), t ≥ 0, x ∈ Rn E GLADKA FUNKCIQ, TO

dg(t, ξ(t)) =

[g′k(t, ξ(t)) +

n∑k=1

g′kak +1

2

n∑i,j=1

g′′ij(n∑

k=1

bikbkj)

]dt+

n∑i,j=1

g′ibijdwj(t).

(8.10)


fORMULITE (8.9) I (8.10) S˙]O SE NARIÂT FORMULI NA iTO.fORMULATA (8.9) MOVE DA SE ZAPI[E W SLEDNATA EKWIWALENTNA FORMA

dη(t) = g′tdt+n∑

k=1

g′kdξk(t) + (1/2)n∑

k=1

g′′kjdξk(t)dξj(t). (8.11)

aKO W (8.11) dξk(t) ZAMESTIM S NEGOWOTO RAWNO, k = 1, . . . , n I IZPOLZUWAME

TABLICATA ZA UMNOVENIE NA DIFERENCIALI

× dw dtdw dt 0dt 0 0

TO MOVE DA SE POLUÎ (8.9).

pRIMER 8.2. nEKA W (8.11) n = 2, g = x1x2. tOGAWA

d[ξ1(t)ξ2(t)] = ξ1(t)dξ2(t) + ξ2(t)dξ1(t) + b1(t)b2(t)dt,

a S˙]O

d[ξ1(t)ξ2(t)] = [ξ1(t)a2(t) + ξ2(t)a1(t) + b1(t)b2(t)]dt+ [ξ1(t)b2(t) + ξ2(t)b1(t)]dwt.

ÃSTNI SLUÂI:1) ξ1(t) = t, ξ2(t) = wt : d[twt] = wtdt+ tdwt.

2) ξ1(t) = ξ2(t) = wt : d[w2t ] = dt + 2wtdwt (OT K˙DETO SLEDWA, Ê

∫ T

0wtdwt =

(1/2)(w2t − T )).

pRIMER 8.3. nEKA ξ(t) =∫ t

0b(s, ω)dws, g(x) = x4. tOGAWA

d[η(t)] = d[ξ4(t)] = 6

∫ t

0

ξ2(s)b2(s, ω)ds+ 4

∫ t

0

ξ3(s)b(s, ω)dws.

pRIMER 8.4. zA ∀m ≥ 2

d[wmt ] = mwm−1

t dwt +m(m− 1)

2wm−2

t dt.

kATO SLEDSTWIE OT TUK MOGAT DA SE IZWEDAT S˙OTNO[ENIQTA:∫ b

a

wnt dwt =

1

n+ 1[wn+1

b − wn+1a ]− n

2

∫ b

a

wn−1t dt,

∫ b

a

w2t dwt =

1

3[w3

b − w3a]−

1

2[w2

b − w2a] +

1

2(b− a).

i IZOB]O, AKO g NE ZAWISI OT t I IMA DWE NEPREK˙SNATI PROIZWODNI, TO∫ b

a

g′(ws)dws = g(wb)− g(wa)− (1/2)

∫ b

a

g′′(ws)ds.

5. stohastiñi diferencialni urawneniq 87

5 sTOHASTIˆNI DIFERENCIALNI URAWNENIQ

zADAÂ 8.1. dADENA E FUNKCIQTA f(t) = f(t, ω), ZA KOQTO P∫∞

0f(t)2dt <∞ =

1. rAZGLEVDAME PROCESA

zt = exp[

∫ t

0

f(s)dws − (1/2)

∫ t

0

f 2(s)ds].

pO FORMULATA NA iTO IMAME

dzt = zt

(f(t)dwt −

1

2f 2(t)dt

)+

1

2zt

[f(t)dwt −

1

2f 2(t)dt

]2

= zt

(f(t)dwt −

1

2f 2(t)dt

)+

1

2ztf

2(t)dt.

sLEDOWATELNO

dzt = ztf(t)dwt. (8.12)

qSNO E, Ê ZA WSQKO t ≥ 0, zt > 0 S WEROQTNOST 1. tOGAWA MOVEM DA PRILOVIMFORMULATA NA iTO I K˙M z−1

t :

d(z−1t ) = f 2(t)z−1

t dt− f(t)z−1t dwt.

(8.12) e NAJ-PROSTOTO STOHASTIˆNO DIFERENCIALNO URAWNENIE. zADAWAME NA-ÂLNO USLOWIE z0 = 1 I ZAPISWAME (8.12) W INTEGRALNA FORMA

yt = 1 +

∫ t

0

ysf(s)dws. (8.13)

˝E POKAVEM, Ê EDINSTWENOTO NEPREK˙SNATO RE[ENIE NA (8.13) SE ZADAWA SRAWENSTWOTO:

zt = exp

[∫ t

0

f(s)dws − (1/2)

∫ t

0

f 2(s)ds

]. (8.14)

oT NAPRAWENITE RAZS˙VDENIQ SLEDWA, Ê zt OT (8.14) UDOWLETWORQWA (8.13).nEKA xt e NQKAKWO DRUGO NEPREK˙SNATO RE[ENIE NA S˙]OTO URAWNENIE. tOGAWAPO FORMULATA NA iTO IMAME

d(xt/zt) = d(xtz−1t ) = z−2

t [xtdzt − ztdxt] + z−3t xt(dzt)

2 − z2t dxtdzt = 0

KOETO OZNAÂWA, Ê xt = zt S WEROQTNOST 1 ZA WSQKO t ≥ 0.

rAZGLEDANATA ZADAÂ POKAZWA, Ê NQKOI STOHASTIˆNI DIFERENCIALNI URAWNE-NIQ MOGAT DA SE RE[AT SAMO S POMO]TA NA FORMULATA NA iTO.

tEOREMA 8.2. nEKA f(t, ω) = f(t) E DETERMINIRANA FUNKCIQ S OGRANIÊNA WARI-ACIQ W [0, t]. tOGAWA ∫ t

0

f(s)dws = f(t)wt −∫ t

0

wsdf(s).


6 dOKAZATELSTWO NA FORMULATA NA iTO

˝E DOKAVEM SLEDNOTO:nEKA Xt SL. PROCES ZADADEN ˆREZ

dXt = adt+ bdwt (8.15)

(pROCES NA iTO)I NEKA g(t, x) ∈ C2([0,∞)×R). tOGAWA PROCES˙T Yt = g(t,Xt) E OTNOWO PROCES

NA iTO I

dYt =∂g

∂t(t,Xt)dt+

∂g

∂x(t,Xt)dXt +

1

2

∂2g

∂x2(t,Xt)(dXt)

2, (8.16)

K˙DETO (dXt)2 = dXtdXt SE PRESMQTA PO PRAWILATA

dt.dt = dt.dwt = dwt.dt = 0, dwt.dwt = dt. (8.17)

dOKAZATELSTWO: dA ZAMESTIM dXt = adt + bdwt W (8.16) I DA PRILOVIM (8.17).pOLUÂWAME

g(t,Xt) = g(0, X0) +

∫ t

0

(∂g

∂s(s,Xs) + as

∂g

∂x(s,Xs) + (1/2)b2s

∂2g

∂x2(s,Xs)

)+ (8.18)

∫ t

0

bs∂g

∂x(s,Xs)dBs,

K˙DETO as = a(s, ω), bs = b(s, ω) I TOWA E OTNOWO PROCES NA iTO.mOVEM DA PREDPOLAGAME, Ê g I PROIZWODNITE I SA OGRANIÊNI W [0, t] I IZ-

POLZUWAME, Ê WSQKA NEPREK˙SNATA FUNKCIQ MOVEM DA APROKSIMIRAME S˙S ST˙-PALOWIDNI FUNKCII. pREDPOLAGAME, Ê a(t, ω) I b(t, ω) SA ELEMENTARNI FUNKCII.tOGAWA PO FORMULATA NA tEJLOR IMAME:

g(t,Xt) = g(0, X0) +∑

j

∆g(tj, Xtj) =

g(0, X0) +∑

j

∂g

∂t∆tj +

∑j

∂g

∂x∆Xj +

1

2

∑j

∂2g

∂t2(∆tj)

2+

∑j

∂2g

∂t∂x(∆tj)(∆Xj) +

1

2

∑j

∂2g

∂x2(∆Xj)

2 +∑

Rj,

K˙DETO∂g∂t, ∂g

∂xSA PRESMETNATI W TOˆKATA (tj, Xtj), ∆tj = tj+1−tj, ∆Xj = Xtj+1

−Xtj ,∆g(tj, Xj) = g(tj+1, Xtj+1

)− g(tj, Xtj) I Rj = o(|∆tj|2 + |∆Xj|2) ZA WSIˆKI j.kOGATO ∆tj → 0, TOGAWA∑

j

∂g

∂t∆tj =

∑j

∂g

∂t(tj, Xtj)∆tj →

∫ t

0

∂g

∂t(s,Xs)ds. (8.19)

6. dokazatelstwo na formulata na ito 89

∑j

∂g

∂x∆Xj =

∑j

∂g

∂x(tj, Xtj)∆Xj →

∫ t

0

∂g

∂x(s,Xs)dXs. (8.20)

t˙J KATO FUNKCIITE a I b SA ELEMENTARNI, POLUÂWAME∑j

∂2g

∂x2(∆Xj)

2 =∑

j

∂2g

∂x2a2

j(∆tj)2 + (8.21)

+2∑

j

∂2g

∂x2ajbj(∆tj)(∆wj) +

∑j

∂2g

∂x2b2j(∆wj)

2,

K˙DETO aj = a(tj, ω) I bj = b(tj, ω).p˙RWITE DWE S˙BIRAEMI W (8.21) KLONQT K˙M 0, KOGATO ∆tj → 0.nAPRIMER

E

(∑j

∂2g

∂x2ajbj(∆tj)(∆wj)

2

)=

=∑

j

E

(∂2g

∂x2ajbj

)2

(∆tj)3 → 0, ∆tj → 0.

dA POKAVEM, Ê I TRETIQT KLONI W L2 SMIS˙L K˙M 0, PRI ∆tj → 0.dA POLOVIM

a(t) =∂2g

∂x2(t,Xt)b

2(t, ω), aj = a(tj)

I DA RAZGLEDAME

E[(∑

j

aj(∆wj)2 −

∑j

aj∆tj)2] =

∑i,j

E[aiaj

((∆wi)

2 −∆ti) (

(∆wj)2 −∆tj

)].

aKO i < j, TO aiaj ((∆wi)2 −∆ti) I (∆wj)

2 − ∆tj SA NEZAWISIMI I TOZI ˆLEN

OTPADA, KAKTO ANALOGIˆNO I PRI i > j. tAKA OSTAWA SAMO∑j

E[a2j

((∆wj)

2 −∆tj)2

] =∑

j

E[a2j ]E[(∆wj)

4 − 2(∆wj)2∆tj + (∆tj)

2] =

=∑

j

E[a2j ].(3(∆tj)

2 − 2(∆tj)2 + (∆tj)

2) = 2∑

j

E[a2j ](∆tj)

2 → 0, PRI ∆tj → 0.

s DRUGI DUMI DOKAZAHME, Ê∑j

aj(∆wj)2 L2→

∫ t

0

a(s)ds,∆tj → 0,

KOETO SE OZNAÂWA PO STRANNIQ NAÎN KATO (dwt)2 = dt.

lEKCIQ 9

sTOHASTIˆNI DIFERENCIALNI

URAWNENIQ


• dA DEFINIRAME STOHASTIˆNO DIFERENCIALNO URAWNENIE;

• dA NAMERIM RE[ENIQTA NA NQKOI sdu;

• dA RAZGLEDAME PRIMERI.

1 oPREDELENIE

nEKA NA W. P. (Ω,F ,P) E ZADADENA SL. FUNKCIQ f(t, x, ω), x ∈ R, t ≥ 0, ω ∈ ΩrAZGLEVDAME URAWNENIETO

dx(t)

dt= f(t, x(t), ω), x(t) = x0. (9.1)

pRI OPREDELENI USLOWIQ TO IMA EDINSTWENO RE[ENIE x(t) = x(t, ω), t ≥ 0,KOETO E SL. PROCES NEPREK˙SNAT I DIFERENCIRUEM. sLEDOWATELNO, URAWNENIETO(9.1) MOVE DA SE IZPOLZUWA ZA OPISWANE NA DWIVENIE, PRITEVAWA]O SKOROST.

s W˙WEDENOTO PONQTIE STOHASTIÊN INTEGRAL I STOHASTIÊN DIFERENCIAL MO-VEM DA DEFINIRAME EDIN KLAS PROCESI, KOJTO E PO-[IROK OT PROCESITE OPISWANIS (9.1), I OT WINEROWIQ PROCES. tOZI KLAS PROCESI E SW˙RZAN S URAWNENIQ OT WIDA

ξ(t) = ξ0 +

∫ t

0

a(s, ξ(s))ds+

∫ t

0

b(s, ξ(s))dws, (9.2)

KOITO SE NARIÂT STOHASTIˆNI DIFERENCIALNI URAWNENIQ. fUNKCIITE a(t, x) Ib(t, x) SA DEFINIRANI ZA t ∈ [0, T ] I x ∈ R, IZMERIMI SA PO (t, x) I Se NARIÂTKOEFICIENTI NA URAWNENIETO, ξ0 E SL.W. ILI KONSTANTA (NAÂLNO USLOWIE NA (9.2)).

OÊWIDNO (9.2) E OBOB]ENIE NA (9.1) I NA wINEROWIQ PROCES. s POMO]TA NA

(9.2) MOGAT DA SE OPISWAT NEPREK˙SNATI DWIVENIQ, KOITO NQMAT SKOROST. aKO EDNA

90

2. primeri 91

SISTEMA SE NAMIRA PO W˙ZDEJSTWIETO NA SL. SMU]ENIQ OT TIPA NA ”BQL [UM”, TOKATO EDIN STOHASTIÊN MODEL SE IZPOLZUWA IMENNO URAWNENIE OT WIDA (9.2).

oPREDELENIE 9.1. aKO KOEFICIENTITE a I b NA URAWNENIETO NE ZAWISQT OT tTO sdu SE NARIÂ HOMOGENNO (EDNORODNO) INAÊ SE NARIÂ NEHOMOGENNO (NEEDNO-RODNO).

wMESTO (9.2) ÊSTO SE IZPOLZUWA DIFERENCIALNIQ ZAPIS

dξ(t) = a(t, ξ(t))dt+ b(t, ξ(t))dwt, ξ(0) = ξ0. (9.3)

kAKWO E RE[ENIE NA (9.3) (RESP. NA (9.2))?oSWEN (Ω,F ,P) NEKA E ZADADEN I POTOK˙T OT σ ALGEBRI Ft, t ∈ [0, T ], S KOJTO

E S˙GLASUWAN wINEROWIQ PROCES. nEKA ξ0 E F0 IZMERIMA. tOGAWA POD RE[ENIE NA(9.2) ]E RAZBIRAME SL. PROCES ξ(t) = ξ(t, ω), t ∈ [0, T ], K˙DETO

1) ξ(t) E IZMERIM PO (t, ω);2) zA ∀t ∈ [0, T ], ξ(t, ω) E Ft IZMERIM;3) S WEROQTNOST 1 ZA ∀t ∈ [0, T ], ξ(t) UDOWLETWORQWA (9.2).

2 pRIMERI

pRIMER 9.1. nEKA KOEFICIENTITE a I b NE ZAWISQT OT x, T.E.

a(t, x) = a(t), b(t, x) = b(t).

tOGAWA URAWNENIETO SE ZADAWA S

ξ(t) = ξ0 +

∫ t

0

a(s)ds+

∫ t

0

b(s)dws, (9.4)

I PROCES˙T ξ(t) E PROCES S NEZAWISIMI NARASTWANIQ, KOITO SA gAUSOWO RAZP-

REDELENI I IMAT PARAMETRI Eξ(t) − ξ(s) =

∫ t

s

a(u)du I Varξ(t) − ξ(s) =∫ t

sb2(u)du.

pRIMER 9.2. nEKA KOEFICIENTITE a I b ZAWISQT LINEJNO OT x, T.E.

a(t, x) = a(t)x, b(t, x) = b(t)x.

tOGAWA URAWNENIETO SE ZADAWA S

ξ(t) = ξ0 +

∫ t

0

a(s)ξ(s)ds+

∫ t

0

b(s)ξ(s)dws, ξ(0) = ξ0,

92 lekciq 9. stohastiñi diferencialni urawneniq

zA DA NAMERIM ξ(t) ]E W˙WEDEM NOW PROCES ζ(t) = log ξ(t), AKO ξ0 > 0 ILI ζ(t) =log(−ξ(t)), AKO ξ0 < 0. pO FORMULATA NA iTO IMAME

dζ(t) =1

ξ(t)a(t)ξ(t)dt− 1

2

1

ξ(t)2b2(t)ξ2(t)dt+

1

ξ(t)b(t)ξ(t)dwt

sLEDOWATELNO

dζ(t) = (a(t)− (1/2)b2(t))dt+ b(t)dwt, ζ(0) = ζ0 = log ξ0,

T.E. ζ(t) E OT TIPA (9.4).sLEDOWATELNO,

ζ(t) = ζ0 +

∫ t

0

(a(s)− (1/2)b2(s))dt+

∫ t

0

b(s)dws,

OTK˙DETO NAMIRAME

ξ(t) = ξ0 exp

∫ t

0

(a(s)− (1/2)b2(s))dt+

∫ t

0

b(s)dws

.

pRIMER 9.3. nEKA KOEFICIENTITE a I b ZAWISQT LINEJNO OT x, T.E.

a(t, x) = a1(t) + a2(t)x, b(t, x) = b1(t) + b2(t)x.

t˙RSIM SL. PROCES S DIFERENCIAL

dξ(t) = [a1(t) + a2(t)ξ(t)]dt+ [b1(t) + b2(t)ξ(t)]dwt, ξ(0) = ξ0, (9.5)

zA DA NAMERIM ξ(t) ]E W˙WEDEM NOW PROCES ζ(t) = η(t)ξ(t), K˙DETO

η(t) = exp

−∫ t

0

(a2(s)− (1/2)b22(s))ds+

∫ t

0

b2(s)dws

, η(0) = 1.

kATO PRILOVIM FORMULATA NA iTO POLUÂWAME:

ζ(t) = ξ0 +

∫ t

0

η(s)(a1(s)− b1(s)b2(s))ds+

∫ t

0

b1(s)η(s)dws.

kATO ZAMESTIM η(s) S NEGOWOTO RAWNO POLUÂWAME

ξ(t) = exp

[∫ t

0

(a2(s)−b22(s)

2)ds+

∫ t

0

b2(s)dws

]×

×[ξ0 +

∫ t

0

exp

(−∫ s

0

(a2(u)−b22(u)

2)du−

∫ s

0

b2(u)dwu

)(a1(s)− b1(s)b2(s))ds

+

∫ t

0

exp

(−∫ s

0

(a2(u)−b22(u)

2)du−

∫ s

0

b2(u)dwu

)b1(s)dws]

3. s¨˝estwuwane i edinstwenost na re–enieto na sdu 93

3 s˙]ESTWUWANE I EDINSTWENOST NA RE[ENIETO

NA sdu

pRIMERITE POKAZWAT, Ê RE[ENIQTA NA sdu MOGAT DA SE NAMERQT QWNO. eS-TESTWEN E W˙PROS˙T DALI PROIZWOLNO sdu MOVE DA SE PREOBRAZUWA S POMO]TA NA

WZAIMNO EDNOZNAˆNA FUNKCIQ W LINEJNO? dOKAZWA SE, Ê PRI DOP˙LNITELNI PRED-POLOVENIQ ZA GLADKOST NA KOEFICIENTITE a(t, x), b(t, x) TOWA MOVE DA SE POSTIGNE,NO SE STIGA DO ˜du, KOETO NE WINAGI MOVE DA SE RE[I. pO-ÊSTO SE PRAWI TAKA:KOEFICIENTITE NA DADENOTO URAWNENIE (9.2) SE LINEARIZIRAT I NATAT˙K SE IZS-LEDWA POLUÊNOTO LINEJNO sdu. w˙W WSIˆKI SLUÂJ NEGOWOTO RE[ENIE MOVE DA SEPRIEME KATO P˙RWO PRIBLIVENIE NA PROCESA ξ(t), OPISWA] SLOVNATA NELINEJNA

SISTEMA.

tEOREMA 9.1. dA DOPUSNEM, Ê ZA NQKOQ KONSTANTA C I ZA WSIˆKI t ∈ [0, T ] Ix ∈ R SA IZP˙LNENI USLOWIQTA:

|a(t, x)− a(t, y)|+ |b(t, x)− b(t, y)| ≤ C|x− y|,

a2(t, x) + b2(t, x) ≤ C2(1 + x2)(9.6)

nEKA NAÂLNOTO USLOWIE ξ0 E F0 IZMERIMA SL.W. S Eξ20 <∞. tOGAWA

1) s WEROQTNOST 1 S˙]ESTWUWA NEPREK˙SNATO RE[ENIE ξ(t) S ξ(0) = ξ0;2) supt∈[0,T ] Eξ2(t) <∞;3) AKO ξ1 I ξ2 SA DWE RE[ENIQ NA (9.2) UDOWLETWORQWA]I 1) I 2) TO

P supt∈[0,T ]

|ξ1(t)− ξ2(t)| = 0 = 1.

dOKAZATELSTWO: p˙RWO ]E POKAVEM, Ê RE[ENIETO NA (9.2) E EDINSTWENO. nEKAZA i = 1, 2

ξi(t) = ξ0 +

∫ t

0

a(s, ξi(s))ds+

∫ t

0

b(s, ξi(s))dws.

tOGAWA

E(ξ1(t)−ξ2(t))2 = E(∫ t

0

[a(s, ξ1(s))−a(s, ξ2(s))]ds+∫ t

0

[b(s, ξ1(s))−b(s, ξ2(s))]dws)2

≤ 2E∫ t

0

[(a(s, ξ1(s))− a(s, ξ2(s))]ds)2+ 2E

∫ t

0

[(b(s, ξ1(s))− b(s, ξ2(s))]dws)2

≤ 2tE∫ t

0

[(a(s, ξ1(s))− a(s, ξ2(s))]ds)2+ 2E

∫ t

0

[b(s, ξ1(s))− b(s, ξ2(s))]ds)2 ≤

2tC2

∫ t

0

E(ξ1(s)− ξ2(s))2ds+ 2C2

∫ t

0

E(ξ1(s)− ξ2())2ds ≤


≤ C1

∫ t

0

E(ξ1(s)− ξ2(s))2ds,

K˙DETO C1 = 2(T + 1)C2.

˝E IZPOLZUWAME SLEDNOTO NERAWENSTWO NA gRONUOL-bELMAN: aKO c ≥ 0, u(t) ≥0, v(t) ≥ 0, TO OT NERAWENSTWOTO

u(t) ≤ c+

∫ t

0

u(s)v(s)ds

SLEDWA

u(t) ≤ c exp[

∫ t

0

v(s)ds].

pRILAGAME TOWA NERAWENSTWO PRI c = 0, u(t) = E[ξ1(t)− ξ2(t)]2 I v(t) = C1 I

TOGAWA SE POLUÂWA

E(ξ1(t)− ξ2(t))2 = 0.

sLEDOWATELNO

Pξ1(t) = ξ2(t) = 1

ZA WSQKO t ∈ [0, T ]. tOGAWA ZA WSQKO IZBROIMO PODMNOVESTWO S ⊂ [0, T ]

Psupt∈S

|ξ1(t)− ξ2(t)| = 0 = 1.

t˙J KATO ξ1(t), ξ2(t) SA NEPREK˙SNATI, TO AKO S E MNOVESTWOTO NA SEPARABEL-NOST W [0, T ],

P supt∈[0,T ]

|ξ1(t)− ξ2(t)| = 0 = Psupt∈S

|ξ1(t)− ξ2(t)| = 0 = 1,

SLEDOWATELNO (9.2) IMA EDINSTWENO RE[ENIE.

s˙]ESTWSUWANETO NA ξ(t) ]E DOKAVEM PO METODA NA POSLEDOWATELNITE PROBLI-VENIQ. pOLAGAME:

ξ0(t) ≡ ξ0,

ξn(t) = ξ0 +∫ t

0a(s, ξn−1(s))ds+

∫ t

0b(s, ξn−1(s))dws,

n = 1, 2, . . . .

(9.7)

oT USLOWIETO (9.6) NALOVENI NA KOEFICIENTITE a I b I OT SWOJSTWATA NA STO-HASTIˆNITE INTEGRALI, POLUÂWAME, Ê REDICATA ξk(t), k = 0, 1, 2, . . . S WEROQTNOST1 E RAWNOMERNO SHODQ]A PO t W [0, T ]. sLED GRANIÊN PREHOD PO n → ∞ W (9.7)SLEDWA Ê S˙]ESTWUWA RE[ENIE ξ(t), t ∈ [0, T ] NA (9.2).

4. nqkoi wavni formuli 95

4 nQKOI WAVNI FORMULI

nEKA

Xt = X0 +

∫ t

0

a(ω, s)ds+

∫ t

0

b(ω, s)dws (9.8)

ILI

dXt = a(ω, t)dt+ b(ω, t)dwt (9.9)

I

g(t,Xt) = Y (t).

tOGAWA

dYt =∂g

∂t|(t,Xt)dt+

∂g

∂x|(t,Xt)dXt +

1

2

∂2g

∂x2|(t,Xt)(dXt)

2 (9.10)

oT

(dwt)2 = dt, dwtdt = dtdwt = dtdt = 0, (9.11)

SLEDWA

(dXt)2 = (a(ω, t)dt+ b(ω, t)dwt)

2 = b2dt.

sLEDOWATELNO

dYt = g′tdt+ g′xdXt +1

2g′′xxb

2dt =

= g′tdt+ g′x(adt+ bdwt) +1

2g′′xxb

2dt =

(g′t + g′xa+1

2g′′xxb

2)dt+ g′xbdwt.

kOLKO E d(Xt.Yt), AKO

dXt = a1dt+ b1dwt

dYt = a2dt+ b2dwt.

rAZGLEVDAME

g(t, x1, x2) = x1x2 η(t) = g(Xt, Yt). (9.12)

tOGAWA

dη(t) = (0 + a1Tt + a2Xt +1

22b1b2)dt

+(Ytb1 +Xt.b2)dwt

dη(t) = Yt(a1dt+ b1dwt) + (a2dt+ b2dwt)Xt + b1b2dt =

YtdXt +XtdYt + b1b2dt.


5 zADAÎ

zADAÂ 9.1. pREDSTAWETE KATO INTEGRAL NA iTO:

A)∫ t

0w2

sdws.

nEKA g(t, x) = x3

3.

tOGAWA g′t = 0, g′x = x2, g′′xx = 2x.

zA

yt = g(t, wt) =1

3w3

t

POLUÂWAME

dyt = d(1

3w3

t ) = (0.wt +1

2.1.2wt)dt+ 1.w2

t dwt∫ t

0

d(1

3w3

t ) = wtdt+ w2t dwt

T.E. ∫ t

0

w2sdws =

1

3w3

t −∫ t

0

wsds

ILI

d(1

3w3

t ) = wtdt+ w2t dwt.

B) nEKA Xt = 2 + t+ ewt ,

dA WZEMEM g(x, t) = 2 + t+ ex I Yt = g(wt, t).

tOGAWA

dXt = (1 + o+1

2.1.ewt)dt+ ewt .1.dwt

dXt = (1 +1

2ewt)dt+ ewtdwt.

W) Xt = w21(t) + w2

2(t), g(x, t) = x2 + t2

Yt = g(w21(t), w

22(t)) = w2

1(t) + w22(t)

dYt = (2w2(t) + 0.g′x +1

2.1.2)dt+ 2w1(t).1dwt

dYt = (2w2(t) + 1)dt+ 2w1(t)dwt

dXt = d(w1(t))2 + d(w2(t))

2

5. zada˜i 97

zADAˆA 9.2. nEKA C, α SA KONSTANTI.

Xt = exp(Ct+ αwt)

dOKAVETE, ˆE:

dXt = (C +1

2α2)Xtdt+ dXtdwt.

iZBIRAME:g(t, x) = eCt+αx

pOLAGAME

Xt = g(t, wt) = eCt+αwt .

TOGAWA∂g

∂t= CeCt+αwt = CXt.

g′x = αXt, g′′xx = α2Xt.

i PO FORMULATA NA iTO:

dXt = (CXt + 0 +1

2α2Xt)dt+ αXt.dwt.

lekcii po slu˜ajni procesi - store.fmi.uni-sofia.bg · 1. ponqtie za stohasti˜en proces 5 pri...

Documents