lekcija 6: redukcija reda modela i lmi...

Lekcija 6: Redukcija reda

modela i LMI

problem

Prof.dr.sc. Jasmin Velagić

Elektrotehnički fakultet Sarajevo

Kolegij: Multivarijabilni sistemi

2012/2013

U ovom dijelu se izučava:

Opis metoda za reduciranje reda modela

procesa ili regulator.

Poseban naglasak na modelima reduciranog

reda dobivenih rezidualizacijom manje

upravljivih i osmotrivih stanja balansirane

realizacije.

Prikaz metoda balansiranog skraćivanja

(balanced truncation) i optimalne Hankelove

norme aproksimacije.

Redukcija reda modela

2/60

aGG

Metode sinteze modernih regulatora, kao što su H i

LQG zahtijevaju da regulatori budu najmanje reda

procesa, ili obično višeg zbog uključenih težina.

Ovi upravljački zakoni mogu biti presloženi s obzirom

na praktičnu implementaciju i zbog toga se traže

jednostavniji postupci sinteze.

Jedan od načina je reduciranje reda modela procesa

prije sinteze regulatora, ili reduciranje regulatora u

finalnom stanju, ili oboje.

Centralni problem kojeg razmatramo glasi: Zadan je

stabilni LTI model visokog reda G, naći aproksimaciju

niskog reda Ga takvu da je beskonačna norma (H ili

L) razlike malog iznosa.

Pod redom modela podrazumijeva se dimenzija

vektora stanja u minimalnoj realizacija.


3/60

l

mn

ttt

ttt

yDuCxy

uxBuAxx

,)()()(

, ,)()()(

Zadan je minimalni prikaz modela u prostoru stanja

(A, B, C, D):

ili kao ulazno-izlazni model:

Redukcija modela: Tražimo model


4/60

)(

)(

])([)( 1 s

s

ss -U

G

DBAICY

rrra

l

rrr

mk

rrrr

sS

ttt

ttt

DBAICG

yuDxCy

uxuBxAx

1)()(

,)()()(

, ,)()(ˆ)(

Za k < n tražimo da je predikcijsko ulazno-izlazno

ponašanje blisko nekom zadanom, kao npr. zahtjev

da

bude malog iznosa.

Postavlja se pitanje zašto se radi redukcija modela?

Smanjenje računarske složenosti

vrijeme za dinamičke simulacije je aproksimativno

proporcionalno sa n3,

posebno važno za aplikacije u stvarnom vremenu,

npr. regulatore.


5/60

aGG

Metode sinteze regulatora obično daju regulatore

čiji je red najmanje jednak redu modela procesa,

obično značajno višeg reda. Da bi se postigao

regulator nižeg reda potrebno je:

reducirati red model s obzirom na dizajn

upravljanja, ili

reducirati red regulatora nakon dizajna.

Postoji mnogo metoda za redukciju modela.

U ovom predavanju će se izložiti neke, najčešće

korištene.


6/60

Neka je (A, B, C, D) minimalna realizacija stabilnog

sistema G(s) i neka je vektor x (dimenzije n)

razložen na komponente [x1 x2]T, gdje vektor x2

posjeduje n-k stanja koje želimo ukloniti.

Odgovarajućim rastavom A, B i C, jednadžbe u

prostoru stanja postaju:

Želimo postići model k-tog reda iz modela n-tog reda.

Skraćivanje: postaviti x2 na nulu, tj. ukloniti ga.

Rezidualizacija: postaviti , odnosno x2 postaje

algebarska varijabla koja ovisi o x1 i u.

Skraćivanje i rezidualizacija

7/60

DuCxxCy

uBxAxAx

uBxAxAx

211

22222212

12121111

02x

Skraćivanje k-tog reda realizacije

dana je sa:

Skraćeni model Ga jednak je G-u na beskonačnoj

frekvenciji, tj. G() = Ga() = D.

Jednostavno uklanjanje stanja ima malo smisla

općenito.

Zbog toga se prvo ide na transformiranje (A, B, C, D)

u Jordanov oblik i postavljanje stanja tako da x2

korespondira sa najbržim modelima, tj. najvećim

amplitudama svojstvenih vrijednosti.

Skraćivanje

8/60

),,,( DCBAGs

),,,( 1111 DCBAGs

a

n

i i

T

ii

ss

1

)(

bcG

Zbog jednostavnosti pretpostavimo da se A može

dijagonalizirati tako da je:

Ako su i poredane u sljedećem poretku |1| < |2| <

…, tada su najbrži modovi uklonjeni iz modela nakon

skraćivanja.

U dijagonalnom Jordanovom obliku (različite

svojstvene vrijednosti i) G poprima oblik:

Skraćivanje

8/60

4321

2

1

2

1

, ,

00

00

00

cccc

T

n

T

T

n

C

b

b

b

BA

Uklanjanje (brisanje) n-k najbržih modova tada daje

model pogreške:

što povlači za sobom:

gdje moramo pretpostaviti stabilnu matricu G(s).

Skraćivanje

10/60

n

ki i

T

iia

sss

1

)()(

bcGG

n

ki i

T

iia ss

1 )Re(

)()()(

bcGG

Pogreška, odnosno H granica pogreške:

ovisi ne samo o svojstvenim vrijednostima brzih

modova i, već i o rezidualima ,, tj. o efektu

djelovanja ulaza u na x2 i efektu x2 na izlaze y.

Za = imamo:

odnosno, nema pogreške na beskonačnoj frekvenciji.

Skraćivanje

11/60

T

iibc

n

ki i

T

ii

s1

bc

DGG )()( iia

Kod rezidualizacije imamo i (ukoliko je matrica

A22 invertibilna):

Reducirani model (Ar, Br, Cr, Dr) jednak je:

Ovaj reducirani model naziva se rezidualizacija od:

Rezidualizacija

12/60

)()()()()(

)()()()()(

2

1

222121

1

2221

2

1

22121121

1

2212111

ttt

ttt

uBACDxAACCy

uBAABxAAAAx

),,,(

),,,(

2

1

222121

1

22212

1

2212121

1

221211 BACDAACCBAABAAAA

DCBA

rrrr

02x

),,,( DCBAGs

Obično se model (A, B, C, D) postavi u Jordanov

oblik, sa svojstvenim vrijednostima poredanim tako

da x2 sadrži najbrže modove.

Na nultoj frekvenciji imamo:

što slijedi iz činjenice da je u stacionarnom

stanju.

Iz navedenog o skraćivanju i rezidualizaciji slijedi:

Skraćivanje daje najbolju aproksimaciju na

visokim frekvencijama.

Rezidualizacija daje najbolju aproksimaciju na

niskim frekvencijama.

Rezidualizacija

13/60

)0()0( GG a

02x

Suprotnosti između skraćivanja i rezidualizacije

slijede iz bilinearne transformacije s 1/s [Liu

and Anderson, 1989].

Obje metode mogu u principu generirarti prilično

visoke iznose pogreški redukcije, jer ukupni efekt

stanja na ulazno-izlazno ponašanje nije nužnu

povezano s brzinom odziva.

Trbaju biti kombinirane sa nekom metodom koja

osigurava relativno mali ukupni efekt od

uklanjanja stanja na ulazno-izlazno ponašanje

uravnoteženje (balansiranje).

Rezidualizacija

14/60

Balansirana realizacija je asimptotski stabilna

minimalna realizacija u kojoj su Gramiani

upravljivosti i osmotrivosti jednaki i dijagonalni.

Gramian upravljivosti

Model u prostoru stanja (A, B, C, D) ima impulsni

odziv od u(t) do x(t) dan sa:

Kvantifikacija “veličine” impulsnog odziva:

Gramian upravljivosti P definira se kao:

Balansirane realizacije

15/60

BXAtet )(

deedtTt

Tt

T AABBXXP

00)()()(

)(lim tt

PP

Gramian upravljivosti može se izračunati iz

Lyapunovljeve jednadžbe:

P je kvantitativna mjera upravljivosti različitih stanja,

esencijalno, mjerenje efekta ulaza na različita

stanja.

Gramian osmotrivost

Model u prostoru stanja (A, B, C, D) sa ulazom

u(t) = 0 i inicijalnim stanjem x(0) = x* ima izlaz:

Energija izlaza je:


16/60

xCYAtet)(

xCCxyy

Q

AA

)(

00)()(

t

tTT

tT deed

T

0 TTBBPAAP

Gramian osmotrivosti Q definira se kao:

Gramian osmotrivosti može se izračunati iz

Lyapunovljeve jednadžbe:

Q je kvantitativna mjera osmotrivosti različitih

stanja, esencijalno, mjerenje efekta stanja na

izlaze.


17/60 dee

tT

t

T AA CCQ

0lim

0 CCQAQATT

Neka je (A, B, C, D) minimalna realizacija stabilne,

racionalne funkcije prijenosa G(s), tada (A, B, C,

D) je balansirana ako su rješenja sljedećih

Lyapunovljevih jednadžbi:

P = Q =diag(1, 2 ,..., n) = , gdje je 1 2

... n 0.

P = Q su Gramiani upravljivost i osmotrivosti:


18/60

0

0

CCQAQA

BBPAAP

TT

TT

dteedtee tTttTt TT AAAACCQBBP

00

,

U gornjim izrazima predstavlja Gramian od G(s),

gdje i predstavljaju poredane Hankelove

singularne vrijednosti od G(s), definirane kao:

gdje se:

naziva Hankelovom normom od G(s).

Svako stanje u balansiranoj realizaciji je osmotrivo,

ukoliko je upravljivo, pri čemu je i mjera koliko je

sistem osmotriv, odnosno upravljiv.

Stanje sa relativno malim iznosom i ima relativno

mali efekt na ulazno-izlazno ponašanje i slijedi da se

može ukloniti bez značajnijih negativnih posljedica.


19/60

niii ,...,1 ,)(

PQ

HG1

Neka je (A, B, C, D) minimalna realizacija od G(s)

sa podjelom:

gdje 1 = diag(1, 2 ,..., k) i 2 = diag(k+1, ..., n)

Balansirano skraćivanje ili rezidualizacija zadržavaju

k stanja koji korespondiraju sa 1 , tako da će u oba

slučaja imati pogrešku redukcije modela:

Balansirano skraćivanje i rezidualizacija

20/60

1

1

21

2

1

2221

1211

, ,

Σ

ΣΣQP

CCCB

BB

AA

AAA

0

0

n

ki

i

k

a

1

2 GG

Reducirani model (A11, B1, C1, D) naziva se

balansirano skraćivanje od G(s).

Ideja balansiranja sistema sistema i zatim

odbacivanje stanja korespondira sa malim

Hankelovim singularnim vrijednostima.

U balansiranom skraćivanju odbacuje se najmanje

upravljivih i osmotrivih stanja koji korespondiraju sa

2.

U balansiranoj rezidualizaciji, jednostavno

postavljamo na nulu sve derivacije ovih stanja.

Rezultat balansirane rezidualizacije od G(s) je (Ar,

Br, Cr, Dr), tj.

Balansirano skraćivanje i rezidualizacija

21/60

),,,( 2

1

222121

1

22212

1

2212121

1

221211 BACDAACCBAABAAAA

H

k

h ss )()( GG

U ovom pristupu redukcije modela pretpostavlja se

stabilan model G(s) reda n, a zadatak je pronaći

reducirani model reda k takav da se

Hankelova norma pogreške aproksimacije

minimizira.

Hankelova norma bilo koje stabilne funkcije

prijenosa E(s) definirana je kao:

tj, jednaka je maksimumu Hankelove singularne

vrijednosti od E(s).

Optimalna Hankelova norma aproksimacije

22/60

)()( 1 PQE

H

s

)(sk

hG

k

aG

H

k

aGG Optimalna Hankelova norma aproksimacija nastoji

minimizirati za dani red k modela

reduciranog reda.

Za stabilnu kvadratnu funkciju prijenosa G(s),

optimalna Hankelova norma aproksimacije k-tog

reda može se direktno izračunati i Hankelova norma

pogreške:

Optimalna Hankelova norma je neovisna o matrici D

od .

Minimum -norme pogreške je:

Optimalna Hankelova norma aproksimacije

23/60

1 kH

k

a GG

n

ki

i

k

a

1

min GGD

Balansirano skraćivanje i rezidualizaciji i optimalna

Hankelova norma aproksimacija primjenjuju se

direktno za stabilne funkcije prijenosa G(s).

U slučaju nestabilnih modela može se postupiti na

sljedeće načine:

Odvojiti nestabilni dio modela prije obavljanja

redukcije stabilnog dijela modela:

i zatim koristiti neki od navedenih metoda za

određivanje aproksimacije reduciranog reda Gsa(s)

Redukcija nestabilnih modela

24/60

)()()( sss su GGG

)()()( sss saua GGG

Korištenje koprim faktorizacija od G(s):

sa stabilnim M(s) i N(s).

Nakon toga se primjenjuje redukcije modela na

[M(s) N(s)] i koristi:

Redukcija nestabilnih modela

25/60

)()()( 1 sss NMG

)()()( 1 sss aaa NMG

Redukcija modela turbo mlaznog aviona

Model motora ima 3 ulaza, 3 izlaza i 15 stanja.

Primjer redukcije reda modela procesa

26/60

Ulazi u motor su: protok goriva, varijabilno područje

mlaznice i promjenjivi ugao zakreta lopatica

pokretanih preko usisnika zraka.

Izlazi koji se upravljaju su: brzina osovine

kompresora visokog tlaka (HP, središnji kompresor),

omjer izlaznog tlaka (sa kompresora visokog tlaka) i

tlaka na ulazu motora i izlaz kompresora niskog

tlaka.

Kompresor niskog tlaka (LP) je ustvari ventilator.

Osnovno načelo rada mlaznih motora je da se zrak

dovodi pod tlakom u komore izgaranja, gdje se mješa

sa gorivom te se izgaranjem stvara još veći tlak koji

tjera plinove iz komore izgaranja velikom brzinom

kroz mlaznicu stvarajući time potisak.


27/60

Kod mlaznih motora sa turbinom, zrak ulazi u

rotirajući kompresor kroz usisnik zraka.

U kompresoru se zrak komprimira prije ulaska u

komore izgaranja gdje se pod tlakom miješa s

gorivom.

Proces izgaranja dovodi do velikog porasta

temperature te vrući plinovi stvoreni gorenjem

velikom brzinom prolaze kroz turbinu i okreću je,

zatim kroz ispušnu cijev izlaze iz motora.

Turbina pogoni kompresor s kojim je spojena preko

osovine.

Efikasnost mlaznog motora najviše ovisi o omjeru

ulaznog tlaka u kompresor i komprimiranog zraka

prije ulaska u komore izgaranja te ulazne

temperature na turbinu.


28/60

Hankelove singularne vrijednosti za modela sa 15

stanja su:

1) 2.000528e+001, 2) 4.046418e+000, 3) 2.754623e+000

4) 1.763527e+000, 5) 1.296531e+000, 6) 6.296397e-001

7) 1.668864e-001, 8) 9.340749e-002, 9) 2.219277e-002

10) 1.566868e-002, 11) 1.362056e-002,12) 3.996689e-003

13) 1.178913e-003, 14) 3.241000e-004, 15) 3.307337e-

005

Granice L norme pogreške za rezidualizaciju i

skraćivanje su izražene preko dvostruke sume sa slajda

20., a za optimalnu Hankelovu normu aproksimacije

jednostrukom sumom sa slajda 23.

Model sa 15 stanja želimo reducirati na model sa 6

stanja (ukloniti zadnjih 7 stanja).


29/60

Singularne vrijednosti (ne Hankelove singularne

vrijednosti) reduciranih i modela punog reda za slučajeve

balansirane rezidualizacije, balansiranog skraćivanja i

optimalne Hankelove norme aproksimacije prikazane su

na slikama ispod (za sva tri izlaza).

Punom linijom su prikazane singularne vrijednosti za puni

red, a isprekidanom za reducirani red modela.

Rezidualizirani sistem ima perfektno slganje sa sistemom

punog reda u stacionarnom stanju.


30/60

100

10-5

100

Rezidualizacija

Frekvencija (rad/s)

Sin

gula

rne v

rije

dnosti

(abs)

100

10-5

100

Skraćivanje

Frekvencija (rad/s)

Sin

gula

rne v

rije

dnosti

(abs)

100

10-5

100

Hankel

Frekvencija (rad/s)

Sin

gula

rne v

rije

dnosti

(abs)

G

Gr

G

Gt

G

Gh

Singularne vrijednosti pogreške redukcije sistema (G - Ga)

za svaku od tri aproksimacije prikazane su na sljedećoj

slici.

Oznake pogrešaka su: Er (balansirana rezidualizacija), Et

(balanirano skraćivanje), Eh (optimalna Hankelova norma

aproksimacije).


31/60

10-2

100

102

104

10-10

10-5

100

Singularne vrijednosti

Frekvencija (rad/s)

Sin

gula

rne v

rije

dnosti

(abs)

10-2

100

102

104

10-10

10-5

100

Singularne vrijednosti

Frekvencija (rad/s)

Sin

gula

rne v

rije

dnosti

(abs)Er

Et

Eh

Er

Ets

Ehs

(a) (b)

Singularne vrijednosti za skalirane (b) i neskalirane (b) pogreške sistema.

Beskonačna norma pogreške redukcije modela

sistema za balansiranu rezidualizaciju iznosi 0.295 i

događa se na 208 rad/s, dok za balansirano

skraćivanje i optimalnu Hankelovu normu

aproksimacije iznosi 0.324 (na 169 rad/s) i 0.179 (na

248 rad/s).

Gornje granice za norme pogreške redukcije modela

iznose 0.635 (dvostruka suma sa slajda 20.) za

rezidualizaciju i skraćivanje, dok za optimalnu

Hankelovu normu aproksimacije iznosi 0.187 (suma

sa slajda 23.).

Može se reći da je za ovaj proces poželjno da ima

propusni opseg zatvorenog sistema oko 10 rad/s.

Oko ove frekvencije pogreška redukcije modela će

imati malu vrijednost za dobar regulator.


32/48

saWG-G

Ponekad je poželjno imati pojačanje u stacionarnom

stanju jednako kao u slučaju modela punog reda

(primjer: otvoreni sistem upravljanja).

Na prethodnoj slici za balansirano skraćivanje i

optimalnu Hankelovu normu aproksimacije to nije

slučaj., pogotovo za skalirane pogreške.

U skaliranom slučaju aproksimacija modela Ga je

zamijenjena sa GaWs , gdje je Ws = Ga(0)-1G(0).

Kod skaliranih sistema beskonačna norma pogreška

poprima prilično velike vrijednosti.

Što se tiče rezidualiziranih sistema, oni ne trebaju

skaliranje.


33/60

Beskonačne norme u slučajevima skaliranog

balansiranog skraćivanja i skalirane optimalne

Hankelove norme su respektivno degradirane na

5.71 (na frekvenciji 151 rad/s) i 2.61 (na

frekvenciji 168.5 rad/s).

Prema tome, skalirani sistemi u slučajevima

balansiranog skraćivanja i optimalne Hankelove

norme aproksimacije su lošiji u odnosu na

neskalirane, budući da kritično frekvencijsko

područje oko frekvencije presjeka postaje veliko

uprkos poboljšanjima u stacionarnom stanju.

Zbog toga se rezidualizacija preferira kada se

zahtijeva dobro slaganje na niskim frekvencijama.


34/60

Impulsni odzivi i odzivi sva na skokovite pobude za

sva tri izlaza u odnosu na drugi ulaz prikazani su na

sljedećim slikama, za sve tri vrste redukcije (Br –

balansirana rezidualizacija, Ssk – skalirano

balansirano skraćivanje, SoHna – skalirana

optimalna Hankelova norma aproksimacije).


35/60

0 0.01 0.02 0.03

-100

0

100

Vrijeme [s]

Impulsni odziv - Br

0 0.01 0.02 0.03

-100

0

100

Vrijeme [s]

Impulsni odziv - Ssk

0 0.01 0.02 0.03

-100

0

100

Vrijeme [s]

Impulsni odziv - SoHna

Puni red

Reducirani

Slični rezultati se dobiju i za odzive kada su pobude

dovedene na prvi i treći ulaz.

Sa odziva se može zaključiti da je reducirani model u

slučaju balansirane rezidualizacije najbliži modelu

punog reda.

Osim redukcije reda modela procesa može se

načiniti i redukcija reda regulatora.


36/60

0 0.5 1

-15

-10

-5

0

Vrijeme [s]

Odziv na step - Br

0 0.5 1

-15

-10

-5

0

Vrijeme [s]

Odziv na step - Ssk

0 0.5 1

-15

-10

-5

0

Vrijeme [s]

Odziv na step - SoHna

Puni red

Reducirani

LMI (Linear Matrix Inequality) – klasa numeričkih

problema optimiranja.

Definicija 1. LMI je matrična nejednadžba oblika:

gdje su zadani:

x = [x1, ..., xm] realan vektor (varijabla)

Fi, i = 0, ..., m, realne simetrične matrice.

LMI nameće konveksno ograničenje na x:

problem izvodivosti: naći x koji zadovoljava LMI,

problem optimiranja: naći cTx kao predmet LMI-a.

LMI problem

37/60

m

i

iix1

0)( 0FxFF (*)

Problem izvodivosti – naći xizvod takav da je

F(xizvod) > 0 ili odrediti da je LMI neizvodiv

konveksni problem izvodivosti.

Najčešće su u LMI-u varijable matrice, npr. kod

Lyapunovljeve nejednadžbe:

gdje je matrica A zadana i P = PT je varijabla.

Ako se uzme F0 = 0 i

tada su nejednadžbe (*) i (**) ekvivalentne.

LMI problem

38/60

0 PPAAT

ii

T

i PAPAF

(**)

0)( xV

Promatrajmo LTI sistem:

Ovaj sistem je globalno asimptotski stabilan (tj. sve

trajektorije konvergiraju ka 0) ako za Lyapunovljevu

funkciju V(x) = xTPx > 0 ( ) vrijedi:

gdje je P pozitivno definitna matrica.

Ovo korespondira sa LMI problemom

izvodivosti, gdje je potrebno pronaći P da

vrijede navedene nejednadžbe.

LMI problem

39/60 )(tAxx

00 PAPAPPTT ,

Deriviranjem funkcije V po vremenu t dobiva se:

Zadnji izraz predstavlja LMI, gdje je matrica P

varijabla.

Navedeno spada u domen problema linearne

stabilnosti.

LMI problem

40/60

0

00

PAPA

xxPAPAx

xPxPxxx

T

TT

TT

dt

dV

,)(

)(

Poblem robusne linearne stabilnosti

Promatrajmo politopski LTV (linearni vremenski

promjenjiv) sistem:

gdje je Co konveksni omotač (konvex hull) koji

predstavlja konveksnu kombinaciju Ai-ova.

Funkcija Lyapunova postoji ako je:

Ovo također predstavlja LMI problem izvodivosti.

LMI problem

41/60

},...,{)( ),()( 1 Lttt AAAxAx Co

Lii

T

i

T ,...,1 , , 00 PAPAPP

Problem optimiranja: H norma

Promatrajmo LTI sistem

H norma od Gyw je ekvivalentna rješavanju

problema minimiziranja po sljedeće nejednadžbe:

tj. minimizacija je predmet LMI-a.

LMI problem

42/60

)()()(

)()(

ttt

tt

DwCxz

BwAxx

00

P

IDC

DIPB

CPBPAPA

,

TT

TT

Računanje gornje granice za strukturiranu

singularnu vrijednost (kod sinteze robusnog

regulatora):

je također problem optimiranja sa LMI

ograničenjem.

Rješenja Riccatijevih jednadžbi, npr. u H

optimalnom upravljanju, mogu se dobiti preko LMI

problema izvodivosti.

Mnogi problemi optimalnog i robusnog upravljanja

mogu se promatrati kao LMI problemi problemi

konveksne optimizacije za koje postoje efikasni

algoritmi (npr. IPM (interior point methods))

LMI problem

43/60

)(min 1DNDD

Primjer 1. Promatrajmo:

gdje je:

LMI F(x)0 je ekvivalentno sa:

LMI problem

0

32

221

1

1)(

xx

xxxxF

44/60

01

00)( ,

01

11)(

00

01)( ,

01

10)(

32

10

xx

xx

FF

FF

012)1()(

0 ,0

2

2

23231

2

2121

321

xxxxxxxxxx

xxx Skup linearnih nejednadžbi po x-u.

Primjer 2. Koristiti Lyapunovljevu kvadratnu funkciju

V(z)=zTPz za dokaz stabilnost sistema:

Trebamo P > 0 i za sve x (α > 0

zadano)

gdje je z = g(x).

LMI problem

z

x

P

PPPAPA

z

x

PzxxPPAPAx

PxxxgAxPxxx

0

TT

TTT

TTVV

2)(

))((2)()(

45/60

xxgxgAxx )( ),(

)()( xx VV

z zadovoljava zTz 2xTx tako da trebamo P > 0 i

kad god je:

Korištenjem S-procedure ovo se događa ako i samo

ako je:

za neki 0 .

LMI problem

0

z

x

P

PPPAPA

z

x

0

TT46/60

00

0

z

x

I

I

z

x 2T

I

I

P

PPPAPA

0

0

0

2

T

S-procedura

Neka su T0, ... ,Tp simetrične matrice. Ako postoje

1 0, ... , p0 za koje je:

tada je:

takav da je:

LMI problem

47/60

00 xxTx ,0

T

0

i

p

i

iTT1

0

pii

T ,...,1 , 0xTx

Potrebni i dovoljni uvjeti postojanja kvadratne

Lyapunovljeve funkcije mogu se iskazati kao LMI:

u varijablama P i (uvjet 0 slijedi automatski iz

2,2 bloka).

Sa homogenošću ovo možemo pisati kao:

Rješavanje LMI-a da bi se pronašao P predstavlja

zahtjevnu metodu.

Dobro je npr. riješiti Lyapunovljevu jednadžbu

ATP+PA+I=0 nadajući se da rezultantna P odgovara.

LMI problem

48/60

00

IP

PIPPAPAP

2

,T

0

IP

PIPPAPAIP

2

,T

Definicija 2. Sistem linearnih matričnih nejednadžbi

predstavlja konačan skup linearnih matričnih

nejednadžbi:

koje su zadovoljene ako i samo ako je:

LMI problem

49/60

00 )( , ... ,)(1 xx kFF

0

)(00

0)(0

00)(

)(2

1

x

x

x

x

kF

F

F

F

Veoma važno svojstvo LMI-a dobiva se iz

jednostavne algebarske observacije, koje je korisno

u konvertiranju nelinearnih u linearne nejednadžbe.

Pretpostavimo da se matrica M nn može

rastaviti u obliku:

gdje je M11 dimenzija (r r).

Pretpostavimo da je M11 nesingularna matrica.

Matrica naziva se Schurov

komplement od M11 u M.

LMI problem

50/60

2221

1211

1MM

MMM

12

1

112122 MMMMS

Ako je M simetrična matrica tada imamo da:

Rezultat je dobiven observacijom da je M > 0 ako i

samo ako uTMu > 0 za sve ne-nulte un .

Neka je Fr(n-r) , tada M > 0 ako i samo ako za

sve u1r i u2

n-r vrijedi:

LMI problem

51/60

0

0

00

00

S

M

S

MM

11

11

2

21

2221

1211

2

21

u

Fuu

MM

MM

u

FuuT

0

2

1

211211221121

121111

2

1

2

21

2221

1211

2

21

0

u

u

FMMFFMFMMFM

MFMM

u

u

u

Fuu

MM

MM

u

Fuu

TTT

T

T

Sređivanjem se dobiva:

Rezultat slijedi ako se uzme:

Trenutna posljedica ove observacije je sljedeća

propozicija.

LMI problem

52/60

12

1

11 MMF

Propozicija 1. (Schurov komplement). Neka je F

afina funkcija sa sljedećom podjelom (rastav):

gdje je F11(x) simetrična matrica, tada je F(x) > 0

ako i samo ako je:

Druga nejednadžba je nelinearna matrična

nejednadžba po x-u ove nelinearne matrične

nejedneažbe mogu se transformirati u linearne

matrične nejednadžbe.

LMI problem

53/60

0

0

)()()()(

)(

21

1

111222

11

xxxx

x-

FFFF

F

)()(

)()()(

2221

1211

xx

xxx

FF

FFF

Primjer 3. Određivanje dijagonalne matrice D kod

-analize, takve da je:

gdje je M zadana matrica.

Na temelju prethodnog izraza dobiva se:

gdje se iz X = DTD > 0 zaključuje da je postojanje

takve matrice LMI problem izvodivosti.

LMI problem

54/60

11 DMD

0

1 11

XMMX

DDDMDM

IDMDDMDDMD

T

TTT

TTT

Primjer 4. Algebarska Riccatijeva nejednadžba.

Nalazi veliku primjenu u optimalnom upravljanju,

gdje se sinteza optimalnih regulatora obavlja na

temelju računanja pozitivno definitne simetrične

matrice P koja zadovoljava Riccatijevu nejednadžbu:

gdje su A i B konstantne matrice, Q je konstantna

simetrična matrica i R je konstantna simetrična

pozitivno definitna matrica.

Riccatijeva nejednadžba je kvadratna u P-u, ali se

može izraziti kao LMI primjenom Schurovog

komplementa:

LMI problem

55/60

0 QBPBRPAPA

TT 1

0

RPB

PBQPAPAT

T

Lur’e-Lyapunovljeva funkcija

Problem analize stabilnosti sistema upravljanja sa

nelinearnim aktuatorima [Lur'e & Postnikov],

odnosno stabilnosti linearnih sistema sa nelinearnim

perturbacijama.

Promatra se vremenski diskretan sistem sa

restriktiranom statičkom nelinearnosti:

gdje je nelinearnost opisana sa:

i restrikcijama na nagib funkcije:

LMI problem

56/60

)()(

))(()()1(

kk

kkk

Cxq

qBAxx

mikqkqkq iiiii ,...,1 za ,0)]())(())[((

miTkqkq

kqkqii

ii

iiii ,...,1 za ,)()1(

))(())1((0

(***)

(****)

Tii je maksimalan nagib i-te nelinearnosti.

Ovaj oblik se može koristiti za predstavljanje

linearnog procesa, sa nelinearnim aktuatorom, koji je

upravljan antiwindup kompenzatorom (antiwindup –

postoji interakcija između nelinearnosti oblika

zasičenja i integralnog djelovanja)).

Lur’e-Lyapunovljeva funkcija je definirana kao:

gdje je P pozitivno definitna i Qii nenegativna

matrica, tako da je funkcija Lyapunova pozitivno

definitna.

Drugi izraz je uveo Lur’e, kojim se eksplicitno opisuje

nelinearnost u Lyapunovljevoj funkciji.

LMI problem

57/60

m

i

kq

iii

T i

dkkkV1

)(

0)(2)()())(( QPxxx

Lyapunovljeva metoda za vremenski diskretne

sisteme zasniva se na razlici:

Ukupni sistem je globalno asimptotski stabilan ako

se matrice P i Qii mogu izračunati tako da je

navedena razlika manja od nule.

Nelinearnosti su ograničene korištenjem izraza (****)

i teorema srednje vrijednosti, pri čemu se S-

procedura koristi za konvertiranje razlike funkcija

Lyapunova, uključene u (***), u LMI.

LMI problem

58/60

)(())1(( kVkV xx

Može se pokazati, za vremenski diskretni sistem sa

ograničenjima (***) i (****), da je dovoljan uvjet za

globalnu asimptotsku stabilnost postojanje pozitivno

definitne matrice P i dijagonalnih pozitivno

semidefinitnih matrica Q i R takvih da je:

gdje su:

LMI problem

59/60

0

2221

1211

MM

MM

RQCBQCBTQCBCBPBBM

RCIAQCIATQCCBPABM

RCQCIATQCBCIAPBAM

IATQCCIAPPAAM

2

)()(

)()(

)()(

22

21

12

11

TTTTT

TTT

TTTTTT

TTT

U prethodnim izrazima je matrica T = diag{Tii}.

Nova matrica R je uvedena pomoću S-procedure.

Navedeni problem je LMI problem izvodivosti koji se

koristi za analizu pH neutralizacijskih procesa i

kristalizacijskih procesa unutar nelinearni, zatvorenih

sistema upravljanja.

S-procedura omogućuje da se ne-LMI uvjeti, koji se

pojavljuju u analizi nelinearnih sistema, mogu

predstaviti sa LMI.

LMI problem

60/60

lekcija 6: redukcija reda modela i lmi...

Documents