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ANÁLISE DE UMA VIGA PELO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

ENERGÉTICAS

LEONEL OLIVEIRA SOUSA

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO (MODALIDADE - MONOGRAFIA)

NATAL-RN

2016

U F R N

ii

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

LEONEL OLIVEIRA SOUSA

ANÁLISE DE UMA VIGA PELO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

ENERGÉTICAS

Trabalho de Conclusão de Curso na

modalidade Monografia, submetido ao

Departamento de Engenharia Civil da

Universidade Federal do Rio Grande do

Norte como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do Título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Orientadora: Profª Fernanda Rodrigues

Mittelbach.

PUBLICAÇÃO: DEC-05/2016

NATAL/RN, 30 DE MAIO DE 2016

iv

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA SOUSA, Leonel Oliveira (2016). Análise de uma viga pelo Método das Diferenças Finitas

Energéticas. Trabalho de Conclusão de Curso. Departamento de Engenharia Civil da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, RN, 63 páginas.

CESSÃO DE DIREITOS AUTOR: Leonel Oliveira Sousa

TÍTULO: Análise de uma viga pelo Método das Diferenças Finitas Energéticas.

GRAU: Bacharel em Eng. Civil ANO: 2016

É concedida à Universidade Federal do Rio Grande do Norte permissão para reproduzir

cópias deste Trabalho de Conclusão de Curso e para emprestar ou vender tais cópias

somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de

publicação e nenhuma parte desse Trabalho de Conclusão de Curso pode ser reproduzida

sem autorização por escrito do autor.

___________________________________

Leonel Oliveira Sousa Avenida Prefeito Milton Dantas de Medeiros, Parque das Nações Natal/RN - Brasil

v

DEDICATÓRIA

Análise de uma viga pelo Método das Diferenças Finitas Energéticas

Aos meus pais, irmã, família e amigos.

vi

AGRADECIMENTOS

Agradeço, primeiramente, à benção de Deus e a intercessão de Nossa Senhora,

porque sem Ele não teria tanta convicção nas escolhas que fiz na minha vida.

Aos meus pais José Alves e Nady de Almeida que me deram e vêm me dando todo

o suporte necessário para que eu chegasse até aqui.

À minha irmã Letícia que está sempre do meu lado para o que der e vier.

À minha orientadora Fernanda Rodrigues Mittelbach, pela enorme ajuda, não só

no trabalho de conclusão de curso, mas por todas as ajudas e conselhos no decorrer de

toda a graduação.

Ao meu grande amigo, o Eng° Thiago Henrique Ferreira Garcia, que me auxiliou

no início do processo.

Aos amigos e amigas da “Turma dos Sonhos” pela ajuda mútua e perseverança

nas dificuldades enfrentadas durante todo o curso.

Aos meus amigos de ensino médio Thiago, Matheus, Ítalo, Vinnicius, Arthur,

Ígor, Denner e Hugo pela forte amizade que dura desde os tempos do Salesiano São José.

Aos professores da graduação de Engenharia Civil da UFRN pelos

conhecimentos passados que serviram não só para o desenvolvimento deste trabalho

como também servirão para a minha carreira profissional.

A todos que, mesmo indiretamente, me auxiliaram na conquista de mais uma

etapa da minha vida.

Leonel Oliveira Sousa

vii

RESUMO ANÁLISE DE UMA VIGA PELO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

ENERGÉTICAS

Autor: Leonel Oliveira Sousa

Orientadora: Fernanda Rodrigues Mittelbach

Departamento de Engenharia Civil - UFRN

Natal, Maio de 2016

Neste trabalho, será apresentada a utilização do Método das Diferenças Finitas

Energéticas (MDFE) na análise de uma viga. O MDFE é uma formulação que aplica as

expressões de Diferenças Finitas nas derivadas Existentes nas equações integrais oriundas

dos princípios de energia.

O estudo numérico, com base no Princípio dos Trabalhos Virtuais foi desenvolvido

para o modelo, resultando em um código computacional desenvolvido em linguagem

Fortran.

O trabalho tem o desenlace, comparando os resultados do tratamento numérico com

a solução analítica, com o objetivo de mensurar a acurácia do MDFE na analise de

estruturas. São utilizadas estruturas com diferentes condições de contorno e solicitações.

viii

ABSTRACT

Title: ANALYSIS OF A BEAM BY THE ENERGETIC FINITE DIFFERENCE

METHOD

Author: Leonel oliveira Sousa

Supervisor: Fernanda Rodrigues Mittelbach

Department of Civil Engineering, Federal University of Rio Grande do Norte, Brazil

Natal, May 2016

In this paper, will be presented the use of the Energetic Finite Difference Method

(EFDM) in the analysis of a beam. The EFDM is a numerical formulation that applies the

expressions of Finite Difference in the derivative terms in the integral equation from the

Energetic Principles.

The numerical study based on the principle of virtual work was developed for the

model, resulting in a computer code.

The work has its outcome, comparing the results of numerical treatment to the

analytical solution, in order to measure the accuracy of the structures under EFDM

analysis. They are used different end conditions and loads cases.

ix

ÍNDICE GERAL !1.! APRESENTAÇÃO! 12!2.! OBJETIVOS! 14!

2.1! GERAL! 14!

2.2! ESPECÍFICOS! 14!3.! JUSTIFICATIVA! 15!4.! METODOLOGIA! 16!5.! TRATAMENTO!ANALÍTICO! 17!

5.1! PRINCÍPIO!DOS!TRABALHOS!VIRTUAIS!(P.T.V)! 17!

5.2! HIPÓTESES!SIMPLIFICADORAS! 18!

5.3! TRABALHO!VIRTUAL!INTERNO! 18!

5.4! TRABALHO!VIRTUAL!EXTERNO! 20!6.! TRATAMENTO!NUMÉRICO! 20!

6.1! DISCRETIZAÇĀO!E!SISTEMA!DE!NUMERAÇĀO! 20!

6.2! REPRESENTAÇĀO!DAS!DIFERENÇAS!FINITAS!PARA!AS!DERIVADAS!DOS!DESLOCAMENTOS! 22!6.2.1.! Derivadas!do!deslocamento!v! 22!

6.2.1.1.! Derivada!primeira!para!o!trecho!de!integração!intermediário:! 23!6.2.1.2.! Derivada!Segunda!para!o!trecho!de!integração!intermediário! 23!6.2.1.3.! Derivada!segunda!para!o!trecho!de!integração!inicial! 23!6.2.1.4.! Derivada!segunda!para!o!trecho!de!integração!final! 23!

6.3! AVALIAÇÃO!DO!TRABALHO!VIRTUAL!INTERNO! 24!6.3.1.! Trabalho!virtual!interno!e!matriz!associada!ao!trecho!inicial!de!integração! 25!6.3.2.! Trabalho!virtual!interno!e!matriz!associada!para!o!trecho!intermediário!de!integração! 25!6.3.3.! Trabalho!virtual!interno!e!matriz!associada!para!o!trecho!final!de!integração! 26!

6.4! AVALIAÇÃO!DO!TRABALHO!VIRTUAL!EXTERNO! 27!

6.5! MATRIZ!DE!RIGIDEZ!GLOBAL!E!VETOR!GLOBAL!DE!CARGA!DA!VIGA! 27!

6.6! RESOLUÇÃO!DO!SISTEMA!DE!EQUAÇÃO! 28!

6.7! SOFTWARE!UTILIZADO! 29!7.! COMPARAÇÃO!E!ANÁLISE!DOS!RESULTADOS! 30!8.! CONCLUSÃO! 43!ANEXO!A! 44!ANEXO!B! 47!ANEXO!C! 50!ANEXO!D! 53!ANEXO!E! 56!ANEXO!F! 59!REFERÊNCIAS!BIBLIOGRÁFICAS! 62!

x

INDICE DE TABELAS

TABELA PÁGINA

Tabela 1-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo V/Bi-apaioda) 31!Tabela 2-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo Mz/Bi-apaioda) 31!Tabela 3-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo V/Bi-apaioda) 33!Tabela 4-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo Mz/Bi-apaioda) 33!Tabela 5-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo V/Bi-engastada) 35!Tabela 6-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo Mz/Bi-engastada) 35!Tabela 7-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo V/Bi-engastada) 37!Tabela 8-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo Mz/Bi-engastada) 37!Tabela 9-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo V/Engastada simples) 39!Tabela 10-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo Mz/Engastada simples) 39!Tabela 11-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo V/Engastada simples) 41!Tabela 12-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo Mz/Engastada simples) 41!

xi

INDICE DE GRÁFICOS

GRÁFICO PÁGINA

Gráfico 1- Solução analítica x Soluções do MDFE (V/Bi-Apoiada) 32!Gráfico 2-Solução analítica x Soluções do MDFE (Mz/Bi-Apoiada) 32!Gráfico 3-Solução analítica x Soluções do MDFE (V/Bi-Apoiada) 34!Gráfico 4-Solução analítica x Soluções do MDFE (Mz/Bi-Apoiada) 34!Gráfico 5-Solução Analítica x Soluções do MDFE (V/Bi-engastada) 36!Gráfico 6-Solução Analítica x Soluções do MDFE ( Mz/Bi-engastada) 36!Gráfico 7-Solução Analítica x Soluções do MDFE (V/Bi-engastada) 38!Gráfico 8-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Mz/Bi-engastada) 38!Gráfico 9-Solução Analítica x Soluções do MDFE ( V/Engastada simples) 40!Gráfico 10-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Mz/Engastada simples) 40!Gráfico 11-Solução Analítica x Soluções do MDFE (V/Engastada simples) 42!Gráfico 12-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Mz/Engastada simples) 42!

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SIMBOLOGIA

SIMBOLO SIGNIFICADO

E - Módulo de elasticidade longitudinal

l - Comprimento da viga

I - Momento de Inércia

Mz - Momento fletor

p - Carregamentos prescritos de domínio

x, y - Direções coordenadas na viga

u, w,v - Componentes de deslocamento segundo x , z e y

δWe, δWi - Trabalhos virtuais das forças externas e internas

εx, εy, εz - Deformações específicas

γxy, γxz, γyz - Distorções

ρx, ρy, ρz - Componentes das forças de superfície

σx, σy, σz - Tensões normais

τxy, τxz, τyz - Tensões cisalhantes

12 1.! APRESENTAÇÃO

O estudo e a análise de estruturas por métodos numéricos não são aprofundados na

graduação em Engenharia Civil da UFRN. Entretanto, esse tópico torna-se, cada vez mais, uma

necessidade, dada a ampla gama de utilizações para a análise dos problemas de engenharia de

difícil resolução analítica. A análise de uma viga se apresenta como uma ferramenta para

entendimento dos fundamentos do tratamento numérico amplamente utilizado pelos programas

de cálculo estrutural.

Dentro deste contexto, é importante a familiarização do engenheiro de estruturas com essa

ferramenta da análise estrutural, de modo a entender como funciona a sequência de cálculo dos

softwares utilizados para resolução dos mais variados tipos de elementos estruturais.

A complexidade das soluções analíticas de algumas estruturas, associada ao avanço

tecnológico após o advento da computação, vem contribuindo para o uso cada vez mais

recorrente de métodos numéricos. Entre os métodos numéricos mais frequentes na literatura

estão o Método dos Elementos Finitos (MEF), Método das Diferenças Finitas (MDF), Método

das Diferenças Finitas Energética (MDFE) e o Método dos Volumes Finitos (MVF).

O método computacional das diferenças finitas (MDF) surgiu, juntamente com o

método dos elementos finitos (MEF), na literatura técnica na década de 50. Ao longo dos anos,

o MEF vem sendo mais utilizado. Contudo, em virtude da adaptabilidade do MDF, recentes

trabalhos vêm sendo desenvolvidos como em Hagiya (2003) na analise estruturas em concreto

armado, Ferreti (2003) no estudo de elementos tracionados, Habib (2010) em pórticos e Virdi

(2006) em colunas.

A origem do MDFE vem da evolução do MDF. O MDFE teve sua formulação iniciada no

século dezenove. Segundo Pletz (1983), as dificuldades relacionadas com a análise

convencional pelas diferenças finitas culminaram no surgimento de um novo método, baseado

nos princípios da energia, o MDFE. Tal método difere do método convencional de diferenças

finitas por substituir as derivadas dos deslocamentos por formas de diferenças finitas

diretamente na expressão do princípio dos trabalhos virtuais (PTV), ou então na da energia

potencial total do sistema. No método convencional as representações em diferenças finitas são

aplicadas sobre as equações diferenciais que governam o problema. A formulação energética,

em relação à convencional, apresenta algumas vantagens, tais como o uso de derivadas de

ordem mais baixa que levam a uma maior precisão, a necessidade de prescrição somente das

condições de contorno geométricas, a geração de matrizes de coeficientes simétricas e, em

algumas situações, uma redução no número de graus de liberdade do problema.

13

No Brasil, o MDFE é utilizado desde 1980 para análise de vigas, placas e cascas. Dentre

os trabalhos estão Graça (2000) que empregou tal método para a análise estática e dinâmica de

placas, e Neves (2013) que fez uso das diferenças finitas energéticas para simular o

comportamento sob flexão do concreto reforçado com fibras curtas de aço.

Dentre os métodos numéricos para análise de estruturas em casca, Mittelbach (2002), em

seu trabalho intitulado “Método das Diferenças Finitas e Energéticas na Análise de

Reservatórios Cilíndricos”, destaca-se na análise de uma casca cilíndrica axissimétrica pelo

MDFE.

O trabalho em discussão analisará comparativamente os esforços e deslocamentos em uma

viga utilizando-se Método das Diferenças Finitas Energéticas e os esforços e deslocamentos em

uma viga pelo método analítico, evidenciando as diferenças absolutas e relativas entre os

resultados obtidos.

14 2.! OBJETIVOS

2.1! GERAL

O objetivo do trabalho é prover um alicerce para o discente no estudo e entendimento da

rotina de cálculo de estruturas por meio do MDFE, não convencionalmente tratado no curso de

graduação em Engenharia Civil da UFRN. Deste modo, o discente irá adquirir embasamento

de suma importância para o aprofundamento de seus estudos.

2.2! ESPECÍFICOS

No trabalho será desenvolvido um código computacional em linguagem FORTRAN,

exigindo que haja domínio dos conceitos e desenvolvimento da formulação numérica pelo

MDFE. Ao invés de utilizar um software comercial com um código fonte já pronto, optou-se

por realizar uma sequência de programação própria garantindo um ganho no entendimento da

formulação, aplicação e até facilidade quando da utilização dos programas de engenharia

disponíveis.

Sendo um trabalho em nível de graduação, optou-se pelo desenvolvimento de uma estrutura

em viga, que, será tratada como um elemento unidimensional. Assim, garante-se o aprendizado

da formulação de um problema estrutural em MDFE, utilizando um desenvolvimento

matemático de menor complexidade.

Com os resultados numéricos, pretende-se realizar uma comparação com os obtidos

analiticamente.

15 3.! JUSTIFICATIVA

O MDFE é um método numérico que vem crescendo no desenvolvimento de trabalhos

científicos na modelagem de problemas de engenharia de estrutura. Objetivando uma futura

especialização e pós-graduação na área de engenharia de estruturas, é imprescindível a

familiaridade com métodos numéricos.

Em razão que o único contato com os métodos numéricos de análise de estruturas foi no

cumprimento da disciplina optativa de Análise Matricial de Estruturas pelo discente, a ideia do

estudo do MDFE torna-se interessante no sentido de familiariza-lo com um assunto não

abordado no curso de graduação de Engenharia Civil da UFRN, mas largamente enfatizado em

programas de pós-graduação de todo o país.

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

16 4.! METODOLOGIA

Para atingir os objetivos supracitados, este trabalho será organizado da seguinte forma:

- Primeiramente será apresentada a estrutura com seus deslocamentos e sua convenção de

sinais utilizada e serão explicitadas as hipóteses simplificadoras para possibilitar um tratamento

menos complexo;

- Em um segundo momento será desenvolvida a equação diferencial que rege o problema,

sendo esta resolvida analiticamente;

- Após o tratamento analítico, procede-se ao tratamento numérico através do MDFE com

a utilização do PTV, para a obtenção das equações integrais;

- Munido das equações produzidas nos dois passos anteriores, submete-se a estrutura a

diferentes condições de contorno e solicitações, e encontram-se os resultados através do Excel

e do Plato (compilador em linguagem FORTRAN) para o tratamento analítico e numérico,

respectivamente;

- Munido dos resultados recolhidos, procede-se à análise comparativa.

17 5.! TRATAMENTO ANALÍTICO

No início desta seção será feita uma abordagem analítica da viga acerca do princípio dos

trabalhos virtuais juntamente com as hipóteses adotadas que simplificam o problema para a

estrutura em questão. Essas serão as ferramentas utilizadas para se chegar nas equações

diferenciais que regem o comportamento mecânico da viga.

5.1!PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V)

O princípio dos trabalhos virtuais se baseia no método da conservação da energia. O P.T.V

afirma que o trabalho realizado pelas forças internas é igual ao trabalho realizado por forças

externas. Ou seja, um sistema estrutural em equilíbrio que se submete a um campo de

deslocamentos virtuais hipotéticos e cinematicamente admissível (compatível com as

vinculações do sistema e mantendo a continuidade interna), obedecerá ao princípio dos

trabalhos virtuais.

Tendo assim:

δWi = δWe (5.1)

Onde:

δWi : Trabalho Virtual realizado pelas forças internas;

δWe : Trabalho Virtual realizado pelas forças externas.

Expandindo a equação (5.1), tem-se:

δWi= !"#$" + !&#$& + !'#$' + τ"&δγ"& + τ"'δγ"'+++τ&'δγ&' ,-+(5.2)3

δWe= 4"#5 + 4&#6 + 4'#7 ,8 + 9"#5 + 9&#6 + 9'#7 ,-+(5.3)+;<

+;<

Sendo:

++++++++++++4", 4&, 4'+: componentes das forças de superfície que atuam na região Sf do contorno onde são prescritas forças;

+++++++++++9", 9&, 9': componentes das forças de volume;

!", !&, !', τ"&, τ"', τ&': Componente de tensão;

#5, #6, #7: Variações das componente de deslocamento (u,v,w) segundo x,y,z;

18

#$", #$&, #$', δγ"&, δγ"'+, δγ&' : Variação das componentes de deformação.

5.2! HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS

Para o tratamento analítico, serão utilizadas hipóteses simplificadoras, que possibilitarão

uma análise menos complexa da estrutura sem, entretanto, interferir significativamente no

resultado final dos exemplos aqui tratados.

Tomando o caso em estudo da viga e as equações 5.2 e 5.3, a análise é fundada na teoria

de vigas. Segundo essa hipótese:

o! 9" = 9& = 9' = 0;

o! #$&, #$', δγ"&, δγ"'++@+δγ&'+ são aproximadamente zero;

o! +4" = 4' = 0

Figura 1- Representação de uma viga bi apoiada com seus parâmetros e sistemas de coordenadas.

5.3! TRABALHO VIRTUAL INTERNO

Como resultado das simplificações e teorias adotadas, tem-se a seguinte expressão para o

trabalho virtual interno:

δWi= !"#$" ,-+(5.4)3

19 Pela lei de Hooke, temos:

!" = B#$"+(5.5)

Fazendo uso da teoria da flexão simples, obtem-se:

!" =MyE + 5.6

$" =MyBE + 5.7

Onde E é o modulo de elasticidade longitudinal da viga, I é momento de inercia da seção em torno do eixo z, y é a distância do ponto onde se quer calcular a tensão e a linha neutra e M é momento fletor. De acordo com a equação da linha elástica:

H = −BE,J6,KJ ++++++ 5.8

Com isso, tem-se:

!" = −B,J6,KJ M++++++ 5.9

$" = −,J6,KJ M+++++ 5.10

Aplicando (5.9) e (5.10) em (5.4), o trabalho interno resulta:

δWi= B,J6,KJ M+#

,J6,KJ M ,-+++++(5.11)

3

Desenvolvendo a equação chega-se em:

δWi= BE,J6,KJ +#

,J6,KJ ,K+++++(5.12)

P

Q

20 5.4! TRABALHO VIRTUAL EXTERNO

A expressão do trabalho virtual externo relativa aos carregamentos de domínio (por

unidade de comprimento) é dada por:

δWe= 4&#6 ,K+++++(5.13)+P

Q

Chega-se nessa expressão, após a consideração apenas de carregamentos na direção do seu

próprio plano (+4" = 4'+ = 0), e desprezando as forcas de massa (9" = 9& = 9' = 0).

6.! TRATAMENTO NUMÉRICO

A aplicação do método numérico proposto baseia-se na avaliação das integrais relativas

aos trabalhos virtuais interno e externo para o elemento estrutural supracitado, mediante a

consideração de um somatório de contribuições dos diversos trechos de integração envolvidos,

ao longo dos quais todas as grandezas existentes são supostas constantes. Substituem-se então

as derivadas dos deslocamentos por formas de diferenças finitas, e igualam-se, em seguida, as

expressões dos trabalhos virtuais interno e externo, ou seja, aplica-se o P.T.V.. Com isso, e a

imposição das condições de contorno, monta-se um sistema de equações lineares, cujas

incógnitas são os deslocamentos em pontos nodais da estrutura.

O presente trabalho possibilita o uso de uma discretização uniforme, pelo fato de o

elemento estrutural de estudo ser uma viga, e não apresentar pontos de concentração de tensões,

pelas hipóteses de carregamento consideradas. De modo que, a discretizaçāo pode ser

considerada a mesma para todo o trecho da viga.

6.1! DISCRETIZAÇĀO E SISTEMA DE NUMERAÇĀO

A numeração dos nós inicia-se a partir do primeiro apoio e segue até final do trecho da

viga. Para N divisões da viga, tem-se NN=N+1 nós no domínio, associando-se aos nós extremos

duas componentes de deslocamento e aos nós intermediários uma componente apenas,

conforme mostrado na figura 2. A relação de correspondência entre os índices de numeração

global dos deslocamentos e os deslocamentos v de um nó i qualquer se dá por vS→ USUV,

considerando-se ainda nos nós extremos os deslocamentos UV = θV+e UXXUJ = θXX.

21

A malha de discretização, como já estabelecido, é uniforme, mantendo constante, neste

caso, o espaçamento nodal λ.

Figura 2- Discretização e sistema de numeração global dos deslocamentos nodais

A figura mostra a subdivisão igual do domínio, ilustrando como será a estrutura da matriz

global. Além disso, faz-se ainda, para fins de avaliação do trabalho virtual interno, a distinção

entre trechos de integração associados às derivadas dos deslocamentos v. Explicitam-se as

expressões das derivadas de v (primeira e segunda derivadas) no próprio ponto nodal.

Os referidos trechos de integração são mostrados na figura 3. Aos termos contendo as

derivadas v’ e v” correspondem NN trechos de integração, notando-se neste último caso que os

trechos inicial e final têm metade dos comprimentos λ indicados na figura 3.

Utiliza-se ainda um sistema de numeração local para os deslocamentos, também mostrado

na figura 3, o qual é útil para proceder o acúmulo das contribuições dos diversos trechos de

integração. Como mostra a figura, a cada um destes trechos estão associados três deslocamentos

nodais, relacionados com três nós consecutivos i-1, i e i+1 no caso dos trechos intermediários,

e com os nós 1 e 2 ou NN-1 e NN em se tratando dos trechos das extremidades inicial e final,

respectivamente. A regra de correspondência entre os índices de numeração local e global dos

deslocamentos, para um trecho genérico (i) de integração, é dada por:

YZ→[\]VUZ (k=1 a 3) (6.1)

22

Figura 3- Trechos de integração e numeração local dos deslocamentos nodais

6.2!REPRESENTAÇĀO DAS DIFERENÇAS FINITAS PARA AS DERIVADAS DOS DESLOCAMENTOS

Para o desenvolvimento numérico da integral na expressão (5.12), referente ao trabalho

virtual interno da viga em análise, substituem-se as derivadas do deslocamento v por

representações em diferenças finitas. São mostradas, a seguir, as aproximações das derivadas

de segunda e primeira ordens, tornando possível a resolução do problema com a formação de

um sistema de equações lineares, escrito sob forma matricial, cujas matrizes serão representadas

neste trabalho.

6.2.1.! Derivadas do deslocamento v

No desenvolvimento da expressão numérica do δWi, são necessárias as representações das

derivadas primeiras e segundas em formas de diferenças finitas. Para a representação da

derivada segunda nos nós inicial e final da viga, optou-se pela definição também da derivada

primeira nesse trecho, para que não fosse necessária a utilização de nós virtuais. As derivadas

primeiras de v nos nós inicial e final, requeridas para os trechos extremos, são os próprios graus

de liberdade θV+e θXX .

23 6.2.1.1.! Derivada primeira para o trecho de integração intermediário:

Figura 4-Esquema para a obtenção da expressão (6.2)

Com o auxilio da figura 4, e utilizando-se a representação convencional para esta derivada, escreve-se:

6′\ =6\UV − 6\]V

2λ ++++(6.2) 6.2.1.2.! Derivada Segunda para o trecho de integração intermediário

Dispondo da mesma figura 4, adota-se a representação convencional:

6′′\ =6\UV − 26\ + 6\]V

λJ ++++(6.3)

6.2.1.3.! Derivada segunda para o trecho de integração inicial

Figura 5- Esquema para a obtenção da expressão (6.5)

Para a eliminação do nó virtual a (figura 5), define-se a rotação em 1:

θV = 6′\ =

6J − 6`2λ ++++(6.4)

Escrevendo 6` em função de 6J e θV, e substituindo em seguida na expressão (6.3) para a

derivada segunda, chega-se para o trecho inicial:

6′′\ =2(6J − 6V − θVλ)

λJ ++++(6.5) 6.2.1.4.! Derivada segunda para o trecho de integração final

24

Figura 6- Esquema para obtenção da expressão (6.7)

Para a eliminação do nó virtual b (figura 6), define-se a rotação em NN:

θXX = 6′aa =

6b − 6aa2λ ++++(6.6)

Escrevendo 6b em função de 6aa]V e θXX, e substituindo em seguida na expressão (6.3)

para a derivada segunda, obtém-se para o trecho final:

6′′aa =2(θXXλ − 6aa − 6aa]V)

λJ ++++(6.7) 6.3!AVALIAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL INTERNO

Na avaliação das integrais do trabalho virtual interno, substituem-se as derivadas do

deslocamento v pelas representações em diferenças finitas apresentadas no item anterior. Em

cada um dos trechos de integração, tais derivadas, bem como todas as demais grandezas

existentes na expressão, são consideradas constantes. Aplicando os conceitos supracitados para

trechos de diferenças finitas na equação (5.12), chega-se em:

δWi=BE 6′′V#6′′Vλ2 + 6′′\#6′′\

aa]V

\cJ

λ + 6′′aa#6′′aaλ2 ++++(6.8)

A seguir serão expostas as parcelas de contribuição de cada trecho para o trabalho virtual

interno, juntamente com a formação da matriz local do elemento e posterior sobreposição de

cada elemento para montar-se a matriz global. Os trechos de integração foram divididos em três

tipos: inicial, intermediário e final.

25 6.3.1.! Trabalho virtual interno e matriz associada ao trecho inicial de integração

Tomando-se a contribuição para o trecho inicial de comprimento λ/2 da equação (6.8), e

substituindo a equação (6.5), tem-se:

δWiV=BE2(6J − 6V − θVλ)

λJ #2(6J − 6V − θVλ)

λJλ2 ++++(6.9)

Colocando os deslocamento virtuais #θV, #6Ve #6J em evidência, resulta:

δWiV=BE #θV2θVλ +

26VλJ −

26JλJ + #6V

2θVλJ +

26Vλe −

26Jλe

+ #6J −2θVλJ −

26Vλe +

26Jλe ++++(6.10)

Para resolução, utilizando representação matricial, trabalha-se com a equação (6.10),

colocando os deslocamentos θV, 6V e 6J em evidência, obtém-se a seguinte matriz de rigidez

local do elemento [Ke] e o vetor de deslocamento Y :

[gh] = BE

2λ

2λ −

2λJ

2λJ

2

λ3−2λe

−2

λ2−2λe

2λe

++@++ Y =θ16162

++(6.11)

Note-se que a multiplicação da matriz local do elemento pelo vetor

Y +resulta+num+vetor+que apresenta na sua primeira linha exatamente a contribuição de δWi1

que multiplica δθ1, na segunda linha, a contribuição que multiplica δv1 e na terceira linha, a

contribuição que multiplica δv2. Procedimento semelhante será utilizado para os trechos

intermediários e o trecho final de integração da viga.

6.3.2.! Trabalho virtual interno e matriz associada para o trecho intermediário de integração

Considerando-se a novamente equação (6.8), e inserindo a equação (6.3), tem-se:

δWi\=BE2(6\]V − 26\ + 6\UV)

λJ #(6\]V − 26\ + 6\UV)

λJ λ ++++(6.12)

Colocando agora os deslocamento virtuais #6\]V, #6\e #6\UV em evidência, resulta:

26

δWi\=BE #vS]V6\]Vλe −

26\λe −

6\UVλe + #6\ −

26\]VλJ +

46\λe −

26\UVλe

+ #6\UV6\]Vλe −

26\λe +

26\UVλe ++++(6.13)

Para resolução utilizando representação matricial, trabalha-se com a equação (6.13),

colocando agora os deslocamentos 6\]V, 6\ e 6\UV em evidência, resultando a seguinte matriz

de rigidez local do elemento [Ke] e o vetor de deslocamento Y :

[gh] = BE −

1λe

−2λe

1λe

2λe

4

λ3−2λe

1

λ3−2λe

1λe

+++@++ Y =6t−16t6t+1

+++(6.14)

6.3.3.! Trabalho virtual interno e matriz associada para o trecho final de integração

Substituindo a equação (6.7), ao analisar a contribuição para o trecho final de integração

da equação (6.8), tem-se:

δWiaa=BE2(6aa]V − 26aa + θXXλ)

λJ #2(6aa]V − 26aa + θXXλ)

λJλ2 ++++(6.15)

Colocando os deslocamento virtuais+#6aa]V, #6aa e #θXX+em evidência, resulta:

δWiaa=BE #vXX]V26aa]Vλe −

26aaλe +

2θXXλJ + #6aa −

26aa]Vλe +

26\λe −

2θXXλJ

+ #θXX26aa]VλJ −

26aaλJ +

2θXXλ ++++(6.16)

Para resolução utilizando representação matricial, trabalha-se com a equação (6.16),

colocando agora os deslocamentos 6aa]V, 6aa e θXX em evidência, resulta a seguinte matriz

de rigidez local do elemento [Ke] e o vetor de deslocamento Y :

27

[gh] = BE −

2λe

−2λe

2λJ

2λe

2

λ3−2λJ

2

λ2−2λJ

2λ

+++@++ Y =6uu−16uuθNN

++++(6.17)

6.4!AVALIAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL EXTERNO

Na avaliação numérica do trabalho virtual externo, tanto o carregamento como o

deslocamento v são tomados no ponto nodal, considerando-se os mesmos trechos de integração

relativos ao δWi (figura 3).

Com base na equação (5.13), e discretizando a contribuição da taxa de carregamento

distribuído q aplicada, obtém-se:

δWe=xV#6Vλ2 + x\#6\λ

aa

\cJ

+ xaa#6aaλ2++++(6.18)

Equação essa, que será posteriormente igualada ao trabalho virtual interno. Para isso, basta

seguir raciocínio anterior, colocando-se em evidência os deslocamentos virtuais δvi e formando

assim, um vetor de termos independentes, yt , e o vetor das solicitações, z , em que ambos

terão dimensão igual a NN+2.

yt =

#θV#6V#6\::

#6aa#θXX

++@+z =

0xV

|J

x\λ::

xaa|J

0

(6.19)

6.5!MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL E VETOR GLOBAL DE CARGA DA VIGA

Obtida as matrizes de rigidez locais dos elementos da viga, procede-se à formação da

matriz de rigidez global.

A matriz de rigidez global é formada superpondo-se a contribuição de cada trecho de

integração. As matrizes superpostas tem dimensão de 3x3, formando uma matriz global

(NN+2)x(NN+2). Por exemplo, o primeiro trecho de integração apresenta contribuição nas

deslocabilidades U1, U2 e U3, já o trecho 2, contribui para o computo da rigidez das

deslocabilidades U2, U3 e U4, será somada a rigidez das deslocabilidades comuns entre aos

28 trechos, no caso as deslocabilidades U2, U3. A lógica de superposição segue até o último trecho

de integração. A figura 7 ilustra este procedimento.

Figura 7-Esquema da sequência de montagem da matriz global partindo das matrizes locais

Percebe-se que a matriz global apresenta elementos não nulos na diagonal e em regiões

próximas a essa diagonal, enquanto que os elementos restantes são nulos. O aspecto dessa

matriz só ocorre se realizado uma numeração sequencial dos nós dos elementos. Do contrário

a matriz global seria esparsa, tornando o desenvolvimento computacional mais trabalhoso, uma

vez que teríamos que computar a incidência dos nós da malha para os trechos de integração.

A exemplo da matriz de rigidez global, o vetor global de cargas terá dimensão de NN+2,

sendo resultado das contribuições das cargas aplicadas. No caso, o resultado deste vetor é a

superposição das cargas nodais, ou de contorno, e das cargas nodais equivalentes, resultado das

forças de domínio transportadas aos nós da malha.

6.6!RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÃO

Como explicado neste trabalho, a utilização do principio dos trabalhos virtuais é de suma

importância para se chegar na equação de equilíbrio utilizada. Manuseando essas expressões

para que sejam montadas na forma matricial, de modo que igualando as equações (6.8) e (6.18),

e sabendo que os deslocamentos virtuais #6\ são arbitrários, chega-se a:

29

+

g [ = z +++(6.20)+

Sendo:

[K]: Matriz de Rigidez Global da estrutura;

{U}: Vetor Global de Deslocamentos, obtido pela equação (6.20) e as incógnitas formadas

pela equação (6.1);

{F}: Vetor Global de Cargas.

Em um panorama inicial, o sistema de equações formado pelos elementos acima é

indeterminado, por ter um número de incógnitas maior do que o de equações. Esse problema é

resolvido se introduzido as condições de contorno cinemáticas, o que reduz o número de

incógnitas das equações, tornando o sistema possível e determinado. Para realizar este último,

utilizou-se, na rotina de programação do problema, a técnica dos zeros e dos uns, que consiste

na modificação do vetor de termos independentes e da matriz de rigidez global, de modo a

inserir nesses elementos as informações referentes aos deslocamentos prescritos. Além disso,

para a solução do sistema e, finalmente, encontrar os deslocamentos, utilizou-se o método de

Gauss.

Não menos importante, os esforços nodais são encontrados a partir dos deslocamentos

obtidos pelo sistema de equações acima. Para a obtenção deles, utilizam-se os valores de

deslocamentos encontrados na resolução da equação de equilíbrio e utilizam-se, novamente as

representações das derivadas dos deslocamentos em diferenças finitas. Os momentos fletores,

para um dado nó i, são dados por:

!"

#$%

&

λ

+−⋅−=!!

"

#$$%

&⋅−= −+

211

2

2 2 iii

ii

vvvEI

dxvd

EIM (6.21)

Para o cálculo dos esforços cortantes, podemos utilizar a seguinte expressão:

!"

#$%

&λ

−=!

"

#$%

&⋅= −+

211 ii

ii

MMdxdM

Q (6.22)

6.7!SOFTWARE UTILIZADO

Para a solução do problema em questão, utilizou-se do software PLATO, que consiste num

compilador da linguagem FORTRAN 90, uma linguagem amplamente utilizada na solução de

30 problemas utilizando o MEF e o MDFE. Os resultados aqui encontrados serão, na próxima

seção, confrontados pelos obtidos pela solução analítica da teoria de vigas.

7.! COMPARAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS

Na análise dos resultados serão utilizados, como ferramentas para a comparação, vigas

submetidas à três tipos de condições de contorno, cada condição sujeito á ação de dois tipos de

carregamentos, um uniformemente distribuído, e uma carga triangular distribuída,

contabilizando seis exemplos diferentes para analise e comparação.

Vale ressaltar que a análise será feita em relação à flexão da viga e os resultados que

adquirem relevância neste estudo são o deslocamento transversal “v” e o momento “Mz”.

Portanto, a comparação sob o tratamento analítico e o numérico será feita em cima destes dois

resultados. Será verificada a evolução dos resultados pelo MDFE refinando a malha e

comparando com os resultados da solução analítica.

Para os exemplos, serão utilizados os seguintes parâmetros:

l = 3,00 m

E=2,00 x 10} KN/~J

I=8 x 10]� ~�

p=20 KN/m

7.1!EXEMPLO 1: VIGA BI-APIOADA COM CARREGAMENTO UNIFORME

!

Figura 8 - Viga bi-apoioada com carregamento uniforme

O resultado analítico é obtido pelas equações (8.1) e (8.2):

6 K =ÄÅ�

24BEK�

Å� − 2Ke

Åe +KÅ +++(8.1)

HÇ K = −ÄÅ�

24 8KJ

Å� − 12KV

Åe ++++(8.2)

Com relação à obtenção dos resultados numéricos, optou-se por discretizar uniformemente

a viga em 10, 20 e 40 trechos de integração pelo MDFE e comparar os resultados obtidos em

cada uma das discretizações com os resultados analíticos.

31

Adotou-se, para efeitos de comparação, os valores máximos referentes aos deslocamentos

e momentos. As tabelas 1 e 2 a seguir mostram a evolução dos resultados do MDFE e a

diminuição do erro relativo quando comparado à solução analítica conforme o aumento da

discretização da viga. !

!! X(m)! V!máximo(m)! Erro!Relativo(%)!

Analítico! 1,50! 1,3184E?04! ?!MDFE!10! 1,50! 1,3289E?04! 0,8000!MDFE!20! 1,50! 1,32100E?04! 0,1972!MDFE!40! 1,50! 1,3190E?04! 0,0500!

Tabela 1-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo V/Bi-apaioda)

!! X(m)! Mz!máximo(KN.m)!

Erro!Relativo(%)!

Analítico! 1,50! 22,50! ?!MDFE!10! 1,50! 22,50! 0,0000!MDFE!20! 1,50! 22,50! 0,0000!MDFE!40! 1,50! 22,50! 0,0000!

Tabela 2-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo Mz/Bi-apaioda)

Sendo:

Analítico: Resultados gerados pela solução analítica;�

MDFE 10, MDFE 20 e MDFE 40: Resultados gerados pelo MDFE com discretizações de

10, 20 e 40 trechos de integração, respectivamente.

Adotando-se como satisfatório um erro percentual máximo de 1%, percebe-se que a

discretização por 10 elementos no MDFE já satisfaz na obtenção do deslocamento “V”. O

mesmo acontece com relação ao momento “Mz”. Percebe-se que os valores dos momentos de

flexão resultaram exatos, enquanto que os dos deslocamentos apresentaram pequenos erros

percentuais. Tal comportamento ocorre porque no MDFE são aproximadas as derivadas dos

deslocamentos, podendo em certos casos os valores dos esforços terem maior acurácia do que

os dos deslocamentos.

Os gráficos 1 e 2 a seguir relacionam os diferentes resultados obtidos para cada tipo de

discretização com os resultados alcançados pela solução analítica ao longo de toda a viga. O

gráfico 1 compara os resultados dos deslocamentos. O gráfico 2 confronta os resultados dos

momentos.

32

Gráfico 1- Solução analítica x Soluções do MDFE (V/Bi-Apoiada)

Gráfico 2-Solução analítica x Soluções do MDFE (Mz/Bi-Apoiada)

Em ambos os gráficos pode-se constatar que não há desvios nem erros significativos,

mostrando a eficiência do método, podendo-se, portanto, considerar essa discretização

uniforme como adequada ao problema em estudo.

Todos os gráficos e tabelas inseridos nesta análise foram baseados nos dados em tabela que

estão na seção Anexo A.

?0,00002

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00 1,00 2,00 3,00

V

Deslocamento!V

MDFE!10

MDFE!20

MDFE!40

Analítico

?5

0

5

10

15

20

25

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

Mz(KN

.m)

Momento!Mz(KN.m)

MDFE!10

MDFE!20

MDFE!40

Analítico

33 7.2!EXEMPLO 2: VIGA BI-APIOADA COM CARREGAMENTO TRIANGULAR

!

Figura 9-Viga bi-apoioada com carregamento triangular


6 K =ÄÅ�

360BE 3KÉ

ÅÉ − 10Ke

Åe + 7KÅ +++(8.3)

HÇ K = −ÄÅ�

360 60Ke

ÅÉ − 60KV

Åe ++++(8.4)

O resultado numérico para diferentes números de trechos de integração é expresso abaixo

com os obtidos pelas equações (8.3) e (8.4), juntamente com os resultados numéricos e os

respectivos erros relativos em relação aos resultados analíticos:


Analítico! 1,575! 6,60268E?05! ?!MDFE!10! 1,50! 6,64453E?05! 0,6338%!MDFE!20! 1,50! 6,60498E?05! 0,0348%!MDFE!40! 1,575! 6,60602E?05! 0,0506%!

Tabela 3-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo V/Bi-apaioda)

!! X(m)! Mz!máximo(KN.m)! Erro!Relativo(%)!

Analítico! 1,725! 11,5467! ?!MDFE!10! 1,80! 11,5200! 0,2314%!MDFE!20! 1,80! 11,5200! 0,2314%!MDFE!40! 1,725! 11,5467! 0,0000%!

Tabela 4-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo Mz/Bi-apaioda)

Como citado, o padrão de razoabilidade como sendo de 1% em relação ao erro relativo,

para as condições de contorno e carregamento deste exemplo, os resultados se mostram

satisfatórios para os três tipos de discretização.

A seguir são expostos gráficos 3 e 4 que relacionam os diferentes resultados obtidos para

cada tipo de discretização com os resultados alcançados pela solução analítica ao longo de toda

a viga. O gráfico 3 compara os resultados dos deslocamentos. O gráfico 4 confronta os

resultados dos momentos.

34

Gráfico 3-Solução analítica x Soluções do MDFE (V/Bi-Apoiada)

Gráfico 4-Solução analítica x Soluções do MDFE (Mz/Bi-Apoiada)

Para esse exemplo nota-se que os valores, tanto para o deslocamento “v” quanto para o

momento “Mz”, podem ser considerados satisfatórios (admitindo-se como aceitável uma

margem de erro de até 1%, indistintamente para os deslocamentos e para os momentos).


estão na seção Anexo B.

?0,00001

0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

V

Deslocamento!V

MDFE!10

MDFE!20

MDFE!40

Analítico

?2

0

2

4

6

8

10

12

14

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

Mz

Momento!Mz!(KN.m)

MDFE!10

MDFE!20

MDFE!40

Analítico

35 7.3!EXEMPLO 3: VIGA BI-ENGASTADA COM CARREGAMENTO UNIFORME

Figura 10-Viga bi-engastada com carregamento uniforme


6 K =ÄÅ�

24BEK�

Å� − 2Ke

Åe +KJ

ÅJ +++(8.5)

HÇ K = −ÄÅ�

24 12KJ

Å� − 12KV

Åe +2ÅJ ++++(8.6)

Seguindo a mesma metodologia, discretizou-se a viga em 10, 20 e 40 trechos de integração.

As tabelas 5 e 6 abaixo mostram a evolução dos resultados do MDFE e a diminuição do

erro relativo à solução analítica conforme o aumento da discretização da viga.



Tabela 5-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo V/Bi-engastada)


Erro!Relativo(%)!

Analítico! 3,00! ?15,0000! ?!MDFE!10! 3,00! ?14,8500! 1,0000%!MDFE!20! 3,00! ?14,9625! 0,2500%!MDFE!40! 3,00! ?14,9906! 0,0625%!

Tabela 6-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo Mz/Bi-engastada)

Baseado no mesmo erro percentual máximo adotado no exemplo anterior (1%), o erro se

mostra insatisfatório na comparação do deslocamento para as divisões em 10 e 20 trechos, mas

com a aplicação de 40 trechos de integração o resultado se mostra mais aceitável, confirmando

a tese de que com uma malha mais refinada, é possível obter resultados mais condizentes com

o resultado analítico. Entretanto, os resultados obtidos para o momento fletor se mostram

adequados para todas as discretizações utilizadas.

36

A seguir são expostos gráficos 5 e 6 que relacionam os diferentes resultados obtidos para




Gráfico 5-Solução Analítica x Soluções do MDFE (V/Bi-engastada)

Gráfico 6-Solução Analítica x Soluções do MDFE ( Mz/Bi-engastada)

Como na tabela comparativa 5, o gráfico 5 confirma a discrepância dos valores dos

deslocamentos calculados. A curva do MDFE 10 se distancia em relação ao os outros resultados

0

0,000005

0,00001

0,000015

0,00002

0,000025

0,00003

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

V

Deslocamento!V

MDFE!10

MDFE!20

MDFE!40

Analítico

?20

?15

?10

?5

0

5

10

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

Mz

Momento!Mz(KN.m)

MDFE!10

MDFE!20

MDFE!40

Analítico

37 analisados. Os valores dos momentos não refletem grandes disparidades no gráfico 6 para

nenhuma das divisões adotadas.

Todos os gráficos e tabelas inseridos nesta análise foram baseados nos dados em tabela

que estão na seção Anexo C.

7.4!EXEMPLO 4: VIGA BI-ENGASTADA COM CARREGAMENTO TRIANGULAR

Figura 11-Viga bi-engastada com carregamento triangular


6 K =ÄÅ�

120BEKÉ

ÅÉ − 3Ke

Åe + 2KJ

ÅJ +++(8.7)

HÇ K = −ÄÅ�

24 20Ke

ÅÉ − 18KJ

Åe +4ÅJ ++++(8.8)

As tabelas 7 e 8 abaixo mostram a evolução dos resultados do MEF e a diminuição do erro

relativo à solução analítica conforme o aumento da discretização da viga.



Tabela 7-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo V/Bi-engastada)


Erro!Relativo(%)!


Tabela 8-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo Mz/Bi-engastada)

A discretização para 40 trecho de integração, mostrou-se mais adequado em relação à

solução analítica quando se compara os deslocamentos. Enquanto que na comparação dos

momentos, a discretização com 20 trechos, já se mostra aceitável.

38

Abaixo são expostos gráficos 7 e 8 que relacionam os diferentes resultados obtidos para




Gráfico 7-Solução Analítica x Soluções do MDFE (V/Bi-engastada)

Gráfico 8-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Mz/Bi-engastada)

O resultados se assemelham em relação aos erros com o exemplo anterior. A curva relativa

aos deslocamentos trensversais do MDFE 10 apresenta uma pequena divergência em relação

aos outros resultados analisados. Os valores dos momentos não refletem grandes disparidades

no gráfico 8 para nenhuma das divisões adotadas, apesar de o erro relativo se mostrar

satisfatório só a partir da discretização com 20 trechos de integração.

0

0,000002

0,000004

0,000006

0,000008

0,00001

0,000012

0,000014

0,000016

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

V

Deslocamento!V

MDFE!10

MDFE!20

MDFE!40

Analítico

?10

?8

?6

?4

?2

0

2

4

6

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

Mz

Momento!Mz(KN.m)

MDFE!10

MDFE!20

MDFE!40

Analítico

39


estão na seção Anexo D.

7.5!EXEMPLO 5: VIGA ENGASTADA SIMPLES COM CARREGAMENTO

RETANGULAR

!

Figura 12-Viga engastada simples com carregamento uniforme


6 K =ÄÅ�

24BEK�

Å� − 4KV

ÅV + 3 +++(8.9)

HÇ K = −ÄÅ�

24 12KJ

Å� ++++(8.10)

As tabelas 9 e 10 abaixo mostram a evolução dos resultados do MEF e a diminuição do


!! X(m)! V!máximo(m)!

Erro!Relativo(%)!


Tabela 9-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo V/Engastada simples)


Erro!Relativo(%)!


Tabela 10-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo Mz/Engastada simples)

Nessa condição os erros relativos aparecem apenas na comparação entre os máximos

deslocamentos. No entanto, inclusive para o método numérico com 10 trechos de integração,

os resultados apresentados têm um erro relativo aceitável dentro do padrão considerado.

40

Abaixo estão os gráficos 9 e 10, que representam visualmente o comportamento dos

resultados obtidos para cada discretização adotada. O gráfico 9 compara os resultados dos

deslocamentos. O gráfico 10 confronta os resultados dos momentos.

Gráfico 9-Solução Analítica x Soluções do MDFE ( V/Engastada simples)

Gráfico 10-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Mz/Engastada simples)

Como já destacado, tendo-se atingido diferenças percentuais de até 1%, as malhas

consideradas estão atendendo plenamente ao caso em estudo. No caso dos momentos,

apresentando todos os erros relativos iguais a zero, fortalece ainda mais a eficácia do método

das diferenças finitas energéticas.


estão na seção Anexo E.

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0,0014

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

V

Deslocamento!V

MDFE!10

MDFE!20

MDFE!40

Analítico

?100?90?80?70?60?50?40?30?20?10010

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

Mz)

Momento!Mz(KN.m)

MDFE!10

MDFE!20

MDFE!40

Analítico

41 7.6!EXEMPLO 6: VIGA ENGASTADA SIMPLES COM CARREGAMENTO

TRINAGULAR

!

Figura 13-Viga engastada simples com carregamento triangular


6 K =ÄÅ�

120BEKÉ

ÅÉ − 5KV

ÅV + 4 +++(8.11)

HÇ K = −ÄÅ�

120 20Ke

ÅÉ ++++(8.12)

Da mesma forma que os exemplos anteriores, discretizou-se uniformemente a viga em 10,

20 e 40 trechos pelo MDFE e comparou-se cada um desses resultados com os obtidos pelas

expressões (8.11) e (8.12).

As tabelas 11 e 12 abaixo mostram a evolução dos resultados do MEF e a diminuição do




Tabela 11-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo V/Engastada simples)


Erro!Relativo(%)!


Tabela 12-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Máximo Mz/Engastada simples)

Como já notado em alguns exemplos anteriores, os resultados obtidos pela malha menos

refinada, o MDFE 10, gera o surgimento de resultados com erros acima de 1%, tanto na

comparação dos deslocamentos, como na comparação dos momentos. Seguindo a mesma lógica

42 de análise dos dados dos exemplos supracitados, percebe-se que a partir da aplicação da

discretização com 20 trechos de integração, os resultados apresentam-se mais satisfatórios.

Abaixo estão os gráficos 11 e 12, que representam visualmente o comportamento dos

resultados obtidos para cada discretização adotada. O gráfico 11 compara os resultados dos

deslocamentos. O gráfico 12 confronta os resultados dos momentos.

Gráfico 11-Solução Analítica x Soluções do MDFE (V/Engastada simples)

Gráfico 12-Solução Analítica x Soluções do MDFE (Mz/Engastada simples)

Novamente os gráficos acima mostram pequena discrepância dos resultados, evidenciando

que para todas as divisões os resultados estão adequados à solução analítica.


estão na seção Anexo F.

0

0,00005

0,0001

0,00015

0,0002

0,00025

0,0003

0,00035

0,0004

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

V

Deslocamento!V

MDFE!10

MDFE!20

MDFE!40

Analítico

?35

?30

?25

?20

?15

?10

?5

0

5

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

Mz

Momento!Mz(KN.m)

MDFE!10

MDFE!20

MDFE!40

Analítico

43 8.! CONCLUSÃO

Fundamentando-se nos resultados mostrados para os exemplos trabalhados, e também por

outros testes efetuados, pode-se concluir que o método das diferenças finitas energéticas teve

mais uma vez demonstrada a sua potencialidade. Embora aplicado em uma estrutura específica

como a viga, os resultados confirmam que o Método das Diferenças Finitas Energéticas é

extremamente eficaz para a obtenção de resultados satisfatórios, muito próximos aos da solução

analítica.

Os exemplos mostrados na seção anterior confirmam que o aumento da discretização gera

um aumento da precisão dos resultados encontrados. Isso ocorre devido à uma malha mais

refinada proporcionar uma melhor compatibilização dos efeitos de um trecho qualquer no seu

trecho anterior e posterior.

Em outras aplicações do MDFE faz-se necessário a utilização de uma malha não uniforme

do elemento como ocorreu em Mittelbach (2002), que para o refinamento dos resultados,

utilizou-se discretizações não uniformes. Entretanto, neste trabalho em que para a viga, na qual

os efeitos de flexão se manifestam ao longo de todo o domínio, a malha uniforme mostrou-se

plenamente adequada, não havendo assim necessidade de se recorrer ao uso do elemento de

transição (discretizção não uniforme).

Ressalta-se ainda, que os erros percentuais referentes aos deslocamentos são sensivelmente

maiores do que os referentes aos momentos. Este fato já era esperado, uma vez que as

aproximações são aplicadas diretamente nas derivadas dos deslocamentos.

Este trabalho enfatizou além dos deslocamentos, os esforços, estes últimos são de

fundamental importância no dimensionamento estrutural. Além disso, abordou-se o caso em

que uma viga está sujeita à um carregamento transversal de diferentes maneiras.

Sujeitar a estrutura a solicitações de diferente natureza como variação de temperatura,

carga dinâmica ou até mesmo um carregamento variável ao longo da estrutura tornam-se uma

sugestão para a continuidade do estudo.

44 ANEXO A

VIGA!COM!APOIO!DO!2º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!UNIFORME(BI?APOIADO)! ! MDEF10! !

X!Analítico! Numérico! Erro!Relativo(%)!

V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 0,0000E+00! 0! 0,0000E+00! ?2,40934E?14! ?! ?!0,30! 4,1386E?05! 8,1! 4,1766E?05! 8,1! 0,9174%! 0,0000%!0,60! 7,8300E?05! 14,4! 7,8975E?05! 14,4! 0,8621%! 0,0000%!0,90! 1,0720E?04! 18,9! 1,0808E?04! 18,9! 0,8264%! 0,0000%!1,20! 1,2555E?04! 21,6! 1,2656E?04! 21,6! 0,8065%! 0,0000%!1,50! 1,3184E?04! 22,5! 1,3289E?04! 22,5! 0,8000%! 0,0000%!1,80! 1,2555E?04! 21,6! 1,2656E?04! 21,6! 0,8065%! 0,0000%!2,10! 1,0720E?04! 18,9! 1,0808E?04! 18,9! 0,8264%! 0,0000%!2,40! 7,8300E?05! 14,4! 7,8975E?05! 14,4! 0,8621%! 0,0000%!2,70! 4,1386E?05! 8,1! 4,1766E?05! 8,1! 0,9174%! 0,0000%!3,00! 0,0000E+00! 0! 0,0000E+00! 1,85994E?14! ?! ?!

45 VIGA!COM!APOIO!DO!2º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!UNIFORME(BI?APOIADO)! ! MDEF20! !

X!Analítico! Numérico! Erro!Relativo!

V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 0,0000E+00! 0! 0,0000E+00! 0! ?! ?!0,15! 2,0991E?05! 4,275! 2,1041E?05! 4,275! 2,3866E?03! 0,0000%!0,30! 4,1386E?05! 8,1! 4,14809E?05! 8,1! 2,2936E?03! 0,0000%!0,45! 6,0647E?05! 11,475! 6,07816E?05! 11,475! 2,2173E?03! 0,0000%!0,60! 7,8300E?05! 14,4! 7,84687E?05! 14,4! 2,1552E?03! 0,0000%!0,75! 9,3933E?05! 16,875! 9,41309E?05! 16,875! 2,1053E?03! 0,0000%!0,90! 1,0720E?04! 18,9! 0,00010742! 18,9! 2,0661E?03! 0,0000%!1,05! 1,1781E?04! 20,475! 0,000118051! 20,475! 2,0367E?03! 0,0000%!1,20! 1,2555E?04! 21,6! 0,000125803! 21,6! 2,0161E?03! 0,0000%!1,35! 1,3026E?04! 22,275! 0,000130518! 22,275! 2,0040E?03! 0,0000%!1,50! 1,3184E?04! 22,5! 0,0001321! 22,5! 2,0000E?03! 0,0000%!1,65! 1,3026E?04! 22,275! 0,000130518! 22,275! 2,0040E?03! 0,0000%!1,80! 1,2555E?04! 21,6! 0,000125803! 21,6! 2,0161E?03! 0,0000%!1,95! 1,1781E?04! 20,475! 0,000118051! 20,475! 2,0367E?03! 0,0000%!2,10! 1,0720E?04! 18,9! 0,00010742! 18,9! 2,0661E?03! 0,0000%!2,25! 9,3933E?05! 16,875! 9,41309E?05! 16,875! 2,1053E?03! 0,0000%!2,40! 7,8300E?05! 14,4! 7,84687E?05! 14,4! 2,1552E?03! 0,0000%!2,55! 6,0647E?05! 11,475! 6,07816E?05! 11,475! 2,2173E?03! 0,0000%!2,70! 4,1386E?05! 8,1! 4,14809E?05! 8,1! 2,2936E?03! 0,0000%!2,85! 2,0991E?05! 4,275! 2,1041E?05! 4,275! 2,3866E?03! 0,0000%!

3,00! 0,0000E+00! 0! 0! ?4,9622E?14! ?! ?!

46 VIGA!COM!APOIO!DO!2º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!UNIFORME(BI?APOIADO)! ! MDEF!40! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 0,0000E+00! 0! 0! 0! ?! ?!0,08! 1,0534E?05! 2,19375! 1,0540E?05! 2,19375! 0,0610%! 0,0000%!0,15! 2,0991E?05! 4,275! 2,1003E?05! 4,275! 0,0597%! 0,0000%!0,23! 3,1298E?05! 6,24375! 3,1316E?05! 6,24375! 0,0584%! 0,0000%!0,30! 4,1386E?05! 8,1! 4,1410E?05! 8,1! 0,0573%! 0,0000%!0,38! 5,1189E?05! 9,84375! 5,1218E?05! 9,84375! 0,0563%! 0,0000%!0,45! 6,0647E?05! 11,475! 6,0681E?05! 11,475! 0,0554%! 0,0000%!0,53! 6,9702E?05! 12,99375! 6,9740E?05! 12,99375! 0,0546%! 0,0000%!0,60! 7,8300E?05! 14,4! 7,8342E?05! 14,4! 0,0539%! 0,0000%!0,68! 8,6392E?05! 15,69375! 8,6438E?05! 15,69375! 0,0532%! 0,0000%!0,75! 9,3933E?05! 16,875! 9,3983E?05! 16,875! 0,0526%! 0,0000%!0,83! 1,0088E?04! 17,94375! 1,0093E?04! 17,94375! 0,0521%! 0,0000%!0,90! 1,0720E?04! 18,9! 1,0725E?04! 18,9! 0,0517%! 0,0000%!0,98! 1,1285E?04! 19,74375! 1,1291E?04! 19,74375! 0,0513%! 0,0000%!1,05! 1,1781E?04! 20,475! 1,1787E?04! 20,475! 0,0509%! 0,0000%!1,13! 1,2205E?04! 21,09375! 1,2211E?04! 21,09375! 0,0506%! 0,0000%!1,20! 1,2555E?04! 21,6! 1,2561E?04! 21,6! 0,0504%! 0,0000%!1,28! 1,2829E?04! 21,99375! 1,2835E?04! 21,99375! 0,0502%! 0,0000%!1,35! 1,3026E?04! 22,275! 1,3032E?04! 22,275! 0,0501%! 0,0000%!1,43! 1,3144E?04! 22,44375! 1,3151E?04! 22,44375! 0,0500%! 0,0000%!1,50! 1,3184E?04! 22,5! 1,3190E?04! 22,5! 0,0500%! 0,0000%!1,58! 1,3144E?04! 22,44375! 1,3151E?04! 22,44375! 0,0500%! 0,0000%!1,65! 1,3026E?04! 22,275! 1,3032E?04! 22,275! 0,0501%! 0,0000%!1,73! 1,2829E?04! 21,99375! 1,2835E?04! 21,99375! 0,0502%! 0,0000%!1,80! 1,2555E?04! 21,6! 1,2561E?04! 21,6! 0,0504%! 0,0000%!1,88! 1,2205E?04! 21,09375! 1,2211E?04! 21,09375! 0,0506%! 0,0000%!1,95! 1,1781E?04! 20,475! 1,1787E?04! 20,475! 0,0509%! 0,0000%!2,03! 1,1285E?04! 19,74375! 1,1291E?04! 19,74375! 0,0513%! 0,0000%!2,10! 1,0720E?04! 18,9! 1,0725E?04! 18,9! 0,0517%! 0,0000%!2,18! 1,0088E?04! 17,94375! 1,0093E?04! 17,94375! 0,0521%! 0,0000%!2,25! 9,3933E?05! 16,875! 9,3983E?05! 16,875! 0,0526%! 0,0000%!2,33! 8,6392E?05! 15,69375! 8,6438E?05! 15,69375! 0,0532%! 0,0000%!2,40! 7,8300E?05! 14,4! 7,8342E?05! 14,4! 0,0539%! 0,0000%!2,48! 6,9702E?05! 12,99375! 6,9740E?05! 12,99375! 0,0546%! 0,0000%!2,55! 6,0647E?05! 11,475! 6,0681E?05! 11,475! 0,0554%! 0,0000%!2,63! 5,1189E?05! 9,84375! 5,1218E?05! 9,84375! 0,0563%! 0,0000%!2,70! 4,1386E?05! 8,1! 4,1410E?05! 8,1! 0,0573%! 0,0000%!2,78! 3,1298E?05! 6,24375! 3,1316E?05! 6,24375! 0,0584%! 0,0000%!2,85! 2,0991E?05! 4,275! 2,1003E?05! 4,275! 0,0597%! 0,0000%!2,93! 1,0534E?05! 2,19375! 1,0540E?05! 2,19375! 0,0610%! 0,0000%!

3,00! 0,0000E+00! 0! 0,0000E+00! 3,56224E?13! ?! ?!

47 ANEXO B

VIGA!COM!APOIO!DO!2º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!TRIANGULAR(BI?APOIADO)! ! MDEF!10! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 0,00E+00! 0,00E+00! 0! 1,20467E?14! ?! ?!0,30! 1,94071E?05! 2,97E+00! 1,95E?05! 2,97E+00! 0,7174%! 0,0000%!0,60! 0,000037152! 5,76E+00! 3,74E?05! 5,76E+00! 0,7267%! 0,0000%!0,90! 5,16738E?05! 8,19E+00! 5,21E?05! 8,19E+00! 0,7429%! 0,0000%!1,20! 0,000061614! 1,01E+01! 6,21E?05! 1,01E+01! 0,7669%! 0,0000%!1,50! 6,5918E?05! 1,13E+01! 6,64E?05! 1,13E+01! 0,8000%! 0,0000%!1,80! 0,000063936! 1,15E+01! 6,45E?05! 1,15E+01! 0,8446%! 0,0000%!2,10! 5,55247E?05! 1,07E+01! 5,60E?05! 1,07E+01! 0,9042%! 0,0000%!2,40! 0,000041148! 8,64E+00! 4,16E?05! 8,64E+00! 0,9843%! 0,0000%!2,70! 2,19788E?05! 5,13E+00! 2,22E?05! 5,13E+00! 1,0941%! 0,0000%!3,00! 0,00E+00! 1,07E?14! 0,00E+00! ?1,50E?14! ?! 240,4572%!

48 VIGA!COM!APOIO!DO!2º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!TRIANGULAR(BI?APOIADO)! ! MDEF!20! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 0,00E+00! 0,00E+00! 0,00E+00! ?2,41E?14! ?! ?!0,15! 9,81E?06! 1,50E+00! 9,83E?06! 1,50E+00! 0,1788%! 0,0000%!0,30! 1,94E?05! 2,97E+00! 1,94E?05! 2,97E+00! 0,1793%! 0,0000%!0,45! 2,86E?05! 4,40E+00! 2,86E?05! 4,40E+00! 0,1803%! 0,0000%!0,60! 3,72E?05! 5,76E+00! 3,72E?05! 5,76E+00! 0,1817%! 0,0000%!0,75! 4,49E?05! 7,03E+00! 4,50E?05! 7,03E+00! 0,1835%! 0,0000%!0,90! 5,17E?05! 8,19E+00! 5,18E?05! 8,19E+00! 0,1857%! 0,0000%!1,05! 5,73E?05! 9,21E+00! 5,74E?05! 9,21E+00! 0,1885%! 0,0000%!1,20! 6,16E?05! 1,01E+01! 6,17E?05! 1,01E+01! 0,1917%! 0,0000%!1,35! 6,45E?05! 1,08E+01! 6,46E?05! 1,08E+01! 0,1955%! 0,0000%!1,50! 6,59E?05! 1,13E+01! 6,60E?05! 1,13E+01! 0,2000%! 0,0000%!1,65! 6,57E?05! 1,15E+01! 6,59E?05! 1,15E+01! 0,2052%! 0,0000%!1,80! 6,39E?05! 1,15E+01! 6,41E?05! 1,15E+01! 0,2112%! 0,0000%!1,95! 6,05E?05! 1,13E+01! 6,07E?05! 1,13E+01! 0,2181%! 0,0000%!2,10! 5,55E?05! 1,07E+01! 5,57E?05! 1,07E+01! 0,2260%! 0,0000%!2,25! 4,90E?05! 9,84E+00! 4,91E?05! 9,84E+00! 0,2353%! 0,0000%!2,40! 4,11E?05! 8,64E+00! 4,12E?05! 8,64E+00! 0,2461%! 0,0000%!2,55! 3,21E?05! 7,08E+00! 3,21E?05! 7,08E+00! 0,2587%! 0,0000%!2,70! 2,20E?05! 5,13E+00! 2,20E?05! 5,13E+00! 0,2735%! 0,0000%!2,85! 1,12E?05! 2,78E+00! 1,12E?05! 2,78E+00! 0,2912%! 0,0000%!3,00! 9,99E?20! 2,13E?14! 0,00E+00! ?2,52E?14! 100,0000%! 218,1055%!

49

VIGA!COM!APOIO!DO!2º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!TRIANGULAR(BI?APOIADO)! ! MDEF!40! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 0,00E+00! 0,00E+00! 0,00E+00! ?4,82E?14! ?! ?!0,08! 4,92E?06! 7,50E?01! 4,92E?06! 7,50E?01! 0,0447%! 0,0000%!0,15! 9,81E?06! 1,50E+00! 9,81E?06! 1,50E+00! 0,0447%! 0,0000%!0,23! 1,46E?05! 2,24E+00! 1,47E?05! 2,24E+00! 0,0448%! 0,0000%!0,30! 1,94E?05! 2,97E+00! 1,94E?05! 2,97E+00! 0,0448%! 0,0000%!0,38! 2,41E?05! 3,69E+00! 2,41E?05! 3,69E+00! 0,0449%! 0,0000%!0,45! 2,86E?05! 4,40E+00! 2,86E?05! 4,40E+00! 0,0451%! 0,0000%!0,53! 3,30E?05! 5,09E+00! 3,30E?05! 5,09E+00! 0,0452%! 0,0000%!0,60! 3,72E?05! 5,76E+00! 3,72E?05! 5,76E+00! 0,0454%! 0,0000%!0,68! 4,11E?05! 6,41E+00! 4,12E?05! 6,41E+00! 0,0456%! 0,0000%!0,75! 4,49E?05! 7,03E+00! 4,49E?05! 7,03E+00! 0,0459%! 0,0000%!0,83! 4,84E?05! 7,63E+00! 4,84E?05! 7,63E+00! 0,0461%! 0,0000%!0,90! 5,17E?05! 8,19E+00! 5,17E?05! 8,19E+00! 0,0464%! 0,0000%!0,98! 5,46E?05! 8,72E+00! 5,47E?05! 8,72E+00! 0,0468%! 0,0000%!1,05! 5,73E?05! 9,21E+00! 5,73E?05! 9,21E+00! 0,0471%! 0,0000%!1,13! 5,96E?05! 9,67E+00! 5,97E?05! 9,67E+00! 0,0475%! 0,0000%!1,20! 6,16E?05! 1,01E+01! 6,16E?05! 1,01E+01! 0,0479%! 0,0000%!1,28! 6,33E?05! 1,04E+01! 6,33E?05! 1,04E+01! 0,0484%! 0,0000%!1,35! 6,45E?05! 1,08E+01! 6,46E?05! 1,08E+01! 0,0489%! 0,0000%!1,43! 6,54E?05! 1,10E+01! 6,54E?05! 1,10E+01! 0,0494%! 0,0000%!1,50! 6,59E?05! 1,13E+01! 6,60E?05! 1,13E+01! 0,0500%! 0,0000%!1,58! 6,60E?05! 1,14E+01! 6,61E?05! 1,14E+01! 0,0506%! 0,0000%!1,65! 6,57E?05! 1,15E+01! 6,58E?05! 1,15E+01! 0,0513%! 0,0000%!1,73! 6,50E?05! 1,15E+01! 6,51E?05! 1,15E+01! 0,0520%! 0,0000%!1,80! 6,39E?05! 1,15E+01! 6,40E?05! 1,15E+01! 0,0528%! 0,0000%!1,88! 6,24E?05! 1,14E+01! 6,25E?05! 1,14E+01! 0,0536%! 0,0000%!1,95! 6,05E?05! 1,13E+01! 6,06E?05! 1,13E+01! 0,0545%! 0,0000%!2,03! 5,82E?05! 1,10E+01! 5,82E?05! 1,10E+01! 0,0555%! 0,0000%!2,10! 5,55E?05! 1,07E+01! 5,56E?05! 1,07E+01! 0,0565%! 0,0000%!2,18! 5,25E?05! 1,03E+01! 5,25E?05! 1,03E+01! 0,0576%! 0,0000%!2,25! 4,90E?05! 9,84E+00! 4,91E?05! 9,84E+00! 0,0588%! 0,0000%!2,33! 4,53E?05! 9,29E+00! 4,53E?05! 9,29E+00! 0,0601%! 0,0000%!2,40! 4,11E?05! 8,64E+00! 4,12E?05! 8,64E+00! 0,0615%! 0,0000%!2,48! 3,67E?05! 7,90E+00! 3,68E?05! 7,90E+00! 0,0630%! 0,0000%!2,55! 3,21E?05! 7,08E+00! 3,21E?05! 7,08E+00! 0,0647%! 0,0000%!2,63! 2,71E?05! 6,15E+00! 2,71E?05! 6,15E+00! 0,0664%! 0,0000%!2,70! 2,20E?05! 5,13E+00! 2,20E?05! 5,13E+00! 0,0684%! 0,0000%!2,78! 1,67E?05! 4,01E+00! 1,67E?05! 4,01E+00! 0,0705%! 0,0000%!2,85! 1,12E?05! 2,78E+00! 1,12E?05! 2,78E+00! 0,0728%! 0,0000%!2,93! 5,62E?06! 1,44E+00! 5,62E?06! 1,44E+00! 0,0753%! 0,0000%!3,00! ?1,75E?19! ?3,20E?14! 0,00E+00! ?3,11E?14! 100,0000%! 2,7193%!

50

ANEXO C

VIGA!COM!APOIO!DO!3º!GÊNERO! !

CARREGAMENTO!UNIFORME(BI?ENGASTADO)! ! MDEF!10! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 0! ?15! 0! ?14,85! ?! 1,0000%!0,30! 3,41719E?06! ?6,9! 4,17656E?06! ?6,75! 22,2222%! 2,1739%!0,60! 0,0000108! ?0,6! 1,215E?05! ?0,45! 12,5000%! 25,0000%!0,90! 1,86047E?05! 3,9! 2,03766E?05! 4,05! 9,5238%! 3,8462%!1,20! 0,0000243! 6,6! 2,6325E?05! 6,75! 8,3333%! 2,2727%!1,50! 2,63672E?05! 7,5! 2,84766E?05! 7,65! 8,0000%! 2,0000%!1,80! 0,0000243! 6,6! 2,6325E?05! 6,75! 8,3333%! 2,2727%!2,10! 1,86047E?05! 3,9! 2,03766E?05! 4,05! 9,5238%! 3,8462%!2,40! 0,0000108! ?0,6! 1,215E?05! ?0,45! 12,5000%! 25,0000%!2,70! 3,41719E?06! ?6,9! 4,17656E?06! ?6,75! 22,2222%! 2,1739%!3,00! 0! ?15! 0! ?14,85! ?! 1,0000%!

51 VIGA!COM!APOIO!DO!3º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!UNIFORME(BI?ENGASTADO)! ! MDEF!20! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 0,0000E+00! ?15! 0,0000E+00! ?14,9625! ?! 0,2500%!0,15! 9,5186E?07! ?10,725! 1,0521E?06! ?10,6875! 10,5263%! 0,3497%!0,30! 3,4172E?06! ?6,9! 3,6070E?06! ?6,8625! 5,5556%! 0,5435%!0,45! 6,8581E?06! ?3,525! 7,1271E?06! ?3,4875! 3,9216%! 1,0638%!0,60! 1,0800E?05! ?0,6! 1,1138E?05! ?0,5625! 3,1250%! 6,2500%!0,75! 1,4832E?05! 1,875! 1,5227E?05! 1,9125! 2,6667%! 2,0000%!0,90! 1,8605E?05! 3,9! 1,9048E?05! 3,9375! 2,3810%! 0,9615%!1,05! 2,1835E?05! 5,475! 2,2315E?05! 5,5125! 2,1978%! 0,6849%!1,20! 2,4300E?05! 6,6! 2,4806E?05! 6,6375! 2,0833%! 0,5682%!1,35! 2,5842E?05! 7,275! 2,6365E?05! 7,3125! 2,0202%! 0,5155%!1,50! 2,6367E?05! 7,5! 2,6895E?05! 7,5375! 2,0000%! 0,5000%!1,65! 2,5842E?05! 7,275! 2,6365E?05! 7,3125! 2,0202%! 0,5155%!1,80! 2,4300E?05! 6,6! 2,4806E?05! 6,6375! 2,0833%! 0,5682%!1,95! 2,1835E?05! 5,475! 2,2315E?05! 5,5125! 2,1978%! 0,6849%!2,10! 1,8605E?05! 3,9! 1,9048E?05! 3,9375! 2,3810%! 0,9615%!2,25! 1,4832E?05! 1,875! 1,5227E?05! 1,9125! 2,6667%! 2,0000%!2,40! 1,0800E?05! ?0,6! 1,1138E?05! ?0,5625! 3,1250%! 6,2500%!2,55! 6,8581E?06! ?3,525! 7,1271E?06! ?3,4875! 3,9216%! 1,0638%!2,70! 3,4172E?06! ?6,9! 3,6070E?06! ?6,8625! 5,5556%! 0,5435%!2,85! 9,5186E?07! ?10,725! 1,0521E?06! ?10,6875! 10,5263%! 0,3497%!3,00! 0,0000E+00! ?15! 0,0000E+00! ?14,9625! ?! 0,2500%!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !

52 !!VIGA!COM!APOIO!DO!3º!GÊNERO!CARREGAMENTO!UNIFORME(BI?ENGASTADO)! ! MDEF!40! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 0,0000E+00! ?15! 0,0000E+00! ?14,9906! ?! 0,0625%!0,08! 2,5065E?07! ?12,80625! 2,6351E?07! ?12,7969! 5,1282%! 0,0732%!0,15! 9,5186E?07! ?10,725! 9,7690E?07! ?10,7156! 2,6316%! 0,0874%!0,23! 2,0304E?06! ?8,75625! 2,0670E?06! ?8,7469! 1,8018%! 0,1071%!0,30! 3,4172E?06! ?6,9! 3,4646E?06! ?6,8906! 1,3889%! 0,1359%!0,38! 5,0468E?06! ?5,15625! 5,1045E?06! ?5,1469! 1,1429%! 0,1818%!0,45! 6,8581E?06! ?3,525! 6,9253E?06! ?3,5156! 0,9804%! 0,2660%!0,53! 8,7936E?06! ?2,00625! 8,8698E?06! ?1,9969! 0,8658%! 0,4673%!0,60! 1,0800E?05! ?0,6! 1,0884E?05! ?0,0591! 0,7813%! 90,1562%!0,68! 1,2828E?05! 0,69375! 1,2920E?05! 0,0703! 0,7168%! 89,8649%!0,75! 1,4832E?05! 1,875! 1,4930E?05! 1,8844! 0,6667%! 0,5000%!0,83! 1,6770E?05! 2,94375! 1,6875E?05! 2,9531! 0,6270%! 0,3185%!0,90! 1,8605E?05! 3,9! 1,8715E?05! 3,9094! 0,5952%! 0,2404%!0,98! 2,0303E?05! 4,74375! 2,0419E?05! 4,7531! 0,5698%! 0,1976%!1,05! 2,1835E?05! 5,475! 2,1955E?05! 5,4844! 0,5495%! 0,1712%!1,13! 2,3174E?05! 6,09375! 2,3298E?05! 6,1031! 0,5333%! 0,1538%!1,20! 2,4300E?05! 6,6! 2,4427E?05! 6,6094! 0,5208%! 0,1420%!1,28! 2,5194E?05! 6,99375! 2,5323E?05! 7,0031! 0,5115%! 0,1340%!1,35! 2,5842E?05! 7,275! 2,5973E?05! 7,2844! 0,5051%! 0,1289%!1,43! 2,6236E?05! 7,44375! 2,6367E?05! 7,4531! 0,5013%! 0,1259%!1,50! 2,6367E?05! 7,5! 2,6499E?05! 7,5094! 0,5000%! 0,1250%!1,58! 2,6236E?05! 7,44375! 2,6367E?05! 7,4531! 0,5013%! 0,1259%!1,65! 2,5842E?05! 7,275! 2,5973E?05! 7,2844! 0,5051%! 0,1289%!1,73! 2,5194E?05! 6,99375! 2,5323E?05! 7,0031! 0,5115%! 0,1340%!1,80! 2,4300E?05! 6,6! 2,4427E?05! 6,6094! 0,5208%! 0,1420%!1,88! 2,3174E?05! 6,09375! 2,3298E?05! 6,1031! 0,5333%! 0,1538%!1,95! 2,1835E?05! 5,475! 2,1955E?05! 5,4844! 0,5495%! 0,1712%!2,03! 2,0303E?05! 4,74375! 2,0419E?05! 4,7531! 0,5698%! 0,1976%!2,10! 1,8605E?05! 3,9! 1,8715E?05! 3,9094! 0,5952%! 0,2404%!2,18! 1,6770E?05! 2,94375! 1,6875E?05! 2,9531! 0,6270%! 0,3185%!2,25! 1,4832E?05! 1,875! 1,4930E?05! 1,8844! 0,6667%! 0,5000%!2,33! 1,2828E?05! 0,69375! 1,2920E?05! 0,7031! 0,7168%! 1,3514%!2,40! 1,0800E?05! ?0,6! 1,0884E?05! ?0,5906! 0,7813%! 1,5625%!2,48! 8,7936E?06! ?2,00625! 8,8698E?06! ?1,9969! 0,8658%! 0,4673%!2,55! 6,8581E?06! ?3,525! 6,9253E?06! ?3,5156! 0,9804%! 0,2660%!2,63! 5,0468E?06! ?5,15625! 5,1045E?06! ?5,1469! 1,1429%! 0,1818%!2,70! 3,4172E?06! ?6,9! 3,4646E?06! ?6,8906! 1,3889%! 0,1359%!2,78! 2,0304E?06! ?8,75625! 2,0670E?06! ?8,7469! 1,8018%! 0,1071%!2,85! 9,5186E?07! ?10,725! 9,7690E?07! ?10,7156! 2,6316%! 0,0874%!2,93! 2,5065E?07! ?12,80625! 2,6351E?07! ?12,7969! 5,1282%! 0,0732%!3,00! 0,0000E+00! ?15! 0,0000E+00! ?14,9906! ?! 0,0625%!

!

53 ANEXO D

VIGA!COM!APOIO!DO3º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!UNIFORME(BI?ENGASTADO)! ! MDEF!10! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 0,0000E+00! ?6! 0,0000E+00! ?6,0274! ?! 0,4559%!0,30! 1,4352E?06! ?3,33! 1,6952E?06! ?3,3369! 18,1139%! 0,2067%!0,60! 4,7520E?06! ?0,84! 5,2674E?06! ?0,8264! 10,8456%! 1,6176%!0,90! 8,5582E?06! 1,29! 9,3044E?06! 1,3241! 8,7200%! 2,6402%!1,20! 1,1664E?05! 2,88! 1,2597E?05! 2,9345! 7,9963%! 1,8934%!1,50! 1,3184E?05! 3,75! 1,4238E?05! 3,8250! 8,0000%! 2,0000%!1,80! 1,2636E?05! 3,72! 1,3728E?05! 3,8155! 8,6444%! 2,5664%!2,10! 1,0047E?05! 2,61! 1,1072E?05! 2,7259! 10,2085%! 4,4422%!2,40! 6,0480E?06! 0,24! 6,8826E?06! 0,3764! 13,7999%! 56,8382%!2,70! 1,9820E?06! ?3,57! 2,4814E?06! ?3,4131! 25,1972%! 4,3945%!3,00! 0,0000E+00! ?9! 0,0000E+00! ?8,8226! ?! 1,9706%!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !

54 VIGA!COM!APOIO!DO3º!GÊNERO!CARREGAMENTO!UNIFORME(BI?ENGASTADO)! ! MDEF!20! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 0,0000E+00! ?6! 0,0000E+00! ?6,0073! ?! 0,1222%!0,15! 3,9026E?07! ?4,65375! 4,2239E?07! ?4,6585! 8,2329%! 0,1015%!0,30! 1,4352E?06! ?3,33! 1,4999E?06! ?3,3321! 4,5053%! 0,0635%!0,45! 2,9490E?06! ?2,05125! 3,0459E?06! ?2,0508! 3,2879%! 0,0240%!0,60! 4,7520E?06! ?0,84! 4,8804E?06! ?0,8369! 2,7020%! 0,3691%!0,75! 6,6742E?06! 0,28125! 6,8325E?06! 0,2870! 2,3726%! 2,0299%!0,90! 8,5582E?06! 1,29! 8,7443E?06! 1,2983! 2,1755%! 0,6447%!1,05! 1,0262E?05! 2,16375! 1,0474E?05! 2,1747! 2,0586%! 0,5049%!1,20! 1,1664E?05! 2,88! 1,1897E?05! 2,8935! 1,9972%! 0,4699%!1,35! 1,2663E?05! 3,41625! 1,2913E?05! 3,4324! 1,9793%! 0,4725%!1,50! 1,3184E?05! 3,75! 1,3447E?05! 3,7688! 2,0000%! 0,5000%!1,65! 1,3180E?05! 3,85875! 1,3451E?05! 3,8801! 2,0595%! 0,5535%!1,80! 1,2636E?05! 3,72! 1,2909E?05! 3,7440! 2,1629%! 0,6443%!1,95! 1,1572E?05! 3,31125! 1,1841E?05! 3,3378! 2,3213%! 0,8026%!2,10! 1,0047E?05! 2,61! 1,0303E?05! 2,6392! 2,5560%! 1,1181%!2,25! 8,1573E?06! 1,59375! 8,3945E?06! 1,6255! 2,9073%! 1,9947%!2,40! 6,0480E?06! 0,24! 6,2571E?06! 0,2744! 3,4573%! 14,3330%!2,55! 3,9091E?06! ?1,47375! 4,0811E?06! ?1,4367! 4,3996%! 2,5111%!2,70! 1,9820E?06! ?3,57! 2,1072E?06! ?3,5304! 6,3161%! 1,1097%!2,85! 5,6159E?07! ?6,07125! 6,2966E?07! ?6,0290! 12,1200%! 0,6955%!3,00! 0,0000E+00! ?9! 0,0000E+00! ?8,9552! ?! 0,4981%!

55

VIGA!COM!APOIO!DO3º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!UNIFORME(BI?ENGASTADO)! ! MDEF40! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 0,0000E+00! ?6! 0,0000E+00! ?6,0019! ?! 0,0311%!0,08! 1,0151E?07! ?5,32546875! 1,0550E?07! ?5,3270! 3,9275%! 0,0289%!0,15! 3,9026E?07! ?4,65375! 3,9828E?07! ?4,6550! 2,0550%! 0,0260%!0,23! 8,4263E?07! ?3,98765625! 8,5471E?07! ?3,9885! 1,4335%! 0,0221%!0,30! 1,4352E?06! ?3,33! 1,4514E?06! ?3,3306! 1,1248%! 0,0166%!0,38! 2,1449E?06! ?2,68359375! 2,1651E?06! ?2,6838! 0,9416%! 0,0084%!0,45! 2,9490E?06! ?2,05125! 2,9732E?06! ?2,0511! 0,8211%! 0,0049%!0,53! 3,8252E?06! ?1,43578125! 3,8534E?06! ?1,4354! 0,7367%! 0,0299%!0,60! 4,7520E?06! ?0,84! 4,7841E?06! ?0,8392! 0,6749%! 0,0900%!0,68! 5,7084E?06! ?0,26671875! 5,7442E?06! ?0,2656! 0,6284%! 0,4064%!0,75! 6,6742E?06! 0,28125! 6,7138E?06! 0,2827! 0,5927%! 0,5019%!0,83! 7,6302E?06! 0,80109375! 7,6733E?06! 0,8028! 0,5651%! 0,2171%!0,90! 8,5582E?06! 1,29! 8,6047E?06! 1,2921! 0,5436%! 0,1602%!0,98! 9,4408E?06! 1,74515625! 9,4906E?06! 1,7476! 0,5270%! 0,1372%!1,05! 1,0262E?05! 2,16375! 1,0315E?05! 2,1665! 0,5144%! 0,1258%!1,13! 1,1008E?05! 2,54296875! 1,1063E?05! 2,5460! 0,5053%! 0,1199%!1,20! 1,1664E?05! 2,88! 1,1722E?05! 2,8834! 0,4992%! 0,1173%!1,28! 1,2219E?05! 3,17203125! 1,2280E?05! 3,1757! 0,4957%! 0,1168%!1,35! 1,2663E?05! 3,41625! 1,2725E?05! 3,4203! 0,4948%! 0,1180%!1,43! 1,2987E?05! 3,60984375! 1,3051E?05! 3,6142! 0,4962%! 0,1208%!1,50! 1,3184E?05! 3,75! 1,3250E?05! 3,7547! 0,5000%! 0,1250%!1,58! 1,3249E?05! 3,83390625! 1,3316E?05! 3,8389! 0,5062%! 0,1308%!1,65! 1,3180E?05! 3,85875! 1,3248E?05! 3,8641! 0,5149%! 0,1385%!1,73! 1,2975E?05! 3,82171875! 1,3043E?05! 3,8274! 0,5264%! 0,1484%!1,80! 1,2636E?05! 3,72! 1,2704E?05! 3,7260! 0,5408%! 0,1612%!1,88! 1,2167E?05! 3,55078125! 1,2234E?05! 3,5571! 0,5587%! 0,1781%!1,95! 1,1572E?05! 3,31125! 1,1640E?05! 3,3179! 0,5805%! 0,2009%!2,03! 1,0862E?05! 2,99859375! 1,0928E?05! 3,0056! 0,6070%! 0,2328%!2,10! 1,0047E?05! 2,61! 1,0111E?05! 2,6173! 0,6392%! 0,2800%!2,18! 9,1395E?06! 2,14265625! 9,2015E?06! 2,1503! 0,6786%! 0,3564%!2,25! 8,1573E?06! 1,59375! 8,2167E?06! 1,6017! 0,7272%! 0,4997%!2,33! 7,1194E?06! 0,96046875! 7,1755E?06! 0,9688! 0,7878%! 0,8632%!2,40! 6,0480E?06! 0,24! 6,1003E?06! 0,2486! 0,8648%! 3,5911%!2,48! 4,9684E?06! ?0,57046875! 5,0164E?06! ?0,5615! 0,9652%! 1,5682%!2,55! 3,9091E?06! ?1,47375! 3,9521E?06! ?1,4645! 1,1006%! 0,6293%!2,63! 2,9019E?06! ?2,47265625! 2,9394E?06! ?2,4631! 1,2916%! 0,3883%!2,70! 1,9820E?06! ?3,57! 2,0133E?06! ?3,5601! 1,5801%! 0,2781%!2,78! 1,1878E?06! ?4,76859375! 1,2123E?06! ?4,7583! 2,0631%! 0,2151%!2,85! 5,6159E?07! ?6,07125! 5,7862E?07! ?6,0607! 3,0323%! 0,1743%!2,93! 1,4914E?07! ?7,48078125! 1,5801E?07! ?7,4699! 5,9455%! 0,1459%!3,00! 0,0000E+00! ?9! 0,0000E+00! ?8,9888! ?! 0,1249%!

56

ANEXO E

VIGA!COM!APOIO!DO3º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!UNIFORME(ENGASTADO)! ! MDEF!10! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 1,2656E?03! 0! 1,2783E?03! 0,0000! 1,0000%! ?!0,30! 1,0969E?03! ?0,9! 1,1087E?03! ?0,9000! 1,0730%! 0,0000%!0,60! 9,2880E?04! ?3,6! 9,3960E?04! ?3,6000! 1,1628%! 0,0000%!0,90! 7,6279E?04! ?8,1! 7,7254E?04! ?8,1000! 1,2776%! 0,0000%!1,20! 6,0143E?04! ?14,4! 6,1003E?04! ?14,4000! 1,4310%! 0,0000%!1,50! 4,4824E?04! ?22,5! 4,5563E?04! ?22,5000! 1,6471%! 0,0000%!1,80! 3,0780E?04! ?32,4! 3,1388E?04! ?32,4000! 1,9737%! 0,0000%!2,10! 1,8567E?04! ?44,1! 1,9035E?04! ?44,1000! 2,5222%! 0,0000%!2,40! 8,8425E?05! ?57,6! 9,1631E?05! ?57,6000! 3,6260%! 0,0000%!2,70! 2,3667E?05! ?72,9! 2,5313E?05! ?72,9000! 6,9519%! 0,0000%!3,00! 0,0000E+00! ?90! 0,0000E+00! ?90,0000! ?! 0,0000%!

57 VIGA!COM!APOIO!DO3º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!UNIFORME(ENGASTADO)! ! MDEF!20! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 1,2656E?03! 0! 1,2688E?03! 0,0000! 0,2500%! ?!0,15! 1,1813E?03! ?0,225! 1,1843E?03! ?0,2250! 0,2587%! 0,0000%!0,30! 1,0969E?03! ?0,9! 1,0999E?03! ?0,9000! 0,2683%! 0,0000%!0,45! 1,0127E?03! ?2,025! 1,0155E?03! ?2,0250! 0,2788%! 0,0000%!0,60! 9,2880E?04! ?3,6! 9,3150E?04! ?3,6000! 0,2907%! 0,0000%!0,75! 8,4540E?04! ?5,625! 8,4797E?04! ?5,6250! 0,3041%! 0,0000%!0,90! 7,6279E?04! ?8,1! 7,6523E?04! ?8,1000! 0,3194%! 0,0000%!1,05! 6,8133E?04! ?11,025! 6,8363E?04! ?11,0250! 0,3371%! 0,0000%!1,20! 6,0143E?04! ?14,4! 6,0358E?04! ?14,4000! 0,3577%! 0,0000%!1,35! 5,2355E?04! ?18,225! 5,2555E?04! ?18,2250! 0,3823%! 0,0000%!1,50! 4,4824E?04! ?22,5! 4,5009E?04! ?22,5000! 0,4118%! 0,0000%!1,65! 3,7610E?04! ?27,225! 3,7779E?04! ?27,2250! 0,4480%! 0,0000%!1,80! 3,0780E?04! ?32,4! 3,0932E?04! ?32,4000! 0,4934%! 0,0000%!1,95! 2,4406E?04! ?38,025! 2,4540E?04! ?38,0250! 0,5521%! 0,0000%!2,10! 1,8567E?04! ?44,1! 1,8684E?04! ?44,1000! 0,6305%! 0,0000%!2,25! 1,3348E?04! ?50,625! 1,3447E?04! ?50,6250! 0,7407%! 0,0000%!2,40! 8,8425E?05! ?57,6! 8,9227E?05! ?57,6000! 0,9065%! 0,0000%!2,55! 5,1471E?05! ?65,025! 5,2080E?05! ?65,0250! 1,1833%! 0,0000%!2,70! 2,3667E?05! ?72,9! 2,4079E?05! ?72,9000! 1,7380%! 0,0000%!2,85! 6,1198E?06! ?81,225! 6,3281E?06! ?81,2250! 3,4037%! 0,0000%!3,00! 0,0000E+00! ?90! 0,0000E+00! ?90,0000! ?! 0,0000%!

58 VIGA!COM!APOIO!DO3º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!UNIFORME(ENGASTADO)! ! MDEF!40! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 1,2656E?03! 0! 1,2664E?03! 0,0000! 0,0625%! ?!0,08! 1,2234E?03! ?0,05625! 1,2242E?03! ?0,0562! 0,0636%! 0,0000%!0,15! 1,1813E?03! ?0,225! 1,1820E?03! ?0,2250! 0,0647%! 0,0000%!0,23! 1,1391E?03! ?0,50625! 1,1398E?03! ?0,5063! 0,0658%! 0,0000%!0,30! 1,0969E?03! ?0,9! 1,0977E?03! ?0,9000! 0,0671%! 0,0000%!0,38! 1,0548E?03! ?1,40625! 1,0555E?03! ?1,4063! 0,0684%! 0,0000%!0,45! 1,0127E?03! ?2,025! 1,0134E?03! ?2,0250! 0,0697%! 0,0000%!0,53! 9,7071E?04! ?2,75625! 9,7140E?04! ?2,7563! 0,0712%! 0,0000%!0,60! 9,2880E?04! ?3,6! 9,2948E?04! ?3,6000! 0,0727%! 0,0000%!0,68! 8,8702E?04! ?4,55625! 8,8768E?04! ?4,5563! 0,0743%! 0,0000%!0,75! 8,4540E?04! ?5,625! 8,4604E?04! ?5,6250! 0,0760%! 0,0000%!0,83! 8,0398E?04! ?6,80625! 8,0460E?04! ?6,8063! 0,0779%! 0,0000%!0,90! 7,6279E?04! ?8,1! 7,6340E?04! ?8,1000! 0,0799%! 0,0000%!0,98! 7,2189E?04! ?9,50625! 7,2249E?04! ?9,5063! 0,0820%! 0,0000%!1,05! 6,8133E?04! ?11,025! 6,8190E?04! ?11,0250! 0,0843%! 0,0000%!1,13! 6,4116E?04! ?12,65625! 6,4171E?04! ?12,6563! 0,0867%! 0,0000%!1,20! 6,0143E?04! ?14,4! 6,0196E?04! ?14,4000! 0,0894%! 0,0000%!1,28! 5,6220E?04! ?16,25625! 5,6272E?04! ?16,2563! 0,0924%! 0,0000%!1,35! 5,2355E?04! ?18,225! 5,2405E?04! ?18,2250! 0,0956%! 0,0000%!1,43! 4,8554E?04! ?20,30625! 4,8602E?04! ?20,3063! 0,0991%! 0,0000%!1,50! 4,4824E?04! ?22,5! 4,4870E?04! ?22,5000! 0,1029%! 0,0000%!1,58! 4,1174E?04! ?24,80625! 4,1218E?04! ?24,8063! 0,1072%! 0,0000%!1,65! 3,7610E?04! ?27,225! 3,7653E?04! ?27,2250! 0,1120%! 0,0000%!1,73! 3,4143E?04! ?29,75625! 3,4183E?04! ?29,7563! 0,1173%! 0,0000%!1,80! 3,0780E?04! ?32,4! 3,0818E?04! ?32,4000! 0,1234%! 0,0000%!1,88! 2,7531E?04! ?35,15625! 2,7567E?04! ?35,1563! 0,1302%! 0,0000%!1,95! 2,4406E?04! ?38,025! 2,4439E?04! ?38,0250! 0,1380%! 0,0000%!2,03! 2,1414E?04! ?41,00625! 2,1446E?04! ?41,0063! 0,1471%! 0,0000%!2,10! 1,8567E?04! ?44,1! 1,8596E?04! ?44,1000! 0,1576%! 0,0000%!2,18! 1,5874E?04! ?47,30625! 1,5901E?04! ?47,3063! 0,1702%! 0,0000%!2,25! 1,3348E?04! ?50,625! 1,3373E?04! ?50,6250! 0,1852%! 0,0000%!2,33! 1,1000E?04! ?54,05625! 1,1023E?04! ?54,0563! 0,2036%! 0,0000%!2,40! 8,8425E?05! ?57,6! 8,8625E?05! ?57,6000! 0,2266%! 0,0000%!2,48! 6,8871E?05! ?61,25625! 6,9048E?05! ?61,2563! 0,2563%! 0,0000%!2,55! 5,1471E?05! ?65,025! 5,1624E?05! ?65,0250! 0,2958%! 0,0000%!2,63! 3,6358E?05! ?68,90625! 3,6486E?05! ?68,9063! 0,3513%! 0,0000%!2,70! 2,3667E?05! ?72,9! 2,3770E?05! ?72,9000! 0,4345%! 0,0000%!2,78! 1,3540E?05! ?77,00625! 1,3617E?05! ?77,0063! 0,5733%! 0,0000%!2,85! 6,1198E?06! ?81,225! 6,1719E?06! ?81,2250! 0,8509%! 0,0000%!2,93! 1,5558E?06! ?85,55625! 1,5820E?06! ?85,5563! 1,6841%! 0,0000%!3,00! 0,0000E+00! ?90! 0,0000E+00! ?90,0000! ?! 0,0000%!

59 ANEXO F

VIGA!COM!APOIO!DO3º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!TRIANGULAR(ENGASTADO)! ! MDEF!10! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 3,3750E?04! 0! 3,5019E?04! ?0,0723! 3,7588%! ?!0,30! 2,9531E?04! ?0,03! 3,0652E?04! ?0,0675! 3,7954%! 125,0000%!0,60! 2,5315E?04! ?0,24! 2,6290E?04! ?0,3150! 3,8489%! 31,2500%!0,90! 2,1114E?04! ?0,81! 2,1945E?04! ?0,9225! 3,9330%! 13,8889%!1,20! 1,6961E?04! ?1,92! 1,7652E?04! ?2,0700! 4,0697%! 7,8125%!1,50! 1,2920E?04! ?3,75! 1,3475E?04! ?3,9375! 4,2971%! 5,0000%!1,80! 9,0936E?05! ?6,48! 9,5200E?05! ?6,7050! 4,6894%! 3,4722%!2,10! 5,6368E?05! ?10,29! 5,9421E?05! ?10,5525! 5,4156%! 2,5510%!2,40! 2,7648E?05! ?15,36! 2,9578E?05! ?15,6600! 6,9794%! 1,9531%!2,70! 7,6351E?06! ?21,87! 8,5430E?06! ?22,2075! 11,8908%! 1,5432%!3,00! 0,0000E+00! ?30! 0,0000E+00! ?30,3750! ?! 1,2500%!

60 VIGA!COM!APOIO!DO3º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!TRIANGULAR(ENGASTADO)! ! MDEF!20! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 3,3750E?04! 0! 3,4067E?04! 0,0000! 0,9380%! ?!0,15! 3,1641E?04! ?0,00375! 3,1939E?04! ?0,0084! 0,9422%! 125,0000%!0,30! 2,9531E?04! ?0,03! 2,9811E?04! ?0,0394! 0,9472%! 31,2500%!0,45! 2,7423E?04! ?0,10125! 2,7684E?04! ?0,1153! 0,9531%! 13,8889%!0,60! 2,5315E?04! ?0,24! 2,5558E?04! ?0,2588! 0,9605%! 7,8125%!0,75! 2,3211E?04! ?0,46875! 2,3436E?04! ?0,4922! 0,9697%! 5,0000%!0,90! 2,1114E?04! ?0,81! 2,1321E?04! ?0,8381! 0,9814%! 3,4722%!1,05! 1,9029E?04! ?1,28625! 1,9218E?04! ?1,3191! 0,9963%! 2,5510%!1,20! 1,6961E?04! ?1,92! 1,7134E?04! ?1,9575! 1,0155%! 1,9531%!1,35! 1,4921E?04! ?2,73375! 1,5077E?04! ?2,7759! 1,0401%! 1,5432%!1,50! 1,2920E?04! ?3,75! 1,3058E?04! ?3,7969! 1,0721%! 1,2500%!1,65! 1,0972E?04! ?4,99125! 1,1094E?04! ?5,0428! 1,1141%! 1,0331%!1,80! 9,0936E?05! ?6,48! 9,2000E?05! ?6,5363! 1,1699%! 0,8681%!1,95! 7,3071E?05! ?8,23875! 7,3981E?05! ?8,2997! 1,2455%! 0,7396%!2,10! 5,6368E?05! ?10,29! 5,7130E?05! ?10,3556! 1,3510%! 0,6378%!2,25! 4,1116E?05! ?12,65625! 4,1735E?05! ?12,7266! 1,5041%! 0,5556%!2,40! 2,7648E?05! ?15,36! 2,8129E?05! ?15,4350! 1,7408%! 0,4883%!2,55! 1,6344E?05! ?18,42375! 1,6694E?05! ?18,5034! 2,1445%! 0,4325%!2,70! 7,6351E?06! ?21,87! 7,8615E?06! ?21,9544! 2,9655%! 0,3858%!2,85! 2,0065E?06! ?25,72125! 2,1160E?06! ?25,8103! 5,4547%! 0,3463%!3,00! 0,0000E+00! ?30! 0,0000E+00! ?30,0938! ?! 0,3125%!

61 VIGA!COM!APOIO!DO3º!GÊNERO! ! CARREGAMENTO!TRIANGULAR(ENGASTADO)! ! MDEF!40! !


V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)! V(x)! Mz(KN.m)!0,00! 3,3750E?04! 0! 3,3829E?04! 0,0000! 0,2344%! ?!0,08! 3,2695E?04! ?0,00046875! 3,2772E?04! ?0,0011! 0,2349%! 125,0000%!0,15! 3,1641E?04! ?0,00375! 3,1715E?04! ?0,0049! 0,2355%! 31,2500%!0,23! 3,0586E?04! ?0,01265625! 3,0658E?04! ?0,0144! 0,2360%! 13,8889%!0,30! 2,9531E?04! ?0,03! 2,9601E?04! ?0,0323! 0,2367%! 7,8125%!0,38! 2,8477E?04! ?0,05859375! 2,8544E?04! ?0,0615! 0,2374%! 5,0000%!0,45! 2,7423E?04! ?0,10125! 2,7488E?04! ?0,1048! 0,2382%! 3,4722%!0,53! 2,6369E?04! ?0,16078125! 2,6432E?04! ?0,1649! 0,2390%! 2,5510%!0,60! 2,5315E?04! ?0,24! 2,5376E?04! ?0,2447! 0,2400%! 1,9531%!0,68! 2,4263E?04! ?0,34171875! 2,4321E?04! ?0,3470! 0,2411%! 1,5432%!0,75! 2,3211E?04! ?0,46875! 2,3268E?04! ?0,4746! 0,2423%! 1,2500%!0,83! 2,2162E?04! ?0,62390625! 2,2216E?04! ?0,6304! 0,2437%! 1,0331%!0,90! 2,1114E?04! ?0,81! 2,1166E?04! ?0,8170! 0,2452%! 0,8681%!0,98! 2,0070E?04! ?1,02984375! 2,0119E?04! ?1,0375! 0,2470%! 0,7396%!1,05! 1,9029E?04! ?1,28625! 1,9076E?04! ?1,2945! 0,2490%! 0,6378%!1,13! 1,7992E?04! ?1,58203125! 1,8037E?04! ?1,5908! 0,2512%! 0,5556%!1,20! 1,6961E?04! ?1,92! 1,7004E?04! ?1,9294! 0,2537%! 0,4883%!1,28! 1,5937E?04! ?2,30296875! 1,5978E?04! ?2,3129! 0,2566%! 0,4325%!1,35! 1,4921E?04! ?2,73375! 1,4960E?04! ?2,7443! 0,2599%! 0,3858%!1,43! 1,3915E?04! ?3,21515625! 1,3952E?04! ?3,2263! 0,2636%! 0,3463%!1,50! 1,2920E?04! ?3,75! 1,2955E?04! ?3,7617! 0,2679%! 0,3125%!1,58! 1,1938E?04! ?4,34109375! 1,1971E?04! ?4,3534! 0,2728%! 0,2834%!1,65! 1,0972E?04! ?4,99125! 1,1002E?04! ?5,0041! 0,2784%! 0,2583%!1,73! 1,0023E?04! ?5,70328125! 1,0051E?04! ?5,7168! 0,2848%! 0,2363%!1,80! 9,0936E?05! ?6,48! 9,1202E?05! ?6,4941! 0,2923%! 0,2170%!1,88! 8,1875E?05! ?7,32421875! 8,2121E?05! ?7,3389! 0,3010%! 0,2000%!1,95! 7,3071E?05! ?8,23875! 7,3299E?05! ?8,2540! 0,3112%! 0,1849%!2,03! 6,4558E?05! ?9,22640625! 6,4766E?05! ?9,2422! 0,3232%! 0,1715%!2,10! 5,6368E?05! ?10,29! 5,6559E?05! ?10,3064! 0,3376%! 0,1594%!2,18! 4,8541E?05! ?11,43234375! 4,8714E?05! ?11,4493! 0,3548%! 0,1486%!2,25! 4,1116E?05! ?12,65625! 4,1271E?05! ?12,6738! 0,3758%! 0,1389%!2,33! 3,4137E?05! ?13,96453125! 3,4274E?05! ?13,9827! 0,4019%! 0,1301%!2,40! 2,7648E?05! ?15,36! 2,7768E?05! ?15,3788! 0,4350%! 0,1221%!2,48! 2,1700E?05! ?16,84546875! 2,1803E?05! ?16,8648! 0,4779%! 0,1148%!2,55! 1,6344E?05! ?18,42375! 1,6431E?05! ?18,4437! 0,5358%! 0,1081%!2,63! 1,1636E?05! ?20,09765625! 1,1708E?05! ?20,1182! 0,6175%! 0,1020%!2,70! 7,6351E?06! ?21,87! 7,6917E?06! ?21,8911! 0,7409%! 0,0965%!2,78! 4,4033E?06! ?23,74359375! 4,4450E?06! ?23,7653! 0,9477%! 0,0913%!2,85! 2,0065E?06! ?25,72125! 2,0339E?06! ?25,7435! 1,3628%! 0,0866%!2,93! 5,1432E?07! ?27,80578125! 5,2776E?07! ?27,8286! 2,6115%! 0,0822%!3,00! 0,0000E+00! ?30! 0,0000E+00! ?30,0234! ?! 0,0781%!

62 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

HAGIYA, H., MORISHITA, M., ANDO, T.; TANAKA, H. MAT-UO, K. Damage evaluation of

reinforced concrete slabs subjected to contact detonation loads with numerical simulation. Science

and tecnhnology of energetic materials, vol. 64, n. 5, 2003, p.192-200.

FERRETI, D. ;SAVOIA, M. Non-linear model for R/C tensile members strengthened by FRP-

plates. Engineering Fracture Mechanics, vol. 70, 2003, p.1069-1083.

HABIB, A.; MOHARRAMI,H. Nonlinear sensitivity analysis of reinforced concrete frames, Finite

Elements in Analysis and Design, vol. 46, 2010, p. 571-584.

VIRDI, K. S. Finite difference method for nonlinear analysis of structures, Journal of

Constructional Steel Research, vol. 62, 2006, p. 1210-1218.

PLETZ, E. Análise de estrutura laminares pelo método da energia discretizada. Rio de Janeiro,

1983, Tese (Mestrado) Universidade Federal do Rio de Janeiro.

GRAÇA, M. S. B. A. Método das diferenças finitas energéticas na análise estática e dinâmica

de placas delgadas e espessas, Rio de Janeiro, 2000, Tese (Doutorado) - Universidade Federal do

Rio de Janeiro.

NEVES, J. B; LIMA, J. M. F.; LIMA, P. R. L. Método das Diferenças Finitas Energéticas para

simulação do comportamento sob flexão do concreto reforçado com fibras curtas de aço. Revista

Sul-americana de Engenharia Estrutural, vol.10, n.2, 2013, p.31-55.

MITTELBACH, Fernanda Rodrigues. Método das Diferenças Finitas Energéticas na Análise de

Reservatórios Cilíndricos. 2002. 96 f. Dissertação (Mestrado) - COPPE/UFRJ, Rio!de!Janeiro,!

RJ, 2002.

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