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Werkstatt „Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung“
Werkstatt
Leonhard Euler und die Lösung der quadratischen Gleichungen
Im Jahr 1767 hat der Mathematiker Leonhard Euler (1707–
1783) das Buch „Vollständige Anleitung zu Algebra“ im
russischen Original veröffentlicht, 1770 folgte die deutsche
Erstauflage. Dieses Werk führt den absoluten Anfänger Schritt
für Schritt von den natürlichen Zahlen über die elementare
Gleichungslehre bis zu höheren Problemen der Algebra, welche
längst den Stoff des Gymnasiums übersteigen.
Euler soll dieses Werk seinem Gehilfen diktiert haben, ei-
nem ehemaligen Schneidergesellen, der mathematisch zuvor
völlig ungebildet das ganze Werk verstanden haben soll. Diese
Episode ist zwar eher zu den Legenden zu zählen. Aber Eulers
„Algebra“ gilt als didaktisch hervorragend aufgebaut, wurde in
viele verschiedene Sprachen übersetzt und lange als Lehrbuch verwendet.
In mehreren Kapiteln nimmt sich Euler dem Problem der quadratischen Gleichungen an. Natürlich ist
dieses Problem nicht von Euler das erste Mal bearbeitet worden. Die Lösungswege und –formeln sind
bereits sehr lange bekannt. Aber Euler führt sehr geschickt in die Problemstellung ein, zeigt verschiedene
Lösungswege und macht diverse praktische Beispiele, sodass Sie anhand dieses Werkes diese Kapitel be-
arbeiten können.
Anleitung zur Werkstatt
In dieser Werkstatt gibt es verschiedene Typen von Arbeitsblättern:
- Die obligatorischen Blätter (✰ oder ✰✰) müssen von allen Schülerinnen und Schülern erarbeitet
werden.
- Die freiwilligen Blätter (❀) sind als Ergänzung gedacht. Sie können aber müssen nicht gelöst werden.
- Die Blätter mit ✰ oder ❀ können in einer beliebigen Reihenfolge gelöst werden, aber alle mit ✰✰
setzen ein anderes Blatt mit ✰ voraus.
Das Arbeiten umfasst folgende Schritte:
- Ein Blatt wählen.
- Im Kontrollbogen das Datum eintragen.
- Das Blatt bearbeiten.
- Die Lösungen kontrollieren.
- Im Kontrollbogen das Blatt als erledigt abhaken.
Werkstatt „Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung“
Übersicht der Arbeitsblätter
✰ 1. Einfache quadratische Gleichungen
Gewisse quadratische Gleichungen sind ganz einfach lösbar. Aber welche?
✰ 2. Die Lösungsformel für alle quadratischen Gleichungen
Mit der Lösungsformel können Sie allen Gleichungen an den Kragen!
✰✰ 3. Gleichungen höheren Grades
Die Lösungsmethoden von quadratischen Gleichungen können auch für „höhere Aufgaben“ verwendet
werden.
✰ 4. Quadratische Gleichungen und die TI-CAS-Rechner
Ihr Taschenrechner kann quadratische Gleichungen schnell und elegant lösen.
✰✰ 5. Die Wahl der Methode
Ganz wichtig ist, im richtigen Moment die einfachste und günstigste Methode zu wählen. Hier treffen Sie auf
alle möglichen Formen von quadratischen Gleichungen.
✰✰ 6. Wurzelgleichungen
Wurzelgleichungen führen oft zu quadratischen Gleichungen. Wie löst man am besten Gleichungen dieses
Typs? Was gilt es zu beachten?
❀ 10. Eulers Biographie
Machen Sie sich mit dem Leben eines der ganz grossen Mathematiker vertraut.
❀ 11. Eulers Werk
Eulers Gesamtwerk umfasst eine unglaubliche Anzahl von Arbeiten. Lernen Sie einige „Highlights“ kennen.
❀ 12. Eulers „Vollständige Anleitung zur Algebra“
Eulers Buch umfasst viele ganz unterschiedliche Kapitel. Sehen Sie, was sich ausser quadratischen Gleichungen
sonst noch findet.
Werkstatt „Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung“
1. Einfache quadratische Gleichungen ✰
Niqcht alle quadratischen Gleichungen sind schwierig zu lösen. Bei einigen fällt es sehr leicht, die zuge-
hörige Lösung zu finden.
• Reinquadratische Gleichungen
Tauchen in einer quadratischen Gleichung nur Terme mit x2, aber keine mit x auf, so redet man von
einer reinquadratischen Gleichung. Solche Gleichungen werden zuerst nach x2 aufgelöst. Anschliessend
wird links und rechts des Gleichungszeichens die Wurzel gezogen. Beachten Sie, dass die Gleichung zwei
Lösungen hat!
Beispiel:
3x2–33 = 111–x2
4x2 = 144
x2 = 36
x = ±6
= {±6}
• Einfache gemischt quadratische Gleichungen
Sind in einer quadratischen Gleichung Terme mit x2 und mit x, aber keine konstanten Terme vorhan-
den, so lässt sich die entsprechende Gleichung ebenfalls schnell durch Ausklammern lösen.
Beispiel:
x2–4x = 0
x·(x–4) = 0
x = 0 oder x–4 = 0
x = 4
= {0, 4}
Falls quadratische, lineare und konstante Terme vorkommen, so ist das Lösen einer quadratischen Glei-
chung nur dann einfach, wenn sich ein Klammeransatz finden lässt
Beispiel:
2x2+2x = x2+6x+12
x2–4x–12 = 0
(x–6)·(x+2) = 0
x–6 = 0 oder x+2 = 0
x = 6 oder x = –2
= {6, –2}
Ist ein solcher Ansatz nicht sichtbar, so hilft nur die allgemeine Lösungsformel, die auf dem nächsten
Blatt besprochen wird.
Aufgaben
1. Lesen Sie das Kapitel zu den reinquadratischen und den einfachen quadratischen Gleichungen aus
der „Algebra“ von Euler (Kp. 2.1.5, 67–70, Quelltexte S. 2)
2. Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.
Werkstatt „Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung“
a) 100x2 = 16 b) 2x2 = 1 c) 4+x2 = 0
d) x2+1/9 = 5/9 e) 0.9x2–0.06 = 0.3 f) –1–
!
5 x2 = –1
g) (x+2)(x–2) = 12 h) 9x2–125 = 4x2 i) 4x2–(1–x2) = 0.5x2
j) (4–5x)2+45x = 80+5x k) 6(5x–7)2+7(3+10x)2 = 357 l) (x–3)(x+3) = –18
m) x2–8x = 0 n) x2+6x+6 = 1 o) x2+12x+12 = 4x–4
3. Versuchen Sie, die Textaufgaben, die Euler dem Kapitel über reinquadratische Gleichungen anfügt,
zuerst selbst zu lösen, und vergleichen Sie dann Ihre Lösung mit seiner. (Kp. 2.1.5, 71–75, Quelltexte
S. 3)
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2. Die Lösungsformel für alle quadrat. Gleichungen ✰
Versagen die einfachen Methoden zur Lösung einer quadratischen Gleichung, so verwenden wir eine
Lösungsformel. Sie herzuleiten ist nicht ganz einfach, denn wir lösen den allgemeinst möglichen Fall!
!
ax2 + bx + c = 0 Durch a dividieren
!
x2 +ba
x +ca
= 0 Konstanten Term nach rechts bringen
!
x2 +ba
x =
!
"ca
Quadratisches Ergänzen
!
x +b2a
"
# $
%
& '
2
=
!
b2
4a2"
ca
Rechte Seite gleichnamig machen
!
x +b2a
"
# $
%
& '
2
=
!
b2 " 4ac
4a2
Jetzt wird auf beiden Seiten die Wurzel gezogen. Voraussetzung dafür ist, dass der Term b2–4ac grö-
sser oder gleich Null ist. Dieser Term heisst Diskriminante und entscheidet darüber, ob die Gleichung Lö-
sungen hat oder nicht.
Für b2–4ac > 0:
!
x +b2a
"
# $
%
& '
2
=
!
b2 " 4ac
4a2 Wurzel ziehen
!
x +b2a
=
!
±b2 " 4ac
2a
x1,2 =
!
"b ± b2 " 4ac2a
Es gibt zwei Lösungen.
Für b2–4ac = 0:
!
x +b2a
"
# $
%
& '
2
= 0 Wurzel ziehen und nach x auflösen
x =
!
"b2a
Es gibt eine Lösung.
Für b2–4ac < 0 hat die quadratische Gleichung keine Lösung.
Beispiel 1: 2x2–5x+1 = 0
Die Diskriminante ergibt D = (–5)2–4·2·1 = 17 > 0. Damit hat die Gleichung zwei Lösungen.
x1,2 =
!
5 ± 174
Beispiel 2: 3x2–x+5 = 0
Hier ist die Diskriminante D = (–1)2–4·3·5 = –59 negativ. Die Gleichung hat somit keine Lösungen.
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Aufgaben
1. a) Lösen Sie die Gleichung 3x2+8x+2 = 0 durch Einsetzen der Koeffizienten in die Lösungsformel.
Bestimmen Sie zunächst die Diskriminante.
b) Führen Sie für die Gleichung aus Aufgabe a) Schritt für Schritt das quadratische Ergänzen durch,
wie es in der Herleitung beschrieben wird.
2. Lesen Sie Eulers Kapitel über die gemischtquadratische Gleichung (Kp. 2.1.6, 76–83, Quelltext S. 4).
Sehen Sie Unterschiede zum Lösungsweg oben?
3. Lösen Sie die Gleichung von Aufgabe 1 mit Eulers Methoden.
4. Finden Sie die Lösung der Gleichung durch quadratisches Ergänzen.
a) x2+8x+11 = 0 b) 2x2+12x+7 = 0 c) x2+3x+4 = 0
5. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel (nicht quadratisch Ergänzen!)
a) x2+3 = 4x b) 8 = x2+2x c) 1–x = 30x2
d) 11x = 3+30x2 e) 12x2+2x = 9x2+9x–2 f) 10x2–120+6x = 98x–3x2–24
g) 5x–3–2x(3x–4) = 4 h) 10x2–7x = 7x2+4x+20 i) 3(5–2x) = x(12x–2)+10
6. Versuchen Sie, die Textaufgaben, die Euler dem Kapitel über gemischtquadratische Gleichungen
anfügt, zuerst selbst zu lösen, und vergleichen Sie dann Ihre Lösung mit seiner. (Kp. 2.1.6, 84–93,
Quelltext S. 5/6)
Werkstatt „Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung“
3. Gleichungen höheren Grades ✰✰
Die einfachen Lösungsmethoden und die Lösungsformel für quadratische Gleichungen können unter
bestimmten Voraussetzungen auch für Gleichungen höheren Grades verwendet werden.
Dies ist deswegen wichtig, weil das Lösen von allgemeinen Gleichungen dritten und vierten Grades
zwar noch mit entsprechenden Lösungsformeln möglich ist, diese aber ziemlich kompliziert sind. Für be-
liebige Gleichungen fünften Grades und höher gibt es überhaupt keine Lösungsformeln mehr. Da bleiben
nur nummerische Lösungsverfahren übrig.
Die beiden hier gezeigten Möglichkeiten beruhen darauf, eine Gleichung dritten oder vierten Grades
auf eine zweiten Grades zurückzuführen. Für diese stehen dann alle Lösungsmethoden der quadratischen
Gleichungen zur Verfügung, also vorallem der Klammeransatz oder die Lösungsformel.
Erster Fall: Zerlegen von Gleichungen in binomische Faktoren
Beispiel:
x3+5x2–6x = 0
x·(x2+5x–6) = 0
x·(x+6)·(x–1) = 0
x = 0 oder x = –6
oder x = 1
= {0, –6, 1}
Zweiter Fall: Lösen von biquadratischen Gleichungen durch Substitution
Beispiel:
x4+5x2–6 = 0 Ersetzen von x2 durch y (Substitution)
y2+5y–6 = 0 Quadratische Gleichung in y lösen
(y+6)·(y–1) = 0
y = –6 oder y = 1
x2 = –6 oder x2 = 1
keine Lösung x = ±1
= {±1}
Das Rücksetzten der Substitution darf nicht vergessen werden! Nicht y sondern x ist die Lösungsvaria-
ble.
Aufgaben
1. Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
a) x3–9x = 0 b) x3+8x2–9x = 0 c) 3x3–4x2–4x = 0
2. Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
a) x4–13x2+36 = 0 b) 12x4–x2–20 = 0 c) 2x4+7.86x2–1.28 = 0
d) (x2–14)2 = 5(6x2–49) e) x4–11x2+18 = 0 f)
!
2x + 3 + 2 " (2x + 3) = 55
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4. Quadrat. Gleichungen und der HP–20s ✰
Mit Hilfe der Diskriminanten und der Lösungsformel lassen sich alle quadratischen Gleichungen nach
dem gleichen Schema lösen. Solche Lösungswege lassen sich leicht in Programme umsetzten, sei es mit
dem Taschenrechner oder einem Computer (Tabellenkalkulation, Programmiersprache).
Der HP–20S macht es uns besonders einfach. Er hat bereits ein Programm zur Lösung von
quadratischen Gleichungen eingebaut. Wir müssen es nur laden.
• Programmmodus einschalten (PRGM)
• Altes Programm löschen (CLPRGM)
• Programm für quadratische Gleichungen laden (LOAD E)
• Programmmodus verlassen
Eine quadratische Gleichung ist jetzt nur noch in die Form ax2+bx+c=0 zu bringen. Dann können die
Koeffizienten eingegeben und die Lösung berechnet werden.
Beispiel: 7x2+8x–9 = 0
Tätigkeit Anzeige
7 eingeben und XEQ A drücken. 7.0000
8 eingeben und XEQ B drücken. 8.0000
–9 eingeben und XEQ C drücken. –9.0000
Erste Lösung mit XEQ D anfordern. 0.6983
Zweite Lösung mit R/S anfordern. –1.8412
Wie reagiert der Taschenrechner, wenn eine Gleichung keine Lösung hat? Der HP–20S gibt in diesem
Fall die sog. komplexen Lösungen aus, die für uns aber keine Bedeutung haben. Unter dem ersten
Lösungswert erscheint dann ein Doppelpunkt (:).
Beispiel: 7x2+8x+9 = 0
Aufgaben
1. Lösen Sie die Gleichung mit dem Taschenrechnerprogramm des HP–20S.
a) 11x2–111x–1111 = 0 b) 2x2+22x–222 = 0 c) 33x2–333x+3333 = 0
2. a) Programmieren Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogramm (ClarisWorks, Excel) eine Tabelle,
mit der eine quadratische Gleichung gelöst werden kann. Die Koeffizienten a, b und c werden in
je eine Zelle eingegeben. In weiteren Zellen werden dann die Diskriminante und — falls
vorhanden — die Lösungen berechnet.
b) Schreiben Sie mit ThinkPASCAL ein Programm, welches eine quadratische Gleichung löst. Der
Benutzer soll a, b und c eingeben können. Das Programm berechnet dann die Diskriminante und
— falls vorhanden — die Lösungen.
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4. Quadrat. Gleichungen und die TI-CAS-Rechner ✰
Mit Hilfe der Diskriminanten und der Lösungsformel lassen sich alle quadratischen Gleichungen nach
dem gleichen Schema lösen. Solche Lösungswege lassen sich leicht in Programme umsetzten, sei es mit
dem Taschenrechner oder einem Computer (Tabellenkalkulation, Programmiersprache).
Der Rechner können jede quadratische Gleichung mit dem Befehl solve() oder zeros() lösen.
Beispiel: 7x2+8x–9 = 0
Darstellung auf einem TI-89
Aufgaben
1. Lösen Sie die Gleichung mit den Befehlen solve() und zeros() des TI–89.
a) 11x2–111x–1111 = 0 b) 2x2+22x–222 = 0 c) 33x2–333x+3333 = 0
2.❀ Lösen Sie die quadratische Gleichung mit dem Taschenrechner, in dem Sie die Methode des
quadratischen Ergänzens verwenden.
a) 2x2+5x–18 = 0 b) x2+x+1 = 0
3. a) Programmieren Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogramm eine Tabelle, mit der eine
quadratische Gleichung gelöst werden kann. Die Koeffizienten a, b und c werden in je eine Zelle
eingegeben. In weiteren Zellen werden dann die Diskriminante und — falls vorhanden — die
Lösungen berechnet.
b) Schreiben Sie für den TI–89 eine Funktion, welche durch Eingabe von a, b und c die Lösung(en)
bestimmt. Das Programm soll auch eine vernünftige Antwort geben, wenn es keine Lösungen
gibt.
Aufruf: QUADGL(2,5,–18)
Antwort: {2,-9/2}
Werkstatt „Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung“
5. Die Wahl der Methode ✰
Auf den Blättern 4, 5 und 7 haben Sie im Wesentlichen vier Methoden zur Lösung einer quadratischen
Gleichung kennengelernt. Jede dieser Methoden hat ihre Vor- und Nachteile.
Methode Vorteil Nachteil
Klammeransatz bzw.
Ausklammern
Einfach und schnell Nur für günstige Gleichungen
Quadratisches Ergänzen Für alle Gleichungen Sehr aufwändig
Lösungsformel Für alle Gleichungen Mittelmässig aufwändig
Taschenrechnerprogramm Schnell und für alle Gleichungen Taschenrechner nötig
Was nun?
Ich empfehle Ihnen, eine quadratische Gleichung, für welche Sie einen Klammeransatz schnell (d.h.
in weniger als einer Minute) finden können, mit dieser Methode zu lösen. Besonders gute Kandidatinnen
sind Gleichungen, in denen der Koeffizient des quadratischen Terms (die Zahl a) gleich 1 ist.
Ist kein Klammeransatz sichtbar, so verwenden Sie die Lösungsformel oder den Taschenrechner, je
nach dem, was Ihnen zur Verfügung steht.
Der einzige Sinn und Zweck des quadratischen Ergänzens besteht darin, dass diese Methode zeigt, wie
die allgemeine Lösungsformel hergeleitet wird. Wer das quadratische Ergänzen versteht, hat auch die
allgemeine Herleitung begriffen. Im rechnerischen Alltag spielt sie keine Rolle.
Aufgaben
1. Lösen Sie die Gleichung ohne den Taschenrechner.
a) 2x2+2 = 2x b) 1=15x+3x2 c) 3x2+54x+243 = 0
d) 8x3+5x2+2x = 0 e) x4+5x2+6 = 0 f) 3x2+7x = 6
2. Bei den folgenden Aufgaben kommt die Lösungsvariable im Nenner vor. Deswegen fehlen gewisse
Zahlen in der Definitionsmenge und kommen folglich auch als Lösung nicht in Frage.
a)
!
5x "2
"3 =2x " 4
5 b)
!
x + 3x
"5 =x
x "2 c)
!
3x "2x "3
+2x "3x + 7
= 5
d)
!
2xx " 4
+3x
x + 4=
4 x2 " x + 4( )x2 "16
e)
!
3x2 + 25
x2 "25+
5" x5 + x
=2x
x "5
3. a) Wissen Sie auswendig, wie Ihr Rechner quadratische Gleichungen lösen kann? Falls nein, so
führen Sie die nötigen Schritte nochmals aus.
b) Kontrollieren Sie einige der Aufgaben von 1 mit dem Taschenrechner.
Werkstatt „Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung“
6. Wurzelgleichungen ✰✰
Treten in einer Gleichung Wurzeln der Lösungsvariablen auf, so besteht in der Regel die effizienteste
Methode zur Auflösung der Gleichung darin, die gesamte Gleichung zu quadrieren. Oft entstehen dabei
quadratische Gleichungen, die mit den bekannten Möglichkeiten gelöst werden können. Einige Dinge gilt
es speziell zu beachten. Vorallem können am Schluss Lösungen auftauchen, welche die ursprüngliche
Gleichung nicht erfüllen.
Beispiel:
!
2x + x + 6 = 3 = {x∈| x ≥ –6}
Zuerst wird die Wurzel separiert, anschliessend quadriert.
!
x + 6 = 3–2x
x+6 = (3–2x)2
x+6 = 9–12x+4x2
Die entstandene quadratische Gleichung wird wie üblich nach x aufgelöst.
4x2–13x+3 = 0
x1 = 3
x2 = 1/4
Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, müssen die berechneten Lösungen (beide gehören
der Definitionsmenge an!) zur Überprüfung in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden.
2·3+
!
3 + 6 = 6+3 = 9 ≠ 3 ✗
2·1/4+
!
1/4 + 6 = 1/2+5/2 = 3 ✓
= {1/4}.
Tatsächlich hält nur eine der beiden Lösungen der quadratischen Gleichung dem Test in der
Wurzelgleichung Stand. Sie ist das einzige Element der Lösungsmenge.
Eine andere Möglichkeit, eine Wurzelgleichung zu lösen, ist eine Substitution.
Beispiel:
!
x ·(5+
!
x ) = 36
Zuerst ersetzen wir
!
x durch eine neue Variable u und lösen die enstandene Gleichung nach u auf.
u·(5+u) = 36
u2+5u–36 = 0
u1 = 4
u2 = –9
Jetzt müssen wir die Substitution wieder rückgängig machen.
Werkstatt „Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung“
!
x = 4 ⇒ x = 16
!
x = –9 ✗
= {16}.
Auch hier führen nicht alle Lösungen der Gleichung in u zu einer Lösung für x.
Diese Gleichung könnten Sie auch durch Quadrieren lösen. Allerdings müssten Sie zweimal quadrieren,
da nach dem ersten Mal noch eine Wurzel übrig bleibt.
Bemerkung: In Eulers „Algebra“ findet sich kein Kapitel, das sich diesem Problem widmet.
Aufgaben
1. Bestimmen Sie alle Lösungen der Wurzelgleichungen. Benützen Sie den Taschenrechner erst, wenn
Sie eine quadratische Gleichung erzeugt haben.
a) 2·(2–x) = 3·
!
3" x b) 1–2x–
!
3" 4x = 0
c)
!
2x3 "6x +5 = –x2–x+3 d)
!
x " 4 +3 = x–
!
x " 4
2. a)
!
3x +1–
!
4x +5 +1 = 0 b)
!
x + 9"11 x "7 = 4
c) 2
!
x +
!
3
x = 7 d) x+(
!
x +4)2 = (
!
x +8)2