les coniques cours 25. le nom conique vient du fait quelle peuvent être vue comme des coupes dun...
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LES CONIQUES
Cours 25
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Le nom conique vient du fait qu’elle peuvent être vue comme des coupes d’un cône par un plan.
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Une parabole est l’ensemble des points dont la distance à une droite est la même que la distance à un point
donné.Pour trouver l’équation de la parabole, on doit choisir un repère.
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Les paraboles
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Une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances entre ce point et deux autre est
constante. Pour trouver l’équation de l’ellipse, on doit choisir un repère.
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posons
et
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Pythagore
posons
et
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Les ellipses
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Les hyperboles
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?
?
?
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Rappel de la complétion de carré.
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Exemple:
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?
?
?
Donne l’information sur le type de conique
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Or la forme générale d’une équation du deuxième degré est plutôt comme suit.
Un terme qu’on ne retrouve pas dans les trois cas qu’on vient de voir!
Existerait-il d’autre formes que les coniques représentés par les équations de degré deux?
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Définition:
Une forme quadratique est un polynôme dont tous ses monômes ont un degré total de 2.
Exemple:
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Remarque:
La forme générale d’une forme quadratique
à deux variables est:
Qu’on peut modéliser à l’aide de matrice
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Le terme
n’apparaissait pas dans les équations des coniques qu’on a trouvées due à notre choix de repère.
Essayons de voir si on pourrait trouver un changement de repère, ou si on veux un changement de variable qui
fera disparaitre le terme en xy.
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Changement de base (variable)
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Considérons la forme quadratique
Et faisons le changement de variable
D’où la matricereprésente la conique dans le nouveau repère.
Mais la conique, elle, n’a pas changé!
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Exemple:
Considérons la conique ou, si on préfère,
On a donc que comme changement de variable.
et appliquons lui le changement de variable obtenue en faisant une rotation de .
La conique est
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Est symétrique. Est diagonale.
Multiplier à gauche fait des opérations ligne.
Multiplier à droite fait des opérations colonnes.
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Donc si Ellipse
Hyperbole
Parabole
ou l’ensemble vide
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C’est une ellipse!
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C’est une hyperbole!
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C’est une parabole!
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L’idée de diagonaliser un matrice de cette façon
s’avère très utile dans la recherche des maximums et minimums de fonction à plusieurs variable.
etminimum
maximum
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Test de la dérivée seconde
QuickTime™ et undécompresseur Animation
sont requis pour visionner cette image.
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Si on veut faire l’inverse maintenant.
C’est à dire, on veux trouver l’équation d’un conique qui n’est pas centré et dont la axes de
symétrie ne sont pas x et y
L’idée est de partir d’une des trois formes
Ensuite on tourne et on translate.
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Parabole
Ellipse
Hyperbole
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On fait le changement de variable (ou de repère)
Rotation Translation
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Devoir: feuille