les cristaux apériodiques - incommensurables d’après g. pan, thèse orsay 1992 q hkl +mk,...
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Les cristaux apériodiques- Incommensurables
b*
c*
D’après G. Pan, Thèse Orsay 1992
Qhkl+mk, k=0,204 b*+0,406 c*
• Cuprate supraconducteur Bi2,2Sr1,8CuO2
• Phase modulée incommensurable
• Présence de satellites autour des nœuds du RR
b*c*
k
• 4 indices pour indexer
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Incommensurable ? Cas de NaNO2
P
Ferroélectrique
Paraélectrique
Diagramme de phase
Variation continue de la
position du satellite :
Incommensurable
Ferro Para
Inc.
D’après Dominique Durand, Thèse, LPS, Orsay
BCCDL’escalier du diable
Uhrig (1989)
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Modulation incommensurable
a
un
).sin(0 uvwuvw RkuR
• Propriété locale du cristal possède une périodicité
incommensurable avec celle du cristal
• Exemple : modulation displacive
• NaNO2 (polarisation électrique), alliages (onde de concentration), magnétisme
• ADN, Hélice de Coxeter
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ER d’un cristal modulé
incommensurable • Calcul de l’espace réciproque• Espace direct donné par
uvw
uvwuvwS ))).sin((()( 0 RkuRrr
uvw
iii uvwuvweedeSF )).sin(..3. 0)()( RkuqRqrq rrq
im
mm
izsin ezJe )(
uvw
miim
mm
uvw m
imimm
i
uvw
uvwuvw
eeJ
eJeF
Rkq
RkRq
uq
uqq
).(0
.0
.
).(
).()(
hklmhkl
imm meJvF )().(*)( 0 Qkquqq
• F(q) est non nul si q=Qhkl+mk, 4 indices
• Formule de Jacobi-Anger• Jm(z) fonction de Bessel d’ordre m
• J0(z) ~1-z2/2 et Jm(z) ~(z/2)m/m!
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ER d’un incommensurable
hklmhkl
imm meJvF )().(*)( 0 Qkquqq
h=0
a*
h=1 h=2
k 2k 3k
m=
0 1 2 3-3 -2 -1
• Espace réciproque• Nœuds du RR bordés de « satellites » situés à ±mk
• F(q) est non nul si q=ha*+k b*+l c*+mk• J0(z) ~1-z2/2 et Jm(z) ~zm/m!
• Notion d’espace de dimension 4
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Conséquence macroscopique : la calavérite
G0012
a*
c*
+q
-q
+2q
+3q
+4q
G2012
G2014
-
-
-
(201)-
(001)
q= -0,4095 a* + 0,4492 c*
• Calavérite : Au1-xAgxTe, minerai d’or• Facettes violent la loi d ’Haüy
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Cristaux composites
• Enchevêtrement de deux cristaux ayant des paramètres de maille
dans un rapport irrationnel.a
a’
• Modèle simple ER somme des 2 RR
a*
b*=b’*
q=ha*+h’a’*+k b*+l c*4 indices
b=b’
a’*
• Existe une intermodulation des deux réseaux...
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Structure du Ba
5.5 GPa 12.6 GPa
Phase ICubique centré
Phase IIHexagonal
Phase IVTétragonal inc.
45 GPa
Phase VHexagonal
Phase IV : Structure composite
Chaînes de Ba dans une matrice de Ba tétragonal I
0.341 nm
R.J. Nelmes, D.R Allan, M.I McMahon, et S.A. Belmonte, Phys. Rev. Lett., 83 (1999) 4081
Ch=0.4696 nm
(Centre terre 360=Gpa)
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Cristaux composites
R.J. Nelmes, D.R Allan, M.I McMahon, et S.A. Belmonte, Phys. Rev. Lett., 83 (1999) 4081
ch cg
a
b
• Réseau réciproque• De type I pour la matrice
• De type C pour les canaux
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Quasi-cristaux• Diffraction électronique d’un alliage d’Al-Mn
(D’après D. Shechtman et al. Phys. Rev. Lett. 53, 1951 (1984))• Quasicristaux découverts « par hasard » par Schechtman (1982)
qui étudiait des alliages d’Al par trempe ultra rapide.
• Alliages d’Al faiblement conducteurs (I, T) • Fragiles à 300 K, ductiles à HT
• Diamagnétiques• Propriétés tribologiques, anti-adhésives
• AlMn trempé (pas d’ordre à grande distance parfait)• 1986 : AlLiCu, se forme à l ’équilibre (ordre imparfait)• 1988 : Quasicristaux parfait, AlCuFe, AlPdMn, AlPdRe
• 2000 : Cd5,7Yb (Tsai, Nature)
Cristal dodécaédrique
d’AlCuFe
Photo : Annick Quivy© CNRS - CECM, Vitry-Thiais
Stables…Mais pourquoi ?
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Problème des macles...
Cliché rayons XMicrocristal décagonal
Al0.63Cu0.175Co0.17Si0.02
D’après P. Launois et al., 1991
Assemblage de microcristauxde symétrie 5
Microscopie et diffraction électronique
Ordre microscopique quasicristallin
Diffraction électronique (10 nm)
Rayons X (1-100 mm)
D’après M. Audier (1990)
72°
...résolu
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Pavages de Penrose
• Deux types de « tuiles »• Règles d’accord
Certains quasicristaux modélisés par un pavage de Penrose
alliage Al-Fe-Cu
36° 72°
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Principe de l’indexation des QC
• TF du pavage de Penrose
Indexé par 4 vecteursarithmétiquement indépendants
00
ii*i
n
1ii nn a
a1*
a4*
a3*
• 4 indices• Z-module de rang 4
• Comment indéxer un diagramme qui n’est pas périodique ?
a2*
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Indexation des QC
• Diagramme des QC icosaédriquesindéxés par 6 indices
• Positions Qhklh’k’l’, forment un Z-module de rang 6
XY
a5*a4*
a1*
a3*
a2*
a6*
Z
)1,,0(
),0,1(
)1,,0(
)0,1,(
)0,1,(
),0,1(
6
5
4
3
2
1
*
*
*
*
*
*
a
a
a
a
a
a
618.136cos22
51
t : nombre d’or
τl'l
τk'k
τh'h
l'k'hklh'Q
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Définition du cristalIUCr 1991
‘‘By ‘crystal’ we mean any solid
having an essentially discrete diffraction diagram, and by ‘aperiodic crystal’
we mean any crystal in which three-dimensional lattice periodicity
can be considered to be absent.’’
« Par cristal on désigne un solide
dont le diagramme de diffraction estessentiellement discret
et par cristal apériodiqueon désigne un cristal
dans lequel la périodicité tridimensionnellepeut être considérée absente »
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Cas particulier : Z-module
Considérons un « objet » dont la TF est
un Z-module de rang fini:
in
*i
n
1iii nncF )(()( aq)q
• {a*i}i=1..n vecteurs du Z-module de rang n ; {ni}i=1..n indices
• Réseau 3D : {ni}i=1..n=(hkl) indices de Miller; c{hkl}=1• Incommensurable {ni}i=1..n=(hklm); c{hklm}=Jm(Qhkl.u0)eimj
• Quasicristal icosaédrique {ni}i=1..n=(hklh’k’l’)
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Superespace
i
*i
n
1ii
n
ni
i
3i
enc
deFS
ra
rq
)
rqr
.
.
(
)()(
i
*i
n
1ii
n
xni
i encxS.
()( )À 1D
i
i
n
1ii
n
yni
in2 encyyyH )(),...,( 1
H fonction périodique d’un superespace de dimension n
H(…y1+2p…)= H(…y1…)
)(),...,( *2
*1 xSxxxH *
n
S(x) : coupe d’un objet périodique d’un superespacepar une « hyper droite » d’équation {yi=a*
ix}
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Exemples à 2D Coupe le réseau 2DPar un bande de pente
irrationnelleNombre d’or :
(1+√5)/2=1,618
+
Projection des points sur la droite
=
Pavages de Penrose :Coupe 2D de cristaux 4D
Suite de Fibonacci
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Exemples
Réseau 2D +coupe
Cristal 1D
Cristal composite
Incommensurable
Quasi-cristal
Quasi-cristal : coupe et projection
• Motif donne les « surface atomiques »
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Quasicristal
• Surface atomiques discontinues
Espace physiquePente : t suite de Fibonacci
Espace perpendiculaire
• Où sont les atomes• Affinement de la densité électronique dans le superespace
• Décorations de pavages de Penrose• Approximants
Pente rationelle :approximant
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Phason : déplacement dans l’espace perpendiculaire
• Translation d’un cristal• Glissement des deux cristaux composites l’un par rt à l’autre
• Glissement de la modulation incommensurable• Sauts atomiques dans les quasicristaux
Espace perp.
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Edagawa PRL 2000
Phasons dans les quasi-cristaux : sauts atomiques
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Ordre apériodique
Si on peut indexer le diagramme de diffraction d’un corps de dimension D
par un nombre fini N d’indices(Cas de tous les « cristaux » connus)
Ce corps est apériodique si N>D.On peut obtenir ce cristal, par une méthode de
« type »coupe et projection
Qu’y a-t-il au-delà du quasi-cristal ?
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…la presque-périodicité Si f est une fonction définie continue
sur Rn
T est une ε-pseudo-périodeSi Sup|f(x+T)-f(x)|<ε
F est presque-périodique ssiL’ensemble des ε-pseudo-périodes est
relativement dense (bien-réparti)
Toute fonction périodique est p.p.!sin(x)+sin(√2x)
T=76T=151
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Essentiellement discret
Grand théorème de Bohr (Harald) :
F(x) est presque périodique
F(x) est limite d’une série . xi
nn
nec
Le pavage « chaise »est limite-périodique
Z-module de rang infini
Pics en { }l n
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http://www.math.uni-bielefeld.de/baake/frettloe/gallery/06-spectr2.jpg
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Définitions
« Un ensemble infini de points de l'espace est géométriquement ordonné, s'il est engendré par un algorithme déterministe de complexité finie. » D. Gratias et al., Annu. Rev. Mat. Res. (2003)
« Par cristal on désigne un solidedont le diagramme de diffraction est
essentiellement discret »
Cristal IUCr 1991
Ordre géométrique
Ordre à grande distance
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Ordre à grande distance Ordre géométriqueTous les cristaux connus peuvent être construits à partir de règles simples
Ordre géométrique Ordre à grande distance• Certains pavages itératifs n’ont pas d’OGD (?)Exemples : le pavage pinwheel : « moulin », ou le pavage binaire
• Générateurs de nombres pseudo-aléatoires (Mersenne twister : période de 219937 − 1 )