les lois fondamentales de l'hydraulique (1)

Toumi Taieb, Ingénieur Spécialiste en Pipelines & Expert dans les risques pétroliersToumi Taieb, Ingénieur Spécialiste en Pipelines & Expert dans les risques pétroliers

RAPPELS DES LOIS FONDAMENTALES DE L’HYDRAULIQUE

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1) Rappel des principales grandeurs physiques des liquides

1.1) La masse volumique d’un corps est le rapport de sa masse au volume qu’il occupe : ρ=m/V

Dans le SI ce rapport sera exprimé en kg/m3 (aussi kg/l et le tonne/m3)


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La variation de la densité avec la température : d= d0/ (1+kt)d=densité à td0=densité à 0°Ck=coefficient de dilatation cubique du corps considéré

Req: la masse volume de l’eau étant ≈ 1kg/l , s’ensuit donc que la densité relative d’un corps et sa masse volumique s’expriment par le même nombre significatif dans des systèmes d’unité différente : d (sans dimension)= ρ(en kg/l) .

1.2) La densité d (nombre sans dimension) d’un corps est le rapport de la masse m de ce corps sur la masse m’ d’un même volume d’un corps de référence (l’eau à 4°C pour les liquides et les solides et l’air pour les gaz).

Exemples:Masse volumique d’un gasoil=0.840 kg/l, la masse volumique de l’eau à 4°C=1kg/l

La densité du gasoil :0.840 kg/1kg/l=0.840


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P=F/s

En système SI :F force en NS surface en m²P pression en Pascal,1 pascal= 1 Newton/1 m²L’unité pratique est le Bar; 1 Bar =105 Pascal

En hydrostatique on est souvent amené à déterminer l’intensité de la pressions sur la paroi d’une capacité (Réservoir ou pipeline)

1.3) la pression :

La pression est l’action de la résultante des forces appliquées sur une surface unitaire :


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Détermination de l’intensité de la pression en un point/

Nous avons P=F/sP= la pression à déterminer F= la force ou l’action du liquide sur la paroiS= surface d’application de cette force

Le liquide agissant sur la paroi par son poids, la force F sera égale au poids de la colonne de liquide ayant pour hauteur la distance Δz mesurée verticalement entre le point considéré d’application et pour section la surface d’application de la force.La pression P étant par définition l’intensité de la force par unité de surface . L’unité (s) de surface est la section de la colonne de liquide à prendre en considération. Volume de la colonne, V=s. Δz et son poids, P = ρg.s. Δz (ρ=masse volumique spécifique) La pression exercé, P =F/s= ρg.s. Δz /s = ρg. Δz


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P= ρg.H= 800x9.81x50=392 400 Pascal=3.924 Bar

Il est bien entendu que l’on doit ajouter à ces résultats la valeur de la pression qui règne à la surface du liquide s’il en existe une.

Application :

Déterminer la pression s’exerçant sur une vanne (fermée) d’un pipeline rempli à un niveau de 50 m au dessus de la vanne par un brut de masse spécifique égale à 800 kg/m3


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1.4) La viscosité :

La viscosité dynamique(μ) C’est l’effort opposée par le fluide à un mouvement . Elle résulte des frottement généré par le glissement des particules fluides les unes contre les autres.Par exemple : un liquide très visqueux tel que l’huile met beaucoup plus de temps pour remplir un réservoir de même volume que l’eau qui est très peu visqueux

La viscosité cinématique(γ)

En système SI la viscosité cinématique s’exprime en m2/s En système CGS l’unité de la viscosité cinématique est le stocke (st)1m2/s=104 st.

En SI, l’unité de viscosité dynamique est le poiseuille (PI) En système CGS l’unité est la Poise (Po),1 PI= 10Po


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Relation entre viscosité dynamique et viscosité cinématique. La viscosité cinématique (γ) est liée à la viscosité dynamique (μ) par la relation :

γ= μ/ ρ(masse volumique)

Quelques valeurs moyennes de viscosités à 20 °C:

Eau:1cstEssence: 0.6cstKérosène:2cstGas oil & Fod: de 3 à 6 cstBrut moyen: de 25 à 40 cst


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1.5) La compressibilité :

C’est la propriété qu’a un corps de diminuer de volume sous

l’effet de la pression.

Les gaz sont très compressibles et les liquides le sont très peu.

On définit cette propriété par un coefficient de compressibilité qui

donne la diminution relative de volume pour une augmentation de

pression de un bar.Quelques exemples de coefficients de compressibilité approximatifs à 15°C:

Eau:0.5x10-4

Gasoil:0.8-4

Essence: 1.1-4


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Applications:

1)Considérons un liquide de volume 1000 m3 ayant un coefficient de compressibilité de 1x10-4. Si la pression augmente de 10 bars , la diminution de volume vaut:

1000 m3x10barsx1x10-4=1m3

En première approximation on peut dire que pour les produits pétroliers ; une augmentation de pression de 1 bar se traduit par une diminution du volume de 0.1 pour mille

2) Essai sous pression: un troncon de 20 000 m3 de produit pétrolier à 50 bars . Quel volume doit être injecté pour porter la pression à 80 bars.En considérant la régle approximative ci-dessus: Le volume à injecter= 20 000 m3x(80 bars-50 bars)/10 000=60 m3


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1.6) La dilatationLes liquides augmentent de volume lorsque la température augmente (et inversement). Cette dilatation est caractérisée par u n coefficient de dilatation qui donne l’augmentation de volume pour une élévation de température de 1° C.Quelques exemples de coefficients de dilatations approximatifs :

Eau: 0.2x10-3

Gasoil:0.8x10-3

Essence: 1.2x10-3

Application:

Un volume de 1000 m3 de gas oil dont la température passe de 15 °C à 20°C augmente de: 1000 m3 x(20-15)x0.8/1000=4 m3

En première approximation pour les produits pétroliers ; une augmentation de la température de 1°C se traduit par une augmentation du volume de 1 pour mille


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2) Rappel des lois fondamentales de l’hydraulique

2.1) Définition d’un fluide : Un fluide est un milieu matériel, déformable, isotrope, dépourvu de rigidité qui peut s’écouler, c’est –à – dire subir de grandes déformations de forme d’autant plus lentes que l’action des forces est faible.

Fluide parfait= le fluide pour le quel les forces internes de viscosité sont très faibles et peuvent être négligées. Toute l’énergie qui lui est transmise est totalement et immédiatement transformée en mouvement.

Fluide réel= le glissement des filets d’un fluide auquel on applique une force s’accompagne d’un frottement freinant la déformation et correspondant à une force tangentielle de cisaillement d’autant plus importante que la viscosité du fluide est élevée.


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Dans un volume de liquide en équilibre (exemple un bac rempli d’essence ):

La pression est la même pour tous points du liquide situés sur une même horizontale ( c’est-à-dire à la même profondeur)

Toute pression exercée sur un liquide se transmet par lui intégralement et dans toutes les directions.

La pression augmente avec la profondeur : la différence des pressions en deux points est égale au poids de la colonne de liquide ayant pour section l'unité de surface et pour hauteur la différence de niveau des deux points : ΔP=Hxρg

2.2) Principe de Pascal :


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En pratique , ce la donne :ΔP(bar)=H(m) x ρ(kg/l) x 9,81/100

On peut remplacer la masse volumique par la densité et on

obtient:

ΔP ≈ H(mètres)xd/10, représentant la différence

de pression résultant de la différence de

hauteur Exemple : dans un bac rempli d’eau , la différence de pression entre un point situé à la surface du liquide et un point situé à 10 mètres de la surface sera de:ΔP=(10-0)x1X0,098=0,098≈1 bar

Ainsi on peut dire que pour l’eau la pression augmente environ de 1 bar tous les 10 mètres


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avec :G1 centre de gravité du volume du fluide déplacéG2 centre de gravité du corpsV volume du corps en m3

P poids du corps en N

2.3) Principe d’Archimède :

Lorsqu’un corps solide quelconque est plongé dans un liquide en équilibre, les pressions que le liquide exerce en tous les points de la surface externe du corps se traduisent par une poussée résultante verticale, dirigé de bas en haut et égale au poids du liquide déplacé.

Cette résultante ou poussée vertical est appliquée au centre de gravité du liquide déplacé.


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Exemple : le densimètre

Considérons un densimètre de laboratoire constitué d’un tube de verre lesté , de longueur de 50 cm, une section de 2 cm2 et un poids total y compris le lest de 0.5 Newton (≈50gf)

On le plonge dans l’eau (densité =1). Il va s’enfoncer jusqu’à ce que la force de poussée de l’eau égale le poids du densimètre.

La poussée est égale à : Section x Longueur immergé en m x poids volumique en N/m3= 2x10-4xLx1000x9.81 et doit valoir 0.5 NLa longueur d’enfoncement du densimètre L=0.5/(2x10-

4x1000x9.81) ≈0.25m


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Si on plonge le densimètre dans le gasoil de densité 0.850, il

s’enfoncera de : 0.5/(2x10-4x850x9.81)

≈0.30mEt dans l’essence de densité 0.750, il s’enfoncera de :

0.5/(2x10-4x750x9.81) ≈0.34m

Nous concluons que plus la densité est faible, plus le tube

s’enfonce davantage dans le liquide .

Ce qui permet de graduer le densimètre en indiquant:

•À la hauteur de 25 cm : densité=1

•A la hauteur de 30 cm: densité=0.850

•A la hauteur de 34 cm: densité=0.750


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2.4) L’écoulement des liquides:

La vitesse moyenne

C’est la distance moyenne parcourue par une particule de fluide par unité de temps .On parle de vitesse moyenne par ce qu’en réalité la vitesse v varie d’un filet à l’autre à cause d’une part de la viscosité du liquide et de l’action retardatrice des parois qui par leur rugosité s’opposent au mouvement.La vitesse est généralement exprimé en m/s .


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Il s’agit du volume de liquide qui traverse la section s pendant l’unité du temps.Le débit s’exprime en m3/s ou m3/H ou encore l/s.

Exemple: Dans un pipeline de diamètre 12’’, un liquide s’écoule à la vitesse de 2 m/s.Le diamètre interne est égal à 30.6 cm et la section interne de 0.075m2

Le débit du pipeline Q(m3/h)=3600x2x0.075=540 m3/h

Le débit Soit une section S dans un courant liquide dont l’aire très petite s est normale à tous les filets liquides, la vitesse dans cette section étant v, on appelle débit la quantité: Q=v.s


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2.5) Le Théorème de Bernoulli

Les énergies d’écoulement:Lors d’un écoulement constant dans une conduite , chaque unité de volume du fluide possède une certaine énergie qui se présente sous trois forme :

L’énergie cinétique due à la vitesse de l’écoulement = ρ V2/2ρ= masse volumiquev=vitesse d’écoulement

L’énergie piézométrique correspondant à la pression statique interne P

L'énergie potentielle due à l’altitude du fluide =zxρxgZ=hauteur ou altitude ρ=masse volumique


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Pour des raisons de commodité , on ramène ces énergies par

unité de volume à des hauteurs en divisant par ρxg:

Hauteur cinétique: V2/2g

Hauteur pizométrique :P/ ρxg=P/0.098xd= C’est le hauteur

du liquide qu’il faut placer au point considéré pour obtenir la

pression P

Hauteur (altitude):z La somme de ces trois hauteurs est appelée la charge H

Le théorème de Bernoulli dit que lors d’un écoulement

constant de liquides dans une conduite la charge H est

identique en tout point du liquide


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Ce qui revient à dire que la somme des pressions et des

énergies mécaniques par unité de volume est constante tout le

long du tube de courant, soit :

où :p est la pression en un point (en Pa ou N/m²) ρest la masse

volumique en un point (en kg/m³) v est la vitesse du fluide en un

point (en m/s) g est l'accélération de la pesanteur (en N/kg ou

m/s²) z est l'altitude (en m

FORMULE DE BERNOULLI:

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Exemples:

Soit un écoulement d’eau à 2m/s. Au point A d’altitude de 100 m et

de pression de 20 bars.

la hauteur cinétique: V2/2g=22/2x9.81=0.2 mla hauteur piézométrique : P/ ρxg=P/0.098xd= 20/0.098x1=204.1 m l’altitude : 100 m

La charge totale en A vaut donc: 204.1+100+0.2=304.3 m

On peut alors déduire la pression en n’importe quel autre point de

l’écoulement. Ainsi en un point B d’altitude 180 m, le calcul donne:

Charge Hb=Ha= 304.3m (d’après Bernouilli)L’altitude =Zb= 180 m

La hauteur cinétique: C’est le même qu’au point A puis que la vitesse est constante tout le long de l’ecoulement =0.2 m

D’où la hauteur piézométrique au point B=304.3-180-0.2=124.1 mCe qui équivaut à une pression de:124.1xdx0.098=12.2 bars

Au point A on a:

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Correction du théorème de Bernoulli

Le théorème de Bernoulli n’est valable que si le liquide à une viscosité nulle Dans les liquides naturels la viscosité n’est jamais nulle et le liquide est le siège de frottement entre les filets et au contact des parois, il est en outre animé de mouvements tourbillonnaires dus en grande partie à l’action des parois.Ces frottements provoquent une diminution de la pression , donc de la charge On dit que le liquide subit une Perte de charge que l’on appelle J

Le théorème de Bernoulli est ainsi corrigé en introduisant la perte de charge JAinsi dans le cas d’un écoulement de A vers B, l’égalité de charge devient:

HA=HB+JAB

HA=Charge en AHB= charge en BJAB= Perte des charges entre A et B

Ou: V2/2g+PA/ ρxg+zA= V2/2g+PB/ ρxg+zB + JAB


Le nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses.On le définit de la manière suivante :Re=uD/γ

u=Vitesse moyenne du liquide D=diamètre intérieur de la conduiteγ =viscosité cinématique

En unités pratiques on mesure :Q en m3/H, γ en centistoke et D en cmLe nombre de Reynolds se calcule dans ce cas comme suit: Re =35 367Q/ γD


•Aux faibles valeurs du Reynolds (inférieures à 2000): L'écoulement est dit laminaire:les filets liquides circulent parallèlement à l’axe du tube et la courbe de vitesse s’établit selon un paraboloïde dont le sommet est dans l’axe du tube.

•Aux fortes valeurs du Reynolds (au-delà d'environ 3000, voire plus haut), les forces d'inertie sont si importantes . les filets liquides s’enchevêtrent et forment des tourbillons, , c’est l’écoulement turbulent

On distingue trois principaux régimes:

Les régimes d’écoulement


En général, les pipelines fonctionnent en écoulement turbulent

Aux valeurs intermédiaires du Reynolds (entre 2000 et 3000 environ)correspond une situation intermédiaire entre régime laminaire et turbulent, on parle de régime transitoire.

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Donc , il s’agit d’un régime turbulent , il faudrait descendre au débit de 5 m3/h pour avoir un régime laminaire

Le nombre de Reynolds= 35367x300/3x30.8=115 000

Exemple: Pipeline de diamètre 12’’(30.8cm) transportant un produit de viscosité 3cst à un débit de 300 m3/h


3) La détermination des pertes des charges3.1) l’équation générale des pertes de charge

L’équation générale de la perte de charge par unité de longueur s’écrit: ΔP=λ.v2/D2g.

Cette équation montre que la perte des charges est proportionnelle au carré de la vitesse du fluide et inversement proportionnelle au diamètre de la conduiteLe coefficient λ est appelé coefficient de friction de la conduite , il dépend du nombre de Reynolds et des caractéristiques physiques de la conduite et particulièrement des parois

3.2) Perte des charges en écoulement laminaire

Est déterminé par la formule de Poiseuille: ΔP=32γv/gD2


3.3)La perte de charge en écoulement turbulent

λ =coefficient de friction de la conduite, dépend du nombre de Reynolds et des caractéristiques physiques de la conduite et notamment de la rugosité relative ε/D des parois selon la formule de Colbrook:

Est déterminée par la formule:ΔP=63700 λQ2/D5(1)

Q= Débit de pompage en m3/HD=diamètre intérieur du pipeline en cmΔP= perte de charge unitaire en kgp/cm2 et par km

2

9,0Re

74,5

*7,3log

25,0

D


Le calcul du coefficient de friction suppose la connaissance du coefficient de la rugosité relative ε/D. Le coefficient de friction peut être estimé en utilisant le diagramme de Moody.


pétroliers32


3.4)Les pertes de charge singulièresLes pertes de charges singulières ou locales correspondant aux accidents de parcours dans les réseaux hydrauliques occasionnés par la présence sur le pipeline de raccorderie et accessoires et matériel divers, tels que :Les variations de diamètreLes vannes : à passage réduit, régulatrice, vannes étrangléesLes bancs de comptageLes filtresLes séparateurs Tous ces éléments provoquent des frottements supplémentaires à cause de la perturbation apportée à l’écoulement .Il est necessaire donc , lors du calcul des pertes de charge dans une ligne de tenir compte de ces pertes singulières et de les rajouter aux pertes de la ligne.


pétroliers34

Ces pertes de charge peuvent être déterminées en utilisant la formule suivante:

Δps = perte de charge singulière en Pap = masse volumique du fluide en kg/m3V = vitesse d’écoulement en m/sK = coefficient dépendant de la nature de la résistance locale (module de perte de charge)


Des tableaux déjà établis permettent de connaître le coefficient K (module de charge) dans les deux catégories suivants .Celles qui sont à valeur constante quel que soit le diamètre du réseau utilisé, tel que les changements de section (réductions, entrées et sorties de canalisations) (tableau 1)

Celles qui varient en fonction du diamètre de réseaux, (tableau 2)En outre des abaques issus d’études expérimentales permettent de déterminer directement pour certains accessoires de pipe l’équivalence en mètres de la perte de charge singulière provoqué par l’accessoire en question ( voir abaque annexe)


Tableau 1: Coefficient K à valeur constant ( ne dépendant pas du diamètre)

Changement de direction K

Réduction concentrique-élargissement d1/d2=0.9 0.026





Réduction concentrique-rétrécissement d1/d2=0.90 0.008




Réduction concentrique-rétrécissement d2=0.50 0.16


Equipement complémentaire divers K

Comptage (consulter le fournisseur):Comptage à disque (k=3,4 à 10)Comptage rotatifComptage à pistonComptage à turbine (K=5 à 7.5)

101015


pétroliers38

Tableau 2: Coefficient K dépendant du diamètre du réseau Le facteur K dépend à la fois du diamètre du type d’équipement et du diamètre du réseau: K=ft.4.xft=coefficient dépendant du diamètre du réseau

Equipement x

Robinet à vanne 8

Robinet à soupape 340

Robinet à soupape angle 45° 55

Robinet à soupape angle 90° 150

Vanne papillon (2’’à8’’) 45

Vanne papillon (10’’à 14’’) 35

Vanne papillon (16’’à 48’’) 25


Robinetterie x

Robinet à boisseau sphérique à orifice non réduit 3

Robinet à boisseau sphérique à orifice réduit d1/d2=0.8 7



Clapet de non retour à soupape 600

Clapet de non retour à battant 50

Raccorderie x

Coude standard 90° 30

Coude standard 45° 16

Té en passage direct 20

Té sur la déviation 60


Coefficient ft

Diamètre nominal en pouce

ft

0.5 0.00675

0.75 0.00625

1 0.00575

1.25 0.0550

1.5 0.00525

2 0.00475

2.5 0.0045

3 0.0045

4 0.00425

5 0.004

Diamètre nominal en pouce

ft

6 0.00375

8 0.00350

10 0.00350

12 0.00325

14 0.00325

16 0.00325

18 0.00300

20 0.00300

24 0.00300

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