les nombres relatifs - univ-lille1
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OPÉRATIONS SUR
LES NOMBRES RELATIFS :
MULTIPLICATION ET DIVISION
LES NOMBRES RELATIFS
Dossier n°3
Juin 2005
Conçu et réalisé par :
Marie-Christine LIEFOOGHE
Bruno VANBAELINGHEM
Annie VANDERSTRAELE
Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 1
C.D.R.
AGRIMEDIA
LES NOMBRES RELATIFS :
- Multiplication - Division
Apprentissage
Objectif :
- Savoir effectuer des multiplications et des divisions sur des nombres relatifs
Contenu : - Savoir calculer le produit de deux nombres relatifs - Savoir calculer le produit de plusieurs nombres relatifs - Savoir diviser des nombres relatifs - Exercices de synthèse
Pré-requis : ( voir dossier n°1 )
- Les nombres relatifs
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 2
MULTIPLICATION DE NOMBRES RELATIFS
RAPPEL On appelle produit, le résultat d'une multiplication. 1er exemple : 6 est le produit de 2 et 3 car 2 x 3 = 6 2 et 3 sont appelés facteurs du produit
2ème exemple : 5 x 4 x 10 = 200 200 est le produit de 5, 4 et 10 5, 4 et 10 sont les facteurs du produit
I - PRODUIT DE DEUX NOMBRES RELATIFS
Multiplier deux nombres relatifs POSITIFS ne pose guère de problème... Ainsi, pour multiplier par exemple ( + 7,2 ) par ( + 11 ) il faut multiplier les valeurs absolues entre elles : 7,2 x 11 = 79,2
et donner le signe + au résultat car les 2 nombres sont positifs ;
d'où : ( + 7,2 ) x ( + 11 ) = ( + 79,2 )
La valeur absolue du produit de deux nombres relatifs est le produit des deux valeurs absolues.
Ainsi, la valeur absolue du produit de :
( + 4 ) et ( - 3,5 ) est 14 car 4 x 3,5 = 14 ( - 10 ) et ( - 5 ) est 50 car 10 x 5 = 50 ( - 8 ) et ( + 7 ) est 56 car 8 x 7 = 56
Mais quel signe devons-nous donner au résultat ?
Chapitre 1
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 3
Appliquons la règle des signes qui se résume par le tableau suivant :
Signe du 1er nombre relatif
Signe du 2ème
nombre relatif Signe du produit
Règle
+ + +
- - +
+ - -
- + -
Reprenons les exemples précédents :
• ( + 4 ) x ( - 3,5 ) = ?
Effectuons le produit des valeurs absolues :
4 x 3,5 = 14 d'après la règle des signes :
les nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc un nombre négatif
( + 4 ) x ( - 3,5 ) = - 14
• ( - 10 ) x ( - 5 ) = ?
Effectuons le produit des valeurs absolues :
10 x 5 = 50
d'après la règle des signes :
les nombres relatifs sont de même signe, le résultat est donc un nombre positif
( - 10 ) x ( - 5 ) = + 50
Le produit de deux nombres relatifs de même signe est
un nombre positif
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 4
• ( - 8 ) x ( + 7 ) = ?
le produit des valeurs absolues est :
8 x 7 = 56
d'après la règle des signes :
les nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc un nombre négatif
( - 8 ) x ( + 7 ) = - 56 On retiendra : Pour obtenir le résultat du produit de 2 nombres relatifs, on commence
par multiplier les 2 valeurs absolues, puis pour trouver le signe du résultat, on applique la règle suivante :
⌦ Le produit de 2 nombres relatifs de même signe est un nombre relatif positif
Exemples :
- 5 x - 2 = + 10
+ 5 x + 2 = + 10
⌦ Le produit de 2 nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif négatif Exemples :
- 5 x + 2 = - 10
+ 5 x - 2 = - 10
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 5
Maintenant à vous !
Calculez :
( - 3,1 ) x ( + 7,2 ) =
( - 7 ) x ( - 4,3 ) =
( + 1 ) x ( - 4,2 ) =
( + 4 ) x ( + 3,42 ) =
( - 7 ) x ( + 8,4 ) =
( - 1 ) x ( - 5,1 ) =
( - 5,2 ) x 0 =
( + 3,5 ) x ( - 2,9 ) =
( - 13 ) x ( - 12 ) =
Voir réponses page suivante
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 6
RÉPONSES
( - 3,1 ) x ( + 7,2 ) = - 22,32
( - 7 ) x ( - 4,3 ) = + 30,1
( + 1 ) x ( - 4,2 ) = - 4,2
( + 4 ) x ( + 3,42 ) = + 13,68
( - 7 ) x ( + 8,4 ) = - 58,8
( - 1 ) x ( - 5,1 ) = + 5,1
( - 5,2 ) x 0 = 0
( + 3,5 ) x ( - 2,9 ) = - 10,15
( - 13 ) x ( - 12 ) = + 156
Très bien !
Passons à la suite !!
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 7
II - PRODUIT DE PLUSIEURS NOMBRES RELATIFS
Exemples • ( - 5 ) x ( + 2 ) x ( - 4 ) = ?
Effectuons le produit des valeurs absolues : 5 x 2 x 4 = 40 puis indiquons le signe du résultat.
Nous avons vu précédemment la règle des signes à appliquer pour le produit de deux nombres relatifs :
( - 5 ) x ( + 2 ) x ( - 4 )
( - 5 ) x ( + 2 ) x ( - 4 ) = + 40
puis - x -
+ • ( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 ) = ?
Effectuons le produit des valeurs absolues : 2,5 x 3 x 5,3 x 8,1 = 321,975 puis indiquons le signe du résultat :
( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 )
puis : + x -
puis : - +
-
( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 ) = - 321,975
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 8
Remarque :
Autre méthode : pour connaître le signe d'un produit de plusieurs facteurs,
on peut compter le nombre de signes -
Si nous en trouvons un nombre pair ( 0 ; 2 ; 4... ) le produit est positif.
Si nous en trouvons un nombre impair ( 1 ; 3 ; 5... ) le produit est négatif.
Exemple 1 : ( - 2,6 ) x ( + 3,2 ) x ( - 6,8 ) = ?
Il y a deux signes -, le produit est donc positif.
Il ne reste plus qu'à calculer le produit des valeurs absolues.
( - 2,6 ) x ( + 3,2 ) x ( - 6,8 ) = + 56,576
Exemple 2 : ( - 3,7 ) x ( - 4,5 ) x ( - 7,8 ) = ?
Il y a trois signes -, le produit est donc négatif.
Il ne reste plus qu'à calculer le produit des valeurs absolues.
( - 3,7 ) x ( - 4,5 ) x ( - 7,8 ) = - 129,87
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 9
Maintenant à vous !
Exercice 1 Sans calculer les produits suivants, indiquez le signe de chacun d'eux après avoir compté
le nombre de signes -
PRODUITS Nombre de
signes -
Ce nombre est-il pair ou impair ?
Signe du
produit + ou -
Exemple : ( + 2,5 ) x ( - 5 ) x ( + 3,2 ) x ( - 12,6 ) 2 pair +
( - 3 ) x ( + 7,4 ) x ( + 4,3 ) x ( - 7 ) x ( + 4 ) x ( - 2,5 )
( + 7,8 ) x ( + 19 ) x ( - 7,3 ) x ( - 7,2 ) x ( - 5,3 ) x ( - 17,3 )
( + 5,2 ) x ( - 6,2 ) x ( + 72 ) x ( + 3,1 ) x ( - 32 ) x ( + 23 ) x ( + 5,1 )
( + 5 ) x ( + 2,4 ) x ( - 3,3 ) x ( - 53 ) x ( - 3 ) x ( - 12 ) x ( - 0,8 )
( + 3 ) x ( + 5 ) x ( + 7 ) x ( - 8 ) x ( + 10 ) x (+ 5 )
Exercice 2 Trouvez sans opération, le signe qui manque dans les égalités suivantes :
NB Dans l’exemple la bonne réponse est « - » car le produit est positif, il faut donc un nombre pair de signes « - ».
Voir réponses page suivante
ÉGALITÉS Entourez le signe manquant
Exemple : ( - 2,3 ) x ( ? 2,7 ) x ( + 56 ) = + 347,76 ? = + ou -
( + 32 ) x ( - 3 ) x ( - 10 ) x ( ? 2 ) = + 1 920 ? = + ou -
( + 125 ) x ( - 5 ) x ( ? 3,22 ) x ( + 4 ) = + 8 050 ? = + ou -
( - 8 ) x ( - 3,5 ) x ( + 0,7 ) x ( ? 1,7 ) x ( - 4 ) = - 133,28 ? = + ou -
( - 5,5 ) x ( - 2,1 ) x ( ? 0,12 ) x ( - 7 ) = + 9,702 ? = + ou -
( + 9,2 ) x ( - 1,2 ) x ( ? 8,6 ) x ( - 81 ) = - 7 690,46 ? = + ou -
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 10
RÉPONSES Exercice 1
PRODUITS Nombre de
signes -
Ce nombre est-il pair ou impair ?
Signe du
produit
+ ou -
( - 3 ) x ( + 7,4 ) x ( + 4,3 ) x ( - 7 ) x ( + 4 ) x ( - 2,5 ) 3 impair -
( + 7,8 ) x ( + 19 ) x ( - 7,3 ) x ( - 7,2 ) x ( - 5,3 ) x ( - 17,3 ) 4 pair +
( + 5,2 ) x ( - 6,2 ) x ( + 72 ) x ( + 3,1 ) x ( - 32 ) x ( + 23 ) x ( + 5,1 ) 2 pair +
( + 5 ) x ( + 2,4 ) x ( - 3,3 ) x ( - 53 ) x ( - 3 ) x ( - 12 ) x ( - 0,8 ) 5 impair -
( + 3 ) x ( + 5 ) x ( + 7 ) x ( - 8 ) x ( + 10 ) x (+ 5 ) 1 impair -
Exercice 2
ÉGALITÉS Entourez le signe manquant
( + 32 ) x ( - 3 ) x ( - 10 ) x ( ? 2 ) = + 1 920 ? = + ou -
( + 125 ) x ( - 5 ) x ( ? 3,22 ) x ( + 4 ) = + 8 050 ? = + ou -
( - 8 ) x ( - 3,5 ) x ( + 0,7 ) x ( ? 1,7 ) x ( - 4 ) = - 133,28 ? = + ou -
( - 5,5 ) x ( - 2,1 ) x ( ? 0,12 ) x ( - 7 ) = + 9,702 ? = + ou -
( + 9,2 ) x ( - 1,2 ) x ( ? 8,6 ) x ( - 81 ) = - 7 690,46 ? = + ou -
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 11
Maintenant à vous !
Calculez les produits suivants :
( - 3 ) x ( - 2 ) x ( + 10 ) =
( + 8 ) x ( - 5 ) x ( + 2,4 ) =
( + 3,1) x ( - 5,2 ) x ( - 10 ) =
( - 4 ) x ( - 2,1 ) x ( - 3,5 ) =
( + 2 ) x ( + 3,2 ) x ( - 4 ) =
( + 7 ) x ( - 5 ) x ( - 11 ) =
( - 7 ) x ( + 0,2 ) x 0 =
( - 7,2 ) x ( + 4,9 ) x ( - 3,2 ) =
( + 14,3 ) x ( - 15 ) x ( + 3 ) =
( + 3,5 ) x ( - 1,2 ) x ( + 5,2 ) =
( - 2,9 ) x ( + 5 ) x ( - 3,1 ) x ( + 5 ) =
( + 10,4 ) x ( + 3 ) x ( - 7 ) x ( - 3 ) =
( - 7,6 ) x ( - 4 ) x ( - 3 ) =
( + 2,25 ) x ( + 13 ) x ( + 7,5 ) x ( - 13 ) =
( + 4 ) x ( - 3 ) x ( - 11,5 ) x 0 x ( - 5,8 ) =
Voir réponses page suivante
Conseil : vous pouvez relire la page 8
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 12
RÉPONSES
( - 3 ) x ( - 2 ) x ( + 10 ) = + 60
( + 8 ) x ( - 5 ) x ( + 2,4 ) = - 96
( + 3,1 ) x ( - 5,2 ) x ( - 10 ) = + 161,2
( - 4 ) x ( - 2,1 ) x ( - 3,5 ) = - 29,4
( + 2 ) x ( + 3,2 ) x ( - 4 ) = - 25,6
( + 7 ) x ( - 5 ) x ( - 11 ) = + 385
( - 7 ) x ( + 0,2 ) x 0 = 0
( - 7,2 ) x ( + 4,9 ) x ( - 3,2 ) = + 112,896
( + 14,3 ) x ( - 15 ) x ( + 3 ) = - 643,5
( + 3,5 ) x ( - 1,2 ) x ( + 5,2 ) = - 21,84
( - 2,9 ) x ( + 5 ) x ( - 3,1 ) x ( + 5 ) = + 224,75
( + 10,4 ) x ( + 3 ) x ( - 7 ) x ( - 3 ) = + 655,2
( - 7,6 ) x ( - 4 ) x ( - 3 ) = - 91,2
( + 2,25 ) x ( + 13 ) x ( + 7,5 ) x ( - 13 ) = - 2 851,875
( + 4 ) x ( - 3 ) x ( - 11,5 ) x 0 x ( - 5,8 ) = 0
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 13
DIVISION DE NOMBRES RELATIFS
Maintenant, qu’en est-il de la division de deux nombres relatifs ?
DIVISION DE DEUX NOMBRES RELATIFS
- 5,4 Exemple : ( - 5,4 ) ÷ ( - 4 ) = ? on peut aussi écrire :
- 4 = ?
Pour diviser deux nombres relatifs, nous devons diviser les valeurs absolues.
5,4 ÷ 4 = 1,35
puis appliquer la même règle des signes que pour la multiplication.
Ici le résultat de la division est positif car les signes sont les mêmes.
- 5,4 ( - 5,4 ) ÷ ( - 4 ) = + 1,35 ou :
- 4 = + 1,35
- 14 Autre exemple :
+ 5 = ?
Divisons les valeurs absolues
14 ÷ 5 = 2,8
Appliquons la règle des signes :
les deux nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc négatif.
- 14
+ 5 = - 2,8
Chapitre 2
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 14
Maintenant à vous !
Calculez les quotients suivants : RAPPEL : le résultat d’une division s’appelle le QUOTIENT
( - 7 ) ÷ ( + 8 ) =
( + 14 ) ÷ ( - 3,5 ) = ( - 14 )
( - 5 ) =
( + 7 ) ÷ ( + 4 ) = ( + 13,188 )
( - 2,8 ) =
( - 31,6 )
( - 0,4 ) =
( + 1 472 ) ÷ ( - 0,4 ) =
( + 48,96 ) ÷ ( - 0,9 ) = ( - 3 )
( + 8 ) =
( - 75 )
( + 5 ) =
( + 36 )
( - 9 ) =
( + 1 ) ÷ ( + 0,5 ) =
Voir réponses page suivante
+-
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 15
RÉPONSES
( - 7 ) ÷ ( + 8 ) = - 0,875
( + 14 ) ÷ ( - 3,5 ) = - 4
( - 14 )
( - 5 ) = + 2,8
( + 7 ) ÷ ( + 4 ) = + 1,75
( + 13,188 )
( - 2,8 ) = - 4,71
( - 31,6 )
( - 0,4 ) = + 79
( + 1 472 ) ÷ ( - 0,4 ) = - 3 680
( + 48,96 ) ÷ ( - 0,9 ) = - 54,4
( - 3 )
( + 8 ) = - 0,375
( - 75 )
( + 5 ) = - 15
( + 36 )
( - 9 ) = - 4
( + 1 ) ÷ ( + 0,5 ) = + 2
+-
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 16
EXERCICES DE SYNTHÈSE
Calculez : a ) ( - 4,7 ) x ( + 12,8 ) x ( - 0,75 ) = ? b ) ( + 1,6 ) x ( - 3,2 ) ÷ ( - 2,5 ) = ?
( - 15,4 ) x ( - 2 ) c )
( + 0,8 ) x ( + 2,5 ) = ?
d ) ( + 7,5 ) x ( + 1,5 ) x ( - 5,2 ) ÷ ( + 9,36 ) = ? e ) ( - 3 ) x ( + 8 ) x ( - 2 ) x ( - 7 ) x ( + 1,05 ) = ?
( + 30,1 ) x ( + 1,5 ) f )
( - 5 ) x ( + 3,01 ) = ?
Voir réponses page suivante
Chapitre 3
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3 17
RÉPONSES a) ( - 4,7 ) x ( + 12,8 ) x ( - 0,75 ) = + 45,12 b) ( + 1,6 ) x ( - 3,2 ) ÷ ( - 2,5 ) = + 2,048
( - 15,4 ) x ( - 2 ) + 30,8 c)
( + 0,8 ) x ( + 2,5 ) =
+ 2 = + 15,4
d) ( + 7,5 ) x ( + 1,5 ) x ( - 5,2 ) ÷ ( + 9,36 ) = - 6,25 e) ( - 3 ) x ( + 8 ) x ( - 2 ) x ( - 7 ) x ( + 1,05 ) = - 352,8
( + 30,1 ) x ( + 1,5 ) + 45,15 f)
( - 5 ) x ( + 3,01 ) =
- 15,05 = - 3
Fin