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Introduction Signal monog´ enique Les ondelettes monog´ eniques emo avec Matlab Les ondelettes monog ´ eniques evin Polisano A partir d’articles de M. Unser, P. Carre, R. Soulard 25 janvier 2012 evin Polisano Les ondelettes monog´ eniques 25 janvier 2012 1/ 21

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Les ondelettes monogeniques

Kevin Polisano

A partir d’articles de M. Unser, P. Carre, R. Soulard

25 janvier 2012

Kevin Polisano Les ondelettes monogeniques25 janvier 2012 1 /

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

1 Introduction

2 Signal monogenique

3 Les ondelettes monogeniques

4 Demo avec Matlab

Kevin Polisano Les ondelettes monogeniques25 janvier 2012 2 /

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Contents

1 Introduction

2 Signal monogenique

3 Les ondelettes monogeniques

4 Demo avec Matlab

Kevin Polisano Les ondelettes monogeniques25 janvier 2012 3 /

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Signal analytique en 1DNotion d’amplitude, de phase et frequence instantanee

Expression d’un signal reel simple

s(t) = a(t)cos(φ(t)) avec φ(t) = ωt + θ0

Ex : transmission de la voix, courants et tension, etc.

Frequence instantanee

s(t) = a(t)e iφ(t), s(t) = ℜ[s(t)]

Frequence instantanee dφ

dt

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Signal analytique en 1DGeneralisation de la methode

Signal analytique associe au signal reel

cos(2πf0t) −→ e i2πf0t

cos(2πf0t) =12(e−i2πf0t + e i2πf0t)

s(t) −→???

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Signal analytique en 1DGeneralisation de la methode

Signal analytique associe au signal reel

s(t) −→sA(ω) =

{

2s(ω) si ω > 00 si ω < 0

= s(ω) + sgn(ω)s(ω)

TF−1(sgn(ω))(t) = 12π

Re iωtsgn(ω)dω

= 12π

∫ 0

−∞−e iωtdω + 1

∫ +∞

0e iωtdω

= 12π

[

− 1ite iωt

]0

−∞+ 1

[

1ite iωt

]+∞

0

= − 1iπt

= i 1πt

s(t) −→ sA(t) = s(t) + i(

s(t) ∗ 1πt

)

= s(t) + iTH[s](t)

Transformee de Hilbert : TH[s](t) = 1πv .p

R

s(t−τ)τ

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Signal analytique en 1DGeneralisation de la methode

Signal analytique associe au signal reel

sA(t) = s(t) + iTH[s](t) = a(t)e iϕ(t)

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Contents

1 Introduction

2 Signal monogenique

3 Les ondelettes monogeniques

4 Demo avec Matlab

Kevin Polisano Les ondelettes monogeniques25 janvier 2012 8 /

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Signal analytique en 2DTransformee de Riesz

Signal analytique associe a un signal 2D

En 1D : sA(t) = s(t) + iTH[s](t)

En 2D : sM(x) = s(x) + iTR1(x) + jTR2(x)

Transformee Riesz vs. Hilbert

TH[s](t) = 1πv .p

R

s(t−τ)τ

dτTF←→ −i ω

|ω|s(ω)

TR1[s](x) =12πv .p

R

τ1s(t−τ)‖τ‖3

dτTF←→ −i ω1

|ω|s(ω)

TR2[s](x) =12πv .p

R

τ2s(t−τ)‖τ‖3

dτTF←→ −i ω2

|ω|s(ω)

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Signal analytique en 2DTransformee de Riesz

Propriete de l’operateur de Riesz

TR[s](x) = TR1[s](x) + iTR2[s](x)TF←→ −i ω1+iω2

‖ω‖s(ω)

TR[s(a ·+b)](x) = TR[s(·)](ax + b) (invariance partranslation et changement d’echelle)

TR[s(Rθ·)](x) = e iθTR[s(·)](Rθx) (invariance parrotation a un facteur pres)

s(x) = A cos(ξTx) avec ξT = ξ[cos(α) sin(α)],TR[s](x) = A| sin(ξTx)|, arg{TR[s]} = α

TR[s] = ∇C(−∆)−12 s avec ∆α TF

←→ ‖ω‖2α

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Signal analytique en 2DSignal monogenique

Definition de l’orientation θ et la phase ϕ

sA(t) =

[

s(t)TH[s](t)

]

= a(t)e iϕ(t) = a(t)

[

cos(ϕ(t))sin(ϕ(t))

]

sM =

s

TR1[s]TR2[s]

=

cos(ϕ)sin(ϕ) cos(θ)sin(ϕ) sin(θ)

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

ExemplesSignal monogenique

Signal f

x

y

Orientation theta

x

y

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

ExemplesSignal monogenique

Signal f

x

y

Phase

x

y

Kevin Polisano Les ondelettes monogeniques25 janvier 2012 13 /

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

ExemplesSignal monogenique

Signal f

x

y

Amplitude

x

y

Kevin Polisano Les ondelettes monogeniques25 janvier 2012 14 /

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

ExemplesSignal monogenique

Signal f

x

y

Horizontal frequency |kx|

x

y

Kevin Polisano Les ondelettes monogeniques25 janvier 2012 15 /

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

ExemplesSignal monogenique

Signal f

x

y

Vertical frequency |ky|

x

y

Kevin Polisano Les ondelettes monogeniques25 janvier 2012 16 /

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Contents

1 Introduction

2 Signal monogenique

3 Les ondelettes monogeniques

4 Demo avec Matlab

Kevin Polisano Les ondelettes monogeniques25 janvier 2012 17 /

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Transformee en ondelettes monogeniques (MWT)Construction d’une ondelette monogenique

Decomposition classique en ondelettes

ψ ∈ L2(R2) une ondelette admissible

Cψ = (2π)2∫

R2

|ψ(ξ)||ξ|2

dξ < +∞

Famille d’ondelettes ψa,α,b = TbRαDaψ

cf (a, α, b) =∫

R2 f (x)ψa,α,b(x)dx

Construction d’une ondelette monogenique

ψ ∈ L2(R2) une ondelette admissible,ψ(M) = (ψ,TR1[ψ],TR2[ψ]), reste admissible

Coefficients en ondelettes monogeniques de f ∈ L2(R2)

sont les vecteurs : c(M)f

(a, α, b) =∫

R2 f (x)ψ(M)a,α,b(x)dx

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Transformee en ondelettes monogeniques (MWT)Exemple

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Contents

1 Introduction

2 Signal monogenique

3 Les ondelettes monogeniques

4 Demo avec Matlab

Kevin Polisano Les ondelettes monogeniques25 janvier 2012 20 /

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IntroductionSignal monogenique

Les ondelettes monogeniquesDemo avec Matlab

Questions ?

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