LES éTUDESD’INGéNIEUR CIVIL

PROGRAMMEDE L’EXAMEN SPéCIAL D’ADMISSION

2013 - 2014

LES FACULTéS DES SCIENCES APPLIQUéES

En Communauté française, le titre professionnel universitaire d’ingénieur civil est conféré conjointement au grade académique de master en sciences de l’ingénieur (master ingénieur civil). Les études qui y conduisent sont organisées à :

BRUXELLES, par la Faculté des Sciences Appliquées de l’ULB ;

LIEGE, par la Faculté des Sciences Appliquées de l’ULg ;

LOUVAIN-LA-NEUVE, par l’Ecole Polytechnique de Louvain de l’UCL ;

MONS, par la Faculté Polytechnique de Mons de l’UMONS

LES éTUDES

La formation d’ingénieur civil comporte cinq années d’études : trois années de bachelier et deux années de master.

Les trois années de bachelier constituent le premier cycle, les deux années de master le deuxième cycle.

La réussite des études de base de premier cycle confère le grade académique de bachelier en sciences de l’ingénieur, orientation ingénieur civil ou ingénieur civil architecte. La réussite des études de base de deuxième cycle confère le grade académique de master ingénieur civil.

Les grades académiques de deuxième cycle délivrés par les institutions universitaires de la Communauté française de Belgique sont les suivants :

Master ingénieur civil des mines et géologue

Master ingénieur civil en chimie et science des matériaux

Master ingénieur civil physicien

Master ingénieur civil électricien

Master ingénieur civil électromécanicien

Master ingénieur civil en aérospatiale

Master ingénieur civil mécanicien

Master ingénieur civil biomédical

Master ingénieur civil en informatique

Master ingénieur civil en informatique et gestion

Master ingénieur civil en mathématiques appliquées

Master ingénieur civil des constructions

Master ingénieur civil architecte3

L’EXAMEN SPECIAL D’ADMISSION

Pour s’inscrire aux études de premier cycle du domaine des sciences de l’ingénieur, il faut réussir un examen spécial d’admission. C’est une obligation légale en application de l’article 50 du décret du 31 mars 2004 « définissant l’enseignement supérieur, favorisant son intégration à l’espace européen de l’enseignement supérieur et refinançant les universités ».

Le programme de l’examen est commun à toutes les Facultés des Sciences Appliquées de la Commu-nauté française de Belgique. Sa réussite donne accès aux études dans chacune d’entre elles.

Outre son aspect réglementaire, l’examen d’admission permet également aux candidats de se tester. Il s’agit d’un examen universitaire, et pour beaucoup d’étudiants, c’est leur première expérience per-sonnelle de contact avec l’université.

Pour la plupart des candidats, l’examen d’admission porte sur les mathématiques exclusivement et se conforme au programme complet suivi par les sections qui choisissent l’option 6 heures de mathéma-tiques/semaine au troisième degré de l’enseignement secondaire.

Pourquoi des mathématiques ? La précision, la rigueur, l’abstraction, sont des caractéristiques des mathématiques où toute ambiguïté est bannie. Non seulement les mathématiques permettent de bien décrire les choses, mais en plus elles mettent à notre disposition des outils formels qui permettent de travailler sur les descriptions produites. Elles sont un des ingrédients du mode de pensée des ingé-nieurs – même lorsqu’il s’agit de matières très éloignées des sciences exactes.

L’examen d’admission est un examen et non un concours : la sélection se fait uniquement sur base des qualités personnelles des candidats. Il n’y a aucune limitation au nombre d’étudiants admis. Les taux de réussite l’attestent : 70% des candidats qui présentent et terminent l’examen, obtiennent l’attestation de réussite à l’examen spécial d’admission. Pour réussir, il ne faut pas être un génie mais, comme pour tout examen universitaire, il faut une préparation sérieuse et complète.

Le niveau de difficulté des questions posées et les taux de réussite moyens sur plusieurs années indi-quent une très grande homogénéité entre les épreuves préparées par les quatre Facultés de Sciences Appliquées. Des exemples de questions posées sont disponibles plus loin. D’autres questions-types peuvent être obtenues auprès des secrétariats des différentes facultés.

Les jurys des quatre Facultés considèrent comme essentiel de donner sa chance à tout candidat qu’ils croient être en mesure de réussir les études d’ingénieur civil. On observe par la suite que, grâce à cet examen, les taux de réussite au cours des études universitaires en Faculté des Sciences appliquées sont significativement plus élevés que dans la plupart des autres filières.

Réussir l’examen d’admission est un pronostic positif pour l’avenir  : on constate que les étudiants admis, mais qui pour différentes raisons s’orientent ou se réorientent vers d’autres études, obtiennent dans leur grande majorité et un délai raisonnable, un diplôme d’études supérieures universitaires ou non universitaires.

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LES MATIèRES DE L’EXAMEN SPECIAL D’ADMISSION

L’examen vise à évaluer les aptitudes générales à entreprendre des études supérieures et les compé-tences spécifiques pour les études du domaine. Elle porte sur les matières suivantes :1° le français;2° les mathématiques;3° les sciences : physique, chimie, biologie, géographie;4° l’histoire;5° une deuxième langue : néerlandais, anglais, allemand ou latin, au choix de l’étudiant.

Les étudiants satisfaisant aux conditions générales d’accès aux études de premier cycle visées à l’article 49 du 31 mars 2004 sont dispensés des matières autres que les mathématiques mentionnées à l’alinéa précédent. Seuls les étudiants qui ne possèdent pas un des certificats ou diplômes (*) mentionnés plus loin dans cette brochure doivent présenter l’examen complet.

L’examen spécial d’admission comprend, pour tous les étudiants, une ou plusieurs épreuves sur les matières mathématiques suivantes :1. l’analyse2. l’algèbre3. la trigonométrie et le calcul numérique4. la géométrie5. la géométrie analytique

Nul ne peut être admis aux épreuves d’une année d’études de premier cycle s’il n’a fait la preuve d’une maîtrise suffisante de la langue française.

(*) diplômes ou certificats prévus par l’article 49 du décret du 31 mars 2004

soit le certificat d’enseignement secondaire supérieur délivré à partir de l’année scolaire 1993-1994 par un établissement d’enseignement secondaire de plein exercice ou de promotion sociale de la Commu-nauté française et homologué par la commission constituée à cet effet, ainsi que les titulaires du même certificat délivré, à partir de l’année civile 1994, par le jury de la Communauté française;

soit le certificat d’enseignement secondaire supérieur délivré au plus tard à l’issue de l’année scolaire 1992-1993 accompagné, pour l’accès aux études premier cycle d’un cursus de type long, du diplôme d’aptitude à accéder à l’enseignement supérieur;

soit un diplôme délivré par un établissement d’enseignement supérieur de la Communauté française sanctionnant un grade académique, soit d’un diplôme délivré par une institution universitaire ou un éta-blissement organisant l’enseignement supérieur de plein exercice en vertu d’une législation antérieure;

soit un titre d’enseignement supérieur délivré par un établissement d’enseignement de promotion sociale;

soit une attestation de succès à un des examens d’admission organisés par les établissements d’ensei-gnement supérieur ou par un jury de la Communauté française et dont les programmes sont arrêtés par le Gouvernement après consultation selon le secteur, du CIUF ou du CGHE; cette attestation donne accès aux études des secteurs ou des domaines qu’elle indique;

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soit un diplôme, titre ou certificat d’études similaire à ceux mentionnés aux literas précédents délivré par la Communauté flamande, par la Communauté germanophone ou par l’Ecole royale militaire;

soit d’un diplôme, titre ou certificat d’études étranger reconnu équivalent à ceux mentionnés aux literas pré-cédents en application de la loi, d’un décret, d’une directive européenne ou d’une convention internationale.

LES SESSIONS DE L’EXAMEN D’ADMISSION

Chaque faculté organise deux sessions d’examen d’admission.Les examens portant sur les matières mathématiques ont lieu, pour la première session, durant la première quinzaine de juillet, la proclamation des résultats a lieu avant le 15 juillet.

Pour la seconde session, ces mêmes examens se situent durant la première quinzaine de septembre, la proclamation a lieu avant le 15 septembre.

En principe les examens portant sur les autres matières se déroulent également durant ces périodes.

Toutefois, il est possible que certaines facultés soient amenées à placer des examens portant sur les matières non mathématiques à d’autres dates. Les étudiants qui doivent présenter l’épreuve complète sont donc priés de prendre contact avec le secrétariat des facultés pour obtenir l’horaire des examens.

A réussi, l’étudiant qui obtient une note supérieure ou égale à10/20 dans chacune des matières et une moyenne de 12/20 sur l’ensemble des épreuves. En cas d’échec en 1ère session, l’étudiant peut être dispensé en 2ème session des épreuves pour lesquelles il a obtenu une note au moins égale à 12/20. Les notes correspondantes font alors l’objet d’un report.

Ce report ne peut cependant être obtenu que si les deux sessions sont présentées au sein d’une même faculté. Il est également strictement limité aux deux sessions de la même année académique.

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DéTAIL DES MATIèRES MATHéMATIQUES

1) Analyse

Rappel des propriétés de ℝ.

Généralités sur les fonctions :

domaine de définition ; opérations sur les fonctions : addition, soustraction, multiplication, composition ; fonctions réciproques ; maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle ; parité ; périodicité ; comparaison des graphiques de fonctions : f(x), f(x)+a, f(x+a), k f(x), f(kx) ; fonctions exponentielles et logarithmiques.

Continuité d’une fonction en un point, sur un intervalle.Continuité à gauche, à droite.

Limite des valeurs d’une fonction.Asymptotes.Lien entre limite et continuité.Calcul de limites y compris dans les cas classiques d’indétermination.Nombre dérivé et fonction dérivée :

définitions ; propriétés des fonctions dérivables sur un intervalle ; calcul de la dérivée :

- de fonctions usuelles ;

- d’une somme, d’un produit, d’un quotient de fonctions dérivables ;

- de la composée de deux fonctions ;

- d’une fonction réciproque d’une autre.

Théorèmes classiques et applications :

théorèmes de Rolle et des accroissements finis ; liaison entre le signe de la dérivée première et la croissance d’une fonction dérivable, application à la recherche d’extrema ; liaison entre la concavité du graphique d’une fonction et le signe de la dérivée seconde, application à la construction du graphique d’une fonction.

Primitive et intégrale d’une fonction continue, intégration par parties, par substitution.Applications de l’intégrale au calcul des aires planes et des volumes de solides de révolution.

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2) Algèbre

Calcul dans le corps ℝ des nombres réels : opérations fondamentales, valeur absolue, puissances ration-nelles des nombres réels positifs, radicaux.

Le corps ℂ des nombres complexes : définition, opérations fondamentales, représentation géométrique, forme trigonométrique, formule de Moivre, racines nièmes.

Emploi et applications des polynômes à coefficients réels ou complexes, à une ou plusieurs variables :

identités remarquables ;

zéros d’un polynôme dans ℝ et dans ℂ ;

divisibilité des polynômes ; division polynomiale avec reste ;

division d’un polynôme en x par x-a, loi du quotient et du reste ;

quotients remarquables

factorisation des polynômes.

Opérations sur les fractions rationnelles.

Premier degré : propriétés de la fonction ax+b ;

compatibilité, résolution de systèmes d’équations et discussion de systèmes n x n à 1 paramètre (n ≤ 3) ;

matrices réelles m x n (où m et n n’excèdent pas 3) ; opérations fondamentales : transposée, opposée, multiplication par un nombre réel, somme et produit de deux matrices, inversion de matrices carrées ;

déterminants d’ordre 2 et 3 : propriétés et application à la résolution des systèmes linéaires ;

inéquations et systèmes d’inéquations à une inconnue ;

problème du premier degré avec discussion ;

Analyse combinatoire sans répétition.

Binôme de Newton.

Progressions arithmétiques et géométriques : définitions et propriétés.

Notions probabilistes de base et statistique descriptive élémentaires :

probabilité d’un événement ;

événements compatibles, incompatibles, dépendants, indépendants, contraires ;

paramètres de position : modes, médiane, moyenne ;

paramètres de dispersion : étendue, variance, écart-type.

Deuxième degré : équation à une inconnue à coefficients réels ou complexes ;

résolution propriétés des racines ;

résolution d’équations réductibles au deuxième degré, bicarrées, irrationnelles ;

discussion de l’équation à coefficients réels ;

propriétés de la fonction ax2 + bx + c ;

résolution et discussion des inéquations à coefficients réels ;

problèmes du deuxième degré avec discussion.

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3) Trigonométrie et calcul numérique

Connaissance des valeurs particulières classiques des fonctions trigonométriques et cyclométriques.

Connaissance et applications des formules donnant :

sin (-a), cos (-a), tg (-a) ;

sin (π±a), cos (π±a), tg (π±a) ;

sin (π/2±a), cos (π/2±a), tg (π/2±a) ;

sin (a±b), cos (a±b), tg (a±b),

sin p ± sin q, cos p ± cos q ;

sin 2a, cos 2a, tg 2a , 1 ± cos 2a ;

sin a, cos a, tg a en fonction de tg a/2.

Résolution d’équations du type a cos x + b sin x = c.

Résolution d’équations trigonométriques et représentation de l’ensemble des solutions sur le cercle trigonométrique.

Résolution d’inéquations trigonométriques simples et représentation graphique de l’ensemble des solutions.

Relations entre les angles et les côtés d’un triangle rectangle et d’un triangle quelconque (règles des sinus et des cosinus).

Résolution de triangles.

Calcul d’une expression numérique comportant les fonctions usuelles (fonctions trigonométriques et cyclométriques, fonction exponentielle, fonction logarithme, puissance et racines).

Applications.

( N.B.  : La résolution des questions ne requiert que l’utilisation des formules trigonométriques ci-dessus. Toute autre formule trigonométrique utilisée doit être démontrée. )

4) Géométrie synthétique plane et dans l’espace

Longueur d’un segment, alignement, amplitude d’un angle, mesures des longueurs.

Angles adjacents, somme d’angles, angles complémentaires et supplémentaires.

Triangles; quadrilatères (carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, quelconque); cercles; périmètre, aire et propriétés de ces figures.

Symétries, translations, rotations et homothéties : propriétés et constructions.

Recherche de points fixes et d’invariants.

Propriétés des triangles.

Médiatrices, hauteurs, bissectrices, médianes.

Théorème de Pythagore - Caractérisation d’un triangle rectangle.

Caractérisation d’un triangle rectangle par son inscriptibilité dans un demi-cercle.

Cercles inscrit et circonscrit.

Figures isométriques ; isométrie des triangles.

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Figures semblables ; similitude des triangles.

Angles opposés par le sommet, angles alternes-internes : propriétés.

Somme des angles d’un triangle et propriétés relatives aux angles des polygones convexes.

Angles au centre, angles inscrits.

Angles à côtés parallèles, angles à côtés perpendiculaires.

Théorème de Thalès dans le plan et dans l’espace et sa réciproque.

Théorèmes de la hauteur - Orthocentre - Centre de gravité (barycentre).

Vecteur et calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace, propriétés.

Produit scalaire dans le plan et dans l’espace et propriétés.

Lieux géométriques : médiatrice, bissectrice, cercle, parabole, ellipse et hyperbole.

Positions relatives de deux droites, d’une droite et d’un plan, de deux plans.

Parallélisme dans le plan et dans l’espace.

Problèmes de constructions dans l’espace :

Point de percée d’une droite dans un plan.

Section plane d’un cube, d’un tétraèdre ou d’un parallélépipède rectangle.

Orthogonalité ; perpendiculaire commune à deux droites gauches et plan médiateur.

Homothéties dans le plan et dans l’espace.

Aires et volumes de : cube, parallélépipède rectangle sphère, cône, cylindre, prisme, pyramide, troncs de cône et de pyramide.

Représentation à main levée de ces volumes.

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5) Géométrie analytique plane et dans l’espace

Géométrie analytique plane :

Equations vectorielle(s), paramétrique(s), cartésienne(s) d’une droite.

Equation cartésienne du cercle.

Distance entre deux points, cercle.

Distance d’un point à une droite.

Résolution de problèmes d’intersections.

Conditions d’orthogonalité, parallélisme, angle de deux droites.

Coniques : définitions géométriques et équations cartésiennes dans un repère orthonormé dont un des axes est parallèle à un axe de symétrie de la conique.

Applications :

Intersection d’une droite et d’une conique;

Tangentes à une conique;

Réduction par translation;

Equations en coordonnées polaires d’une conique.

Problèmes de lieux.

Géométrie analytique dans l’espace :

Equations vectorielle(s), paramétrique(s), cartésienne(s) d’un plan, d’une droite.Equation cartésienne de la sphère.Distance entre deux points.Distance d’un point à une droite.Distance d’un point à un plan.Résolution de problèmes d’intersections.Conditions d’orthogonalité et de parallélisme.

Problèmes de lieux.

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DéTAIL DES MATIèRES NON MATHéMATIQUES

Le programme détaillé de toutes ces matières est disponible dans les secrétariats des Facultés.

6) FrançaisL’examen comporte une épreuve écrite au cours de laquelle il est demandé de résumer, en texte continu, et de commenter un exposé d’environ un quart d’heure ou un texte de 2 à 3 pages, ainsi qu’une épreuve orale centrée sur le sujet de l’écrit.

7) Langue L’examen comporte la traduction d’un texte traitant d’un sujet non spécialisé (article de journal

ou extrait d’un roman pour les langues vivantes ; texte classique en prose pour le latin). Il comporte ensuite une rédaction ou une conversation dans la langue vivante choisie par le candidat. Pour le latin, l’examen complémentaire porte sur les structures grammaticales du texte traduit

et sur son vocabulaire.

8) Histoire Les principaux faits de l’histoire générale contemporaine (de 1789 à nos jours) et de l’histoire

de Belgique (des origines à nos jours).

9) Géographie La géographie générale et en particulier celle de l’Europe. La géographie physique : la terre dans le système solaire, la surface terrestre, la climatologie. Notions de géographie de la population, de géographie urbaine et de géographie rurale.

10) Physique L’épreuve porte sur les matières suivantes : la mécanique, les fluides, la thermodynamique,

l’optique, l’électricité et les phénomènes périodiques.

11) Chimie L’épreuve porte sur les matières suivantes : états de la matière et composition des mélanges,

structure de la matière, la réaction chimique et les équilibres chimiques.

12) Biologie L’épreuve porte sur les matières suivantes : l’être vivant, la cellule, la reproduction sexuée, le

développement embryonnaire, l’écologie et l’évolution.

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EXEMPLES DE QUESTIONS EN MATHéMATIQUES

1) Analyse

1. Soient la fonction ƒ de ℝ0 dans ℝ0 définie par :

ƒ(x) = (2x+1)e -2x et C la courbe d’équation y = ƒ(x) (C est le graphe de ƒ).

a) Calculer ƒ’(x) et ƒ’’(x).

b) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à C au point d’abscisse 0 des asymptotes (éventuelles) de C

c) Etablir le tableau des variations de ƒ, ƒ’ et ƒ’’ contenant :

- les racines de ƒ, ƒ’ et ƒ’’ (pour les valeurs approchées des racines non entières utiliser une décimale).

- Les signes de ƒ’(x) et de ƒ’’(x) - Les extréma de ƒ, les domaines de croissance et de décroissance de ƒ.

- Les points d’inflexion de ƒ et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de ƒ.

d) Tracer soigneusement le courbe C d’après le résultat du c).

e) Sans nouveau calcul, tracer le graphe de la fonction g (de ℝ dans ℝ) définie par : g(x) = ƒ a (|x|)

f) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel a le nombre de solutions de l’équation ƒ(x) = a

2. Etudier la fonction :

en discutant, s’il y a lieu, selon la valeur du paramètre a ℝ. En particulier, déterminer :

a. le domaine de définition de ƒ,

b. le domaine de continuité de ƒ,

c. les asymptotes éventuelles,

d. croissance / décroissance / extrema,

e. concavité / points d’inflexion.

Esquisser le graphe de ƒ.

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ƒ(x) = (x+a)2

x+2a

3. Calculez la limite suivante :

€

limx →0

€

1+ x −1

€

1+ x3 −1 .

4. a) Calculer

€

1− x 2 dx∫

b) En déduire

€

x 2

1− x 2dx∫

c) Soit

€

f (x) =u2

1− u20

x∫ du

Calculer

€

f '(12

) .

5. Calculer l’intégrale (indéfinie) : I(λ) = ∫ dxx2 + 2x + λ ( λ constante réelle)

Discuter les différents cas d’après les valeurs de λ.

6. a) Calculez le volume obtenu en faisant tourner autour de l’axe des x la surface déterminée par y2 ≤ x exp(-x2) et 0 ≤ x ≤ a

b) Déterminez a pour que ce volume soit égal à π /4.

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2) Algèbre

1. La somme des trois chiffres d’un nombre naturel est 17. En ajoutant le chiffre des dizaines au double du chiffre des centaines on obtient 22.La différence entre le nombre et celui obtenu en inversant l’ordre des chiffres est 495.Quels sont les nombres possibles qui vérifient ces propriétés ?

2. Trois grues effectuent le déchargement d’un navire, chacune avec sa vitesse de transbordement propre. Cette vitesse représente le volume de marchandise déchargée par unité de temps.

Pour vider complètement le navire, il faut 6 jours si elles travaillent toutes les trois ensemble de façon ininterrompue. Par contre, si seulement la première et la deuxième fonctionnent, il faudra 12 jours. Enfin, si l’on fait travailler d’abord la première seule pendant 10 jours, le déchargement peut ensuite être terminé en 2 jours par la première et la troisième travaillant ensemble.

On demande le nombre de jours nécessaires à chaque grue pour effectuer le déchargement toute seule. Mettez d’abord le problème en équation, ensuite résolvez-le. Expliquez votre raisonnement.

3. Discuter le système

ax + (1-a)y + (1-a)z = a2

ax + (1+a)y + (1+a)z = a - a2

x + y + z = 1 - a

où a est un paramètre réel.

4. Résoudre dans IR l’équation :

€

4 x − 3x +

12 = 3

x−12 − 22x

5. Résoudre dans les complexes l’équation :

€

iz2 − (1+ i)z = 2(i −1)

6. Résoudre dans les réels l’inéquation :

€

6x −113x − 2

≤1x

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3) Trigonométrie et calcul numérique

1. Résoudre l’équation :

€

1+ sin x + sin2x + sin3x = cos x − cos2x + cos3xet représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

2. Sachant que sinx-cosx=0,2

3. Calculer sin2x

4. Soient a, b deux nombres réels strictement positifs tels que ab < 1, démontrer que :

a) Arctg a + Arctg

€

1a

=p2

b) Arctg a + Arctg b <

€

p2

c) Arctg a + Arctg b = Arctg

€

a + b1− ab

5. Si I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC et si α, β, γ désignent les angles BIC, CIA, AIB démontrer que : 4sin α sin β sin γ = sin A sin B sin C

6. Connaissant les distances suivantes :

Bruxelles - Lisbonne 1713 km

Athènes - Bruxelles 2089 km

Berlin - Lisbonne 2310 km

Athènes - Berlin 1801 km

Bruxelles - Rome 1182 km

Lisbonne - Rome 1873 km

Athènes - Rome 1040 km

Calculer la distance Berlin – Bruxelles, en supposant une Terre plane.

Suggestion : utiliser uniquement les formules de calcul d’angles ou de côtés dans des triangles,

après avoir représenté graphiquement la situation géographique des villes.

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4) Géométrie et géométrie analytique

1. On donne un triangle ABC. Le milieu de [B, C] est M et G’ est le symétrique par rapport à M du centre de gravité G du triangle. On note D l’intersection de AB avec CG’, E celle de DG avec BG’ et F celle de AE avec CD. Montrer que :

a. les droites AC, BG’ et la parallèle à BC menée par D sont concourantes ;

b.

€

DF = FG' = G'C.

2. Par un point A, on mène deux tangentes AM et AN à un cercle de centre O. Par un point E de l’arc MN, on mène une troisième tangente BEC au cercle où les points B et C sont les points d’intersection de la troisième tangente avec les tangentes AM et AN.

On vous demande :

- de réaliser un dessin clair et précis du problème posé ;- de déterminer en fonction de la distance AM le périmètre du triangle ABC.

3. Si O est le centre du cercle circonscrit à un triangle ABC (O est le point d’intersection des mé-

diatrices) et si M est un point quelconque du plan, démontrer que

€

OM est orthogonal au vecteur

€

MA2

€

BC +

€

MB2

€

CA +

€

MC2

€

AB.

4. On considère une pyramide de sommet S et dont la base est un quadrilatère convexe (plan) ABCD.Montrer que ABCD est un parallélogramme si et seulement si le plan ABCD est parallèle aux droites d’intersection des plans SAB et SCD d’une part, SBC et SAD d’autre part.

5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé OXY, on considère un triangle rectangle isocèle OAB posé sur les axes, avec OA = OB = a

- Déterminer analytiquement l’ensemble des points M du plan tels que les pieds des 3 perpendiculaires abaissées de M sur les 3 côtés (éventuellement prolongés) du triangle appartiennent à une circonférence centrée à l’origine O.

- Dessiner les différents éléments, avec a = 6 cm.

6. Dans un plan muni d’un repère orthonormé d’origine O et d’axes X et Y, on donne les points fixes A(5, 0) et B(-5, 0). Un point M parcourt le cercle γ de diamètre BA. Par M, on abaisse sur BA la perpendiculaire MP (P est situé sur BA). Déterminez le lieu géométrique du centre du cercle inscrit au triangle OMP.

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7. L’espace est rapporté au système d’axes orthonormés OXYZ.On donne les points A, B, et C, de coordonnées respectives (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) qui avec O constituent quatre sommets d’un cube.On appelle DE l’arête du cube, parallèle à OZ, la plus éloignée de OC. Et on nomme M le point milieu de DE (NB. D est dans le plan Z=0). a. Déterminez une équation cartésienne du plan perpendiculaire à CM en C. b. Calculez les coordonnées du point de percée S de DE dans ce plan. c. Calculez le volume de la pyramide de sommet S et de base OADB. d. Calculez l’angle entre CS et CA. e. Déterminez des équations cartésiennes de la droite CM. f. Calculez la distance qui sépare CM de l’origine O. g. Calculez l’angle entre AM et MC.

Académie Universitaire «Louvain»

Ecole Polytechnique de LouvainRue Archimède, 1 Bte L6.11.011348 LOUVAIN-LA-NEUVETél. : 010.47.24.65Fax : 010.47.24.66 Mail : admission-polytechnique@uclouvain.beWeb : http://www.uclouvain.be/epl

Académie Universitaire «Wallonie-Bruxelles»

Faculté des Sciences Appliquées de l’U.L.B.Av. F.D. Roosevelt, 50C.P. 165/011050 BRUXELLESTél. : 02.650.40.93Fax : 02.650.27.81Mail : calonso@admin.ulb.ac.beWeb : http://www.ulb.ac.be/facs/polytech

Faculté Polytechnique de l’UMONSRue de Houdain, 97000 MONSTél. : 065.37.40.30Fax : 065.37.40.34Mail : info.polytech@umons.ac.beWeb : http://www.umons.ac.be/polytech

Académie Universitaire «Wallonie-Europe»

Faculté des Sciences Appliquées de l’ULgGrande Traverse, 12Sart Tilman, Bât. B374000 LIEGE ITél. : 04.366.94.36Fax : 04.366.95.75Mail : examenadmission.inge@ulg.ac.beWeb : http://www.facsa.ulg.ac.be