let's enjoy modulo!
DESCRIPTION
The slide describes a basic idea about modulo arithmetic.TRANSCRIPT
moduloとお友達になろう
たのしい数学普及委員会(仮)
@tsujimotter
moduloとはmodulo計算(法計算、合同算術、時計算術)とは
「余りの四則演算」のこと
+ - × ÷
25 = 3 × 7 + 4余り法
(modulo)
25 = 3 × 7 + 4余り法
(modulo)
25 = 3 × 7 + 4
25 ≡ 4 (mod 7)読み方:「25は7を法(modulo)として4に合同である」日本語訳:「25も4も7で割った余りはおんなじやで」
余り法
(modulo)
記法のイメージ
正しい書き方は・・・
だけど
イメージは・・・
(mod 7)25 ≡ 4
25 ≡ 4 (mod 7)
合同記号が続くとき
32 ≡ 25 ≡ 11 ≡ 4 (mod 7)
32 ≡ 25 ≡ 11 ≡ 4(mod 7) (mod 7)(mod 7)
イメージは・・・
mod演算の書き方
a + b ≡ c1 (mod n)
a×b ≡ c3 (mod n)a – b ≡ c2 (mod n)
a÷b ≡ c4 (mod n)
moduloの四則演算M1, M2 を n で割った余り r1, r2
M1とM2の四則演算を考えよう
M1 = q1 × n + r1M2 = q2 × n + r2
M1 ≡ r1 ( mod n )M2 ≡ r2 ( mod n )
+-×÷
moduloの足し算
M1 + M2 = (q1 + q2)×n + (r1 + r2)
M1 + M2 ≡ r1 + r2 ( mod n )
M1 = q1 × n + r1M2 = q2 × n + r2
M1 ≡ r1 ( mod n )M2 ≡ r2 ( mod n )
moduloの掛け算
M1×M2 = (q1 q2 n + r1 q2 + r2 q1)×n + (r1×r2)
M1 × M2 ≡ r1 × r2 ( mod n )
M1 = q1 × n + r1M2 = q2 × n + r2
M1 ≡ r1 ( mod n )M2 ≡ r2 ( mod n )
moduloの割り算?
M1 q1 × n + r1M2 q2 × n + r2
= =?
ちょっと難しい・・・
M1 = q1 × n + r1M2 = q2 × n + r2
M1 ≡ r1 ( mod n )M2 ≡ r2 ( mod n )
moduloの四則演算
M1 – M2 ≡ r1 – r2 ( mod n )M1×M2 ≡ r1×r2 ( mod n )
M1 ≡ r1 ( mod n )M2 ≡ r2 ( mod n )のとき
M1 + M2 ≡ r1 + r2 ( mod n )
みんな使ってるよね?
• 20時から8時間経ちました。今何時?
20+8 ≡ 4 (mod 24)
みんな使ってるよね?
• 250°から150°回転したら今何°?
250+150 ≡ 50 (mod 360)
9で割った余り(問)2012を9で割った余りを求めよ
(解)
2012 = 1000×2 + 100×0 + 10×1 + 1×2≡ 1×2 + 1×0 + 1×1 + 1×2 (mod 9)≡ 2 + 0 + 1 + 2 (mod 9)≡ 5 (mod 9)
modと暗号
「RSA暗号とmodulo」To be continued.
暗号とmodulo
“HELLOWORLD”
“KHOORZRUOG”
シーザー暗号
(文字を3つずらす)
暗号とmodulo‘A’ + 3 = ‘D’‘B’ + 3 = ‘E’‘C’ + 3 = ‘F’‘D’ + 3 = ‘G’・・・
‘V’ + 3 = ‘Y’‘W’ + 3 = ‘Z’‘X’ + 3 = ? ‘X’ + 3 ≡ ‘A’ (mod 26)‘Y’ + 3 = ? ‘Y’ + 3 ≡ ‘B’ (mod 26)
moduloとお友達になろう(まとめ)
25 = 3 × 7 + 4 25 ≡ 4 (mod 7)余り法
(modulo)
M1 + M2 ≡ r1 + r2 ( mod n )M1×M2 ≡ r1×r2 ( mod n )
M1 ≡ r1 ( mod n )M2 ≡ r2 ( mod n ) のとき