let's enjoy modulo!

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moduloとお友達になろう たのしい数学普及委員会(仮) @tsujimotter

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The slide describes a basic idea about modulo arithmetic.

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Page 1: Let's enjoy modulo!

moduloとお友達になろう

たのしい数学普及委員会(仮)

@tsujimotter

Page 2: Let's enjoy modulo!

moduloとはmodulo計算(法計算、合同算術、時計算術)とは

「余りの四則演算」のこと

+ - × ÷

Page 3: Let's enjoy modulo!

25 = 3 × 7 + 4余り法

(modulo)

Page 4: Let's enjoy modulo!

25 = 3 × 7 + 4余り法

(modulo)

Page 5: Let's enjoy modulo!

25 = 3 × 7 + 4

25 ≡ 4 (mod 7)読み方:「25は7を法(modulo)として4に合同である」日本語訳:「25も4も7で割った余りはおんなじやで」

余り法

(modulo)

Page 6: Let's enjoy modulo!

記法のイメージ

正しい書き方は・・・

だけど

イメージは・・・

(mod 7)25 ≡ 4

25 ≡ 4 (mod 7)

Page 7: Let's enjoy modulo!

合同記号が続くとき

32 ≡ 25 ≡ 11 ≡ 4 (mod 7)

32 ≡ 25 ≡ 11 ≡ 4(mod 7) (mod 7)(mod 7)

イメージは・・・

Page 8: Let's enjoy modulo!

mod演算の書き方

a + b ≡ c1 (mod n)

a×b ≡ c3 (mod n)a – b ≡ c2 (mod n)

a÷b ≡ c4 (mod n)

Page 9: Let's enjoy modulo!

moduloの四則演算M1, M2 を n で割った余り r1, r2

M1とM2の四則演算を考えよう

M1 = q1 × n + r1M2 = q2 × n + r2

M1 ≡ r1 ( mod n )M2 ≡ r2 ( mod n )

+-×÷

Page 10: Let's enjoy modulo!

moduloの足し算

M1 + M2 = (q1 + q2)×n + (r1 + r2)

M1 + M2 ≡ r1 + r2 ( mod n )

M1 = q1 × n + r1M2 = q2 × n + r2

M1 ≡ r1 ( mod n )M2 ≡ r2 ( mod n )

Page 11: Let's enjoy modulo!

moduloの掛け算

M1×M2 = (q1 q2 n + r1 q2 + r2 q1)×n + (r1×r2)

M1 × M2 ≡ r1 × r2 ( mod n )

M1 = q1 × n + r1M2 = q2 × n + r2

M1 ≡ r1 ( mod n )M2 ≡ r2 ( mod n )

Page 12: Let's enjoy modulo!

moduloの割り算?

M1 q1 × n + r1M2 q2 × n + r2

= =?

ちょっと難しい・・・

M1 = q1 × n + r1M2 = q2 × n + r2

M1 ≡ r1 ( mod n )M2 ≡ r2 ( mod n )

Page 13: Let's enjoy modulo!

moduloの四則演算

M1 – M2 ≡ r1 – r2 ( mod n )M1×M2 ≡ r1×r2 ( mod n )

M1 ≡ r1 ( mod n )M2 ≡ r2 ( mod n )のとき

M1 + M2 ≡ r1 + r2 ( mod n )

Page 14: Let's enjoy modulo!

みんな使ってるよね?

• 20時から8時間経ちました。今何時?

20+8 ≡ 4 (mod 24)

Page 15: Let's enjoy modulo!

みんな使ってるよね?

• 250°から150°回転したら今何°?

250+150 ≡ 50 (mod 360)

Page 16: Let's enjoy modulo!

9で割った余り(問)2012を9で割った余りを求めよ

(解)

2012 = 1000×2 + 100×0 + 10×1 + 1×2≡ 1×2 + 1×0 + 1×1 + 1×2 (mod 9)≡ 2 + 0 + 1 + 2 (mod 9)≡ 5 (mod 9)

Page 17: Let's enjoy modulo!

modと暗号

「RSA暗号とmodulo」To be continued.

Page 18: Let's enjoy modulo!

暗号とmodulo

“HELLOWORLD”

“KHOORZRUOG”

シーザー暗号

(文字を3つずらす)

Page 19: Let's enjoy modulo!

暗号とmodulo‘A’ + 3 = ‘D’‘B’ + 3 = ‘E’‘C’ + 3 = ‘F’‘D’ + 3 = ‘G’・・・

‘V’ + 3 = ‘Y’‘W’ + 3 = ‘Z’‘X’ + 3 = ? ‘X’ + 3 ≡ ‘A’ (mod 26)‘Y’ + 3 = ? ‘Y’ + 3 ≡ ‘B’ (mod 26)

Page 20: Let's enjoy modulo!

moduloとお友達になろう(まとめ)

25 = 3 × 7 + 4 25 ≡ 4 (mod 7)余り法

(modulo)

M1 + M2 ≡ r1 + r2 ( mod n )M1×M2 ≡ r1×r2 ( mod n )

M1 ≡ r1 ( mod n )M2 ≡ r2 ( mod n ) のとき