LEY DE FARADAY

 

LEY DE FARADAY

En 1820, el descubrimiento, de Oester, de los efectos magnéticos causados por la corriente eléctrica creo un gran interés en la búsqueda de los efectos eléctricos producidos por campos magnéticos, que es lainducción electromagnética, descubierta en 1830 por Michel Faraday y Joseph Henry, casi simultáneamente y de manera independiente. Ampère había malinterpretado algunos experimentos, porque buscaba fenómenos eléctricos causados por campos magnéticos estáticos. Los experimentos de Faraday y Henry, mostraron que una corriente eléctrica podría inducirse en un circuito mediante un campo magnético variable.Los resultados de estos experimentos llevaron a la ley conocida comoLey de Inducción de Faraday.  Esta ley señala que la magnitud de la fuerza electromotriz (fem) inducida en un circuito es igual a la razón de cambio en el tiempo del flujo magnético a través del circuito.

También, los campos eléctricos cambiantes producen campos magnéticos.  Esto no se descubrió experimentalmente, porque el efecto hubiera sido mínimo en los experimentos de laboratorio realizados a principios del siglo XIX.   Maxwell predijo teóricamente este hecho entre los años 1857 y 1865, en estudios cuyo objeto era desarrollar una base matemática y conceptual firme para la teoría electromagnética.  Sugirió que un campo eléctrico cambiante actúa como una corriente de desplazamiento (estudiada en el capitulo anterior) adicional en la ley de Ampère.

En este capitulo se estudian las relaciones dinámicas existentes entre los campos eléctricos y magnéticos.

 

10.1 LEY DE FARADAY.

 

En una demostración clave de la inducción electromagnética figura10.1, se conecta un galvanómetro con una espira y se hace mover un imán de un lado a otro por el eje de la espira.  Mientras el imán se mantiene fijo nada sucede, pero cuando está en movimiento, la aguja del galvanómetro se desvía de un lugar a otro, indicando la existencia de corriente eléctrica y por ende de una fuerza electromotriz en el circuito espira-galvanómetro.  Si el imán se mantiene estacionario y la espira se mueve ya sea hacia o alejándose del imán, la aguja también se desviara.  A partir de estas observaciones, puede concluirse que se establece una corriente en un circuito siempre que haya un movimiento relativo entre el imán y la espira.

La corriente que aparece en este experimento se llama corriente inducida, la cual se

 

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produce mediante una fem inducida. Nótese que no existen baterías en ninguna parte del circuito.

En otro experimento como la figura 10.2.  Las espiras se colocan una cerca de la otra pero en reposo la una con respecto de la otra.  Cuando se cierra el interruptor S, creando así  una corriente estacionaria en la bobina de la derecha, el galvanómetro marca momentáneamente; cuando se abre el interruptor, interrumpiendo de este modo la corriente, el galvanómetro marca nuevamente, pero en dirección contraria.

 

Figura 10.1

 

El experimento muestra que existe una fem inducida en la espira izquierda de la figura 10.2 siempre que la corriente de la derecha estecambiando.  Lo que es significativo aquí es la velocidad a la que cambia la corriente y no a la intensidad de la corriente.

 

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figura 10.2

 

La característica común de estos dos experimentos es el movimiento ocambio.  La causa de las fem inducidas es el imán en movimiento o la corriente cambiante.

En otras pruebas diferentes se muestran las propiedades importantes de la inducción.  Si se repite el experimento con el mismo imán de la figura 10.1 pero con una espira de área transversal mayor se produce una fem mayor; por lo tanto  la fem inducida en la espira es proporcional a su área.  En todos estos experimentos no es el cambio del campo magnético lo importante, sino el cambio en su flujo a través del área de la espira.

Por último, los experimentos demuestran que la indicación o lectura del galvanómetro es también proporcional a la cantidad de espiras que forman una bobina y a la rapidez con que se producen los cambios.

Para hacer los resultados experimentales cuantitativos, se introduce elflujo magnético    .  El flujo magnético a través de cualquier superficie se define como

 

               

10.1

                                     

 

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La unidad del flujo magnético en el SI es el tesla metro2, al cual se le da el nombre de weber ( abreviado Wb) en honor de Wilhelm Weber(1804 -1891).  Esto es,  1weber = 1T.m2.

En términos del flujo magnético, la fem inducida en un circuito está dada por la  ley de la inducción de Faraday  :

“La fem inducida en un circuito es igual a la rapidez con signo negativo con la que cambia con el tiempo el flujo magnético a través del circuito”.

En términos matemáticos, la ley de Faraday  es

 

      

10.2

                                                    

 

El flujo magnético total a través de una bobina con N espiras  es la suma de los flujos que pasa por cada una de sus espiras

 

10.3

                                   

 

Entonces la fem inducida total es

 

10.4

                                              

 

Ejemplo 1. Una espira rectangular de alambre con longitud a y ancho b y resistencia

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R está situada cerca de un alambre infinitamente largo que conduce una corriente i, como se muestra en la figura 10.3.  La distancia desde el alambre largo a la espira es r(t).

Hallar:

a)     La magnitud del flujo magnético a través de la espira.

b)     La fem en la espira al moverse alejándose del alambre largo con una rapidez constante V. 

c)      La corriente en la espira.

 

           

 

Figura 10.3

 

Por la ley de Ampère la intensidad del campo magnético creado por un alambre largo que conduce una corriente i a una distancia z del alambre es

 

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Es decir, el campo varía sobre la espira y  esta dirigido entrando a la pagina, como en la figura.

a) Puesto que    es paralelo a   , se puede expresar el flujo magnético a través de dA como

 

 

 ,

 

entonces para este caso

 

 .

 

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por lo tanto

 

b)Como el flujo magnético a medida que la espira se mueve con velocidad constante cambia, entonces de acuerdo con la ley deFaraday la fem es

 

 

 

c)   Por lo tanto la corriente inducida en la espira es

 

 

10.2 LEY DE LENZ.

 

Hasta aquí ha habido despreocupación por el problema de los signos. Por ejemplo, al

determinar el flujo de   (   ) no se ha especificado el sentido que se escogió para   .  En realidad es necesario hacerlo porque no hay convención de signos para la fem.  Lafem puede pasar de ser negativa o positiva y no dice nada acerca del sentido que debe tener.  El sentido correcto de la fem. se puede obtener de la ley de Lenz propuesta en 1834 por Heinrich Friedrich Lenz(1804-1865) y una de

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sus muchas formas para enunciarla es:

“En un circuito conductor cerrado, la corriente inducida aparece en un sentido tal que ésta se opone al cambio que la produce”.

El signo menos en la ley de Faraday indica esta oposición.  La ley deLenz se refiere de acuerdo al enunciado a corrientes inducidas, lo cual significa que solo se aplica a circuitos conductores cerrados.

Para ilustrar la ley de Lenz , se considera el ejemplo mostrado en la figura 10.4 .

 

 

 

Figura 10.4

 

Al acercar un imán hacia un anillo se genera una corriente inducida en el anillo.  Una espira de corriente crea un campo en puntos distantes como el de un dipolo magnético, siendo una cara del anillo un polo norte (salen las líneas de fuerza) y la otra un polo sur (entran las líneas de fuerza).  En este experimento y como lo predice la ley deLenz, el anillo de la figura va a oponerse al movimiento del imán hacia él, el lado del anillo hacia el imán debe resultar un polo norte, por lo tanto, el resultado es que el anillo y el imán se repelan.  De acuerdo con la regla de la mano derecha para que se presente el campo magnético en el anillo como en la figura, la corriente inducida va en el sentido contrario a las manecillas del reloj cuando se mira a lo largo del imán hacia la espira.

Aquí no es significativo el hecho de que el campo inducido se oponga alcampo del imán sino más bien al hecho de que se opone al cambio,que en este caso es el aumento en        a través del anillo.  Si se retira el imán figura 10.5,

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se reduce    .

El campo inducido debe oponerse ahora a esta disminución en   reforzando ahora el campo magnético.  En cada caso el campo inducido se opone al cambio que le da origen.

La ley de Lenz es necesaria para la conservación de energía.  Si la corriente, en los experimentos anteriores, tuviera dirección opuesta, el imán sería atraído hacia la espira, ¡ganando energía cinética!.  Se podría usar la mayor energía cinética del imán para efectuar trabajo y al mismo tiempo usar la fem inducida para hacer trabajar maquinas eléctricas. La repetición del proceso produciría una energía libre infinita, cosa que es, imposible.

 

 

Figura10.5 

 

Puesto de otra manera, se debe efectuar un trabajo sobre el sistema para producir energía.  Si la espira tiene una resistencia R, en ella se produce energía térmica a una razón de I2R (efecto Joule).  En consecuencia,  se tiene que empujar el imán hacia la espira venciendo la fuerza que se opone, y se efectúa trabajo a una razón

 

 .

 

a.          FEM DE MOVIMIENTO.

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Los experimentos de las figuras 10.4 y 10.5, si bien son fáciles de comprender cualitativamente, no conducen a cálculos cuantitativos. Para hacer un calculo cuantitativo, se considera la figura 10.6  que corresponde a una espira conductora rectangular de anchura L, uno de cuyos extremos esta dentro de un campo    que apunta entrando al papel y que es jalada hacia la derecha con velocidad constante   .

 

 

figura 10.6

 

El flujo     encerrado por la espira en la región en la que    no es cero es 

La fem    de acuerdo con la ley de Faraday es

 

  

10.5                                                  

Donde -dx/dt  es igual a v puesto que es decreciente. Una fem inducida como ésta,

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producida por el movimiento relativo de un conductor y un campo magnético, se llama fem de movimiento.

Nótese que la única dimensión de la espira que interviene en la ecuación 10.5 es la longitud L del conductor de la izquierda.

El concepto de la fem de movimiento se puede entender mejor si el conductor de la izquierda de la figura 10.6  se supone que está jalada hacia la derecha por un agente externo con velocidad constante     y no está conectada a otro conductor, situación que se presenta en la figura 10.7. 

 

figura 10.7

 

Por efecto del movimiento del conductor aparece una fuerza magnética (    ) ejercida sobre las cargas de “conducción positivas” que se encuentran dentro de la varilla, estas tienden a moverse de abajo hacia arriba. Esto trae como consecuencia un cambio de distribución de las cargas como se muestra en la figura.  La nueva distribución de la carga hace que se presente un campo eléctrico    dirigido de arriba hacia abajo.  Este proceso continua hasta que la fuerza de Lorentz se anula (El tiempo en que se alcanzan las condiciones de equilibrio es extremadamente pequeña), es decir,

10.6                               

 Nótese en este caso que el campo eléctrico es uniforme (   es constante).

Por lo que se presenta una diferencia de potencial  EL = vBL a lo largo de la varilla.  en lo que corresponde al resto del circuito ( espira rectangular), la varilla se

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comporta como una fuente de fem     .

La ecuación 10.5 en realidad es un caso especial: el campo    debe ser uniforme; la varilla, la velocidad de ésta y el campo    deben ser perpendiculares entre sí.  En un caso más general se debe considerar lafem     que se produce a través de un segmento infinitesimal    que se mueve con una velocidad   .  Esto se encuentra dado por

10.7                                           

 

Continuando para el caso de la espira de la figura 10.6 que tiene una resistencia R la corriente que se genera por inducción en ella es 

De la ley de Lenz, esta corriente circula en el sentido de las manecillas del reloj, dando lugar a las fuerzas magnéticas sobre las porciones de alambre en la región del

campo magnético   .   Esta fuerzas son en la figura    donde    son

iguales y opuestas, se cancelan entre sí;   , que es la fuerza que hace que la espira sea sacada de la región del campo, está dada, en magnitud por  

  

 

Fuerza en magnitud con la cual debe jalar el agente externo para que se mueva con velocidad constante.  Por lo tanto el trabajo realizado por unidad de tiempo  por el agente externo  con una velocidad constante es 

 La energía disipada en la resistencia R por efecto Joule a causa de la corriente inducida es 

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El trabajo realizado por unidad de tiempo por el agente externo se disipa al final como un calentamiento Joule de la espira.

 

Ejemplo 2.  Una barra metálica de longitud L gira con una frecuencia angular   

 dentro de un campo magnético uniforme   como se muestra en la figura 10.8.

 

Figura 10.8

 

En la figura 10.8 un elemento de alambre dr se mueve con una velocidad tangencial   perpendicular a   . Ese elemento tiene un fem   dada por

 

donde   es la velocidad de cada de cada elemento dr.  Puesto que las fem   

 de cada elemento están en “serie”,

 

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 Como un segundo enfoque para este problema, se considera que, en cualquier instante, el flujo encerrado por el sector aob en la figura esta dado por 

  

donde    es el área del sector mencionado.   Por lo tanto la fem es

 

Ejemplo 3. Un eje de automóvil tiene 1.5 m de longitud.  Si el móvil va 15m-s-1, y la componente vertical del campo magnético terrestre es Bv= 2.5x10-5 T. ¿ Cuál es la diferencia de potencial entre los extremos de los ejes?.

Tomando como modelo la figura 10.7 se tiene  en principio,  que los electrones se mueven hacia el extremo inferior.  Una vez equilibrada la fuerza magnética por la fuerza eléctrica debida a la distribución de cargas en el eje, los electrones ya no se mueven.  En el equilibrio, la fuerza neta sobre los electrones en el eje es cero.  El campo eléctrico de Coulomb que produce una diferencia de potencial entre los extremos del eje, es  

 .

 

La diferencia de potencial entre los extremos del eje es : 

 ,

 

sustituyendo en la anterior ecuación los valores dados

 

  = (15m-s-1)(2.5x10-5 T)(1.5m)=0.56mV.

De acá se puede estimar cuanta carga se necesita en cada extremo del eje para producir el campo de Culomb requerido.  Como aproximación se supone que la

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carga es “puntual”.

  = 9.3x10-14C

 Ejemplo 4.  Un alambre cuadrado de longitud L, masa m y resistencia R, se desliza sin fricción bajando por dos rieles conductores paralelos de resistencia insignificante, como se muestra en la figura 10.9.  Los rieles están conectados entre sí en su parte inferior mediante un riel sin resistencia, paralelo al alambre, de tal manera que el alambre y los rieles forman una espira rectangular conductora cerrada.  El plano de los rieles hace un ángulo  con la horizontal, y un campo magnético uniforme   

existe en toda la región.

a)     Encontrar la velocidad del alambre en cualquier tiempo.

b)     ¿Cuál es la velocidad terminal del alambre?.

 

Figura 10.9

 

a) En la figura a) se muestran las fuerzas que actúan sobre la masa m, el vector campo magnético   , el vector velocidad    y la corriente inducida de acuerdo con la ley de Lenz.

 

 

El diagrama de cuerpo libre para las fuerzas se muestra en la figura b).   La fuerza

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neta sobre el alambre de masa m es: 

   

 

donde

 

 

 

En componentes cartesianas se tiene que 

(1a)               

 

(1b)                             

De la figura c) y de la ecuación 10.7 se halla la fuerza electromotriz inducida en el alambre,  que es: 

  

(1c)

                               

 Por lo tanto la corriente inducida a lo largo del alambre es

 

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(1d)

                                                 

 

Reemplazando la ecuación (1d) en la ecuación (1a) se tiene

 

 

(1e)

                               

 

si se hace,       y    .

 

La ecuación (1e) se convierte en  

Por lo tanto

 

 

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de donde

(1f)

                                             

 

a)     La velocidad terminal se puede hallar de dos maneras a saber:

Si    en la ecuación (1f) la velocidad límite es

 

De la ecuación (1e) la velocidad limite se obtiene cuando la aceleración es igual a cero, o sea que

 

 

   

 

10.4 GENERADORES Y MOTORES

Una de las aplicaciones más importantes de la fem de movimiento es el diseño de generadores y motores eléctricos.  Un generador convierte el trabajo mecánico en energía eléctrica.  Un motor hace lo contrario, convirtiendo la energía eléctrica en trabajo mecánico.  Esto se puede describir de la siguiente manera con un dispositivo sencillo que puede funcionar como generador o como motor. 

Cuando una espira de alambre gira en un campo magnético, como se ve en la figura 10.9, hay un flujo cambiante que pasa por la espira y, en consecuencia, se produce una fem.  Si se toma la corriente positiva cuando tiene la dirección que se muestra en la figura, entonces el flujo el flujo a través de la espira en el instante que presenta el esquema es: 

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Figura 10.10

 

donde   es la velocidad angular de la espira, donde se eligió comot=0 el tiempo

cuando la espira es perpendicular al campo.

Al girar la espira, el flujo cambia con la rapidez  

 

La fem inducida    varia senosoidalmente entre 0 y   , y la corriente cambia dos veces de dirección cada periodo.  El dispositivo es un generador simple.  En los generadores diseñados para las plantas de energía,   se ajusta a la frecuencia normal de 60Hz de la red de líneas de transmisión.  El campo magnético se limita, más o menos, a 1T por la saturación de los núcleos de hierro de los electroimanes.  Entonces, la fem de salida del generador queda determinada por el área de la bobina y el número de vueltas del alambre.

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Para conectar la espira giratoria con un circuito estacionario se emplean anillos colectores y escobillas. Su diseño determina si la corriente en el circuito es CD o cambia de dirección con la fem CA.

Al hacer girar la espira del generador se obtiene una corriente eléctrica.  Por el contrario si se hace pasar una corriente por la espira, sobre el alambre actúan fuerzas magnéticas y se crea un torque.  Esta es la forma como funciona un motor eléctrico.

 

10.5 CAMPOS ELECTRICOS INDUCIDOS.

 En el caso de la fem del movimiento se puede ver la razón por la cual se presenta la

corriente: La fuerza magnética     que se ejerce sobre las cargas de conducción las impulsa a lo largo de la varilla móvil.  Para otros casos, donde no se presenta movimiento de los conductores, pero el campo magnético   cambia con el tiempo,  se produce un cambio del flujo que pasa por la espira.  En este caso se necesita otra explicación: es necesario un campo eléctrico para empujar las cargas de conducción a lo largo de la espira.  Esta es la base de la ley de Faraday. Un campo   

 que varia con el tiempo crea un campo eléctrico; este campo tiende a formar bucles alrededor de la líneas de   . Esto se pude representar como

10.8

                                           

 

usando la definición de     se tiene

10.9

                                  

La integral de la izquierda se toma sobre cualquier trayectoria cerrada, la integral del lado derecho se toma sobre la superficie limitada por la trayectoria.

Como aplicación se toma le siguiente ejemplo.

Ejemplo 4. El campo magnético en el interior de un solenoide como en la figura

10.11 aumenta con rapidez constante    . Hallar el campo eléctrico inducido dentro y fuera del solenoide. 

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El campo magnético cambiante tiene simetría cilíndrica, y las líneas de campo eléctrico circulan formando círculos alrededor del eje del solenoide (figura 10.11 b).  Para calcular la magnitud del campo en cualquier punto,  se aplica la ley de Faraday (ecuación 10.9) a una trayectoria circular que pase por ese punto.  Las líneas de campo de la figura a la derecha son consecuencia de la Ley de Lenz. 

Se define la superficie del solenoide en la misma dirección del campo magnético y el sentido de circulación en la misma dirección del campo eléctrico. El campo magnético   es espacialmente uniforme, por lo tanto el flujo magnético es fácil de calcular.  

  

Figura 10.11

  

Para r<R

  (a)

El campo eléctrico es constante en magnitud en cualquier punto del círculo que se elija. Por lo tanto la integral de circulación es: 

  (b)

                                  

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En la Ley de Faraday,  ecuación 10.9 se reemplazan (a) y (b) 

(c )                                   

o sea                   

 

  (d)

                                 

 

Para r > R

 

 (e)

                                    

(f)

 

Por lo tanto de la Ley de Faraday E es: 

  (g)

                                           

 

El campo eléctrico existe haya o no un circuito material dentro del solenoide.  Si se colocara allí una espira conductora, el campo eléctrico inducido causaría una corriente.  El valor negativo de E confirma la dirección de   que se muestra en la figura 10.10(b).  En las ecuaciones (d) y (g) s e conserva el signo menos para hacer ver que el campo eléctrico inducido    obra oponiéndose al cambio del campo magnético.

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Ejemplo 5.   Un campo magnético uniforme   llena un volumen cilíndrico de radio R. Una barra metálica de longitud L se coloca como lo muestra la figura 10.12.   Si B

está cambiando con una rapidez  , muestre que la fem que se produce por el campo magnético cambiante y que obra entre los extremos de la varilla está dada por la siguiente expresión: 

 

En la figura 10.11b) se muestra la trayectoria cerrada AOB a lo largo de la cual se calcula la integral cerrada dada por 

Figura 10.12

 

Las integrales de A a O y de O a B son cero debido a que    y   son perpendiculares entre si.  Tomando  un elemento del alambre de B a Ase tiene que

 

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De la ecuaión (d) del ejemplo anterior, se tiene que  

  

por lo tanto

 

 

donde  

 

por lo que  

 

En la solucion de este ejemplo se ha supuesto que    aumenta constantemente con el tiempo.

 

10.6 PROPIEDADES DE LA FEM Y LA DIFERENCIA DE POTENCIAL.

La distinción entre la fem y la diferencia de potencial se hace tangible en sus propiedades matemáticas.  La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera

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está definida por la integral del campo eléctrico deCoulomb a lo largo de cualquier trayectoria entre ellos: 

 

              

Si la integral se evalúa siguiendo una trayectoria cerrada que comience y termine en A, la diferencia de potencial es cero:

 

    

 

Esta es la regla de Kirchhoff que dice que el cambio de potencial alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero.

En contraste, la ley de Faraday dice que la fem alrededor de una trayectoria cerrada no es cero.

10.10

                                          

El hecho que la integral de línea 10.10 no sea cero, es debido a que el campo eléctrico  inducido no es conservativo.

 

10.7 LA FEM Y LA ELECCIÓN DEL MARCO DE REFERENCIA.

Si se empuja un imán hacia la espira de alambre, a una rapidez v (figura 10.4), el campo magnético cambiante induce un campo eléctrico en la espira, y por ella pasa una corriente.  Si en lugar de ello se empuja la espira hacia el imán a la rapidez v, las fuerzas magnéticas producen una fem de movimiento que impulsa corriente por la espira. En ambos casos la corriente es igual.  Einstein, en su famoso articulo de 1905 sobre la relatividad especial, observó que esos dos experimentos deben dar el mismo resultado, ¡ porque en realidad es el mismo experimento!.  Visto desde un marco de referencia fijo al imán, el primer experimento se ve exactamente igual que el segundo.  El campo eléctrico inducido y la fem de movimiento no son efectos físicos separados, sino dos modos de describir el mismo efecto en distintos marcos de referencia.  Existe una correspondencia semejante entre los mismos campos eléctrico

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y magnético.  La cantidad     que expresa la contribución a la fem en determinado elemento   de un circuito en movimiento, es el campo eléctrico   

medido en el marco de referencia que se mueve con ese elemento.