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Ley de Fourier
t < 0
x
y
y = Y
y = 0T0
t = 0
T0 T1
t > 0( , )T t y
T0 T1
t ( )T y
T0 T1y
dTq k
dy
Q
Q
Q
Y
T
tA
Q
*
Y
TTk
tA
Q )(
*
10
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CONDUCCION UNIDIMENSIONAL EN ESTADO
ESTACIONARIO
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Consideremos la conducción de calor a través de las paredes de una casa durante un día de invierno. Se sabe que se pierde calor de forma continua hacia el exterior a través de la pared en forma normal a su superficie y no tiene lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en otras direcciones.
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El espesor pequeño de la pared hace que el gradiente de temperatura en esa dirección sea grande. Además, si las temperaturas dentro y fuera de la casa permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de la pared de una casa se puede considerar como estacionaria y unidimensional.
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Pared rectangular planaDistribución de temperatura
T1
T2
e
x
Flujo de calor
qdx
dTkq
k (ctte)
)( 21
e
TTkq
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Pared rectangular planaResistencia térmica por conducciónT1
T2
e
x
q
(k =ctte)
e
TTAkq
)(' 21
Reordenando
Ak
e
TTq
)(' 21
Resistencia Termica
TCR
Tq
'
Ak
eRTC
RTC
q’
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h2
Pared rectangular plana con convección
Resistencia térmica por convecciónTα1
Tα2
e
x
q(k =ctte))(' 11 TTAhq
Reordenando
Ah
TTq
1
)(' 11
Resistencia Termica
TCR
Tq
'
AhRTC
1
R2
q’
h1
R1 R3
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h2
Pared rectangular plana con convección
Resistencia térmica totalTα1
Tα2
e
x
q(k =ctte) 321 RRRRT
Flujo se calor
321
21 )('
RRR
TTq
Resistencias termicas
1
1
1
AhR
Ak
eR 2R2
q’
h1
R1 R32
3
1
AhR
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El lado exterior de un muro de ladrillo de 0,1 m de espesor (k = 0,7 W/mK) se expone a un viento frio a 270 K con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 40 W/m2 K. En el lado interior del muro el aire esta a 330 K, con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 10 W/m2 K. Determine el flujo de calor en estado estable, así como las temperaturas de las superficies interior y exterior del muro.
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h2
Paredes en serie
Resistencia térmica totalTα1
Tα2
e1
x
q(k =ctte) 4321 RRRRRT
Flujo se calor
4321
21 )('
RRRR
TTq
R2
q’
h1
R1 R4
e2
R3
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h2
Coeficiente global de transferenciaResistencia térmica totalTα1
Tα2
e1
x
q’(k =ctte)22
2
1
1
1
11
AhAk
e
Ak
e
AhRi
Flujo se calor
TUAq 'R2
q’
h1
R1 R4
e2
R3
Cuando el área es constante
)11
(1
22
2
1
1
1 hk
e
k
e
hARi
iRU
1
Coeficiente global de transferencia
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La pared compuesta de un horno, consiste en tres materiales, dos de los cuales son de conductividad térmica conocida, kA =20 W/mºK y kC =50W/mºK. De espesores conocidos e1=0.20 m y e3=0.15 m. el tercer material B que se intercala entre A y C tiene espesor conocido e2=0.15 m, pero conductividad kB desconocida. En condiciones de estado estable, las mediciones indican que la pared de la superficie externa en el material C es de 20ºC y la superficie interna del horno está a 600ºC, con una temperatura del aire en el horno de 800ºC. Se sabe que el coeficiente convectivo en el interior del horno es de 25 w/m2 ºK. Calcular el valor de kB.
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Consideremos la conducción estacionaria de calor a través de un tubo que fluye agua caliente. Se sabe que se pierde calor de forma continua hacia el exterior a través de la pared del tubo en forma normal a su superficie y no tiene lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en otras direcciones.
Recuerde que la transferencia de calor en cierta dirección es impulsada por el gradiente de temperatura en esa dirección.
Sistemas Radiales : Tubo
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Sistemas Radiales: TuboDistribución de temperatura
Ctteqr )(T2
T1
r1
r2
dr
dTkAq '
1
2
21
ln
)(2'
r
r
TTLkq
L
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)2
)ln((
)('
12
21
Lk
rr
TTq
Lk
rrRTC
2
)ln( 12
Sistemas Radiales: Tubo
T2
T1
r1
r2
RTC
L
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Considerando convección
22
12
11
21
2
1)
2
)ln((
2
1
)('
hLrLk
rr
hLr
TTq
T1
r1
r2
R2
Tα1Tα2h1
h2
R1 R3
321
21 )('
RRR
TTq
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Paredes compuestas
24
342312
11
21
2
1)
2
)ln(()
2
)ln(()
2
)ln((
2
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)('
hLrLk
rr
Lk
rr
Lk
rr
hLr
TTq
CBA
54321
21 )('
RRRRR
TTq
h1
h2
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24
134
123
112
1
1
1 1)ln()ln()ln(
1
1
hr
rrr
k
rrr
k
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k
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U
CBA
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' 211121
TTAU
R
TTq
i
Referida al área interiorEn general:
1
44332211 )( iRAUAUAUAU
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Se tiene un tubo de acero(k=60.7 W/mºK) de 48 mm de diámetro exterior y 34mm de diámetro interior que transporta un refrigerante. La temperatura de la pared interior del tubo es de -15ºC. Se desea que la ganancia de calor que tiene el refrigerante a través del tubo desnudo se reduzca en un 25%, forrando la tubería con un aislante de conductividad térmica 0.74 W/mºK. La temperatura del aire ambiente es de 21ºC y el coeficiente convectivo 20 W/m2 ºK. Calcular el espesor de aislante requerido.
EJEMPLO
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Sistemas Radiales: EsferaConsideremos la conducciónestacionaria de calor a travésde una capa esférica quecontiene. Si la temperaturadel interior de la esfera esmayor a la temperaturaexterior, se sabe que sepierde calor de formacontinua hacia el exterior através de la capa de la esferaen forma normal a susuperficie.
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El espesor pequeño de la capa de la esfera hace que el gradiente de temperatura en esa dirección sea grande. Además, si lastemperaturas dentro y fuera de la esfera permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de la pared esférica se puede considerar comoestacionaria y unidimensional.En este caso, la temperatura de la pared de la esfera presentara dependencia solo en una dirección (es decir la dirección r) y se puede expresar como T(r).
Sistemas Radiales: Esfera
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Ctteqr )( 2
dr
dTkAq '
T2
T1
r1
r2
24 rA
21
21
11
)(4'
rr
TTkq
Sistemas Radiales: Esfera
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)4
11(
)('
21
21
k
rr
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21
12
4 rkr
rrRTC
Sistemas Radiales: Esfera
T2
T1
r1
r2
RTC
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Considerando convección
2
2
221
12
1
2
1
21
4
1)
4(
4
1
)('
hrkrr
rr
hr
TTq
T1
r1
r2
R2
Tα1Tα2h1
h2
R1 R3
321
21 )('
RRR
TTq
Sistemas Radiales: Esfera
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Sistemas Radiales: TuboArea Media Logarítmica:
T2
T1
r1
r2
1
2
21
ln
)(2'
r
r
TTLkq
L
2
1
21ln
lnA
A
AAAm
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T2
T1
r1
r221
21
11
)(4'
rr
TTkq
Sistemas Radiales: Esfera
21AAAmG
Area Media Geométrica:
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Sistemas con área variable
A
dx
xAm
Area Media:
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Espesor Económico Obtener el coste total mínimo cuando se aísla una
pared para disminuir el flujo de calor.
COSTOS:
Costo de pérdida (o ganancia) de calor
Costo del sistema de aislamiento
Coste por perdida de energía
Espesor
Coste por aislamiento
PerdidaoAislamientTotal CCC Coste total
Espesor optimode aislamiento
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Espesor Económico
Consideraciones para la selección de un aislante:
Superficies CALIENTES -> Evitar pérdidas de calor :
Selección de la forma física
Temperatura lado caliente
Conductividad térmica
Resistencia al deterioro mecánico
Resistencia a la absorción de humedad
Inflamabilidad
Eliminación y/o reutilización
Riesgos a la salud
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Espesor Económico
Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor
Disminuir el calor que ingresa, que podría eliminarse refrigerando la instalación ó donde exista líquidos sometidos a su propia presión de vapor saturado, para disminuir el incremento de su presión
Para impedir ó disminuir la condensación superficial
Para evitar que un fluido cambie de estado por bajas temperaturas
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Espesor Económico
Consideraciones para la selección de un aislante:
Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor
Selección de la forma física
Temperatura de los lados frio y caliente
Dilatación y contracción térmica
Conductividad térmica
Permeabilidad
Riesgos a la salud
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Criterios para elegir espesor de aislamiento
SUPERFICIE CALIENTE SUPERFICIE FRIA
Pérdida Térmica máxima permisible
Espesor económico
Razones de seguridad
Máximo incremento de calor permisible
Espesor económico
Limitación de la condensación superficial
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Superficies extendidas
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Superficies extendidas Se usan superficies extendidas o aletas con el fin de
incrementar la razón de transferencia de calor de una superficie, aumentando el área total disponible para la transferencia de calor.
En el análisis de las aletas, se considera estado estacionario sin generación de energía en la aleta y se supone que la conductividad térmica (k) del material permanece constante.
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Superficies extendidasArea de treansferencia
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Superficies extendidas
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Superficies extendidas
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0)()( TTdx
dA
k
h
dx
dTA
dx
d SC
Superficies extendidas
0))(1
()1
(2
2
TTdx
dA
k
h
Adx
dT
dx
dA
Adx
Td S
C
C
C
Ecuación de energía para conducción unidimensional en una superficie extendida.
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Superficies extendidas
0)(2
2
TTkA
hP
dx
Td
C
Aleta con área uniforme
CkA
hPm 2
mxmx eCeCTT 21
0))(1
()1
(2
2
TTdx
dA
k
h
Adx
dT
dx
dA
Adx
Td S
C
C
C
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Superficies extendidas
0)(2
2
TTkA
hP
dx
Td
C
Condiciones frontera
mxmx eCeCTT 21
Tb
x
L
x=0 T=Tb
x=L ?
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Condiciones frontera
)cosh(
))(cosh(
mL
xLm
TT
TT
b
A)Extremo adiabático
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Flujo de calor
0
'
x
Cbdx
dTkAq
q’b
)tanh()(' mLTThPkAq bCb
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Efectividad de una aleta
)(
'
TThA
q
bC
bf
q’b
Se justifica el uso de aleta si la efectividad es mayor a 2
Estudiar: Eficiencia de aletas
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Ejemplo
Una aleta de cobre (k = 386 W/mºK) de 15 cm de largo, 5 cm de ancho y 1cm. de espesor, tiene una temperatura en la pared de 204ºC. La aleta se encuentra en un cuarto cuya temperatura del aire es de 21ºC. Calcule el calor perdido por la aleta, (considerar frontera adiabática) si el coeficiente de transferencia de calor entre su superficie y el aire que la rodea es igual a 27,7 W/m2 ºK . Calcular la efectividad de la aleta.
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