FLUJO ELECTRICO

El número de líneas por unidad de área esproporcional a la magnitud del campo eléctrico.

EAE Sus unidades son CmN /. 2

El flujo eléctrico es proporcional al número delíneas de campo eléctrico que penetran algunasuperficie

Debido a que el número de líneas que atraviesan A’ es igual al número de líneas que atraviesan A, el flujo a través de A’ es igual al flujo a través de A.

cosEAAEE

iiiiE AEAE

cos

erficie

E AdEsup

CASO DE UNA SUPERFICIE CERRADA

El flujo neto a través de la superficiees proporcional al número de líneasque abandonan la superficie, dondeneto significa el número de las queabandonan la superficie menos elnúmero de las que entran a lasuperficie.

EJEMPLO

Considere un campo eléctrico uniforme E orientado en la dirección x. Encuentre el flujo eléctrico neto a través de la superficie de un cubo de lados l orientado como se indica en la figura.

21

AdEAdEE

dAEdAEE 0cos 180cos2

0

1

0

22 EEE

0E

LEY DE GAUSS

2r

qkE

dAEAdEE 0cos 0

EAdAEE

2

2

0

44

1r

r

qE

0

qE

q es la cargaencerrada por lasuperficie gaussiana. 0

qAdEE

Dos casos sobre la ley de Gauss

PROBLEMA

Una superficie gaussiana esférica rodea a una carga puntual q. Describa lo que sucede con el flujo a través de esta superficie si:a) Se triplica la carga.b) Se duplica el radio de la esfera.c) La superficie es cambiada por la de un cubo.d) Se mueve la carga hacia otra posición dentro de la superficie.

APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS

Calcule el campo eléctrico de un carga puntual aislada q.

0

qAdE

0

qEA

0

2 4

q

rE

2

04

1

r

qE

2r

qkE

EJEMPLO

Un cascaron esférico delgado de radio a tiene una carga total Q distribuidauniformemente sobre su superficie. Calcule el campo eléctrico fuera de laesfera y dentro de la misma.

0

qAdE

0

QEA

0

2 4

Q

rE

Superficie gaussiana

cascarón esférico

Q

r

2

04

1

r

QE

2r

QkE

Campo eléctrico fuera de la esfera

El campo eléctrico dentro de la esfera es cero porque la superficie gaussina no encierra carga alguna.

a

EJEMPLO

Calcule el campo eléctrico a una distancia r de una línea infinita de carga por unidad de longitud λ.

0

qAdE

0

EA

0

2

rE

rE

02

EJEMPLO

Encuentre el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor decarga positiva con densidad de carga superficial uniforme σ.

0

qAdE

1 2

0

AAdEAdE

0

AEAEA

02

E

CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTATICO

Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades:

1. El campo eléctrico es cero en cualquier parte dentro del conductor.2. Si un conductor aislado transporta una carga, esta última reside en su

superficie.3. El campo eléctrico afuera de un conductor cargado es perpendicular a

la superficie del conductor y tiene una magnitud σ/ε0, donde σ es ladensidad de carga superficial en ese punto.

4. En un conductor de forma irregular, la densidad de carga superficiales mayor en puntos donde el radio de curvatura de la superficie esmás pequeño.

Una placa conductora en un campo eléctricoexterno E.

Campo eléctrico justo afuera de un conductor cargado

CAMPO ELECTRICO AFUERA DE UN CONDUCTOR CARGADO

0

AAdE

0

AEA

0

E

VERIFICACION DE LAS LEYES DE GAUSS Y DE COULOMB

EJEMPLO

Una esfera sólida aislante de radio a tiene una carga volumétrica de densidad ρ y llevauna carga total positiva Q.a) Calcule la magnitud del campo eléctrico en un punto fuera de la esfera.

0encq

AdE

QrEq

EA enc0

2

0

4

esfera. la de centro elen aconcentrad estuviera

carga la todasi Como puntual. carga una de campo al equivale 4

12

0 r

QE

b) Calcule el campo eléctrico en un punto dentro de la esfera.

0encq

AdE

Qa

rq

a

Q

r

qenc

enc

3

33

3

4

3

4

0

3

32

0

3

3

4

Q

a

rrE

Q

a

rEA r

a

QE

3

04

1

4

12

0 r

QE

Para r > a

ra

QE

3

04

1

Para r

CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTATICO

Condiciones para que un conductor se encuentre en equilibrio electrostático.

1. El campo eléctrico es cero en cualquier lugar dentro del conductor.2. Si un conductor aislado tiene una carga, la carga reside en su superficie.3. El campo eléctrico justamente afuera de un conductor cargado es perpendicular

a la superficie del conductor y tiene una magnitud de σ/ε0 , donde σ es la densidad de carga superficial en ese punto.

4. En un conductor de forma irregular, la densidad de carga superficial es muy grande en los lugares donde el radio de curvatura de la superficie es el más pequeño.

Se muestra una muestra metálica en un campoeléctrico externo. Las cargas inducidas en las dossuperficies del metal producen un campo eléctricoque se opone al campo externo, dando comoresultado un campo cero en el interior del metal.

CAMPO EN LA SUPERFICIE DE UN CONDUCTOR CON CARGA

𝐸 ∙ 𝑑 𝐴 =𝑞𝑒𝑛𝑐

𝜀0=

𝜎𝐴

𝜀0

0

AEA

0

E

Campo en la superficie de un conductor en equilibrio electrostático

Una esfera conductora sólida de radio a lleva una carga neta positiva de 2Q. Un cascarón esférico conductor de radio interior b y radio exterior c es concéntrico con la esfera sólida y lleva una carga neta –Q. Usando la ley de Gauss, calcule el campo eléctrico en las regiones marcadas con y y la distribución de carga en el cascarón cuando el sistema entero está en equilibrio electrostático.

Para r < a el campo eléctrico es cero.

Para a < r < b:00

2

QqEA enc

2

0

2

4

1

r

QE

2

2

r

QkE

Para b < r < c: el campo eléctrico es cero.

Para r > c:000

2

QQQqEA enc

2

04

1

r

QE

2r

QkE

Un cono que tiene en la base un radio R y una altura h, es colocado sobre una superficie horizontal. Un campo eléctrico horizontal e uniforme penetra el cono como se muestra en la figura. Determine el flujo eléctrico que entra por el lado izquierdo del cono.

Una carga puntual Q se halla justo arriba del centro de la cara plana de un hemisferio de radio R, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el flujo eléctrico:a) A través de la superficie curva? b) A través de la cara plana?

Un alambre infinitamente largo tiene una carga por unidad de longitud λ y se halla a una distancia d de un punto O, como se muestra en la figura. Calcule el flujo eléctrico total a través de la superficie de una esfera de radio R centrada en O como resultado de esta línea de carga. Considere ambos casos: cuando R< d, y cuando R > d.

.dO

PROBLEMA

Un cilindro aislante largo e infinito de radio R tiene una densidad de carga volumétricaque varía con el radio como:

b

ra0

cilindro. del eje el desde distancia la es y positivas constantesson y ;0 rba

Use la ley de Gauss para determinar la magnitud del campo eléctrico a distancias radiales: (a) r < R (b) r > R.

rldrb

radVdQ 20

rr

drrb

lrdralQ

0

20

00

22

ab

rralQ

322

32

0

b

ra

rE

ab

rralrlE

3

2

232

122

0

0

0

2

0

fuera del cilindro

Una carga puntual Q se localiza sobre el eje de un disco de radio R a una distancia b desde el plano de un plano. Demuestre que si un cuarto del flujo eléctrico desde la

carga pasa a través del disco, entonces 𝑅 = 3𝑏.

El flujo total a través de una superficie que encierra la carga

Q es 𝑄

𝜀0. El flujo a través del disco es:∅𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜

= 𝐸 ∙ 𝑑 𝐴

Debemos evaluar esta integral e igualarla a 1

4𝑄

𝜀0para

hallar cómo b y R están relacionados.

El flujo a través del disco es 1

4

𝑄

𝜀0y así:

𝑑Φ 𝐸,𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 =1

4𝜋𝜀0

𝑄𝑏

𝑠2 + 𝑏2

2𝜋𝑠𝑑𝑠

𝑠2 + 𝑏2 12

−

Dos planos infinitos de carga no conductores están en posición paralela uno conrespecto al otro. El plano de la izquierda tiene una densidad uniforme de carga porunidad de superficie 𝜎, y el otro que está hacia la derecha tiene una densidaduniforme superficial−𝜎. Calcule el campo eléctrico a la izquierda, en el centro y a laderecha de los planos.

A la izquierda 𝐸 = 0

En el centro 𝑬 =𝛔

𝛆𝟎hacia la derecha.

A la derecha 𝐸 = 0

Una superficie cerrada con dimensiones 𝑎 = 𝑏 = 0.400𝑚 y 𝑐 = 0.600𝑚 estáubicado como se muestra en la figura. El campo eléctrico a través de la región es nouniforme y está dado por: 𝐸 = 3.0 + 2.0𝑥2 𝑖 𝑁

𝐶 , donde 𝑥 está en metros.Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie cerrada. ¿Qué carga neta estáencerrada por la superficie?

Una esfera no conductora de radio 𝑅 tiene una densidad volumétrica de carga positiva que varía radialmente como se muestra en la figura.a) Calcule el campo eléctrico a una distancia 𝑎 medida a partir del centro de la esfera.

𝜌0

𝜌

𝑟0𝑎 𝑅

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝜌 = −𝜌0

𝑅𝑟 + 𝜌0

𝑞 = 0

𝑎

𝜌𝑑𝑉 = 0

𝑎

−𝜌0

𝑅𝑟 + 𝜌0 4𝜋𝑟2𝑑𝑟

𝑞 = −4𝜋𝜌0

𝑅 0

𝑎

𝑟3𝑑𝑟 + 4𝜋𝜌0 0

𝑎

𝑟2𝑑𝑟

𝑞 = 4𝜋𝜌0

𝑅

𝑎4

4+ 4π𝜌0

𝑎3

3= 𝜋𝜌0

4𝑎3

3−

𝑎4

𝑅 𝐸 4𝜋𝑎2 =𝜋𝜌0

𝜀0

4𝑎3

3−

𝑎4

𝑅𝐸 =

𝜌0

𝜀0

𝑎

3−

𝑎2

4𝑅

b) ¿Cuál será el potencial eléctrico en un punto a una distancia 𝑟 > 𝑅? (considere cero el potencial en el infinito).

𝑄 = 0

𝑅

𝜌𝑑𝑉 = 0

𝑅

𝜌0 −𝜌0

𝑅𝑟 4𝜋𝑟2 𝑑𝑟 𝑄 = 4𝜋𝜌0

𝑟3

3

𝑅

− 4𝜋 𝜌0

𝑅

𝑟4

4

𝑅

𝑉𝑟 =1

4𝜋𝜀0

𝑄

𝑟𝑉𝑟 =

𝜌0

12

𝑅3

𝜀0

1

𝑟𝑄 = 4𝜋𝜌0

𝑅3

3− 𝜋𝜌0𝑅

3𝑄 =

𝜋𝜌0𝑅3

3