Programma lezione I Lezione I 1/27

1) Galvani, Volta e l’inizio dell’era elettrica

2) Legge di Coulomb

3) Il campo elettrico E

4) Espressione cartesiana di E

5) Il verso di E: esempi

6) Elettricità vs. gravità

7) Il flusso di E e la legge di Gauss (forma integrale)

8) La divergenza di E e la legge di Gauss (forma puntuale)

9) Applicazioni della legge di Gauss:

• lastra carica infinita

• sfera conduttrice

• cilindro carico indefinito

Galvani Lezione I 2/27

La scoperta (~1782) dell'elettricità animale fu dovuta alla presenza sulla tavola di dissezione di una "machina electrica"; quando questa produce una scintilla, la rana si contrae se il nervo è toccato con un conduttore

Galvani Lezione I 3/27

DE VIRIBUS ELECTRICITATIS IN

MOTU MUSCOLARI

in

DE BONONIENSI SCIENTIARUM

ET ARTIUM INSTITUTO ATQUE

ACADEMIA COMMENTARII,

vol. VII, sez. Opuscula, pag. 363,

Bologna 1791

Il programma:

" ut ... eorumdem morbis

... medere possemus"

per guarire le loro malattie

(dei muscoli).

Galvani Lezione I 4/27

LUIGI (ALOISIUS)

GALVANI (1737 – 1798)

ANATOMO

(grande e da grande scuola)

OSTETRICO

(si deve pur vivere)

SCIENZIATO

(empirico e geniale; aveva

ragione. Ma vinse Volta)

UOMO CORAGGIOSO

(non rinnegò il Papa, come

fecero i colleghi;

Napoleone lo licenziò)

Galvani: due secoli per capirlo Lezione I 5/27

Cint

m moli

Cest

m moli

RT

F

C

Cln int

est

Na+ 12 145 + 66 mV

K+ 155 4 97 mV

Cl 4 120 90 mV

x~109 m

canale ionico

Vest(+)Vint ()

ClEtot

Eos

eVest

90 mV

eVint

Eele

s

t

e

r

n

o

i

n

t

e

r

n

oK+

Etot

Eos

eVint

90 mV

eVest

Eele

s

t

e

r

n

o

i

n

t

e

r

n

o

Na+

Etot

Eos

eVint

90 mV

eVest

Eele

s

t

e

r

n

o

i

n

t

e

r

n

o

Volta e la «pila» Lezione I 6/27

Volta si oppose all’interpretazione di

Galvani sull’origine animale della

elettricità e imputò gli effetti osservati

sulle rane all’utilizzo di metalli diversi.

Galvani ripeté gli esperimenti utiliz-

zando tubicini con mercurio notando

sempre la contrazione muscolare. Al

culmine di una polemica durata alcuni

anni, nel 1800 Volta descrisse la sua

pila Zn – Cu (realizzata nel 1798).

Napoleone fu uno dei primi a capire l’importanza della scoperta

(generatore «costante» di elettricità) e riempì Volta di regali. Banks,

presidente della Royal Society e amico di Volta, passo l’idea a

Nicholson e Carlisle che subito produssero H2 e O2 da H2O. Il nipote

di Galvani «risuscitò» annegati nel Tamigi con elettrostimolazione.

Coulomb Lezione I 7/27

F O

x P

q Q

z

y

LEGGE DI COULOMB (~1788)

dell'inverso del quadrato della distanza

fondamento della ELETTROSTATICA

CHARLES AUGUSTIN DE COULOMB (1736-1806)

contemporaneo di Galvani

2e2e3e r

Qqk

rr

Qqk=

Qqk F

OPOP

OPF

Se la carica è misurata in

coulomb (C) allora

ke 9(109) Nm2/C2

OPr

Coulomb Lezione I 8/27

g

Coulomb non ha “misurato” la sua

legge ma l’ha “copiata” da quella

gravitazionale di Newton

POg3

OP

MG

2

311

skg

m1067.6

G

Il campo elettrico E è l’equivalente di g

P

O

Campo elettrico E Lezione I 9/27

Il campo elettrico prodotto

dalla carica Q su q è E

q

FE

Il campo elettrico E è misurato

come forza su carica, oppure

come differenza di potenziale

(volt) su distanza (m)

m

V

metro

volt

mC

mN

C

N

coulomb

newton

carica

forza

Q q

Linee di forza di E Lezione I 10/27

Linee di forza del campo elettrico

generato da due cariche uguali e

positive

Per un campo di forze, la linea di forza è una curva ideale che ha come tangente in

ogni punto la direzione del vettore del campo stesso.

Per ogni punto passa una sola linea di forza.

Linee di forza del campo elettrico generato

da due cariche uguali in valore assoluto e di

segno opposto (dipolo elettrico)

E

E E

E

E

• il numero di linee di forza che attraversano una unità di superficie ortogonale alle

linee stesse è proporzionale all’intensità del campo in quella regione di spazio;

• le linee di forza hanno origine su di una carica positiva e vanno all’infinito o

terminano su una carica negativa.

Campo elettrico E(P) da Q Lezione I 11/27

Il campo elettrico in P(xP,yP,zP) di una carica Q nell’origine cartesiana

x

y

z

P(xP,yP,zP)

E(P)

Q

O(0,0,0)

Il verso di E dipende dal segno dei prodotti QxP, QyP, QzP

Campo elettrico E(P) da Q Lezione I 12/27

Il campo elettrico E=Exi in P(xP,0,0) di una carica Q nell’origine

cartesiana (problema mono-dimensionale)

Q (+) P N +

Ex(N) Ex(P) x

O

Q () P N

Ex(N) Ex(P)

2

N

eN

2

P

eP

3

e

0

0

positiva,

x

QkNEx

x

QkPEx

x

xQkQ

x

x

x iEE

2

N

eN

2

P

eP

3

e

0

0

negativa,

x

QkNEx

x

QkPEx

x

xQkQ

x

x

x iEE

Campo elettrico E(P) da Q Lezione I 13/27

L’espressione analitica del campo richiede o una operazione di segno

x/|x| o di distinguere tra punti a destra della carica (ascissa positiva) o a

sinistra (ascissa negativa).

Problema 1D.

Date Q0 nell’origine O e QA in xA trovare l’ascissa xP del punto P dove la

risultante E0x+EAx si annulla.

Q0

A

x

O

QA

Il problema si risolve:

a) Discutendo i segni di E0x, Eax

b) Uguagliando i moduli |E0x|=|EAx | e scegliendo la soluzione

dell’equazione di II grado in base ad a)

Campo elettrico E(P) da Q Lezione I 14/27

Poniamo Q0 positiva; allora si distinguono due casi:

I) QA positiva (cariche con lo stesso segno) Q0

A

x

O

QA

Versi opposti dei campi elettrici per 0 xP xA

Q0

A

x

O

QA

II) QA negativa (cariche con segno opposto)

Versi opposti dei campi elettrici per xP 0 e xP xA

Campo elettrico E(P) da Q Lezione I 15/27

Esempio: Q0= +1C, | QA|= 3C; xA= 1m

I) QA = + 3C

II) QA = 3C

La soluzione «esterna» è

sempre dalla parte della

carica minore in valore

assoluto

Q0

A

x

O

QA

Zona soluzione

P

Q0

A

x

O

QA

Zona soluzione

P

Elettricità vs gravità Lezione I 16/27

1 metro protone elettrone

carica = +1.6(1019) C

massa = 1.67(1027) kg massa = 9.1(1031) kg

carica = 1.6(1019) C

forza gravitazionale (fg) 1.0(1067)N

forza elettrica 2.3(1028)N ~ 1040 fg

Il campo elettrico è “intrinsecamente” molto più intenso di

quello gravitazionale

Flusso di E Lezione I 17/27

Flusso di un vettore E attraverso

una superficie S

S

dS E

n

dSES nE)(

dove n è il versore (vettore unitario adimensionale) perpendicolare

all’elemento di superficie dS. Se la superficie non è chiusa, il suo

contorno è una linea chiusa. Mediante una convenzione (es. della

mano destra) si può associare al verso di percorrenza di questa linea

chiusa la direzione positiva della normale alla superficie in ogni

punto.

Se la superficie è chiusa si parlerà di flusso uscente di E (normale n

orientata verso l’esterno) e di flusso entrante (n punta verso

l’interno).

Teorema di Gauss Lezione I 18/27

r2 E(r)

q

Q

r

r1

E(r1)

E(r2)

Il flusso di E uscente da una qualunque superficie chiusa S contenente

la carica Q è pari alla carica diviso per la costante dielettrica del

vuoto

0

222

211

44

4

QQkrrE

rrEdS

e

S

nEE

La costante dielettrica del vuoto

2

212

0mN

C1085.8

4

1

ek

Karl Friedrich Gauss 1777-1855 (scoperta ~1840, ma già Newton…)

Flusso e divergenza di E Lezione I

Per qualunque campo vettoriale E, il flusso di E uscente da una qua-

lunque superficie chiusa S è sempre uguale all’integrale dello scalare

div E esteso al volume racchiuso da S (teorema della divergenza).

19/27

Introduciamo l’operatore (nabla), che

estende il concetto di derivata a vettori

nello spazio cartesiano tridimensionale

(3D), ed è così definito kjizyx

Il prodotto scalare di con E(P)

(vettore derivabile nei punti P di uno

spazio cartesiano = campo vettoriale)

è una funzione scalare di P chiamata

divergenza

z

E

y

E

x

E zyx

EEdiv

Flusso e divergenza di E Lezione I 20/27

Basta provare il teorema della divergenza per la superficie di un

cubetto elementare. Infatti un qualunque volume racchiuso da S si

può dividere in cubetti elementari dove ogni faccia interna è

comune a due cubetti: il flusso che “entra” attraverso questa faccia

in un cubetto “esce” dal cubetto adiacente il quale ha la normale

diretta in senso opposto. La somma di questi due flussi è perciò

nulla e il flusso complessivamente uscente dalle superfici di due

cubetti adiacenti è pari al flusso uscente dalla loro superficie

esterna. Perciò sommando gli integrali di superficie sui singoli

cubetti si ottiene il flusso uscente dalla superficie esterna S mentre,

per definizione, l’integrale di volume sui cubetti è la somma dei

contributi dei cubi elementari.

Flusso e divergenza di E Lezione I 21/27

Il flusso di E uscente dalla

superficie che circonda un volume

elementare attorno al punto P(x,y,z)

è la somma dei flussi uscenti da tre

coppie di facce opposte. Per le due

facce in azzurro si ha

s

dSnE

Vy

zyxEzyx

y

zyxE

zxzy

yxEzy

yxE

d),,(

ddd),,(

dd),2

d,(),

2

d,(

yy

yy

Divergenza di E Lezione I 22/27

Sia E(P) il campo elettrico generato da

distribuzione di cariche con densità dV

dQP )(

Il flusso di (E) uscente dalla

superficie che circonda un volume

elementare attorno al punto P(x,y,z)

s

dSΦ nEE

è pari alla carica dQ racchiusa

dalla superficie divisa per 0 000

)()(

dxdydzPdVPdQ

Estendendo a un volume qualsiasi dal teorema della divergenza

0

divdiv

EEnE

Gauss

VV

zyx

s

dVdVz

E

y

E

x

EdS

Divergenza di E Lezione I 23/27

Osservazioni

Il flusso di un vettore attraverso una superficie chiusa è

sempre uguale all'integrale della sua divergenza sul

volume racchiuso (identità matematica)

la divergenza (uno scalare) di E(P) è proporzionale alla

densità di carica (P) in P (legge fisica)

Formulazioni dell’elettrostatica Lezione I 24/27

L'elettrostatica (studio del campo elettrico generato da cariche "quasi"

ferme) è riassunta da un’equazione che collega E alla sua sorgente (la

distribuzione di carica). Questa equazione ha le tre forme equivalenti

Coulomb (per carica puntiforme)

Gauss (forma integrale)

Gauss (forma puntuale)

2Pr

QkP eE

0

i

s

QdSnE

0

z

E

y

E

x

E zyxE

con div

kji

zyx

Legge di Gauss Lezione I 25/27

Lastra carica infinita

(carica totale per m2)

Allontanando P dal piano si

compensano due effetti:

i) la riduzione di E dovuta

all’aumento della distanza

ii) l’aumento relativo della

componente normale di E

(risultante) dovuta alle

cariche di un cerchio C del

piano con centro O sulla

proiezione di P (oppure

l’aumento delle cariche

entro un cono di data

apertura e vertice in P)

E

E

S1

S2

S

E

E

00

212

)(

E

SESESE

C O

P

Per simmetria, la

risultante E può essere

solo normale al piano e

perpendicolare alle

normali alle superfici

laterali del cilindro di

Gauss.

Legge di Gauss Lezione I 26/27

La sfera (R) conduttrice con carica Q

cariche mobili "ferme"

E(r<R)= 0, E(r=R)S

dQ=dR= 0 all'interno

carica "solo" superficiale

E

S

R

E=0 00

E

SSE

)puntiformeda()(

4 2

QERrE

R

Q

Legge di Gauss Lezione I 27/27

L, Q

2R

2r

E

Il cilindro indefinito di raggio R con carica Q per lunghezza L

Il campo elettrico E(r) , r>R

è perpendicolare per

simmetria all’asse del

cilindro di Gauss.

Il flusso uscente dalla

superficie laterale è

rL

QE

QErLE

1

2

12

00