¦lgebra linear 02 aula 01-01-produto escalar
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PRODUTO ESCALAR PRODUTO ESCALAR ( OU INTERNO )( OU INTERNO )
Como visto anteriormente, temos que os Como visto anteriormente, temos que os vetores e são dados por :vetores e são dados por :u
v
),,( cbau = ),,( fedv =
E também que E também que os seus os seus módulos são módulos são dados por :dados por :
222 cbau ++=
222 fedv ++=
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u
v
vu −
θAplicando a Lei dos Aplicando a Lei dos Cossenos, temos :Cossenos, temos :
Vejamos graficamente Vejamos graficamente a Diferença de Vetores : a Diferença de Vetores :
θcos...2222
vuvuvu −+=−
Temos também que :Temos também que :
),,(),,( fedcbavu −=−
),,( fcebdavu −−−=−
II
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),,( fcebdavu −−−=−
222 )()()( fcebdavu −+−+−=−
222 cbau ++=
222 fedv ++=
2222cbau ++=⇒
2222fedv ++=⇒
2222)()()( fcebdavu −+−+−=−
Aplicando de volta na equação I, temos :Aplicando de volta na equação I, temos :
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=−+−+− 222 )()()( fcebda222 cba ++ 222 fed +++ θcos...2 vu
−Desenvolvendo as operações indicadas, Desenvolvendo as operações indicadas, temos :temos :
=−−−+++++ cfbeadfedcba 222222222
222 cba ++ 222 fed +++ θcos...2 vu−θcos...2222 vucfbead
−=−−−Dividindo tudo por (Dividindo tudo por (−− 2), 2), temos :temos : θcos..... vufcebda
=++
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θcos..... vufcebda=++
Essa soma de produtos das coordenadas dos Essa soma de produtos das coordenadas dos vetores por , chamamos de produto vetores por , chamamos de produto escalar de por .escalar de por .
u
v
u
v
Podemos denotar escalar por .Podemos denotar escalar por .u
v
vu
.
θcos... vuvu =
fcebdavu .... ++=Então :Então :
Logo :Logo :
cfbeaduv .... ++=
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θcos... vuvu
=
fcebdavu .... ++=
O produto escalar O produto escalar ( ou interno ), serve ( ou interno ), serve para o cálculo do para o cálculo do ângulo ângulo θθ entre os entre os vetores e .vetores e .
O produto escalar O produto escalar ( ou interno ), serve ( ou interno ), serve para o cálculo do para o cálculo do ângulo ângulo θθ entre os entre os vetores e .vetores e .u
v
O produto escalar é comutativo. O produto escalar é comutativo. O produto escalar é comutativo. O produto escalar é comutativo.
uvvu
.. =PRODUTO PRODUTO ESCALAR ESCALARPRODUTO PRODUTO ESCALAR ESCALAR
u
v
vu −
θ
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<=>
0v.u obtuso, é
0v.u reto, é
0v.u agudo, é
θθ
θ
2. então , 0º temos,vu uuuse
=== θ
θcos... vuvu =
fcebdavu .... ++=
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Desigualdades :Desigualdades :
CauchyCauchy−− SchwarsSchwarsCauchyCauchy−− SchwarsSchwars vuvu +≤.
θcos... vuvu =
Pelo Produto Escalar, temos que :Pelo Produto Escalar, temos que : Logo :Logo :
vu
vu
.
.cos =θ
Lembrando que :Lembrando que :
⇒≤≤− 1cos1 θvu
vu
.
.cos =θ
⇒≤≤− 1.
.1
vu
vu
vuvu +≤.
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yy
OOi
j
k
xx
zz
u
São os cossenos dos São os cossenos dos ângulos que um vetor ângulos que um vetor qualquer forma com os qualquer forma com os eixos coordenados.eixos coordenados.
u
Marcamos inicialmente um vetor Marcamos inicialmente um vetor representante do vetor dado que tenha representante do vetor dado que tenha como ponto origem, a origem do sistema de como ponto origem, a origem do sistema de coordenadas. Os ângulos , e são os coordenadas. Os ângulos , e são os ângulos formados com os ângulos formados com os eixos coordenadoseixos coordenados, , dos quais desejamos calcular os dos quais desejamos calcular os cossenoscossenos ditos ditos diretoresdiretores..
u
u
α β δ
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yy
OO
i
j
k
xx
zz
u
u
αβ
δ
Calculando os produtos escalares Calculando os produtos escalares do vetor com os vetores do vetor com os vetores unitários , e , obtemos : unitários , e , obtemos :
i
j
k
=
==
δβα
cos...
cos...
cos...
kuku
juju
iuiu
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=
==
δβα
cos...
cos...
cos...
kuku
juju
iuiu
onde :onde :
222 cbau ++=
1=== kji
),,( cbau =
)0,0,1(=i
)0,1,0(=j
)1,0,0(=k
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α++= cos.1.cba)0,0,1).(c,b,a( 222
222cos
cba
a
++=α
β++= cos.1.cba)0,1,0).(c,b,a( 222
δ++= cos.1.cba)1,0,0).(c,b,a( 222
222cos
cba
c
++=δ
222cos
cba
b
++=β