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LÓGICA MATEMÁTICA

APUNTES

Ingeniería en Informática

ESCET

Alessandra Gallinari

2005�2006

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PrólogoEl contenido de esta publicación es un guión de la asignatura de Lógica

Matemática para la titulación de Ingeniería en Informática de la EscuelaSuperior de Ciencias Experimentales y Tecnología (ESCET).

Los principales objetivos de la asignatura son:

• Introducir herramientas y conceptos básicos de la Lógica Matemáticay sus aplicaciones.

• Ayudar al alumno a aprender a razonar y formalizar correctamente.

• Junto con la asignatura Lógica Informática del próximo cuatrimestre,dar una formación global acerca de los procedimientos formales y algo-rítmicos de razonamiento automático y resolución formal de problemas.

Con estas notas de clase se intenta presentar de forma organizada el mate-rial que se expondrá en las clases teóricas. Por la naturaleza de estos apuntes,la exposición no es completa y es fundamental que el alumno consulte tam-bién los libros recomendados en la bibliografía relativa a la asignatura.

Las principales referencias bibliográ�cas empleadas en estos apuntes son[A], [HLR], [MH] y las notas de clase de los profesores Ana Pradera y LuisSolá.

La primera parte de la publicación trata la lógica proposicional y la se-gunda la lógica de predicados.

Las dos partes tienen la misma estructura y están divididas en tres capí-tulos que introducen la sintaxis, la semántica y la teoría de la demostración,respectivamente.

Cada capítulo contiene un apartado de ejercicios.

Índice General

1 Introducción 71.1 El lenguaje de la lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Resumen de la historia de la lógica . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Lógica y �losofía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Lógica y matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Lógica e informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I Lógica de proposiciones 13

2 Sintaxis de la lógica proposicional 152.1 Alfabeto del lenguaje formal de la lógica proposicional . . . . 162.2 De�nición recursiva de las expresiones bien construidas: fór-

mulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1 El principio de inducción estructural para fórmulas pro-

posicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Representación de las fórmulas bien construidas . . . . . . . . 20

2.3.1 Fórmulas en forma usual y abreviada . . . . . . . . . . 202.3.2 Principio de unicidad de estructura para fórmulas pro-

posicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.3 Fórmulas en forma de árbol estructural . . . . . . . . . 222.3.4 El principio de recursión estructural para fórmulas pro-

posicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.5 Fórmulas en forma de Lukasiewicz . . . . . . . . . . . 26

2.4 Formalización del lenguaje natural . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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3 Semántica de la lógica proposicional. Teoría interpretativa 293.1 Valoraciones de un lenguaje formal . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Evaluación semántica de fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Modelos y contraejemplos de una fórmula bien construida.

Tautologías, contingencias y contradicciones . . . . . . . . . . 353.4 Evaluación semántica de deducciones . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Equivalencia de fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Teoría de la demostración 434.1 De�nición de sistema formal axiomático . . . . . . . . . . . . 434.2 El sistema de Kleene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 El sistema de deducción natural de Gentzen . . . . . . . . . . 604.4 Métodos de refutación. Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4.1 Refutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4.2 De�nición de los tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4.3 Aplicaciones de los tableaux . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5 Corrección, completitud y decidibilidad . . . . . . . . . . . . . 884.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

II Lógica de predicados de primer orden 935 Sintaxis de la lógica de primer orden 95

5.1 Alfabeto del lenguaje formal de la lógica de predicados . . . . 965.2 De�nición recursiva de las expresiones bien construidas: tér-

minos y fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2.1 Variables libres y variables ligadas . . . . . . . . . . . . 1025.2.2 El principio de inducción estructural para expresiones

bien construidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.3 Representación de las expresiones bien construidas . . . . . . . 104

5.3.1 Fórmulas en forma abreviada . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.2 Principio de unicidad de estructura para expresiones

bien construidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3.3 Términos y fórmulas en forma de árbol estructural . . 1075.3.4 El principio de recursión estructural para expresiones

bien construidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5

5.4 Formalización del lenguaje natural . . . . . . . . . . . . . . . 1115.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6 Semántica de la lógica de primer orden. Teoría interpretati-va 1236.1 Interpretaciones en lógica de primer orden . . . . . . . . . . . 1246.2 Interpretación semántica de términos y fórmulas . . . . . . . . 1276.3 Validez semántica de fórmulas: modelos . . . . . . . . . . . . . 1306.4 Evaluación semántica de deducciones . . . . . . . . . . . . . . 1326.5 Equivalencia de fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.5.1 Sustitución de una variable por un término . . . . . . . 1346.5.2 Equivalencia de fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.5.3 Equivalencia lógica y reemplazamiento . . . . . . . . . 138

6.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7 Teoría de la demostración 1417.1 El sistema de deducción natural . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.2 Corrección, completitud y decidibilidad . . . . . . . . . . . . . 1487.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

A Conjuntos, relaciones y funciones IA.1 Nociones de teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . II

A.1.1 Inclusión e igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . IIA.1.2 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . IIIA.1.3 Partes de un conjunto y propiedades de las operaciones

con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VA.1.4 Cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . VII

A.2 Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIIA.2.1 Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . IXA.2.2 Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XA.2.3 Mínimos y máximos de un conjunto . . . . . . . . . . . XII

A.3 Relaciones n−arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIIA.4 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII

A.4.1 Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . XIVA.4.2 Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . XVA.4.3 Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI

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Capítulo 1

Introducción

La lógica formal es la ciencia que estudia las leyes de inferencia en losrazonamientos. Por medio de la formalización del lenguaje y de sus reglasbásicas, proporciona las herramientas necesarias para poder tratar e intentarresolver rigurosamente problemas que tienen sus origines y aplicaciones entodas las áreas de las ciencias.

En particular los alumnos de la Ingeniería en Informática podrán aplicarsus conocimientos de lógica al estudio del Álgebra, del Cálculo, de la Ma-temática Discreta, de la Electrónica Digital, de la Teoría de Autómatas yLenguajes Formales, de la Programación, de las Bases de Datos, etc.

El contenido de este primer capítulo es una breve introducción a los con-ceptos generales que se desarrollarán más en detalle en los siguientes capítulosde esta publicación.

1.1 El lenguaje de la lógicaEl lenguaje natural que utilizamos en la comunicación humana permite unalto grado de �exibilidad: muy a menudo podemos entender el signi�cadode una oración sin que esa sea correctamente formulada. Por el otro lado,ese lenguaje presenta unas limitaciones: si queremos poder formular sóloa�rmaciones que se puedan de�nir correctas o verdaderas sin ningún gradode ambigüedad, tendremos que de�nir un lenguaje más preciso que se sueledenominar lenguaje formal.

En el lenguaje natural existen oraciones para la cuales no tiene sentidopreguntarse si son verdaderas o falsas.

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Ejemplo 1.1.1 Las frases �¾Cómo te llamas?� y �Por favor, dame tu libro�son dos ejemplos de oraciones a las cuales no podemos asociar un valor deverdad.

Por estas razones y por la necesidad de realizar cálculos exactos, el len-guaje formal de la lógica se ocupa de proposiciones, que son oracionesdeclarativas (apofánticas) a las cuales se pueden asociar valores de verdad.

Ya comentamos que el interés principal de la lógica es el estudio de lavalidez del razonamiento. Las de�niciones básicas de razonamiento y validezson las siguientes:

Razonamiento (deducción, inferencia, argumento): es la obtenciónde un nuevo conocimiento (conclusión) a partir de una serie de conocimientos(premisas).

Validez formal de un razonamiento: un razonamiento es formalmen-te válido si la conclusión es necesariamente verdadera si las premisas sonverdaderas.

Estructura del lenguaje formalTodo lenguaje formal viene de�nido por su sintaxis, semántica y sistemas dedemostración:

Sintaxis (reglas de formación, gramática): es la de�nición axiomáticade los elementos básicos del lenguaje y de las reglas que permiten obtenernuevas expresiones correctas a partir de aquellos. Las expresiones admitidaspor el lenguaje se denominan fórmulas.

Semántica (relación entre el lenguaje y su signi�cado): es la de�nición deun conjunto de signi�cados (generalmente verdadero o falso) que se puedanasociar a una fórmula. Permite de�nir la validez de una fórmula o de unrazonamiento.

Sistemas de demostración: son sistemas formales que permiten ave-riguar cuándo una fórmula o un razonamiento son válidos. En el contextode la sintaxis se denominan teoría de la demostración. En el caso de lasemántica se denominan teoría interpretativa.

Niveles de la lógica formalLógica proposicional (lógica de proposiciones): en la lógica proposicionalse estudian las fórmulas proposicionales construidas a partir de fórmulas ató-

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micas (proposiciones declarativas simples) y conectivos lógicos (y, o, implica,etc.).Ejemplos 1.1.2 1) Formalización de frases:

Estudio todo el temario (e); No estudio todo el temario(¬(e));Apruebo la asignatura (a);Estudio todo el temario y apruebo la asignatura (e ∧ a);Si estudio todo el temario, entonces apruebo la asignatura (e −→ a).2) Formalización de razonamientos:Razonamiento válido:Premisa 1: Si estudio todo el temario, entonces apruebo la asignatura(e −→ a).Premisa 2: No apruebo la asignatura (¬(a))Conclusión: No estudio todo el temario (¬(e))Razonamiento no válido:Premisa 1: Si estudio todo el temario, entonces apruebo la asignatura(e −→ a).Premisa 2: No estudio todo el temario (¬(e))Conclusión: No apruebo la asignatura (¬(a))

Lógica de predicados de primer orden: la lógica de primer orden esuna generalización de la lógica de proposiciones. Introduciendo nuevos ele-mentos como los cuanti�cadores existenciales y universales, permite estudiarla estructura interna de los enunciados (sus propiedades, las relaciones entreobjetos, etc.).Ejemplos 1.1.3 1) Formalización de una frase:

El cuadrado de todo número real es no negativo (∀x(x ∈ R −→ x2 ≥ 0))2) Formalización de un razonamiento (válido):Premisa 1: Todas las personas son mortales (∀x(P (x) −→ M(x)))Premisa 2: Sócrates es una persona (P (s))Conclusión: Sócrates es mortal (M(s))

Lógicas de orden superior: son extensiones de la lógica proposicionaly de predicados de primer orden que amplían el uso de los cuanti�cadores.

En esta publicación se tratará exclusivamente el estudio de la lógica pro-posicional y de predicados de primer orden.

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1.2 Resumen de la historia de la lógicaLa de�nición de lógica como ciencia formal en la cultura occidental es el re-sultado de un largo desarrollo histórico que empieza con las obras de algunos�lósofos griegos y llega hasta la actualidad.

Históricamente las áreas de aplicación más importantes de la lógica sonla �losofía, las matemáticas y la informática.

A continuación se presenta un resumen muy reducido de los principalespasos que han llevado a la formulación de la lógica formal. El lector interesadopodrá encontrar un tratamiento más extensivo en la referencia [UNED1] ysu bibliografía.

1.2.1 Lógica y �losofíaEn el siglo cuarto antes de nuestra era Aristóteles fue el primero en tratarde formalizar el razonamiento humano para poder discernir en la discusiones�losó�cas. Aristóteles se puede considerar el fundador de la denominadalógica clásica.

Durante la Edad Media el proceso de sistematización de la lógica fuedesarrollado por los �lósofos árabes y los escolásticos.

En el siglo XIII Santo Tomás de Aquino empleó la lógica en el contextode las discusiones teológicas.

Fue Leibniz, en el siglo XVII, el primero a formular la lógica como basedel razonamiento matemático, pero sus estudios fueron abandonados hasta elsiglo XIX, cuando �nalmente se fundó la lógica matemática como ciencia.

1.2.2 Lógica y matemáticasA mediados del siglo XIX, en el 1854, el inglés George Boole publicó ellibro The Laws of Thought (Las leyes del pensamiento). In�uenciado por lasteorías de los matemáticos De Morgan y Hamilton, Boole de�nió la lógicacomo sistema formal dirigido no sólo al estudio del lenguaje natural. Su obraproporciona un modelo algebraico de la lógica de proposiciones.

En el 1879 el alemán Gottob Frege publicó el libro Grundgesetze derAruthmetik: Begri�sschriftlich abgeleitet (Fundamentos de Aritmética: Con-ceptualmente derivada), en el cuál se formaliza la lógica de predicados.

A principios del siglo XX Bertrand Russell y Whitehead, inspiradospor el trabajo del matemático italiano Giuseppe Peano, publicaron los tres

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volúmenes de Principia Mathematica y Hilbert propuse el problema de laaxiomatización de las matemáticas. En 1936Gödel demuestró el famoso teo-rema de incompletitud del enfoque axiomático, que contesta negativamenteal problema de Hilbert.

El resultado de todas estas obras fue la base teórica de la teoría axiomáticay semántica.

1.2.3 Lógica e informáticaUna nueva época para la lógica comienza en las décadas de 1950 y 1960a causa de la aparición de los ordenadores. Surgió entonces la necesidadde determinar si fuese posible especi�car formalmente programas y de�nirsistemas de demostración automática de teoremas. Estos tipo de problemasson los principales objetos de estudio de la lógica informática.

El nacimiento de la inteligencia arti�cial y del primer lenguaje declarativo(LISP) se puede �jar en el 1959, con el trabajo de Mc Carthy.

A lo largo de los años sesenta se mejoran los primeros sistemas de demos-tración automática y en el 1965 aparece la la regla universal de resolucióncon uni�cación de Robinson.

En los años setenta se desarrolló la programación lógica como herramientade resolución de problemas. En 1972 Colmerauer creó el primer lenguajede programación lógica: Prolog.

A partir de los años ochenta se empiezan a utilizar nuevas lógicas noclásicas, como, por ejemplo, lógicas que permiten dar una interpretaciónprobabilista de la incertidumbre.

Algunas de las áreas de aplicación de la lógica en informática son:

• La especi�cación y la veri�cación de programas.

• La demostración automática de teoremas.

• La programación lógica.

• La inteligencia arti�cial y los sistemas basados en el conocimiento.

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Parte I

Lógica de proposiciones

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Capítulo 2

Sintaxis de la lógica proposicional

Como ya comentamos en el capítulo de introducción, la sintaxis es la de�-nición axiomática de los elementos básicos del lenguaje y de las reglas quepermiten obtener nuevas expresiones correctas a partir de aquellos, las fór-mulas.

Recordamos que se puede �jar el origen de la lógica matemática (y de lalógica proposicional) al �nal del siglo XIX, coincidiendo con la aparición delas obras de G. Boole (1815-1864) y de G. Frege (1848-1925).

El objetivo de este capítulo es el estudio de la sintaxis de la lógica propo-sicional que nos permite analizar las fórmulas proposicionales construidas apartir de fórmulas atómicas (proposiciones declarativas simples) y conectivoslógicos.

De�niciones generales:• Un alfabeto A es un conjunto de símbolos.

• Una palabra sobre el alfabeto A es una secuencia �nita de símbolosde A. Al conjunto de todas las posibles palabras se le suele denotarcomo A∗.

• Un lenguaje sobre el alfabeto A es un cualquier subconjunto de A∗.

• Las reglas de formación son las reglas que permiten obtener nuevasexpresiones de un lenguaje a partir de expresiones básicas.

A continuación vamos a de�nir el lenguaje de la lógica de proposicionespor medio de su alfabeto y sus reglas de formación.

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2.1 Alfabeto del lenguaje formal de la lógicaproposicional

Los elementos básicos del alfabeto del la lógica proposicional son:

• Las proposiciones atómicas (enunciados simples o variablesproposicionales): son proposiciones (oraciones declarativas a las cua-les se pueden asociar valores de verdad) que no pueden descomponerseen otras proposiciones más simples.Para representar las proposiciones atómicas se suelen usar los símbo-los p, q, r, s, t, . . . El conjunto de estos símbolos se suele denominarsignatura.

Ejemplos 2.1.1 Los siguientes son ejemplos de proposiciones simples:p = la raíz cuadrada de 2 es irracional,q = hoy me siento feliz,t = los gatos son felinos.

• Los conectivos lógicos:

1. constantes (de aridad 0): > (verdadero) y ⊥ (falso)

2. conectivos unarios: ¬ (negación)

Ejemplo 2.1.2 Siendo q = hoy me siento feliz, aplicando la ne-gación se obtiene ¬(q) = hoy no me siento feliz.

3. conectivos binarios:∧ (y: la conjunción), ∨ (ó: la disyunción),→ (la implicación), ↔ (la doble implicación o coimplicación).

NOTACIÓN: El símbolo ◦ se usará para representar un conec-tivo binario cualquiera.

Ejemplos 2.1.3 1) La frase �Hoy llueve, sin embargo no hacefrío� se escribe como (p ∧ ¬(q)), donde p = hoy llueve y q = hacefrío.

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Conectiva lingüística Conectivo lógico Símbolo Fórmulaverdadero Constante de aridad 0 > >

falso Constante de aridad 0 ⊥ ⊥no p Negación (unario) ¬ ¬(p)p y q Conjunción (binario) ∧ (p ∧ q)p ó q Disyunción (binario) ∨ (p ∨ q)

si p entonces q Implicación (binario) → (p → q)p si y solo si q Coimplicación (binario) ↔ (p ↔ q)

Tabla 2.1: Los conectivos de la lógica proposicional

2) La frase �Los lápices de mi hermana son rojos o negros� seescribe como (p ∨ q), donde p = los lápices de mi hermana sonrojos y q = los lápices de mi hermana son negros.3) El comando �IF p THEN q� se escribe como (p → q).

4) La frase �La luna es de papel si y sólo si Carlos lee muchoslibros� se escribe como (p ↔ q), donde p = la luna es de papel yq = Carlos lee muchos libros.

• Los símbolos de puntuación (o símbolos auxiliares): paréntesisabiertos y cerrados, comas.

Ejemplos 2.1.4 1) La frase �Si n es un número primo y mayor que2, entonces n es impar� se escribe como ((p ∧ q) → r), donde p = n esprimo, q = n es mayor que 2 y r = n es impar.2) El comando �IF p THEN q ELSE r� en lógica de proposiciones seescribe como ((p → q) ∨ r).

2.2 De�nición recursiva de las expresiones bienconstruidas: fórmulas

Los elementos básicos de un lenguaje permiten de�nir cadenas �nitas desímbolos arbitrarias (palabras). Así, por ejemplo, la palabra ()¬p∧∨)q →)se puede formar a partir del alfabeto de la lógica de proposiciones. De todas

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las posibles palabras, nos interesa de�nir aquellas que se obtienen a partir delalfabeto dado sólo por medio de la reglas de formación de nuestro lenguaje.

De�nición 2.2.1 Una fórmula proposicional (fórmula bien construi-da, fbc) es una palabra sobre el alfabeto de la lógica proposicional que puedeconstruirse en un número �nito de pasos mediante las reglas de formaciónque vamos a de�nir a continuación.

NOTACIÓN: Para representar las fórmulas se suelen usar las letras delalfabeto griego φ, ψ, χ, . . .

De�nición 2.2.2 (De�nición recursiva de las expresiones bien cons-truidas)

1. (At): Los símbolos > y ⊥ y toda proposición atómica son una fórmula.

2. (¬): Si φ es una fórmula entonces ¬(φ) es una fórmula.

3. (◦): Si φ y ψ son dos fórmulas entonces (φ ◦ ψ) es una fórmula.

4. Si una palabra no se obtiene mediante las tres reglas anteriores entoncesno es una fórmula.

Ejemplos 2.2.3 Todas las palabras de los ejemplos anteriores, salvo la pa-labra ()¬(p) ∧ ∨)q →), son fórmulas proposicionales.

Así la palabra ((p ∧ q) → r), del ejemplo 2.1.4 es una fórmula bienconstruida ya que:

1. p, q, r, son fórmulas atómicas (aplicando (At)),2. (p ∧ q) es una fórmula proposicional (aplicando (◦)),3. ((p ∧ q) → r) es una fórmula proposicional (aplicando (◦)).

2.2.1 El principio de inducción estructural para fórmu-las proposicionales

Para poder estudiar las propiedades de las fórmulas proposicionales una de lastécnicas más adecuadas es el principio de inducción estructural para fórmulasproposicionales que es una versión generalizada del principio de inducciónde�nido por los axiomas de Peano de los números naturales.

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El principio de inducción estructural se aplica a conjuntos generados in-ductivamente (recursivamente), es decir, conjuntos tales que sus elementos seobtienen como resultado de aplicar un número �nito de reglas de formación.

Sus aplicaciones son numerosas y en informática se utiliza para la veri�-cación de programas (ver por ejemplo el capítulo 9 de [C]).

El principio de inducciónEl conjunto N = {1, 2, 3, 4, . . . } de los números naturales se puede caracteri-zar como cualquier conjunto que veri�que los llamados axiomas de Peano:

• En N hay un elemento distinguido que denominamos 1.

• Para cada n ∈ N se de�ne de manera única el siguiente de n. Sedenota s(n) y es un elemento de N tal que s(n) 6= 1 para cada n ∈ N.

• Si s(n) = s(m) entonces n = m.

• Principio de inducción: si un subconjunto A ⊆ N veri�ca que 1 ∈ Ay que n ∈ A implica s(n) ∈ A, entonces se tiene que A = N.

Principio de inducción estructural para fórmulas proposicionalesSea P una cierta propiedad tal que:

1. Base de inducción (At): Los símbolos > y ⊥ y toda proposiciónatómica cumplen la propiedad P.

Pasos de inducción:

2. (¬): Si φ es una fórmula que cumple la propiedad P (hipótesis deinducción), entonces ¬(φ) cumple la propiedad P.

3. (◦): Si φ y ψ son dos fórmulas que cumplen la propiedad P (hipótesisde inducción), entonces (φ ◦ ψ) cumple la propiedad P.

El principio de inducción estructural para fórmulas proposi-cionales a�rma que si se veri�can las condiciones anteriores, entoncesse puede concluir que toda fórmula bien construida cumple la pro-piedad P.

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Ejemplo 2.2.4 [HLR] Usando el principio de inducción estructural podemosprobar que toda fórmula φ contiene el mismo número de paréntesis abiertosy cerrados:

Base de inducción (At): Los símbolos > y ⊥ y toda proposiciónatómica contienen 0 paréntesis abiertos y 0 paréntesis cerrados.

Pasos de inducción:• (¬): Si φ es una fórmula que contiene n paréntesis abiertos y n pa-

réntesis cerrados, entonces ¬(φ) contiene n + 1 paréntesis abiertos y n + 1paréntesis cerrados.

• (◦): Si φ y ψ son dos fórmulas que contienen nφ y nψ paréntesisabiertos y nφ y nψ paréntesis cerrados respectivamente, entonces (φ ◦ ψ)contiene nφ + nψ + 1 paréntesis abiertos y nφ + nψ + 1 paréntesis cerrados.Se sigue que, por el principio de inducción estructural, toda fórmula φ con-tiene el mismo número de paréntesis abiertos y cerrados.

2.3 Representación de las fórmulas bien cons-truidas

En este apartado vamos a ilustrar las maneras más usadas para representarlas fórmulas de la lógica proposicional.

2.3.1 Fórmulas en forma usual y abreviadaForma usual

Siguiendo las reglas de formación de las fórmulas proposicionales obtene-mos ejemplos de expresiones bien construidas como las siguientes:

1. ((p ∧ (p → r)) ∨ (q ↔ t)),

2. (p ∧ (¬(¬((q → r) → (p ∨ (¬(r))))))),

3. (p → (q → r)).

Se puede notar que se usan paréntesis para evitar ambigüedad en la for-malización. Sin embargo este uso se puede relajar obteniendo expresionesque no son fórmulas bien construidas, pero vienen empleadas como tales porrazones de convenios.

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Forma abreviadaPara reducir una fórmula bien construida a su forma abreviada pode-

mos seguir los siguientes pasos:a) Se puede omitir el par de paréntesis externo.

Así, por ejemplo, las anteriores fórmulas 1., 2. y 3. se escribirían como:1.1. (p ∧ (p → r)) ∨ (q ↔ t),2.1. p ∧ (¬(¬((q → r) → (p ∨ (¬(r)))))),3.1. p → (q → r).

b) Se introducen las siguientes reglas de precedencia entre conectivos quede�nen las prioridades que tenemos que respectar a la hora de aplicarlos:

Nivel 1: ¬,Nivel 2: ∨ y ∧,Nivel 3: → y ↔ .Así, por ejemplo, las anteriores fórmulas 1.1, 2.1. y 3.1 se escribirían

como:1.2. (p ∧ (p → r)) ∨ (q ↔ t),2.2. p ∧ ¬¬((q → r) → p ∨ ¬r),3.2. p → (q → r).

c) Se admite el convenio de asociatividad: los conectivos ∨∧, y → seasocian por la derecha:

p ∧ q ∧ r es p ∧ (q ∧ r), p ∨ q ∨ r es p ∨ (q ∨ r),

p → q → r es p → (q → r).

Así, por ejemplo, las anteriores fórmulas 1.2, 2.2. y 3.2 se escribiríancomo:

1.3. (p ∧ (p → r)) ∨ (q ↔ t),2.3. p ∧ ¬¬((q → r) → p ∨ ¬r),3.3. p → q → r.

2.3.2 Principio de unicidad de estructura para fórmulasproposicionales

El siguiente principio de unicidad de estructura para fórmulas proposicionalesa�rma que cada fórmula admite un análisis sintáctico único, es decir, existeuna única manera de derivar una fórmula usando las reglas de formacióndadas.

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Este principio nos permitirá representar fórmulas proposicionales por me-dio de árboles sintácticos (o estructurales).

Principio de unicidad de estructura para fórmulas proposicionalesToda fórmula proposicional φ pertenece a una y sólo una de las siguientes

categorías:

1. (At): φ es atómica,

2. (¬): φ es ¬(φ1) para cierta fórmula φ1,

3. (◦): φ es (φ1 ◦ φ2) para cierto conectivo ◦ y ciertas fórmulas φ1 yφ2 .

Además, en todos los casos la fórmulas φ1 y φ2 están unívocamente deter-minadas.

Observación 1 Este principio no se aplica a expresiones que no son fór-mulas proposicionales ya que, por ejemplo, la expresión p ∧ q ∨ r se podríaconstruir como (p ∧ q) ∨ r o como p ∧ (q ∨ r) .

2.3.3 Fórmulas en forma de árbol estructuralUna primera consecuencia del principio de unicidad de estructura es la posi-bilidad de representar fórmulas proposicionales por medio de árboles.

El alumno estudiará el concepto de árbol en detalle en él contexto de lateoría de grafos en la asignatura de Matemática Discreta y Álgebra. Aquíqueremos simplemente introducir por medio de ejemplos árboles con raízpara realizar diagramas grá�cos asociados a fórmulas proposicionales.

Repaso de alguna de�niciones y propiedades básicas sobre árboles[CM]:

De�nición 2.3.1 Un grafo simple G es un par G = (V, E) formado porun conjunto �nito de vértices V y un conjunto E de pares no ordenados devértices distintos, es decir,

E ⊂ {{u, v} |u, v ∈ V ∧ u 6= v}.A los elementos de E se les denomina aristas (no dirigidas o no orien-tadas).

23

De�nición 2.3.2 El grado de un vértice en un grafo simple es el númerode aristas incidentes con él.

De�nición 2.3.3 Un camino de longitud n entre los vértices a y b de ungrafo no dirigido es una sucesión �nita (e0, ..., en−1) de aristas del grafo

e0 = {v0, v1}, e1 = {v1, v2}, ..., en−1 = {vn−1, vn}

de manera que v0 = a, vn = b y cada arista sucesiva empieza donde terminóla anterior. Si el grafo es simple, el camino (e0, ..., en−1) queda perfectamentedeterminado por la sucesión de vértices

(a, v1, v2, ..., vn−1, b).

Diremos que el camino anterior pasa por (o atraviesa) los vértices a,v1, v2, ..., vn−1, b.

Se dice que un camino es un circuito si es cerrado, esto es, empieza ytermina en el mismo vértice, es decir, si a = b.

Se dice que un camino es simple si no contiene a la misma arista másde una vez.

Un circuito que no pasa dos veces por el mismo vértice (salvo el inicialpor el que pasa dos veces) se llama ciclo.

De�nición 2.3.4 Un árbol es un grafo no dirigido, conexo y sin circuitossimples.

Proposición 2.3.5 Sea G = (V, E) un grafo simple. G es un árbol si ysolamente si para cada par de vértices u, v ∈ V existe un único camino simpleque une u con v.

De�nición 2.3.6 Un árbol con raíz es un par (T, r) donde T es un árboly r un vértice distinguido de T llamado raíz al que se suele colocar en larepresentación grá�ca en la parte superior.

De�nición 2.3.7 Dado un árbol con raíz (G, r) se denominan hojas a losvértices de G distintos de r que tienen grado 1.

Los árboles con raíz llevan asociada una terminología de origen botánicoy genealógico: dado un árbol con raíz T, si v es un vértice de T distinto dela raíz, el padre de v es el único vértice u de T tal que hay una arista de

24

u a v. Si u es el padre de v, también diremos que v es un hijo de u. Losantecesores de un vértice son los vértices que nos encontramos en el únicocamino que une dicho vértice con la raíz. Los descendientes de un vérticev son todos aquellos vértices de los que v es antecesor.

Es fácil darse cuenta de que las hojas de un árbol dirigido son los vérticesque no tienen descendientes. A los vértices distintos de la raíz que no sonhojas de un árbol con raíz se les denomina vértices internos.

p

p

r

q t

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

@@

@@

@@

@@³³³³³³³³³³³HHHHHHHH

@@

@@

¡¡

¡¡

Figura 2.1: Árbol sintáctico de ((p ∧ (p → r)) ∨ (q ↔ t)).

Vamos entonces a usar árboles con raíz para representar la estructurasintáctica de las fórmulas proposicionales como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.3.8 Sea φ la fórmula proposicional

((p ∧ (p → r)) ∨ (q ↔ t)).

Para representar la estructura sintáctica de φ, podemos dibujar el árbolcon raíz de la �gura 2.1.

Las hojas del árbol obtenido representan las fórmulas atómicas a partir delas cuales se ha generado φ. El árbol se lee de abajo hacía arriba y en cadanodo interior y en la raíz aparecen los conectivos empleados en la formaciónde nuestra fórmula.

25

2.3.4 El principio de recursión estructural para fórmu-las proposicionales

Una segunda consecuencia del principio de unicidad de estructura es el prin-cipio de recursión estructural para fórmulas proposicionales que nos permitede�nir funciones

f : L −→ A

cuyo dominio sea el conjunto de las fórmulas proposicionales, y cuyo codo-minio sea un conjunto dado A.

El principio de recursión estructural para fórmulas proposicionalesconsiste en la siguiente de�nición recursiva de la función f : L −→ A :

1. Base (At): Si φ es atómica, f( φ ) se de�ne explícitamente, es unelemento de A,

Pasos recursivos:

2. (¬): f(¬(φ)) es un valor que depende de ¬ y de f(φ1),

3. (◦): f(φ1 ◦ φ2) para cierto conectivo ◦ y ciertas fórmulas φ1 y φ2 esun valor que depende de ◦, f(φ1) y f(φ2).

Estas de�niciones determinan la función f sobre todo L.

Ejemplo 2.3.9 (HLR) Se puede de�nir recursivamente la función

f : L −→ N ∪ {0}

que a cada fórmula φ ∈ L asocia el número (entero no negativo) de conec-tivos binarios en la estructura sintáctica de φ :

1. Base (At): Si φ es atómica, f( φ ) = 0

Pasos recursivos:

2. (¬): f(¬(φ)) = f( φ )

3. (◦): f(φ1 ◦ φ2) = f(φ1) + f(φ2) + 1, para cierto conectivo ◦ y ciertasfórmulas φ1 y φ2.

26

2.3.5 Fórmulas en forma de LukasiewiczVamos a de�nir una nueva forma de representar fórmulas proposicionales queno utiliza paréntesis, denominada forma de Lukasiewicz.

Cuando por ejemplo escribimos (φ ◦ ψ) estamos usando una notaciónin�ja, ya que el conectivo binario ◦ aparece en el medio de las fórmulas φy ψ (lo mismo pasa con la notación usual del símbolo de adicción, comoen 3 + 2 ). La correspondiente la notación pre�ja es ◦pq (en el ejemplonumérico sería equivalente a escribir +3 2).

Así que la notación de Lukasiewiczde de la fórmula

((p ∧ (p → r)) ∨ (q ↔ t))

del ejemplo 2.3.8 es

∨ ∧ p → pr ↔ qt.

Si miramos a la �gura 2.1 se puede notar que la forma de Lukasiewicz sepuede obtener recorriendo el árbol sintáctico de la fórmula representada.

2.4 Formalización del lenguaje naturalEn esta sección se presentan alguno ejemplo de formalización del lenguajenatural. La formalización es una herramienta básica y el alumno tendráocasión de practicarla a lo largo de todo el estudio de la lógica proposicionaly de predicados.

Ejemplos 2.4.1 1) El enunciado �Si una función f es derivable, entoncesf es continua� se puede formalizar de�niendo las fórmulas atómicas p = fes derivable y q = f es continua y aplicando el conectivo de implicación. Seobtiene (p → q).

2) La frase �Si salto por la ventana o me hago daño o empiezo a volar�se puede formalizar por medio de las proposiciones atómicas p = salto porla ventana, q = me hago daño y r = empiezo a volar y los conectivos deimplicación y de disyunción. Se obtiene (p → (q ∨ r)).

3) La frase �Si salto por la ventana me podría hacer daño, sin embargoempiezo a volar� se puede formalizar por medio de las proposiciones atómicasp = salto por la ventana, q = me podría hacer daño y r = empiezo a volary los conectivos de implicación y de conjunción. Se obtiene (( p → q) ∧ r)).

27

4) El enunciado �condición necesaria y su�ciente para que un númeroentero n sea par es que n sea divisible por 3� se puede formalizar por mediode las proposiciones atómicas p = n es un número entero, q = n es par,r = n es divisible por 3 y los conectivos de conjunción y coimplicación. Seobtiene ((p ∧ q) ↔ r).

2.5 EjerciciosEjercicio 2.5.1 Identi�ca cuáles de las siguientes palabras no son fórmulasproposicionales y cuáles son fórmulas proposicionales abreviadas:

a) ( p → q) ∧ r) ∨ (s ∧ t),b) (¬(¬(¬(p ∧ (q → ¬(r))))),c) ¬(p),d) p¬ ∧ q.

Ejercicio 2.5.2 Escribe en forma abreviada la fórmula proposicional

((( p → q) ∧ r) ∨ (s ∧ t)).

Ejercicio 2.5.3 Escribe en forma no abreviada la fórmula proposicional

¬r → q ∧ t ∨ s.

Ejercicio 2.5.4 Representa en forma de árbol estructural las siguientes fór-mulas:

((p ∨ q) → r),((p → q) → ((r → p) → (r → q))),(¬(p ∨ q) ↔ (¬(p) ∧ ¬(q))),((¬(¬(¬(p) ∨ r) ∨ q)) → (¬(p ∧ q) ∨ r)),(((p ∨ r) → (p ∨ ¬(r))) ↔ (r → p)),(p → (s → p)).

Ejercicio 2.5.5 Se denomina nivel (o profundidad) de un vértice en unárbol con raíz a la longitud del camino que une la raíz con dicho vértice.

La altura de un árbol con raíz es el mayor de los niveles de sus vértices(i.e., la longitud del camino más largo posible entre la raíz y un vértice delárbol).

28

La profundidad de una fórmula proposicional se de�ne como la alturade su árbol sintáctico.

Usando el principio de recursión estructural, de�ne recursivamente la fun-ción fp que asigna a cada fórmula φ su profundidad.Sugerencia: usa la función que calcula el máximo entre dos números ente-ros.

Ejercicio 2.5.6 (HLR) a) Usando el principio de recursión estructural, de-�ne recursivamente la función fn que asocia a cada fórmula φ el número(entero no negativo) de conectivos, sin contar los conectivos de aridad 0, queaparecen en la estructura sintáctica de φ.

b) Demuestra por inducción estructural que para toda fórmula φ se veri-�ca que

fp(φ) ≤ fn(φ),

donde la función fp es la función profundidad del ejercicio anterior.

Ejercicio 2.5.7 Formaliza este texto de Platón:Si lo uno está en movimiento, éste habrá de ser, o de movimiento sin

cambio en el estado, o de alteración.No puede tratarse de un movimiento de alteración, porque entonces lo

Uno dejaría de ser Uno.Si se tratara de lo primero, tendría que ser, o bien rotación de lo Uno

sobre sí mismo en el propio lugar en que se encuentra, o bien cambio de unlugar a otro. Ninguna de las dos cosas ocurre, sin embargo.

Luego lo Uno no está sujeto a ningún tipo de movimiento.

Ejercicio 2.5.8 Formaliza el texto siguiente:Si llueve las calles estarán vacías. Si las calles están vacías, el comercio

obtiene perdidas. Los músicos no podrían sobrevivir si los comerciantes noles contratasen para componer canciones para publicidad. Los comerciantesinvierten en canciones publicitarias cuando tienen perdidas. Por tanto, sillueve, los músicos pueden sobrevivir.

Capítulo 3

Semántica de la lógicaproposicional. Teoríainterpretativa

En este capítulo vamos a estudiar la semántica y sus sistemas de demostraciónen la lógica proposicional. A continuación recordamos sus de�niciones:

La semántica es la de�nición de un conjunto de signi�cados (generalmen-te verdadero o falso) que se puedan asociar a una fórmula. Permite de�nirla validez de una fórmula o de un razonamiento.

Los sistemas de demostración son sistemas formales que permitenaveriguar cuándo una fórmula o un razonamiento son válidos. En el contextode la semántica se denominan teoría interpretativa.

3.1 Valoraciones de un lenguaje formalRecordamos que el conjunto Σ de los símbolos p, q, r, s, t, . . . que represen-tan las proposiciones atómicas se suele denominar signatura:

Σ = {p, q, r, s, t, . . . }.

De�nición 3.1.1 Sea L el lenguaje de la lógica proposicional. Una valora-ción del lenguaje L es cualquier función

v : Σ −→ {0, 1}

29

30

de la signatura Σ al conjunto de dos elementos {0, 1}. El símbolo 0 representael valor �falsedad� y el símbolo 1 el valor �verdad�.

Ejemplo 3.1.2 Si Σ = {p, q}, podemos representar las cuatro posibles va-loraciones de Σ por medio de las �las de la tabla a). De forma similiar, siΣ = {p, q, r}, podemos representar las ocho posibles valoraciones de Σ pormedio de las �las de la tabla b).

a)

p q0 00 11 01 1

b)

p q r0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

Usando una demostración por inducción se puede veri�car que si Σ con-tiene n elementos, entonces hay 2n posibles valoraciones de Σ.

3.2 Evaluación semántica de fórmulasDada una valoración v : Σ −→ {0, 1} nos interesa extender su de�nicióna todas las fórmulas proposicionales para poder establecer sus valores deverdad (veritativos). Como es de esperar, esta de�nición se hará de formarecursiva.

En lo que se sigue usaremos la forma abreviada para las fórmulas propo-sicionales.

Como primer paso tenemos que de�nir los valores que toman los conecti-vos lógicos:

(¬): Los valores de verdad del conectivo lógico negación, v¬p , residen enque la fórmula ¬p es verdadera en el caso de que p sea falsa y recípro-camente que ¬p es falsa cuando p es verdadera. Los valores de verdadv¬p correspondientes al conectivo ¬ se representan en la tercera co-lumna de la tabla 3.1.

31

Ejemplo 3.2.1 Sea p = Luis tiene 18 años. Entonces ¬p = Luis notiene 18 años es verdadera si es falso que Luis tiene 18 años y es falsasi Luis los tiene.

(∧): La fórmula p∧q ( p y q ), es verdadera sólo cuando p y q son verdaderassimultáneamente. Los valores de verdad vp∧q correspondientes a esteconectivo se representan en la cuarta columna de la tabla 3.1.

Ejemplo 3.2.2 Sean p = Luis tiene 18 años y q = Maria es española.Entonces p∧ q = Luis tiene 18 años y Maria es española es verdaderasólo si es verdadero que Luis tiene 18 y es también verdadero que Mariaes española.

(∨): La fórmula p∨ q ( p ó q ), es verdadera en el caso de que p sea verda-dera, q sea verdadera o ambas sean verdaderas simultáneamente. Losvalores de verdad vp∨q correspondientes a este conectivo se representanen la quinta columna de la tabla 3.1.

Ejemplo 3.2.3 Sean p = Luis tiene 18 años y q = Maria es española.Entonces p∨ q = Luis tiene 18 años ó Maria es española es falsa sólosi es falso que Luis tiene 18 y es también falso que Maria es española.

(→): Para establecer el signi�cado de la fórmula p → q ( p implica q ), debe-mos tener presente que en lenguaje natural este enunciado encierra unarelación de causalidad, que no siempre aparece al utilizar este conectivoen el ámbito formal.En lenguaje matemático, p implica q quiere decir que si p es verdadera,necesariamente q es verdadera, o lo que es lo mismo, que es imposibleque q sea falsa si p es verdadera. Por tanto el único caso en el cualp → q puede ser falsa es si p es verdadera y q es falsa.Las fórmulas atómicas p y q son, respectivamente, el antecedente opremisa y el consecuente o conclusión de la fórmula p → q.

La fórmula q → p se denomina sentencia recíproca de la sentenciap → q, y la sentencia ¬q → ¬p sentencia contrarrecíproca de lasentencia p → q.

Los valores de verdad vp→q correspondientes al conectivo p → q serepresentan en la sexta columna de la tabla 3.1.

32

Ejemplo 3.2.4 Sean p = Luis tiene 18 años y q = Maria es española.Entonces p → q es falsa sólo si es verdadero que Luis tiene 18 y esfalso que Maria es española.

(↔): La fórmula p ↔ q ( p si y sólo si q ) es verdadera cuando p y q tienenel mismo valor de verdad. Los valores de verdad vp↔q correspondientesal conectivo p ↔ q se representan en la última columna de la tabla3.1.

Ejemplo 3.2.5 Sean p = Luis tiene 18 años y q = Maria es española.Entonces p ↔ q es falsa si es verdadero que Luis tiene 18 y es falsoque Maria es española o si es falso que Luis tiene 18 y es verdaderoque Maria es española.

p q v¬p vp∧q vp∨q vp→q vp↔q

0 0 1 0 0 1 10 1 1 0 1 1 01 0 0 0 1 0 01 1 0 1 1 1 1

Tabla 3.1: Valores de verdad de los conectivos

Ahora el principio de inducción estructural nos permite extender unavaloración a todas las fórmulas proposicionales.

De�nición 3.2.6 (De�nición recursiva de una valoración) Dada unavaloración v : Σ −→ {0, 1}, se asocia a cada fórmula proposicional φ unvalor de verdad (φ)v ∈ {0, 1} de la siguiente forma:

(At): (>)v = 1, (⊥)v = 0 y(p)v = v(p) para toda proposición atómica p.

(¬): Si φ es una fórmula entonces (¬(φ))v = v¬(φ).

(◦): Si φ y ψ son dos fórmulas entonces (φ ◦ ψ)v = vφ◦ψ(φ ◦ ψ).

33

3.2.1 Tablas de verdadLa tabla de verdad de una fórmula proposicional φ es una forma de re-presentar todos los posibles valores de verdad que φ puede tomar en todaslas posibles valoraciones de las proposiciones atómicas que aparecen en laestructura sintáctica de φ.

Para poder construir la tabla de verdad de φ, tenemos que seguir variospasos:

Paso 1: Tenemos que identi�car las proposiciones atómicas que aparecen en φ,y los pasos que se han seguido para construirla. Podemos usar su árbolestructural.

Ejemplo 3.2.7 Volvamos a considerar la fórmula

φ = ((p ∧ (p → r)) ∨ (q ↔ t))

y la �gura 2.1 del capítulo 2:

p

p

r

q t

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

@@

@@

@@

@@³³³³³³³³³³³HHHHHHHH

@@

@@

¡¡

¡¡

La proposiciones atómicas son p, q, r y t y la construcción de φ seobtiene leyendo su árbol de abajo hacía arriba.

Paso 2: Siguiendo el orden de construcción de φ se escribe la primera �la desu tabla de verdad.Para nuestro ejemplo se obtiene:

34

p q r t p → r p ∧ (p → r) q ↔ t (p ∧ (p → r)) ∨ (q ↔ t)

Paso 3: Se rellenan las columnas que se corresponden a las proposiciones ató-micas con todas sus posibles valoraciones.

Para nuestro ejemplo serían las primeras cuatro columnas de la tabla3.2, que contiene 24 + 1 = 17 �las.

p q r t p → r p ∧ (p → r) q ↔ t (p ∧ (p → r)) ∨ (q ↔ t)0 0 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 0 0 00 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 1 0 0 00 1 0 0 1 0 0 00 1 0 1 1 0 1 10 1 1 0 1 0 0 00 1 1 1 1 0 1 11 0 0 0 0 0 1 11 0 0 1 0 0 0 01 0 1 0 1 1 1 11 0 1 1 1 1 0 11 1 0 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 1 11 1 1 0 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 3.2: Tabla de verdad de φ = (p ∧ (p → r)) ∨ (q ↔ t).

Paso 4: Se rellenan todas las columnas siguiendo las valoraciones de los co-nectivos lógicos de la tabla 3.1 y, en cada �la, las valoraciones de lasproposiciones atómicas.

Para nuestro ejemplo se obtiene la tabla de verdad 3.2.

35

3.3 Modelos y contraejemplos de una fórmu-la bien construida. Tautologías, contingen-cias y contradicciones

La posibilidad de valorar fórmulas proposicionales nos permite de�nir lassiguientes nociones fundamentales.

• Se dice que una fórmula φ es satisfacible bajo una valoración v(o que v es un modelo de φ ) cuando se veri�ca que

(φ)v = 1.

Si φ es satisfacible bajo v se emplea la notación v |= φ.

• Se dice que una valoración v es un contraejemplo de una fórmula φcuando se veri�ca que (φ)v = 0.

• Se dice que una fórmula φ es satisfacible cuando es satisfacible bajoalguna valoración v. En caso contrario se dice que es insatisfacible.

Observación 2 Las de�niciones anteriores se pueden extender a un conjun-to de fórmulas Φ = {φ1, φ2, . . . , φn} pidiendo que la satisfacibilidad de Φsea la satisfacibilidad simultánea de todas las fórmulas que lo de�nen.

Ejemplo 3.3.1 Sea v(p) = 0, v(q) = 1, v(r) = 1 una valoración del con-junto {p, q, r}.

Entonces v es un modelo de la fórmula (p → q)∧r y es un contraejemplode la fórmula p ∧ (q → r).

De�nición 3.3.2 Sea φ una fórmula proposicional construida a partir deun conjunto Σ = {p1, p2, p3, . . . } de proposiciones atómicas.

1. Se dice que la fórmula φ es un enunciado lógicamente válido o unatautología cuando es verdadera bajo cualquier valoración, es decir, siv |= φ para toda valoración v de Σ.

2. Se dice que φ es una contradicción cuando es falsa bajo cualquiervaloración, es decir, si toda valoración v de Σ es un contraejemplo deφ. Por tanto una contradicción es una fórmula insatisfacible.

36

3. Se dice que φ es una contingencia cuando entre las valoraciones deΣ existen al menos un modelo y al menos un contraejemplo de φ.

Observación 3 Sea Φ = {φ1, φ2, . . . , φn} un conjunto de fórmulas. Se pue-de demostrar que

1) Φ es satisfacible si y sólo si φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φn es satisfacible.2) Φ es insatisfacible si y sólo si φ1∧φ2∧ · · · ∧φn es una contradicción.

Ejemplos 3.3.3 1) Por de�nición

> es una tautología y

⊥ es una contraddicción.

2) Para toda fórmula φ

φ ∨ ¬φ es una tautología (ley del tercio excluso) y

φ ∧ ¬φ es una contradicción.

3) Usando una tabla de verdad se puede veri�car que vale la ley conmu-tativa para el conectivo ∧ es decir, que

p ∧ q ↔ q ∧ p

es una fórmula lógicamente válida.

p q p ∧ q q ∧ p p ∧ q ↔ q ∧ p0 0 0 0 10 1 0 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

3.4 Evaluación semántica de deduccionesOtro concepto fundamental que vamos a de�nir es el concepto de consecuen-cia lógica.

37

¬¬p |= p, Ley de la doble negación(p ∧ q) |= p Leyes de simpli�caciónp |= (p ∨ q)(p → q) |= (¬q → ¬p) Ley de contraposición((p → q) ∧ (q → r)) |= (p → r) Ley transitiva de →((p ∧ q) → r) |= (p → (q → r)) Ley de exportación(p ∧ (p → q)) |= q Modus ponens((p → q) ∧ ¬q) |= ¬p Modus tolens

Tabla 3.3: Tabla de algunas implicaciones lógicas

De�nición 3.4.1 Se dice que una fórmula φ es consecuencia lógica deun conjunto �nito de fórmulas Φ = {φ1, φ2, . . . φn} si todo modelo v delconjunto Φ es un modelo de la fórmula φ, es decir, si v |= Φ entoncesv |= φ.

Si φ es consecuencia lógica de Φ también se dice que Φ implica lógi-camente a φ y se escribe Φ |= φ.

Observación 4 Decir que ((φ1∧φ2∧· · ·∧φn) → φ) es una tautología signi�caque es imposible que las fórmulas de Φ tengan todas el valor de verdad 1 yφ tenga valor 0. Por tanto ((φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φn) → φ) es una tautología si ysólo si Φ implica lógicamente a φ.

Por el otro lado una fórmula φ es siempre consecuencia lógica de uncualquier conjunto de fórmulas Φ insatisfacible.

Ejemplo 3.4.2 Se puede veri�car que las fórmulas de la tabla 3.3 son im-plicaciones lógicas (ver exercicio 3.6.4).

De�nición 3.4.3 Sean Φ = {φ1, φ2, . . . φn} un conjunto �nito de fórmulasproposicionales y φ una fórmula. Se de�ne deducción o razonamiento ala fórmula

((φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φn) → φ).

Se dice que el razonamiento anterior es correcto o lógicamente válidosi

(φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φn) |= φ,

es decir, si el conjunto Φ de las premisas o hipótesis del razonamientoimplica lógicamente a la conclusión o tesis φ.

38

Para distinguir las premisas de la conclusión, el razonamiento anterior sesuele representar por

φ1...

φn

φ

Ejemplos 3.4.4 1) El razonamiento

p → qpq

es válido ya que ((p → q) ∧ p)) → q es una tautología.2) Todas las implicaciones de la tabla 3.3 son razonamientos correctos.

El siguiente teorema establece la relación existente entre la validez de unafórmula y el concepto de de consecuencia lógica.

Teorema 3.4.5 [HLR] Sean Φ = {φ1, φ2, . . . φn} un conjunto �nito de fór-mulas proposicionales y φ una fórmula. Entonces las siguientes son equiva-lentes:

• ((φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φn) → φ) es una fórmula válida (una tautología, unrazonamiento válido).

• ((φ1 ∧φ2 ∧ · · · ∧φn)∧¬(φ)) es una fórmula insatisfacible (Reducciónal absurdo).

3.5 Equivalencia de fórmulasEl último concepto fundamental que vamos a estudiar en este capítulo es elconcepto de equivalencia lógica entre fórmulas.

De�nición 3.5.1 Sean φ y ψ dos fórmulas proposicionales. Se dice que φequivale lógicamente a ψ si la fórmula proposicional (φ ↔ ψ) es unatautología. Si φ y ψ son equivalentes se escribe φ ≡ ψ.

39

φ ∧ > ≡ φ φ ∧ ⊥ ≡ ⊥ Leyes de Identidadφ ∨ > ≡ > φ ∨ ⊥ ≡ φφ ∧ ¬φ ≡ ⊥ No contradicciónφ ∨ ¬φ ≡ > Tercio exclusoφ ∧ φ ≡ φ φ ∨ φ ≡ φ Idempotenciaφ1 ∧ (φ1 ∨ φ2) ≡ φ1 φ1 ∨ (φ1 ∧ φ2) ≡ φ1 Absorciónφ1 ∧ φ2 ≡ φ2 ∧ φ1 φ1 ∨ φ2 ≡ φ2 ∨ φ1 Conmutatividad(φ1 ↔ φ2) ≡ (φ2 ↔ φ1)(φ1 ∧ φ2) ∧ φ3 ≡ φ1 ∧ (φ2 ∧ φ3) Asociatividad(φ1 ∨ φ2) ∨ φ3 ≡ φ1 ∨ (φ2 ∨ φ3)φ1 ∧ (φ2 ∨ φ3) ≡ (φ1 ∧ φ2) ∨ (φ1 ∧ φ3) Distributividadφ1 ∨ (φ2 ∧ φ3) ≡ (φ1 ∨ φ2) ∧ (φ1 ∨ φ3)φ1 → (φ2 ∧ φ3) ≡ (φ1 → φ2) ∧ (φ1 → φ3)φ1 → (φ2 ∨ φ3) ≡ (φ1 → φ2) ∨ (φ1 → φ3)φ1 ↔ (φ2 ∧ φ3) ≡ (φ1 ↔ φ2) ∧ (φ1 ↔ φ3)φ1 ↔ (φ2 ∨ φ3) ≡ (φ1 ↔ φ2) ∨ (φ1 ↔ φ3)¬(¬φ) ≡ φ Doble negación(φ1 → φ2) ≡ (¬φ2 → ¬φ1) Ley de contraposición¬(φ1 ∧ φ2) ≡ ¬φ1 ∨ ¬φ2 Leyes de De Morgan¬(φ1 ∨ φ2) ≡ ¬φ1 ∧ ¬φ2

Tabla 3.4: Tabla de algunas equivalencias lógicas

Observación 5 Se sigue de la de�nición que si φ y ψ son dos fórmulasequivalentes, entonces tienen los mismos valores de verdad bajo una cualquiervaloración.

Ejemplo 3.5.2 Vamos a veri�car la siguiente equivalencia lógica:

(p → q) ≡ (¬p ∨ q).

El único caso en el cual (p → q) es falsa es cuando p es verdadera y qes falsa.

El único caso en el cual (¬p ∨ q) es falsa es si ¬p es falsa y q es falsa.Esto es, el caso p verdadera y q falsa.

Se sigue la equivalencia lógica de las dos fórmulas.

40

Observación 6 Recordamos que una relación binaria R sobre un conjuntono vacío A es un subconjunto del producto cartesiano A×A. Dos elementosa y b del conjunto A están en relación si el par (a, b) pertenece a R y eneste caso diremos que R(a, b) es verdadera.Una relación binaria R sobre un conjunto A se dice de equivalencia si es:

Re�exiva: para todo elemento a del conjunto A, R(a, a) es verdadera,Simétrica: si a y b son elementos de A,R(a, b) → R(b, a) es verdadera.Transitiva: si a, b y c son elementos de A,(R(a, b) ∧R(b, c)) → R(a, c) es verdadera.En el ejercicio 3.6.8 se pide demostrar que en el conjunto L de las fór-

mulas bien construidas, la relación

φ ≡ ψ si y sólo si (φ ↔ ψ es una tautología)

es una relación de equivalencia.

En la tabla 3.4 se puede encontrar una lista de las equivalencias lógicasmás utilizadas.

3.6 EjerciciosEjercicio 3.6.1 ¾Cuáles de las fórmulas del ejercicio 2.5.4 del capítulo 2son tautologías? ¾Cuáles son contradicciones?

Para aquellas que sean contingencias, calcula sus modelos y sus contrae-jemplos.

Ejercicio 3.6.2 Prueba que las siguientes fórmulas son tautologías:

φ ∨ ¬φ, ¬(φ ∧ ¬φ),(φ ∧ ψ) ↔ (ψ ∧ φ), (φ ∨ ψ) ↔ (ψ ∨ φ),φ ∧ (ψ ∧ χ) ↔ (φ ∧ ψ) ∧ χ, φ ∨ (ψ ∨ χ) ↔ (φ ∨ ψ) ∨ χφ ∧ (ψ ∨ χ) ↔ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ), φ ∨ (ψ ∧ χ) ↔ (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ),(φ ∨ ¬φ) ∧ ψ ↔ ψ, (φ ∨ ¬φ) ∨ ψ ↔ (φ ∨ ¬φ),(φ ∧ ¬φ) ∨ ψ ↔ ψ, (φ ∧ ¬φ) ∧ ψ ↔ (φ ∧ ¬φ),¬(φ ∨ ψ) ↔ ¬φ ∧ ¬φ, ¬(φ ∧ φ) ↔ ¬φ ∨ ¬φ.

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Ejercicio 3.6.3 Sea φ una fórmula proposicional. Determina cuáles de lassiguientes a�rmaciones son verdaderas y justi�ca tus respuestas.

a) Si φ es insatisfacible, ¬(φ ) es una tautología.b) Si φ es una tautología, ¬(φ ) es insatisfacible.c) Si φ es una contingencia, ¬(φ ) es una contingencia.d) Si φ es satisfacible, ¬(φ ) es satisfacible.e) Si φ es satisfacible, ¬(φ ) no es una tautología.

Ejercicio 3.6.4 Veri�ca las implicaciones lógicas de la tabla 3.3.

Ejercicio 3.6.5 ¾Son validas las siguientes deducciones?

p → ¬rq → r¬(p ∧ q)

,

(q ∨ ¬s) → r¬q → rp → ¬sr → sp → r

,

p → ((q → r) → s)(q → r) → (p → s)

,(q → r) → (p → s)p → ((q → r) → s)

,

p → qq → rs ∨ pr ∨ t

.

Ejercicio 3.6.6 Peláez, Quesada y Rodríguez son tres políticos acusados decorrupción. En el juicio ellos declaran:

Peláez: �Quesada es culpable y Rodríguez es inocente.�

Quesada: �Peláez es culpable sólo si Rodríguez es también culpable.�

Rodríguez: �Yo soy inocente, pero al menos uno de los otros es cul-pable.�

Si todos son inocentes, ¾quién ha mentido?Si todos dicen la verdad, ¾quién es inocente?Si los inocentes dicen la verdad y los culpables mienten, ¾quién es inocen-

te?

Ejercicio 3.6.7 Determina si la deducciones de los ejercicios 2.5.7 y 2.5.8del capítulo 2 son válidas.

42

Ejercicio 3.6.8 La equivalencia de fórmulas es una relación de equi-valencia. Demuestra que en el conjunto L de las fórmulas bien construidas,la relación

φ ≡ ψ si y sólo si (φ ↔ ψ es una tautología)es una relación de equivalencia.

Ejercicio 3.6.9 Veri�ca las equivalencias lógicas de la tabla 3.4.

Ejercicio 3.6.10 Elegir de las a�rmaciones siguientes aquella que sea equi-valente a �No es cierto que sea su�ciente trabajar para ser feliz.�

1. No trabajar es su�ciente para no ser feliz.

2. Para ser feliz es necesario trabajar.

3. No es posible trabajar y no ser feliz al mismo tiempo.

4. Trabajar y no ser feliz son compatibles.

5. Trabajas o no eres feliz.

Ejercicio 3.6.11 Dadas las fórmulas

p → q, (q ∨ ¬s) → r, p ↔ q, (p ∨ r) → (p ∧ ¬r), (r → p) → (r → q),

encuentra otras equivalentes en las que se usen sólo los conectivos ¬,∧,∨.Deduce que toda fórmula bien construida es equivalente a otra donde inter-vienen sólo los conectivos ¬,∧,∨.

Ejercicio 3.6.12 Encuentra una fórmula equivalente a p ∨ q en la que sólointervengan los conectivos ∧,¬. Deduce que toda fórmula bien construida esequivalente a otra donde intervienen sólo los conectivos ¬,∧.

Capítulo 4

Teoría de la demostración

En el capítulo anterior estudiamos la tablas de verdad como método semán-tico para veri�car la validez de fórmulas (y de deducciones). Sin embargo, siel número de proposiciones atómicas es elevado las tablas de verdad no sonun método e�ciente.

La teoría de la demostración nos proporciona métodos alternativos alas tablas de verdad para averiguar

• la validez de una fórmula proposicional: si φ es una fórmulaválida se dice que es demostrable y se escribe ` φ.

• si una fórmula φ es consecuencia lógica de un conjunto depremisas Φ : si φ es consecuencia lógica de Φ se dice que φ esdeducible en el sistema a partir de Φ y se escribe Φ ` φ.

4.1 De�nición de sistema formal axiomáticoDe�nición 4.1.1 Un sistema de demostración formal S o sistema depruebas se de�ne matemáticamente mediante los siguientes cuatro elemen-tos:

A es el alfabeto del sistema: el conjunto de símbolos que se pueden uti-lizar,

F es el conjunto de reglas de sintaxis: las reglas que permiten de�nirlas fórmulas bien construidas,

43

44

X es el conjunto de axiomas: fórmulas válidas por de�nición,

R es el conjunto de reglas de inferencias: reglas de transformación quepermiten �inferir� una fórmula, la conclusión, a partir de un conjuntode fórmulas, las condiciones o premisas.

Un sistema de demostración S se puede representar en forma compacta como

S = (A,F, X, R).

De�nición 4.1.2 (De�nición recursiva de teorema) Un teorema esuna fórmula válida (demostrable) y tiene la siguiente de�nición recursiva.

Una fórmula bien construida φ es un teorema si es un axioma o si se ob-tiene como conclusión de la aplicación de un conjunto de reglas de inferenciasa otros teoremas.

Ejemplo 4.1.3 En el contexto de las implicaciones lógicas (semánticas), vi-mos la ley de contraposición

(p → q) |= (¬q → ¬p)

de la tabla 3.3.Si queremos escribir la misma ley de contraposición como teorema en una

teoría de la demostración, tendremos que usar la notación

` (p → q) → (¬q → ¬p).

Sin embargo, esta notación se podrá usar sólo si somos capaces de de-mostrar que la ley de contraposición es válida en el sistema axiomático queestamos usando.

Así, por ejemplo, seanp= como demasiadoq= me duele el estómago.

La teoría interpretativa, aplicada a este caso particular, nos dice que �si nome duele el estómago entonces no he comido demasiado� es consecuencialógica (vimos que en realidad es equivalente) de �si como demasiado me dueleel estómago.�

En una teoría de pruebas la validez de la ley de contraposición se ex-presaría, en nuestro ejemplo particular, como la validez de la fórmula bien

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construida �si como demasiado me duele el estómago implica que si no meduele el estómago entonces no he comido demasiado.�

Es fundamental recordar que el objetivo de cualquier teoría de pruebas esdemostrar la validez de fórmulas, independientemente del ejemplo particularque se esté considerando.

De�nición 4.1.4 Una estructura deductiva es una secuencia �nita defórmulas {φ1, φ2, . . . φn, φ} donde {φ1, φ2, . . . φn} es el conjunto de las pre-misas y φ es la conclusión.

Ejemplo 4.1.5 Escrita como deducción, la ley de contraposición es

{p → q,¬q → ¬p},

donde p → q es la única premisa y ¬q → ¬p es la conclusión.Para el ejemplo particular conp= como demasiadoq= me duele el estómago,

la correspondiente estructura deductiva de la ley de contraposición es:{si como demasiado me duele el estómago, si no me duele el estómago

entonces no he comido demasiado}.

Las nociones de demostración de una fórmula y de una deducción estánestablecidas por las siguientes de�niciones:

De�nición 4.1.6 (Demostración de fórmulas (de teoremas)) Una de-mostración de un teorema φ es una sucesión �nita de fórmulas

{φ1, φ2, . . . , φn, φn+1 = φ}

tal que:

1. Cada fórmula de la sucesión es

• un axioma, un teorema ya demostrado o• un teorema obtenido a partir de las fórmulas anteriores de la su-cesión aplicando un conjunto de reglas de inferencias.

2. El último elemento de la sucesión es la fórmula φ.

46

Si {φ1, φ2, . . . , φn, φn+1 = φ} es una demostración de un teorema, se diceque φ es válida (demostrable) y se escribe ` φ .

De�nición 4.1.7 (Demostración de deducciones) Sean Φ = {φ1, φ2, . . . φn}un conjunto �nito de fórmulas proposicionales y φ una fórmula.

Una demostración de una deducción con conjunto de premisas Φ y con-clusión φ es una sucesión �nita de fórmulas

{φ1, φ2, . . . φn, φn+1, . . . , φn+m−1, φn+m = φ}tal que:

1. Cada fórmula de la sucesión es

• una premisa (un elemento de Φ = {φ1, φ2, . . . , φn}) o• un axioma, un teorema ya demostrado o• un teorema obtenido a partir de las fórmulas anteriores en la su-cesión aplicando un conjunto de reglas de inferencias.

2. El último elemento de la sucesión es la fórmula φ.

Si {φ1, φ2, . . . φn, φn+1, . . . φn+m−1, φn+m = φ} es una demostración de unadeducción, se dice que la conclusión φ es consecuencia lógica (deduci-ble) del conjunto de las premisas Φ y se escribe Φ ` φ.

Observación 7 Podemos observar que la demostración de un teorema es lademostración de una deducción cuyo conjunto de premisas es vacío.

Los sistemas de demostración se suelen dividir en dos clases: sistemasdirectos y sistemas indirectos (o por refutación). Los primeros aplicanuna cadena �nita de reglas de inferencia hasta llegar a la fórmula que sequiere demostrar. Los segundos aplican la técnica de reducción al absurdo.

Siendo sistemas clásicos, los sistemas de demostración directos tieneninterés histórico y además son los más naturales ya que son los más cercanosa la forma de razonamiento habitual.

Los sistemas directos son adaptables a lógicas no clásicas, pero son dedifícil automatización.

Los sistemas de demostración directos que vamos a estudiar son el sistemaaxiomático de Kleene y el sistema de deducción natural de Gentzen.

Lo sistemas de demostración indirectos son más modernos y adecuadospara su automatización, pero no son aplicables a lógicas distintas de laslógicas clásicas.

El método de refutación que estudiaremos es el método de los tableaux.

47

4.2 El sistema de KleeneEl sistema de demostración axiomático de Stephen Cole Kleene (Introductionto Metamathematics, 1952) es un sistema directo cuya origen es el sistema deDavid Hilbert (1899). Su de�nición es la siguiente, donde usaremos la formaabreviada para las fórmulas proposicionales.

De�nición 4.2.1 El sistema de demostración de Kleene es el sistema axio-mático

K = (A,F, X, R)

de�nido por:

A : el alfabeto está compuesto por

� los símbolos p, q, r, s, t, . . . de proposiciones atómicas,� los símbolos de conectivos ¬,∧,∨,→,

� los símbolos de paréntesis ( , ) .

F : el conjunto de las fórmulas bien construidas (fbc) se de�ne recursiva-mente como

At : toda proposición atómica es una fbc,¬ : Si φ es una fbc entonces ¬φ es una fbc,◦ : si φ y ψ son dos fbc, entonces

φ ∧ ψ, φ ∨ ψ, φ → ψ, ψ → φ

son fbc.

Toda fbc se obtiene mediante las tres reglas anteriores.NOTA: En lo que se sigue usaremos también el conectivo de coim-plicación entre dos fórmulas, φ ↔ ψ. Este conectivo se entenderácomo una forma abreviada de representar la fórmula bien construida(φ → ψ) ∧ (ψ → φ).

X : el conjunto de los axiomas es

A1 : ` φ → (ψ → φ)

A2 : ` (φ → ψ) → ((φ → (ψ → χ)) → (φ → χ))

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A3 : ` φ → (ψ → φ ∧ ψ)

A4 : ` φ ∧ ψ → φ ` φ ∧ ψ → ψ

A5 : ` φ → φ ∨ ψ ` ψ → φ ∨ ψ

A6 : ` (φ → χ) → ((ψ → χ) → (φ ∨ ψ → χ))

A7 : ` (φ → ψ) → ((φ → ¬ψ) → ¬φ)

A8 : ` ¬¬φ → φ

R : la única regla de este sistema es la modus ponens:

MP:` φ` φ → ψ` ψ

Antes de poder interpretar los axiomas del sistema de Kleene, vamos aestudiar algunas importantes consecuencias de su de�nición.Teorema 4.2.2 (Teorema de la identidad) Dada una fórmula φ, se ve-ri�ca que

` φ → φ (4.1)Demostración [A]: para demostrar el teorema tenemos que escribir unasucesión �nita de fórmulas siguiendo la de�nición 4.1.6:

1) ` φ1 : ` φ → (φ → φ) (A1 con ψ = φ)2) ` φ2 : ` (φ → (φ → φ)) → ((φ → ((φ → φ) → φ))

→ (φ → φ)) (A2 con ψ = (φ → φ) y χ = φ)3) ` φ3 : ` ((φ → ((φ → φ) → φ)) → (φ → φ)) (MP(1,2))4) ` φ4 : ` φ → ((φ → φ) → φ) (A1 con ψ = φ → φ)5) ` φ5 : ` φ → φ (MP(4,3))

El siguiente resultado, el teorema de la deducción, es fundamental ya quepermite de�nir una relación entre demostraciones de teoremas y demostracio-nes de deducciones. No presentamos aquí su demostración (ver, por ejemplo,el párrafo 2.3 de [C] o el párrafo 3.1.1 de [A]).Teorema 4.2.3 (Teorema de la deducción) Sean {φ1, φ2, . . . φn} un con-junto de fórmulas y φ una fórmula. Entonces

{φ1, φ2, . . . φn} ` φ si y sólo si {φ1, φ2, . . . φn−1} ` (φn → φ).

49

El siguiente corolario del teorema de la deducción establece la relaciónbuscada entre demostraciones de deducciones y de teoremas.

Corolario 4.2.4 Dada una demostración de una deducción, es siempre po-sible encontrar una fórmula válida que la represente.

Demostración [C]: Si {φ1, φ2, . . . φn} ` φ es la demostración de una de-ducción, se aplica el teorema de la deducción sucesivamente hasta que elconjunto de premisas sea vacío. Se obtiene así la siguiente cadena de fórmu-las que tiene como último elemento un teorema:

{φ1, φ2, . . . φn} ` φ{φ1, φ2, . . . φn−1} ` φn → φ{φ1, φ2, . . . φn−2} ` φn−1 → (φn → φ)...` φ1 → (φ2 → (· · · → (φn → φ) . . . ).

Ejemplo 4.2.5 El teorema de la deducción implica que, en un sistema depruebas, demostrar la validez de la ley de contraposición

` (p → q) → (¬q → ¬p)

es equivalente a demostrar la deducción

{p → q,¬q → ¬p}

o, también, la deducción{p → q,¬q,¬p}.

En el caso de nuestro ejemplo particularp= como demasiadoq= me duele el estómago,

la última deducción se lee �si como demasiado me duele el estómago y si nome duele el estómago, entonces no he comido demasiado.�

Interpretación de los axiomasAhora, usando el teorema de la deducción, podemos volver a interpretar losaxiomas del sistema de Kleene siguiendo la tabla 4.1:

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A1 : φ ` (ψ → φ)

De una fórmula φ se puede deducir cualquier implicación donde φ seala conclusión.Así, por ejemplo, sean φ = llueve y ψ = x es par.De �llueve� se deduce que �x es par implica que llueve.�

A2 : {(φ → ψ), (φ → (ψ → χ))} ` (φ → χ)

La implicación (φ → χ) se puede deducir si su premisa φ implica loselementos de un modus ponens con conclusión χ.

Así, por ejemplo, sean φ = llueve, ψ = x es par y χ = la pared esblanca.�Si llueve la pared es blanca� se deduce de �si llueve x es par� y �sillueve entonces si x es par la pared es blanca.�

A3 : {φ, ψ} ` (φ ∧ ψ)

De dos fórmulas se deduce su conjunción.

A4 : (φ ∧ ψ) ` φ (φ ∧ ψ) ` ψ

De una conjunción de dos fórmulas se deducen las dos fórmulas.

A5 : φ ` (φ ∨ ψ) ψ ` (φ ∨ ψ)

La disyunción de dos fórmulas se puede deducir de cada una de ellas.

A6 : {(φ → χ), (ψ → χ), φ ∨ ψ)} ` χ

La conclusión de dos implicaciones se deduce de las dos implicacionesy de la disyunción de sus premisas.Usando la notación de los ejemplos anteriores, de �si llueve la paredes blanca� y �si x es par la pared es blanca� y �o llueve o x es par� sededuce que �la pared es blanca.�

A7 : {(φ → ψ), (φ → ¬ψ)} ` ¬φ

De dos implicaciones con igual premisa y conclusiones una la negaciónde la otra se deduce la negación de la premisa.En el caso de nuestro ejemplo, de �si llueve, x es par� y �si llueve, x noes par� se deduce que �no llueve.�

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[A1] ` φ → (ψ → φ) φ ` (ψ → φ)[A2] ` (φ → ψ) → {(φ → ψ), (φ → (ψ → χ))} ` (φ → χ)

((φ → (ψ → χ)) → (φ → χ))[A3] ` φ → (ψ → φ ∧ ψ) {φ, ψ} ` (φ ∧ ψ)[A4] ` φ ∧ ψ → φ ` φ ∧ ψ → ψ (φ ∧ ψ) ` φ (φ ∧ ψ) ` ψ[A5] ` φ → φ ∨ ψ ` ψ → φ ∨ ψ φ ` (φ ∨ ψ) ψ ` (φ ∨ ψ)[A6] ` (φ → χ) → {(φ → χ), (ψ → χ), φ ∨ ψ)} ` χ

((ψ → χ) → (φ ∨ ψ → χ))[A7] ` (φ → ψ) → ((φ → ¬ψ) → ¬φ) {(φ → ψ), (φ → ¬ψ)} ` ¬φ[A8] ` ¬¬φ → φ ¬¬φ ` φ

Tabla 4.1: Interpretación de los axiomas del sistema de Kleene

A8 : ¬¬φ ` φ

Toda fórmula se deduce de su doble negación.

Demostración de teoremas en el sistema de KleeneVamos ahora a escribir una larga lista de teoremas que es posible demostraren el contexto del sistema axiomático de Kleene.

Presentaremos sólo algunas de las demostraciones de estos teoremas, lasdemás se pueden encontrar en le párrafo 3.1.2 de [A].

Es importante observar que todos estos resultados son consecuencia sóla-mente de ocho axiomas y de una única regla de inferencia.

• T1: Teorema de la identidad

` φ → φ

De toda fórmula se deduce ella misma.

• T2: Regla del silogismo

` (φ → ψ) → ((ψ → χ) → (φ → χ))

De dos implicaciones (φ → ψ y ψ → χ) tales que la conclusión dela primera es la premisa de la segunda se deduce la implicación de lapremisa de la primera fórmula a la conclusión de la segunda.

52

Este teorema se puede pensar como una propiedad transitiva: de �todoslos hombres son animales� y �todos los animales son mortales� se deduceque �todos los hombres son mortales.�

• T3: Modus ponens

` φ → ((φ → ψ) → ψ)

De una implicación y de su premisa se deduce su conclusión.Por ejemplo, de �Juan es un hombre� y �si Juan es un hombre entonceses mortal� se deduce que �Juan es mortal.�

• T4: Excontradictione Quodlibet

` φ → (¬φ → ψ)

De una fórmula y de su negación se deduce cualquier fórmula.De �Juan es un hombre� y �Juan no es un hombre� se deduce que �lapared es blanca.�

• T5: Producto condicional

` (φ → ψ) → ((φ → χ) → (φ → ψ ∧ χ))

De dos implicaciones con la misma premisa se deduce la implicación deesa premisa a la conjunción de sus conclusiones.Por ejemplo, de �si x es par, es divisible por dos� y �si x es par, no esimpar� se deduce que �si x es par, entonces x es divisible por dos y noes impar.�

• T6: Contraposición

T6.1) ` (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ)

T6.2) ` (φ → ¬ψ) → (ψ → ¬φ)

T6.3) ` (¬φ → ψ) → (¬ψ → φ)

De una implicación se deduce su contrapositiva.Por ejemplo,

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T6.1) de �llevo paraguas sólo si llueve� se deduce que �si no llueve nollevo paraguas,�T6.2) de �llevo paraguas sólo si no hace sol� se deduce que �si hace solno llevo paraguas.�T6.3) de �no llevo paraguas sólo si hace sol� se deduce que �si no hacesol llevo paraguas.�

• T7: Interde�nición 1

T7.1) ` (φ → ψ) → ¬(φ ∧ ¬ψ)

De una implicación se deduce la negación de la conjunción de su premisacon la negación de su conclusión.

T7.2) ` ¬(φ ∧ ¬ψ) → (φ → ψ)

Es el recíproco del anterior: una implicación se deduce de la negaciónde la conjunción de su premisa con la negación de su conclusión.Por ejemplo,T7.1) de �llevo paraguas sólo si llueve� se deduce que �no es posible quelleve paraguas y no llueva,�T7.2) de �no es posible que lleve paraguas y no llueva� se deduce que�llevo paraguas sólo si llueve.�

• T8: Leyes de de Morgan

T8.1) ` ¬(φ ∨ ψ) → ¬φ ∧ ¬ψ

De la negación de la disyunción de dos fórmulas se deduce la conjunciónde las negaciones de las mismas.

T8.2) ` ¬φ ∧ ¬ψ → ¬(φ ∨ ψ)

Es la recíproca del anterior: de la conjunción de las negaciones de dosfórmulas se deduce la negación de la disyunción de las mismas.Por ejemplo,T8.1) de �no es posible que x sea un elemento de A o sea un elementode B� se deduce que �x no es elemento de A y x no es elemento de B,�

54

T8.2) de �x no es elemento de A y x no es elemento de B� se deduceque �no es posible que x sea un elemento de A o sea un elemento de B.�

T8.3) ` ¬(φ ∧ ψ) → ¬φ ∨ ¬ψ

De la negación de la conjunción de dos fórmulas se deduce la disyunciónde las negaciones de las mismas.

T8.4) ` ¬φ ∨ ¬ψ → ¬(φ ∧ ψ)

Es la recíproca del anterior: de la disyunción de las negaciones de dosfórmulas se deduce la negación de la conjunción de las mismas.Por ejemplo,T8.3) de �no es posible que x sea un elemento de A y de B� se deduceque �x no es elemento de A o x no es elemento de B,�T8.4) de �x no es elemento de A o x no es elemento de B� se deduceque �no es posible que x sea un elemento de A y de B.�

• T9: Interde�nición 2

T9.1) ` (φ → ψ) → (¬φ ∨ ψ)

De una implicación se deduce la disyunción de la negación de su premisacon su conclusión.

T9.2) ` (¬φ ∨ ψ) → (φ → ψ)

Es la recíproca de la anterior: una implicación se deduce de la disyun-ción de la negación de su premisa con su conclusión.Por ejemplo,T9.1) de �una función derivable es continua� se deduce que �una funciónno es derivable o es continua,�T9.2) de �una función no es derivable o es continua� se deduce que �unafunción derivable es continua.�

Teoremas del conectivo conjunción

55

• T10: Propiedad conmutativaT10.1) ` (φ ∧ ψ) → (ψ ∧ φ)

T10.2) ` (ψ ∧ φ) → (φ ∧ ψ)

• T11: Propiedad asociativaT11.1) ` φ ∧ (ψ ∧ χ) → (φ ∧ ψ) ∧ χ

T11.2) ` (φ ∧ ψ) ∧ χ → φ ∧ (ψ ∧ χ)

• T12: Propiedad distributivaT12.1) ` φ ∧ (ψ ∨ χ) → (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ)

T12.2) ` (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ) → φ ∧ (ψ ∨ χ)

• T13: Propiedad de absorciónT13.1) ` φ ∧ (φ ∨ ψ) → φ

De la conjunción de una fórmula φ con su disyunción con cualquierotra fórmula se deduce φ.

T13.2) ` φ → φ ∧ (φ ∨ ψ)

Es la recíproca del anterior: de una fórmula φ se deduce la conjunciónde ella con su disyunción con cualquier otra fórmula.Por ejemplo,T13.1) de �x es un elemento de A y x es un elemento de A o de B� sededuce que �x es un elemento de A,�T13.2) de �x es un elemento de A� se deduce que �x es un elemento deA y x es un elemento de A o de B.�Demostración de T13.1:Aplicando el teorema de la deducción, tenemos que veri�car que

φ ∧ (φ ∨ ψ) ` φ

1) φ1 : φ ∧ (φ ∨ ψ) (Premisa)2) ` φ2 : ` φ ∧ (φ ∨ ψ) → φ (A4)3) ` φ3 : ` φ MP(1,2)

56

• T14: IdempotenciaT14.1) ` φ ∧ φ → φ

T14.2) ` φ → φ ∧ φ

La demostración de este teorema se propone como ejercicio.

Teoremas del conectivo disyunción

• T15: Propiedad conmutativaT15.1) ` (φ ∨ ψ) → (ψ ∨ φ)

T15.2) ` (ψ ∨ φ) → (φ ∨ ψ)

• T16: Propiedad asociativaT16.1) ` φ ∨ (ψ ∨ χ) → (φ ∨ ψ) ∨ χ

T17.2) ` (φ ∨ ψ) ∨ χ → φ ∨ (ψ ∨ χ)

• T17: Propiedad distributivaT17.1) ` φ ∨ (ψ ∧ χ) → (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ)

T17.2) ` (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ) → φ ∨ (ψ ∧ χ)

• T18: Propiedad de absorciónT18.1) ` φ ∨ (φ ∧ ψ) → φ

De la disyunción de una fórmula φ con su conjunción con cualquierotra fórmula se deduce φ.

T18.2) ` φ → φ ∨ (φ ∧ ψ)

Es la recíproca del anterior: de una fórmula φ se deduce la disyunciónde ella con su conjunción con cualquier otra fórmula.Por ejemplo,T18.1) de �x es un elemento de A o x es un elemento de A y de B� sededuce que �x es un elemento de A,�T18.2) de �x es un elemento de A� se deduce que �x es un elemento deA o x es un elemento de A y de B.�

57

• T19: Idempotencia

T19.1) ` φ ∨ φ → φ

T19.2) ` φ → φ ∨ φ

Teoremas del conectivo coimplicación

• T20: Introducción de la coimplicación

` (φ → ψ) → ((ψ → φ) → (φ ↔ ψ))

La coimplicación (doble implicación) entre dos fórmulas se deduce delas dos implicaciones que tienen estas dos fórmulas como premisa yconclusión y como conclusión y premisa, respectivamente.La demostración de este teorema se propone como ejercicio.

• T21: Eliminación de la coimplicación

T21.1) ` (φ ↔ ψ) → (φ → ψ)

T21.2) ` (φ ↔ ψ) → (ψ → φ)

De una coimplicación entre dos fórmulas se deducen las implicacionesde cada una a la otra.La demostración de este teorema se propone como ejercicio.

• T22: Propiedad re�exiva

` φ ↔ φ

Toda fórmula coimplica a sí misma.

• T23: Propiedad transitiva

` (φ ↔ ψ) → ((ψ ↔ χ) → (φ ↔ χ))

Si una fórmula φ coimplica a una fórmula ψ se deduce que si ψcoimplica a una fórmula χ entonces φ coimplica a χ.

58

• T24: Propiedad simétrica

` (φ ↔ ψ) → (ψ ↔ φ)

De φ coimplica a ψ se deduce que ψ coimplica a φ.

Teoremas del conectivo implicación

• T25: Importación-Exportación

T25.1) ` (φ → (ψ → χ)) → (φ ∧ ψ → χ)

De una implicación cuya conclusión es una implicación ψ → χ se de-duce la implicación de la conjunción de las dos premisas a la conclusiónχ.

T25.2) ` (φ ∧ ψ → χ) → (φ → (ψ → χ))

Es la recíproca del anterior: de una implicación cuya premisa es laconjunción de dos fórmulas se deduce la implicación de una de las dospremisas a la implicación de la otra premisa a la conclusión.Por ejemplo, seanp = n es un número natural,q = n es par,r = el cuadrado de n es par.

Entonces,T25.1) de �si n es número natural, entonces si n es par su cuadrado espar� se deduce que �si n es un número natural y es par, entonces sucuadrado es par,�T25.2) de �si n es un número natural y es par, entonces su cuadradoes par� se deduce que �si n es número natural, entonces si n es par sucuadrado es par.�Demostración de T25.1:Por el teorema de la deducción, tenemos que veri�car que

{φ → (ψ → χ), φ ∧ ψ} ` χ.

59

1) φ1 : φ → (ψ → χ) (Premisa)2) φ2 : φ ∧ ψ (Premisa)3) ` φ3 : ` φ ∧ ψ → φ (A4)4) ` φ4 : ` φ MP(2,3)5) ` φ5 : ` ψ → χ MP(4,1)6) ` φ6 : ` φ ∧ ψ → ψ (A4)7) ` φ7 : ` ψ MP(2,6)8) ` φ8 : ` χ MP(7,5)

60

4.3 El sistema de deducción natural de Gent-zen

El sistema de demostración natural de Gerald Gentzen (1934) es el sistemaque mejor modela el razonamiento informal o intuitivo.

Este sistema se basa en deducciones y tiene ocho reglas de inferencia yningún axioma. Las reglas de inferencia son dos para cada conectivo lógicodel alfabeto (una de introducción y otra de eliminación).

El uso exclusivo de deducciones presupone razonamientos que siempredependen de unas premisas iniciales, no necesariamente válidas. Se podríadecir que el sistema de Gentzen simula el razonamiento coherente más queel razonamiento válido.

Subdeducciones y notación de FittingAntes de de�nir formalmente el sistema de deducción natural de Gentzen,necesitamos extender la de�nición de demostración de deducción dada, la4.1.7, para poder admitir la introducción de subdeducciones. Informalmentese puede decir que, en el proceso de demostración de una deducción (lademostración madre), una subdeducción es la derivación de una conclusiónψ a partir de una premisa auxiliar (o hipótesis) φ. Después de obtener laconclusión buscada en la subdeducción, se remueve la subdeducción de lademostración madre y se sustituye por el resultado φ ` ψ.

Para representar subdeducciónes usaremos la notación de Fitting [F]. Es-ta notación emplea rectángulos, llamados cajas. La primera �la de una cajaestá ocupada por la premisa auxiliar φ, mientras en la última �la se encuen-tra la conclusión ψ.

El siguiente es un ejemplo de un esquema de una deducción que contienea una subdeducción:

1) φ1 (Premisa)2) φ2 (Premisa)3) ` φ3 (R1(1): regla R1 aplicada a φ1)

4) ψ1 (Premisa auxiliar)5) ` ψ2 (R2(2,1): regla R2 aplicada a φ2 y ψ1)6) ` ψ3 (R3(5): regla R3 aplicada a ψ2)

7) ` φ4 (R4(4,6): regla R4 aplicada a la subdeducción)

61

La notación usada en el último paso de la demostración madre, R4(4, 6),quiere decir que la regla R4 se aplica a toda la subdeducción. Se citan sólola premisa auxiliar y la conclusión de ella.

Pronto veremos algunos ejemplos, pero hay que notar que una subdeduc-ción puede contener a su vez una subdeducción. Por tanto, en la representa-ción de Fitting pueden aparecer varios rectángulos encajados.

De�nición del sistema de deducción natural de GentzenDe�nición 4.3.1 El sistema de deducción natural de Gentzen es el sistemade demostración axiomático

G = (A, F,X,R).

El alfabeto A y el conjunto de fórmulas bien construidas F son los mismosque en el sistema de Kleene, el conjunto de axiomas X es vacío y el conjuntoR de las reglas de inferencia está compuesto por las reglas de introducción yde eliminación que se describen a continuación.

Reglas del sistema de Gentzen:(I ∧): Regla de introducción de la conjunción

{φ, ψ} ` φ ∧ ψ

De dos fórmulas se deduce su conjunción.Notar que la regla de introducción de la conjunción (I ∧) coincide conla representación en forma de deducción del axioma (A3) de la teoríade Kleene.

(E ∧): Regla de eliminación de la conjunción

φ ∧ ψ ` φ (eliminación derecha)φ ∧ ψ ` ψ (eliminación izquierda)

De una conjunción de dos fórmulas se deducen las dos fórmulas.Notar que la regla de eliminación de la conjunción (E ∧) coincide conla representación en forma de deducción del axioma (A4) de la teoríade Kleene.

62

Ejemplo 4.3.2 [UNED1] Usando sólo las dos reglas anteriores pode-mos demostrar que

p ∧ (q ∧ r) ` p ∧ r.

1) φ1 : p ∧ (q ∧ r) (Premisa)2) ` φ2 : ` p (E ∧(1))3) ` φ3 : ` q ∧ r (E ∧(1))4) ` φ4 : ` r (E ∧(3))5) ` φ5 : ` p ∧ r (I ∧(2,4))

(I ∨): Regla de introducción de la disyunción

φ ` (φ ∨ ψ) (introducción derecha)ψ ` (φ ∨ ψ) (introducción izquierda)

La disyunción de dos fórmulas se puede deducir de cada una de ellas.Notar que la regla de introducción de la disyunción (I ∨) coincide conla representación en forma de deducción del axioma (A5) de la teoríade Kleene.

(E ∨): Regla de eliminación de la disyunciónNOTA: la regla de eliminación de la disyunción NO es

φ ∨ ψ ` φφ ∨ ψ ` ψ,

ya que de la validez de una disyunción de dos fórmulas no se puedededucir la validez de las dos fórmulas. Sólo sabemos que al menos unade las dos es válida, sin saber cuál es.

La regla de eliminación de la disyunción es

(E ∨) : {φ ∨ ψ, φ → χ, ψ → χ} ` χ.

Esta regla se usa en el método de demostración por casos, que seaplica cuando se quiere demostrar una deducción del tipo φ ∨ ψ ` χ :

1) se introducen las premisas auxiliares φ y ψ,

63

2) usando las dos premisas auxiliares se intentan demostrar dos subde-ducciones independientes con igual conclusión χ, es decir, las subde-ducciones

φ ` χ y ψ ` χ,

3) si se ha completado el paso anterior, se usan las subdeduccionesobtenidas en la deducción madre y se obtiene que

{φ ∨ ψ, φ → χ, ψ → χ} ` χ.

Con la notación de Fitting (E ∨) se representa como:

φ ∨ ψ (Premisa)

φ (Premisa auxiliar)......` χ

ψ (Premisa auxiliar)......` χ

` χ

Notar que la regla de eliminación de la disyunción (E ∨) coincide conla representación en forma de deducción del axioma (A6) de la teoríade Kleene.

Ejemplo 4.3.3 [UNED1] Si queremos demostrar la propiedad distri-butiva de la conjunción

p ∧ (q ∨ r) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

podemos usar el siguiente esquema:1) p ∧ (q ∨ r) (Premisa)2) ` p (E ∧(1))3) ` q ∨ r (E ∧(1))

4) q (Premisa auxiliar)5) ` p ∧ q (I ∧(2, 4))6) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (I ∨(5))

r (Premisa auxiliar)` p ∧ r (I ∧(2, 4))` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (I ∨(5))

7) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (E ∨(3, (4, 5)))

64

(I ¬): Regla de introducción de la negación

(I¬) : {φ → ψ, φ → ¬ψ} ` ¬φ.

Esta regla se usa en demostraciones por reducción al absurdo dela validez de una fórmula ¬φ :

1) Tomamos como premisa auxiliar la fórmula φ,

2) Si de esta premisa auxiliar podemos deducir la validez de una con-tradicción ψ ∧ ¬ψ, entonces podemos a�rmar la validez de ¬φ.

Con la notación de Fitting (I ¬) se representa como:

φ (Premisa auxiliar)......` ψ ∧ ¬ψ

` ¬φ

Notar que la regla de introducción de la negación (I ¬) coincide con larepresentación en forma de deducción del axioma (A7) de la teoría deKleene.Usaremos esta regla en el ejemplos 4.3.4

(E ¬): Regla de eliminación de la doble negación

(E¬) : ¬¬φ ` φ.

Notar que la regla de eliminación de la doble negación (E ¬) coincidecon la representación en forma de deducción del axioma (A8) de lateoría de Kleene.

(I →): Regla de introducción de la implicaciónPara de�nir esta regla1) se toma una premisa auxiliar φ,

65

2) si se demuestra que de φ se deduce una fórmula ψ, entonces se hademostrado la validez de φ → ψ.

Con la notación de Fitting (I →) se representa como:

φ (Premisa auxiliar)......ψ

` φ → ψ

Notar que esta regla es una versión del teorema de la deducción3.4.5

Usaremos esta regla en el ejemplos 4.3.4

(E →): Regla de eliminación de la implicación

Es el Modus Ponens:

(E →) : {φ, φ → ψ} ` ψ.

Notar que la regla de eliminación de la de la implicación (E →) coin-cide con la representación en forma de deducción de la única regla deinferencia de la teoría de Kleene, el Modus Ponens.

Usaremos esta regla en el ejemplos 4.3.4

Ejemplos 4.3.4 1) Si queremos demostrar la contraposición

{φ → ψ,¬ψ} ` ¬φ,

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podemos escribir el siguiente esquema:

1) φ → ψ (Premisa)2) ¬ψ (Premisa)

3) φ (Premisa auxiliar)4) ` ψ (E →(3,1))5) ` ψ ∧ ¬ψ (I ∧(4,2))

6) ` ¬φ (I ¬(3,5))

2) El axioma (A1) del sistema de Kleene en forma de deducción seescribe

(A1 ) : φ ` ψ → φ.

Podemos demostrar (A1) en el sistema de deducción natural usando laintroducción de la implicación, según el esquema:

1) φ (Premisa)

2) ψ (Premisa auxiliar)3) ` φ (1)

4) ` ψ → φ (I → (2,3))

3) El axioma (A2) del sistema de Kleene en forma de deducción seescribe

(A2 ) : {(φ → ψ), (φ → (ψ → χ)} ` (φ → χ).

Podemos demostrar (A2) en el sistema de deducción natural, según elesquema:

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1) φ → ψ (Premisa)2) φ → (ψ → χ) (Premisa)

3) φ (Premisa auxiliar)4) ` ψ (E → (3,1))5) ` ψ → χ (E → (3,2))6) ` χ (E → (4,5))

7) ` φ → χ (I → (3,6))

El sistema de Gentzen está ahora completamente de�nido.

Observación 8 Usando cuanto hemos visto en la de�nición del sistema deGentzen y en los ejemplo presentados, podemos deducir la siguiente tabla decorrespondencia entre el sistema de Kleene y el sistema de Gentzen:

G KI∧ A3E∧ A4I∨ A5E∨ A6I¬ A7E¬ A8(I →) Teorema de la deducciónE → MPEjemplo 4.3.4, 2 A1Ejemplo 4.3.4, 3 A2

Por tanto podemos a�rmar que los dos sistemas G y K son equivalentes:las fórmulas válidas en uno de ellos son válidas también en el otro.

Reglas derivadas del sistema de GentzenLa equivalencia entre el sistema de Kleene y el sistema de Gentzen nos ga-rantiza que, a partir de las ocho reglas del sistema de Gentzen, es posibledemostrar todos los resultados ya derivados en el sistema de Kleene. Enparticular, sabemos que son válidos los 25 teoremas vistos en la sección 4.2.

68

Para ver algunos ejemplos de demostraciones en el sistema de Gentzen,vamos a enunciar algunos nuevos resultados que podremos aplicar en el apar-tado de ejercicios.

• T26: Mutación de premisa

φ → (ψ → χ) ` ψ → (φ → χ)

Demostración de T26:

1) φ → (ψ → χ) (Premisa)

2) ψ (Premisa auxiliar)

3) φ (Premisa auxiliar)4) ` ψ → χ (E →(3,1))5) ` χ (E →(2,4))

6) ` φ → χ (I → (3,5))

7) ` ψ → (φ → χ) (I → (2,6))

• T27: Carga de premisa

φ ` (ψ → φ)

Demostración de T27:

1) φ (Premisa)

2) ψ (Premisa auxiliar)3) ` φ (Teorema de la identidad, T1(1))

4) ` ψ → φ (I → (2,3))

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• T28: Modus tollens

{φ → ψ,¬ψ} ` ¬φ

Notar que esta regla es la contraposición.

Demostración de T28: la demostración es la misma vista en el apar-tado 1) del ejemplo 4.3.4.

• T29: Tollendo ponens

{φ ∨ ψ,¬ψ} ` φ

Demostración de T29:

1) φ ∨ ψ (Premisa)2) ¬ψ (Premisa)

3) φ (Premisa auxiliar)4) ` φ (Teorema de la identidad, T1(3))

5) ψ (Premisa auxiliar)6) ` ψ ∧ ¬ψ (I ∧ (2,5))7) ` φ (Excontraditione Quodlibet, T4(6))

8) ` φ (E ∨ (1,(3,4),(5,7)))

• T30: DilemasT30.1) : {φ ∨ ψ, φ → χ, ψ → χ} ` χ, (Dilema constructivo simple)T30.2) : {φ ∨ ψ, φ → χ, ψ → σ} ` χ ∨ σ, (Dilema constructivo complejo)T30.3) : {¬φ ∨ ¬ψ, χ → φ, χ → ψ} ` ¬χ, (Dilema destructivo simple)T30.4) : {¬φ ∨ ¬ψ, χ → φ, σ → ψ} ` ¬χ ∨ ¬σ, (Dilema destructivo complejo)

Demostración de T30:T30.1) : {φ ∨ ψ, φ → χ, ψ → χ} ` χ

Es la regla de eliminación de la disyunción (E ∨).

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T30.2) : {φ ∨ ψ, φ → χ, ψ → σ} ` χ ∨ σ

1) φ ∨ ψ (Premisa)2) φ → χ (Premisa)3) ψ → σ (Premisa)

4) φ (Premisa auxiliar)5) ` χ (E →(4,2))6) ` χ ∨ σ (I ∨(5))

7) ψ (Premisa auxiliar)8) ` σ (E →(7,3))9) ` χ ∨ σ (I ∨(8))

10) ` χ ∨ σ (E ∨ (1,(4,6),(7,9)))

T30.3) : {¬φ ∨ ¬ψ, χ → φ, χ → ψ} ` ¬χ

1) ¬φ ∨ ¬ψ (Premisa)2) χ → φ (Premisa)3) χ → ψ (Premisa)

4) ¬φ (Premisa auxiliar)5) ` ¬χ (Modus Tollens, MT(2,4))

6) ¬ψ (Premisa auxiliar)7) ` ¬χ (Modus Tollens, MT(3,6))

8) ` ¬χ (E ∨ (1,(4,5),(6,7)))

T30.4) : {¬φ ∨ ¬ψ, χ → φ, σ → ψ} ` ¬χ ∨ ¬σ

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1) ¬φ ∨ ¬ψ (Premisa)2) χ → φ (Premisa)3) σ → ψ (Premisa)

4) ¬φ (Premisa auxiliar)5) ` ¬χ (Modus Tollens, MT(2,4))6) ` ¬χ ∨ ¬σ (I ∨(5))

7) ¬ψ (Premisa auxiliar)8) ` ¬σ (Modus Tollens, MT(3,7))9) ` ¬χ ∨ ¬σ (I ∨(8))

10) ` ¬χ ∨ ¬σ (E ∨ (1,(4,6),(7,9)))

En la sección 4.5 veremos que existen teoremas que demuestran la equi-valencia entre la teoría interpretativa (semántica) y las teorías axiomáticasde demostración que hemos estudiado.

Esta equivalencia entre teorías nos permite elegir, en cada caso, entre elmétodo más adecuado o e�ciente para desarrollar una demostración.

A continuación estudiaremos los métodos de demostración indirectos o derefutación.

72

4.4 Métodos de refutación. Tableaux4.4.1 RefutaciónEmpezamos esta sección recordando algunos resultados ya estudiados.

1) En el contexto de la teoría interpretativa de la semántica de la lógicaproposicional vimos el

Teorema 3.4.5: Sean Φ = {φ1, φ2, . . . φn} un conjunto �nito de fórmu-las proposicionales y φ una fórmula. Entonces las siguientes son equivalentes:

• Φ |= φ.

• ((φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φn) ∧ ¬(φ)) es una fórmula insatisfacible.

Observación 9 El teorema anterior dice que Φ → φ es una tautología (unaimplicación lógica) si y sólo si no pueden ser simultáneamente verdaderastodas sus premisas y la negación de su conclusión.

Ejemplo 4.4.1 Para veri�car que

p |= (q → p),

hace falta demostrar que la fórmula

(p) → (q → p)

es una tautología.Aplicando el teorema 3.4.5 (el método de refutación), es su�ciente veri�-

car que la fórmulap ∧ ¬(q → p)

es insatisfacible.Para toda valoración tal que ¬(q → p) es falsa, p∧¬(q → p) es falsa. Si

una valoración es tal que ¬(q → p) es verdadera, entonces (q → p) es falsa,es decir, tiene que ser q verdadera y p falsa. También en este caso nuestrafórmula p ∧ ¬(q → p) resultaría ser falsa. Se sigue que p ∧ ¬(q → p) noadmite ningún modelo y, por tanto, es insatisfacible.

73

2) En el contexto de la teoría de la demostración, consideramos el axioma

(A7) : {(¬φ → ψ), (¬φ → ¬ψ)} ` φ

de la teoría de Kleene y la regla de introducción de la negación

(I¬) : {¬φ → ψ,¬φ → ¬ψ} ` φ

de la teoría de Gentzen.

Ejemplo 4.4.2 Para veri�car que la fórmula

φ : p → (q → p),

del ejemplo 4.4.1 es válida en el sistema de Gentzen (o en el sistema de Klee-ne) podemos usar la regla (I¬) (o el axioma (A7)): tendremos que demostrarque la fórmula ¬φ conduce a una contradicción.

En la notación de Fitting:

1) ¬(p → (q → p)) (Premisa auxiliar)2) ` ¬(¬p ∨ (q → p)) (Interde�nición 2(1))3) ` ¬¬p ∧ ¬(q → p) (Ley de de Morgan T8.1(2))4) ` ¬¬p (E ∧(3))5) ` ¬(q → p) (E ∧(3))6) ` p (E ¬(4))7) ` ¬(¬q ∧ p) (Interde�nición 2(5))8) ` q ∨ ¬p (Ley de de Morgan T8.3(7))9) ` ¬p (E ∧(8))10) ` p ∧ ¬p (I ∧(6,9))

11) ` p → (q → p) (I ¬(1,10))

Los enunciados anteriores expresan un procedimiento refutativo dedemostración (por reducción al absurdo): si la validez de ¬φ implica unacontradicción, entonces podemos refutar ¬φ y a�rmar la validez de φ.

Los métodos de demostración por refutación pertenecen a los sistemas dedemostración indirectos que, como ya comentamos, son más modernos que

74

los métodos de demostración axiomáticos y más adecuados para su automa-tización. Estos métodos nos proporcionan así una nueva forma de veri�carla validez de fórmulas y de razonamientos.

Un ejemplo de sistema de demostración por refutación es la teoría de lostableaux, que vamos a estudiar en las siguientes secciones.

El método de demostración por refutación llamado resolución proposicio-nal se estudiará en la asignatura de Lógica Computacional.

4.4.2 De�nición de los tableauxComo veremos, los tableaux son métodos de naturaleza sintáctica, pero sesuelen presentar también por medio de una de�nición semántica:

• los tableaux semánticos se basan sobre el teorema 3.4.5 y son unprocedimiento sistemático para veri�car si una fórmula es insatisfacible.Dada una implicación φ → ψ, su negación φ ∧ ¬ψ es insatisfacible siy sólo si φ → ψ es una implicación lógica.Más en general, si una fórmula es insatisfacible, su negación es unatautología y, por tanto, un tableau permite averiguar si una fórmula eslógicamente válida.Además, en muchos casos los tableaux son más e�cientes que las tablasde verdad (donde para n proposiciones atómicas tenemos 2n posiblesvaloraciones), proporcionan una teoría para programar herramientasde demostración automática y tienen una extensión natural a la lógicade predicados, que estudiaremos en la segunda parte de estos apuntes.Otra aplicaciones de la teoría de los tableaux semánticos son la cla-si�cación de fórmulas proposicionales (en satisfacibles, insatisfacibles,tautologías o contingencias) y la obtención de sus formas normales con-juntivas o disyuntivas.

• los tableaux sintácticos usan el método de refutación para derivarla validez de un razonamiento o de una fórmula, sin tener que tomar enconsideración los valores de verdad de las fórmulas en estudio. Permitendemostrar teoremas y deducciones.

Durante el estudio de los tableaux semánticos descubriremos que la ver-dadera naturaleza de las reglas que los de�nen es sintáctica y que, por tanto,

75

la presentación semántica (y no sintáctica) de la teoría de los tableaux tienesu justi�cación en su mayor simplicidad y claridad.

La principales referencias utilizadas para la siguiente descripción de lateoría de tableaux son [HLR] y [MH].

Formas conjuntivas y disyuntivasAntes de poder de�nir la teoría de los tableaux semánticos, necesitamos pro-fundizar en el análisis semánticos de las fórmulas proposicionales.

En el capítulo 3, dedicado a la semántica de la lógica proposicional, de-mostramos que toda fórmula proposicional es equivalente a otra donde inter-vienen sólo los conectivos ¬,∧ y ∨ (ejercicio 3.6.11).

El anterior resultado justi�ca las siguientes de�niciones, que nos permitenclasi�car más fácilmente las fórmulas proposicionales:

De�nición 4.4.3 (Fórmulas conjuntivas y disyuntivas)Si una fórmula proposicional α es equivalente a una conjunción de otras

dos fórmulas más sencillas, α ≡ α1 ∧ α2, diremos que es una fórmulaconjuntiva (de la categoría α).

Si una fórmula proposicional β es equivalente a una disyunción de otrasdos fórmulas más sencillas, β ≡ β1 ∨ β2, diremos que es una fórmula dis-yuntiva (de la categoría β).

Si una fórmula proposicional σ es del tipo ¬>, ¬⊥ o ¬¬φ diremos quees simpli�cable (de la categoría σ) y su forma simpli�cada es σ1, que esigual a ⊥, > o φ, respectivamente.

Las fórmulas conjuntivas, disyuntivas y simpli�cables se llaman fórmulasreducibles.

Usando las equivalencias lógicas estudiadas, podemos recoger en la tabla4.2 todas las posibles fórmulas conjuntivas, disyuntivas y simpli�cables.

Usando árboles con raíz, podemos ahora representar las fórmulas reduci-bles de la tabla 4.2 por medio del esquema de la tabla 4.3.

El hecho de que toda fórmula proposicional es equivalente a otra dondeintervienen sólo los conectivos ¬,∧ y ∨ implica que toda fórmula pro-posicional es equivalente a una fórmula conjuntiva, a una fórmuladisyuntiva o es simpli�cable.

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Fórmulas conjuntivas Fórmulas disyuntivasα α1 α2 β β1 β2

φ ∧ ψ φ ψ φ ∨ ψ φ ψ¬(φ ∨ ψ) ¬φ ¬ψ ¬(φ ∧ ψ) ¬φ ¬ψ¬(φ → ψ) φ ¬ψ φ → ψ ¬φ ψ

φ ↔ ψ φ → ψ ψ → φ ¬(φ ↔ ψ) ¬(φ → ψ) ¬(ψ → φ)

Fórmulas simpli�cablesσ σ1

¬> ⊥¬⊥ >¬¬φ φ

Tabla 4.2: Fórmulas reduciblesα • β • σ •| �� |

α1• β1• •β2 σ1•|

α2•

Tabla 4.3: Esquema de reducción de fórmulas

Ejemplo 4.4.4 Seaφ → (ψ ↔ χ)

la fórmula proposicional que se quiere reducir. La regla de interde�nición nospermite reescribir nuestra fórmula de forma equivalente como una fórmuladisyuntiva

β ≡ ¬φ ∨ (ψ ↔ χ),

dondeβ1 : ¬φ y β2 : (ψ ↔ χ).

Tableaux semánticosDado un conjunto �nito de fórmulas proposicionales Φ, queremos asociara este conjunto un árbol con raíz que nos permita determinar fácilmente

77

propiedades semánticas del conjunto Φ. Este árbol será el tableau asociadoa Φ.

En le capítulo 2 introducimos el concepto de árbol con raíz y sus propie-dades básicas. En este capítulo necesitamos ampliar un poco más la termi-nología ya introducida.

De�nición 4.4.5 1) Una rama de un árbol con raíz es un cualquier caminosimple que no pueda prolongarse a otro más largo.

2) Un árbol con raíz es binario si todos sus vértices no tienen más quedos hijos.

3) Un árbol de fórmulas T es cualquier árbol con raíz binario quetenga asociada a cada uno de sus vértices una fórmula proposicional (cadauno de sus vértice está etiquetado por una fórmula proposicional).

4) Una rama θ de un árbol de fórmulas T se dice cerrada si ⊥ apareceen θ, o si ambas fórmulas φ y ¬φ aparecen en θ.

5) Una rama θ de un árbol de fórmulas T se dice abierta si no escerrada.

Antes de de�nir formalmente el método de los tableaux, vamos a ver unejemplo de como se construye un tableau asociado a un razonamiento.

Ejemplo 4.4.6 (Ejemplo de construcción de un tableau asociado a un razo-namiento)

Consideramos el razonamiento:1) Si quiero comer fruta y hay una frutería cerca, entonces soy feliz.2) No soy feliz.3) Quiero comer fruta.Por tanto,4) No hay una frutería cerca.Sean p = quiero comer fruta, q = hay una frutería cerca y r = soy feliz.El razonamiento anterior será válido si

{p ∧ q → r,¬r, p} |= ¬q.

Ya que los tableaux usan el método de refutación, podemos a�rmar lavalidez del razonamiento anterior si demostramos que el conjunto de fórmulas

Φ = {p ∧ q → r,¬r, p,¬¬q}

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es insatisfacible.Por eso, empezamos a construir un árbol de fórmulas T0 con la regla de

inicialización que consiste en dibujar un primer árbol con una única ramacuyos vértices están etiquetados por las fórmulas de nuestro conjunto Φ. T0

es nuestro tableau inicial:

T0

• p ∧ q → r|• ¬r|• p|• ¬¬q

Ahora intentamos simpli�car las fórmulas anteriores usando el esquemade la tabla 4.3 y obtenemos un nuevo tableaux T1, que es una extensión delanterior. En T1, marcamos con el símbolo X las fórmulas que hemos reducidoy cerramos con el símbolo ] aquellas ramas que contienen un conjunto defórmulas insatisfacible:

T1

• p ∧ q → r X|• ¬r|• p|• ¬¬q��

¬(p ∨ q) • • r]

Hemos cerrado la rama derecha de T1 que contiene las fórmulas ¬r y r,ya que esto quiere decir que el conjunto de fórmulas {¬r, p,¬¬q, r} (todaslas que aparecen en esta rama, eliminando las que llevan el símbolo X) esinsatisfacible.

Ahora, usando su rama izquierda, podemos extender T1 a un nuevo árbolT2 :

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T2

• p ∧ q → r X|• ¬r|• p|• ¬¬q��

¬(p ∨ q) X • • r�� ]

¬p • • ¬q] ]

Todas las ramas de este último árbol están cerradas ya que cada una deellas contiene una contradicción, siendo los conjuntos de fórmulas correspon-dientes {¬r, p,¬¬q, r}, {¬r, p,¬¬q,¬p} y {¬r, p,¬¬q,¬q}.

Por tanto el conjunto Φ es insatisfacible y nuestro razonamiento es vá-lido.

Podemos observar que el cálculo de la tabla de verdad para este ejem-plo requiere considerar 8 posibles valoraciones, mientras el tableau estudiadotiene 3 ramas.

Vamos entonces a de�nir los tableaux semánticos. Como veremos, estade�nición será, una vez más, una de�nición recursiva.

De�nición 4.4.7 SeaΦ = {φ1, φ2, . . . , φn}

un conjunto �nito de fórmulas proposicionales.Un tableau T asociado al conjunto Φ es cualquier árbol de fórmulas

que pueda construirse en un número �nito de pasos mediante las reglas deformación que se de�nen a continuación.

Reglas de formación de un tableau:

• Regla de inicialización (Rini): el tableau inicial es un árbol defórmulas T0 con una única rama cuyos vértices están etiquetados porlas fórmulas del conjunto Φ.

80

• Regla de reducción (Rα): si una rama abierta θ de T incluye unvértice etiquetado por una fórmula conjuntiva α ≡ α1 ∧ α2, podemosextender T a un nuevo tableau T ′ (una extensión directa de T )prolongando θ de forma lineal, con dos nuevos vértices α1 y α2. Seañade a la fórmula conjuntiva el símbolo X.

Esta regla no se aplica si la rama abierta θ ya contiene α1 y α2.

• Regla de reducción (Rβ): si una rama abierta θ de T incluye unvértice etiquetado por una fórmula disyuntiva β ≡ β1 ∨ β2, podemosextender T a un nuevo tableau T ′ (una extensión directa de T )bifurcando θ con dos nuevos vértices β1 y β2, que sean hijos del vérticeβ. Se añade a la fórmula disyuntiva el símbolo X.

Esta regla no se aplica si la rama abierta θ ya contiene β1 y β2.Si θ contiene sólo una de las dos componentes, se puede suprimir labifurcación.

• Regla de reducción (Rσ): si una rama abierta θ de T incluye unvértice etiquetado por una fórmula simpli�cable σ ≡ σ1, podemosextender T a un nuevo tableau T ′ (una extensión directa de T )prolongando θ de forma lineal, con un nuevos vértice σ1. Se añade ala fórmula simpli�cable el símbolo X.

Esta regla no se aplica si la rama abierta θ ya contiene σ1.

• Regla de cierre (Rc): si una rama abierta θ, contiene ⊥ o ambasfórmulas φ y ¬φ aparecen en θ se cierra usando el símbolo ].

Las siguientes de�niciones permiten saber cuando no es posible extenderulteriormente un tableau.

De�nición 4.4.8 • Una rama θ, de tableau T está completa (ó sa-turada) si y sólo si se cumplen las tres siguientes condiciones:1) Si α ≡ α1 ∧ α2, pertenece a θ, entonces α1 y α2, pertenecen a θ.

2) Si β ≡ β1 ∨ β2, pertenece a θ, entonces β1 ó β2, pertenece a θ.

3) Si σ ≡ σ1, pertenece a θ, entonces σ1 pertenece a θ.

• Un tableau está cerrado si todas sus ramas lo están.

81

• Un tableau está acabado si todas sus ramas están cerradas o completas.

Observación 10 Dado un conjunto de fórmulas, el tableau asociado a estoconjunto no queda únicamente de�nido. Par intentar minimizar la comple-jidad del tableau que se obtiene, en general es conveniente reducir primerofórmulas de tipo σ y α, o fórmulas que permitan cerrar ramas. Entre lasrestantes fórmulas, conviene reducir las más sencillas antes que las más com-plejas.

Las siguientes de�niciones y teoremas permiten interpretar un tableauacabado.

Si una rama θ de un tableau es completa y abierta, el conjunto de lasfórmulas que son sus etiquetas se dice conjunto de Hintikka. Es posibledemostrar (ver [HLR]) que todo conjunto de Hintikka es satisfacible.

De�nición 4.4.9 • Una rama θ de un tableau es satisfacible si y sólosi existe una valoración que satisface las fórmulas de θ.

• Un tableau T es satisfacible si y sólo si existe una valoración quesatisface las fórmulas de alguna de sus ramas.

Lema 4.4.10 (Lema de reducción) Si un tableau T ′ es extensión de unun tableau T, toda valoración que satisface T satisface también T ′.

Teorema 4.4.11 (Su�ciencia y adecuación) Un conjunto de fórmulasproposicionales Φ es insatisfacible si y sólo si se le puede asociar un tableauxcerrado TΦ.

Observación 11 Modi�cando la regla de iniciación y admitiendo la adiciónde hipótesis, es posible de�nir el concepto de tableau asociado a un conjuntoin�nito de fórmulas proposicionales. Su de�nición proporciona árboles conun número �nito de vértices, ya que usan sólo un número �nito de las fór-mulas iniciales. Las consecuencia teóricas de la de�nición de tableaux paraconjuntos in�nitos de fórmulas son profundas y están relacionadas con laspropiedades de corrección y completitud de los sistemas de demostración, quetrataremos brevemente en la sección 4.5.

82

Tableaux sintácticosPodemos observar que la de�nición recursiva de tableaux semánticos asociadoa un conjunto de fórmulas no requiere, en ningún paso, el cálculo de los valoresde verdad de las fórmulas consideradas. Eso quiere decir que el métodode refutación de los tableaux es, en realidad, un método de demostraciónsintáctico.

Por tanto, podemos usar tableaux demostrar teoremas o deducciones.

Ejemplo 4.4.12 En el ejemplo 4.4.6 demostramos la implicación lógica

{p ∧ q → r,¬r, p} |= ¬q.

Teniendo en cuenta las equivalencias entre fórmulas de�nidas por la coim-plicación de la teoría axiomática, la misma secuencia de tableaux empleadaen ese ejemplo demuestra la deducción

{p ∧ q → r,¬r, p} ` ¬q,

o, por el teorema de la deducción, el teorema

` (p ∧ q → r) → (¬r → (p → ¬q)).

4.4.3 Aplicaciones de los tableauxTableaux y razonamientosSea Φ → φ un razonamiento.

El teorema 4.4.11 asegura que el tableaux asociado a Φ ∧ ¬φ es cerradosi y sólo si el razonamiento es válido.

Por el otro lado, si el tableaux asociado no es cerrado, contendrá unarama abierta θ que nos permite hallar un contraejemplo a la validez delrazonamiento (toda valoración que satisface θ es un contraejemplo).

Ejemplo 4.4.13 Consideremos el siguiente razonamiento:

p → (q ↔ ¬r)(q ∨ ¬r) → ¬p

(q ∧ r) ∨ pp ∧ q ∧ ¬r

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Para veri�car su validez usando tableaux, tendremos que refutar la fór-mula que se obtiene como conjunción de todas las premisas con la negaciónde la conclusión.

Podemos simpli�car la construcción del tableaux asociado escribiendo to-das las fórmulas en forma conjuntivas o disyuntiva.

Usando equivalencias semánticas, obtenemos:

(¬p ∨ ¬q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ r ∨ q)(¬q ∧ r) ∨ ¬p

(q ∧ r) ∨ pp ∧ q ∧ ¬r

El tableau completo asociado es:

• (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ r ∨ q)|• (¬q ∧ r) ∨ ¬p|• (q ∧ r) ∨ p|• ¬p ∨ ¬q ∨ r|• ¬p ∨ ¬q ∨ ¬r|• ¬p ∨ r ∨ q

��� �

• ¬q ∧ r ¬p •| ��• ¬q q ∧ r • • p| | ]• r q •

�� |q ∧ r • • p r •

|• q

]

El tableaux completo obtenido tiene dos ramas cerradas y dos abierta. Estas

84

últimas nos proporcionan dos contraejemplos del razonamiento:

p : 1, r : 1, q : 0 y p : 0, r : 1, q : 1.

Tableaux y clasi�cación de fórmulas

Sea T (φ) el tableaux asociado a una fórmula φ.

• Si T (φ) es cerrado, φ es una contradicción (es insatisfacible).

• Si T (φ) tiene al menos una rama abierta, φ es satisfacible y tenemosque construir el tableaux T (¬φ) asociado a ¬φ :

� si T (¬φ) es cerrado, φ es una tautología,

� si T (¬φ) tiene al menos una rama abierta, φ es una contingencia.

Ejemplo 4.4.14 Sea φ : p → (p ∧ q) la fórmula que se quiere clasi�car.φ es equivalente a las forma disyuntiva ¬p ∨ (p ∧ q) y el tableaux T (φ)

es• ¬p ∨ (p ∧ q)

T (φ) ��� �

¬p • • p ∧ q|• p|• q

Ya que hay dos ramas abiertas, φ es satisfacible (un modelo es, por ejemplo,q : 1, p : 1).

Ahora, ¬φ : ¬(¬p ∨ (p ∧ q))) es equivalente a las forma conjuntiva p ∧

85

(¬p ∨ ¬q) el tableaux T (¬φ) es

• p ∧ (¬p ∨ ¬q)T (¬φ) |

• p|• ¬p ∨ ¬q��

� �¬p • •¬q

]

Hay una rama abierta y, por tanto, φ es una contingencia (la valoraciónq : 0, p : 1 es un contraejemplo de φ).

Tableaux y formas normales disyuntivas y conjuntivasVamos ahora a ver como la teoría de los tableaux semánticos se puede aplicarpara hallar la forma normal disyuntiva y conjuntiva de una fórmula proposi-cional.

Representar un fórmula φ por medio de su formas normales disyuntiva yconjuntiva permite aplicar nuevos métodos de refutación como el método deresolución, que se estudiará en el contexto de la lógica de primer orden en laasignatura de Lógica Computacional.

Siendo sus formas normales una nueva manera de expresar una fórmulapor medio de los conectivos del conjunto {¬,∧,∨}, no es sorprendente que,también en este caso, la teoría de los tableaux sea una herramienta de cálculoefectiva.

De�nición 4.4.15 (Formas normales disyuntivas y conjuntivas)

1. Un literal es cualquier fórmula de la forma p (literal positivo) o ¬p(literal negativo), donde p es una proposición atómica.

2. Una cláusula disyuntiva es cualquier disyunción de literales.

3. Una cláusula conjuntiva es cualquier conjunción de literales.

86

4. Una fórmula está en forma normal disyuntiva (FND) si es unadisyunción de cláusulas conjuntivas.

5. Una fórmula está en forma normal conjuntiva (FNC) si es unaconjunción de cláusulas disyuntivas.

Convenios:

• Un literal se puede considerar como una disyunción o una conjunción.

• ⊥ representa una disyunción, una cláusula disyuntiva o una FND vacía(siempre falsa).

• > representa una conjunción, una cláusula conjuntiva o una FNC vacía(siempre verdadera).

Teorema 4.4.16 ([HLR]) Sea una fórmula φ. A partir de las proposicionesatómicas de φ, se pueden siempre construir una forma normal disyuntiva,FND(φ), y una forma normal conjuntiva, FNC(φ), tales que

φ ≡ FND(φ) y φ ≡ FNC(φ).

Además, por las leyes de De Morgan y de la doble negación,

FNC(φ) ≡ ¬FND(¬φ).

Cálculo de las formas normales disyuntiva y conjuntiva mediantetableauxDado un tableau acabado T (φ), sean θ1, θ2, . . . , θn sus ramas abiertas.

Para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}, sea Φi las fórmula obtenida como conjunciónde los literales de la rama θi.

Por el lema de reducción 4.4.10 se obtiene que

FND(φ) = Φ1 ∨ Φ2 ∨ Φ3 ∨ · · · ∨ Φn.

87

Observación 12 Las ramas cerradas de T (φ) contribuyen a FND(φ) poruna disyunción con ⊥ y se pueden ignorar.

Si T (φ) está acabado, para determinar FND(φ) es su�ciente considerarsólo los literales que aparezcan en sus ramas abiertas, ya que todas las demásfórmulas ya han sido reducidas.

Aplicando las anteriores consideraciones y la equivalencia FNC(φ) ≡¬FND(¬φ), vamos a ver como T (φ) y T (¬φ) permiten calcular FND(φ)y FNC(φ).

Ejemplo 4.4.17 Sea φ : p → (p ∧ q) la fórmula clasi�cada en el ejemplo4.4.14.

Ya comentamos que, usando equivalencias lógicas, se obtiene que

φ ≡ ¬p ∨ (p ∧ q) = FND(φ).

Mirando al tableaux acabado T (φ),

• ¬p ∨ (p ∧ q)T (φ) ��

� �¬p • • p ∧ q

|• p|• q

observamos que hay dos ramas abiertas con Φ1 = ¬p y Φ2 = p ∧ q. Portanto

FND(φ) = Φ1 ∨ Φ2.

También usamos equivalencias lógicas para a�rmar que

¬φ ≡ p ∧ (¬p ∨ ¬q).

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Mirando al tableaux acabado T (¬φ),

• p ∧ (¬p ∨ ¬q)T (¬φ) |

• p|• ¬p ∨ ¬q��

� �¬p • •¬q

]

observamos que hay una sola rama abierta con Φ1 = p ∧ ¬q.Si no ignoramos la rama cerrada,

FND(¬φ) = (p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ ¬q)

yFNC(φ) = ¬FND(¬φ) = ¬((p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ ¬q)) ≡≡ ¬(p ∧ ¬p) ∧ ¬(p ∧ ¬q) ≡ (¬p ∨ p) ∧ (¬p ∨ q).

4.5 Corrección, completitud y decidibilidadEn este capítulo hemos estudiado algunos sistemas de demostración axiomá-ticos. Para cualquier sistema axiomático es siempre imprescindible estudiarsi éste cumple las tres propiedades de completitud, corrección y decidibilidad.Las dos primeras propiedades permiten estudiar la relación del sistema conla semántica del lenguaje y la tercera es una propiedad algorítmica.

Las demostraciones de la validez de estas propiedades para los sistemas dela lógica proposicional son complejas y fuera del alcance de esta asignatura.Nos limitaremos a enunciar los principales teoremas relacionados.

• CompletitudSe dice que un sistema de demostración axiomático es completo sies capaz de demostrar cualquier fórmula semánticamente válida (unatautología) y deducir cualquier consecuencia lógica.

89

Teorema de Kalmar [A]: toda tautología en teoría interpretativa esuna fórmula válida en teoría de la demostración.Los sistemas de Kleene y de Gentzen son sistemas completos.Considerando la de�nición sintáctica de la teoría de los tableaux paraun conjunto arbitrario de fórmulas (posiblemente in�nito), se puededemostrar que el sistema axiomático así obtenido es completo [HLR].

• CorrecciónSe dice que un sistema de demostración es correcto (consistente,coherente) si todas las fórmulas demostrables en el sistema son tau-tologías y todas las fórmulas deducibles en el sistema a partir de unconjunto de premisas son consecuencia lógica de dichas premisas.Teorema de Post [A]: toda fórmula válida en teoría de la demostra-ción es una tautología en teoría interpretativa.Los sistemas de Kleene, de Gentzen y la de�nición sintáctica de la teoríade los tableaux son sistemas correctos [HLR] y [MH].

• DecidibilidadSe dice que un sistema de demostración es decidible si proporcionaun procedimiento general y �nito (aplicable a cualquier fórmula y quetermine) que permita decidir si una fórmula es válida o deducible apartir de un conjunto de fórmulas.Los teoremas anteriores permiten a�rmar que una fórmula proposicio-nal es un teorema si y sólo si es una tautología.Por tanto la evaluación de la tabla de verdad es un procedimientogeneral y �nito de decisión de la validez de una fórmula [A].Es también posible demostrar que el método de los tableaux, en sude�nición más general, tiene las mismas propiedades de generalidad y�nitud [HLR] que las tablas de verdad.Se sigue que los sistemas formales de la lógica proposicionales son de-cidibles.

En conclusión, los sistemas formales de la lógica proposicional (la lógicade orden 0) son completos, correctos y decidibles.

90

Las lógicas de orden superior son más generales, pero pierden algunas deestas propiedades. Veremos que la lógica de predicados (de primer orden) escompleta y correcta, pero no es decidible.

91

4.6 EjerciciosEjercicio 4.6.1 Usando el sistema axiomático de Kleene, demuestra la idem-potencia de la conjunción (T14.1), la introducción del coimplicador (T20) yla eliminación del coimplicador (T21.1 y T21.2).

Ejercicio 4.6.2 Formaliza los siguientes razonamientos:

1. Si llueve no es sano hacer footing. Si no es sano hacer footing, obien como menos o engordo. Llueve y no como menos. Por lo tanto:Engordo.

2. Si f no fuese integrable en [a, b] entonces no podría ser continua endicho intervalo. Si f es diferenciable en [a, b], es continua y acotadaen [a, b]. Si f no fuese acotada en [a, b] no podría ser continua en [a, b].Por tanto: Si f es diferenciable en [a, b], es integrable y acotada en[a, b].

Ejercicio 4.6.3 Usando el sistema axiomático de Kleene, prueba (si es po-sible) la validez de los razonamientos anteriores.

Ejercicio 4.6.4 Usando el sistema de deducción natural, demuestra la vali-dez de las siguientes deducciones:

• {(p ∧ q) → r, ¬(p ∨ r) → s, p → q} ` ¬s → r

• {r → p, ¬q → ¬r, s → q, (p∧q) → t, ¬s∨p} ` (r∨s) → t

• {p → (q → r), ¬s ∨ p, q} ` s → r

• {s → (t → u), u → ¬u, (v → s) ∧ (p → t)} ` v → ¬p

Ejercicio 4.6.5 Prueba que las siguientes equivalencias semánticas son tam-bién coimplicaciones demostrables en el sistema de deducción natural:

1. ¬¬p ≡ p

2. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

3. ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q

4. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

92

5. (p → q) ≡ ¬p ∨ q

Ejercicio 4.6.6 Estudia, mediante tableaux, la validez de los argumentos:{(p ∨ ¬q) → r, ¬p → t, s → ¬q, r → q} |= s → t

{t → (s → p), p → ¬p, (r → t) ∧ (q → s)} |= r → ¬q

{s ∨ t, q → p, t → ¬p, ¬s} |= ¬q

Ejercicio 4.6.7 Formaliza el siguiente razonamiento y estudia su validezusando tableaux.

Si el barco entra en el puerto, habrá una gran �esta. El barco entra en elpuerto sólo si necesita repostar combustible. El barco no necesita combustiblea menos que venga de muy lejos. Es imposible que no necesite combustiblesi la comida ya se les ha terminado. Sabemos que, o bien se le ha terminadola comida, o bien necesita combustible. Por tanto: habrá una gran �esta.

Ejercicio 4.6.8 Usando tableaux, clasi�ca las fórmulas:

1. ¬s ∨ ¬p → (t → (p ∨ ¬s))

2. (p → q) → (q → p)

3. (t → (p ∧ s)) ∧ (¬s → p ∧ ¬t)

4. (¬(¬(¬p ∨ r) ∨ q)) → (¬(p ∧ q) ∨ r)

Ejercicio 4.6.9 Con el método de los tableaux, escribe las fórmulas del ejer-cicio anterior en forma normal disyuntiva.

Parte II

Lógica de predicados de primerorden

93

Capítulo 5

Sintaxis de la lógica de primerorden

La lógica de predicados o de primer orden (LPO, L1) es una generali-zación de la lógica de proposiciones (LP, L0). Introduciendo nuevos elementosdel lenguaje, permite estudiar la estructura interna de los enunciados (suspropiedades, las relaciones entre objetos, etc.).

Ejemplo 5.0.1 Consideremos el siguiente razonamiento:

Todos los hombres son mortales,Sócrates es un hombre,Sócrates es mortal.

Sean p = todos los hombres son mortales, q = Sócrates es un hombre yr = Sócrates es mortal.

La formalización del razonamiento dado en lógica proposicional es

p,q,r

y tiene el contraejemplo p : 1, q : 1 y r : 0. Por tanto, el razonamiento enestudio no es válido en lógica proposicional.

Es evidente que la conclusión de este ejemplo no satisface nuestra intui-ción. Necesitamos extender la lógica proposicional a una lógica que admitala validez de una clase más amplia de razonamientos.

95

96

Esta nueva lógica tendría que permitir una descripción más �na de la rea-lidad, pudiendo distinguir los objetos o términos (por ejemplo, los hombres)de sus propiedades o predicados (por ejemplo, la propiedad de ser morta-les). La lógica proposicional, cuyos elementos básicos son las proposicionesatómicas, no permite realizar esta distinción.

La lógica de predicados (Gottob Frege, 1879) nos permite dar una descrip-ción de la realidad más detallada. Por ejemplo, veremos que el razonamientoanterior se puede formalizar más precisamente como

∀x(H(x) → M(x)),H(s),M(s).

Como ya comentamos en varias ocasiones, la sintaxis es la de�nición axio-mática de los elementos básicos del lenguaje y de las reglas que permiten ob-tener nuevas expresiones correctas a partir de aquellos, las expresiones bienconstruidas. El objetivo de este capítulo es el estudio de la sintaxis de lalógica de predicados.

En el apéndice A se encuentra una breve introducción a las nocionesbásicas de la teoría de conjuntos, de las relaciones y de las funciones. Estosconceptos son fundamentales para la lógica de predicados y se aconseja surepaso.

Las principales referencias usadas en este capítulo son [A], [HLR] y [MH].

5.1 Alfabeto del lenguaje formal de la lógica depredicados

Los elementos básicos del alfabeto del la lógica de predicados son:

• Los símbolos de constantes: se denotan a, b, c, . . . y representanobjetos concretos. Las constantes son individuos o elementos dis-tinguidos del universo del discurso, que es la colección de objetossobre los cuales queremos razonar.

• Las variables: se denotan x, y, z, . . . y sirven para representar obje-tos, cuyo dominio hay que especi�car.

97

Tomaremos conjuntos de variables V �nitos o in�nitos numerables.Recordamos que un conjunto V es in�nito numerable si existe unafunción biyectiva entre V y el conjunto de los números naturales N.

Ejemplo 5.1.1 En las expresiones �Pedro es un estudiante� y �x es unnúmero primo,� Pedro es una constante en el conjunto de la personasy x es una variable en el conjunto de los números enteros.

• Los conectivos lógicos:1. constantes (de aridad 0): > (verdadero) y ⊥ (falso)

2. conectivos unarios: ¬ (negación)

Ejemplo 5.1.2 Siendo E(a) : Pedro es un estudiante, aplicandola negación se obtiene ¬(E(a)) : Pedro no es un estudiante. Deforma similar, si P (x) : x es un número primo, ¬(P (x)) : x noes un número primo.

3. conectivos binarios:∧ (y: la conjunción), ∨ (ó: la disyunción),→ (la implicación), ↔ (la doble implicación o coimplicación).

NOTACIÓN: El símbolo ◦ se usará para representar un conec-tivo binario cualquiera.

Ejemplos 5.1.3 1) La frase �Sócrates es un �lósofo, sin embar-go no es un deportista� se escribe como (F (s) ∧ ¬(D(s))), dondeF (−) : − es un �lósofo y D(−) : − es un deportista.2) La frase �Sócrates es un �lósofo o Sócrates es un deportista� seescribe como (F (s) ∨D(s)).

3) La frase �La luna es de papel si y sólo si Carlos lee muchoslibros� se escribe como (P (l) ↔ L(c)), donde P (−) : − es de papely L(−) : − lee muchos libros.

• Igualdad:Usaremos el símbolo de igualdad = para expresiones del tipo 4−1 = 3o mcm(2, 3) = 6.

Por tanto, estamos considerando la lógica de predicados con igual-dad.

98

Ejemplo 5.1.4 El comando �IF x > 0 THEN y =√

x� se escribecomo (P (x) → (y = f(x))), donde P (−) : − es positivo y f(−) :

√−.

• Los cuanti�cadores:

1. ∀ : cuanti�cador universal (para todo). El cuanti�cador uni-versal permite referirse a todos los individuos del universo deldiscurso.

2. ∃ : cuanti�cador existencial (existe). El cuanti�cador existen-cial permite referirse a algunos de los individuos del universo deldiscurso.

Ejemplos 5.1.5 1) La frase �Todo número primo y mayor que 2 esimpar� se escribe como (∀x((P (x) ∧Q(x)) → R(x))), donde P (−) : −es primo, Q(−) : − es mayor que 2 y R(−) : − es impar.2) La frase �Todo hombre es mortal y hay hombres que no son �lósofos�se escribe como ((∀x(P (x) → Q(x))) ∧ (∃x(P (x) ∧ (¬(R(x))))), dondeP (−) : − es un hombre, Q(−) : − es mortal y R(−) : − es �lósofo.

• Los símbolos de puntuación (o símbolos auxiliares): paréntesisabiertos y cerrados, comas.

• Los símbolos de predicado: se denotan P,Q, R, . . . .

Todo predicado tiene un número n ∈ N ∪ {0} de argumentos. Elnúmero n es la aridad del predicado.En ocasiones se especi�cará la aridad n de un predicado P por mediodel símbolo P n.

1. Predicados constantes, n = 0: representan proposicionesatómicas.Para representar las proposiciones atómicas se suelen usar los sím-bolos p, q, r, s, t, . . .

2. Predicados monádicos, n = 1: representan propiedades deobjetos.

3. Predicados poliádicos, n > 1: representan relaciones entreobjetos.

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Ejemplos 5.1.6 Los siguientes son ejemplos de predicados:

P (x) : la raíz cuadrada de x es irracional (predicado monádico),

P (x, y) : x es el hermano de y (predicado binario),

P (a, b, c) : a pre�ere b a c (predicado ternario).

• Los símbolos de función: se denotan f, g, h, . . . .

Toda función tiene un número n ∈ N∪{0} de argumentos. El númeron es la aridad de la función.

En ocasiones se especi�cará la aridad n de una función f por mediodel símbolo fn.

1. Funciones constantes, n = 0: son símbolos de constantes.Para representar las funciones constantes se suelen usar los sím-bolos a, b, c, . . .

2. Funciones monádicas, n = 1: representan un objeto en funciónde otro.

3. Funciones poliádicas, n > 1: representan un objeto en funciónde otros.

Ejemplos 5.1.7 Los siguientes son ejemplos de funciones:

1) f(x) :√

x es la función monádica raíz cuadrada.

2) f(x, y) : x + y es la función binaria suma de dos números.

3) f(x, g(y, z), a) : x(y + z) − a es la función ternaria que multiplicalas primeras dos variables y resta al producto obtenido la constante a.g es la función binaria suma de dos números.

Veremos que toda función se puede escribir como un predicado y quelas funciones sirven para simpli�car la estructura de la fórmulas.

100

5.2 De�nición recursiva de las expresiones bienconstruidas: términos y fórmulas

Los elementos básicos de un lenguaje y las reglas de formación permitende�nir cadenas �nitas de símbolos arbitrarias (palabras). De todas las posi-bles palabras, nos interesa de�nir aquellas que se denominan términos (querepresentan objetos) y fórmulas (que expresan hechos relativos a objetos).Los términos y las fórmulas de la lógica de predicados se obtienen a partir delalfabeto dado sólo por medio de las reglas de formación que vamos a de�nira continuación.

Los términos y las fórmulas son las expresiones bien construidas dela lógica de primer orden.

• Términos

De�nición 5.2.1 (De�nición recursiva de los términos)

1. (TAt): Todo símbolo de variable y todo símbolo de constante esun término.Las variables y las constantes forman el conjunto de los términosatómicos.

2. (TF): Si f es un símbolo de función de aridad n > 0 y t1, t2, . . . , tnson términos, entonces f(t1, t2, . . . , tn) es un término.Estos términos se llaman términos compuestos.

3. Si una palabra no se obtiene mediante las dos reglas anteriores,entonces no es un término.

Ejemplo 5.2.2 Los siguientes son ejemplos de términos:

x, a, f(x), g(x, y), g(x, f(x)),

donde x es una variable, a es una constante, f es una función monádicay g es una función binaria.Los primero dos términos de la lista son atómicos y los restantes soncompuestos.

101

• Fórmulas

De�nición 5.2.3 Una fórmula atómica es cualquier expresión de laforma P (t1, t2, . . . , tn), donde P es un símbolo de predicado con aridadn > 0 y t1, t2, . . . , tn son términos. Las proposiciones, los conectivoslógicos constantes > y ⊥ y la igualdad entre términos, s = t, tambiénse consideran fórmulas atómicas.

Ejemplo 5.2.4 Los siguientes son ejemplos de fórmulas atómicas:

>, p, R(f(x), y)

donde p es una proposición atómica, f es una función monádica y Res un predicado binario.

NOTACIÓN: Para representar las fórmulas se suelen usar las letrasdel alfabeto griego φ, ψ, χ, . . .

De�nición 5.2.5 (De�nición recursiva de las fórmulas)

1. (FAt): Toda fórmula atómica es una fórmula.2. (F¬): Si φ es una fórmula entonces ¬(φ) es una fórmula.3. (F◦): Si φ y ψ son dos fórmulas entonces (φ◦ψ) es una fórmula.4. (F∀∃): Si φ es una fórmula y x es un símbolo de variable, en-

tonces ∃xφ y ∀xφ son fórmulas.5. Si una palabra no se obtiene mediante las cuatro reglas anteriores,

entonces no es una fórmula.

Ejemplos 5.2.6 1) Las fórmulas atómicas del ejemplo anterior sonfórmulas.2) La expresión

(∀x∃y(R(x, f(y)) ∧ (¬(f(x) = s)))

es una fórmula ya que:1. R(x, f(y)) y (f(x) = s) son fórmulas atómicas (aplicando (FAt)),

102

2. (¬(f(x) = s)) es una fórmula (aplicando (F¬)),3. (R(x, f(y)) ∧ (¬(f(x) = s))) es una fórmula (aplicando (F◦)),4. ∃y(R(x, f(y)) ∧ (¬(f(x) = s))) es una fórmula (aplicando (F∀∃)),5. (∀x∃y(R(x, f(y)) ∧ (¬(f(x) = s)))) es una fórmula (aplicando(F∀∃)).

TÉRMINOS(objetos)

FÓRMULAS(hechos)

EXPRESIONES BIEN CONSTRUIDAS

Fórmulas atómicas

(relaciones)

Figura 5.1: Expresiones bien construidas

5.2.1 Variables libres y variables ligadasLas fórmulas se clasi�can en fórmulas abiertas y fórmulas cerradas,dependiendo de ciertas características de sus variables.

De�nición 5.2.7 Fórmulas abiertas y fórmulas cerradas

• Se dice que la ocurrencia de una variable x en una fórmula φ es ligada(o que la variable es ligada) si está afectada por algún cuanti�cador. Encaso de que una variable no aparezca ligada diremos que su ocurrenciaes libre (la variable es libre).

• Se dice que una fórmula φ es abierta si tiene alguna ocurrencia devariable libre. Se dice que una fórmula φ es cerrada (o que es unasentencia) si no tiene ninguna ocurrencia de variable libre.

103

Ejemplos 5.2.8 1) En la fórmula ∀xP (x, y) la variable x aparece ligada yla variable y aparece libre. La fórmula es abierta.

2) En la fórmula

∃x((P (x) ∧Q(x)) ∨ (P (x) ∧Q(x)))

la variable x aparece ligada en las dos componentes de la disyunción, ya queel cuanti�cador existencial la afecta en los dos casos. La fórmula es cerrada.

3) En la fórmula

(∃x(P (x) ∧Q(x)) ∨ (P (x) ∧Q(x)))

la variable x aparece ligada en la primera componente de la disyunción yaparece libre en la segunda. En este caso el cuanti�cador existencial afectax sólo en la primera componente de la disyunción y la fórmula es abierta.

Notar que esta última fórmula se puede reescribir como

(∃x(P (x) ∧Q(x)) ∨ (P (y) ∧Q(y))).

5.2.2 El principio de inducción estructural para expre-siones bien construidas

Como en el caso de la lógica de proposiciones, para poder estudiar las pro-piedades de las expresiones bien construidas de la lógica de primer orden unade las técnicas más adecuadas es el principio de inducción estructural.

Principio de inducción estructural para términosSea P una cierta propiedad tal que:

1. Base de inducción (TAt): Todos los términos atómicos cumplen lapropiedad P.

Pasos de inducción:

2. (TF): Si f es un símbolo de función de aridad n > 0 y los términost1, t2, . . . , tn cumplen la propiedad P (hipótesis de inducción), entoncesf(t1, t2, . . . , tn) cumple la propiedad P.

104

El principio de inducción estructural para términos a�rma quesi se veri�can las condiciones anteriores, entonces se puede concluir quetodo término cumple la propiedad P.

El principio de inducción estructural para fórmulasSea P una cierta propiedad tal que:

1. Base de inducción (FAt): Todos las fórmulas atómicas cumplen lapropiedad P.

Pasos de inducción:

2. (F¬): Si φ es una fórmula que cumple la propiedad P (hipótesis deinducción), entonces ¬(φ) cumple la propiedad P,

3. (F◦): Si φ y ψ son dos fórmulas que cumplen la propiedad P (hipótesisde inducción), entonces (φ ◦ ψ) cumple la propiedad P,

4. (F∀∃): Sean φ es una fórmula y x un símbolo de variable. Si φcumple la propiedad P (hipótesis de inducción), entonces ∀xφ y ∃xφcumplen la propiedad P.

El principio de inducción estructural para fórmulas a�rma quesi se veri�can las condiciones anteriores, entonces se puede concluir quetoda fórmula cumple la propiedad P.

5.3 Representación de las expresiones bien cons-truidas

Como ya hicimos en el caso de la lógica proposicional, vamos a ilustrar lasmaneras más usadas para representar las fórmulas de la lógica de primerorden.

5.3.1 Fórmulas en forma abreviadaPara reducir una fórmula a su forma abreviada podemos seguir los siguien-tes pasos:a) Se puede omitir el par de paréntesis externo.

105

Así, por ejemplo, la fórmula

((∃xP (x) ∧Q(x)) ∧ (∀yP (y)))

se puede escribir como:

(∃xP (x) ∧Q(x)) ∧ (∀yP (y)).

b) Se introducen las mismas reglas de precedencia y el mismo conveniode asociatividad entre conectivos que de�nimos para fórmulas proposicio-nales.

Así, por ejemplo, la fórmula anterior se escribiría como:

(∃xP (x)) ∧Q(x) ∧ (∀yP (y)).

c) Se admite la precedencia de los cuanti�cadores: los cuanti�cadorestienen prioridad sobre los conectivos. Se obtienen los siguientes niveles deprecedencia:

Nivel 1: ∀ y ∃,Nivel 2: ¬,Nivel 3: ∨ y ∧,Nivel 4: → y ↔ .

Finalmente, la forma abreviada de nuestra fórmula es:

∃xP (x) ∧Q(x) ∧ ∀yP (y).

5.3.2 Principio de unicidad de estructura para expre-siones bien construidas

Como para la lógica proposicional, en la lógica de primer orden valen prin-cipios de unicidad de estructura para términos y fórmulas. Cada expresiónbien construida admite un análisis sintáctico único, es decir, existe una únicamanera de derivarla usando las reglas de formación dadas.

Estos principios nos permitirán representar expresiones bien construidaspor medio de árboles sintácticos (o estructurales).

106

Principio de unicidad de estructura para términos

Todo término pertenece a una y sólo una de las siguientes categorías:

1. (TAt): es atómico,

2. (TF): se escribe como f(t1, t2, . . . , tn), donde f es un símbolo de fun-ción de aridad n > 0 y t1, t2, . . . , tn son términos. f y t1, t2, . . . , tnestán unívocamente determinados.

Principio de unicidad de estructura para fórmulas

Toda fórmula φ pertenece a una y sólo una de las siguientes categorías:

1. (FAt)1 : φ es una proposición o uno de los conectivos lógicos constantes> y ⊥,

2. (FAt)2 : φ es una igualdad entre términos, s = t, donde s y t estánunívocamente determinados,

3. (FAt)3 : φ es P (t1, t2, . . . , tn), donde P es un símbolo de predicadocon aridad n > 0 y t1, t2, . . . , tn son términos. P y t1, t2, . . . , tn estánunívocamente determinados,

4. (F¬): φ es ¬(φ1) para cierta fórmula φ1, unívocamente determinada,

5. (F◦): φ es (φ1 ◦ φ2) para cierto conectivo ◦ y ciertas fórmulas φ1 yφ2 . φ1 y φ2 están unívocamente determinadas,

6. (F∀∃): φ es ∀xφ1 o ∃xφ1 para cierta fórmula φ1 y cierto símbolo devariable x. φ1 y x están unívocamente determinados.

107

5.3.3 Términos y fórmulas en forma de árbol estructuralUna primera consecuencia de los principios de unicidad de estructura es laposibilidad de representar términos y fórmulas por medio de árboles.

En los siguientes dos ejemplos veremos como construir el árbol sintácticode un término y de una fórmula.Ejemplos 5.3.1 1) Consideremos el término compuesto

f(g(x, h(a, y)), i(x, l(y))).

Para representar su estructura sintáctica podemos dibujar el árbol con raízde la �gura 5.2.

a

x

y

h

g

f

i

x l

y¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

@@

@@

@@

@@³³³³³³³³³³³HHHHHHHH

@@

@@

¡¡

¡¡

Figura 5.2: Árbol sintáctico del término f(g(x, h(a, y)), i(x, l(y))).

2) Sea ahora φ la fórmulaφ : ∀x∃y(∀z(a = f(z)) ∨ (¬R(g(x, h(a, y)), i(x, l(y))))).

Para representar la estructura sintáctica de φ, podemos dibujar el árbolcon raíz de la �gura 5.3.

5.3.4 El principio de recursión estructural para expre-siones bien construidas

Una segunda consecuencia de los principios de unicidad de estructura son losprincipios de recursión estructural para expresiones bien construidas.

108

a

x

y

h

g

R

¬

i

x l

y

z

fa

z =

∀∃

y

x

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

@@

@@

@@

@@³³³³³³³³³³³HHHHHHHH

@@

@@

¡¡

¡¡

¡¡

¡

@@

@

¡¡

@@

¡¡

¡¡

¡¡

@@

@@

@@

@@

@@

@

¡¡

¡¡

Figura 5.3: Árbol sintáctico de φ.

El principio de recursión estructural para términosSea A un conjunto no vacío. Para de�nir una función

f : T −→ A

cuyo dominio sea el conjunto de los términos y cuyo codominio sea un con-junto dado A, se puede emplear la siguiente de�nición recursiva:

1. Base (TAt): Si t es un término atómico, f(t) se de�ne explícitamen-te, es un elemento de A,

2. Paso recursivo (TF): si t es el término compuesto g(t1, t2, . . . , tn),se de�ne f(t) en función de f(t1), f(t2), . . . , f(tn).

109

Estas de�niciones determinan la función f sobre todo T.

Ejemplos 5.3.2 (HLR) 1) Sea Var el conjunto de todas las variables.Queremos de�nir recursivamente el conjunto V ar(t) de las variables libresde un cualquier término t.

Por el principio de recursión estructural para términos, podemos de�niruna función V ar : T −→ Var, que asocia a todo término t el conjunto desus variables libres, V ar(t) :

1. Base (TAt): V ar(x) = {x}, y V ar(a) = ∅, donde ∅ es el conjuntovacío.

2. Paso recursivo (TF): si t es el término compuesto g(t1, t2, . . . , tn),se de�ne

V ar(t) = V ar(t1) ∪ V ar(t2) ∪ · · · ∪ V ar(tn).

2) Se denomina profundidad de un término t a la longitud de la ramamás larga del árbol estructural de t. Por tanto, la profundidad de t es laaltura de su árbol sintáctico.

Por ejemplo, la longitud del término f(g(x, h(a, y)), i(x, l(y))) de la �gura5.2 es 3.

Por el principio de recursión estructural, la de�nición recursiva de lafunción profundidad

pf : T −→ N ∪ {0}(que asocia a cada término t ∈ T su profundidad) es:

1. Base (TAt): Si t es un término atómico, pf(t) = 0,

2. Paso recursivo (TF): si t es el término compuesto g(t1, t2, . . . , tn),se de�ne

pf(t) = max{pf(t1), pf(t2), . . . , pf(tn)}+ 1.

110

El principio de recursión estructural para fórmulasSea A un conjunto no vacío. Para de�nir una función

f : F −→ A

cuyo dominio sea el conjunto de las fórmulas y cuyo codominio sea un con-junto dado A, se puede emplear la siguiente de�nición recursiva:

1. Base (FAt): Si φ es una fórmula atómica, f(φ) se de�ne explícita-mente, es un elemento de A.

Paso recursivo:

2. (F¬): f(¬(φ1)) se de�ne en función de f(φ1),

3. (F◦): f(φ1 ◦ φ2) se de�ne en función de f(φ1) y f(φ2),

4. (F∀∃): f(∀xφ1) y f(∃xφ1) se de�nen en función de f(φ1).

Estas de�niciones determinan la función f sobre todo F.

Ejemplo 5.3.3 [HLR]Sea Var el conjunto de todas las variables. Queremos de�nir recursiva-

mente el conjunto Lib(φ) de las variables libres de una cualquier fórmulaφ.

Por el principio de recursión estructural para fórmulas, podemos de�niruna función Lib : F −→ Var, que asocia a toda fórmula φ el conjunto desus variables libres, Lib(φ) :

1. Base (FAt): Si φ es una fórmula atómica, Lib(φ) es el conjuntoV ar(φ) de todas las variables de φ. En particular,Lib(>) = Lib(⊥) = Lib(p) = ∅, donde ∅ es el conjunto vacío,Lib(s = t) = V ar(s) ∪ V ar(t),

Lib(P (t1, t2, . . . , tn)) = V ar(t1) ∪ V ar(t2) ∪ · · · ∪ V ar(tn).

Paso recursivo:

2. (F¬): Lib(¬(φ1)) = Lib(φ1),

111

3. (F◦): Lib(φ1 ◦ φ2) = Lib(φ1) ∪ Lib(φ2),

4. (F∀∃): Lib(∀xφ1) = Lib(∃xφ1) = Lib(φ1) \ {x}.Estas de�niciones determinan la función Lib sobre todo F.

5.4 Formalización del lenguaje naturalComo ya vimos en lógica proposicional, formalizar una frase del lenguajenatural consiste en encontrar una expresión que la represente �elmente en ellenguaje formal.

No hay procedimientos generales para la formalización, pero se puedendeterminar algunas estrategias, como las que vamos a indicar a continuación.

La referencia principal para esta sección es [A].

• Si la frase que se quiere formalizar no tiene una estructura sintácticafácilmente reconocible, se puede intentar reescribirla en el lenguajenatural hasta llegar a una frase con una estructura más sencilla y quemantenga el mismo signi�cado.

• Tenemos que de�nir claramente el dominio o los dominios a loscuáles pertenecen los objetos que vamos a usar.

• En una frase necesitamos determinar:

� Las constantes, que son objetos concretos de uno o más dominios.� Las variables, que son objetos genéricos de uno o más dominios.� Las funciones de aridad n > 0 , que representan como un cierto

objeto queda determinado por otros (u otro).� Los predicados monádicos que representan propiedades de un

objeto.� Los predicados de aridad n > 0 que representan relaciones

entre objetos.

• Identi�cadas las conectivas lingüísticas y los cuanti�cadores (universa-les o existenciales), necesitamos sustituirlas por los conectivos y loscuanti�cadores de la lógica de primer orden.

112

• Para formalizar un razonamiento, necesitamos formalizar el conjuntode sus premisas y de su conclusión.

Observación 13 A la hora de formalizar frases o razonamientos hay algu-nas observaciones importantes que es oportuno tener en cuenta.

1. Ya que la formalización de una frase depende del dominio o de losdominios elegidos, se pueden obtener formalizaciones distintas de unmismo enunciado.

Ejemplo 5.4.1 Para formalizar la frase:

�Todos los niños juegan con la pelota,�

podemos de�nir los predicados

J(x) : x juega con la pelota

yJ(x, y) : x juega con y.

a) Sea D1 el conjunto de los niños. Entonces se obtiene

∀xJ(x).

b) Sean D2 el conjunto de las personas y sea N(x) : x es un niño. Eneste caso se obtiene

∀x(N(x) → J(x)).

c) Sean D1 el conjunto de los niños y D2 el conjunto de los juegos.Entonces p = la pelota es una constante en D2 y obtenemos la forma-lización

∀xJ(x, p).

d) Sean D1 el conjunto de las personas y D2 el conjunto de los juegos.Entonces p = la pelota es una constante en D2 y, usando el predicadoN(x) : x es un niño, obtenemos la formalización

∀x(N(x) → J(x, p)).

113

2. Toda función se puede representar mediante un predicado con un ar-gumento más que la función. Además, las funciones simpli�can la es-tructura de la fórmula obtenida.

Ejemplo 5.4.2 Consideremos la frase:

�Todo padre quiere mucho a sus hijos.�

a) Formalización con predicados.Podemos de�nir el dominio D de las personas y los predicados

P (x, y) : x es el padre de y,

yQ(x, y) : x quiere mucho a y.

Con estas de�niciones, la formalización sería

∀x∀y(P (x, y) → Q(x, y)).

b) Formalización con funciones.Podemos de�nir el dominio D de las personas, la función

f(x) : el padre de x,

yQ(x, y) : x quiere mucho a y.

Con estas de�niciones, la nueva formalización sería

∀x(Q(f(x), x)).

Notar que la formalización se ha simpli�cado y que la función de unargumento f(x) sustituye al predicado binario P (x, y).

Observar también que �el hijo de x � no es una función, ya que unmismo padre puede tener más que un hijo y, por tanto, el términoasociado a x (al padre) no quedaría unívocamente determinado.

114

Patrones más habituales1. Universal a�rmativo

∀x(φ1 → φ2),

∀x(¬φ2 → ¬φ1).

Es la forma de representar frases del tipo:Todo φ1 es φ2,

Sólo los φ2 son φ1,

Nadie es φ1 a menos que sea φ2,

No hay ningún φ1 que no sea φ2,

φ1 es su�ciente para φ2,

φ2 es necesario para φ1.

2. Universal negativo∀x(φ1 → ¬φ2).

Es la forma de representar frases del tipo:Ningún φ1 es φ2,

Todos los φ1 carecen de φ2.

3. Existencial a�rmativo

∃x(φ1 ∧ φ2).

Es la forma de representar frases del tipo:Algún φ1 es φ2,

Alguien es a la vez φ1 y φ2.

4. Existencial negativo∃x(φ1 ∧ ¬φ2).

Es la forma de representar frases del tipo:Algún φ1 no es φ2,

No todos los φ1 son φ2.

115

Ejemplos 5.4.3 1) (Universal a�rmativo)

�Nadie se levanta a menos que tenga que irse.�

La frase anterior se puede reescribir como

�Para todo x, si x no tiene que irse, entonces no se levanta,�

o como

�Para todo x, si x se levanta, entonces tiene que irse.�

Sea D el dominio de las personas y sean

P (x) : x se levanta,

Q(x) : x tiene que irse.Con estas de�niciones obtenemos la formalización:

∀x (P (x) → Q(x)).

2) (Universal negativo)

�Ningún emperador es odontólogo (L. Carroll).�

Sea D el dominio de las personas y sean

P (x) : x es emperador,

Q(x) : x es odontólogo.Con estas de�niciones obtenemos la formalización:

∀x (P (x) → ¬Q(x)).

3) (Existencial a�rmativo)

�Algunos estudiantes de informática sólo son amigosde los a�cionados a la lógica [C].�

Esta frase se puede reescribir como:

116

�Para algunos estudiantes de informática, una persona es un amigosólo si es a�cionado a la lógica [C].�

Sea D el dominio de las personas y sean

P (x) : x es estudiante de informática,

Q(x) : x es a�cionado a la lógica,R(x, y) : x es amigo de y.

Con estas de�niciones obtenemos la formalización:

∃x (P (x) ∧ (R(x, y) → Q(y))).

4) (Existencial negativo)

�Algunos gatos no saben silbar ni maullar (L. Carroll).�

Sea D el dominio de los animales y sean

P (x) : x es un gato,

Q(x) : x sabe silbar,R(x) : x sabe maullar.

Con estas de�niciones obtenemos la formalización:

∃x (P (x) ∧ ¬Q(x) ∧ ¬R(x)).

Negación de frases que contienen cuanti�cadoresVamos a ver como se escribe la negación de una frase que contiene un cuan-ti�cador.

Universal-ExistencialConsideremos la frase

�Todos los alumnos de esta clase aprobarán en febrero.�

117

Sean D el conjunto de los alumnos de esta clase y

P (x) : x aprobará en febrero.

La frase dada se puede escribir como:

∀xP (x).

La negación de �Todos los alumnos de esta clase aprobarán en febrero� es�No todos los alumnos de esta clase aprobarán en febrero,� es decir,

¬(∀xP (x)),

que podemos reescribir como:

�Existen alumnos de esta clase que no aprobarán en febrero.�

Con los mismos dominio y predicados anteriores, su formalización es

∃x(¬P (x)).

Existencial-UniversalConsideremos ahora la frase

�Algunos alumnos de esta clase suspenderán en febrero.�

Sean D el conjunto de los alumnos de esta clase y

P (x) : x suspenderá en febrero.

La frase dada se puede escribir como:

∃xP (x).

La negación de �Algunos alumnos de esta clase suspenderán en febrero�es �Ningún alumno de esta clase suspenderá en febrero,� es decir,

¬(∃xP (x)),

que podemos reescribir como:

�Todos los alumnos de esta clase no suspenderán en febrero.�

118

Con los mismos dominio y predicados anteriores, su formalización es

∀x(¬P (x)).

Ejemplo 5.4.4 (De�nición de límite de una sucesión) Sean R el conjuntode los números reales, R+ el conjunto de los números reales positivos y N elconjunto de los números naturales. Sea {an}n∈N una sucesión de númerosreales, es decir, una función

a : N −→ R.

Si ε ∈ R+ y n,m ∈ N, se dice que el número real L es el límite de {an}n∈N,lim

n→∞an = L, si

∀ε ∃n ∀m ((m ≥ n) → |am − L| < ε).

La formalización matemática de la condición limn→∞

an 6= L es

∃ε ∀n ∃m ((m ≥ n) ∧ |am − L| ≥ ε).

Ejemplo 5.4.5 Vamos a formalizar el siguiente razonamiento [C]:

Sólo las buenas personas ayudan a los pobres. Ninguna buenapersona es a�cionada a la fotografía. Antonio ayuda a Juan.Antonio es a�cionado a la fotografía. Entonces, Juan es pobre.

Sea D el dominio de las personas, a la constante Antonio y j la constanteJuan. De�namos los siguientes predicados:

P (x) : x es buena persona,

Q(x, y) : x ayuda a y,

R(x) : x es pobre,

S(x) : x es a�cionado a la fotografía.Con estas de�niciones el razonamiento dado se puede escribir como:

119

∀x∀y(Q(x, y) ∧R(y) → P (x)),

∀x(P (x) → ¬S(x)),

Q(a, j),

S(a)

R(j)

Observación 14 (Lógicas de predicados de orden superior)El cálculo de predicados de primer orden admite generalizaciones a cál-

culos de predicados de orden mayor que uno. En el cálculo de predicadosde primer orden los cuanti�cadores pueden afectar sólo a las variables y lospredicados se calculan sólo sobre términos.

En el cálculo de predicados de segundo orden, los cuanti�cadores afectantambién a predicados.

En el cálculo de tercer orden se de�nen predicados de predicados (no sólopredicados de términos).

Siguiendo añadiendo niveles de �predicados de predicados,� se sube el niveldel cálculo de predicados que se está de�niendo.

120

5.5 EjerciciosEjercicio 5.5.1 Determina cuáles de las siguientes fórmulas (en forma abre-viada) son abiertas y cuáles son cerradas. En cada caso, identi�ca las varia-bles libres y ligadas.

1. ∀x(f(x, y) → P (g(x), a, b)),

2. ∃y(∀xf(x, y) → P (g(x), a, b)),

3. ∃y∀xf(x, y) ∧ P (g(x), a, b),

4. ∃y∃xf(x, y) ∧ ¬∀xP (g(x), a, b).

Ejercicio 5.5.2 Representa en forma de árbol estructural las fórmulas delejercicio anterior y los siguientes términos:

1. f(g(a, x), h(x, i(y, b)), c),

2. f(g(x), h(x, y), i(y, b), l(x, c)).

Ejercicio 5.5.3 [HLR] Usando el principio de recursión estructural, de�nela función

Lig : F −→ Var,

que a cada fórmula φ asocia el conjunto Lig(φ) de sus variables ligadas.

Ejercicio 5.5.4 Formaliza las siguientes frases en lógica de primer orden.Para cada una de ellas, escribe su negación y vuelve a traducirla al lenguajenatural.

1. Sólo los cientí�cos que trabajan en áreas aplicadas son famosos.

2. Algunos caballos son salvajes.

3. Todas las personas tienen algún amigo.

4. En los números reales, el producto de cualquier número real positivopor cualquier número negativo es negativo. El producto de cualquiernúmero positivo por cualquier número positivo es positivo.

121

5. En los números naturales, el siguiente de cualquier número par no espar. El siguiente de cualquier número no par es par. El producto decualquier número par por cualquier natural es par.

6. Si el producto de dos números naturales es múltiplo de un primo, en-tonces uno de ellos es múltiplo del primo.

7. Sólo las buenas enfermeras atienden con paciencia a los enfermos tísi-cos.

8. Los a�cionados del Madrid son amigos de los a�cionados del Betis.Algunos a�cionados del Madrid son amigos de los a�cionados del Be-tis. Algunos a�cionados del Madrid sólo son amigos de a�cionados delBetis.

9. Dos hermanos nunca tienen la misma opinión respecto a todos los as-pectos de la vida.

Ejercicio 5.5.5 Formaliza el siguiente argumento en la lógica de primer or-den:

Dos personas son hermanas si tienen el mismo padre. Dos per-sonas son primas si tienen el mismo abuelo. El padre de Juan eshijo único. Por tanto: sus primos son sus hermanos.

122

Capítulo 6

Semántica de la lógica de primerorden. Teoría interpretativa

Como ya hicimos en el capítulo 3 para la lógica proposicional, en este capítulovamos a estudiar la semántica y sus sistemas de demostración en la lógica deprimer orden. Volvemos a recordar sus de�niciones:

La semántica es la de�nición de un conjunto de signi�cados (generalmen-te verdadero o falso) que se puedan asociar a una expresión bien construida.Permite de�nir la validez de un expresión o de un razonamiento.

Los sistemas de demostración son sistemas formales que permiten ave-riguar cuándo una expresión o un razonamiento son válidos. En el contextode la semántica se denominan teoría interpretativa.

Volveremos a estudiar los conceptos fundamentales de validez de una fór-mula, de consecuencia lógica y de equivalencia entre fórmulas en el contextomás complejo y detallado de la lógica de primer orden.

A pesar de las muchas analogías entre la semántica de la lógica proposicio-nal y la de la lógica de primer orden, veremos que hay varias diferencias entreellas. La principal es que en la lógica de primer orden no hay un algoritmode decisión de validez de fórmulas (como veremos, se pierde la propiedad dedecidibilidad). El método de las tablas de verdad de la lógica proposicionalno se puede extender a la lógica de primer orden.

123

124

6.1 Interpretaciones en lógica de primer ordenPara asignar un signi�cado a una expresión bien construida de la lógica deprimer orden necesitamos unos métodos más complejos que aquellos estudia-dos en la lógica proposicional. Este hecho es debido a la mayor precisión yvariedad de los elementos básicos del lenguaje de la lógica de primer ordeny, por tanto, a la necesidad de explicar cómo interpretar cada uno de ellos,respetando su naturaleza sintáctica.

Lo primero que se necesita es establecer un universo del discurso, undominio, para de�nir qué tipo de objetos estamos analizando.

A continuación, tendremos que de�nir cómo asignar un signi�cado, en eldominio elegido, a los elementos básicos del lenguaje.

Finalmente, los signi�cados de los elementos básicos nos proporcionarán,con un procedimiento de recursión estructural, los signi�cados de los términosy de las fórmulas.

Necesitamos entonces empezar con asignar signi�cados a constantes, fun-ciones, predicados (algo que llamaremos una interpretación) y a variables(una asignación).

Estos conceptos se corresponden al concepto de valoración visto en lalógica proposicional.

En la lógica de primer orden una signatura Σ es un conjunto de símbolosde funciones y de predicados con aridades asociadas.

Una signatura puede ser �nita o in�nita numerable. Supondremos quesea decidible, es decir, que sea posible reconocer efectivamente sus símboloscon sus aridades.

El lenguaje LΣ es el conjunto de todas las fórmulas que se pueden cons-truir a partir de los elementos de Σ.

Cuando no haga falta especi�car la signatura que se está usando, indica-remos un lenguaje simplemente con el símbolo L.

De�nición 6.1.1 Sea L un lenguaje de la lógica de primer orden. Unainterpretación es cualquier par I = (D, I) donde:

• D es un conjunto no vacío, denominado dominio de la interpretación,

• I es una función que asocia:

125

1. a cada símbolo de constante c del lenguaje un elemento cI delconjunto D,

2. a cada símbolo de función f del lenguaje con aridad n > 0 unafunción f I : Dn −→ D,

3. a cada símbolo de proposición atómica p un elemento pI delconjunto {0, 1} (una valoración),

4. a cada símbolo de predicado P del lenguaje con aridad n > 0una relación P I ⊆ Dn.

De�nición 6.1.2 Dada una interpretación I = (D, I) para un lenguaje deprimer orden, se llama asignación a una función A que asocia a cada sím-bolo de variable x un elemento xA perteneciente al conjunto D.

Observación 15 En la literatura la terminología empleada no es unifor-me: en varios textos se denomina interpretación al par formado por unaestructura (interpretación en nuestra notación) y un estado (asignaciónen nuestra notación).

En estos apuntes la de�nición de interpretación es la 6.1.1 y, por tanto,no incluye ninguna asignación. En cada caso, se tendrá que especi�car laasignación elegida para una dada interpretación.

La justi�cación de la notación elegida es que, como veremos, permite de-�nir claramente los concepto de fórmula satisfacible bajo una interpretacióny de modelo de una fórmula (ver de�nición 6.3.1).

Ejemplo 6.1.3 [F]Sea Σ = {a, f, g} una signatura, donde a es una constante, f es una

función unaria y g una función binaria.Vamos a ver tres posibles interpretaciones y asignaciones:1) De�nimos el dominio

D1 = {0, 1, 2, . . . } = N ∪ {0},

la interpretación

I : aI = 0, f I = suc (el siguiente), gI = + (la suma),

126

y la asignaciónA : xA = 1.

2) De�nimos el dominio D2 como el conjunto de todas las posibles pala-bras que se pueden construir con el alfabeto {∗, @}, la interpretación

I : aI = ∗, f I = añade * al �nal de la palabra,

gI = + (la concatenación),y la asignación

xA = ∗@ ∗ .

3) De�nimos el dominio

D3 = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . } = Z,

la interpretación

I : aI = 1, f I = ant (el anterior), gI = − (la resta),

y la asignaciónA : xA = 1.

Observación 16 Hay una clara analogía entre el concepto de asignaciónde la de�nición 6.1.2 y de asignación de un estado a las variables de unprograma en un lenguaje de programación.

Si en un programa ejecutamos el comando �x := a,� el estado de la va-riable x se ha modi�cado y ahora su valor es el elemento a del conjunto deltipo de datos que se está considerando.

En nuestra notación, siendo D el dominio de una interpretación y Auna asignación para esa interpretación, el nuevo estado de la variable x esxA = a ∈ D.

NOTACIÓN: Si A es una asignación, escribiremos A[x/d] para indicaruna nueva asignación que di�ere de A sólo en la variable x, a la cuál se haasignado el valor d ∈ D.

127

6.2 Interpretación semántica de términos y fór-mulas

El siguiente paso hacía la de�nición de signi�cados para expresiones bienconstruidas consiste en el usar el principio de recursión estructural para poderextender una interpretación y una asignación dadas a los términos y a lasfórmulas. Esto nos permitirá asociar valores de verdad {0, 1} a las fórmulasy estudiar su validez.

De�nición 6.2.1 (De�nición por recursión estructural de interpre-tación de términos)

Dada una interpretación I = (D, I) para un lenguaje de primer orden, ydada una asignación A para esa interpretación, se asocia a cada términodel lenguaje t un elemento tI,A perteneciente a D de la siguiente forma:

1. Base (TAt):

- si t es una constante c, entonces

tI,A = cI ,

- si t es una variable x, entonces

tI,A = xA,

2. Paso recursivo (TF): si t es un término de la forma f(t1, . . . , tn),entonces

tI,A = f I(tI,A1 , . . . , tI,A

n ).

Ejemplo 6.2.2 Usando las de�niciones del ejemplo anterior 6.1.3, los tér-minos

t1 = f(g(f(a), f(x)))

yt2 = {f(g(x, f(g(x, f(a)))))}

se interpretan como se describe a continuación:1)

tI,A1 = suc(suc(0) + suc(1)) = 4,

128

tI,A2 = suc(1 + suc(1 + suc(0))) = 5.

2)

tI,A1 = f I(f I(∗) + f I(∗@∗)) = f I(∗ ∗+ ∗@ ∗ ∗) = ∗ ∗ ∗@ ∗ ∗ ∗ .

tI,A2 = f I(∗@ ∗+f I(∗@ ∗+f I(∗))) =

= f I(∗@ ∗+ ∗@ ∗ ∗ ∗ ∗) = ∗@ ∗ ∗@ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ .

3)tI,A1 = ant(ant(1)− ant(1)) = −1,

tI,A2 = ant(xA − ant(xA − ant(1))) = ant(xA − ant(xA)) = ant(1) = 0.

El signi�cado de una fórmula, �jada una interpretación y una asignación,tiene que ser un valor de verdad. Seguiremos usando 0 para representar elvalor falso y 1 para representar el valor verdadero.

La siguiente de�nición nos permite calcular valores de verdad de fórmulas.

De�nición 6.2.3 (De�nición por recursión estructural de interpre-tación de fórmulas)

Dada una interpretación I = (D, I) para un lenguaje de primer orden, ydada una asignación A para esa interpretación, se asocia a cada fórmuladel lenguaje φ un valor de verdad φI,A perteneciente a {0, 1} de lasiguiente forma:

1. Base (FAt):

- ⊥I,A = 0 ; >I,A = 1 (fórmulas atómicas triviales),- si φ = P (t1, . . . , tn) (fórmula atómica no trivial), entonces

φI,A = 1 si y sólo si (tI,A1 , . . . , tI,A

n ) ∈ P I ,

es decir, si y sólo si los elementos (tI,A1 , . . . , tI,A

n ) están relaciona-dos mediante la relación P I ,

2. Paso recursivo:

129

- (F¬): si φ = ¬ψ, entonces

φI,A = ¬(ψI,A),

siendo ¬(0) = 1 y ¬(1) = 0,

- (F◦): si φ = (φ1 ◦ φ2), entonces

φI,A = φI,A1 ◦ φI,A

2 ,

donde el valor de φI,A1 ◦φI,A

2 , viene dado por la tabla de verdad 6.1de la lógica proposicional,

φI,A1 φI,A

2 ¬φI,A1 ∧ ∨ → ↔

0 0 1 0 0 1 10 1 1 0 1 1 01 0 0 0 1 0 01 1 0 1 1 1 1

Tabla 6.1: Valores de verdad de los conectivos

- (F∃): si φ = ∃xψ, entonces φI,A = 1 si y sólo si existe algún ele-mento del dominio D tal que, después de asignar ese valor a lavariable x en ψ, se tiene ψI,A = 1.

De forma equivalente, φI,A = 1 si y sólo si existe algún d ∈ D talque ψI,A[x/d] = 1,

- (F∀): si φ = ∀xψ, entonces φI,A = 1 si y sólo si se tiene ψI,A = 1para cualquier posible asignación de un elemento del dominio D ala variable x en ψ.

De forma equivalente, φI,A = 1 si y sólo si para todo d ∈ D severi�ca que ψI,A[x/d] = 1.

130

6.3 Validez semántica de fórmulas: modelosLas de�niciones y resultados del párrafo anterior nos permiten de�nir el cál-culo de los valores de verdad de una fórmula. Las siguientes de�niciones sonanálogas a las de�niciones de satisfacibilidad y validez vistas para fórmulasproposicionales y nos permiten estudiar la validez y clasi�car las fórmulas dela lógica de primer orden.

De�nición 6.3.1

• Se dice que una fórmula φ es satisfacible bajo una interpretación(D, I) cuando se veri�ca φI,A = 1 para alguna asignación A.

• Se dice que una fórmula φ es satisfacible cuando es satisfacible bajoalguna interpretación (D, I). Por tanto, una fórmula φ es satisfaciblesi existen un dominio D, una interpretación I y una asignación A eneste dominio tales que φI,A = 1.

Si una fórmula no es satisfacible se dice que es insatisfacible.

• Se dice que una fórmula φ es verdadera bajo una interpretación(D, I) cuando se veri�ca φI,A = 1 para cualquier asignación A. Eneste caso se dice también que I es un modelo de φ y se escribe I |= φ.

• Se dice que una fórmula φ es válida cuando es verdadera bajo cualquierinterpretación, y se denota |= φ. Por tanto, una fórmula φ es válidasi para todo dominio D, toda interpretación I y toda asignación A eneste dominio se veri�ca que φI,A = 1.

Si una fórmula no es válida se dice que es falsi�cable.

Ejemplo 6.3.2 [F] Sea

φ : ∃yR(x, f(y, y)).

Siendo la variable x libre, φ es abierta.Sean D = {1, 2, 3, . . . } = N, RI = “ =� y f I = +.Entonces, para una asignación A ,

φI,A : ∃y(xA = 2y).

Si A es tal que xA es un numero par, entonces φI,A = 1.

131

Si A es tal que xA es un numero impar, entonces φI,A = 0.Se sigue que φ es satisfacible bajo (D, I), pero no es verdadera bajo

(D, I). En particular, φ no es válida.

Ejemplo 6.3.3 [C] Sea

φ : ∀x(P (x) → R(x)) → ∃yQ(y).

Sean D = {a, b, c}, P I = {a, b}, RI = {b} y QI = ∅.Usando la siguiente tabla podemos determinar el valor de la fórmula

∀x(P (x) → R(x)) :

x P I(x) RI(x) (P (x) → R(x))I

a 1 0 0b 1 1 1c 0 0 1

Se sigue que (∀x(P (x) → R(x)))I = 0 (esta conclusión se podría haber dedu-cido mirando sólo a la segunda �la de la tabla). Por tanto, la fórmula inicialφ tiene valor 1 bajo la interpretación dada. I es un modelo de φ.

Observación 17 1) Una fórmula φ es válida si y sólo si su negación, ¬φ,es insatisfacible.

2) Si una fórmula φ es cerrada, dada una interpretación (D, I), su valorde verdad no depende de la asignación elegida y se puede denotar φI .

En este caso φ es satisfacible bajo (D, I) si y sólo si es verdadera bajo(D, I).

3) Si una fórmula φ (no cerrada) contiene las variables libres {x1, x2, . . . , xn},se llama cierre universal de φ a la fórmula cerrada

∀x1∀x2 . . . ∀xnφ(x1, x2, . . . , xn).

Por tanto, en el caso de una fórmula φ no cerrada,

• φ es verdadera bajo (D, I) si y sólo si ∀x1∀x2 . . . ∀xnφ(x1, x2, . . . , xn)es verdadera bajo (D, I) y

• φ es válida si y sólo si ∀x1∀x2 . . . ∀xnφ(x1, x2, . . . , xn) es válida.

Se sigue que basta estudiar la validez de fórmulas cerradas.

132

6.4 Evaluación semántica de deduccionesOtro concepto fundamental que vamos a de�nir es el concepto de consecuen-cia lógica.

Las de�niciones son similares a las vistas en lógica proposicional, teniendoen cuenta que tenemos que reemplazar el concepto de valoración por los deinterpretación y asignación.

De�nición 6.4.1 Se dice que una fórmula φ es consecuencia lógica de unconjunto �nito de fórmulas Φ = {φ1, φ2, . . . φn} si cualquier interpretación(D, I) y cualquier asignación A que satisfacen todo elemento del conjuntoΦ satisfacen también la fórmula φ.

De forma equivalente, φ es consecuencia lógica de Φ si φI,Ai = 1 para

todo i ∈ {1, 2, . . . , n} implica φI,A = 1.Si φ es consecuencia lógica de Φ también se dice que Φ implica lógi-

camente a φ y se escribe Φ |= φ.

A continuación recordamos la de�nición de razonamiento válido y la no-tación empleada en el capítulo 3.

De�nición 6.4.2 Sean Φ = {φ1, φ2, . . . φn} un conjunto �nito de fórmulasy φ una fórmula. Se de�ne deducción o razonamiento a la fórmula

((φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φn) → φ).

Se dice que el razonamiento anterior es correcto o lógicamente válidosi

(φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φn) |= φ,

es decir, si el conjunto Φ de las premisas o hipótesis del razonamientoimplica lógicamente a la conclusión o tesis φ.

Para distinguir las premisas de la conclusión, el razonamiento anterior sesuele representar por

φ1...

φn

φ

133

El siguiente teorema establece la relación existente entre la validez de unafórmula y el concepto de de consecuencia lógica.

Teorema 6.4.3 [HLR]Sean Φ = {φ1, φ2, . . . φn} un conjunto �nito de fórmulas y φ una fór-

mula.La siguientes a�rmaciones son equivalentes:1) φ es consecuencia lógica de Φ,2) (φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φn) → φ es una fórmula válida (y se escribe |= ((φ1 ∧

φ2 ∧ · · · ∧ φn) → φ)),3) φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φn ∧ ¬φ es insatisfacible (Reducción al absurdo).

Ejemplo 6.4.4 Volvamos a considerar el razonamientoTodos los hombres son mortales,Sócrates es un hombre,Sócrates es mortal.

Vimos que este razonamiento no es válido en lógica proposicional.Su formalización en lógica de primer orden es

∀x(H(x) → M(x)),H(s),M(s).

En este caso Φ = {∀x(H(x) → M(x)), H(s)} y φ : M(s).Queremos veri�car si Φ implica lógicamente φ.Sean (D, I) y A tales que

(∀x(H(x) → M(x)))I,A = 1, (H(s))I,A = 1.

Se trata de veri�car si, necesariamente, tiene que ser M(s)I,A = 1.Por de�nición, (∀x(H(x) → M(x)))I,A = 1 si y sólo si (H(x) →

M(x)))I,A = 1 para todo xA ∈ D. En particular, (H(s) → M(s)))I,A = 1.Siendo H(s)I,A y M(s)I,A proposiciones, la condición anterior es equivalentea (¬H(s) ∨M(s)))I,A = 1.

Por hipótesis sabemos que (H(s))I,A = 1, es decir, sabemos que (¬H(s))I,A =0.

Se sigue que para que se veri�que (¬H(s) ∨M(s)))I,A = 1 tiene que ser(M(s))I,A = 1.

Por tanto Φ implica lógicamente φ.

134

|= t = t Re�exividad de la igualdadt = t′ |= t′ = t Simetría de la igualdad{t = t′, t′ = t′′} |= t = t′′ Transitividad de la igualdad{φ[x/t], t = t′} |= φ[x/t′] Sustitutividad de la igualdad∀xφ(x) |= φ[x/t] Hipótesis universalφ[x/t] |= ∃xφ(x) Tesis existencial

Tabla 6.2: Tabla de algunas implicaciones lógicas

Ejemplo 6.4.5 [HLR] Se puede veri�car que las fórmulas de la tabla 6.2son implicaciones lógicas.

6.5 Equivalencia de fórmulas6.5.1 Sustitución de una variable por un términoSea φ una fórmula que contenga una variable x. Si queremos sustituir la va-riable x por un término t para obtener la nueva fórmula φ[x/t], es necesariono modi�car el signi�cado de la fórmulas original.

En la nueva fórmula φ[x/t], ver [HLR],

• sólo las apariciones libres de x en φ se reemplazan por t,

• si algún cuanti�cador de φ hace que queden ligadas variables de tdespués de la sustitución, la variable ligada de esa cuanti�cación sereemplaza por otra.

Ejemplo 6.5.1 [MH]Sea

φ : ∀xR(x, y)

y sea I = (D, I) la interpretación con dominio D = N (los números natu-rales) y RI(x, y) = {(x, y) ∈ N × N : x ≤ y} (la relación de orden usual enN ).

Sustituyendo la variable libre y por z obtenemos la fórmula

φ[y/z] : ∀xR(x, z),

135

y no se altera el signi�cado de φ. Las dos fórmulas son falsas bajo I = (D, I),ya que el conjunto N no tiene máximo.

Sin embargo, si sustituimos y por x obtenemos la fórmula

φ[y/x] : ∀xR(x, x)

que es verdadera bajo I = (D, I), siendo cierto que un cualquier númeronatural n veri�ca que n ≤ n (es la propiedad re�exiva de la relación).

Para sustituir y por x sin alterar el signi�cado de la fórmula y el tipode ocurrencia de sus variables, tendríamos que cambiar de nombre tambiéna la variable x. Por ejemplo, se puede sustituir x por v y y por x. Así seobtiene la fórmula:

φ[x/v, y/x] : ∀vR(v, x).

Respetando los dos criterios anteriores, se puede de�nir recursivamentey rigurosamente la noción de sustitución de una variable por un término.Además, se puede demostrar el lema de sustitución [HLR], que a�rmaque interpretar la fórmula φ[x/t] en una interpretación I = (D, I) y unaasignación A es lo mismo que interpretar la fórmula original φ en la mismainterpretación I = (D, I) y en la asignación A[x/t].

Ejemplo 6.5.2 [HLR] Sea φ : ∃z(x · z = y) en el dominio de los númerosnaturales N con el producto y la suma usuales. Para sustituir correctamentela variable y por z + z, tendremos que escribir

φ[y/z + z] : ∃u(x · u = z + z).

Observación 18 En informática, la operación de sustitución es importanteen la veri�cación de programas. La ejecución de un programa tiene comoefecto la transformación del estado de unas variables de una condición iniciala una condición �nal. Veri�car un programa consiste en demostrar que, siel estado inicial de las variables cumple una cierta condición inicial, enton-ces su estado �nal cumple con la condición �nal deseada. Las condicionesiniciales y �nales se suelen representar por medio de fórmulas de la lógicade primer orden. Para asignar valores a estas condiciones se introduce unainterpretación que representa el tipo de datos sobre el cuál se puede operar(ver, por ejemplo, [HLR] o [C]).

136

6.5.2 Equivalencia de fórmulasEl último concepto fundamental que vamos a estudiar en este capítulo es elconcepto de equivalencia lógica entre fórmulas. Las de�niciones y resultadosson similares a los ya estudiados para la lógica proposicional en el capítulo3. Para la lógica de primer orden tendremos que añadir a nuestra lista lasequivalencias relativas a los cuanti�cadores, que no aparecen en la lógicaproposicional.

De�nición 6.5.3 Sean φ y ψ dos fórmulas. Se dice que φ equivale ló-gicamente a ψ si y sólo si

φ |= ψ y ψ |= φ.

Si φ y ψ son equivalentes se escribe φ ≡ ψ.

Observación 19 Se sigue de la de�nición que si φ y ψ son dos fórmulasequivalentes, entonces tienen los mismos valores de verdad bajo una cual-quier interpretación y asignación. Por tanto, no es difícil veri�car que lassiguientes a�rmaciones son equivalentes:

• φ ≡ ψ.

• |= φ ↔ ψ.

• |= φ → ψ y |= ψ → φ.

Las tablas 6.3 (ver la correspondiente tabla 3.4 para la lógica proposi-cional) y 6.4 contienen las principales equivalencias relativas a conectivos ycuanti�cadores, respectivamente.

Observación 20 También en la lógica de primer orden la relación de equi-valencia entre fórmulas es re�exiva, simétrica y transitiva (ver la observación6 del capítulo 3). Por tanto es una relación binaria de equivalencia sobre elconjunto de todas las fórmulas.

137

φ ∧ > ≡ φ φ ∧ ⊥ ≡ ⊥ Leyes de Identidadφ ∨ > ≡ > φ ∨ ⊥ ≡ φφ ∧ ¬φ ≡ ⊥ No contradicciónφ ∨ ¬φ ≡ > Tercio exclusoφ ∧ φ ≡ φ φ ∨ φ ≡ φ Idempotenciaφ1 ∧ (φ1 ∨ φ2) ≡ φ1 φ1 ∨ (φ1 ∧ φ2) ≡ φ1 Absorciónφ1 ∧ φ2 ≡ φ2 ∧ φ1 φ1 ∨ φ2 ≡ φ2 ∨ φ1 Conmutatividad(φ1 ↔ φ2) ≡ (φ2 ↔ φ1)(φ1 ∧ φ2) ∧ φ3 ≡ φ1 ∧ (φ2 ∧ φ3) Asociatividad(φ1 ∨ φ2) ∨ φ3 ≡ φ1 ∨ (φ2 ∨ φ3)φ1 ∧ (φ2 ∨ φ3) ≡ (φ1 ∧ φ2) ∨ (φ1 ∧ φ3) Distributividadφ1 ∨ (φ2 ∧ φ3) ≡ (φ1 ∨ φ2) ∧ (φ1 ∨ φ3)φ1 → (φ2 ∧ φ3) ≡ (φ1 → φ2) ∧ (φ1 → φ3)φ1 → (φ2 ∨ φ3) ≡ (φ1 → φ2) ∨ (φ1 → φ3)φ1 ↔ (φ2 ∧ φ3) ≡ (φ1 ↔ φ2) ∧ (φ1 ↔ φ3)φ1 ↔ (φ2 ∨ φ3) ≡ (φ1 ↔ φ2) ∨ (φ1 ↔ φ3)¬(¬φ) ≡ φ Doble negación(φ1 → φ2) ≡ (¬φ2 → ¬φ1) Ley de contraposición¬(φ1 ∧ φ2) ≡ ¬φ1 ∨ ¬φ2 Leyes de De Morgan¬(φ1 ∨ φ2) ≡ ¬φ1 ∧ ¬φ2

φ1 → φ2 ≡ ¬φ1 ∨ φ2 Interde�niciónφ1 ↔ φ2 ≡ (φ1 → φ2) ∧ (φ2 → φ1) Coimplicación

Tabla 6.3: Equivalencias relativas a conectivos lógicos

¬∀xφ ≡ ∃x¬φ ¬∃xφ ≡ ∀x¬φ

∀xφ1 ∧ ∀xφ2 ≡ ∀x(φ1 ∧ φ2) ∃xφ1 ∨ ∃xφ2 ≡ ∃x(φ1 ∨ φ2)

∀x∀yφ ≡ ∀y∀xφ ∃x∃yφ ≡ ∃y∃xφ

(∀xφ1) ∨ φ2 ≡ ∀x(φ1 ∨ φ2) ∗ (∀xφ1) ∧ φ2 ≡ ∀x(φ1 ∧ φ2) ∗(∃xφ1) ∨ φ2 ≡ ∃x(φ1 ∨ φ2) ∗ (∃xφ1) ∧ φ2 ≡ ∃x(φ1 ∧ φ2) ∗

∗ Sólo si x no aparece libre en φ2

Tabla 6.4: Equivalencias relativas a cuanti�cadores

138

Observación 21 (Conjuntos de conectivos)Como vimos en el capítulo 3 para la lógica proposicional, a partir de las

equivalencias de las tablas 6.3 y 6.4 es posible demostrar que en el lenguaje dela lógica de primer orden es su�ciente emplear sólo los conectivos {∃,¬,∧}.

De forma similar, los conjuntos {∃,¬,∨} y {∀,¬,∧,∨} permiten repre-sentar cualquier fórmula bien construida por medio de una fórmula equiva-lente, en la cual aparecen sólo los conectivos de los conjuntos indicados.

6.5.3 Equivalencia lógica y reemplazamientoLos siguientes resultados, ver [HLR], garantizan que la equivalencia lógica sepreserva si, en una dada fórmula χ, reemplazamos una subfórmula φ porotra subfórmula ψ, equivalente a φ.

Teorema 6.5.4 Sea χ(φ) una fórmula que contiene una subfórmula φ ysea χ(ψ) la fórmula obtenida reemplazando la subfórmula φ por ψ.

Si φ ≡ ψ, entoncesχ(φ) ≡ χ(ψ).

Teorema 6.5.5 Sean χ1 y χ2 dos fórmulas equivalentes. Reemplazando enχ1 y χ2 unos símbolos de proposiciones {p1, p2, · · · , pn} por unas fórmulas{φ1, φ2, · · · , φn}, se obtiene la equivalencia

χ1[p1/φ1, p2/φ2, · · · , pn/φn] ≡ χ2[p1/φ1, p2/φ2, · · · , pn/φn].

Ejemplo 6.5.6 Sea χ : ∀x(P (x, p, q) → Q(f(y))). Sabemos, por interde�ni-ción, que la subfórmula φ : P (x, p, q) → Q(f(y)) es equivalente a la fórmulaψ : ¬P (x, p, q) ∨Q(f(y)). Entonces

∀x(P (x, p, q) → Q(f(y))) ≡ ∀x(¬P (x, p, q) ∨Q(f(y))).

Además, si en esta última equivalencia sustituimos las proposiciones {p, q}por las fórmulas {f(y), g(u, v)}, se obtiene la equivalencia

∀x(P (x, f(y), g(u, v)) → Q(y)) ≡ ∀x(¬P (x, f(y), g(u, v)) ∨Q(y)).

139

6.6 EjerciciosEjercicio 6.6.1 Dada la fórmula

φ : ∃y(P (y) ∨ ∀x(P (x) → Q(z))),

calcula todas las posibles interpretaciones de φ en el dominio de dos elemen-tos D = {a, b}.

Ejercicio 6.6.2 [C] Considera la fórmula P (y) ∨ (∀x(q → P (x))), donde qes un predicado de aridad cero (una proposición). Se pide evaluar la fórmulaanterior en la interpretación I = (D, I) donde D = {a, b, c}, qI = 1, P I ={a, b} y con una asignación A tal que yA = c.

Ejercicio 6.6.3 [A]Sea la frase �Todos los del vecindario odian a una persona.�a) Formaliza la frase dada en lógica de primer orden, siendo el dominio

D el conjunto de las personas.b) Sea D = {p1, p2, p3} y sea I de�nida por las condiciones:- p1 y p2 pertenecen al vecindario, pero p3 no.- p3 no odia a nadie.- p1 y p2 sólo odian a p3.Evalúa el valor de la fórmula obtenida en el apartado a) bajo la interpre-

tación (D, I).

Ejercicio 6.6.4 [A] Sea φ : (P (x) ∧ ∀(R(x) ∧ P (y))) → ∃yQ(x, y).Evalúa φ con D = {a, b}, P I = {a}, RI = {b}, QI = {(a, a), (b, b)} yxA = a, yA = b.

Ejercicio 6.6.5 Dada la fórmula:

φ : (∃xP (x)) ∧ (∃xQ(x)) → ∃x(P (x) ∧Q(x)),

de�ne una interpretación tal que φ sea válida y una tal que no lo sea. Con-cluye que esa formula no es semánticamente válida.

Ejercicio 6.6.6 Tomando como dominio D el conjunto de las personas, for-maliza las siguientes frases. Para cada una de ellas halla una interpretaciónI = (D, I), con dominio el conjunto de las personas, que la hace falsa.

140

1. Dos hermanos que compartan el mismo coche y tengan la misma edad,necesariamente son amigos y tienen alguna a�ción en común.

2. Los jugadores de fútbol son amigos de los jugadores de pelota vasca.

3. Algunos jugadores de fútbol son amigos de los jugadores de pelota vasca.

4. Algunos jugadores de fútbol sólo son amigos de jugadores de pelota vas-ca.

Ejercicio 6.6.7 Formaliza el siguiente argumento a la lógica de primer or-den:

Los que salen hoy de viaje cogerán el autobús. Los ejecutivosviajan siempre en avión. Todos los de mi empresa viajan conmaletín. Nadie que haya viajado en avión volverá a hacerlo enautobús. Nadie viaja con maletín a no ser que sea un ejecutivo.Por tanto: nadie en mi empresa sale hoy de viaje.

Prueba la validez semántica de dicho argumento.

Ejercicio 6.6.8 Considera el dominio D = {a, b}. Sabemos inicialmenteque P (a) es cierto y P (b) es falso. Estudia la satisfacibilidad de los siguientesargumentos bajo cualquier interpretación con dominio D :

∀x(P (x) → ¬Q(x))∀x(P (x) ∧R(x))∀x(R(x) ∧ ¬Q(x))

,∃x(P (x) → ¬Q(x))∃x(P (x) ∧R(x))∃x(R(x) ∧ ¬Q(x))

Estudia la satisfacibilidad de los argumentos anteriores eliminando lashipótesis sobre P (a) y P (b). ¾Son razonamientos válidos?

Ejercicio 6.6.9 Usando las equivalencias estudiadas, simpli�ca las expre-siones halladas como negaciones formales de las frases del ejercicio 5.5.4 delcapítulo 5.

Ejercicio 6.6.10 En cada apartado, veri�ca si las dos fórmulas dadas sonequivalentes:

a) φ1 : P (x) → ∀xQ(x), φ2 : ∀x(P (x) → Q(x)).b) φ1 : ∃xP (x) ∧Q(x), φ2 : ∃x(P (x) ∧Q(x)).

Capítulo 7

Teoría de la demostración

En este último capítulo estudiaremos la extensión del sistema de deducciónnatural a la lógica de primer orden.

Recordamos que la teoría de la demostración nos proporciona métodosalternativos a los métodos semánticos para averiguar

• la validez de una fórmula: si φ es una fórmula válida se dice quees demostrable y se escribe ` φ.

• si una fórmula φ es consecuencia lógica de un conjunto depremisas Φ : si φ es consecuencia lógica de Φ se dice que φ esdeducible en el sistema a partir de Φ y se escribe Φ ` φ.

Las de�niciones generales de sistema formal axiomático, teorema, de-ducción, métodos directos y por refutación son las mismas estudiadas enla sección 4.1 del capítulo 4. Las iremos empleando a lo largo de todo elcapítulo.

También valen el teorema de la deducción 4.2.3 y su corolario 4.2.4, quepermiten establecer la relación entre deducciones correctas y fórmulas válidas:

Teorema 7.0.1 (Teorema de la deducción) Sean {φ1, φ2, . . . φn} un con-junto de fórmulas y φ una fórmula. Entonces

{φ1, φ2, . . . φn} ` φ si y sólo si {φ1, φ2, . . . φn−1} ` (φn → φ).

Corolario 7.0.2 Dada una demostración de una deducción, es siempre po-sible encontrar una fórmula válida que la represente.

141

142

Ya comentamos que en la lógica de primer orden no existe ningún métodode demostración que sea decidible. Por tanto, la extensión de la teoría delos tableaux a la lógica de primer orden no puede proporcionar un métodoe�caz y �nito para establecer la satisfacibilidad de una fórmula.

7.1 El sistema de deducción naturalLa extensión del sistema de deducción natural de la lógica proposicional ala lógica de predicados mantiene su carácter intuitivo, ya que se basa endeducciones. Las ocho reglas de inferencia de la de�nición de este sistemadel capítulo 4 tienen ahora que ser completadas por reglas de inferencia paralos cuanti�cadores.

Reglas del sistema de deducción natural para los cuanti�cadores(I ∀): Regla de introducción del cuanti�cador universal

φ(y) ` ∀xφ(x).

NOTA: la forma de interpretar esta regla NO es que de la validez deφ(y) para un elemento del dominio y se deduce la validez de φ(x)para todo elemento x.

Lo que se entiende con la notación empleada es que en φ(y) la varia-ble y representa un cualquier elemento del dominio, no un elementoespeci�cado.Con la notación de Fitting (I ∀) se representa como:

y......` φ(y)

` ∀xφ(x)

Notar también que y NO es una premisa auxiliar de una subdeducción.La notación de Fitting que estamos empleando es de una subdeducción

143

sin premisa y se interpreta como: si y es un símbolo de variable queno ha aparecido antes en la deducción y resulta que φ(y) es válida,entonces ∀xφ(x) es válida.

Ejemplo 7.1.1 [A] Para poder deducir que �Todos los leones son car-nívoros� en el dominio D de los leones, siendo H(x) : x es carnívoro,se puede usar la regla (I ∀) y escribir

y` C(y)

` ∀xC(x)

(E ∀): Regla de eliminación del cuanti�cador universal

∀xφ(x) ` φ(t)

para cualquier término t.

Una fórmula que se veri�ca para todo elemento del dominio, se veri�capara cualquier t.

Ejemplo 7.1.2 [A]Queremos demostrar la deducción

{∀x(φ(x) → ψ(x)), φ(a)} ` ψ(a).

1) ∀x(φ(x) → ψ(x)) (Premisa)2) φ(a) (Premisa)3) ` φ(a) → ψ(a) (E ∀(1))4) ` ψ(a) (E→(2,3)).

144

(I ∃): Regla de introducción del cuanti�cador existencial

φ(a) ` ∃xφ(x),

para cualquier constante del dominio a.

Si φ(a) es verdadera, entonces ∃xφ(x) es verdadera.

Ejemplo 7.1.3 [A] Queremos demostrar la deducción

{φ(p),∃xφ(x) → ψ(a)} ` ψ(a).

1) φ(p) (Premisa)2) ∃xφ(x) → ψ(a) (Premisa)3) ` ∃xφ(x) (I ∃(1))4) ` ψ(a) (E→(3,2)).

(E ∃): Regla de eliminación del cuanti�cador existencial

{∃xφ(x), φ(y) → ψ} ` ψ,

donde ψ no contiene la variable libre y.

NOTA: (E ∃) NO tiene la forma ∃xφ(x) ` φ(y), ya que no sabemos siy hace que φ(y) sea verdadera.Con la notación de Fitting (E ∃) se representa como:

1) ∃xφ(x)

2) φ(y) (Premisa auxiliar)......k) ` ψ

k+1) ` φ(y) → ψ (I →(2,k))k+2) ` ψ (E ∃(1,(2,k))).

145

Ejemplo 7.1.4 [A]Queremos demostrar la deducción

{∃xφ(x), ∃xψ(x)} ` ∃x∃y(φ(x) ∧ ψ(y)).

1) ∃xφ(x) (Premisa)2) ∃xψ(x) (Premisa)

3) φ(z) (Premisa auxiliar)

4) ψ(u) (Premisa auxiliar)5) ` φ(z) ∧ ψ(u) (I ∧(3,4))6) ` ∃x∃y(φ(x) ∧ ψ(y)) (I ∃(5))

7) ` ψ(u) → ∃x∃y(φ(x) ∧ ψ(y)) (I →(4,6))8) ` ∃x∃y(φ(x) ∧ ψ(y)) (E ∃(2,7))

9) ` φ(z) → ∃x∃y(φ(x) ∧ ψ(y)) (I →(3,8))10) ` ∃x∃y(φ(x) ∧ ψ(y)) (E ∃(1,9)).

Reglas derivadas del sistema de deducción naturalA partir de las reglas de introducción y eliminación relativas a los cuanti�-cadores, podemos obtener nuevos resultados.

A continuación enunciamos algunos de ellos [A]:

• T31: (Cambio de variable cuanti�cada)

T31.1 :∀xφ(x) ` ∀yφ(y),

T31.2 :∀yφ(y) ` ∀xφ(x),

T31.3 :∃xφ(x) ` ∃yφ(y),

T31.4 :∃yφ(y) ` ∃xφ(x).

146

Demostración de T31.1 y T31.2:

1) ∀xφ(x) (Premisa)

2) z3) ` φ(z) (E∃(1))

4) ` ∀yφ(y) (I∀(2,3))

La demostración de T31.3 y T31.3 es similar.

• T32: Descenso cuanti�cacional∀xφ(x) ` ∃xφ(x).

• T33: ConmutatividadT33.1 :∃x∃yφ(x, y) ` ∃y∃xφ(x, y),

T33.2 :∃y∃xφ(x, y) ` ∃x∃yφ(x, y).

T33.3 :∀x∀yφ(x, y) ` ∀y∀xφ(x, y),

T33.4 :∀y∀xφ(x, y) ` ∀x∀yφ(x, y).

• T34: Reglas de la conjunciónT34.1 :∃x(φ(x) ∧ ψ(x)) ` ∃xφ(x) ∧ ∃xψ(x).

T34.2 :∀xφ(x) ∧ ∀xψ(x) ` ∀x(φ(x) ∧ ψ(x)),

T34.3 :∀x(φ(x) ∧ ψ(x)) ` ∀xφ(x) ∧ ∀xψ(x).

T34.3 :∃x(φ ∧ ψ(x)) ` φ ∧ ∃xψ(x),

T34.4 :φ ∧ ∃xψ(x) ` ∃x(φ ∧ ψ(x)).

T34.5 :∀x(φ ∧ ψ(x)) ` φ ∧ ∀xψ(x),

T34.6 :φ ∧ ∀xψ(x) ` ∀x(φ ∧ ψ(x)).

147

• T35: Reglas de la disyunción

T35.1 :∃x(φ(x) ∨ ψ(x)) ` ∃xφ(x) ∨ ∃xψ(x),

T35.2 :∃xφ(x) ∨ ∃xψ(x) ` ∃x(φ(x) ∨ ψ(x)).

T35.3 :∀xφ(x) ∨ ∀xψ(x) ` ∀x(φ(x) ∨ ψ(x)).

T35.4 :φ ∨ ∃xψ(x) ` ∃x(φ ∨ ψ(x)),

T35.5 :∃x(φ ∨ ψ(x)) ` φ ∨ ∃xψ(x).

T35.6 :φ ∨ ∀xψ(x) ` ∀x(φ ∨ ψ(x)),

T35.7 :∀x(φ ∨ ψ(x)) ` φ ∨ ∀xψ(x).

• T36: Reglas de la implicación

T36.1 :∃xφ(x) → ∃xψ(x) ` ∃x(φ(x) → ψ(x)),

T36.2 :∀x(φ(x) → ψ(x)) ` ∀xφ(x) → ∀xψ(x).

T36.3 :∃xψ(x) → φ ` ∃x(ψ(x) → φ),

T36.4 :∀x(ψ(x) → φ) ` ∀xψ(x) → φ.

T36.5 :∀x(φ → ψ(x)) ` φ → ∀xψ(x).

148

7.2 Corrección, completitud y decidibilidadEn el capítulo 4 vimos que los sistemas de demostración estudiados para lalógica proposicional cumplen las tres propiedades de completitud, correccióny decidibilidad.

Existen varios sistemas de demostración en lógica de primer orden que soncompletos y correctos (la completitud fue demostrada por Gödel en 1930).

Sin embargo, no existe ningún sistema de demostración en LPO que seadecidible.

La coherencia entre teoría interpretativa y teoría de la demostración axio-mática sigue valiendo para la lógica de primer orden:

Teorema 7.2.1 [A] Una fórmula de la lógica de primer orden es semánti-camente válida en teoría interpretativa si y sólo si es formalmente válida enteoría de la demostración axiomática.

A continuación veremos como este teorema implica la completitud y lacoherencia de los sistemas de demostración de la lógica de primer orden.

• CompletitudRecordamos que se dice que un sistema de demostración axiomático escompleto si es capaz de demostrar cualquier fórmula semánticamenteválida y deducir cualquier consecuencia lógica.Por tanto, el teorema 7.2.1 anterior tiene como consecuencia la com-pletitud del cálculo de predicados de primer orden.

• CorrecciónRecordamos que se dice que un sistema de demostración es correcto(consistente, coherente) si todas las fórmulas demostrables en elsistema son semánticamente válidas y todas las fórmulas deducibles enel sistema a partir de un conjunto de premisas son consecuencia lógicade dichas premisas.Por tanto, el teorema 7.2.1 anterior tiene como consecuencia tambiénla corrección del cálculo de predicados de primer orden.

• Decidibilidad

149

Finalmente, recordamos que se dice que un sistema de demostración esdecidible si proporciona un procedimiento general y �nito (aplicablea cualquier fórmula y que termine) que permita decidir si una fórmulaes válida o deducible a partir de un conjunto de fórmulas.No existe ningún sistema de demostración en LPO que seadecidible: Church demostró en 1936 que no existe ningún algoritmoque permita decidir si una fórmula cualquiera de la lógica de primerorden es o no es válida, es decir, la validez de fórmulas en LPO es unproblema indecidible (obsérvese que el mismo problema pero en lógicade proposiciones sí es decidible: en este caso, para saber si una fórmulaes válida basta con calcular su tabla de verdad).Aunque la validez de las fórmulas en LPO no es decidible en general,sí lo es en los siguientes casos particulares:

� cuando se consideran exclusivamente dominios �nitos,� cuando se admiten exclusivamente predicados monádicos,� incluso en el caso de dominios in�nitos y predicados poliádicos,

existen algunas clases particulares de fórmulas para las que suvalidez sí es decidible.

Por otro lado, la validez de las fórmulas en LPO, aunque indecidible,es un problema semi-decidible en el siguiente sentido: existen sistemasde demostración tales que

� si una fórmula es válida, son capaces de demostrar que lo es,� para fórmulas no válidas, el proceso puede no terminar nunca.

150

7.3 EjerciciosEjercicio 7.3.1 En el sistema de deducción natural, demuestra las reglas dedescenso cuanti�cacional T32 y de conmutatividad T33.

Ejercicio 7.3.2 En el sistema de deducción natural, demuestra los siguien-tes teoremas:

` ∃x¬φ(x) → ¬∀xφ(x),

` ∀x¬φ(x) → ¬∃xφ(x),

` ¬∃xφ(x) → ∀x¬φ(x),

` ¬∀xφ(x) → ∃x¬φ(x).

Ejercicio 7.3.3 [MH] Usando los resultados del ejercicio anterior, demues-tra la validez de las siguientes reglas en el sistema de deducción natural:

(E¬∀) : ¬∀xφ(x) ` ¬φ(a),

(E¬∃) : ¬∃xφ(x) ` ¬φ(y),

donde a es una constante e y es un cualquier elemento del dominio.

Ejercicio 7.3.4 [A] Formaliza el siguiente razonamiento en el dominio Dde todos los seres. En el sistema de deducción natural, demuestra su validez.

Ningún pato baila el vals cuando se lo piden.Ningún o�cial declina una petición de bailar el vals.Todas mis aves del corral son patos.Por tanto: mis aves del corral no son o�ciales.

Apéndice A

Conjuntos, relaciones y funciones

Este capítulo es un repaso de nociones de teoría de conjunto y de las de�ni-ciones básicas de relaciones, funciones y sus propiedades.(Referencias: R. Criado, A. Burjosa, C. Vegas, R. Banerjee, Fundamentosmatemáticos I, Ed. Centro de estudios Ramón Acreces. Madrid, 1998 yP.H. Halmos, Naive Set Theory, Springer-Verlas New York, Heidelberg, Ber-lin, 1987.)

La lógica y la teoría de conjuntos están estrechamente relacionadas. Dehecho en un principio se pensó que toda propiedad P (x) llevaba asociado un�conjunto�, {x : P (x)}, formado por los elementos a del universo de discursoque satisfacen dicha propiedad, es decir, tales que P (a) es verdadera. Másconcretamente, se aceptaba que toda propiedad P (x) divide el universo dediscurso en dos partes: la formada por los objetos a que la satisfacen, a ∈ {x :P (x)}, y la formada por los objetos a que no la satisfacen, a /∈ {x : P (x)}.

En 1903 Bertrand Russell propuso el ejemplo de �conjunto� A = {x : x /∈x} y preguntó si A ∈ A.

De la de�nición de A se sigue que

((A ∈ A) → (A /∈ A)) ∧ ((A /∈ A) → (A ∈ A)),

es decir, (A ∈ A) ↔ (A /∈ A).La conclusión es que no toda propiedad determina un conjunto, hace falta

restringir la clase de propiedades que de�nen conjuntos.La primera de las restricciones es el axioma de especi�cación: una pro-

piedad por sí sola no determina un conjunto, sino que selecciona elementosde un conjunto dado al que es necesario referirse.

I

II

Para no incurrir en contradicción con el axioma de especi�cación, es nece-sario asumir la no existencia del �conjunto universal U,� el conjunto de todoslos conjuntos. Si U fuera un conjunto, también A = {x ∈ U : x /∈ A} seríaun conjunto.

En respuesta a la paradoja de Russell, se propusieron varias formulacionesaxiomáticas de la teoría de conjuntos.

En nuestra exposición, utilizaremos reglas de construcción de conjuntosformuladas en términos de la lógica de predicados a partir de los conceptosprimitivos de conjunto y pertenencia (Zermelo-Fraenkel,1922).

A.1 Nociones de teoría de conjuntosLos conceptos de conjunto y de pertenencia de un elemento a un conjuntoson conceptos primitivos, es decir, no se de�nen.

Diremos que un conjunto A es una colección (familia, clase), �nita oin�nita, de objetos de un universo U tal que para todo objeto x se puedadeterminar si x pertenece a A. Los objetos de un conjunto serán sus ele-mentos. Si x pertenece al conjunto A, se escribirá x ∈ A. Si x no pertenecea A, se escribirá x /∈ A.

Ejemplos A.1.1

N := {1, 2, · · · } es el conjunto de los números naturales,Z := {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · } es el conjunto de los números enteros,F := {p

q: p, q ∈ Z y q 6= 0} es el conjunto de las fracciones de

números enteros,A := {x ∈ R : x2 = 1} = {−1, 1} es el conjunto solución de la ecuaciónx2 − 1 = 0.

Notación: los símbolosQ, R y C denotarán, respectivamente, el conjuntode los números racionales, reales y complejos.

A.1.1 Inclusión e igualdad de conjuntosSi todo elemento x de un conjunto A es también elemento de un conjunto B,se dirá que A está contenido en B o que A es un subconjunto de B (y seescribirá A ⊆ B ó B ⊇ A).

III

Si A es un subconjunto de B y existe un elemento de B que no pertenecea A, entonces A es un subconjunto propio de B : A B ó A ⊂ B.

Dos conjuntos A y B son iguales si contienen los mismos elementos. Porejemplo, los conjuntos A = {−2, 1, 0,−7} y B = {−7, 1, 0,−2} son iguales.

Nota importante: para demostrar que dos conjuntos A y B son iguales,es necesario veri�car las dos siguientes condiciones:

1)A ⊆ B (A.1)2)B ⊆ A (A.2)

Ejemplos A.1.2 1) Sean A = {x ∈ R : x2 + x− 2 = 0} y B = {−2, 1}.Los elementos de A son las soluciones de la ecuación x2 +x−2 = 0, es decir,son los números x1 = 1 y x2 = −2. Ya que x1 ∈ B y x2 ∈ B, A ⊆ B. Ahoraestá claro que también B ⊆ A. Por tanto, A = B.

2) Sean A = {a, b, c, d} y B = {c, a, d, b}, entonces A = B.

El conjunto vacío ∅ es el conjunto que no tiene elementos.Nota: el conjunto ∅ no es igual al conjunto A = {∅}, pués A tiene un

elemento, el conjunto vacío.Ejemplo A.1.3 Sea A = {x ∈ R : x2 = −1}. Entonces A = ∅.Proposición A.1.4 Sea A un conjunto cualquiera. Entonces ∅ ⊆ A.

A.1.2 Operaciones con conjuntosSi A y B son dos conjuntos, es posible construir nuevos conjuntos por mediode las siguientes operaciones:

• la unión de A y B es el conjunto A ∪ B de todos los elementos de Ao de B, es decir

A ∪B = {x : x ∈ A ó x ∈ B},

• la intersección de A y B es el conjunto A∩B de todos los elementosque pertenecen tanto a A como a B, es decir

A ∩B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.Si A y B no tienen elementos en común, entonces A ∩B = ∅ y se diráque A y B son disjuntos,

IV

• el complemento (relativo) de B respecto de A es el conjunto A\Bde todos los elementos de A que no pertenecen a B, es decir

A\B = {x : (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}.

Ejercicio A.1.1 Sean A = {−1, 0, 3, 7} y B = {−3,−1, 0, 3, 5, 7, 8}. Deter-minar A ∪B, A ∩B y A\B.

• el producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos A y B es el con-junto de todos pares ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B, es decir

A×B = {(a, b) : (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}.

Para representar grá�camente un producto cartesiano A×B de dos conjuntos,se puede utilizar un sistema de ejes. Los elementos de A se representan pormedio de puntos del eje de las abscisas y los elementos de B por medio depuntos del eje de las ordenadas. Entonces los elementos de A×B son todoslos puntos de �coordenadas� (a, b).Por ejemplo, sean A = {x, y, z} y B = {a, b}. La �gura A.1 es una represen-tación grá�ca (obtenida con Maple V sustituyendo las letras por números:x = 1, y = 2, z = 3, a = 1, b = 2) de A×B.

0 1 2 3 4

y

12

34

x

Figura A.1: Grá�ca de A×B.

Ejercicio A.1.2 Sean A = {−1, 0, 3, 7} y B = {−1, 1}. Determinar y re-presentar grá�camente el conjunto A×B.

V

A.1.3 Partes de un conjunto y propiedades de las ope-raciones con conjuntos

Si A es un conjunto, se llama conjunto de las partes de A, P (A), al nuevoconjunto cuyos elementos son exactamente los subconjuntos de A.

Nota: Para todo conjunto A, P (A) es siempre no vacío, ya que ∅ ∈ P (A).

Ejemplo A.1.5 Sea A = {a, b, c}. Entonces

P (A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Sean A, B y C tres conjuntos. Las principales propiedades de las opera-ciones con conjuntos son las siguientes:

1) idempotencia de la unión y de la intersección:

A ∪ A = A (A.3)A ∩ A = A (A.4)

2) conmutatividad de la unión y de la intersección:

A ∪B = B ∪ A (A.5)A ∩B = B ∩ A (A.6)

3) asociatividad de la unión y de la intersección:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C (A.7)A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C (A.8)

4) distributividad de la unión respecto de la intersección y de la inter-sección respecto de la unión:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (A.9)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (A.10)

5)

A ∪ ∅ = A (A.11)A ∩ ∅ = ∅ (A.12)

VI

6) Leyes de De Morgan (para conjuntos):

C\(A ∪B) = (C\A) ∩ (C\B) (A.13)C\(A ∩B) = (C\A) ∪ (C\B) (A.14)

7)

(A\B) ∪B = A ∪B (A.15)(A\B) ∩B = ∅ (A.16)

A\(A\B) = A ∩B (A.17)

Ejercicio A.1.3 Demostrar las propiedades enunciadas en el punto 7).

Unión e intersección de una familia arbitraria de conjuntos.Las de�niciones de unión y de intersección de dos conjuntos se pueden

extender a una familia arbitraria de conjuntos. Si J es un conjunto �jado yasociamos a cada j ∈ J un conjunto Aj, entonces obtenemos la familia deconjuntos {Aj}j∈J .

La unión de los conjuntos de la familia {Aj}j∈J es el nuevo conjunto

A =⋃j∈J

Aj

tal que x es un elemento de A si x es un elemento de al menos uno de losconjuntos de la familia {Aj}j∈J .

La intersección de los conjuntos de la familia {Aj}j∈J es el nuevo conjunto

A =⋂j∈J

Aj

tal que x es un elemento de A si x es un elemento de todos los conjuntos dela familia {Aj}j∈J .

Ejemplo A.1.6 Si J = N y ∀n ∈ N de�nimos Nn = {1, 2, 3, · · · , n}, enton-ces

⋃n∈NNn = N y

⋂n∈NNn = {1}.

VII

A.1.4 Cardinal de un conjuntoEl cardinal de un conjunto �nito A, Card(A), es el número de elementos deA. Si A es un conjunto in�nito se escribirá Card(A) = ∞.

Sean A y B dos conjuntos �nitos cualesquiera, entonces

Card(A ∪B) = Card(A) + Card(B)− Card(A ∩B) ≤ (A.18)≤ Card(A) + Card(B)

Si A ∩B = ∅, Card(A ∪B) = Card(A) + Card(B).

Observación: Se puede comprobar que si A es un conjunto �nito conCard(A) = n, entonces Card(P (A)) = 2n.

Ejemplos A.1.7 1) Card(N) = ∞2) Sean A = {−2, 0, 3, 17} y B = {−7, 0, 5, 17, 18}. Entonces, A ∪ B =

{−7,−2, 0, 3, 5, 17, 18} y A ∩B = {0, 17}. Se sigue que

7 = Card(A ∪B) = Card(A) + Card(B)− Card(A ∩B) = 4 + 5− 2.

A.2 Relaciones binariasSean A y B dos conjuntos no vacíos.

De�nición A.2.1 Una relación binaria entre A y B es un subconjuntoR del producto cartesiano A × B. Si (a, b) ∈ R se dirá que a y b estánrelacionados y se escribirá aRb.

Ejemplo A.2.2 Sean A = {a, b, c}, B = {d, e} y R = {(a, d), (b, e), (c, d), (c, e)}.Entonces aRd, bRe, cRd y cRe. (Ver �gura A.2)

Si R ⊆ A×A (es decir, si A = B), se dirá que R es una relación binariaen A.

Ejercicio A.2.1 Sean A = {a, b, c}, R = {(a, a), (b, a), (c, b), (c, c)}. Enton-ces aRa, bRa, cRb y cRc. Representar grá�camente la relación R.

VIII

0

1

2

3

4

y

1 2 3 4x

Figura A.2: Grá�ca de R.

Ejercicio A.2.2 En base a la siguiente Tabla 1, describir las relaciones enel conjunto A = {Andrea, Beatriz, Carlos, Davide, Edward } :

1) xR1y ↔ x e y viven en el mismo país.2) xR2y ↔ x e y tienen el mismo número de teléfono o la misma edad.3) xR3y ↔ x e y tienen la misma altura y son europeos.

Tabla 1 Edad Tel. País Altura OcupaciónAndrea 21 43-6950-555-0001 Alemania 1,75 InformáticaBeatriz 18 34-91-555-0000 España 1,68 EstudianteCarlos 37 34-91-555-0000 España 1,75 ProfesorDavide 18 39-06-555-0002 Italia 1,65 EstudianteEdward 21 1-215-555-0003 EEUU 1,68 Profesor

Una relación R en un conjunto no vacío A puede ser:

• R1) re�exiva: ∀x ∈ A xRx

• R2) simétrica: ∀x, y ∈ A xRy → yRx

• R3) antisimétrica: ∀x, y ∈ A (xRy ∧ yRx) → x = y

• R4) transitiva: ∀x, y, z ∈ A (xRy ∧ yRz) → xRz

Ejercicio A.2.3 Interpretar grá�camente las propiedades re�exiva, simétri-ca, antisimétrica y transitiva.

Observación 22 Las únicas relaciones binarias en un conjunto no vacíoA que sean al mismo tiempo simétricas y antisimétricas son tales que R ⊆{(x, y) : x = y}.

IX

Ejemplos A.2.3 1) Sea A el conjunto de las personas y R = {(a, b) ∈A×A : a es el padre de b}. Esta relación no tiene ninguna de las propiedadesR1, R2 y R4.

2) En el conjunto de las partes P (A) de un conjunto A, la relación deinclusión R = {(B, C) ∈ P (A) × P (A) : B ⊆ C} es re�exiva, antisimétricay transitiva.

3) En el conjunto Z de los números enteros, la relación R = {(n,m) ∈Z× Z : n−m es par} es re�exiva, simétrica y transitiva.

4) En el conjunto de las rectas del plano real, la relación �r es ortogonala s� no es re�exiva, es simétrica y no es transitiva.

De�nición A.2.4 Si R ⊆ A×B es una relación binaria, se denomina

• dominio de R al conjunto

dom(R) = {x ∈ A : ∃y ∈ B tal que (x, y) ∈ R} ⊆ A

• imagen directa (o rango) de R al conjunto

Im(R) = {y ∈ B : ∃x ∈ A tal que (x, y) ∈ R} ⊆ B

• imagen inversa (o recíproca) de un subconjunto C de B al conjunto

R−1(C) = {x ∈ A : ∃y ∈ C tal que (x, y) ∈ R} ⊆ A

• codominio de R al conjunto B.

Ejercicio A.2.4 Determinar dominio e imagen de las relaciones de�nidasen los ejemplos (A.2.2) y (A.2.3).

A.2.1 Relaciones de equivalenciaDe�nición A.2.5 Una relación binaria R en un conjunto no vacío A sedenomina relación de equivalencia si es re�exiva, simétrica y transitiva.Si R es una relación de equivalencia en A y a, b ∈ A son tales que aRb, seescribirá a ∼ b.

X

Si a ∈ A y ∼ es una relación de equivalencia en A, se puede de�nir unsubconjunto C(a) de A denominado clase de equivalencia de a :

C(a) = {x ∈ A : x ∼ a}. (A.19)Notar que C(a) no es vacío ya que toda relación de equivalencia es re�exiva.

Sea b otro elemento de A. Puede ocurrir sólo una de las siguientes situa-ciones:

si a ∼ b, entonces C(a) = C(b), (A.20)si a � b, entonces C(a) ∩ C(b) = ∅. (A.21)

Por tanto, si consideramos el conjunto de las distintas clases de equivalencias,este conjunto representa una partición de todo A entre subconjuntos disjuntosy se denomina conjunto cociente.Ejemplos A.2.6 1) La relación R = {(n, m) ∈ Z × Z : n −m es par}, esuna relación de equivalencia y Z = C(0)∪C(1). C(0) es el conjunto de todoslos enteros pares y C(1) de los enteros impares.

2) En el conjunto de las rectas del plano real, la relación �r es paralela as� es una relación de equivalencia. Para toda recta r, C(r) representa a ladirección determinada por r.

3)Números racionalesEn el conjunto F de las fracciones F := {p/q : p, q ∈ Z y q 6= 0}, paratodo par de fracciones r1 = p1

q1y r2 = p2

q2, se de�ne la relación de equivalencia

R como r1 ∼ r2 ↔ p1q2 = p2q1. El conjunto de las clases de equivalencia esel conjunto Q de los números racionales.

Ejercicio A.2.5 Utilizando la Tabla 1 del ejercicio (A.2.2), de�nir una re-lación de equivalencia en A y determinar las relativas clases de equivalencia.

A.2.2 Relaciones de ordenDe�nición A.2.7 Una relación R en un conjunto (no vacío) A es una rela-ción de orden si es re�exiva, antisimétrica y transitiva. Si R es una rela-ción de orden en A y x, y ∈ A son tales que xRy, se escribirá x ≤ y.

Una relación de orden R sobre A tal que cada dos elementos x e y de Ase pueden comparar (es decir, ∀x, y ∈ A, xRy ó yRx) es una relación deorden total. Si una relación de orden R no es de orden total, entonces esuna relación de orden parcial.

XI

Ejemplos A.2.8 1) En el conjunto de los números reales la relación �menoro igual que� (≤) es una relación de orden total. En particular, sea A :={1, 2, 3, 4, 12}. El orden del conjunto A dato por ≤ se puede representar conun grafo orientado:

1 −→ 2 −→ 3 −→ 4 −→ 12

2) En el conjunto de las partes de un conjunto A, la relación de inclusión(⊆) es una relación de orden parcial.

3) En el conjunto de los números naturales la relación �ser divisor de�, | ,es una relación de orden parcial. En particular, para el mismo conjuntoA := {1, 2, 3, 4, 12} del ejercicio 1), la relación | se puede representar pormedio del siguiente grafo:

3↗ ↘

1 → 2 → 4 → 12

Ejercicios A.2.1 1) Dibujar el grafo de la relación de orden parcial ⊆ enP (A), donde A := {a, b, c}.

2) Dibujar el grafo de la relación de orden parcial | en el conjunto B :={2, 4, 5, 8, 15, 45, 60}.

A toda relación de orden �≤� en A se le puede asociar una relación deorden estricto, de�nida por

∀x, y ∈ A, x < y ↔ x ≤ y y x 6= y. (A.22)

La relación < es tal quei) no existen elementos x, y ∈ A tales que x < y e y < x simultáneamente,ii) es transitiva.Viceversa, a partir de una relación R en A que cumple las condiciones i)

y ii), se puede de�nir la relación de orden

x ≤ y ↔ ((x < y) ∨ (x = y)).

Son muy importantes las relaciones de orden estricto y total, esdecir, las relaciones que satisfacen las siguientes dos propiedades:

XII

• transitiva: ∀x, y, z ∈ A, (x < y ∧ y < z) → x < z.

• de tricotomía: ∀x, y ∈ A, se cumple exactamente una de las siguientesa�rmaciones:

x = y, x < y, y < x.

Ejemplos A.2.9 1) En el conjunto de los números reales la relación �menorque� es una relación de orden estricto y total.

2) En el conjunto de las partes de un conjunto A, la relación de inclusiónpropia (es decir, ∀B,C ∈ P (A), B < C si B ⊆ C y B 6= C) es una relaciónde orden estricto parcial.

A.2.3 Mínimos y máximos de un conjuntoDe�nición A.2.10 Si ≤ es una relación de orden en un conjunto A y B ⊆A, un elemento m ∈ B es un mínimo de B si ∀x ∈ B m ≤ x. Unelemento M ∈ B es un máximo de B si ∀x ∈ B x ≤ M.

Ejercicio A.2.6 (Unicidad del mínimo y del máximo) Sean ≤ una relaciónde orden en un conjunto A, B ⊆ A, m1,m2 ∈ B dos mínimos y M1,M2 ∈ Bdos máximos de B. Comprobar que m1 = m2 y que M1 = M2.

Ejemplos A.2.11 1) ∅ es el mínimo y A el máximo del conjunto de laspartes P (A) del conjunto A, ordenado con la inclusión.

2) −1 es el mínimo y 4 es el máximo del intervalo (cerrado) [−1, 4] ⊆ R,donde R tiene el orden �menor o igual que.�

3) En el conjunto de los números naturales ordenados por �ser divisorde,� 1 es un mínimo, pero no existe un máximo.

Ejercicio A.2.7 Hallar, si existen, los máximos y mínimos de los conjuntosparcialmente ordenados A y B del ejercicio (A.2.1).

A.3 Relaciones n−ariasSean A1, A2, . . . , An conjuntos no vacíos.

De�nición A.3.1 Una relación de aridad n o n−aria es un subcon-junto R del producto cartesiano A1 × A2 × · · · × An. Si (a1, a2, . . . , an) ∈ Rse dirá que (a1, a2, . . . , an) están relacionados.

XIII

Ejemplo A.3.2 Sean A1 = {a, b, c}, A2 = {d, e} y A3 = {1, 2}. R ={(a, d, 1), (b, e, 1), (c, d, 2), (c, e, 2)} es una relación ternaria sobre A1 × A2 ×A3.

A.4 FuncionesUna función (o aplicación) (n + 1)−aria, f : A1 × A2 × · · · × An −→ B, deun conjunto no vacío A = A1 × A2 × · · · × An a un conjunto no vacío B sepuede de�nir como �una regla de correspondencia que asigna a cada elemento(a1, a2, . . . , an) ∈ A un único elemento b = f(a1, a2, . . . , an) ∈ B.� Esta de�-nición es muy intuitiva, pero no explica el término �regla de correspondencia�con su�ciente claridad.

La siguiente de�nición es más general e identi�ca el concepto de funcióncon una clase particular de relaciones binarias.

De�nición A.4.1 Sean A1, A2, . . . , An y B conjuntos no vacíos. Una fun-ción (o aplicación) (n + 1)−aria f : A1 × A2 × · · · × An −→ B es unarelación (n + 1)−aria f ⊆ A1 × A2 × · · · × An ×B tal que

f1) dom(f) = A1 × A2 × · · · × An,f2) si (a1, a2, . . . , an) ∈ dom(f) existe un único f(a1, a2, . . . , an) ∈ Btal que (a1, a2, . . . , an, f(a1, a2, . . . , an)) ∈ f.

Entonces una función f : A1 × A2 × · · · × An −→ B es una relación entreA1 × A2 × · · · × An y B tal que a cada elemento de (a1, a2, . . . , an) ∈ A1 ×A2× · · · ×An corresponde un único elemento f(a1, a2, . . . , an) del codominioB. Si (a1, a2, . . . , an, f(a1, a2, . . . , an)) ∈ f, se dirá que f(a1, a2, . . . , an) es laimagen de (a1, a2, . . . , an) por la función f o el valor de f en (a1, a2, . . . , an).

Si el dominio de una función está compuesto de un sólo conjunto A,entonces la función es binaria.

Test de la recta vertical: Una relación R ⊆ A×B es una función si ysólo si

1) dom(R) = A y2) su grá�ca corta a cada �recta vertical� en un punto a lo más.

Ejemplos A.4.2 1) La relación binaria de�nida en el ejemplo (A.2.2) noes una función.

XIV

2) La función f : R −→ R de�nida por ∀x ∈ R, f(x) = x, es tal quedom(f) = R y Im(f) = R.

3) La función f : R −→ R de�nida por ∀x ∈ R, f(x) = x2, es talque dom(f) = R e Im(f) = R+ ∪ {0}(= [0,∞)). En este caso, f−1([0, 2]) =[−√2,

√2] y f−1((−2, 0]) = {0}.

4) La función f(x) =√

x está de�nida sólo para números reales no ne-gativos, entonces dom(f) = Im(f) = [0,∞).

5) El dominio de la función f(x) = x+2x2−1

es R\{−1, 1}.

Dos funciones f, g ⊆ A×B son iguales si y sólo si:a) dom(f) = dom(g)b) ∀x ∈ dom(f), f(x) = g(x).

Ejemplo A.4.3 Las funciones f(x) = x2, ∀x ∈ R y g(x) = x2, ∀x > 0 noson iguales, ya que dom(f) 6= dom(g).

A.4.1 Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivasDe�nición A.4.4 Una función f : A −→ B es

• inyectiva: si ∀x, y ∈ A,

x 6= y → f(x) 6= f(y) o, equivalentemente,f(x) = f(y) → x = y.

A elementos distintos x e y de A corresponden elementos distintos f(x)y f(y) de B.

• sobreyectiva: si f(A) = B o, equivalentemente, si∀b ∈ B ∃a ∈ A tal que f(a) = b.

Cada elemento de B es el imagen de al menos un elemento de A.

• biyectiva: si es inyectiva y sobreyectiva.Por tanto, una función f : A −→ B es biyectiva si∀b ∈ B ∃!(existe un único) a ∈ A tal que f(a) = b.

Test de la recta horizontal: Una función f es inyectiva si y sólo sicada �recta horizontal� corta la grá�ca de f en un punto a lo más.

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Ejemplos A.4.5 1) La función f : R −→ R de�nida por ∀x ∈ R, f(x) =x, es biyectiva.

2) La función f : R −→ R de�nida por ∀x ∈ R, f(x) = x2, no es niinyectiva, ni sobreyectiva.

3) La función f : [0,∞) −→ [0,∞) de�nida por ∀x ∈ R, f(x) =√

x,es biyectiva.

4) La función proyección sobre A, p : A × B −→ A, de�nida porp(a, b) = a, es sobreyectiva y no es inyectiva (salvo que card(B) = 1).

5) La función identidad en A, IdA : A −→ A, de�nida por IdA(a) = a,es biyectiva.

Observación 23 Si f : A −→ B es una función inyectiva, entonces lafunción f : A −→ f(A) es biyectiva.

A.4.2 Composición de funcionesDe�nición A.4.6 Sean f : A −→ B y g : B −→ C dos funciones. Lafunción composición (o compuesta) de f y g es la función g◦f : A −→ Cde�nida por ∀a ∈ A, (g ◦ f)(a) = g(f(a)). Entonces

g ◦ f = {(a, g(f(a))) : a ∈ A} ⊆ A× C.

Ejercicios A.4.1 1) Sean f, g : R −→ R las funciones f(x) =√

x2 + 1y g(x) = x + 1. Veri�car que g ◦ f 6= f ◦ g. (Entonces la composición defunciones no es conmutativa.)

2) Demostrar que si f : A −→ B es una función, entonces f = IdB ◦ f =f ◦ IdA.

3) Descomponer la función f(x) =√

3 + ( 12+sen(x)

)2 en una composiciónde funciones más simples.

Proposición A.4.7 Sean f : A −→ B y g : B −→ C dos funciones.Entonces,

1) Si f y g son inyectivas, g ◦ f es inyectiva.2) Si f y g son sobreyectivas, g ◦ f es sobreyectiva.3) Si f y g son biyectivas, g ◦ f es biyectiva.

XVI

Demostración 1) Sean a1, a2 ∈ A tales que g(f(a1)) = g(f(a2)). Tenemosque demostrar que a1 = a2.Ya que g y f son inyectivas, g(f(a1)) = g(f(a2)) → f(a1) = f(a2) → a1 = a2.

2) Sea c ∈ C. Esta vez tenemos que veri�car la existencia de un a ∈ Atal que g(f(a)) = c.Ya que g y f son sobreyectivas, ∃b ∈ B tal que g(b) = c y ∃a ∈ A tal quef(a) = b. Entonces ∃a ∈ A tal que g(f(a)) = g(b) = c.

3) Se sigue de 1) y 2). 2

A.4.3 Función inversaDe�nición A.4.8 Dada una función biyectiva f : A −→ B, la relaciónbinaria

f−1 = {(b, a) : (a, b) ∈ f} ⊆ B × A

es una función ya que (siendo f biyectiva), para todo b ∈ B, existe un únicoa ∈ A tal que b = f(a). La función f−1 se denomina función inversa de f .

Se sigue que dom(f−1) = Im(f) y Im(f−1) = dom(f).

Nota: el símbolo f−1 signi�ca la inversa de f, no 1f.

Ejemplos A.4.9 1) La función inversa de la función identidad en A, IdA,es la misma función IdA.

2) Sea f : [0,∞) −→ [0,∞) la función f(x) =√

x. No es difícil veri�carque f es biyectiva y que f−1 : [0,∞) −→ [0,∞) es la función f(x) = x2.

3) Para determinar la función inversa de la recta f(x) = 3x− 1, ∀x ∈ R,se puede usar el siguiente procedimiento:

a) escribimos y = f(x) = 3x− 1,b) despejamos respecto de la variable x : x = y+1

3

c) intercambiamos las variables x e y : y = x+13

d) ponemos f−1(x) = x+13

.

Grá�ca de f−1 : si existe f−1, su grá�ca se obtiene tomando la simétricade la grá�ca de f respecto de la diagonal del primer y tercer cuadrante condom(f−1) = Im(f) y Im(f−1) = dom(f). La �gura A.3 contiene las grá�casde las funciones x2 y ex con sus inversas: √x y ln(x).

XVII

0

1

2

3

4

0.5 1 1.5 2x

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

–3 –2 –1 1 2 3x

Figura A.3: Grá�cas de x2, ex y sus inversas

Proposición A.4.10 Sean f : A −→ B y g : B −→ C dos funcionesbiyectivas. Entonces,

1) f−1 ◦ f = IdA

2) f ◦ f−1 = IdB

3) (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1 : C −→ A

Ejercicio A.4.1 Demostrar la proposición (A.4.10).

Ejercicio A.4.2 Sea f : [0, 1] −→ [0, 4] la función de�nida a trozos porf(x) =

{2x si 0 ≤ x ≤ 1

2

4x2 si 12

< x ≤ 1 .Si f es biyectiva, hallar su inversa.

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Bibliografía

[A] L. Arenas, Lógica formal para informáticos. Ed. Diaz de Santos,1996.

[AFJM] J. Aranda, J.L. Fernández, J. Jiménez, F. Morilla,Fundamentosde Lógica Matemática. Ed. Sanz y Torres, 1999.

[C] J. Cuena, Lógica matemática. Alianza Editorial, 1985.

[CM] R. Criado, R. Muñoz, Apuntes de Matemática Discreta,www.escet.urjc.es/ matemati/md_iti/apuntes/md00.pdf.

[F] M. Fitting, First�order logic and automated theorem proving.Springer Graduate Texts in Computer Science. Berlín, 1996.

[HLR] M. A. Hortalá, J. Leach, M. Rodríguez. Matemática Discreta yLógica Matemática. Editorial Complutense, 2001.

[MH] M. Manzano, A. Huertas, Lógica para Principiantes. AlianzaEditorial, 2004.

[UNED1] http://www.educajob.com/xmoned/temarios_elaborados/�loso�a/Delalógica%20cl%E1sica%20a%20la%20l%F3gica%20simb% F3lica.htm.

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