libro econo me tria

8/15/2019 Libro Econo Me Tria

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Econometŕıa Icon E-VIEWS

Aplicado a la Investigaci´ on Econ´omica

Juan Carlos Abanto Orihuela

7 de agosto de 2014


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Econometria I con EviewsAplicado a la Investigaci´on Econ ómica

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Índice general

1. Introducci´ on a la Econometŕıa 51.1. Concepto y Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. ¿Qué es la Econometrı́a? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. Objetivo de la Econometŕıa . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Metodologı́a de la Econometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Origen y evolución de la econometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1. Etapa pre-econométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2. Etapa de nacimiento de la Econometŕıa (1900-1930) . . . 141.3.3. Etapa de aportaciones b´asicas (1930-1945) . . . . . . . . 161.3.4. Etapa de desarrollo de la Econometŕıa moderna (1945-

1975) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.5. Crisis de los setenta y aportaciones recientes a la Econo-

metŕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Repaso Algebraico 212.1. Algebra de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1. Tipos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.3. Vector Canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.4. Relacíon entre matrices y sumatorias . . . . . . . . . . . 242.1.5. Matriz de desv́ıos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.6. Geometŕıa de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.7. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.8. Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.9. Sistema de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . 332.1.10. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.11. Matrices Particionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.12. Producto Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.13. Raices y vectores caracteŕısticos . . . . . . . . . . . . . 412.1.14. Diagonalizacion y descomposicion de una matriz . . . . 432.1.15. Derivadas y Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

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4 ÍNDICE GENERAL

3. Repaso Estad́ıstico 513.1. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2. Probabilidades y Variables Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1. Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.2. Variables Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4. Distribuciones Importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4.1. Distribuciones Discretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4.2. Distribuciones Continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4.3. Teorema del ĺımite central y teorı́a de los grandes n´ umeros 68

Econometria I con Eviews

Aplicado a la Investigaci´on Econ ómica

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Sesi ón 1Introducci´ on a la Econometŕıa

1.1. Concepto y Objetivo

1.1.1. ¿Qué es la Econometŕıa?El concepto de Econometŕıa ha ido hallándose entre las m últiples interpre-

taciones en el bagaje de la literatura económica; estas han ido variando desdealgunas ciertamente complejas hasta otras relativamente sencillas. A continua-ción, algunas de las deniciones más trascendentes:

Frisch (1933a) 1 :

La Econometŕıa implica la mutua penetraci´ on de Teoŕıa EconómicaCuantitativa y Observaci´ on Estad́ıstica (p. 1).

[...] no es lo mismo que la Estad́ıstica Econ ómica. Tampoco es idénticaa lo que llamamos Teorı́a Económica General, [...]. Tampoco, deberı́a sertomada como sin ónimo de la aplicación de las Matemáticas a la economı́a.La experiencia ha demostrado que cada uno de esos tres puntos de vista,el de la Estadı́stica, el de la Teorı́a Econ´ omica y el de las Matemáticas, esuna condición necesaria pero no suciente por śı misma para el entendi-miento real de las relaciones cuantitativas en la vida econ´ omica moderna.Es la unicación de las tres, una herramienta de an´ alisis potente. Es estaunicación la que constituye la Econometŕıa (p. 2).

Samuelson, Koopmans y Stone (1954) 2 :[...] la Econometŕıa puede ser denida como el an álisis cuantitativo de

los fenómenos económicos reales, basado en el desarrollo simult áneo de1 Aunque Berndt (1991, p. iii) se˜ nala que el término Econometŕıa parece que fue utilizado

por primera vez por Ciompa (1910), Schumpeter (1982, p. 252, nota 2) indica que, como tal,el t́ermino Econometŕıa se debe al profesor Frisch.

2 P.A. Samuelson, T. C. Koopmans y J. R. N. Stone. Report of the evaluative comitee forEconometrica”, en Econometrica, vol. 22, n´ um. 2, abril de 1954, pp. 141-146.

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1.1. Concepto y Objetivo 7

2. Conseguir signos, magnitudes y proposiciones ables acerca de loscoecientes de las variables en las relaciones económicas, de modoque esta informaci ón pueda servir de base para la toma de decisionesy la elección .

Gujarati (1990, p. 2):La Econometrı́a es una amalgama de Teoŕıa Econ´ omica, Economı́a Ma-

tem ática, Estad́ıstica Econ´ omica y Estad́ıstica Matem´ atica. Sin embargo,es una disciplina que merece ser estudiada separadamente [...]. La Eco-nometŕıa proporciona el contenido emṕırico a la mayoŕıa de las teorı́aseconómicas; a la vez, se interesa primordialmente por la vericací onempı́rica de la teoŕıa económica. .

David F. Hendry 6 , un reputado econometrista de la Universidad deOxford (1993):

[...] la teoŕıa econométrica es el estudio de los procesos de generaci ónde datos, de las técnicas para analizar datos econ´ omicos, de los méto-dos de estimaci ón de las magnitudes numéricas de los parámetros convalores desconocidos y de los procedimientos para contrastar hip´ otesiseconómicas; juega en las disciplinas b ásicamente no experimentales unpapel an álogo al de la teoŕıa estad́ıstica en las ciencias experimentalesinexactas[...] .

Maddala (1996):La Econometrı́a es la aplicación de métodos estadı́sticos y matem´ aticos

al análisis de datos económicos con el propósito de dar contenido empı́rico

a las teorı́as económicas y vericarlas o refutarlas (p. 1).Se puede observar, de forma permanente en las deniciones extráıdas, la

necesidad de la inclusión tanto de una base teórica como el de una base empı́ri-ca. Sin embargo, aun cuando la Econometŕıa es una disciplina desarrollada pory para las teoŕıas económicas dominantes, sus planteamientos son de validezgeneral, para las matemáticas, fı́sica, qúımica, y otras, si se satisfacen las con-diciones y supuestos sobre los cuales se construyen.

1.1.2. Objetivo de la Econometŕıa

Schumpeter (1933) destaca en el primer número de Econometrica supropósito cient́ıco, encaminado a la construcci´ on de la Teoŕıa Económicadel futuro mediante la incorporación de los métodos cuantitativos en elanálisis de los fenómenos económicos. Bajo este planteamiento sintéticode teorı́a y realidad, la modelización econométrica constituye la única vı́aexistente para abordar el estudio riguroso de los fenómenos económicos.

6 David F. Hendry. Econometrics. Alchemy or science?: Blackwell Pub¨ ushers, Oxford,1993.



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8 1. Introducci´ on a la Econometŕıa

El eje central de la investigaci ón econométrica, acorde a lo planteado porSamuelson7 , vendŕıa a ser el planteamiento de una tabla de datos. Reali-zar esta tarea es su primer objetivo. Esta tabla de datos, debeŕıa contenerunidades de observación, variables y datos, estos ´ ultimos, precisamente,

luego del proceso de observación y recolección de datos. Las unidades,las variables y los datos dan origen a ecuaciones, funciones o modelosque describen una situación actual que es de interés para el investigadoro le permiten realizar predicciones. Estos son los objetivos principales deuna investigaci ón econométrica, brindar la posibilidad de describir unasituaci ón económica en particular, para vericar teoŕıas o comprobaremṕıricamente las mismas; y una vez realizada esa descripci´ on, tambiénser utilizado para predecir o realizar pronósticos sobre dicha situaci ón.

Según Christ 8: El ob jetivo de la Econometŕıa es la producción de pro-posiciones cuantitativas que expliquen o describan las variaciones de va-riables ya observadas, o que pronostiquen o predigan las variaciones aunno observadas, o que hagan ambas cosas a la vez.

1.2. Metodoloǵıa de la Econometŕıa

En el marco del concepto de Metodologı́a Moderna 9 como un conjunto dereglas para la evaluaci ón de las teoŕıas ya elaboradas, que nos permita concluirsi éstas son cient́ıcamente aceptables o no lo son, es posible delimitar el lugarque ocupa la Econometŕıa dentro del programa global de investigací on de la

Economı́a10

.1. Procedimiento econométrico general

En el esquema propuesto por Intriligator (1978) (ver Figura 3.2.2) , ilus-tra el papel y el lugar que desempe ña la Econometrı́a en la combinaciónde las teoŕıas y los hechos económicos, facilitando un lenguaje de entendi-miento entre los extremos de la deducci ón y la inducción. Ası́, el an álisiseconométrico se materializar´ a normalmente en la estimación de un mo-delo econométrico. Este modelo debe ser el resultado de un proceso que

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Samuelson, en su obra P. Curso de economı́a moderna. Editorial Aguilar 1972. p. 903., expresa que la investigación, la instrucción pública y el pleno empleo pueden acelerar eldesarrollo econ ómico de un páıs. Pero, reriéndose concretamente a la investigaci´ on, observaque esta es la medida que suscita menos controversias entre las destinadas a acelerar elcrecimiento.

8 Christ, C. Modelos y métodos econométricos. Cowles Foundation for research in Econo-mics at Yale University. 1966. p. 28.

9 Según Imre Lakatos. Metodoloǵıa de los Programas de Investigaci´ on Cientı́ca. 197810 Siguiendo la estructura propuesta por Fabiola Potrillo. Introducci´ on a la Econo-

metŕıa.2006



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1.2. Metodoloǵıa de la Econometŕıa 9

combine teoŕıa y hechos mediante la utilizaci´ on de técnicas econométri-cas.El punto de partida lo constituye la realidad econ ómica , esto es, elproceso generador de datos - al que habitualmente se denomina sistema

económico , integrado por los

hechos económicos , junto con sus rela-ciones entre śı y con los entes externos referidos al campo que se pretendeinvestigar. Estos hechos por su naturaleza podr´ an ser de tipo cuantitati-vo, cualitativo o de tipo mixto, pero para que puedan ser utilizados en elenfoque econométrico deber án expresarse en forma numérica. Aśı, estaexpresión cuantitativa - numérica de los hechos constituyen los datoseconómicos , como el reejo del mundo real y componente emṕırico delproceso de estimación base emṕırica 11.Dada la complejidad del mundo real, se plantea que el economista de-be comenzar efectuando una abstracción del mismo, ante un sistema oproblema concreto, a partir de la cual se formulan las teoŕıas económi-cas , expresadas generalmente mediante modelos de tipo general, queconllevan una serie de implicaciones o predicciones y tratan de dar ex-plicaciones de algún elemento del sistema. A su vez, dado que el gradode aceptaci ón de las teoŕıas es evaluada mediante la confrontaci ón desus implicaciones o hipótesis con la base emṕırica, es crucial el papel dela Econometŕıa, ya que trata de suministrar las técnicas necesarias parallevar a cabo la mencionada confrontación. Las hipótesis a vericar - oconfrontar con los hechos - se sitúan en el seno de los modelos económi-cos , pero la Econometŕıa no trabaja con ellos directamente, sino hayque concretarlos y darles forma, es decir con los denominados modeloseconométricos . Éstos se denen como aquellos modelos económicos quecontienen el conjunto de hip ótesis necesarias para su aplicación empı́ri-ca. De esta forma, los modelos econométricos constituyen, en suma, elinstrumento que permite conectar y confrontar teorı́a y realidad.

Ahora bien, el esquema representado en la Figura 1, transmite cierta ima-gen de proceso terminal, con un principio y un n, cuando la realidad dela pr áctica econométrica es diferente, lo que ha levantado importantescŕıticas, principalmente, desde los a˜ nos setenta. Siguiendo a Maddala 12,

estas cŕıticas se resumen en las siguientes cuestiones:

11 En ocasiones los datos no podrán utilizarse de forma directa y deber´ an sufrir un tra-tamiento antes de formar parte del modelo. Entre estos tratamientos y en el caso de seriestemporales se encontrarı́an los cambios de base, interpolaci´ on, extrapolación, ajustes estacio-nales, mezcla, etc. Con los datos depurados y la especicaci´ on se podr á iniciar la estimacióndel modelo con los métodos econométricos. José Vicéns Otero. ECONOMETR ÍA Y CONS-TRASTACI ÓN EMP ÍRICA. CONCEPTO E HISTORIA. 1998

12 Según MADDALA, G.S. (1996.) en Introducci´ on a la Econometŕıa



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En primer lugar, la no existencia de un ujo de realimentación desdelos resultados que proporciona la aplicaci ón del análisis econométri-co hacia las teorı́as econ ómicas. La Econometrı́a no sólo sirve paracontrastar las teorı́as econ´ omicas, sino que también proporciona re-

sultados valiosos para el desarrollo de la teoŕıa a partir de las pro-gresivas confrontaciones de ésta con la realidad, como muestra laFigura 1.2(ver Figura 1.2 1.2) .

Por otra parte, se ha objetado que la contrastaci´ on de hipótesis nodebeŕıa limitarse a las hipótesis derivadas del modelo económicooriginal, ya que estas dependen de la especicaci ón adoptada enel modelo econométrico. Por tanto, seŕıa necesario realizar adem´ aspruebas sobre la especicaci ón del modelo para contrastar su validezy, en caso necesario, abordar la reformulación del mismo según el

diagnóstico, en aras de un creciente renamiento de la modelizacióneconométrica.

Figura 1.1: Principales elementos que integra la Econometŕıa y sus aplicaciones

- Adapatado de Intriligator (1978)

2. Etapas del procedimiento econométrico generalEl procedimiento econométrico generalmente empleado conlleva las si-guientes etapas:(i) Formulaci ón del modelo econométrico basado en el modelo económi-co subyacente, de manera que sea vericable emṕıricamente, pudiendoadoptar diversas formas funcionales;



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1.2. Metodoloǵıa de la Econometŕıa 11

Figura 1.2: Adaptado de Maddala (1996)

(ii) Estimaci ón de sus parámetros desconocidos a partir de los datos;(iii) Contrastación de hipótesis mediante métodos econométricos de in-ferencia; y(iv) Uso de los resultados del modelo con nes anaĺıticos, predictivos ode evaluación de polı́ticas, tanto económicas como empresariales.

3. Etapa de especicacíon del modeloLa especicación constituye la primera etapa del análisis econométricoy consiste en concretar y dar forma al modelo econ ómico. En esta fase,que puede contener elementos subjetivos del investigador, se identicantres aspectos b ásicos:(i) Formulaci ón de la relación planteada mediante una forma funcionalexpĺıcita (lineal, etc.).(ii) Identicaci ón de las variables que intervienen en el modelo y de losdatos económicos que permiten medir dichas variables.(iii) Acotaci ón de la realidad a la que ser án aplicables los resultados.En ocasiones, la especicación del modelo viene restringida por la propia



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disposición de datos o por los resultados obtenidos previamente en laevaluación y el diagnóstico del modelo. De este modo, se debeŕıa seguirun proceso de realimentaci ón desde estos resultados a la especicaci óndel modelo econométrico.

4. Etapa de estimación de los parámetros del modelo

Se determinar á la magnitud estimada de los parámetros desconocidosdel modelo, requiriendo de datos emṕıricos, históricos sobre el fenómenoeconómico bajo estudio. Es decir, observaciones de las variables que in-tervienen en el modelo, aśı como la utilizaci ón de métodos apropiados deestimaci ón y de inferencia.

5. Etapa de validaci ón del modelo

La aplicación de la inferencia estadı́stica a los datos recolectados permi-te abordar la validación del modelo o contrastación de hipótesis, tantorelacionadas con la especicaci ón del modelo como con otros aspectosde interés en la confrontación de las teoŕıas con la realidad econ ómi-ca. Dicha contrastación debe realizarse a partir de criterios previamenteestablecidos de rechazo o no de las hipótesis objeto de an álisis.

6. Etapa de explotación del modelo

Si el modelo supera la etapa de

validaci ón , puede ser empleado bási-camente para los siguientes nes:

Análisis y descripción estructural del modelo. Es decir, mediante elanálisis y la descripción de la relación existente entre las variables(signo y magnitud de los par ámetros), se permite vericar teoŕıas ocomprobar empı́ricamente las mismas.

Predicci ón de la variable de interés condicionada a los valores de lasvariables explicativas (de la variable end´ ogena).

1.3. Origen y evoluci´ on de la econometŕıaEl origen de Econometrı́a como disciplina cient́ıca es muy discutible. Con

respecto a ello existen dos tendencias: Una de ellas sit úa sus inicios con lostrabajos de Economı́a Matem´ atica de Th ünen, Cournot, Edgeworth, Jevons,Walras, Pareto, Wicksell. Y, la otra tendencia considera a estos autores pre-cursores de la Econometrı́a, argumentando que su estilo de hacer Economı́a no



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1.3. Origen y evoluci´ on de la econometŕıa 13

es en esencia cuantitativo 13.

Aśı, el nacimiento de la Econometŕıa como disciplina cient́ıca tuvo susantecedentes en el siglo XVII con el surgimiento de la econoḿıa cuantitativa14

. De esta manera, cabe mencionar las etapas en la evolución de esta disciplina:

Etapa pre econométrica, que se extiende hasta nales del siglo XIX.

Etapa de nacimiento de la Econometŕıa, que abarca el primer tercio del sigloXX.

Etapa de aportaciones básicas, que se desarrolla entre 1930 y 1945.

Etapa de desarrollo de la Econometŕıa moderna, que concluye con la crisisde los setenta etapa cŕıtica y de aportaciones recientes a la Econometŕıa.

A continuaci ón se presentan las caracteŕısticas m´ as relevantes de cada una delas etapas mencionadas.

1.3.1. Etapa pre-econométricaEn la etapa pre-econométrica, los desarrollos de la Estad́ıstica y la Eco-

nomı́a sentaron las bases que posteriormente serviŕıan de fundamento para elnacimiento de la Econometŕıa. Sus inicios se sitúan entre los siglos el siglo XVIy XVII con el nacimiento de la econoḿıa cuantitativa y este con los trabajosdenominados “Polı́ticos-Aritméticos” por parte de Gregory King, Charles Da-venant y especialmente William Petty.

Davenant utiliza las guras para sus deducciones y dene la aritméticapoĺıtica como el arte de razonar con guras sobre cuestiones relacionadas conel gobierno. Petty y King son los pioneros en una aproximaci ón teórica- cuanti-tativa a la economı́a y demuestran su preocupaci´ on por la medición estad́ısticade los hechos económicos. Siendo espećıcos, Gregory King se centró en el es-tudio de la agricultura y el análisis de las relaciones entre la oferta de cerealesy el precio. King no solamente efectuó una recogida y análisis de los datos,sino que incluso llegó a aproximarse a una regresi ón entre cambios de precioy cambios de cantidades, lo que podrı́a calicarse de primicia econométrica 15.Básicamente, estos primeros trabajos de Econoḿıa Cuantitativa trataban deencontrar leyes de comportamiento económico análogas a las que se observa-ban en las ciencias naturales, especialmente en la F́ısica, intentando aplicar sus

13 ver Akerman, 193314 ver Morgan, 199015 ley de King, véase Creedy 1986



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mismos métodos y con una losof́ıa claramente determinista. Para poder ali-gerar de determinismo el enfoque de la ciencia económica, tuvo que esperarsea los siglos XVIII y XIX ya que es aquı́ en donde la Estadı́stica y la Economı́aevolucionaron notablemente (aportan los conceptos de incertidumbre y proba-

bilidad necesarios para la comprensión de los fenómenos económicos).

De esta manera, en el ámbito del pensamiento económico destacan las apor-taciones de autores como Fran¸cois Quesnay (1758), cuyo “Tableau Economi-que” constituye un análisis emṕırico del principio de interdependencia generalde los elementos esenciales que intervienen en un sistema econ ómico, AntoineA. Cournot (1838), cuya interpretaci´ on funcional de la oferta y la deman-da abri ó una de las ĺıneas de investigaci ón más fecundas en el ámbito de laEconomı́a Aplicada Cuantitativa, y asimismo Clement Juglar (1862), por susestudios empı́ricos acerca de las regularidades temporales de los ciclos económi-cos.

Por otra parte, en el campo de la Estadı́stica han sido esenciales los tra-bajos de Thomas Bayes (1702-1861) sobre la teoŕıa de la probabilidad y elanálisis estadı́stico, con la formulación del polivalente teorema de Bayes, KarlF. Gauss (1777-1855), por el desarrollo de la distribución estad́ıstica normal yel tratamiento estadı́stico riguroso del método de estimaci´ on mı́nimo-cuadráti-co aplicado al análisis de regresión, y William S. Gosset (1876-1937), a quien sedebe la especicación de la distribuci ón t de Student, entre otras aportaciones.Asimismo, destacan en este periodo las contribuciones de Andrei A Markov(1856-1922) y Karl Pearson (1857-1936) al desarrollo de la teoŕıa de la proba-bilidad y al an álisis de la correlación estadı́stica, respectivamente. Por ´ ultimo,a Ronald A. Fisher (1890-1962) se debe el desarrollo de métodos de estima-ción adecuados para muestras pequeñas, el descubrimiento de la distribuciónde numerosos estad́ısticos muestrales y la invenci´ on del análisis de la varianzay del enfoque de máxima-verosimilitud, por lo que es considerado uno de lospioneros de la Estad́ıstica moderna.

Este enorme progreso de los métodos estadı́sticos, permiti´ o aplicar el análi-sis de regresión y la contrataci ón de hipótesis a los modelos económicos, ya enlos inicios del siglo XX.

1.3.2. Etapa de nacimiento de la Econometŕıa (1900-1930)

Rápidamente, los avances de la Estad́ıstica moderna se incorporan al an´ ali-sis económico y, en esta ĺınea, constituyen ejemplos destacados las aplicacionesdel análisis de correlación estad́ıstica que realizan Yule (1895, trabajo dirigido



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a la pobreza ) y Hooker(1901, 1905 - dirigido a las relaciones entre tasa dematrimonio y nivel de prosperidad).

En este contexto, Benini (1907) habı́a llevado a cabo la primera aplicaci´ on

de la regresión múltiple, concretamente, a la estimaci´ on de la demanda decafé en funci ón de su precio y del precio de un bien complementario. Seguida-mente, en 1914, se publica el trabajo de Henry L. Moore “Economic Cycles:Their Law and Cause”, en el que este autor presenta una estimaci´ on de lasleyes estadı́sticas de la demanda de cereales desde planteamientos determinis-tas. Este trabajo es generalmente considerado el primer estudio de car´ actereminentemente econométrico.

Estos primeros estudios de econoḿıa cuantitativa estuvieron enfocadosprincipalmente a dos grandes áreas. El estudio de la demanda y el estudio

de los ciclos. De alguna forma estos estudios previos, caracterizan lo que hansido y son las dos grandes ĺıneas de investigaci ón de la economı́a cuantitativaaplicada: El an álisis de relaciones de causalidad en economı́a entre las variableseconómicas y el análisis de series económicas con el n de determinar regulari-dades temporales que aparecen con las uctuaciones de la actividad económica.

Dos hechos fundamentales marcan el nacimiento de la econometŕıa con losrasgos básicos con que se caracteriza en la actualidad. La econometŕıa, vincu-lada al an álisis estructural de las relaciones económicas, también denominada’tradicional’, surge como consecuencia de la constitución de la Sociedad deEconometŕıa y los trabajos de la Cowles Commission, en la década de los a˜ nostreinta.

Constituci´ on de la sociedad de la econometŕıa

Después de los intentos sin éxito de Irving Fisher en 1912 para organizaruna asociaci ón para promover la investigaci ón en economı́a cuantitativa desdela Universidad de Yale. Y ante lo que se aconteceŕıa en 1929, Ross y Frisch pro-pusieron a Fisher la organizaci ón de una sociedad internacional que unicaralos puntos de vista estad́ıstico, econ´ omico teórico y matemático, para el estu-dio cuantitativo de los hechos econ ómicos . A pesar del escepticismo de Fisherdebido a las dicultades surgidas en su primer intento, el 29 de diciembre de1930, en el tercer congreso de la sección k de la Asociación Americana para elavance de la ciencia, se fundó en Cleveland, Ohio, la Sociedad Econométrica27.El grupo organizador estaba formado por doce americanos y cuatro europeose inclúıa importantes economistas(como Keynes), estadı́sticos y matem´ aticos.La sociedad se extendi ó rápidamente y dos a ños más tarde fundo la revistaEconométrica, cuya contribuci´ on fue importante para la difusión de la econo-metŕıa.



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Por tanto, el objetivo de la Sociedad Econométrica fue crear una Socie-dad que motivara el estudio cuantitativo de la economı́a, pero haciendo muchohincapié en la necesidad de que estos estudios se llevaran a cabo por métodos

cient́ıcos ya que los economistas de esta época aspiraban a encontrar leyes(modelos) similares a los que dominaban en las ciencias naturales y véıan en laestadı́stica y las matem´ aticas las herramientas que les permitiŕıan vericar lasteorı́as y predecir fenómenos futuros. De manera expĺıcita, la Sociedad Eco-nométrica buscaba promover la uni´ on de la capacidad deductiva del análisismatem ático con la capacidad inductiva de la estad́ıstica, mediante la integra-ción de modelos estadı́stico-matem´ aticos y el análisis estad́ıstico de los datoseconómicos.

Fundaci´ on de la “Cowles Commission”

Una gura importante que contribuy´ o notablemente al desarrollo de la So-ciedad Econométrica fue Alfred Cowles, que en 1931 ofreció fondos para laedición de una revista y para la creación de una comisión de investigación den-tro de la sociedad. Aśı, en el a ño 1932 fue fundada la Cowles commission forResearch in Economics, en Colorado Spring . Cowles Commission teńıa comofunción principal centralizar las investigaciones sobre la nueva disciplina. En1939 se trasladó a la Universidad de Chicago, a la que estuvo unida hasta 1955,fecha en que los directivos de la comisión se adscribieron al departamento deeconomı́a de la Universidad de Yale, donde continúa con sus actividades actual-mente. La comisi ón ha supuesto un motor important́ısimo para el desarrollode la econometŕıa, especialmente con la publicación de monograf́ıas que reco-pilaban los avances m ás importantes que se habı́an producido en la materia ydonde participaban los mejores económetras del momento. El objetivo generalde esta institución es promover la investigaci ón sobre los principales problemasde la Econoḿıa, con particular referencia a la aplicaci´ on de la Estad́ıstica ylas Matem áticas en la solución de dichos problemas.

1.3.3. Etapa de aportaciones básicas (1930-1945)A partir de la constitución de la Econometric Society y de la Cowles Com-

mission, la Econometŕıa inicia una etapa de aportaciones b´ asicas que habŕıade ser seguida por un progresivo desarrollo de sus métodos y aplicaciones. Estaetapa, que concluye con la Segunda Guerra Mundial, se caracteriza por el es-tudio de los principales problemas econométricos, tales como la identicaci´ ony estimaci ón de los modelos de ecuaciones simultáneas, aśı como los funda-mentos metodol ógicos de esta disciplina.

Jan Tinbergen concluye un ambicioso proyecto para la League of Nations,



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en el cual se desarrolla por primera vez un modelo de ecuaciones simult áneaspara una economı́a completa, que permite efectuar estudios sobre teoŕıas al-ternativas de los ciclos econ ómicos y estimar las principales elasticidades .Previamente, Tinbergen (1937) hab́ıa planteado y estimado un modelo de 22

ecuaciones aplicado a la econoḿıa holandesa, abordando el problema de laidenticaci ón. Ambos estudios abrieron un nuevo campo en la investigacióneconométrica de gran desarrollo en las siguientes décadas 16.

Haavelmo (1944) propone adoptar el enfoque probabiĺıstico como funda-mentaci ón metodológica de la Econometŕıa. En este sentido, argumenta quepara la aplicación del enfoque probabiĺıstico a los datos econ´ omicos es nece-sario considerar las observaciones disponibles como una muestra fruto de larealizaci ón de un hipotético proceso generador de datos. De este modo, al ca-racterizar dicho proceso mediante una determinada funci´ on de probabilidad,resulta posible abordar la contrastaci´ on de hipótesis o realizar inferencia es-tad́ıstica, sobre la base de la ley de probabilidad postulada a priori. Siendoel resultado pr áctico más importante del planteamiento de Trygve Haavelmo:el enfoque probabiĺıstico proporciona una estructura que permite abordar lacontrastación de las teorı́as econ ómicas, marcando un cambio sustancial en lainvestigaci ón econométrica(Morgan).

El más inmediato y, posiblemente, el más importante efecto de los trabajosde Tinbergen y Haavelmo es su inuencia en el programa de investigación dela Cowles Commission. Jacob Marschak, entonces director de esta fundaci´ on,decide dedicar todos los recursos de la Cowles al estudio y desarrollo de losmodelos de ecuaciones simult áneas, adoptando el enfoque probabiĺıstico.

En śıntesis, el programa de investigaci´ on que la Cowles Commission de-ende es una aproximaci ón cient́ıca a la Economı́a, a partir del desarrollo delenfoque probabiĺıstico y los modelos estructurales 17. Este método, conocidocomo “método de la Cowles”, constituye un procedimiento para ofrecer ex-plicaciones causales de los fenómenos económicos. Desde este punto de vista,la Econometrı́a consistirı́a en el estudio estad́ıstico de las teorı́as econ´ omicas,que plantean las relaciones fundamentales que se establecen entre los diferentesagentes en un sistema econ ómico. Dicho estudio, según argumenta Koopmans

(1947), carece de sentido sin la especicación y estimación de un modelo es-tructural adecuado, que permita analizar y controlar la Economı́a.

Ahora bien, la Segunda Guerra Mundial produce un cambio en los intere-ses a corto plazo de la Cowles Commission, que interrumpe temporalmente suprograma de investigaci ón a largo plazo y destina sus esfuerzos, junto con el

16 ver Epstein, 198717 ver Malinvaud, 1988



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National Bureau of Economic Research (NBER), al estudio te´ orico y empı́ricode un sistema ecaz de control de precios y salarios.

1.3.4. Etapa de desarrollo de la Econometŕıa moderna(1945-1975)

La propuesta de Haavelmo (1944) marca el nal del periodo de aporta-ciones básicas en Econometŕıa y el inicio de su etapa de madurez, que se ex-tiende hasta aproximadamente la primera crisis del petr´ oleo(1973). Esta etapade desarrollo de la Econometŕıa moderna se caracteriza por la profundizaci´ onteórica en los métodos necesarios para solventar algunos de los principales pro-blemas econométricos, como la identicación y estimación de los modelos deecuaciones simult áneas, la multicolinealidad y las perturbaciones no esféricas.

Además de esto, proliferó la investigación aplicada, resultado de la conuenciade varios factores, como la disponibilidad de series temporales relativas a lasmagnitudes de la Contabilidad Nacional, el desarrollo de la inform´ atica y laaceptaci ón generalizada de la teoŕıa keynesiana.

En las dos primeras décadas de esta etapa de la Econometŕıa, los econ´ ome-tras centraron sus esfuerzos en profundizar en los aspectos teóricos y meto-dológicos de esta disciplina, con respecto a los métodos matemáticos e inferen-cia estad́ıstica. En estos a˜ nos, por tanto, los avances realizados en el campode la Econometŕıa aplicada fueron relativamente escasos. De manera contra-

ria en la década de los sesenta llega la aceptací on general de los modeloseconométricos en la mayoŕıa de los páıses desarrollados y, especialmente, enEstados Unidos. Aśı pues, los desarrollos de la econometrı́a empı́rica en estosaños son numerosos, sus aplicaciones son múltiples y se abre un gran merca-do que abarca tanto el sector público como la empresa privada. Los modeloseconométricos son entendidos como un nuevo instrumento ´ util y válido parala planicación.

El importante desarrollo alcanzado por la Econometŕıa era evidente a prin-cipios de los años setenta. En esta década, se multiplic´ o el número de estudiospublicados de Econometŕıa te´ orica y aplicada, muchos de ellos producto delos alumnos que hab́ıa tenido esta joven disciplina en la década precedente. Adiferencia de la etapa anterior, estos estudios se centraron en los problemas deestimaci ón e inferencia en ecuaciones aisladas, más que en los grandes modelosde ecuaciones simult áneas. Por ejemplo, el modelo de Brookings o el Whar-ton, fue propuesto fundamentalmente para realizar simulaci´ on y predicción,y sufrieron consecuencias producto de la primera crisis del petróleo y el grancambio estructural que se derivó de ella. Si bien en los años setenta se siguieronmanteniendo muchos de los grandes modelos macroecon ómicos existentes y se



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economistas. Esta posibilidad se abre en el contexto microeconométrico, alpoder simular condiciones que a nivel macro seŕıa imposible.

Modelos de micro-macro simulación. En los que se combinan los tradicio-nales modelos macroeconómicos con modelos empresariales, estableciendointerconexiones entre ellos al objeto de determinar las repercusiones queproducen en el mundo micro (empresarial) las decisiones macros y vicever-sa. Asimismo se busca un proceso de convergencia con una solución únicapara el bloque macroeconómico y los modelos de empresa.

Tras el fracaso de los grandes modelos macroeconométricos como instru-mentos útiles de predicci ón en este periodo de rápidos cambios económicos,surgen como alternativas diversas técnicas especializadas de an´ alisis de se-ries temporales, entre las que cabe destacar el an´alisis espectral, los modelosBox-Jenkins (ARIMA), la metodologı́a de vectores autorregresivos (VAR) y lacointegraci ón 18.

Finalmente, la Econometŕıa ha protagonizado un enorme progreso, tantodesde el punto de vista te órico como emṕırico. Este importante progreso hafavorecido el desarrollo de distintos enfoques metodol ógicos, especialmente enlas últimas dos décadas, que han permitido avanzar en nuevas ĺıneas de la in-vestigaci ón econométrica y, por tanto, ampliar nuestro conocimiento sobre losfenómenos económicos.

18 ver Granger y Newbold, 1974



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Sesi ón 2Repaso Algebraico

2.1. Algebra de MatricesUna matriz Am × n , es un arreglo rectangular de m × n elementos dis-

puestos en m las y n columnas. Dichos elementos se denotan por Aik coni = 1 , 2 , . . . , m ; j = 1 , 2 , . . . , n. El primer ı́ndice denota la la y elsegundo la columna de la matriz A.

Am × n = [a ij ] = [Am × n ]ij

2.1.1. Tipos de Matrices CuadradaUna matriz es cuadrada si m = n. En este caso A es una matriz cuadrada

de orden n. Ann = [a ij ]

SimEtricaSea la matriz cuadrada Ann = [a ij ] Ann = [a ij ], A es simEtrica si, y solosi, A = A

Ann aij = a ji

DiagonalLa matriz cuadrada Ann = [a ij ] es:

DIAGONAL aij = 0 , i = j y i , aij = 0 , 1 ≤ i ≤ n

EscalarLa matriz diagonal Ann es ESCALAR, si sus elementos son iguales

Diagonal aii = a

IdentidadLa matriz Ann es la matriz IDENTIDAD: Ann es Escalar a = 1

21


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22 2. Repaso Algebraico

TriangularLa matriz cuadrada Ann es :

Ann T.superior aij = 0 i > j

T.inferior aij = 0 i < j

IdempotenteLa matriz cuadrada Ann = [a ij ] es idempotente A2 = A

2.1.2. Operaciones con matrices IgualdadLas matrices Amn = [a ij ] Bmn = [bij ] son iguales aij = bij

i , j ; 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n

TranspuestaSean las matrices Amn = [a ij ] y Bnm = [bij ]. Diremos que B es laTRANSPUESTA de A bij = a ji 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n , i , jy denotamos B = A

Si A = A (A ) = A A es una matriz simEtrica

Suma

Amn + Bmn = C mn aij + bij = cij , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n

A + 0 = AA + B = B + A

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C( A + B )’ = A’ + B’

MultiplicaciOnEl producto de Amn = [a ij ] por Bnp = [bij ] se dene del siguiente modo:

Amn Bnp = C mp = [cij ] / c ij =n

1

a ik bkj , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ p

Sean Amn , Bnp , C pm tr (ABC ) = tr (CBA ) = tr (BCA)Donde la traza (tr) de una matriz cuadrada es la suma de los elementosde su diagonal principal.

Producto interno

a1n , bn 1 ab = a1b1 + a2b2 + . . . + an bn =n

1

a ibi



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2.1.4. Relací on entre matrices y sumatorias

( x x ) =N

1

xixi

i =

11...1

N

1

x i = x1 + x2 + xN = i x x =

x1x2...

xN

N

1

a = na

N

1

x i = i x = i ai = ai i = an

i i = n

i i =1 . . . 1... . . .

...1 . . . 1

i xn =

N 1 xin = x i x = nx

EJEMPLO:

c11 c12 . . . c1nc21 c22 . . . c2n...

... . . . ...

cn 1 cn 2 . . . cnn

=

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

... . . . ...

an 1 an 2 . . . ann

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

... .. . ...

bn 1 bn 2 . . . bnn

c11c22

...cnn

= b12

a11a21

...an 1

+ . . . + bn2

a1na2n

...ann

c11 c12c21 c22

= a11 a12a21 a22b11 b12b21 b22

= a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

c11c21

= b11a11a21

+ b21a12a22



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2.1. Algebra de Matrices 25

c21 c22 = a21 b11 b21 + a22 b12 b22

n

1 X i = i X N

1

X iY i

X X = [X X ]ik

X X =N

1

X iX i ; n = N ofilas

Donde X i es la fila i − esima de X =

x11x12

...x1k

X = x11 x12x21 x22 X 1 =

x11x12

, X 2 =x21x22

X X = x11 x21x12 x22x11 x12x21 x22

= x211 + x221 x11x12 + x21x22

x12x11 + x22x21 x212 + x222

2

1

X iX i = X 1X 1 + X 2X 2x11x12

x11 x12 +x21x22

x21 x22

x211 x11x12x21x11 x212

+ x221 x21x22

x22x21 x222

x211 + x221 x11x12 + x21x22x12x11 + x22x21 x212 + x222

2.1.5. Matriz de desv́ıos

M 0X = X

M 0A = A

Donde M 0 es la matriz que desv́ıa la informaci´on del vector X o de la matrizA respecto de su media.



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M 0X = M 0x1x2...

xk

=

x1 − xx2 − x

...

xk − x

M 0n× n An× k = M 0 a1 a2 . . . ak = a1 − a1 a2 − a2 . . . ak − ak

M 0 = I − 1n ii

M 02× 2 =1 00 1 −

1n

1 11 1 =

1 − 1n −1n

− 1n 1 − 1n

( n = 2 ) =1 − 12 −

12

− 12 1 − 12...

M 0n × n =

1 − 1n −1n . . . −

1n

− 1n 1 − 1n... . . .

...− 1n . . . 1 −

1n

x1x2...

xn

=

x1 − x inx2 − x in...xn − x in

=

x1 − xx2 − x

...xk − x

1. Propiedades

M 0i = 0Prueba

M 0i = ( I − 1n

ii )i = i − 1n

ii i = i − in

n = i − i = 0n × 1n1 (xi − x) = i M 0X

M 0 es Simétrica e IdempotentePrueba

- Simétrica ( M 0) = M 0

(M 0) = ( I − ii

n ) = I −

(ii )n

= I − ii

n = M 0

- Idempotente M 0M 0 = M 0

(M 0)(M 0) = ( I −iin

)(I −iin

) = I −iin

−iin

+ii ii

n = I −

iin

−iin

+iin

= M 0



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n1 (xi − x)2 =

n1 x

2i − nx2 = ( M 0X ) (M 0X ) = X M 0X

2.1.6. Geometŕıa de matrices

Espacio vectorial:Conjunto cerrado de vectores denido por:(i) Multiplicaci ón por un escalar (si se multiplica por un escalar, el re-sultado pertenece al conjunto)(ii) Aditividad (si se suman los vectores, el resultado pertenece al conjunto)

Figura 2.1: Espacio vectorial

Vectores baseConjunto de vectores de un espacio vectorial, que a través de la multipli-cación por un escalar y adición, es posible generar otro vector del mismoespacio vectorial.

EJEMPLO:

−→a = 10 , −→

b = 01 ;a , b 2 c = 2−→a +

−→b = 21 ; c

2

Figura 2.2: Vectores base

Considerando a los vectores a,b,c como un sistema de ecuaciones:



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a1a2

, b1b2 , c1c2

c1c2 =

α 1a1α 1a2 +

α 2b1α 2b2 = α1

a1a2 + α2

b1b2

! αi = 0 α1 = a2c1 − b1c2a1b2 − b1a2

, α2 = a1c2 − b1c2a1b2 − b1a2

a1b2 − b1a2 = 0

a1b2 = b1a2a1a2

= b1b2

Vectores linealmente dependientesUn conjunto de vectores es linealmente dependiente si cualquiera de susvectores puede ser escrito como combinaci ón lineal de los demás:

c1c2

= α1a1a2

+ α2b1b2

si a, b son tal que a1a2

= b1b2

a1a2

, b1b2 , c1c2

son L.D

EJEMPLO:

X n × n i x1 x2 . . . xn

α 1i + α1x1 + . . . + αn xn = 0 no puede ocurrir

Un grupo de vectores es LI (Linelamente Independiente) si la soluci´onde alpha 1a1 + α2x2 + . . . + αn xn = 0 es:

α1 = α2 = . . . = αn = 0 unica y trivial

Base de un espacio vectorialVa a etar determinado por un conjunto de vectores L.I. Si k vectores sonbase de un espacio vectorial de dimensi ón k, si se le agrega un vectormás, los k + 1 vectores ser án linealmente dependientes.

Sub espacio vectorial



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Figura 2.3: Sub espacio vectorial

Vectores generadoresSea E un conjunto de vectores e1, e2, . . . , en . El conjunto de todas las

combinaciones lineales de e1, e2, . . . , e n se denomina espacio vectorial ge-nerado por E (“spaned space”)

Sub espacio

a =a1a20

, b =b1b20

3 c =c1c20

3

Espacio F, donde F es un plano (sub espacio en 3), F no es 2 dado que2 es un espacio generado por 2 vectores base 2 no es un subespacio de3

Las dimensiones se asocian a las coordenadas.Si F a un espacio de 3 dimensiones pero se sabe que existe unadimensión igual a cero F solo tiene 2 dimensiones.

2.1.7. Rango de una matriz

El espacio columna de una matriz es el espacio generado por las columnasL.I de la matriz.La dimensión del espacio vectorial es el N o de columnas L.I

EJEMPLO:

A =1 5 22 6 87 1 8

R(A) = 2 como mAximo



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B =

1 2 35 4 56 1 53 1 4

R (B ) = 3 como mAximo

1563

= α

2411

+ β

3554

α , β = 0 que sean soluciOn

Rango de lasEl espacio generado por el rango las es el mismo generado por el rangocolumnas.

Rango corto

Rang (An × n ) = n < n

Resultados

Rang (AB ) = min {Rang (A) , Rang (B)}

Corolario

Am × n , Bn × n , Rang (B) = n

Rang (AB ) = Rang (A)EJEMPLO:

AB = C a11 a12a21 a22

, b11b12 = c11c12

a11 a12a21 a22

, b11 b12b12 b22 = c11 c12c12 c22

a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b21 + a22b22 a21b12 + a22b22 = c11 c12c12 c22

b11a11a21

+ b21a12a22

b12a11a21

+ b22a12a22

= c11 c12c12 c22Donde cada columna de C es combinaci ón lineal de las columnas de A

Si b11b21 =

12

b12b22



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La segunda columna de C es un multiplo de la primera columna de C

Rang (A) = 2 Rang (B) = 1 Rang (AB) = Rang (C ) = 1

Rang (A) = Rang (A A) = Rang (AA )

EJEMPLO 1: Y = Xβ + µEJEMPLO 2: Trampa de dummys

Rang (X 4× 3) = 3 < 3

N 0 de columnas X no tiene rango completo por columnas.

Propiedades de rango

Rang (An × k) = Rang (An × k) ≤ { n, k } Rang (AB ) ≤ min {Rang (A), Rang (B)}Rang (An × k) = Rang (Ak× n ) = Rang (Ak× n A) = Rang (An × n A ) Si k < n ,A es de dimensión k

EJEMPLO: Modelo de Regresi ón Lineal

Rang (X n × k) = k

Donde X tiene rango completo por columnas

Rang (X X ) = k

2.1.8. Determinante NotaciónSea An × n | A|, det (A)

Proposición

det(A) = 0 si la matriz tiene rango completo Menor de una matrizSea An × n = [a ij ]Denamos la matriz Aij como la matriz que se obtiene al eliminar la la i,columna j de la matriz original

Aij = menori, j



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Figura 2.4: Menor de una matriz

CofactorSea An × n , el cofactor (i,j) de A será igual a cij

cij = ( − 1)(i+ j ) |Aij |

donde Aij = menori, jEl determinante de An × n se puede obtener usando una expresiOn del cofac-tor, la-columna

|A| =n

1

a ij (− 1)(i+ j ) |Aij | =n

1

a ij cij

|A| =n

1

a ij (− 1)(i+ j ) |Aij | =n

1

a ij cij

EJEMPLO: A =1 2 00 1 11 0 1

menor(1 , 1 ) = 1 = | 1 10 1 |, cof(1, 1) = ( − 1)(1+1) menor(1 , 1)

menor(1 , 2) = − 1 = | 0 11 1 | , cof(1, 2) = ( − 1)(1+2) menor(1 , 2)

menor(1 , 3) = − 1 = | 0 11 0 | , cof(1, 3) = ( − 1)(1+3) menor(1 , 3)

|A| =n

j =1

a ij cof (i + j )

|A3× 3| + ai1cof (i + 1) + ai2cof (i + 2) + ai3cof (i + 3)

Propiedades

a ) Matriz Diagonal |Dn × n | = n1 aij



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b ) Sea Bn × n , |A| = 0 , c R|CB | = C n |B |

c ) Sea An × n , Bn × n |AB | = |A|| B |d ) |A| = |A |

AplicaciOn MCOExpresar un vector yn como combinaciOn lineal de vectores de la matrizX n × k

a ) y col(X n × k)donde col(X n × k)es el espacio generado por las columnas de X, dondecada columna tiene n componentes.La dimensión de un espacio = N 0 col LI = N 0 vectores LI = k

Es posible encontrar un b : y = Xbb ) Si y / col(X n × k)

y = Xb+e

112

=6 1 2

− 1 − 1 30 0 0

b1b2b3

+1

− 12

X e = 0

Figura 2.5:

2.1.9. Sistema de Ecuaciones Lineales

An × k Bk× 1 = 0n × 1

a11 a12 . . . a1ka21 a22 . . . a2k...

... . . . ...

an 1 an 2 . . . ank

x1x2...

xk

=

00...0

¿En qué casos existe soluci ón no trivial para estas ecuaciones?



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!X = 0 cuando Rang (A) < k A no tiene rango completo por columnasEJEMPLO:

1.A = [1] AX = 0 A tiene rango completo

X = [x] X = 0 X = 0 y la solucion es trivial

2.A = [1, 2] X = x1x2

Rang (A) = 1 < 2 = k

AX = 0

x1 + 2x2 = 0

X tiene innitas soluciones a parte la trivial.3.

A = 1 11 − 1x1x2

:= 00 Rang (A) = 2 < < 2 = k

x1 + x2 = 0

x1 − x2 = 0

Lo que serIa imposible a menos que (x1, x1) = (0 , 0)

An × n X n × 1 = bn × 1

Tipos de Sistemas de Ecuaciones

1. Homogéneas AX = 0

2. No Homogéneas AX = b , b = 0

Sistemas de Ecuaciones Homogéneas

An × n X n × 1 = 0

Para que exista soluci ón (x = 0) el Rang (A) < nSi existe una solución, entonces es posible escribir una columna comocombinación lineal de los otros

a1 a2 . . . an x1 x2 . . . xn = 0

a1x1 + a2x2 + . . . + an xn = 0

ak = 1xk

(a1x1 + a2x2 + . . . + an xn )



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SiRang (An × n ) < n | A| = 0

Sistemas de Ecuaciones no Homogéneas

An × n X n × 1 = bn × 1 b = 0

Si (x = 0) es solución, b es escogido arbitrariamente a partir de unacombinacion lineal de las columnas de A.

¿Cual es la solución de A que asegura que se tiene solución? Dado quebn × 1 ,

X = 0 existe si las columnas de A generan todo el espacio n

Si las columnas de A son base de n Si las columnas de A son L.I

| A| = 0

2.1.10. Inversa de una matrizDenición: Sea Anxn . La inversa de A es una matriz Bnxn

BA = I n = B = A− 1

Si,BA = I

AB = I

= B = A− 1

Tenemos: Si A− 1A = I = AA− 1 = I ,Demostracion: AA− 1 = I = AA− 1A = AI

AA− 1A = IA = A

AA− 1AA− 1 = AA− 1 = I

AA− 1 = I

Si la inversa existe, es Ãonica:Por contradiccin asumamos que A tiene 2 inversas B y C.

= CAB = CAB



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(CA)B = CAB

IB = C (AB)

B = CI

B = C

Por lo tanto, AX = b = A− 1AX = A− 1b = X = A− 1b

Calculo de la inversa:A = a11 a12a21 a22

A− 1 = 1|A|

a11 − a12− a21 a22

Si A es singular |A| = 0 = A− 1 no existe.

Forma general:

Sea Anxn = [a ixj ]

A− 1 = [a ixj ] , aixj = C ji|A|

, C ji = ( − 1) j + i |A ji |

A− 1 = 1|A|

(matriz C ) = 1|A|

Adjunta (A)

Caso particular:

D =

α1 0 . . . 00 α2 . . . 0...

... . . . ...

0 0 . . . αn

D − 1 =

1α 1 0 . . . 00 1α 2 . . . 0...

... . . . ...

0 0 . . . 1

α n

Propiedades:

|A− 1| = 1|A| (A− 1)− 1 = A

(A− 1) = ( A )− 1

Si A es simetrica (A = A), entonces A− 1 es simetrica.



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Si |A| = 0 , |B | = 0 , |A| = 0 entonces:

(AB )− 1 = B − 1A− 1

(ABC )− 1 = C − 1B − 1A− 1

EJEMPLO:

Condicion de primer orden del problema MCO.

Min (y − xb) (y − xb)x y = ( x x)b

(x x)− 1(x y) = ( x x)− 1(x x)b

b = ( x x)− 1x y, es unica condicion ya que

(x x)− 1 = 0

| x x| = 0Rang (x x) es completo

Rang (xnxk ) es completo por columna = k

las columnas de x nxk son linealmente independientes.

2.1.11. Matrices ParticionadasSean A M (mxn ), m1, . . . , m r n1, . . . , n s Naturales con

ri=1 m i = m ys

j =1n j = n. La matriz A puede representarse como:

A =A11 · · · A1s· · · · · · · · ·Ar 1 · · · ArsDonde Aij M m ij xn j

Se dice que A está¡ particionada en rs bloques por: (m1, . . . , m r ; n1, . . . , n s )

Suma y Multiplicacion:Las submatrices deben de tener las misma dimensi´on

M = A11 A12A21 A22± B11 B12B21 B22

N = A11 A12A21 A22B11 B12B21 B22

= A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

Donde A11 tiene igual de columnas que de las de B11



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Casos frecuentes:

A1A2 A1 A2 = A1 A2 A1 A2

A1 =

1 21 01 12 3

A1 =1 12 0 1 21 3

A11 00 A22

A11 00 A22

= A11 00 A22A11 00 A22

= A11A11 00 A22A22

EJEMPLO:y = xβ + µ

y = i x2 x3 . . . xk

β 1β 2β 3...

β k

+ µ

y = iβ 1 + β 2x2 + β 3x3 + . . . + β kxk + µ

y = X 1 X 2

β 1β 2

β 3...

β k1β k1 +1

...β k

+ µ



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y = X 1 X 2B1B2

+ µ

Donde: X 1 es de orden k1 , X 2 es de orden k − k1

Determinantes de matrices:

A11 00 A22

= |A11 || A22 |

A11 A12A21 A22

= |A22 || A11 − A12A− 122 A21 |

= |A11 || A22 − A21A− 111 A12 |

Inversa:

A11 A12A21 A22

− 1

= A11(I + A12F 2A21A− 111 ) A

− 111 A12F 2

− F 2A21A− 111 F 2

Donde: F 2 = ( A22 − A21A− 111 A12)− 1

EJEMPLO: Desviacion respecto a la media.

Y i = β 1 + β 2X i + µ , donde i = 1, · · · n

y1y2...

yn

=

1 x11 x2... ...1 xn

β 1β 2 +

µ1µ2...

µn

y = i x β 1β 2+ µ

β̂ 1β̂ 2

= ( X X )− 1X y = [i x] [i x] − 1 i x y



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β̂ 1β̂ 2

= ix

− 1

i x− 1

ix y

β̂ 1β̂ 2 =

i i i xx i x x

− 1 i i i xx i x x

− 1 i yx y

Si me interesa encontrar solo β̂ 2

β̂ 2 = F 2 = ( A22 − A21A− 111 A12)− 1

F 2 = ( x x − x i(i i)− 1i x)− 1

F 2 = ( x x − x i1n

i x)− 1

F 2 = x (I − ii

n )x

− 1

F 2 = ( x M 0x)− 1

β̂ 2 = ( x M 0x)− 1x y= ( x M 0 M 0x)− 1x y

=x y

(x i − x)2

2.1.12. Producto KroneckerSe llama producto de Kronecker, denotado con , a una operacion sobre

dos matrices de tamano arbitrario que da como resultado una matriz bloque.Sea Anxn y B pxq entonces el producto de Kronecker A B es la matriz

bloque mp × nq

A B =

a11B a12B . . . a1m B... a22B . . .

......

... .. . ...

an 1B an2B . . . a nm B nxmPropiedades:

(A B)− 1 = A− 1 B − 1

Sea Amxm , Bnxn matrices | A B | = |A|n |B |m

(A B) = A B T r (A B) = T r(A)T r(B) (A B)(C D) = AC BD



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2.1.13. Raices y vectores caracteŕısticosSea el sistema de ecuaciones: Ac = λc. Si !c = 0 tal que Ac = λc para

algun λ λ es raı́z caracteristica o valor propio y c, vector caracteristico.

solución: λ1 cnx 1 normalizar c c = 1 equivalente a (ci

2)1/ 2 = 1 : norma euclideana. necesitamos (n − 1) vectores c

Ecuacion caracteristica:

Ac = λc

(A − λI )c = 0, siAc = 0

si |A − λI | , !c = 0 una solución.observaciones:

Las raices no son reales necesariamente.

Si A es simetrica los ceros (λ) son reales.

Los λ s pueden ser iguales.

Vector caracteristico: ( A − λI )c = 0, donde c es único, si c c = 1

Resultados Generales:

A kxk es simetrica, tiene k vectores caracteristicas, sin embargo losλ1, λ 2, . . . , λ k pueden ser iguales.

Los vectores caracteristicos son ortogonales.

sea:ci asociado a λic j asociado a λ j

Entonces:ci c j = 0

Sea:Matriz caracteristica:

c = c1 c2 . . . ck



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Matriz diagonal asociada a A:

Λ =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0

... ... . . . ...0 0 . . . λk

Luego el conjunto de soluciones para Ac = λcDonde

Ac = λc =

Ac1 = λ1c1Ac2 = λ2c2

... = ...

Ack = λkck

A c1 c2 . . . ck = c1 c2 . . . ck

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...

... . . . ...

0 0 . . . λk

Ac1 Ac2 . . . Ack = λ1c1 λ2c2 . . . λkck

Adicionalmente:Se sabe que

ci c j = 0 (por ortogonalidad)ci ci = 1 (norma)

luego:

c c = c1 c2 . . . ck c1 c2 . . . ck =

c1c2...

ck

c1 c2 . . . ck =

c1 c1 00 c2 c2...

...0 0

Teorema:Rango de una matriz simetrica es igual al numero de raices caracteristicas o



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valores propios diferentes de cero.

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0

... ... . . . ...0 0 . . . λk

Teorema:

Rango de una matriz no cuadrada Anxk es igual al λ = 0 que contieneA Akxk

SiRang (Anxk ) = Rang (A A) = k

EJEMPLO: Analisis de Multicolinealidad

Condicion de numero de una matriz:

1 x1 . . . xk

donde x i es combinacion lineal de algun otro vector.(x x)− 1 no existe.|x x| = 0

correlaci ón entre dos columnas:

γ = |(λmax

λmin)|

1/ 2

si |A| = 0 algun λ = 0si ↑ γ λmax >> λ min ≈ 0 | A| ≈ 0 (cuasi multicolineal)En la practica γ > 20 (multicolinealidad).

2.1.14. Diagonalizacion y descomposicion de una ma-triz

Λ = x Ax (diagonalizacion)Ac = cΛc Ac = c cΛ , si A es simetrica y c c = I c Ac = Λ



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Descomposicion Espectral: A = cΛcObservaciones:Si Anxn no es simetrica, entonces:

Λ = c AcA = c Ac− 1

Si Anxn es simetrica, entonces:

Rang (Λnxn ) = Rang (A)

Rang (c Ac) = Rang (A)

Teorema:Rango de una matriz simetrica es igual al numero de raices caracteristicas o

valores propios diferentes de cero.

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...

... . . . ...

0 0 . . . λkTeorema:

El rango de una matriz no cuadrada Anxk es igual al λ = 0 que tiene A Akxk

Si Rang(Anxk ) = Rang( A A) = k

Traza:

Propiedades:

T r (Anxn ) = n1 a ij , Donde A es simetrica.

Tr(CA) = CT r(A).

T r (A ) = T r(A). T r (A + B) = T r(A) + T r(B). T r (± K ) = K . T r (AB) = T r(BA).

T r (ABC ) = T r(BCA) = T r(CAB ). T r (a a) = a a = T r(aa )



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Teorema:

T r(Anxn ) = λ1 + λ2 + . . . + λn

Λ = C AC T r(Λ) = T r(C AC )

T r(Λ) = T r(ACC )

T r(Λ) = T r(A)

T r(Λ) = a ij = xi = T r(Λ)

Determinante:

Sea Anxn simetrica | Anxn | = λ1λ2λ3 . . . λ n

Λ = C AC

|Λ| = |C AC |

|Λ| = |C || A|| C |

|Λ| = |C || C || A|

|Λ| = |C C || A|

|Λ| = |A| = πλ i

De aqui se puede armar que Anxn es singular |A = 0 | al menos unlambda i = 0



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Independencia Lineal:

v1a1 + v2a2 = 0 a1, a2 = 0

Dependencia Lineal:v1a1 + v2a2 = 0

v1 = − a2

a1v2

Caso usual: A es denida positiva.

1. Anxn positiva semidenida | A| = 0, |A| ≥ 0No se cumple lo contrario

Contraejemplo: − 1 00 − 2

donde: λ1 = − 1 , λ2 = − 2 por lo que A seria negativa semidenida.Ademas: |A| = 2 > 0

2. A p.d A− 1 p.dA = cΛc (descomposicion espectral) para λi > 0 i = 1 . . . nA− 1 = cΛ− 1c

3.I = 1 00 1

Donde: λ i = 1, i = 1 . . . nPor lo tanto: I es p.d

4. Sea: Anxk , n > k Rang (Anxk ) = k A A es p.d

AA es p.s.d

Se desea demostrar que x = 0, x A Ax > 0x = 0 x A Ax = ( Ax) Ax = ξ ξ = ξ i

2 > 0x = 0 ξ i

2 = ξ ξ = 0 si ξ = 0ξ = Ax = 0 Rang (Anxk ) = K x A Ax = ξ i

2 > 0 por lo tanto,A A es p.d



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Sesi ón 3Repaso Estad́ıstico

3.1. SumatoriasLa sumatoria o la operaci ón de suma, es un operador matem ático que per-

mite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso innitos sumandos.Se expresa con la letra griega sigma ( Σ ), y se dene como:

n

i= m

xi = xm + xm +1 + xm +2 + · · · + xn

Propiedades:

tn = s C · f (n) = C · tn = s f (n), donde C es una constante.tn = s f (n) ±

tn = s g(n) =

tn = s [f (n) ± g(n)].

X i · Y i = X i · Y i .X 2i = ( X i)2 X =

ni =1 X i f i

n . Donde f i son las frecuencias de cada X i

3.2. Probabilidades y Variables Aleatorias

3.2.1. ProbabilidadesLa probabilidad de un evento es la raz ón entre el número de casos (sucesos)

favorables y el número total de casos posibles. Siempre que todos los casos seanigualmente posibles.

Sea: N (Ω) = n, el numero de elementos del espacio muestral (n úmero totalde sucesos) y N (A) = nA , es el número de elementos del evento A (o número

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52 3. Repaso Estad́ıstico

de sucesos favorables); la probabilidad del evento A, denotado por “ P [A]” esla razón de N(A) a N(Ω), o sea:

P [A] = N (A)

N (Ω) =

n(A)

n =

numero de casos favorables

numero de casos posiblesAxiomas

0 ≤ P (A) ≤ 1 (la probabilidad de un evento cualquiera A est´a com-prendido entre 0 y 1.

P (Ω) = 1 Si A1, A2, A3, . . . es una secuencia numerable de eventos mutuamenteexcluyentes denidos en Ω , entonces P [A1 A2 A3 . . .] = P [A1] +P [B1] + . . .

Propiedades

si φ es el evento imposible, entonces P[φ] = 0 Para cada evento A, se cumple que: P (Ac) = 1 − P (A) Si A B entonces P(A) ≤ P(B) P(A B)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B) P(A B C )= P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(C

∩ B) + P(A ∩ B ∩ C)Probabilidad condicional

Sea A y B dos eventos en un espacio muestral Ω. La probabilidad condi-cional de B dado A es el número P(B/A) que se dene por:

si P (A) > 0

P (B/A ) = P (A ∩ B)

P (A)

NOTAS:

Si P (A) = 0, se dene P (B/A ) = 0 Observe que (A ∩ B) A luego, cada vez que se calcula P (B/A )estamos realmente calculando P(B) con respecto al espacio muestralreducido A. Por esto, P(B/A) se interpreta tambíen como la actuali-zacion de P(B) cuando el evento A ha ocurrido.



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3.2. Probabilidades y Variables Aleatorias 53

En particular si A y B son dos eventos de un espacio muestral nitoequiprobable Ω, la probabilidad condicional de B dado A se calcula por.

si A > 0

P (B/A ) = P (A ∩ B)P (A)

Si (A ∩ B) = , entonces, P (B/A ) = 0 Si (A B), entonces, P(B/A)= P(A/A)=1

Si B A, entonces, P(B/A)= P (B )P (A)

Teorema de Bayes

1. Particion de un espacio muestral.Se dice que la colección de eventos B

1, B

2, B

3, . . . , B

k del espacio

muestral Ω representa una partici´ on del espacio muestral Ω, si cum-ple las siguientes condiciones:(ver graco 3,1)

B i ∩B j , i= j, i, j = 1, 2, 3, . . . , k (Los eventos B1, B 2, B 3, . . ., Bkson mutuamente excluyentes)

ki=1 B i = Ω (Los eventos B1, B 2, B 3, . . ., Bk son colectivamente

exhaustivos) P [B i] ≥ 0, i = 1, 2, 3, . . . , k



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Figura 3.2: Relacion entre el evento A en Ω y la particion de Ω

3. Teorema de BayesSi los eventos B1, B2, B3, . . . , B k forman una partici´on del espaciomuestral Ω y para cualquier evento A de Ω, tal que P (A) > 0 setiene que:

P (Ai /B ) = P (A) x P (B/A i)

P (B) , para cada i = 1, 2, . . . , k

3.2.2. Variables AleatoriasUna variable estadı́stica es una caracteristica (cualitativa o cuantitativa)

que se mide u observa en una poblacion. si la poblaci ón es aleatoria y la ca-racteŕıstica es cuantitativa, entonces, la variable estad́ıstica es denominada

variable aleatoria. Por lo tanto, la variable aleatoria es un concepto particulardel concepto general que es la variable esdı́stica. Finalmente la variable alea-toria es una variable estadı́stica cuantitativa denida en un espacio muestralΩ.

Clasicacion:Las variables aleatorias son variables cuantitativas, por lo tanto, se clasi-

can en discretas y continuas.

Variable aleatoria discreta

La variable aleatoria discreta es aquella entre cuyos valores posibles no

admite otros. Su rango es un conjunto nito o innito numerable devalores. Si la variable aleatoria X es discreta, su rango se expresar´a engeneral por:

Rx = {x1, x2, x3, . . . , x k , . . .}

1. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.



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Sea X una variable aleatoria discreta. Se denomina funci´ on de pro-babilidad de x a la funci ón f(x) denidia por f (x) = P [X = x] entodo x número real y que satisface las siguientes condiciones:

i) f(x) ≥ 0 xii) x i x f (xi) = 1

La condicion ii) se desarrolla como:

k

i=1

f (x i) = 1 , cuando R x = {x1, x2, x3, . . . , x k} es finito.

∞

i=1

f (xi) = 1 , cuando R x = {x1, x2, x3, . . . , e t c } es finito

NOTAS:

Si A Rx , entonces, la probabilidad de A es el número:

P (A) =x i A

P [X = xi] =x i A

f (x i)

La función de probabilidad de una variable aleatoria X se repre-

senta usualmente en una tabla(ver graco ). Tambien se repre-senta gr ácamente, esta graca consiste de segmentos verticalescontinuos o punteados de longitud proporcional a la probabilidadrespectiva en cada valor xi de la variable (ver graco ).



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Figura 3.3: Representacion tabular de la distribuci´ on de probabilidad



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2. Función de distribuci ón de una variable aleatoria discreta.

La función de distribuci ón es llamanda tambien funci´on de distri-bución acumulativa ya que se consideran eventos de la forma:

[X ≤ x] y su probabilidad inducida P [X ≤ x]

La función de distribuci ón acumulativa de probabilidades de la va-riable aleatoria discreta X, cuya funci´on de probabilidad de f(x), sedene en todos los números reales por:

F (x) = P [X ≤ x] =k≤ x

P [X = k] =k≤ x

f (k),para − ∞ < x < ∞ .

EJEMPLO:

Sea x la variable aleatoria que se dene como el número de caras obtenidasal lanzar un moneda 4 veces.a) Obtenga y gr áque la función de distribucion acumulativa F(x).b) Aplicando la funci ón F(x), calcule la probabilidad P [0 < X < 2].

Solución:

a)La districi ón de probabilidades de la variable aleatoria X se resume en lasiguiente tabla:



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La gráca de esta funci ón de distribuci ón acumulativa es la gura( ), quedescribe una forma de escalera con “saltos” en los valores de x=0,1,2,3,4 (Ojivadiscreta).



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3.3. Variables aleatorias 61

b) P [0 < X ≤ 2] = P [X ≤ 2] − P [x ≤ 0] = F (2) − F (0) = 11 / 16 − 1/ 6 =10/ 16.

3.3. Variables aleatorias Variable aleatoria continuaSi el rango Rx , de una varable aleatoria X es un intervalo sobre la recta



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de los nUmeros reales, se llama variable aleatoria continua .

a ) FunciOn de densidad de probabilidad.Sea X una variable aleatoria continua con rango Rx , donde la ma-sa total de la probabilidad estA repartida de modo continuo sobreun intervalo de la recta real. La funciOn de densidad de pro-babilidad asociado a la variable aleatoria , es una funciOn f (x)integrable que satisface las siguientes condiciones:1. f (x) ≥ 0 : x ( o f (x) > 0 : , x Rx2. R x f (x)dx = 1 ( o

+ ∞−∞ f (x)dx)

b ) FunciOn de distribuciOn.Sea X una variable aleatoria continua con funciOn de densidad f (x).La funciOn de distribuciOn (o funciOn de distribuciOn acu-

mulada) de la variable aleatoria X, denotado por “ F (x) , se denepor:F (x) = P [X ≤ x] =

x−∞ dF (x) =

x−∞ f (x)dx , x ,

donde dF (x) = f (x)dx

Momentos poblacionales con respecto al origenLos momentos de orden 1, 2, ... con respecto al origen se denen por:µr = E (X r ) =

+ ∞−∞ x

r dF (x) =

x R x xri p(x) (si X es v.a discreta)

+ ∞

−∞ xr f (x)dx (si X es v.a continua)

Esperanza matemAticaLa esperanza matemAtica de X, es el momento poblacional con respectoal origen de orden 1, se llama tambiEn, media de la variable aleatoria ,y suele denotarse por µ

µ = E (x)

Sea X una v.aleatoria e Y = H (X ) una funciOn de X. El valor esperadode la funciOn H(X), denotado por “ E [H (x)] , se dene por:

x R xH (x) p(x) (si X es discreta)

+ ∞

−∞ H (x)f (x)dx (si X es v.a continua)

PropiedadesSi X es una v.aleatoria, a y b constantes:

a ) E (a) = ab ) E [aH (X )] = aE [H (X )] = aµc ) E [aH (x) + b] = aE [H (x)] + b = aµ + b



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d ) E [aH (x) + bG(x)] = aE [H (x)] + bE [G(x)]

Momentos poblacionales con respecto a la mediaAl existir la esperanza matemAtica se una v.a, pueden denirse asimismomomentos con respecto a dicha esperanza por medio de:m r = E [(x − µr )] =

x R x (x i − µ)r p(x) (si X es v.a discreta)

+ ∞

−∞ (x − µ)r f (x)dx (si X es v.a continua)

El momento m1 es igual a cero para toda v. aleatoria: m1 = E [(x −µ)] E (x) − µ = 0

Varianza y desviaciOn de una variable aleatoriaLa varianza de X, es el momento poblacional con respecto a la media deorden 2, suele denotarse por V ar(x) o σ2

V ar(x) = σ2 = E [(x − µ)2]

x R x (xi − µ)2 p(x) (si X es v.a discreta)

+ ∞

−∞ (x − µ)2f (x)dx (si X es v.a continua)

La desviaciOn tIpica σ se dene como la raIz cuadrada, con signo posi-tivo, de la varianza de la variable aleatoria.

Propiedades de la varianzaSi X es una v.aleatoria con media µ, a y b constantes:

a ) V ar(a) = 0b ) V ar(X ) = σ2 = E (X 2) − [E (X )]2 = E (X 2) − µ

DemostraciOn:

V ar(X ) = E [(X − µ)2]

= E (X 2 − 2Xµ + µ2)= E (X 2) − 2µE (X ) + µ2)

= E (X 2) − µ2 , (E (X ) = µ)c ) V ar(aX ) = a2V ar(X )d ) V ar(aX + b) = a2V ar(X )

DemostraciOn:V ar(aX + b) = E [(aX + b)2] − [E (aX + b)]2

= E ([a2X 2 + 2 abX + b2])= a2E (X 2) + 2 abE (X ) + b2 − [a2[E (X )2 + 2 abE (X ) + b2]

= a2[E (X 2) − [E (X )]2]= a2V ar(X )



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AsimetrIa y curtosis

AsimetrIaSe llama asimetrIa o sesgo de una variable aleatoria X a la relaciOn:

S k = E [(X − µ)3]

σ3 =

µ3σ3

La medida S k es positiva, negativa o cero. Si:S k > 0 la distribuciOn estA sesgada a la derecha (asimetrIapositiva)S k < 0 la distribuciOn estA sesgada a la izquierda (asimetrIanegativa)S k = 0 la distribuciOn es simEtrica con respecto a la media.

CurtosisSe llama curtosis o coeciente de curtosis de una variable aleatoriaX a la relaciOn:

C k = E [(X − µ)4]

σ4 =

µ4σ4

Desigualdad de ChebyshevSi la variable aleatoria X tiene esperanza matemAtica µ y varianza σ2nitas, es decir existen:

P [|X − µ| ≥ kσ] ≤ 1k2

, k > 1

Variables aleatorias bidimensionalesSi Ω es el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio , y Xe Y dos funciones, que asigna un nUmero real x = X (ω), y = Y (ω)a cada uno de los elementos ω Ω; el par (X,Y) se llama variablealeatoria bidimensional o vector bidimensional.

a ) Variable aleatoria bidimensional discretaSi los posibles valores de (X,Y) son nitas o innito numerable,entonces (X,Y) se llama variable aleatoria bidimensional dis-creta . Es decir, los posibles valores de (X,Y) se puede representarpor,(x i , yi), i = 1, 2, . . . , n ; j = 1, 2, . . . , m con rango RX × Y . A cadaposible resultado (x,y) de (X,Y), se le asocia un nUmero,

p(x, y) = P [X = x, Y = y]



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llamado funciOn de probabilidad conjunta , que cumple las si-guientes condiciones,

* p(x, y) ≥ 0 (x, y)

* (x,y ) R X × Y p(x, y) = 0Los valores [(x, y), p(x, y)] para todo ( x, y) RX × Y , se denominadistribuciOn de probabilidad conjunta .La funciOn de distribuciOn acumulada de la variable aleatoria bi-dimensional estA denida por,

F (x, y) = P [X ≤ = x, Y ≤ = y] =x

u= −∞

y

v= −∞

p(u, v)

La funciOn de probabilidad individual para X e Y se llaman distri-buciones de probabilidad marginal o funciones de probabi-lidad marginal .

La DistribuciOn Marginal para X , estA dado por,

pX (x) = P [X = x] =y R Y |X = x

P [X = x, Y = y] =y R y |X = x

p(x, y)

donde y Ry |X = x es el rango de valores para Y, dado que X = x.

La DistribuciOn Marginal para y , estA dado por,

pY (y) = P [Y = y] =y R X |X = x

p(x, y)

b ) Variable aleatoria bidimensional continuaSi los posibles valores de (X,Y) son todos los valores de un conjuntono numerable del plano Euclediano, entonces (X,Y) se denominavariable aleatoria bidimensional continua .

Funcion de densidad de probabilidad condicionalLa relaciOn entre dos variables aleatorias puede verse hallando la distri-buciOn de cada una de ellas, dado por el valor de la otra.Recordando, la probabilidad condicional de A dado B:

P [A|B] = P [A ∩ B]

P [B]

tenemos:



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V.a. discretasa ) FunciOn de densidad de probabilida

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