ASIGNATURA DE LGICO MATEMTICA

SESIN 13

FUNCIONESLINEALES

SEMESTRE 2010-II

FUNCIONES LINEALES

FUNCIN LINEAL

Es una funcin real que tiene por regla de correspondencia:

La grfica de la funcin lineal es una recta inclinada u horizontal, cuya pendiente es y su ordenada en el origen es b.

y x 0 x

Ejemplo 1.

Un mayorista vende azcar. Si realizan un pedido de no ms de 10 Kg. el mayorista cobra S/ 2 por Kg. El Costo total (variable dependiente) est en funcin del nmero de kilogramos , (variable independiente). El modelo matemtico que expresa el costo total de la orden como una funcin de la cantidad de kilogramos ordenados del producto resulta:

Tabulacin:

Nmero de kilogramos (x)011.5310

Costo total C(x) = 2x0 2(1)2(1.5)2(3)2(10)

Grfica:

Dominio:

Como , entonces

Rango:

Como , entonces multiplicando por 2 a ambos miembros de esta desigualdad obtenemos , de donde . Por lo tanto,

Ejemplo 2.

Construye la grfica de la funcin Solucin:

Identificamos la pendiente y la ordenada en el origen: y

xy

-2-1

-11

03

15

27

Tabulamos :

Si

Si

Si

Si

Si

Construimos la grfica de cada uno de los pares ordenados de sta tabla y luego, trazamos la recta que pasa por los puntos obtenidos, tal como se muestra en la figura:

y 7 5 3 1 -2 0 1 2 x

Ejemplo 3

Construye la grfica de la funcin Solucin: Bastar con encontrar dos puntos para graficar la funcin: Interseccin con el eje x:

Hacemos

Interseccin con el eje y:

Hacemos

Tabla numrica:xy

02

10

y (0,2) (1,0) 0 x Grfica:

FUNCIN CONSTANTE

Es una funcin que para cualquier valor real en el dominio, se tiene un mismo valor de la funcin.

Su grfica es una recta paralela al eje x que pasa por el punto

y (0;b) 0 x

Ejemplo.

La temperatura en Cusco se mantuvo constante igual a 3C, desde las 2am hasta las 10am.

Si representamos a como el tiempo transcurrido despus de las 2am () hasta las 10:00am (); la regla de correspondencia sera: . A continuacin determinaremos su grfica, dominio y rango.

Tabulacin:

Tiempo (t)01468

Temperatura y = f(t) = 33 3333

Grfica:

FUNCIN COSTOS, INGRESOS Y GANANCIAExisten problemas que pueden formularse en trminos de funciones lineales, como los siguientes: La funcin de costos totales es:

La funcin de Ingresos es: La funcin de Ganancia es:

En general, es bastante probable que las funciones de costos totales, ingresos y ganancia relacionadas con una compaa no sean lineales (estas funciones las estudiaremos mejor mediante las herramientas del clculo), pero las funciones de costos, ingresos y ganancias lineales s surgen en la prctica.

Por lo general, los costos realizados al operar una empresa se clasifican en dos categoras. Los costos que permanecen ms o menos constantes, cualquiera que sea el nivel de actividad de la compaa, son los costos fijos, por ejemplo pago de renta y sueldo de los ejecutivos. Los costos que varan con la produccin o las ventas son los costos variables. Algunos ejemplos de costos variables son la mano de obra y los gastos en materia prima.

Donde x denota la cantidad de unidades del artculo producidas y vendidas. Las funciones C(x), I(x) y G(x) son funciones lineales de x.

El punto de equilibrio ocurre cuando la ganancia es nula, es decir:

Ejemplo.

Una empresa de panetones, tiene costos fijos por S/. 1 600, costos de produccin de S/. 6 por unidad y un precio de venta unitario de S/. 14. Determina las funciones costos, ingresos y ganancias, luego determina el punto de equilibrio y la grfica de las funciones anteriores.

Solucin:

Sea x el nmero de unidades producidas y vendidas, entonces tenemos:

La funcin de costos totales es:

La funcin de Ingresos es:

La funcin de Ganancia es:

El punto de equilibrio resulta:

Se debe producir y vender 200 panetones para no ganar ni perder, de venderse ms de 200 panetones existira ganancia.

Graficamos las funciones:

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Determina la pendiente de las funciones lineales cuya ecuacin se indica:Universidad Csar Vallejo-Lima Lgico Matemtica a)

11

b)

c)

d)

e)

f)

2. Grafica las siguientes funciones lineales:a)

b)

c)

d)

e)

3. Resuelve:

a) Los puntos (-2;-8) y (0;2) pertenecen a la grafica de una funcin lineal. Determina la pendiente.

b) Cul es el rango de la funcin constante y = 3?

c) Qu pendiente tiene la recta que pasa por (1; 1) y (5; 7)?

4. Un mayorista vende arroz. Si hacen un pedido de no ms de 8kg. el mayorista cobra S/ 3 por kg. Sin embargo, para atraer rdenes mayores, el mayorista cobra slo S/ 2.80 por kg si se ordenan ms de 8kg.

a) Encuentra el modelo matemtico que expresa el costo total de la orden como una funcin de la cantidad de kilogramos ordenados del producto.b) Calcula el costo para dos pedidos: de 7,5kg y 13kg.c) Si el mayorista por un pedido de ms de 8kg cobr S/. 57,60, entonces cuntos kilogramos vendi?

5. Depreciacin lineal.

Un celular tiene un valor original de S/.250 y se deprecia en forma lineal durante 4 aos, con un valor de desecho de S/.30.

a) Cul es la tasa de depreciacin del celular?b) Cul ser el valor contable del celular al final del segundo ao? c) Grafica la funcin de valor contable del celular.

6. Funciones de costos, ingresos y ganancias. Una compaa tiene gastos fijos de $ 20 000 y un costo de produccin de $ 6 por cada artculo que fabrica. Cada artculo se vende a $10.

a) Determina la funcin de costos, de ingresos y de ganancias.b) Determina el punto de equilibrio.c) Grafica la funcin de costos, de ingresos y de ganancias.d) Calcula la ganancia (o prdida) correspondiente a niveles de produccin de 6 000, 8 000 y 12 000 unidades, respectivamente.

7. Cuidado de la salud de adultos mayores.

De acuerdo con un estudio, el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud, (como porcentaje de sus ingresos), donde t se mide en aos y corresponde a 1997, est dado por:

a) Traza la grfica de .b)Cunto fue (ser) el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud en 2002? En 2006? En 2010?

8. Anlisis de decisiones. Un producto se puede fabricar con la mquina I o la mquina II. El fabricante estima que los costos fijos mensuales por el uso de la maquina I son de $18 000 y de $15 000 con la maquina II. Los costos variables de fabricacin de una unidad del producto utilizando la mquina I y la mquina II son de $15 y $20, respectivamente. El producto de vende a $50 cada uno.

a) Determina la funcin de costos, de ingresos y de ganancias, asociados con el uso de cada mquina.b) Determina el punto de equilibrio.c) Grafica la funcin de costos, de ingresos y de ganancias, para cada mquina.d) Cul mquina debe elegir la gerencia para maximizar su ganancia, si las ventas proyectadas son de 450 unidades, 550 unidades y 650 unidades?

9. Precio de llamadas telefnicas. El precio de llamada en Telefnica del Per es de S/. 0,20 por minuto. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta S/. 1 en total. Halla la funcin que nos da el precio total de la llamada segn los minutos que estemos hablando y grafica dicha funcin.

10. Depreciacin lineal.

Un automvil Toyota 2008 tiene un valor original de $16 000 y se deprecia en forma lineal durante 10 aos, con un valor de desecho de $4 000.

a) Cul es la tasa de depreciacin del automvil?b) Cul ser el valor contable del automvil al final del sexto ao? c) Grafica la funcin de valor contable del automvil.

TOMADO DEL LIBRO: Lgico MatemticaAUTORES: Roger Soto QuirozDenis Morales SaavedraElba Andrade Daz Roco Lpez Pelez