Introduccin a la lgica formal

Manuales f Filosofia y Pensamiento

El libro universitario

Alfredo Deao

Introduccin a la lgica formal

Alianza Editorial

Primera edicin en Aiian7~ Univers1dad Tcxto:s>~: JC)74 Pl'imera edicin en Manuales>>: 1999

Rcnaoos kl de Alfredo Dcaiio r Aliar~>olwotonai.S.A..Madrid.l974.1975. 1977. 1'17M.I9l!ll.I981.19S3.19S5.1986. 1988.

19S9. 1990. 1992. 1993. 199-1. 1995. 1996. 199'1 Callc.iuaroltn:u:io l.ucad

T

INDICE

Nota preliminar . .. .. . ..... ... ... . .. ..... ..... .. . ....... lrlogo . ... .. .... ..... . . ........ ~ . ........ . . . . . . . Nclta al volumen 2 ...................... . ......

( .tptulo l. Primeros conc:eptos .... ... ........ ....... ...... . F.l le~tguaj~ y sus usos ......... . . .... ................. t..trti{IIUJ}' y ftM'tafel'lg~;ajt . .. . . . . .. .. . .. . Sltmrd:t, .~~tntdntica y praumdtlcu . . . .. . . . , . . . .. . . . , . . . . . /.11 ,.(,(H}n dt c4lculo . . . . . , .. . . . . ..... .. . ... , . . .. . . . , ....... 81blioralla . ... ....... ....... ..... . . .. , .....

< .tpttulo 11. La lgica de enunciados ............. .... ...... . Noc:toncs b.sica.s ......... ... . . , ,

f:n.4~tcloJos y cont:ctloos .. ...... .. . . . V rftrble.nrradlnlon~rs y txprui011n COitt/JIIntu . . .. .. .... I.I'I'N lit la lgico , tltt1Mia4os . .. o , o O>Nik'loftdl t i7flpl~ud6,.. BkcMJdoMI y .-qrdrwltnr"' ..... . o , t .. ta1ea de cnunciado'l romo 'fl:\t('m.t .. , .. ,mj,, .. ., ,\lml~t1lmrd6n y formotl:utMtt 11 htflmn I'M

11 15 19

21

21 23 27 2R 46

51

SI SI SS

S~ SS 62 6!1 n 15 '1') 85 91 93

101 107 111

li 111> IJIJ

1

10 IntrodUccin '.::~lg:z::lc:::.:':::orm:::.:::::.' ---------------lkducd6rt d' Uttn'4!maJ . . . . . . . . . .. . . . . . . L6gica pura y 16gica aplicada , . , . . , . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 La lica de enunciados como ststcm01 de reglas de inferencia .. , . , . El r4:onnmfrnto nalttJ"ld" oxlorftdtico y df'ducd6n n.atr.rral . . ....... . E.l rdkvlo dt la Mduuin natt~rnf . .. , ... , .. , , , . , , , .....

122 t29

t3J t3t t33 t42 IS2

4 Fpiloao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t66

Captulo 111. La lgica de predicados de primer orden . . . . . . . . . 173

NOCIOOC$ b4tiC2.S o a) lnlroducc.n . . . . . . . . ..............

llu~lu la l6gku 11< prglt.t, de pred/c(tdM pOiicidic.w . . , . ttJyc.v di! l t1 Mgfta de wctlkudos puflddkM , . , . .. , , , . , , o, 11 tut111lmwmos rcsentar un catlogo, sino que se esforzaba por bailar unos "t"'"" 1-...r, o rganizar y clarificar esas divergencias y complementos ti 1 luut.l normal>>. En cuanto al ltimo apartado -

12 lnttO>.

Por lo que respecta al contenido de las modificaciones, deseaba sealar la supresin de una buena cantidad de notas y de unos cuantos prrafos de la antigua lntroduccin (ahora Capitulo 1: Primeros Conceptos). No quiso modificar apenas el resto del capitulo, prefiriendo reto mM esas cuestiones a un mayor nivel al fwal del libro.

Sea laba tambin que su libro no pretendia competir con otras obras introductorias, sino que quera ser ms bien una propedutica a ellas. Con esta frmu la modesta no indicaba que su libro fuese ms elemental que otros manuales, sino que tenia un fin distinto. El suyo no era simplemente un manual de texto para alumnos de lgica, sino tambin una verdadera introducci6m propagandistica (en sentido etimolgico) a la lgica para cualquier persona interesada. Pam un curso de lgica

En rdadn con las ideas de Alfredo Oai\o acerca de b c:ucslin., pod.r en brc'tc verse un trabaJO sobft: la tn.tei\,anu. de la lsica. rtf.."OIId'l f'n t i ~utMn de a1hcui

PROLOGO

Acostumbra n los autores a rematar los prlogos de los libros mostrando '" uwadccimiento hacia todos aquellos que de un modo u otro han

~uoludo a que el libro se escribiera. Nosotros terminaremos tambin rl 1111c>, y aquellos IHHC n los que, en un sentido que luego explicaremos, va mos a denominar oomrdiCVJt)C$.

A lo primeros debemos algunas de las manifestaciones ms irritantes ; u lu ve regocijantes acerca de la ciencia que con este li bro empezamos ,, 1' \ill>ncr. Han dado en pensar que la lgica formal es una especie de 1 kll't'ho Mercantil del intelecto : asi como ste no seria o tra cosa que la '' ~ulic n juridica de determinados procesos econmicos que tienen lugar "' lu soc1cdad capitalista y que desaparecern con sta, asi tambin la l11atH,11 constitu ira la regulacin formal de los procesos de pensamiento 'l" r r dcs:lfrollan en las mentes positivistas. La lgica formal - lgica tl!lfH111Mumicnto administrado- ha de ser, como el capitaJismo, superada.

h mposiblc ocuparse aqu en detalles de analizar esta idea, si es que ti ''"" 1ertenecc: al volumen 1 dC' la ,., .. ,,.,~~~~ ~~~~~ a lo Mgka ftJrnHII qu 1 111.- dr hu t.:phulot; 1 y lt de h ohm IHI111I

16 lntrodvcein ala lgica formal

comportamiento dara perfecta cuenta la lgica formal, y (fase superior en la evolucin} cerebros libres, de neurona gil, cerebros brdvos capaces de desconcertantes conexiones, cerebros, en suma, dialcticos, entre comillas-; o, po r tosco que parezca, es que lo que se presenta como avanzada de la reflexin filosfica no constituye en muchos casos ms que el retorno a formas primitivas de pensamiento. La lgica -en cuanto tal, e independientemente de los usos que de ella se hayan hecho o pretendan hacerse- es solamente una ciencia: ni administra ni prescribe. Se limita a presentar formalizada mente las leyes a las que la mente humana se atiene cuando se aplica a razonar.

Por medievales>> entendemos, no los lgicos de la Edad Media - a muchos de los cuales se deben esplndidas contribuciones al desarrollo de esta ciencia- , sino aquellos para quienes la lgica formal se reduce a la lgica que se imparte en nuestra Ense1ianza Media. Es una ~ los. 1913; segunda rd mp1c ~~ .... lf\1111.,1 . 1977

18 lntroducc16n s llll6gica fomllll

construido por el profesor C1rlos Paris, y al equipo de trabajo que en el l. C. E. de esa misma Universidad y bajo la direccin de Juan A. del Val, desarroll, mientras pudo, el proyecto de in\estigacio 2.2.1.

Gust.a vo Bueno, en la Facultad de Filosofia y Letras de la Universidad de Oviedo,en 1961, me inici traumAiicameoteeo la lgica formal, y en otras muchas cosas.

Numerosos amigos - por orden a lfabtico, Pilar CasttiUo, Vida] Pea, Carlos Piera, Javier Pradera. Vctor Snchez de Zavala, Carlos Sols, Pilar Soto, Juan A. del Val. etc.- han seguido con un inters totalmente desprovtsto de justificacin la gestacin de este libro, llegando algunos inclu-so a leer partes de l.

Que lo escribi~ramos fue idea de Juier Muguerza. No por eso, sin embargo, ha de considerl~le culpable.

Los alumnos que hao venido escucModonos tres veces por semana en los ltimos tiempos son, ya lo hemos dicho, la verdadera razn de que este libro exista. y, aunque no pensamos obligarles a que lo adquieran. esperamos que su existencia sea una razn para que, en medio de otras tareas ms urgentes, dediquen algn momento al estudio de la lgica.

Siendo la especialidad de Mercedes Cabrera la historia contempornea de Espaa, no puede decirse que la ayuda por ella prestada haya sido de orden tcnico.

Madrid, 6 de septiembre de 1973.

ALFREDO DEARO

NOTA A LA SEGUNDA EDICION*

Nos hemos limittdo a corregir las erra tas, errores e inconveniencias que hemos podido cncootrar, asl como a intentar mejorar la presentacin del texto.

Madrid, S de abril de 1975. A. D.

Se lrata dt 1.4 2. cdtan dcl Volumen 1

NOTA AL VOLUMEN 2

1 ; te hbro constituye la continuacin de la Introduccin a la lgicll '''"'"'' (l. La lgica de enunciados) publicada en esta misma Coleccin .. 1 "'' mntcmente reeditada. Esta segunda entrega consta, como puede verse 1'"' el lndicc, de dos partes. La primera - y ms larga, con mucho-'o~ntlcnc una iniciacin - facilitada con ejemplos numewsos y relleractoncs "'"antes- a la lgica elemental de predicados en toda su extensin, v .,. completa con un capitulo de ejercicios. La Segunda Parte se , ""'IHHIC de un captulo titulado

20 /ntroduccl&> a 18 /6gfc;J formal

era cosa de trarnrlos de otro modo. No de modo introductorio, resignada-mente didctico, sino de manera problemtica, no codificada. ms acorde con el carActer abierto de esas cuestiones que aqu apenas hemos bordeado, pero algunas de las cuales nos proponemos afrontar en otro lugar y en otro tono.

Las consideraciones generales que hacamos en el Prlogo al Volumen 1 -y que presentaban a la lgica formal terciando entre, de una parte, el oscurantismo y la nojera pseudo-progresista. y, de otra parte. entre la gaseosa especulacin gratuita y la pobre astringencia formalista- siguen siendo vlidas aqu. Los agradecimientos. tambin, aunque habra que multiplicarlos en numero e intensidad.

Madrid, 19 de julio de 1975. Alfredo Deao.

Un tratamiento mis cktmklo de esas otras cuestiont:J puede ~ene en A. Ono. lAs e'O u10 una palabra:. ~iJo Humpty Dumpty en un lORO ms bien

tltlldcftC\CO ell palabra significa exactamente lo que )'O quiero que signi(que. Ni ml\f 111 meoos.~t

L.t cua:tin c:&W. -dijo Alcla- eren si usted pu~de hacer que la5 palabms ''trnthquc:n tantas OOPs difereat~

-1 ~ CUc:JUn e.stb -diJO Humpty Oumpty- eo quin es d que manda. 1 \1 1 C\ hlCJO.

l'('w ff~nrdc:mos 1an1b1~n a los filsorosque: han diho que el hombre -y, eminentemente. 1 h unbr hiMor,l estl priSionero en las Kd~ d~l knau .. ;e. -seducido por el lc:n1ua~,. tNttMh4 lft'rl,. 11 (ed Sch\ec:hta). ~p 11W y I"H)), rmbrujado por l.- (WiUte''Sitn. rlul .. ,,-hltl'fr ( ,., .. ,..,,h;,Jt41tn n 109

22 IntrOduccin a la lgica forTTJiJI

Ante una pregunta no tiene sentido plantearse el problema de si es verdadera o falsa, de si enuncia o no un estado de cosas que de hecho se da 1- Otro tanto cabe decir de una exclamacin o de una splica por ejemplo' Las preguntas, las rdenes o las splicas no tienen valo; de verdad. S lo tienen en cambio, y necesariamente, las afirmaciones que hacemos acerca del mundo.

Al uso del lenguaje cuando lo empleamos para hace oraciones verdaderas o falsas _lo llama~os . desde Aristteles, uso apofntico (de hnq>aCTIS, declaracoon, enuncacon). Todo d1scurso (lyos)>> - dice Aristtelcs-es significativo ( ... ). Pero no todo discurso es apofntico, sino slo aquel en el que se da el ser. verdadero o falso. No se da esto en todos pues, por ejemplo, un ruego no es ni verdadero ni falso. y aade:

24 lntrod"ccin a la 16glc8 foonnt

a las expresiones. untes mencionadas, que se refieren a los objetos, sino a las expresiones que se refieren a las expresiones que se refieren a los objetos. As, eo el caso del tercer ejemplo, no decimos que sea verdad que Vallo-Jncln asesino a sir Roberto Yones, sino que es verdad que dice que lo hizo.

En los tres ejemplos propuestos hay, pues, un nivel de lenguaje - al que llamaremos nivel Lo>>-en el que estamos refirindonos a objetos; a objetos no lingsticos. Otro nivel, el L., en el que no se habla de objetos, sino de las expresiones del nivel L0 Y un tercer nivel, el L2, en el que hacemos referencia a las expresiones del nivel L,. En esquema:

.tUnfam,oso pID n MtiKU iltPrltt lfll~ dts('Vbr'ldor lijo At'f'I'TOI!'J.

ISCTi#N J. /.... ~'~1 L,

lo L,

Es fcil ver que la serie de niveles podra prolongarse indefinidamente: nivel L3, nivel L., ... , L,. Cabria, en efecto, decir, por ejemplo: afirma Alfredo Oeano que Jorge Luis Borges escribe que Averroes dijo que un poeta es menos inventor que descubridor.'Etc.

En rigor, por respecto a un determinado nivel de lenguaje - el L2, por ejemplo- , todos los niveles inferiores -en este caso, el Lo y el L,-se consideran como un nico nivel.

Pues bien : a l lenguaje que empleamos para hablar acerca de otro lenguaje le llamamos (De Soph. El .. t' 111 1 KJ. Jmt.1th11n Swif1 cuenta, en los Viaju de Gulliver, cmo uno de k>s proyectos

1 u HIC~M.lr.~ micmbr()S de la ReaJ Academia de Lagado ero Un platl para abolir flt, -nnltlt h, 1. ~ p;tlabrns.. cualesquiera que fuesen: y se defenda oomo una gran \'Cntaja, I4HI , "I'C'\'tc de l:t ;alud como do la brevedad. Es evidente que cada palabra que hablamos

r '" ~lerto rudo, una dbminucin de nuestros pulmo nes por corrosin, y, por lo .tanto. lhth,;t tt ac:orturnos In ~fda: en oonsrtucncia. JC ide que. sieodo las palabras &tmp&c-

M w l thtmb

26 lntroduod6n 8 la lgica formal

lo que estamos haciendo es usar las palabras para tratar de expresar una determinada - y refinada- sensacin. Cuando decimos. en cambio,

In t"Xprtsf6tt 'd#mocracia popu/{lr' ~s una r'tlundi.lnclu

e$tOy, sin duda. 14Sllndo ciertas palabras - estoy usando todas las palabras que he empleado para decir eso- , pero lo interesante aqul es que algunas de esas palabras --roncretamente. las palabras 'democracia' y 'popular'-, adems de estar siendo usadas. estn siendo mencionadas. Las hemos usado para mencionarlas; las hemos empleado para hablar acerca de ellas mismas.

Nos limitamos a usar una palabra cuando nos servimos de ella como signo, es decir, para aludir a algo distinto de ella misma (como cuando empleamos la palabra 'viento' para referirnos a un determinado fenmeno de la oatu rale~a. o como cuando empleamos el trmino 'priscilianistas' para aludir a los partidarios de cierta hcrejla). Mencionamos, en cambio. una palabra -adems de usarla, o us1u1dola con ese fin- cuando nos referimos a la palabra misma, cuando nos detenemos en ella, sin ir m6s alla "- La seal de esta detencin en la palabra - la indicacin de que esta vez no nos referimos a la cosa. sino que nos quedamos en el len guaje- son las comillas:

'Amar' n un \~rbo de signifiCadO muy compltjo Al mar, los ma.rneros. te llaman 'la mar'

~(C., ..

l ) cabtn, por Utnto, tres posibilidades: 1. Usar. 11implc.mcnte. una palabra (es decir. u&rla sin mencionarla). oomo cu1u1~

do dcams: Ltu gar:GS IW priiCIJCMI la auJocr(tJM.

2. Usarla y a la ""'U meocionarta.. uurla para menaonarta. como cuando ckdmos: 'Aanoa&lcu' t$ &~na palabro qu~ las i(JrtiJJM tmp/tQJI

l MencM)narla sin ttSOrio, como c:uando dtamos: La paUJbra qu.t 3't't'll>sil'oanlisis prommcitm lll palabra 'libido' ( del lat/11 l ibidolll~ h '" ~111ndo tres ftnalidades distintas, una por cada dos ejemplos_ En h"

1 y 4 hemos mencionado sendas sartas de palabras para h:tbla " h lns elaciones entre ellas, pa ra hablar de ellas sin sal im os del 1 "'""'" rn asi decir. Eo los casos 2 y 5, hemos mencionado una '1''' 111lm pu ra 1\::lacionarla con lo que ella designa.. Por Ultimo, en los casos

' \ '' h111IO\ Jltt.:ncionado una expresin pura relacionarla con los sujclos ph J, Hl lh/U il,

"1 ,l \1 algo totalmente d1slln1o! La eancaOn se JJams w ny;f and Mr1uH'. 1 '"'' f'. ... ~k> lo que se le llama .

lhr11 1 nhJ04:C1.. MI es b cu'lcin~.. d1~l Ahcia, que a c:sus allllrJ\: ~lh.a )A 1 '1''' I.UIK"QIC I(UtdKla. \ ,_., 1h,,, diJttcl Caballcm "' 11 u lt ul l1 \".mc-ines 'A-.1lllitt,~~ o, 1(;11,,'

28 /ntrodvccl6n B la lgica fonnal

Denominnmos . Habla p;ute de nuestra historia natural como pasear, como beber o como

1"~"' 1 ' Por eso, por ser tao natural e inevitable, por constituir un "'"'JlOnente tan profundo de nuestro comportamiento, por esa razn es el lrriiiHIJC Uln huidizo, tan dificil de comprender, de aisla r, de cercar cienti-lh 1t mente.

Pero en rigor -y la metllfora de Wiltgenstein apunta verosmil rurollo a este hecho- Jos lenguajes nat ura les han sido tambin cons truhl

30 Introduccin a la lgica formal

encauzar, didgir> prolongar el lenguaje en beneficio de las distintas ciencias, o rientando sistemticamente en un determinado sentido las posibilidades de expansin continua que el lenguaje lleva en su seno como su rasgo ms peculiar y profundo.

Nos preguntbamos antes: a qu llamamos un clculo? Los clcu.los son, naturalmente, artificiales. Los clculos no son, pro-

piamente, lenguajes. Un clculo es una pu ra estructura, un sistema de relaciones. Un clculo se compone de lo siguiente:

l. Un conjunto de elementos primitivoS; llamados a menudo smbolos elementales. Ellos constituyen, como veremos, las piezas a manejar dentro del sistema. Es a bsolu tamente esencial sealar que este conjunto de smbolos primitivos ha de estar definido de un modo efectivo. Un conjunto est definido de manera efectiva cuando podemos decidir, ante un objeto cualquiera, si ese o bjeto es o no es miembro del conjunto en cuestin. Por ejemplo, el conjunto de los librepensadores que habitan en nuestra Submeseta Sur no es un conjunto detlnido de una manera efectiva: hay muchos casos que platearan serias dudas.

Para definir un conjunto de una manera efectiva tenemos dos proce-dinentos: a) Enumerar ex!Jaustivamente los elementos de ese conjunto: {2, 4, 6, 8, 10}, por ejemplo. Este prooedimiento resulta extremadamente laborioso cuando los elementos del conjunto son muchos y variados, y resulta inaplica ble cuando los elementos del conjunto son infinitos, como ocurre, por ejemplo, en el caso del conjunto de los nmeros naturales. b) Definir el conjunto por medio de una propiedad lo suficiente-mente precisa como para permitir una decisin en el sen tido indicado: El conjunto de los enteros positivos pares menores que 12.

2. Un conjunto de reglas -reglas de formacin o de cons-truccin>>- que cstablecen cules son las combinaciones correctas posibles de esos smbolos elcmen tales. El conjunto de las reglas de formacin ha de proporcionar una definicin efectiva de la nocin de 'expresin bien formada del clculo', de ta l modo que sea posible, ante cualquier com-binacin de smbolos, decidir si es o no una frmula bien construida. En los lenguajes naturales hay tambin reglas de formacin que permiten combinar los elementos del vocabulario para componer con ellos oraciones. Lo que ocurre es que eo los lenguajes nan~rales esas reglas no estn formuladas : el hablante de una lengua las aplica implcitamente, y slo se hacen explcitas - sistemticamente- cuando se elabora la gramtica de esa lengua, o bien -ocasionalmente- cuando alguna construccin le resulta extraa>> al hablante y le incita a preguntarse por las reglas que le permitiran calificarla de correcta o incorrecta.

Para uo hablante del castellano es fcil ver -aunque no tao fcil explicar- que una oracin como 'La heroica ciudad dorma la siesta' (Clarn) est bien construida. Tambiim le es fcil ver que una sarta de vocablos como 'so beneplcito burcratas empero metempsicosis s ingu-

Prlrneros oonceptos 31

htr11as' c:;t{l mal constru ida. ,Qu decir. !>in embargo. de expresiones como 'lus caritides estructuraron batipelgicamente los sintagmas monoftSitas~? Desde el punto de vista sin tctico, la expresin es impecable. Esperamos, In embargo, que la mayora de los lectores convenga con nosotros en q ue wrcce de sentido. Las reglas de formacin de oraciones en los lenguajes n11111rales, sobre estar implcitas, son defectivas -y no efectivas-, en el Mntido de que permiten la entrada de expresiones que ningn hablante IO>, La transformacin de la expresin 'X' 11 In ex presin 'Y' es correcta, etc.

' Jn cfdculo no es, por lo ta nlo. un lenguaje~ en la medida eo que no t~ll 1111 medio de comunicacin, ~eno un purt) nrmazn sintctico. Sus

l.

32 Introduccin s la lglcD formal

elementos carecen de significado. No son signos, sino entidades opacas que manipulamos de acuerdo con una serie de reglas.

Podemos, sin emba rgo, transformar un clculo en un lenguaje. Cmo? Inrerpreramlo sus smbolos, proveyendo a sus smbolos de un significado.

Tomemos un ejemplo extremadamente simple. Describamos un clculo:

l. Smbolos primitivos

A) t;:, A i:J. /.U A .,. Es decir. tri6ogulos con un nmero cualquiera de puntos en su intedor.

8) 0 .00. 0 0 ... Es decir, ciculos con un nmero cualquiera de puntos en su interior.

C) Una operacin. que escribiremos ' 1 ',mediante la cual ponemos en relacin los elementos de A con los de B o viceversa.

2. Reglas de formacin

RFl: Un tringulo solo cotl un nmero cualquiera de puntos en su interior es una expresin bien formada del clculo.

RF2: Un crculo solo con un nmero cualquiera de puntos en su interior es una expresin bien fo rmada del clculo.

RF3: Una expresin compuesut por un smbolo cualquiera de tipo A, seguido del slmbolo 'J y de una expresin cualquiera de tipo B es una expresin bien fomada.

RF4: Una ex presin compuesta por un smbolo cualquiera de tipo B, seguido del smbolo 1 'y de un smbolo cua lquiera de tipo A es una expresin bien formada.

RF5: Nada es una expresin bien formada a no ser en vir tud de las reglas 1-4.

3. Reglas de transformacin

RTI RT! a:

Onda una frmula compuesta por un smbolo deter-minado de tipo A, seguido del smbolo f y de un slmbolo determinado de tipo 8, podemos transformarla en otra frmula compuesta por ese simbolo determi-nado de tipo B, seguido del smbolo '1 y de ese smbolo determinado de tipo A.

RTl b: Dada una frmula compuesta por un smbolo deter-minado de tipo B. seguido del smbolo y de un smbolo determinado de tipo A. !">demos transforma rla

IH2 RT2 a:

RT2 b:

Primeros CO

34 lntroduccll! s la lgica formal

Por o tra pa rte, dada una combinacin de smbolos como

~:e que es una expresin bien formada, podemos pasar de eUa a

por la regla RTI a. O tambin, dada una frmula como

..l0 podemos, por la regla RT2 a, transformarla en o tra frmula como

Etctera.

Hasta aqu lo nico que hemos hecho es explicar el manejo de un cillculo; un clculo. como ya hemos dicho. extraordinariamente s imple y rudimentario. un cillculo de saln. No obstante, esperamos que valga parn hacer ver que operar con un c.11culo no es otra cosa que mani-pular un conjunto de entidades - manchas de tinta, por ejemplo, o de tiza- segn unas reglas esta blecidas explicita mente de antemano.

Podemos, sin embargo, como hemos dicho, interpretar el clculo. Podemos decir, por ejemplo : los tringu los designarn individuos huma-nos cualesquiera del sexo mascu.lioo. Los crculos designarn individuos humanos cualesquiera del sexo femenino. El smbolo T designar la operacin 'con~racr ma trimon.io .

Tendremos, entonces, que una expresin como

~lO se interpretan\ como

'el varn Tal contrae matrimonio con la mujer Cual'. El paso de una expresin como

0!8 a una expresin co mo

autorizado por RT2 b, significar

'la mujer Tal ha pasado de estar casada con el varn Tal a estarlo con el varn Cual'.

Ailora ya no estamos manejando un puro clculo. Al haber interpretado sus smbolos hemos convertido el clculo en un lcn~u.oc No se trata,

Primeros conceptos 3S

1au t~miMit;u. de un lenguaJe como el cu..~t tclltHlO, el bant o~~ servo-c~oam. Nn traw de un lenguaje na tural, sino de un leng11a]e formalozadt>, un l.,ot~uaje con estrucwra de clettlo, un lenguaje en el que no. slo es 111thdal el vocabula rio, sino tambin -y esto es lo esenctal- la llntllw. liemos formalizado - si bien de una forma muy tosca- las 191 onne~ matrimoniales en un grupo humano donde est admitido el 11&vth l(l u voluntad 10

Al pues, aunque en la practica los clculos se construyen a ~en~~o twnondo en sus posibles aplicaciones -o incluso en una ~phcacton

'""rt.o , hay que sealar que, desde el punto de VISta. teonco, son ll ... lllt.ontente independientes del lenguaje o lenguajes formabzados que se p11 ololll obtener interpretndolos.

11.1y quienes piensan que la lgica es un conjunto de clculos, o hien 1111 1.1 h\gica es la teorla de la construccin de clculo~. .

Nuntros entenderemos la lgica como un conJunto de lenguaJe' 1 ,,,,,hodos, es decir, como uo conjunto de clculos a los que se da uno tntcrprctncin en el campo de investigacin que - desde Aristteles, 1"'' In menos- constituye el o bjeto de la lgica. De entre _todos k"

lo uln< 411e podemos construir hay a lgunos que po r su espeaal ~stnoc tooooo y"' buen rendimiento son particularmente aptos para ser aplt~d os 1111 (unbito especifico de pro blemas, el mbito de los probletnas lgtcos. l l~oc.o, que durante mios de veinte siglos ha consistido en una su m:o "'''1 '"~nnz:oda de renexiones acerca de las _reglas formales d el razona-"'''""' ~xprcsadas casi s iempre en el lenguae natural, conslltuy~, ~n su f111 "'" t'uutcmponl nea, la presentacin rormaliz.ada de nuestro conocimicntH ttH t u de ese determinado te.m::L

1 ,, '"''" do Mgica formal \1~11 nos psiclogos han sealado" que, en el curso de su desaro-l'lho

1 .. tqulrc,, el ni,o atraviesa una etapa caracterizada, entre otros ra:-oyu~.

" ltt' l\olre!le en q ue en ese .rupo humano es-t procrita la poli~mi~ entendida en 11 11.,. h l'llml. os cJcc.r, como poligamia s:incrnica, pueS-to que mngun sim~lo d e ''t't'

4 . 11 1,11('1h: C\Utr conectado oon ms d e un smbolo de tipo 8 o A. Estana adm111d. ,. ,1111t,,u, f, que podriamot Uaroar poligamia diac:rnicu. en la medi~. en. ~ue cualq"e

11 l+ll' de esa oomunid11d podtla camblar de cnyuge con la penodJCidad que MI lul11111d e~(eclha te drctara. En la citada comunidad esaaria prohbid.~ asimis~l el M~lt u1 ... n11l ctHre pet'$0nal del mismo sao. pues ninguna regla de formacaon aulonza l.

utw1 lun de c~prc:siones como 8 T A.. A cambio. no existia e1 Qlbil de inCCSh) h , tu dtmls. si alnbu)-cramos a.l dmbolo J el Psnificado 'manteoer rdacionc:s c::a~t\:

f "' d nutmnonio' obtcndriamos una interpretacin del clculo clisti.nta fk la anterior t o~t Llmn ,,,rnuhtado la \tf$io ofictal de las rd.aciooes preparatorias de.l m."fnmomn .. un -. 1t'1l.ul como la nuestra. por ejemplo.

* t~ilfit la t\Jt(m(tO y d&SCUsin de dichas tcorias vase d libro de Juan A. dd Val "'"'' "' , "' 1""''.-.'"'lt'lffO mjamiJ. Madnd

3CI Introduccin a 18 ig/c8 fotmal

por la presencja de una t.> y fisica juda, o -dando a cada cual lo suyo, segn el viejo principio del derecho romano- de ciencia proletaria>> y ciencia burguesa; cuando alguien, en concreto, emite una sarta de sonidos medianamente articulados que podra interpretarse en el sentido de que la lgica es una ciencia contrarre,olucionaria {!), estamos en presencia de una conducta aoimista de la mejor ley. La lgica no es ni un baluarte de la reaccin ni una palanca para la edificacin del socialismo. La lgica es una ciencia, y las ciencias son, en principio, entidades polticamente disponibles, instrumentos o medios de Jos que podemos servirnos con diversos fines.

Son muchas las definiciones que podran darse y se han dado de la lgica. Nosotros hemos elegido la siguiente: la lgica es la ciencia de los principios de w validez formal de la inferencia. Evidentemente, es preciso explicar esta definicin t6rmno a trmino.

Jnfcrenci11. Como es bien sabido, los sinnimos no existen. Pese a ello, nos permitiremos considerar el trmino ' inferencia' como sinnimo de 'rnzona miento' o 'argumentacin'. Todo razonamiento es pensamien to, pero la inversa no es verdadera: no todo acto de pensamiento consiste en razonar. El razonamiento cs. pues, u o tipo de pensamiento junto a otros varios que la psicologa distingue. Un tipo de pensamiento cuyo rasgo caracterstico es que en l se produ ce s iempre el paso de una o ms a6nnaciooes que tomamos como yunto de partida a una afirmacin que se sigue de aquellas. Lo especifico, por tanto, de un razonamiento o inferencia es que consiste en derivar una conclusin a partir de unas premisas. Eso es razonar. Recordar, por ejemplo, o imagina r son tambin formas de pensamiento, pero no formas de razonamien to.

Aho ra bien: es menester distinguir entre el mzonamiento como activi-dad de un sujeto ~1 acto de razonar- y el razonamiento en cuanto producto o resultado de esa actividad. Del razonamiento en la primera acepcin se ocupara la psicologa del pensamiento en uno de sus captulos. El razonamiento como resultado -como resultado plasmado en el lenguaje, segn veremos es el objeto mat~rial ~ decir, compartible con otras ciencias- de la lgica.

Validez forma l. Puesto que lo que constituye un razonamiento es la relacin que en se da entre unos enunciados que se toman como premisas y otro enunciado que resulta como conclusin, parece razonable dividir los razonamientos segn la ndole de esa relacin Segiln la ndole

Pr/m8ros COfiCBPIOS 37

~' ru rclucin los razonamientos se dividen en razonamientos vlidos y rottmumientos no vAlidos. Y cuando aqu decirnos 'razonamiento vlido' ljUtrMlOS decir, en un sentido que explicaremos pronto, 'razonamiento ,..,,..,/metlte vAlido'.

1 n el lenguaje ordinario se emplean a menudo expresiones como nn me parece compatible con lo anterior decir abora que .. .', 'despus de hot...r defendido tal cosa, no me sorprende que ahora defienda tal otra,

qu~ trcne de extra~o. a la vista de tales aontecimientos, que ... 1', 'no Co ~t~" que .. .'. y otras muchas por el estilo. Hablamos tambin a veces de

nhrrcnC1a, consecuencia.

38 lnlroduccl6n a la 16/cs formal

De tipo 2 (premisas verdaderas; conclusin falsa ; razonamiento no vlido): Algunos poetas escribieron tambin libros de ensayo Catulo era poeta.

Luego Ca tu lo escribi libros de ensayo.

De tipo 3 (prensas falsas; conclusi n verdadera ; razonamiento no vlido): Todos los psiclogos conductis!as son partidarios del psicoanlisis. Wa tson Cl"d partida rio del psicoanlisis.

Luego Wntson em panidario del conductismo.

De tipo 4 (premisas falsas; conclusin falsa; razonamiento no vlido): Si Rica rdo Strauss compuso Metamorfosis. entonces Mahler es a utor

de El buque flmtasma. Es as que Ricardo Strauss no compuso Metamorfosis.

Luego Mahler es autor de El buque f amasma.

De tipo 5 (premisas falsas; conclusin verdadera ; razonamiento vlido) : Todos los revolucionarios usan uniforme. Mussolin i no usaba uniforme.

Luego Mussolini no era revoluciooario.

De tipo 6 (premisas y conclusin fa lsas ; razonamiento vlido): Si Lewis Carroll es el autor de la Imitacin de Cristo. entonces

Stalin fue un famoso telogo de la Contrarreforma Es asi qu~ Lewis Carro! es el autor de la lmit.aci{m de Crisro.

Luego St:lin fue un ramoso telogo de la Contrarreforma.

De tipo 7 (premisas y conclusin vcrdadem; razonamiento vlido): Todo nmero entero positivo es divisible por l. 7 es un nmero entero positivo.

Luego 7 es divisible por l.

De tipo 8 (premisas verdaderas; conclusin falsa; razonamiento vlido):

No existen rarooamientos de tipo 8: no hay raronamientos vdlidos que tengan premisas verdaderas y conclusin falsa. Y ello porque precisa-mente se dice que un razonamiento es vlido cuando .:l su conclusin. Que las premisas sean de hecho verdaderas o "" 111 'IClln, es otra cuestin ; una cuestin que cae fuera de la lgica .. A" o iMUllr si es verdad que Lewis Carro U escribi la Imitacin de Cri.to "" n cosa de la lgica, s ino de la historia de la literatura piadosa. l)uo ol 7 es un nmero entero positivo slo podemos saberlo sabiendo otlln16ticn. Para comprobar que Catulo no escribi libros de ensayo h """ de recurrir a los estudiosos de la literatura latina, y no a los , uhtvudorcs de In lgica. Estudiar lgi"" no consiste en estudiar si tales o u1olcs enunciados - relativos a tal o cual materia- son efectivamente '''"laderos. Estudiar lgica consiste en estudiar qu otros enunciados, ltulo o" los nntcriorcs como verdaderos, babrla que aceptar como verdaderos l ou hl6ro . la nocin fundamental, constituyente, de la lgica no es la de " 1 1lad mtterial, la de verdad de hecho, sino la de coherencia 22 La lgica "" e ocupa de verdades materiales, sino de las relaciones formales entoc lln Por eso hemos dicho :mtes que, en lgica, la expresin 'razonamicntll u lltl11' es una abreviatura de 'raronamiento formalmente vlido'. Po r eso n nnc>trn definicin de lgica - la definicin que estamos reconsh u

mul11 hemos hablado de 'va lidez formar. l s csquizorrnjcos son pel'$0nas desdichadas.

1 no :li claro iDduso para quienes. como Andri Bte:IOD. disfrulaTOn de una inJor " n ~~ b~en precaria acerca de esta ocncia: Eo lo que lla1D3mos lgica [n1csc tt lhC'klft debiera haber eotrecomallado la palabra 16e]:a.'. puesto que en este conlrl.lO . , .,.,,, . ntt:ndon:ada y no slo us.. .. da) sOlo '\"CO d culpable ejercicio de una debdtdad tt '

40 IntrodUCCin a 111/g/co formal

y

Si todos los santos son creyentes y todos tos creyeo1es se mueS-tran reacios a la des mmoMIZatcin, c:ntonoc:s Lodos los santos se muestran reacios a la des.amorttUcin

son, obviamente, distintos por su contenido. Su forma. sin embargo, es la mism3. Esa forma, toscamente representada, seria, en ambos casos, sta:

Si todos los ... son ... y todos los ... son ... , entonces todos los ... son .. ,

o. mejor.

Si todos los n son b y todos los b son e, entonces todos los a son e,

donde a, 'b' y 'e' son, como veremos, variables que indican el lugar posible de un contenido, de cualquier contenido de un cierto tipo : en lugar ~e 'a', po r ejemplo, podemos escribir 'esquizofrnicos' o 'santos', o 'corsur1os' o 'filsofos', o cualquier otro trmino general.

La nocin de forma de un razonamiento puede ilustrarse por analogfa con las formas musicales. La misma relacin habria entre, por una parte, una formu de razonamiento y, por o tra parte, los infini tos razonamientos distintos -distintos por su contenido- que podrlan hacerse con esa forma -de esa ftmw- , que entre la forma soneto, por ejemplo, y Jos infinitos poemas - elegiacos, satlricos, de amor, etc.- escritos en forma de soneto, o que entre la forma sonata y las diferentes sonataS que nos es dado escuchH r.

A la lgica le importa nicamente la forma de los razonamientos. La lgica es lgica formal, ciencia de las formas o esquemas vlidos de ruzonamiento. CA qu llamamos una forma vlida de razonamiento? A un esquema de inferencia tal que, dado cualquier razonamiento que podamos hacer in terpretando las variables de ese esquema, si las premisas del razonamiento son verdaderas, entonces necesa riamente la conclusin ser verdadera tambien. El esquema

Si todos los a son b y todos los b son e, entonces todos los a son e

es un esquema v lido porque, sean cuales fueren los trminos generales con que sustituyamos 2l las variables a, b y e, si es verdad que todos los a son b y que todos los b son e, necesariamente ha de ser verdadero el enunciado 'todos los a son e'. Eo uo razonamiento vlido -formal-mente w lido, lgicamente (hora ya podemos decirlo as) vlido-. la verdad

u . Se uponc que la sushlcitl ha de estar bJCn hecha. ~' ~C'\-" ''"' , \.an.1blc 'a', por ctemplo. ser,, Wlhluld.. en el m!nxl t"Untc\to, stt:mptt 1"")' d m111tn., ~ utmM

Primeros conceptos 41

h In cxlnclusin se sigue necesariamente de la verdad de las premisas, "' ortlltl de 1" sola forma de stas. En los Analticos Primeros". Aristteles olrflno el silogismo como aquel discurso (,!yo.;) en el que, afirmadas drlt cosas, por el simple hecho de haberlas afirmado se sigue necesaria 1nrnte otra cosa distinta de ellas. Ahora bien: el silogismo es slo un IIJ de esquema vlido de inferencia, entre otros muchos, y la definicin

""'tut~hca no se aplica slo al silogismo, sino a todo razonamiento hu mlmente vlido.

llc esa definicin nos interesa ahora sobre todo retener la exprcsi(ln "' ). En efecto: lo esencial en todo razonamient" luumtlmente v6lido es la relacin de n~cesidad que se estable

42 Introduccin a la lgica formal

que sera contradictorio afirmar las primeras y negar la segunda (con otras palabras: sera imposible imaginar circunstancias que, haciendo verdaderas las premisas, hicieran falsa la conclusin) 26; y hay, de otra parte, razona-mientos en los que la verdad de las premisas no conduce fatalmente a la verdad de la cooslusin, sino slo -y de mltiples y complicadas maneras, como bao mostrado los anlisis de los metodlogos de la ciencia emprica y de los psiclogos del razonamiento- a su mayor o menos probabilidad. A los razonamientos del primer tipo - aquellos que son vlidos por su sola forma- se les llama a menudo razonamientos deductivos (vlidos)>>, otorgndose a los del segundo los nombres de razonamientos inductivos, , plausibles>> y otros muchos que sealan, frente a la relativa simplicidad de la inferencia deductiva, la toda va in abarcada complejidad de esta ltima clase de razonamientos.

Principios. Segn tendremos ocasin de ver, en lugar de hablar de principios podamos haber hablado de leyes o de reglas. Ya hemos visto cmo en el lenguaje comn existen una serie de expresiones y giros que se utilizan para estimar formalmente - es decir, en trminos de pura coherencia, y con abstraccin del posible valor de verdad de los enuncia-dos que lo componen- cualquier razonamiento. La lgica pretende llevar a cabo esa estimacin o valoracin de una manera estructurada; la lgica pretende codificar los principios que guian el anlisis de la validez formal de los razonamientos, sistematizar un conjunto de leyes o de reglas para el estudio de las condiciones formales en las que uo enunciado se puede inferir vlidamente a partir de otro.

Ciencia. La lgica es una ciencia. Y una ciencia formal. Dicho de otro modo: una ciencia dethlctiva. Toda ciencia es un s istema de enunciados.

2 6 Lewis Carro ll, en su S)mbolic Logic. lo explica muy pl$tcamente. l omemos un razon:.lmicoto como:

N=adio:- q uo qukra IOIOU d lmt J' qloC flQ ~~ ~ter u.n Ul i T que IWI tenga tic .. po surltie to plin ir dando un paseo ha~a la I!$UK:i6cl .,_de to!lirlo sil'l l"*r a wmr.

6$(e tn!P Id &Obra tict~ p.r " '' >llk ().

1!' 1c srupo de t'l~ll.'l no cu,c-:Uia il bap$ caw. l)lu pntm dcri.s d('(:ir- quil t$~ lumas y teoremas -o bien, reglas bsicas y reglas derivadas de infe-uciu , y estos ltimos -o estas ltimas- se deducen, se siguen f"uualmcnte de los primeros -r supuesto tambin que la lgica, en cuanto ciencia del anlis is form11 t ,, 1 ,, zona miento, no pretende en modo alguno agotar todos los aspectos oh ~wlc. Hay en el razonamiento - dicho sea cometiendo la vulgarida

44 Introduccin a la lgica formal

simplemente que la actividad cientfica - y precisamente por eso la activi-dad cientfica necesita de la filosofia- opera sobre la base de la divisin - tcnica, y no social- del trabajo. De ahl que no hayamos d icho que la lgica sea la ciencia del razonamiento a secas, sino la ciencia que se ocupa de los aspectos formales del razonamiento.

En efecto: cada ciencia, como deca Aristteles 31 , recorta>> o acota para s un campo de objetos, aplicndose a estudiar las leyes que describen Y explican el comportamiento de stos, reconstruyendo racionalmente ese campo. Puesto que cada disciplina estudia una especie de o bjetos, es natural que lo haga en un lenguaje especfico. Nada tiene de extrao que cada ciencia, aun compartiendo con otras ciencias muchos rasgos, presente rasgos peculiares, que se reflejan en el peculiar lenguaje que utiliza. Cada ciencia se hace (o incluso se puede decir que consiste en) su propio lenguaje, tanto ms alejado del lenguaje contidiano tanto ms . . ' '

sible - rcth. "'"1!11\ 1mlhle- justamente porque son posibles expresiones de es1e tipo. Y la cxistc:nc.i(l .,. Ulllnl!t!l lgicos en los que es1as construcciones estn prost:ritas. h"' de ser cclcbmd4t n 1 llll."thdR en que es por r~--pecto a ellas oomo adquiere autntico senlido - inlet "'11hft~ lt obm de los :~rtistas del lenguaje. Pero la lgka no es ni una ciencia ni un 1 lrllcmguuje. sino una cic:ncin y un tute ~tc tiene. segn tendremos ocasin de vol', '"'l"'fltnl(' lnte

48 lr>trOn to Symbo/it; >git and ils Applications. Nueva Yort... t h>Vor l'ubhcations. 19S8.

1 Hfll N, M. y NAOEL, E..: A11 lmrodr~ction to Logic and Scientific Method. Nuev;~ Yurk, Han:ourt, Broce and Comp.,ny, t9.l4. Versin c..stcllana de N. Mgue7: J"trml11cdn n lt1 Lgica y ul Mtodo cimtiflCO. 2 vols. Buenos Aires, Amorrortu rduurcs. 1968.

t "" t M lnmxJucrlon ro >glc. Nueva York. Thc Macmillan Company, 19H Vrr-.1611 c;ajlellana de N. Mguez: lnrroducci6n a la 16gica, Buenos Aires, Elldeba,

l~h2. 11 .' reimpresin, 1971. loiiAHR MORA, J. y L! BLANC. H.: Lgica matemtica. M:gfca. B.ucelona, Ediciones Ariel, 1962; reirnpresio er~ 1967 ~" 111 NIIA('II, H.: Ele,..nu of Symbofic >glc. Nueva YorkLondrcs. Tht Free

l'u ~,'Mac:Millan. 1947. 41 -'1\11\N, M.t lntrod11ccin n la IOgiC'a y al aJJlisis formal. Barcelona. Edicione.'

lrllt, t964. t970.

... t 11 1 W "1 h JommdtllioM of Afatlremat'ic'.s. A study in the philosophy o( scic:rux ~mlml.m Noroh-Holland, t9S9 2'

48 lnlroduccin s ls lgica formal

CURRY, H. O.: A Theory of Formal Deducibility. SouLh Bend, lod . Notre Dame Math. Lee1, n.' 6, 2.' cd .. 1957.

CURRY, 11 . 0 .: Fountkrtl

Captulo 11 LALOGICADE ENUNCIADOS

Nociones bsicas

1 ,;w;l'tmlo,'\ y conectivas

111 npurttdo ms elemental -en un doble sentido: el m~s s impk y, 1 uut)ln 1iempo, el apartado b~sico- de la lgica formal es la lt'.~lo" oh ~IIIIIICIIdOS 0 de propoSCOilCS.

Ahurn bien : la lgica, segn hemos sealado basta la saciedad '' " ,, o 1olluln nniCrior, nos llega hoy en forma de clculo. Mejor ,11, ltoo 1 loo~kn se nos presenW en forma de sistema de clculos, en l

52 lntroduocin a la lgica formal

validez formal de las inferencias mediante las cuales deducimos un enun-ciado 10nuuulo en bloque a partir de otro enunciado tomado en bloque tambin. En las pginas que siguen trataremos de desarrollar con claridad el sentido de cuanto acabamos de decir. Y lo desarrollaremos, para empezar, en un lenguaje intuitivo.

La t~rea de la lgica es, como tantas veces hemos sealado ya, el anlts1s formal de los ra zonamientos. Y el lugar de ese anlisis es el lenguaje. Slo en el lenguaje, slo en la medida en que estn formulados en un lenguaje se ofrecen los razonamientos a la posi-bilidad del anlisis. El analisis del razonamiento supone, por tanto, un anlisis del lenguaje. Un anlisis lgico del lenguaje. En efecto : ante una expresin como

djeroo las seis y llam Cabra 3 licin: fuimos y olmos todos.,

el anlisis literario reparar en las caractersticas del estilo de Francisco de Quevedo; el anlisis lingillst ico hablar -si se trata, por ejemplo, e~ concreto, de un anlisis sint!lctioo- de sintagmas nominales, de smtagmas ''"bales, etc. El anlisis, en cambio, desde el nivel en que ahora 110s enconrramo!, se limitar a sealar la existencia de cuatro enunciados: a) 'Dieron las seis'. b) 'Llam Cabra a licin'. e) 'Fuimos'. d) 'Oimosla todos'. Y en el siguiente cuarteto de Garcilaso la lgica no hallara tampoco por ahora sino cuatro proposiciones, a una por verso:

'

El ancho campo me P\1 rues, el textu entero constituye una nica proposcon COIII l'""t'' Pero den tro de ella distinguirlamos, por una parte, Ullll pll tiWitt 1uoposicin, sjmp1e o atmica 361 que seria 'se hubieren ucHh1uln 1 mil uNos'. Y una segunda proposicin compuesta de tres p o HNI t u1ro enlazadas por la conjuncin 'y', a saber: 'ser Satans soltudo 111 N 1''1'-14\n'. 'saldr a extraviar a las naciones que moran en los t;uutw n1ulm de la tierra' y '[saldr a] reunirlos para la guerra'. Y esto es 101!111

\nus. entonces, qu es lo que se quiere decir al afirmar, CCIII" ' 11 tm hemos hecho varias veces, que este primer apartado de la l~t"'

"'ur.. de las relaciones de inferencia entre enunciados tomado~ c:n w ... , .. r Quiere decir que el anlisis lgico se detiene por abora al borde lo luo rnunciados, sin penetrar en la estructura interna de :stos, sicnd11 1 '""''"''do, por tanto, la unidad de anlisis. Quiere decir que la lg1cn

11 '"'"l~iados es una lgica de los enunciados sin analizar. Quiere decu 1111 In loica de enunciados slo tendr en cuenta aquellas formas d~ el ol111 h un enunciado a partir de otro que sean vlidas sin neccsid11ll

H ltltJt'IIUi~S, 2(). 7 y 8. 1 n el .knlido d e que no pu(ldt ser IUUIIi;o:ada en partes q ue sean 11 su vc:t p h l

., ,,.,,, _

54 lntroOOccin a la lgica formal

de analizar por dentro cada uno de ellos. Los elementos q ue romponeo internamente un enunciado -trminos que designan individuos, trminos que designan propiedades, etc.- son, por el momento, irrelevantes desde el punto de vista lgico. Slo interesan los enunciados como tales, cada uno de ellos en cuanto formando uo todo.

Los dos razonamientos siguientes: Si la sociedad de los hombres ha de ser sJempre como ahora, entonces la co rrupcin es eternll.. Es asi que la corrupcin no es eterna.

Luego

y No h-a de ser sjemp.re como ahora la s.octedad de los hombres;

Si florecen las boneusU.s. entoooes se marchitan los tlipa.nes. Es us que no se mar-chitan los tulipanes.

Luego No Ooreoen las hortensias,

pueden darnos ocasin para hacer dos observaciones- estrechamente relacionadas, por Jo dems.

En primer lugar, habra que insistir en la distincin entre forma y rontenido de un ra.zonamiento. En cada uno de los dos cita dos el rontenido es diferente. Es obvio que en uno y o tro se habla de cosas dispares: de la condicin humana, en el primero; en el segundo, de floricultura.

Lo cual es tanto romo decir, en segundo lugar, que la forma per-manece cous tante, mienlras que el contenido vara. Lo cual. a su vez, es tanto romo volver a decir que hay dos tipos de signos: los sig-nos tc>t!Stall!es, que representan esa forma que no vara, y los signos variables, que constituyen el contenido, distinto en cada caso.

Ahora bien: puesto que la lgica se fija tan slo en la forma, parece que Jos dos razonamientos que aca bamos de presentar se reduciran, desde el punto de vista lgico, a lo siguiente :

Si ... ,entonces ... Es as que no

Luego No ...

Pero con esto no basta. Porque la lgica, si bien prescinde de los contenidos roncretos, distintos en cada ocasin, variCn

1n1111izun. Desde el punto de vista de la lgica de enunciados, In '"'"'" ' '" los razona:nientos no es sino el modo -los distintos "'' ' 1111 co mo esos enunciados se relacionan entl"e s. Y el contenido sun lu IH\IIlCiados mismos.

llnhlcmos, para empezar, del contenido"

1 o// 1

5e lntrtXIUCC/Ofl a la lgica formal

a un enunciado cualquiera, pero, en conalqu ier caso, a un enunciado'" Su campo de valores est constitu ido por el conjunto de los enunciados. Convendremos, siguiendo una prctica ya casi universal, en utilizar las letras p, q, r, 's', 'l', ere., como variables de enunciado.

La variable p, pongamos por caso, estar, entonces, en el lugar de un enunciado cualqu iera. Ahora bien: los enunciados de los que nos estamos ocupando por ahora son. como ya hemos sealado, los enunciados descriptivos. Y los enunciados descriptivos -a diferencia, por ejemplo, de los enunciados interrogativos, o de los prescriptivos-presentao una peculiaridad, ya indicada tambin: son siempre, o bien verdaderos o bien falsos; tienen necesariamente un valor de verdad 39

Por tanto, la variable p -de la que slo sabemos que puede ser sustituida por cualquier enunciado descriptivo- podra tener el valor verdad o el valor falsedad, y siempre necesariamente uno de esos dos valores. Lo indicaremos asl:

o bien asi:

donde, como es obvio, significa 'verdadero' y '0', 'falso' . Si en lugar de una sola variable tomamos dos a la vez y combi-

namos sus respectivos valores de verdad posibles, obtendremos una tabla de este tipo:

p q

1 l 1 o o 1 o o

n Y no. pOr ejemplo. a un adjetivo, o a un adverbio, o a un sustantivo. Ad)Ctivos. adverbtOS, suttanlivoa. 10n, como nos ha tnseado la gramtica tndional. parta de la oradbrot, 1 no oraooMI e-nteras.

.a En o1ro tupr de esta obra tnc:ootran\ el leaor una p~tacin esquc:mbca de aquellos otros sistemas 16ai

58 Introduccin a la lgica fonnal

La uegacin

Sea un enunciado cualquiera p 41 .

Con este enunciado podemos hacer, para empezar, algo muy s imple: uegarlo. La negacin de p sera, como es obvio, no-p; en smbolos,

' P Ahora bien: -, p' es tambin un enunciado. Tendr, pues, un valor

de verdad. Pero su valor de verdad no ser, evidentemente, el mismo que el de p. Ser ms bien exactamente el contrario. Si 'p' es verdadero, .._, p', que es su negacin, ser falso. Y si 'p' es falso, su negacin ser verdadera., . O. en forma de tabla:

LA conjuncin Sean al10ra dos enunciados cualesquiera, p y q.

Una forma muy elemental de ponerlos en relacin sera unirlos mediante la conjuncin y:

p y q

O, en smbolos:

p 1\ t

"h Sea una clase cua_lquiera A. 2 Pensemos en una clase cualquiera: la cla$e, por ejemplo. de los canallas. De en ..

formarn parte 1odas aquellas entidades que oste-n1en esa propicd~d. que mereuan ese califi-cacjvo. Y por respecto a esa clase podemos imaginarnos esca otra : la clase rorrnada por todas aquellas endades que no son un().') canallas, la clase de los no-cananas. A esto ltima clase se le lla mar clase complemento de la p rimera. As. ls. cla.e complemento de h1 clase de las cosas agradables ser la claiie de las cosas desagr.l.dables, la cJase oomplemcnto de la clase de los suicidas ser la clase formada por todos aqueJlos que no se han suicldado, ele.

Y si la clase de los s-uicidas Ja representamos as:

A

su chLse oomplemento seri. en slmbolels,

La lgica de eni.J/ICIB enunciados es, ella a su vez, un enunciado: la unin de dos tllunciados simples o das aquellas en1idades que son :t l:t vct

...... '''l'\ch"J$ y necios. Oicho sin rodc:o~.vi : lu da!it de lt)li g;tstcrpodos necio!>. E."ta cl~tsc es el , .. ,,, dr ht'l otnts dos. Se lo ll!1n11t fllnttnuur 'l'lfl;'i' >rorlucw'. Es el producto tlo lit l~tt! tuc lhullmos. l:unbtn i 'IIC'\

eo lnrtO " 1a lgica tonnal

Los miembros de una conjuncin - ambos, o uno cualquiera-pueden, evidentemente, estar negados:

Cul sera, entonces, el valor de verdad de. por ejemplo, la tercera de las expresiones que acabamos de escribir?

Si la combinacin de los valores de p y q es, como hemos visto,

la de los valores de p y -, q ser

p q

1 1 1 o o 1 o o

p.., q

1 o 1 1 o o o 1

puesto que los vulo res de .., q son justamente los contrarios que los de q.

dos enunciados es un enuoc:i~tdo. la intersoccin de dos clases es una dase nueva cuyos micmbrot Jerln tocb.8 1quellas entidades que pcrtcmczcan a la vez a una y a o1ra c:lasc. U inrercec::dn de la clatc de los c:naoos y de la dase de lO$ ~ los seres butnal'H)S-ariaoontecidos seri la c:lase de tos manos c:arilconlecidos. As pues. dd mismo modo que una conjuncin de enuncildos slo a verdadera cuando Jo son toJos sus miembros. de: una d.aac. producto de dos daae s~ formarn parte aqudl45 tntidade$ que: ;un miembros de ambaJ a la \ 'C'L

El pro

82 lntmduccin s la lgica formal

Pero tambin podriamos aplicar a p y q una operacin llamada 'disyuncin', que eonsistirla en unirlas mediante la partcula 'o':

poq

Ahora bien: esta expresin es ambigua. Puede interpretarse en dos senlidos: en sentido excluyente o en sentido no excluyeme. Y es que en el lenguaje ordinario podemos construir expresiones de esle tipo:

o se es paaa no o te es cns1 iaoo

Pero tambin de este otro

Han tido (UJIadoe todos aquellos que presentaba.o alg1.ma uua somittica o dct~ndiaD ideas d~SoJvcntcs.

En el primer caso. la disyuncin es excluyente: el ser pagano escluye el ser cristiano. Si se da una de las alternativas, entonces no se da la otra. O se es pagano o se es cristiano~ y tu> ambas cosas a la vez.

En el segundo caso, en cambio, nos encontramos ante una disyuncin que no es excluyente: por desgracia, nada impide - nada ha impedido-que hayan sido fusilados personas que reu nan ambas caractersticas, si bien en muchos casos ha baslado con poseer una de ellas para ser fusilado.

Asl pues, en castellano, la conjuncin 'o', por s sola, es de doble sentido". La ambigiiedad puede eliminarse, tal como nosolros hemos hecho a rriba ,. audiendo a la pura disyuncin la clusula ... y no umbas oosas u la vez'. Disponemos de varias clusulas ms de este tipo:

Una dcr d

04 lntrocJucc/n a 18 lgica lonna/

Es decir, que una disyuncin, en el sentido indic-ado, es verdadera con slo que lo sea uno de sus miembros. Y, naturalmente, es verda-dera tambin s.i lo son los dos. Imaginemos una pregunta como sta:

A q~ hora sale d tren hacia la toltnncia no represiva?

Y esta respuesta:

--41Hay un tren a las trece cuarenta r cinco o a las diecisiete cincuenta. y dout

Esta respuesta, que es una disyuncin, ser verdadera en tres case: 1) Si hay un tren a las trece cuarenta y cinco, aunque no lo haya a las diecisiete cincuenta y dos (caso J-0 de la tabla). 2) Si no hay un tren a las trece cuarenta y cinco, pero si lo hay. en cambio, a las diecisiete cincuenta y dos (caso 0-1). 3) Si hay dos trenes, uno a las trece cuarenta y cinco y otro a las diecisiete cincuenta y dos. Y slo ser falsa si como nos tememos- no hay tren para ese sitio a ninguna de esas horas"'.

Hasta ahora, sin embargo, nos hemos puesto en el caso ms sencillo. Porque, por supuesto, no todas las disyunciones son simples disyunciones entre proposiciones simples como

pvq r v s

etc.,

,..,. Volvamos u las cla$e' A y B ,dos clases cualesquiera. Suponamm que la clase A es la clase de todas aquella" personas que han conseguido

mnnltncrsc en el poder por medio del terror, y que la clase B es la clase de toda.~ aquellas personas que hnn oonseauido mantenerse en el poder me roed t1 la corrupcin.

Podemos, a baJe de la clase A y la clase B. construir 1a clase de todas aqueiJa.s pcrson:u que han conseguido mantenerse en el poder bien medjante el terror, bjen mediante la corrupcin, bien por ambos prodimie:ntos. P-~.ra ser miembro de la clase resultante:

resultante de esa operncn. la que llamaremos 'un 6n' o sumo de clases- no ha raJua -como 11 ocurda, en cnmbio. oon La operacin del pcoducco- haber ulilizadu como 1n1tnuncnto de poockr tanto e l terror como la corrupcin: basta oon haber utilizlld4 uoo de esos dos recursos. Aunque tambin. desde luego. formaran parte de esa clase unin quienes h1yan et:-hado mano de ambos.

U unin de dos clases A y 8 l.:t. simbolizaremos as

Av B

y la rt:pfC'Ient.aremos ul

La lgica de enunci:>dos 85

flllrf p1posiciones simples negadas

-, p V q r v ~s.

t tllllcs de verdad serian

opqopvq r1s r vls

o 1 o o

1 o

1 o

1 1 o o

o 1 o

1 1 o

ur lls miembros de la disyuncin pueden ser a su tni'U''"Ins. Asi,

(p V q) V r,

vez enunci:tth''

>ulnr de verdad (dado que para que una disyuncin -leng" ti .. ,.,., de rniem bros que tenga- sea verdadera basta con que lo "'''

.,,,, de ellos) seria . p q r (p V q) v r

1 1 1 l o 1 o l 1

1 o o 1 o 1 1 1 o 1 o 1 o o 1 l o o o o

u t HJthl vcrcmot. lot du;yuncin -comparable con la suma aritmtica., del mi~m~1 tJJ 1 \:l'ftJUn~n lo snia con el product~ liene. al isual que la suma -y tambtbl "' ~~~u. 111 IJU3l que el produce~. la propitdad asociativa. de tal suerte que un.&

11 '" .. '

(pvq)v'

" pv(q v ' )

........

88 Introduccin s la lgica formal

Podramos construir expresiones en las que aparecieran a la vez la conju ncin y la disyuncin. Cul seria el valor de verdad de una expresin como

(p A q) v r ? Se trata de una disyuncin, uno de cuyos miembros es a su vez

una conjuncin. Para hallar su valor de verdad hemos de hallar antes el de sus miembros. El de uno, r , ya lo tenemos. El del otro, (p A q). hemos de averiguarlo. No nos resultar dificil, sabiendo, como sabemos. cul es la regla para obtener los valores de verdad de una conjuncin:

p q r pAq

1 l 1 1 1 o 1 l o 1 o 1 o o o o 1 1 o o 1 o o o o 1 o o o o o

Y ahora, conocidos los valores de los dos miembros, podemos conocer ya el de la disyuncin, es decir. el de la expresin entera:

p q r p 1\ q (p A q) v r

1 l 1 1 1 1 o l l l o 1 o 1 1 o o o o o 1 l o l o 1 o o o o o 1 o 1 o o o o o

Utilizando a la vez los tres signos constantes de que hasta ahom disponemos, podemos cootruir expresiones como ~sta:

(o p V q) 1\ --, r9 Utilizando a la vez ~~ treS signos C()DS-tantes de que basca ahora dispooem"'

pOdemos coostrur e.xpresioor:s como ta: (-A V B)A-C

1

68 lntroducciOO s lB lglcB fonna/

E/ COntlciOIIal

Hasta ahora nos hemos limitado a traducir al lenguaje de la lgica expresiones como

muri Adooail y por sv muerte lloro (Shdley)

es decir, enunciados conjuntivos; o bien como

esto es, enunciados disyuntivos. Qut decir. son embargo, de enunciados como

.Ji d alma habla. t:n.tMc:t~ ya DO a d alma la que babb (Schi.'llrr)

La partcula 'si ... , entonces .. .' es tambin una partcula de unin entre enunciados. Podemos establecer entre un enunciado p y un enunciado q una relacin que consistira en decir:

si p, entonces q,

y que se s imbolizarla asi:

A los enunciados que tienen esta rorma les llamaremos 'enunciados ct>ndido,wtes' o 'condicionales', u secas.

En qut, casos ser6 verdadero un enunciado as compuesto? Veamos los casos posibles uno por uno. Tenemos, en primer lugar, el caso en que tanto el enunciado p -al

que, por la posicin que ocupa, llamaremos 'anteoedente' del condicional-como el enun.cindo q -el 'consecuente'- son verdaderos.

Es claro que s i tanto su antecedente como su consecuente son ver-daderos, un cond icional ser verdadero:

1 1 1 o o 1 o o

,. Es dtcir. si se nos pc:rmhr rl atropello lgjoo-form.l -.~ ti ,,'lnthu porcda inmwl o la nieve parec:i11 1nmvl:...

1.8 /6gica de envnciados 68

11 c~undo c:oso de la tabla tampoco parece presentar problemas. ti cu~o de que el anteoedente sea verdadero y el consecuente ralso. ti uochcionn l ser falso. En efecto : qu es lo que estamos diciendo 11 d lo , p. entonces q'? Estamos diciendo que si se da el hecho 111nndudu por p, entonces se dam el hecho enunciado por q. Estamo~ ... ttooclo que p es condicin suficiente - aunque, como veremos, no

nohdn necesaria- de q. Entonces, el hecho de que se d p y 1111 oll 1 constituye una refutacin del enunciado 'si p, entonces q' ",

h ,. r . lso.

p q p .... q

1 1 1 o o 1 o o

1 o

1 t)u6 decir ahora del tercer caso, el caso en que el anteoedcnt~ lol\lo y el consecuente verdadero? En un primer momento podrluon"'

"""'"' tentados a decir que cuando p es falso .Y q es vcr(),ulro" t~J~tsi6n 'si p, entonces q' no es ni verdadera ni falsa: podra patet 1 1 rlniCI, que. al ser ya ra lso el antecedente, carece de sentido >lu" ~~" 111 rwoblema de la verdad o falsedad del condicional.

1'''" ponsemos que estamos en una lgica bivalente. RcColl olnw '1" 1 .- onunciados con los que trabajamos slo pueden tener v "'

ullooncntc tienen que tener- uno de estos dos valores: voooluo l " 1 ulud. l~n los casos en que esos enunciados no sean fo~lst.,, , u I!Ut

ttl.ult~ os, y viceversa. Y en el caso 0-1 el enunciado 'si 1, Cl!ltHil 1 ~ 1 ' " r.olso. No es falso, porque al decir 'si p, entonces t(, ,, '"'1'" u 1 lll l ll llHJS d iciendo es que pes condicin suficiente! pero no lu mhh 11 ttlit Utn mces{u;a -es decir, no la nica condicin- de t. ( 'u l 1 o ' ''"too. pcrrectaonente la posibilidad de que q sea verdadera """'~"'

., r11 >. Y, en consecuencia, puesto que la falsedad de su aniC

70 Introduccin s la lgica formal

Queda ya slo el ltimo caso: aquel eo enunciado que hace de antecedentes como el de consecuente.

que son falsos que desempea

tanto el el papel

Cabe bacer aquJ las mismas observaciones que hacamos en torno a l caso a nterior. Una expresin como 'si p, entonces q', mediante la cual queremos decir que no se da p sin que se d q, slo ser falsa en el caso de que p sea verdadero y q falso. Y se no es aqu el caso. Por tanlo, puesco que la falsedad de p y de q no hace falso el con-diaonal por eUos formado, no queda o cro remedio que decir que lo hace verdadero 01.

1 1 1 o o 1 o o

1 o

Esa ser, pues, la labia de verdad del condicional 53*.

u En el ~nu~c ordinario. por lo dems, consuumm> a ,,.eces t:ondiciona.Jes como ~te:

SI l:'n~(l('ll!f de Ajrig.o:nto habio ~Q u UI)E'IIII, mtnn~u ti eprClmO - , 'f'\' y 'v: sirven para oomponc-r s.imbolOS de clast.S )' rorm:U ~t

72 lntiOduccin a 18 /Cgk;8 fOfmal

de la cual sera un ejemplo el enunciado

Si acepto el mundo que me or~ccn y soy feliz. asi. entonces empjezo a cavar mi propia ~epuhur; o bten, si no soy feliz asi. y no "oo tampoco posbllidad de Clmbar ese mundo, emprendo astmismo mi autoenlerramrento.

Otra expresin en la que aparecen a la vez la negacin, la con-juncin. la disyuncin y el condicional sera, por ejemplo:

((p A q) V r)--> (o r- (p A ql),

cuya tabla de verdad procedemos a construir.

Puesto que son tres las proposiciones que intervienen, ocho sern las combinaciones de sus valores de verdad :

((p A q) V r) .... p q r p A q (p A q) V r -,, pAq -, r-+ (p A q) [ r-+ (p A q)]

1 1 1 1 1 o 1 1 1 1 1 o 1 1 1 1 1 1 1 o 1 o 1 o o 1 1 1 o o o o 1 o o 1 o 1 o 1 o o 1 1 o 1 o o o 1 o o 1 o o 1 o 1 o o 1 1 o o o o o o o 1

Lu expresin es verdadera en los ocho casos posibles. Ya veremos por q1o esto era de esperar y ya veremos qu es lo que esto significa.

El bicolldicion(J/

Como sabemos. al decir 'si p, entonces q' estamos diciendo que p es condicin su1iciente de q, aunque no condicin necesaria : es decir,

a un slmbolo de clase-. y se lec

'la rlnu anttrsea:~n de Ll dase oomptemeato de la dase A y la dase complemento c:omplemc:n1o de 11 dJc Ir,

un.a expresin como

A c(BvCJ un cnuO(Qdo tob: da!a: 3 saber. el tnunciado

'la d.ue A tSCd incluMJa en la da1e suma de la cl:1'le H ,. 1.1 ,,,\(' ( '"

La lgica 00 8f/IHICJJclos 73

1111 '' e' verdad que p es condicin de q, del hecho de que se d t pot~lronus inferir formalmente que se dar q; pero del hecho de que se haya d1oln 11 no podemos inferir formalmente que se haya dado p. Cabe. 1ft rle

74 Introduccin s llllgicatormaJ

antecedente como su consecuente son falsos. Un enunciado como s~ y slo si p, entonces q', ser, entonces, verdadero cuando p y q tengan el mismo valor de verdad ,.. .

Juguemos ahora a introducir a la vez: en una misma expresin los cinco signos constantes que conocemos. Por ejemplo, en

[( p v q) -+ r] r l'IC()

A modo de aplicacin de todo lo dicho basta ahora acerca de los tlanus constantes de la lgica de enunciados y de las condiciones de weuh1d de los enunciados compuestos con ellos, imaginemos el siguiente prublema "

Supongamos que se nos en tregan ocho tarjetas que poseen la siguiente ol

76 tntr()(lucdn a 18 lgica formar

-sea .la 1: la 2, la 3. o la 4- hay un tringulo rojo' y por q el enunc1ado En esta taqeta hay un crculo azul'. De las tarjetas pode-mos ver una sola cara, y ello nos permite conocer el valor de verdad de uno solo de los miembros de la conjuncin en cada una de ellas :

Ahora bien: el enunciado a contrastar es una conjuncin. Y una conjuncin slo es verdadera cuando lo son sus dos miembros. El enunciado a contrastar es, por otra parte, un enunciado general: En todas las tarjetas hay un tringulo rojo y un circulo azub>. Este enunciado u.niversal equivale, por tanto, a la siguiente conjuncin de enunciados smgulares: .

Salta a la vista que ese enunciado no es verdadero. No hace .falr.a dar la vuelta a 11mguna tarjeta para saber que es falso, puesto que

pode~os ver ya que no ~e cumple ni en la tarjeta 2 ni en la tarjeta 4. Pod~1~ Ciertamente cumphrse en las tarjetas 1 y 3, pero, aunque as fuera, seguma s1endo falso, en cuanto que se trata de un enunciado general que - por cons1gmente- para ser verdadero habra de ser verdadero en rodas las tarjetas.

Cmo resolveramos el problema si el enunciado a contrastar en lugar de ser un enunciado conjuntivo, fuera uua disyuncin: En tdas las tarjetas hay uo tringulo rojo o un crculo azul>>?

Los datos del problema siguen siendo los mismos: .

~[QJ[QJ~ .. .. .., -1

Puesto que para que una disyuncin sea verdadera basta coo que lo sea uno de sus m1embros, sabemos ya que el enunciado es ver-dadero en las tarjetas 1 y 3, independientemente de Jo que haya en cada una d~ ella~ po~ detrs. As pues, para saber -que es de Jo que se trata- SI el enunc1ado es verdadero en todas, tendramos que /evamar las tar;etas 2 y 4. El enun~Jado general seria, entonces, verdadero s i por el otro l~do de estas dos taretas hub1era, respectivamente, un tringulo rojo y un cuculo azul.

Cuando el enunciado a contrastar tiene la forma de un condicional el problema se hace ms dificil. Veamos por qu. '

El enunciado .~n cuestin sera ahora ste: En todas las tarjetas donde hay un tnangulo roJO hay un circulo "'""' 1 decir: Dada

La lgica de enunciados 77

1111u WrJeta cualquiera, si en ella hay un tringulo rojo, entonces en ella h11y tumbit\n un crculo azul>>. Si adoptamos la primera formulacin illrque, aun siendo menos explcita, es ms natural.

,Por qu es ms d ifcil contrariar un enunciado como En todas l turjctas donde hay un tringulo rojo hay un circulo azul>>, que un tnunciado como, por ejemplo, >? En ambos casos se trata de enunciados '"'"puestos de dos enunciados simples (de dos enunciados que, adems. '"" los mismos). En un caso, el enunciado est compuesto con 'y'; '11 c.1l o tro, con 'si ... , entonces'. Pero ocurre que mientras en Ja con ltlll\.1in --o en la disyuncin, o, como veremos, en el bicondiciona l rl ,.,~,, de los enunciados es irrelevallte (es lo mismo, en efecto, dc.:i1 l n todas las tarjetas hay un tringu lo rojo y un circulo azul>> que 1lr1 Ir En todas las tarjetas hay un circu lo azul y un tringulo rojo,

our~ lanto monta 'p 1\ q' como 'q " p'), en el caso del condicional " " llullciudos que lo componen estn, por definicin, ordenados: el uno ha~o tlr uutcccdeote, y el otro, de consecuente; sus posiciones no son interc:un hl11hks, puesto que el uno enuncia la condicin y el otro lo condicion11do, ,, Jll'imera precede siempre lgicamente al segundo. No es lo mismu 1lr1 il' ~> que decir En todas las tarjctu

11 111~ que hay un crculo azul hay un tringulo rojo>>. JIJ problema, por tanto, se hace ms dif'cil cuando el enunciado .>

tnlltl'nstar es un condicional porque en el caso de ste hay que cnn"li ''"""' adems el orden de Jos enunciados que Jo componen. Un ortkoo ''"" no puede ser a lterado so pena de transformar el enunciado en " '" ' o111 no le es equivalente 58. Puesto que el antecedente es 'Hay un triilnj1ul" 1"' resulta necesario, para quien intente resolver el problema. suptl l ltl l 1"" todas las tarjetas muestran un tringulo, y, por ende, suponer "'" ol de las tarjetas - la 2 y la 3- estn vueltas, mostrando un trilonlll uyn color, sin embargo, desconocemos.

Oo:sde el momento en que hemos sido capaces 59 de imagi"''""'" '1"" l11s caras no visibles de estas tarjetas estAo a la vista, el problonoH

" 1!1 enunciado 'p - q no es equivalente al enunciado q - p, como lo pruci'M l ht'd1o de que sus tablas de verdad arrojan resultados distintos:

1 t 1 t 1 o o t o t t o o o 1

'' V lus dutc>S de la psic:::olgt JXtfCCCII indicar que. no es raciJ poseer - o. ol mt nn ... tu>illt.u e,

78 Introduccin s lB lgica formsl

deja prctican1ente de ofrecer dificultades. Puesto que el condicional slo es falso en un caso, a saber, cuando su antecedente es verdadero y su consecuente falso, hemos de levantar slo aqueUas tarjetas que hagan verdadero el antec:eden te 60, por ver si su cara no visible hace falso el consecuente (es decir, por ver si en el otro lado aparece dibujado un crculo rojo), y en ese caso el enunciado a contrastar sera falso ; y aquellas o tras que hacen falso el consecuente, por ' 'er si en su cara no visible enen dibujado un tringulo rojo (es decir, por ver si hacen verdadero el antecedente, que tst oculto, pero que hay que imagi11ar oisible con sus dos posibilidades de color), y en ese caso el enunciado seria as mismo falso:

Ha brla pues, que levantar las tarjetas 1 y 2 62. Nos queda por examinar el caso en que el enunciado cuyo valor

de verdad hemos de determinar es un bicondicional. Ese enunciado bicondicional podramos formularlo as: Solamente hay un circulo azul en aquellas tarjetas en las que hay un tringulo rojo>> 63. O tambin, puesto que el bicondicional no es, como hemos visto, sino una con-juncin de condicionales, as: .

Qu tarjetas habra que levantar para averiguar el valor de verdad de un enuoci11do corno ste? La respuesta es: todas.

En efecto : un enunciado bicondicional es verdadero cuando y slo cuHndo los enunciados que lo componen tienen el mismo valor de verdad,

o Es decir, uqucllas que O!ltenten (o puedan ostentar por -su cara no visible que., en elle CiliO, hnbri&~ que c:on.sidcrn como antecedente) un tringulo rojo.

Es declr, 1aqucllas en las que aparece dibujado un circulo que oo es azul, sino rojo. n S inclu110 J>O b tarjtca 4- resuh UTt:levante parad asunto que nos ocupa.

J Esto\ formulaci6n lueot IDCJOr-. aunque es mc:nos litt>ral, mtOO$ cc:aonica, que esla otl"': .Si y tolamente si en una tarjeta hay un triiogulo rojo. emonc:es hay .ambio un drtulo axuLt

... O. mis literalmente: Si eo una ta.rjeta hay un triin..guJo rojo, entonces hay 1an1bln un drc:ulo azul y SI en una ta.Jjeta hay un d.rtulo azul. c:nl('~ hay r:tmbttn un tribaulo rojo,.

La lgica de eniJ()(;!ados 70

.. olrolo, cuando ambos son verdaderos a la vez o cuando ambos son llloo 11 In vez. Por tanto, slo podemos determinar el valor de verdad .. 1111 enunciado bicondicional si conocemos los valores de verdad de

J,,. enunciados que lo integran. Y en este problema slo conocernos, 111 '"''" tnrjeta. el valo r de uno de ellos. Es necesario, pues, para conocer "' '" caso el otro, dar la vuelta a las cuatro tarjetaS.

"'''"'Ir lgico y ltnguaje cotidiano

80 lnlfOdUcci6n a lo lgica fonnal

-- tmpurluntes desde el puolo de visla lgico. Porque lo nico imporlanlc tl .. dc un punto de vista lgico es la eslructura del enunciado, y eso no 11\ln no lo hemos perdido, sino que lo hemos retenido en soliturin ; 11 lllnllt1ponde una y una sola expresin del lenguaje ordinario, ni vicc:vt~> 1 rcrlacin entre eUos no es de 11n0 a amo, sino de mo a mm lla u h1c-n, en otras ocasiones, de muchos a ut&O. Veamos cmo y por tut

1 >el lenguaje natural, en comparacin con el lenguaje lgico, se puchu dfdl dos cosas : que es demasiado rioo, o que es demasiado xlb>r

~ 1111 e truta de una contradiccin, puesto que cada cosa se dice en un nlldn distinto.

l'n un cierto sentido se puede decir que el lenguaje natural - cua l-11"'"" de las lenguas- es superabundante desde el p unto de vis ta

~'1" ", es decir, que para expresar una misma relacin lgica, el lenguaje 11otu1l permite utilizar distintas expresiones.

M h11 decbo a menudo qu~ cl lenaUije se queda cono ante: ha reahdad. CIUf ""' lht lorpemc:nte inexpresivo ante las much.u y diversas oosas que querc:mot c:xprn,1u.

' . 111mhW'n c~tbra 1rirm:n c:n llltu'- a.tnlldo que c:l lenguaje es supcrabu hd.1nte, Ql.l t

82 lntroduccln a la lgica formal

Veamos un ejemplo. Sean Jos diez enunciados siguientes: ( 1) Es agradable caminar bajo la lluvia, siempre que se tenga algo suficientemente

triste en que pensar. (2) Si la tarde est oscura, me invadirit el optimismo. (3) Cuando alguien escribe oomo Borges, puede discul j)ilrsele todo. (4) Bien pcns.ado. no hay por q u ser bienpens.antc. (S) Como .siga aparentando tanta felicidad. empezar a pensar que sufre conside-

rablemente. (6) Se puede. decir que Marx tri\ un hegdiano, con tal de que se adare en qu

sentido y hasta qu punto. (7) 6n no habiendo vino no hay ya amor (Eurlpides), (8) T dedcate al amor libre y vtr.is cmo te sorprende la muerte en pecado

mortal. (9) En caso de que sople el viento, podremos n;.tvegar a vela.

(JO) De haberlo meditado bien, no me hubiera atrevido a escribir este libro.

Pues bien: estas diez frases, tan distintas por lo dems, se reducen, desde el punto de vista lgico, a sta:

Todas ellas, e o efecto, puede o tomar esta forma:

( 1) Si se tiene algo suficientemente triste en que pensar, entQnce.~ es agradable ca mina r baj la lluvia.

(2) Si In tarde est oscura, emottces me invadir e l o ptimismo. (3) Si a,lguien escribe como Borges. tnrOnCt$ puede discu.lp:i.rselc todo. (4) Si bie1, se piensa, ttrrroncu no hay por que ser bien pensante. (5) Si sigue aparentando tanta felicidad, enumc:~s empezar a pensar que sufre

ooosidera.btementc. (6) Si se aclara eo qu sentido )' hasta qu punto. emonce:t se puede decir que

Marx era un hegeliano. (7) Si no hay vino. eruoncrts ya no hay amor. (8) Si te dedicas si amor libre, entonce$lll muerte te sorprender en pecado morwl. (9) Si sopla el viento, enton

84 lnl!rXIu Perdnanos nuestras deudaS estoy jugando a suplicar. Cuando digc>

~si no estoy preocupado por ese asunto, entonces es que no soy un

La lgica de envnciactos 86

"'""'''co. Pero, puesto que soy un neurtico, ese asunto me preocupa11. lltny Jugando a razonar, a inferir unos enunciados a partir de otros. \' " cuc hay un juego de lenguaje, una forrna de jugar con el lenguaje

Jlnurio, que consiste en razonar, en hacer inferencias. Pues bien: el lltlathtje de la lgica, construido sobre la base de este juego o rdinario .. lrnguaje, es un juego de lenguaje formalizado que consiste, pur.l y 11m1lemente, en razonar. Las relaciones entre el juego de la lgica en el lltlaunje ordinario y el juego de la lgica en un lenguaje formalizad"

.e pueden establecer de una vez por todas. Hemos dicho ya que el ...utdo es una rec:onstruecin, una puesta en limpio del primero

lt&hs de razonamiento, que en aqul eran vagas e implcitas. ;e, l>rn en ste explicitas y precisas; la estructura de los razonamiento.

t rn aqul estaba oculta o incluso desfigurada, se hace en ste patentr 1 '"1'" La traduccin de un lenguaje a otro no es una traducci,\n

IUho~n4tica. Exige, como toda traduccin, percepcin de matices, imaK' lltl~tn, ntencin. en suma, a un contexto ilimitado.

1 , uttJuntO de fas conectivas

llrmos enumer:1do, hasta ahora, cinco conectivas: la negacin, 111 njunci6n, la disyuncin, el condiciona l y el bicondicional. Es clilh'

11u lu enumeracin no es exhaustiva. Son posib1es, evidentemente. n t lltllll "'"' hnN fom1as de conexin entre enunciados. Cuntas?

""'~N de responder a esta pregunta es necesario poner de rchtv h llfcrcncia importaote entre la negacin, por una parte, y, po1 11111

jllth'. lns o tras cuatro conectivas hasta ahora mencionadas. L11 tlllt 11dn ~N 6sta: mientras que la operacin Uamada 'negacin' se u lll111 ,,, vct a una sola proposicin, sea sta simple, como

-, p,

n1pucsUL, como

-, (p V q), -, [(p 11. q) ~ r],

etc.,

alolllcfll de las otras conectivas que hemos visto al= siempre

' 1 n afmbok>s: (-. p- -.q)-(q- p)

lflll 1ll' un r11ronam~to form31rnc.nte: vhdo. El esquema oorrespC:)Qd"iente se "''"f~-~ ""'"'~"- d~ antiJUO, y rcche m.)(krnamente.. corno 1a.mbin wc:rcmos. el t\(\tnhtco

f,;y 1 H1t'llfl'l>l:'t~bn fc:lel eomhdmll'

86 lntroduocin a la J6glca form81

a dos enunciados, necesita al menos dos enunciados para poder aplicarse. No podramos, en efecto, construir expresiones de este tipo :

P" vq p-+ ~q

etc.

Dicho de otro modo: In conjtmcton, la d isyuncin, el condicional y el bicondicional son conectivas tlidicas o binaria.~. La negacin, en cambio, es una conectivn mondica o sin{Jrllaritl.

Pues bien: cuntas son las co11ecv"s roondicas? Y, cullntas la., didicas? Es decir: cuntas operaciones pueden realizarse con una sola proposicin? Y con dos proposiciones?

Con una sola proposicin se pueden llevar a cabo cuatro operaciones. Hay cuatro conectivas mondicas, por tanto.

Con dos proposiciones son posibles diecisis operaciones 69 Son, pues. diecisis las conectivas didicas.

Por qu? No porque de hecho slo hayamos encontrado cuatro y diecisis.

respectivamente, sino porque, por principio, son cuatro y diecisis, y n pueden ser ni menos ni mfis.

Veamos primero por qu las conectivas di dicas son, de una vez por todas, exactamente diecisis'"

Hemos dicho que, dados dos enunciados cualesquiera, son cuatm las combinaciones que pueden hacerse de sus valores de verdad. Lo re presentbamos as:

fl q

V V V F F V F F

Ahora bien: puesto que la falsedad de un enunciado supone );o verdad de su negacin (y viceversa, por supuesto) cabra dar a cst:o' cuatro combinaciones la siguiente forma:

a b e d (p A q) V (p A -, q) V (o p A q) V (-, p 1\ o q),

6~> Con tres: proposiciones. 256 operaciones. Con cuatro, 65.536. Con cinco. 4.294.1)67.2')ft Etctera.

;o Aunque sera m{u; natural ~mpc.zar por la& cuatro conectivas rnon3dic:Jt. nn fliH('H' que la alteracin del Qrden ha de &el vir p;tr:t una mc:jOt' oomprc:n!lin del 3!1>\lnto,

La lgiCa d6 enunciados 87

1 dn Cll un c~phulo posterior, ~ 1 n ~enen1l , y como f mall ~ . 11! un t'IIIUJtmto tiene n mietnbi'OS. sus sulte,) IIIUIIItl ll

1 ; n numct(1 de 2". A~i 1'11('11, M d PIIIJUnltt que: nos ocupa tiene, ~lmo d ll ll~d\ 1 I~ IIICilh\11.. lcndr:'l 2, Cll 11i-1 11 tllll h~l. 'Uht.:OIIJUill(l$.

88 lnrrodUccin a la l6gicB lcxmal -

En primer lugar, podra tenerse por paradjica la afirmacin de que un conjunto es un subconjunto de si mismo. Pues lo es, y para comprenderlo basta con atenerse esltictllmente a la definicin de subcon junto: un conjunto es subconjunto de otro cuando todos los nliernbro' del primero son nlicrnbros del segundo, aunque no necesarianrenre a /u inversa. No es necesario que se d la inversa, pero nada impide tampOC {a. b, e, d}? Pues porque el conjunto vaco es un subconjunto de rodo conjunto. Y esto, a su vez, por qu~?

La tabla de verdad del condicional

p q p-+q

1 1 1 1 o o o 1 1 o o 1

podr a parafrasearse diciendo que un condicional con consecuente ver-dadero es ya verdadero independiente de cul sea el valor de verdad del antcc:edente (casos 1-1 y ()..1); y que un condicional con antcoedentc falso es ya verdadero tambin (caso 01 y 0..()). Es esto ltimo lo que no' interesa.

En efecto : decir que la clase A est incluida en la clase B es tan le> como decir que, dado un obj eto cualquiera, x, si x es un nliembru del conjunto A, enronces x es tambin miembro del conjunto B.

Esta ltima expresin es, como bien sabemos, un condicionaL Ahora bien : si suponemos que ese conjunto A es el conjunto vaco, resultar: que ese condicional tendr un antecedente falso, puesto que, por definicin , no hay ningn x que sea mjembro de la clase A. El condicionul

111\lruido con ese antecedente ser, pues, vel'dadero. Y, en consecuencia. lilmpre se podr decir con verdad que el conjunto vaco est incluido en n conjun to. sea ste el que fuere. El conjunto vacio es, pues. un bo:onjunto de todo conjunto.

fenemos ya. pues, los diecisis subconjuntos. Pero. que es lo que .... , diecisis conjuntos representan? Qu representa, por ejemplo, el 111hcnnj unto (a) Representa el hecho de que de Jos cuatro pare~ de 111nnciados

CP " qJ, (p " ..., q), C P " q) Y e-, P " -, qJ.

"el primero, (p " q). es verdadero. Es decir: que ese subconjunto corres-tnlcr:'o a una conectiva cuya tabla de verdad ser~ la siguiente : 1, O, O, O.

lubconjunto {b, d} representarA que son verdaderos los pares segund '""'lo, y falsos los otros dos. Corresponden\, por tanto, a una conectiva 1' tabla de verdad seria tsta: O, 1, O, 1. Etctera. Tenemos, asl, diecisis

1

1 )

1

l 1 (

1

1 o o o

2 3

o o 1 o o 1 o o

4 5 6 7 8

o 1 1 1 o o 1 o o 1 o o 1 o o 1 o o 1 1

9 lO 1 1 12

o o 1 1 1 o 1 1 1 1 1 o o 1 o l

13 14

1 o o 1 1 1 1 1

15

1 1 1 1

o o () o

t)uc podrlnmos represenuor tambin a si:

2 3 4 5 6 7 ll

, . { 1 - - - p " q p " q p 1\ (J fl "-ot - - pAo(J - - PA -,,,

-o pAq

-- ' P" q -

-- 'P "-,q - - 'P" ' q 'P

_.._

o 1() 11 12 13 14 15 16

P"CJ pAq p " q - p " q -, 1/ P" q p "q - p " q p "-,q -

,, " 1/ 1ft " q -op Aq op 1\ q -op " q -op 1\ (J -

'''"''' - 11' A "'

,,, 1\ ., , -o pl\ -, 'f -. ,, 1\ ., 1{ -

90 IntroducCin a la lgica formal

E ntonces, la conectiva nm. 10, por ejemplo. oorresponde al suboon junto {c,d}. La nm. 13, al subconjunto {a,c,d}. Etctera.

Como el lector habr observado. la oonectiva que lleva el nm. 1 es la oonjuncin. El bioondicional es el nmero 7. La disyuncin es el nmero 11. Y la conectiva que lleva el nmero 13 es el condicional Estas son las nicas que por ahora conocemos.

Po r el mismo proced imiento podemos llegar a establecer las cuatn conectivas monadicas.

Dado un enunciado, dos pueden ser sus valores :

Es decir:

a b p V-, p

Nos hallamos ahora ante un conj unto que tiene dos miembro) la, b}

Este conjunto tendr 2', es decir, 4 subconjuntos. Estos:

{ erdad

l )oponemos ya, por tanto. de veinte signos constantes en total. "'"'"' dicho, un tanto vagamente, que la misin de estos signos '"'""'es de la lgica de enunciados - y de ahl uno de sus no mbres.

11 d conectivas>>- era la de servir de enlace entre variables, la de ""'"r proposiciones. Pero, cmo podramos caracterizarlas oon m!ts

p! ""n'' Cul es, en r igor, su naturale-m'l So>ll Jimciones. Frmcio11es tle vertlatl. O, al menos, como tales pueden

lfiHICI'Se. 4 ) 116 es una funcin? 1 lnpc';mdo por el principio, y a la espera de una definicin m;i s

lh 111 que en su momento daremos, podemos decir que una funci n 1111 tipo especial de relacin. De relacin, entre qu? l.unemos una expresin como

x 1 + 7.

1 1s

lulh> Cortzar', estaremos refirindonos a Bruselas. Etc. lo>lllemos un tercer ejemplo. Sea la expresin

y es cl doble de x

1 evidente q ue y est en funcin de x: del valor que demos ' , )'t'lnlor;\ el valor que tome y. Si a x le damos el valor ' 12', y rom:u.> lo11 '24'. Si a x le damos, en cambio, el valor '273', y tomar.>

ulo~r '546'. Por eso se dice que x es, en este caso, la variable 1' miornte, la variable a la que le asignamos arbitrariamente un valor

1l1111Cra de entre los que constituyen su campo de valores, mientms t ocra la variable dependiente, aquell a cuyo ''"lor queda automtica-

"" determinado a l asigna rle un valor a la variable independiente" tlnu funcin es. por tanto. una relacin entre dos campos: el campo

lito .,, vulores que se pueden asignar a la variable independiente - u los tiiW " '"" "remos

92 lntroduccl6n a la lgica formal

que, en co rrespondencia con aqullos, toma la variable dependiente - y a los que llamaremos propiamente valores de la funcin. As en el ejemplo citado, '24', en el primer caso, y '546', en el segundo, ;00 los nombres del valor de la funcin cua ndo los valores del a rgumento de In funcin llevan, respectivamente, los nombres '12' y '273'. . Y pensemos, en cuarto lugar, en expresiones funcionales del siguiente

tipo:

El autor de x es Henry Purcell

Podemos dar libremente valores a x. Podemos darle, por ejemplo. el valor 'Conc1erto de Brandeburgo n. 1' Preguntmonos aho ra cul sera el valor de la expresin

El autor de1 Ctmdtrt() d4! Brandtbl4rgo 11. 1 es Henry Purccll

Este enunciado es falso. Cul ser, en este caso, el valor de la funcin? En el primer ejemplo que hemos puesto, el valor de la funcin era un nmero. En el segundo, el nombre de un lugar. En el tercero. de nuevo UIJ nmero. En el cuarto, el valor de la funcin es un 1)(1/or d

94 lntroduccn a la lgica fonnal

en el que aparece el smbolo de que se trate en trminos de otr,, contexto en el que el smbolo en cuestin ya no aparece. Definir contextualmente una conectiva consiste, entonces, en mostrar cmo puede sustituirse una expresin compuesta con esa conectiva por una expresin que no la contenga y que sea, desde Juego, equ ivalente a la primer:~. Se trata, obviamente, de definiciones sintcticas, en las que no se hace alusin alguna al significado de los trminos, s ino tan slo a sus relaciones'~

As, definir contextualmente la funcin que en nuestra tabla lleva el nmero 9 (y que corresponde, dicho sea de paso, a la disyuncin excluyente)

1 1 1 o o 1 o o

o 1 1 o

consistira, por ejemplo, en decir Pfq =o> (p -q),

14 De las cuatro funciones monftdicas nos hemos quedado tan slo con la negacin La5 otras tres son definibles por medio de 6sta >' de alguno de lO$ functores didic~~ En efecto : In funcin monitdica nm. 1, cuyos vaJore.'i son : J, 0} se definira a..o;:

p A p.

expresin cuya. tabla verdad es

mientras que la definicin de la funcin mondica nm. 3 ser.a

p V !p.

oomo lo prueba la siguicn[c t:tbla de- \'Crdad

p op pv o p

1 o o 1

Por Ullimo, la funcin mondica nm. 4 tcndria, como defin icin ooncextuaJ. esta:

p o p p11.-,p

1 o o o 1 o

La lgica de enunciados 95

111 In cual hemos definido uo contexto, 'pJ9q', en el que aparece 1~ ontctiva que se trata de definir, en trminos de otro contexto, ., (p - q)',

fll 111 que la conectiva en cuestin no aparece, y que es, adems, equi-wI~IH~ al anterior, como se puede ver comparando las tablas de verdad lit 11mbas expresiones

p q p+->q '(p+-+q)

1 1 1 o o 1 o o

1 o o

o 1 1 o

Almismo, podramos definir contextualmente la funcin que hace el Ptlllulfo 6, del siguiente modo:

Pf en efecto, de expresjones equivalentes:

r '1 Pfq p q pAq 'P opA q (p A q) V (-, p A

96 lntro didicas pueden ser definidos en trminos de contextos en los q ue nter vengan, bien tan slo ...,. y 'v', bien tan slo ._,, y 'A', bien tan slo ._, . y ... .

Veamos cmo. Es evidente que, puesto que las diecisis funcione.' didicas son reductibles a las cinco que conocemos, si mostramos que esta> cinco son reductibles a dos habremos mostrado que a estas dos son reduc-tibles las diecisis.

Hemos dicho que en el lenguaje lgico los contenidos del razona miento se esquematizan mediante variables con un determinado camx1 de valores. En el caso concreto de la lgica de enunciados o de prOpo$icione.. esas variables tendrn como campo de valores el conjunto de los enun-ciados 7 6 Sern variables de enunciado. Una expresin como

(p " q) .... (q " p) es. en realidad, un esquema de infinitas expresiones: el esquema de Ja, infinitas expresiones que podriamos obtener sustuyendo 'p' y 'q' "'" enunciados distintos e1da vez.

J>ues bien: ahom, Hl mostrar cmo unas conectivas pueden ser defrnid:~s en trminos de otras, vamos a urilizar, no ya variables, sino ooriablf., de lllrrlliiJ/es. mctnvariables. Y asi como las variables 'p', 'q', 'r', 's', 't', eto. pueden ser sustituidas por pro posiciones cualesquiera, as! nuestras meta variable~;. 'X'. 1 Y\ z, etc .. podran ser sustituidas por cualesquier:t expresiones co mpuestas de variables de enunciado. Utilizamos meta varia bies pu ra ha blar acerca de expresiones construidas con variables de enuncio do, p:u11 met~c/(JIIar variables de enunciado. Ellas pettenecen, por tanto, a l metalenguaje. Son, pues, va riables mewlgicas, y, sealadamente, silltcticas, pues en las ex presiones en que aparecen slo se hace referencia a las relaciones entre secuencias de signos, y no tambin, por ejempJ,, al significado