libro mate

Coordinación generalDirección Académica del INEA

AutoresRoger Díaz de CossíoAlfonso Ramón BagurFausto Ramón Castaño

Coordinación gráfica ycuidado de la ediciónGreta Sánchez Muñoz

Correción de estiloArmando Cerón RoaLuz Ma. Matamoros VieyraLaura Sainz Olivares

Diseño gráficoLuis A. Díaz GarcíaJulieta Matamoros Vieyra

PROPEDÉUTICO PARA EL BACHILLERATO • MATEMÁTICAS

D.R. ©, 2000, INSTITUTO NACIONAL PARA LA EDUCACIÓN

DE LOS ADULTOS, INEA. Francisco Márquez No. 160,Col. Condesa, México, D.F., C.P. 06140.

Esta obra es propiedad intelectual de los autores y losderechos de publicación han sido legalmente transferidosal INEA. Prohibida su reproducción parcial o total porcualquier medio, sin autorización escrita de su legítimotitular de derechos.

ISBN: xxx-xxxx-x obra completa. Educación para la vida.ISBN: xxx-xxxx-x Propedéutico • Matemáticas. Libro del adulto.

Impreso en México

INTRODUCCIÓN

SUGERENCIAS

1. HABILIDAD MATEMÁTICASUCESIONES, SERIES Y PATRONESPROBLEMAS ARITMÉTICOSPROBLEMAS DE RAZONAMIENTO

2. ARITMÉTICAALGUNOS NÚMEROSFRACCIONES, DECIMALES Y POTENCIASPROPORCIONALIDAD

3. ÁLGEBRALOS DICHOSOS SIGNOSPOLINOMIOS, FACTORIZACIÓN Y PRODUCTOS NOTABLESECUACIONES DE PRIMER GRADO, SIMPLES Y SIMULTÁNEASECUACIONES DE SEGUNDO GRADOGEOMETRÍA ANALÍTICALAS SECCIONES CÓNICAS Y SUS ECUACIONESGRÁFICAS DE ECUACIONES

4. GEOMETRÍAELEMENTOS BÁSICOSÁNGULOS Y TRIÁNGULOSSEMEJANZAPOLÍGONOS, CÍRCULOS Y SÓLIDOSTRIGONOMETRÍA

5. PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

6. NOCIONES DE PROBABILIDAD

RESPUESTAS

ÍNDICE

V

VII

11015

233040

49505461678090

97100112118135

145

157

169

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

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○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

V

INTRODUCCIÓN

1. Habilidad matemática: sucesiones, series y patrones; problemasaritméticos y problemas de razonamiento.

2. Aritmética: fracciones, decimales y potencias; y proporcionalidad.

3. Álgebra: factorización y productos notables, ecuaciones de primero ysegundo grados, geometría analítica plana y gráficas de ecuaciones.

4. Geometría: ángulos y triángulos, semejanza, polígonos, círculos ysólidos; y trigonometría plana.

5. Presentación de la información.

6. Nociones de probabilidad.

Cualquier persona que se tome unas horas para estudiar las explicaciones, losejemplos resueltos y resolver los ejercicios de este libro podrá aprobar confacilidad y elegancia la parte de matemáticas de los exámenes de ingreso a laeducación media superior. Este es el único propósito del texto.

El material está organizado según el orden de los temas que sugiere elCentro Nacional de Evaluación para la Educación Superior (CENEVAL), aquien se agradece su orientación. Aunque sólo los autores son responsablesdel contenido del texto y de los errores que se hayan cometido.

Se presentan 304 ejercicios, cada uno con cuatro respuestas posiblesde las cuales sólo una es la correcta. Estos son los típicos ejercicios que sepresentan en un examen de opción múltiple. Para ayudar al lector, las respuestascorrectas se presentan al final del libro.

Los seis grandes temas que se tratan son:

VI

Cada uno de los temas comienza con una explicación seguida de ejemplosresueltos. Después, se plantean los ejercicios, numerados consecutivamente.

El tema de geometría analítica se explica con mayor extensión que losdemás por diversas razones. Primera, porque es un tema que generalmenteno se cubre en la secundaria o, si se cubre, es de modo muy superficial.Segunda, porque puede haber una pregunta relacionada con él y, aunque seamuy superficial, necesita de cierta comprensión por parte del alumno. Tercera,porque un dominio, por elemental que sea, de la geometría analítica refuerzalas habilidades en álgebra. Y cuarta, porque facilitará el aprendizaje del temaen la educación media superior.

Esperamos que el lector disfrute el libro y no se arredre ante los retosque sin duda le presentará. Ejercitarse en matemáticas es divertido y refuerzala imaginación y la autoestima.

VII

SUGERENCIAS PARA TENER ÉXITO EN UNEXAMEN DE RESPUESTA MÚLTIPLE

Un examen de respuesta múltiple se hace con tiempo limitado y tiene lapeculiaridad que, después de cada pregunta, existen cuatro o cinco respuestasy el alumno debe señalar la que a su juicio es la correcta. Los alumnos sonevaluados por el número de aciertos. Por lo tanto, debe maximizar el númerode aciertos. Para lograr esto se hacen las siguientes recomendaciones.

1ª. Lea con calma todas las preguntas y al encontrarse con alguna dondeesté seguro de la respuesta, sin hacer ningún cálculo, márquela. Así,después de esta primera lectura, tendrá ya un porcentaje de aciertos.

2ª. Regrese al principio y vaya resolviendo las preguntas que sabe cómoresolver, pero que necesita de cierto tiempo para hacer cálculos ycuentas. Así acumulará otro conjunto de aciertos.

3ª. Reflexione sobre las preguntas que le faltan por resolver. Es posibleque pueda sumar unos cuantos aciertos más.

4ª. Este pendiente siempre del tiempo que le queda. Cuando falten 10minutos para que le recojan el examen, marque una respuesta posibleen todas las preguntas que le falten. No deje ninguna pregunta sincontestar, porque contará en su contra. Existe siempre la posibilidadque haya marcado alguna respuesta que sea la correcta y acumulealgunos aciertos más.

En algunos ejercicios de matemáticas es a veces más fácil examinar lasrespuestas y deducir cuál es la correcta. Por ejemplo, cuando le piden quediga qué valores numéricos satisfacen una ecuación.

¡Buena suerte!

HABILIDAD MATEMÁTICA

1

1. HABILIDAD MATEMÁTICA

SUCESIONES, SERIES Y PATRONES

Una serie es un conjunto de números, literales o dibujos ordenados de tal manera que cualquiera de ellos puede ser definido por su antecesor o por el que le sigue, mediante una regla. A los elementos de una serie se les llaman términos. A continuación se presentan algunos ejemplos de series:

__ , 5, 10, 15, 20, __

En esta serie se puede establecer que al aumentar o disminuir 5 enteros se puede definir el término que sigue al 20 o el que antecede al 5. Con esto se puede escribir la serie completa de la siguiente manera:

0 , 5 , 10, 15, 20, 25

En las series es muy importante definir la regla mediante la cual se pueden encontrar sus elementos. Así, en el ejemplo anterior se puede establecer la siguiente fórmula:

Si a es el primer término con que se inicia la serie, n es el número de términos, d la cantidad que se suma, resta o que modifica a la serie y A el término que se busca. Se puede establecer que:

[a + (n – 1 ) d ] = A

Con esta relación se puede definir cualquier término de la serie. Por ejemplo, si se desea calcular el término 47.

a = 5, n = 47, d = 5, A = ?

Sustituyendo se tendrá:

[5 + (47 – 1 ) 5 ] = 235

PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS

2

Con el resultado anterior se puede asegurar que el término 47 de la serie es 235.

Otro ejemplo de una serie de números es el siguiente:

3, 4, 6, 9, 13, ___, ___, ___, 39, ...

En esta serie de números, se puede observar que al primer término (3) se le sumó 1, con lo que se obtuvo el segundo término (4); a este segundo término se le sumó 2, con lo que se obtuvo el tercer término (6). Con esta reflexión se puede determinar una regla en la que si n es el lugar que ocupa el término que se busca, m el número anterior y p el término de la serie que se desconoce. Entonces se puede establecer que:

( ) p1nm =−+

Observe que con esta relación se puede obtener el término que ocupa el sexto lugar (el primero que falta) en la serie, haciendo lo siguiente:

Como m = 13 y n = 6, se tiene que:

( ) 181613 =−+

El primer número faltante es el 18.

Para obtener el octavo término de la serie se puede hacer lo siguiente:

Dado que se conoce el noveno término de la serie (p), se puede despejar la m, elemento que representa el término buscado.

Despejando m de la relación obtenida se tiene:

m = p – (n – 1)


3

Sustituyendo:

m = 39 – (9-1 ) = 31

El octavo término de la serie es el 31.

También existen series de figuras en las cuales se puede definir mediante análisis cuál es la que falta, la que sigue o la que va antes. Observe el siguiente ejemplo:

Analizando estas tres figuras que representan una serie, se observa que en la primera hay 4 círculos, en la segunda se elimina un círculo del extremo inferior derecho y en la tercera se elimina el círculo del extremo superior izquierdo. Al analizar las respuestas propuestas la única que puede continuar la serie es la marcada con R2. Ninguna de las otras tres puede ser correcta, debido a que los círculos que tienen la R1 y la R3 ya habían sido eliminados y en la R4 no existe en la serie ese círculo.

R1 R2 R3 R4


4

EJERCICIOS

Señale en las siguientes series el término que falta.

1.1. [77, 74, 71, ___, 65]

R1. 66

R2. 68

R3. 70

R4. 61

1.2. [2, 9, 16, 23, ___]

R1. 26

R2. 24

R3. 30

R4. 29

1.3. [23, 24, 22, 23, 21, 22, __]

R1. 21

R2. 20

R3. 24

R4. 25

1.4. [12, 5, 12, 10, 12, 15, ___]

R1. 12

R2. 20

R3. 22

R4. 16

1.5. [7, 14, 28, 56, ___, 224]

R1. 112

R2. 57

R3. 60

R4. 102

1.6. [12,15,17,18,21,23,24,__]

R1. 25

R2. 27

R3. 24

R4. 22


5

1.7. [3, 5, 7, __, 13, 17, 19]

R1. 9

R2. 8

R3. 11

R4. 10

1.8. [___, 9, 13, 19, 27, 37]

R1. 5

R2. 6

R3. 3

R4. 7

1.9. [4, 8, 16, 32, __, 128]

R1. 2 6

R2. 68

R3. 2 4

R4. 65

1.10. [ ___,23,

86,

83 ]

R1. 23

R2. 46

R3. 41

R4. 3

1.11. [9 072, 1 512, 252, 42, ___]

R1. 22

R2. 12

R3. 2

R4. 7

1.12. [6.2, 7.3, 9.5, 12.8, ____]

R1. 14.5

R2. 18.3

R3. 17.2

R4. 19.2


6

1.13. [3, 9, 27, 81, ___]

R1. 241

R2. 182

R3. 53

R4. 43

1.14. [38,37.5,36.9,36.2, ___]

R1. 36

R2. 35.4

R3. 36.1

R4. 35.9

1.15. [35, 50, 70, 95, ___]

R1. 125

R2. 115

R3. 120

R4. 100

1.16. [13, 15, 19, 25, 33, ___]

R1. 35

R2. 41

R3. 38

R4. 43

1.17. [9,13,19,23,29,33,___]

R1. 35

R2. 39

R3. 49

R4. 40

1.18. [12.5,14,12.5,13,12.5,12,__]

R1. 11

R2. 11.5

R3. 12.5

R4. 10

1.19. [235,225,210,190,165,__]

R1. 125

R2. 135

R3. 170

R4. 100

1.20. [4,12,28,60,124,252,__]

R1. 514

R2. 376

R3. 504

R4. 508


7

1.21. [7,11,13,17,__,23]

R1. 20

R2. 18

R3. 19

R4. 21

1.22. [12,17,20,23,23,20,17,__]

R1. 12

R2. 14

R3. 15

R4. 13

1.23. ¿Qué dibujo completa la serie de las siguientes figuras?

55

10

2

8

7

8

13

2

3

9

25

R1

6

5

9

R2

9 101 1

14 15

R3 R4

1.24. ¿Cuál es el número que falta en la base del triángulo?

R1. 8

R2. 7

R3. 25

R4. 12

1.25. ¿Qué reloj completa la serie?

15

2193

5

12

32

48

1

57

910

11

6

12

32

48

1

57

910

11

6

12

32

48

1

57

910

11

6

12

32

48

1

57

910

11

6

R1

12

32

48

1

57

R2

910

11

6

12

32

48

1

57

910

11

6

R3

12

32

48

1

57

R4

910

11

6

¿Cómo realizo lo que se me pide?

Te sugerimos imprimas primero la hoja y después resuelvas en ella lo que se te pide.


8

1.26. ¿Qué figura completa la serie?

1.27. ¿Qué figura completa la serie?

1.28. ¿Qué valor tienen a y b en la siguiente figura?

-2

3 b

a

R1. a = 2, b = -3

R2. a = -2, b = -3

R3. a = -2, b = 3

R4. a = 2, b = 3

1.29. ¿Qué número va en el espacio en blanco?

18

7

5 8

6

9

3

6

4

R1. 28

R2. 20

R3. 30

R4. 32

3

4

1

2

3

R42

4

1

R3

1

2

3 4

12

R2R121

33

44

R3

R1 R2

R4

¿Cómo realizo lo que se me pide?

Te sugerimos imprimas primero la hoja y después resuelvas en ella lo que se te pide.


9

1.30. ¿Qué fórmula permite conocer el número de triángulos, en cada nivel de la figura?

R1. (n x 2) – 1 = i

R2. (n + 1) + 1 = i

R3. (n - 1)2 = i

R4. (n – 2) = i

1 1i = Nº detriángulosen el nivel

Niveles

2

3

4

5

n

132

1

1

198

76

54

3 2357

6 4 23

4 25

Recuerde que en una serie, cualquiera de sus términos puede ser definido por su antecesor o por el que le sigue y que siempre se puede establecer una fórmula o regla para calcular sus términos.


10

PROBLEMAS ARITMÉTICOS

Son problemas en los que en el enunciado se proporcionan todos los datos necesarios, para que por medio de reflexión, lógica y la realización de algunas operaciones aritméticas, se obtenga su solución.

Ejemplo resuelto

Francisco adquiere 12 cajas con 24 refrescos cada una, para una fiesta. Como son muchos refrescos, el tendero le hace un descuento del 12%. Si Francisco pagó 1 521 pesos:

a) ¿Cuánto le hicieron de descuento?

b) ¿Cuál es la diferencia del costo de un refresco con y sin descuento?

En este problema se tienen todos los datos para resolverlo, sólo se debe seguir una secuencia lógica y aplicar algunas operaciones aritméticas para obtener sus resultados. Es importante tener en consideración que la mayoría de los problemas se pueden resolver de muchas maneras. Todas son buenas siempre y cuando se obtenga la solución adecuada. Observe usted como se resolvió este problema.

Francisco sabe que los 1 521 pesos que pagó con descuento representan un porcentaje de lo que debería pagar sin descuento (100%), menos lo que le descontaron (12%). Haciendo la operación se tiene que:

100% - 12% = 88%

Con lo anterior puede plantear por razones y proporciones lo siguiente: si 1 521 pesos equivalen el 88%, ¿a cuánto equivaldrá el 100%?

1 521 pesos 88%

? pesos 100%


11

Al resolver esta relación se obtiene el monto de los refrescos sin descuento. A esta cantidad se le debe restar lo que pagó Francisco, para conocer cuánto se obtuvo de descuento.

Solución de la relación:

? pesos = %88

pesos5211x%100 = 1 728.40 pesos

Con lo anterior se sabe que sin descuento Francisco debería haber pagado 1 728.40 pesos. El descuento se obtendrá al restar a esta cantidad lo que pagó.

1 728.40 pesos – 1 581 pesos = 147.40 pesos

El descuento obtenido fue de 147.40 pesos.

Para conocer la diferencia que existe entre el costo de un refresco sin descuento y con descuento, es necesario conocer el valor de los refrescos con y sin descuento. Esto se obtiene al dividir lo que se pagó por los refrescos con y sin descuento, entre el número de refrescos.

Primero, se obtiene el número de refrescos adquiridos, lo que se logra al multiplicar el número de cajas por los 24 refrescos que tiene cada una.

12 cajas x 24 caja

cosrefres = 288 refrescos

Costo de los refrescos con descuento:

2885211

= 5.28 pesos

Como no se manejan unidades de centavo en nuestra moneda, se puede decir que cada refresco con descuento cuesta $5.30.


12

Costo de los refrescos sin descuento:

28840.7281

= 6.00

Cada refresco sin descuento habría costado $6.00. La diferencia entre ambos precios es:

6.00 – 5.30 = 0.70 pesos

EJERCICIOS

1.31. Tres docenas de rosas cuestan 78 pesos. ¿Cuánto costarán cinco docenas?

R1. 85 pesos

R2. 110 pesos

R3. 130 pesos

R4. 138 pesos

1.32. Anastasio compró un terreno de 350 m2 en 210 000 pesos. Si al año lo vendió cobrando 650 pesos por cada metro cuadrado, ¿cuánto ganó o perdió en la venta?

R1. perdió 17 500 pesos

R2. ganó 17 500 pesos

R3. ganó 19 500 pesos

R4. perdió 19 500 pesos


13

1.33. Si Rosa sólo tiene 35 pesos y el kilo de carne cuesta $50.00, ¿cuánto le deben surtir por esa cantidad?

R1. 775 g

R2. 750 g

R3. 650 g

R4. 700 g

1.34. María recibió 29 cajas de guayabas. Si una caja llena pesa

25 21 kilos y una vacía pesa

41 de

kilo, ¿cuántos kilos de guayabas podrá vender María?

R1. 730.75 kg

R2. 732.25 kg

R3. 685.25 kg

R4. 750.75 kg

1.35. Porfirio gana 2 450 pesos a la semana; si gasta por lo regular $2 150.00 cada semana, ¿en cuánto tiempo ahorrará 3 600 pesos?

R1. 12 semanas

R2. 10 semanas

R3. 2.7 meses

R4. 14 semanas

1.36. ¿Cuál será la superficie de un cubo de 14 cm de lado?

R1. 1 176 cm

R2. 196 cm2

R3. 1 176 cm2

R4. 1 856 cm2

1.37. Un corredor recorre 3 km en

41 de hora. ¿Cuánto recorrerá en

45 minutos?

R1. 15 km

R2. 9 km

R3. 12 km

R4. 18 km


14

1.38. Para pintar 48 m2 de pared, una persona tardó 4 horas. ¿Cuánto tardarán tres personas en pintar 252 m2?

R1. 5.5 horas

R2. 6.25 horas

R3. 5.25 horas

R4. 7 horas

1.39. Armando gana 3 480 pesos al

mes; si el primer mes ahorra 52

partes de su sueldo, el segundo

ahorra 81 , el tercero la mitad y el

cuarto 1 392 pesos, ¿cuánto pudo ahorrar Armando en total?

R1. 6 558 pesos

R2. 5 322 pesos

R3. 4 959 pesos

R4. 4 027 pesos

1.40. ¿Cuántos limones podrá comprar con 18 pesos, si en el mercado los dan a 3 por 1.50 ?

R1. 45 limones

R2. 36 limones

R3. 32 limones

R4. 46 limones

1.41. Mary ahorró 7 800 pesos, con lo que pagó: $1 200.00 de su renta, $920.00 de dos vestidos y $1 000.00 de su tanda. ¿Qué parte le queda de sus ahorros?

R1. 53 partes

R2. 52 partes

R3. 41 parte

R4. 32 partes


15

PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO

A. El juego de los enteros

En ellos se debe aplicar la reflexión, la lógica y diversos conocimientos para saber cómo encontrar la solución. En algunas ocasiones el análisis del problema nos muestra que éste puede tener muchas soluciones, una o ninguna.

Se puede partir de casos simples, por ejemplo: encontrar cuatro números enteros consecutivos que sumen 521.

Este problema se puede plantear con una sola incógnita: el número menor de los cuatro que sabemos que son consecutivos. Si llamamos a este número

1n tendremos:

521)3n()2n()1n(n 1111 =++++++

eliminando los paréntesis y ejecutando las operaciones se tiene:

5213n2n1nn 1111 =++++++

5216n4 1 =+

y, de aquí, 4n1 = 521 – 6 = 515, que no es divisible entre 4.

Es decir, no existen 4 números enteros consecutivos cuya suma sea 521. Pero así hemos encontrado una regla general para cuatro enteros consecutivos, cuya suma sea un entero dado. Ésta se podría escribir así:

46An1

−= , donde cualquier número entero A puede ser la suma de

4 enteros consecutivos si al restarle 6 unidades es divisible exactamente entre 4. Por ejemplo, el número 18, al restarle 6 quedan 12, que al dividirlo entre 4 nos da 3. Así que: 3 + 4 + 5 + 6 = 18.


16

Otro ejemplo: si el número A fuera 1 006, al restarle 6, nos daría 1 000, que al dividir entre 4 resulta 250, y por tanto:

250 + 251 + 252 + 253 = 1 006

Este problema también habría podido ser resuelto tomando como n a cualquiera de los cuatro números consecutivos. Tomemos el segundo, la ecuación se escribiría así:

A)2n()1n(n)1n( 2222 =+++++− ; y entonces, 4

2An2

−= donde 2n es

ahora el segundo número de los cuatro consecutivos. Si 18A = , 4n2 = y 186543 =+++ , tal como antes resultó. Si tomáramos como dígito al

número más grande de los cuatro, 4n , tendríamos:

An)1n()2n()3n( 4444 =+−+−+− ; y; 4

6An4

+= . En otras palabras, para

que un entero sea igual a la suma de cuatro números consecutivos, al restarle o sumarle 6 unidades, el resultado debe ser divisible entre 4. Si no, el problema no tiene solución.

Por extensión, podemos pensar en números enteros que sean igual a la suma de 5 o más números consecutivos y obtendríamos reglas semejantes. Para 5 consecutivos el resultado debe ser divisible entre 5. Veamos:

A)4n()3n()2n()1n(n =++++++++ . En este caso n es el número

menor de los 5 consecutivos y resulta: 5

10An −= .

Este problema puede generalizarse aún más. Con estos ejemplos nos hemos percatado que para que un número entero, o natural se pueda descomponer en la suma de x números enteros consecutivos, tienen que darse varias condiciones. La más importante es que al restar la suma del número de dígitos menos uno, al número del cual queremos partir, su resultado debe ser divisible entre el número de enteros de los que queremos obtener la suma.


17

Así, en los ejemplos anteriores, para descomponer un número en la suma de 4 enteros, y obtener el primer dígito, 1n , se debe restar 6, que es lo que da la suma de 1 + 2 + 3. Para 5 enteros, 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Para 3, habría que restar 3, que es lo que da la suma de 1 + 2.

Así, por ejemplo, 336 = 111 + 112 + 113, porque 336 – 3 = 333 es divisible entre 3. La fórmula general podría escribirse así:

∑−

++++++=1t

11111 )in()...2n()1n(nA

Donde A es el número que queremos descomponer, 1n es el primer entero de la serie de sumandos e i es el número de términos y también el número de enteros sucesivos que queremos sumar para obtener A; t es el número de términos menos 1.

La fórmula para 5 enteros consecutivos nos dice también que cualquier número terminado en 5 o en 0, puede ser descompuesto como la suma de 5 números consecutivos, porque le restamos 10 unidades que también es divisible entre 5. Así, si el número es 0, el primer número sería

25

100n1 −=−= y los 5 enteros cuya suma es 0 serían:

-2 + (-1) + 0 + 1 + 2

Con esto se muestra que la fórmula general es aplicable a todos los números naturales, tanto positivos como negativos.

B. Dos maneras de hacerlo

Si un automóvil corre a una velocidad de 70 horakm , ¿cuánto tiempo tardará

en recorrer 245 km?


18

Una forma para encontrar la solución es recordar que la velocidad media

está dada por tdv = , en donde d es la distancia recorrida y t el tiempo

utilizado. Con ello si se conoce la velocidad (v) y la distancia que va a recorrer (d), se puede despejar el tiempo buscado.

vdt =

Sustituyendo la velocidad a la que se mueve el automóvil y la distancia que va a recorrer, se tiene:

5.370245 =

Esto indica que se utilizarán 3.5 horas para recorrer 245 km a la velocidad que se mueve el automóvil.

También se podría haber razonado de la siguiente manera:

Si considera que el automóvil recorre 70 km en una hora, se puede establecer una relación que nos indique cuánto tiempo usará el automóvil para recorrer 245 km. Esta relación es:

70 1 h

245 ? h

De donde se puede despejar ? h:

km70h1km245 × = 3.5 h

Obteniéndose la misma solución que con el procedimiento anterior.


19

C. No nos importan las edades

Porfirio es el hermano mayor de la familia, éste le lleva 6 años a Luis y Ramiro es 2 años menor que Porfirio. ¿Cuántos años hay de diferencia entre Luis y Ramiro?

Este problema se puede resolver de varias maneras. Debido a que no se piden las edades sino la diferencia en años entre Luis y Ramiro, una forma fácil para encontrar la respuesta es la de imaginar la edad de Porfirio y a partir de ello calcular las edades de los otros dos hermanos. Suponga que Porfirio tiene 16 años y como éste le lleva 6 años a Luis, entonces Luis tendría 10 años (también imaginarios) y si Ramiro es 2 años menor que Porfirio, Ramiro tendrá 14 años. En esta suposición de edades se ve que la diferencia entre Luis y Ramiro es de 4 años.

Como la diferencia de edades obtenidas sería la misma con cualquier edad que tuvieran los tres hermanos, la respuesta es la adecuada.

Lo anterior se comprueba al plantear las siguientes ecuaciones:

L = P – 6 -------- (1)

R = P – 2 -------- (2)

Si se resta la ec. (1) de la ec. (2) se tendrá la diferencia entre las edades de Luis y Ramiro.

R – L = 4

Como se puede observar, no importa cuáles son las edades sino cuál es la diferencia.


20

EJERCICIOS

1.42. Una cisterna para agua se descarga a 140 litros por minuto. ¿Cuántos litros caben en la cisterna si ésta tarda en vaciarse 40 minutos?

R1. 5 250 litros

R2. 5 800 litros

R3. 5.8 m3

R4. 5.6 m3

1.43. Si una llanta de bicicleta tiene de radio 35 cm, ¿cuánto se recorrerá con la bicicleta si sus llantas dan 45 vueltas? * Tome π como 3.14

R1. 95 m

R2. 981.1 m

R3. 98.91 m

R4. 5 685 cm

1.44. ¿Cuál es la longitud de uno de los lados de un cubo que tiene de volumen 1 728 cm3?

R1. 144 cm

R2. 12 cm

R3. 0.25 m

R4. 0.14 m

1.45. ¿Cuántos años han pasado desde que murió Alejandro el Magno en el año 323 a. de n. e. *, hasta el año 2 000 de n. e. **? *antes de nuestra era. **de nuestra era.

R1. 1 677 años

R2. 2 677 años

R3. 2 323 años

R4. 1 867 años


21

1.46. La suma de las edades de los dos hijos de Rosa da 19 años y su producto menos 4 es 80. ¿Cuál es la edad de los hijos de Rosa?

R1. 11 y 8 años

R2. 9 y 10 años

R3. 7 y 12 años

R4. 13 y 6 años

1.47. Si una docena de cuadernos cuestan 156 pesos y se pueden vender 15 en 240 pesos, ¿cuántos cuadernos se deben vender para ganar 468 pesos?

R1. 156 cuadernos

R2. 36 cuadernos

R3. 2496 cuadernos

R4. 68 cuadernos

1.48. Un automóvil recorre en 215

horas 43 partes de su recorrido.

¿Cuánto tardará en recorrer 54 de

su recorrido?

R1. 6 horas

R2. 6.37 horas

R3. 545 horas

R4. 5.87 horas

1.49. ¿Cuántas veces cabe el número 12 en el 25% de 240 ?

R1. 20 veces

R2. 5 veces

R3. 7 veces

R4. 15 veces


22

1.50. Si el volumen de un cono es de 1 526.04 cm3 y el radio de su base es de 9 cm, ¿cuál será su altura?

R1. 18 cm

R2. 18.9 cm

R3. 15 cm

R4. 19.6 cm

1.51. Rosa, para despachar rápido en su tienda, tiene bolsas de

azúcar de 21 ,

43 , 1 y 2 kilos. Si una

clienta le pide 7 41 kg, ¿con

cuántas bolsas le puede despachar?

R1. 5 de 1 kg, 1 de 43 y 1 de 2

1

R2. 3 de 2 kg, 1 de 21 y 1 de

43

R3. 2 de 2 kg, 3 de 1 y 1 de 21

R4. 5 de 1 kg, 1 de 2 y 1 de 21

1.52. Lourdes es un año menor que Paty, ésta es un año menor que Antonia, quien a su vez es un año menor que Gaby. Si la suma de sus edades es 146 años, ¿cuántos años tiene Paty?

R1. 37

R2. 35

R3. 36

R4. 38

Al analizar un problema se puede encontrar que este tendrá varias formas de resolverse o que no tiene solución.

ARITMÉTICA

23

2. ARITMÉTICA

ALGUNOS NÚMEROS

Los números naturales son aquellos con los que contamos o podemos expresar cualquier cantidad, sin importar qué tan grande sea. Estos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... n. Algunas de sus características son las siguientes:

• Su primer número es el cero.

• Un número natural siempre tendrá uno que le siga, por lo que nunca terminan.

• Entre dos números naturales no puede haber otro número natural.

Cualquier cantidad puede ser expresada por números naturales; por ejemplo, el número 2 395 027 es un número natural y está integrado por los dígitos 2, 3, 9, 5, 0, 2 y 7; su sucesor es el 2 395 028 y su antecesor es el 2 395 026. Con lo anterior no sólo se expresaron tres cantidades, sino que también se puede saber cuál es mayor o menor debido a su relación de orden. Cada dígito en estos números tiene dos valores: el absoluto y el relativo. El primero corresponde a su valor como número natural, por ejemplo el tres en el 2 395 026 representa tres unidades. El valor relativo del número tres en la misma cantidad es el que adquiere por su posición en la cifra. En este caso es de 300 mil, porque se encuentra en el lugar de las centenas de millar.

Para expresar cantidades existen varios sistemas de numeración como el romano, el binario, el sexagesimal, el decimal. El romano se utiliza en algunas publicaciones o fechas; el binario es el que usan las computadoras y está integrado por ceros y unos; el sexagesimal es el que se usa para contar los segundos, que después de 60 se vuelven minutos y éstos a su vez después de 60 se vuelven horas. El sistema decimal es el que utilizamos


24

regularmente, en donde cada número, de acuerdo a su posición, tiene un valor relativo igual a diez veces el que está a su derecha, como se vio anteriormente.

Los números con los que se representan cantidades en el sistema decimal no sólo incluyen a los números positivos, en ellos también se encuentran los números negativos y cuando no tienen decimales o fracciones se dice que éstos son los números enteros. Los números negativos o positivos no tienen fin y con ellos se pueden hacer cuentas como las de agregar o quitar cantidades, o sea, sumar o restar y también se puede multiplicar o dividir.

En el caso de la división, en algunas ocasiones, varias cantidades son divisibles entre la misma cantidad y su resultado es otra cantidad entera (un número sin decimales). A esa cantidad se le llama común divisor. Cuando esas cantidades tienen varios comunes divisores, al menor se le llama mínimo común divisor y al mayor, máximo común divisor. Por ejemplo:

¿Cuál es mínimo común divisor de las siguientes cantidades?

16, 32, 48, 64

El menor número que puede dividir a todas las cantidades de manera exacta es el 2. Este es el mínimo común divisor en este caso.

El máximo común divisor de esas mismas cantidades es el número más grande que divida a todas ellas. En este caso, el número más grande que divide de manera exacta a todas es el 16, por lo que éste es el máximo común divisor.

El mínimo común múltiplo es el número menor, que pueda ser dividido por todos los demás. Así en los números 8, 12 y 24, el mínimo común múltiplo es el 24, porque es el número menor que puede ser dividido por 8 y 12.

ARITMÉTICA

25

EJERCICIOS

2.1 Ponga en el paréntesis el número en el que se ubica la solución a la operación correspondiente.

a) 34 235 x 56 ( )

b) 171 308 ÷ 379 ( )

c) 223 062 ÷ 678 ( )

d) 19 876 x 198 ( )

e) 237 506 ÷ 797 ( )

1) 329

2) 3 935 448

3) 452

4) 298

5) 1 917 160

2.2. ¿Cuál es mínimo común múltiplo en los siguientes números? 12, 24, 48, 96.

R1. 12

R2. 96

R3. 24

R4. 2

2.3. ¿Cuál es máximo común divisor de los siguientes números? 27, 30, 39, 48.

R1. 27

R2. 9

R3. 3

R4. 10


26

2.4. Ana y sus dos hermanas ganaron $240 000.00 en una rifa. ¿Cuánto le toca a cada una?

R1. 80 000 pesos

R2. 75 000 pesos

R3. 120 000 pesos

R4. 100 000 pesos

2.5. Ramón compró 32 kg de mango. Si cada kilo le costó 5 pesos, ¿cuánto pagó en total?

R1. 150 pesos

R2. 128 pesos

R3. 37 pesos

R4. 160 pesos

2.6. Coloque sobre la raya entre los siguientes números las palabras “mayor que” o “menor que”, según corresponda.

a) 3 _______ 7

b) –2 ______ -4

c) -5 ______ -1

d) 5 _______ -5

e) -30 ______ -50

2.7. ¿Qué números son menores que –47 ?

R1. –48 y 0

R2. –50 y 12

R3. –48 y -55

R4. –12 y -1

2.8. ¿Cuántos grados hay de diferencia entre –8 ºC y 3 ºC?

R1. –5 ºC

R2. 5 ºC

R3. 11 ºC

R4. –11 ºC

2.9. ¿Cuántos años pasaron entre 2550 a. de n. e. y 1999 a. de n. e.?

R1. 551 años

R2. 4549 años

R3. –551 años

R4. 4550 años

ARITMÉTICA

27

2.10. El suelo del último sótano de un edificio está a –12 m del nivel de la calle, el edificio tiene 12 pisos y cada uno tiene de altura 3 m. ¿Qué distancia hay entre el suelo del ultimo sótano y la azotea del edificio?

R1. –24 m

R2. 48 m

R3. 24 m

R4. 36 m

2.11. Si debe vender el fin de semana 2 500 pesos y sólo vendió $1 950.00, ¿cuál fue su déficit?

R1. $4 450.00

R2. $550.00

R3. $650.00

R4. $0

2.12. ¿Cuántas unidades hay entre –25 y 32 ?

R1. 62

R2. -53

R3. 57

R4. 7

2.13. ¿Qué número es mayor que –48 ?

R1. –50

R2. -72

R3. -49

R4. –1

2.14. Si tiene un tinaco al que le caben 3 500 litros y lo va a llenar con una cubeta de 35 litros, ¿cuántas veces usará la cubeta?

R1. 1 000 litros

R2. 100 litros

R3. 120 litros

R4. 500 litros


28

2.15. En el número 345 678, ¿qué valor relativo (posicional) tiene el 6 ?

R1. 6 decenas de millar

R2. 6 unidades

R3. 6 centenas de unidad

R4. 6 centésimos

2.16. ¿Cuál es el primer elemento de los números naturales?

R1. -9

R2. 1

R3. -n

R4. 0

2.17. ¿Cuáles son los dígitos que representan a los números naturales?

R1. a,b,c,d,… z

R2. 1,2,3,4,5,6,… 10

R3. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

R4. 3,7,9,13,17,19,…

2.18. Al multiplicar a cualquier número por cero, el producto será:

R1. un número par

R2. cero

R3. infinito

R4. un número impar

2.19. Todos los números que terminan en 5 son divisibles entre:

R1. 5

R2. 10

R3. 15

R4. 20

2.20. ¿A cuánto equivale en minutos 1.4 horas?

R1. 84 minutos

R2. 90 minutos

R3. 112 minutos

R4. 75 minutos

ARITMÉTICA

29

2.21. ¿Cuántos minutos son 135 segundos?

R1. 2.10 minutos

R2. 2.14 minutos

R3. 2.25 minutos

R4. 2.35 minutos

2.22. ¿A cuántas horas equivalen 165 minutos?

R1. 2 41 horas

R2. 2.7 horas

R3. 2.666 horas

R4. 2 43 horas

2.23. ¿A cuántos segundos

equivalen 3 41 horas?

R1. 13 000 segundos

R2. 11 700 segundos

R3. 10 000 segundos

R4. 195 minutos

2.24. En el sistema decimal, ¿a cuánto equivale MCMXXXIX ?

R1. 1 999

R2. 2 000

R3. 1 939

R4. 2 109

2.25. ¿Cómo se puede escribir el número 237 en el sistema de numeración romano?

R1. CCXXXVII

R2. XCXXVII

R3. DXXXVII

R4. LXXXIXII

2.26. Francisco y dos de sus amigos se sacaron un premio de $2 479.50, Francisco prestó los 37.50 pesos que costó el billete. ¿Cuánto debe recibir Francisco en total?

R1. 826.50 pesos

R2. 839 pesos

R3. 851.50 pesos

R4. 860 pesos


30

FRACCIONES, DECIMALES Y POTENCIAS

Son números que se utilizan para expresar partes o proporciones de algo.

Por ejemplo, cuando decimos 21 hora (media hora) nos referimos a la mitad

de una hora, o si se dice 21 docena de huevos nos estamos refiriendo a la

mitad de una docena (seis huevos). Las fracciones se presentan con dos números, uno arriba de otro y divididos por una raya; al de arriba se le llama numerador y al de abajo denominador. El numerador (el de arriba) expresa el número de las partes que se están utilizando; el denominador (el de abajo) indica el número de partes en las que el entero (o de lo que se

habla) fue dividido. Así, cuando se dice 21

hora, el dos nos indica que a una

hora la dividimos en dos, y el uno (numerador) nos señala que sólo nos estamos refiriendo a una de las dos mitades en las que dividimos a la hora. Con las fracciones se pueden hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además, se puede representar la misma cantidad por medio de varias fracciones equivalentes. Por ejemplo, algunas de las fracciones

equivalentes de 21 son:

500250,10

5,6432,8

4

Todas expresan la misma cantidad. Lo anterior se comprueba al presentar a las fracciones en forma decimal. Esto se logra al hacer las divisiones del numerador entre el denominador; por ejemplo, 4 ÷ 8 = 0.5, que es la misma cantidad que se obtiene al dividir a 32 ÷ 64 o cualquiera de las otras fracciones mostradas. Lo anterior se puede visualizar con el siguiente ejemplo.

Un entero =

Un entero dividido en 16

X X X X

XX XX

11

ARITMÉTICA

31

En las figuras anteriores se aprecia a un rectángulo como una sola unidad

11 = 1. En el segundo dibujo el rectángulo está dividido en 16 partes iguales,

o sea, en dieciseisavos (161 ). En ese mismo dibujo se pueden apreciar 16

8

(ocho dieciseisavos) marcados con una X ; si se realiza la división de 8 ÷ 16

se tendrá por resultado 0.5, lo que es lo mismo que 21 . Esto significa que se

ha marcado 21 del rectángulo, lo que se puede comprobar al observar que

efectivamente 168 equivalen a la mitad del dibujo. Esto significa que 2

1 es

equivalente a 168 .

Otra forma de representar a las cantidades es la notación científica o exponencial, que se obtiene cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces. Por ejemplo, si se multiplica a 8 por sí mismo cinco veces se tendrá: 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 8 5

En este caso, al número 8 se le llama base (número que se va a multiplicar por sí mismo) y al 5 se le denomina exponente (es el número de veces que se va a multiplicar al 8 por sí mismo).

De acuerdo a lo anterior se puede decir que:

8 5 = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 32 768

Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10. Por ejemplo:

10 4 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000

Observe que 10 4 es lo mismo que un uno con 4 ceros, o sea, que el exponente es igual al número de ceros. Así se puede decir que 10 8 es igual a 100 000 000. Un uno y ocho ceros, o sea, 100 millones. Esto significa que


32

la notación científica o exponencial de 100 millones es 10 8. Con lo anterior se puede decir que 1 000 000 000 es igual a 10 9, o que 1 200 = 1.2 x 10 3.

Esto se comprueba al multiplicar a 1.2 por 10 3, o sea

1.2 x 1 000 = 1.2 x 10 3 = 1 200

Lo mismo sucede cuando tenemos números menores a uno, pero los exponentes se vuelven negativos, por ejemplo: 0.000033 = 3.3 x 10 -5.

Es importante recordar los siguientes casos de las expresiones exponenciales:

a) Cuando un número es elevado a la potencia uno (1), el resultado es igual a la base. Por ejemplo, 7 1 = 7

b) Cualquier número elevado a la potencia cero (0) es igual a la unidad. Por ejemplo, 7 0 = 1

c) Cuando se multiplican dos cantidades con la misma base y diferentes exponentes, el resultado será la base común elevada a la suma de los exponentes. Por ejemplo, 3 2 x 3 3 = 3 2 +3 = 3 5

d) Cuando se eleva una base con exponente a otra potencia, el resultado es la base elevada al producto de los dos exponentes. Por ejemplo, (3 2) 3 = 3 2 x3 = 3 6

e) La operación inversa de elevar una cantidad a un exponente se llama radicación. Por ejemplo, en el caso de los exponentes cuadráticos la operación opuesta es la raíz cuadrada.

6 x 6 = 6 2 =36

636 =

Si se tiene que x = a n, su operación inversa que nos permite conocer el valor de a será:

axn =

ARITMÉTICA

33

EJERCICIOS

2.27. Si se tiene la fracción 43 ,

¿cuáles de las siguientes fracciones son sus equivalentes?

R1. 2115y

119,

76

R2. 2015y12

9,86

R3. 2218y20

15,123

R4. 105y12

4,21

2.28. ¿Cómo se escribe en notación científica la expresión 0.000 27 ?

R1. 27 x 10 4

R2. 2.7 x 10 4

R3. 2.7 x 10 -4

R4. 27 x 10 3

2.29. ¿Cómo se puede escribir en notación científica la cantidad 1 525 000 ?

R1. 1.520 x 10 6

R2. 15.25 x 10 -4

R3. 1 525 x 10 6

R4. 1.525 x 10 6

2.30. ¿A cuánto equivale en

decimales la fracción 87 ?

R1. 0.875

R2. 0.775

R3. 0.625

R4. 0.925


34

2.31. Colocar las palabras “mayor que” o “menor que” entre las siguientes fracciones, según corresponda.

a) 43________

87

b) 85________

43

c) 73________

21

d) 21________

83

2.32. ¿Cuál es el resultado de la expresión (0.11) 1 ?

R1. 11

R2. 0.11

R3. 110

R4. 1.1

2.33. ¿Cuánto da (4 2) 3 ?

R1. 1 024

R2. 4 3x4 3

R3. 4 5

R4. 4 x 4 6

2.34. La señora Emma compró 3 2

1 kilos de tortillas, 2 41 kilos de

chícharo, 43 de kilo de calabacitas,

3 21 kilos de manzana y 2 4

1 kilos

de carne. ¿Cuánto pesa su bolsa?

R1. 12.250 kg

R2. 12 21 kg

R3. 10 41 kg

R4. 13.500 kg

2.35. Si tiene una caja de fruta que

pesa 8 21 kg y de ella come 3 4

3 kg.

¿Cuánto le queda de fruta?

R1. 4.500 kg

R2. 5 21 kg

R3. 4 43 kg

R4. 5.250 kg

ARITMÉTICA

35

2.36. Si se tienen 10 litros de atole

y a cada vaso le cabe 31 de litro,

¿cuántos vasos podrá llenar?

R1. 27 21 vasos

R2. 33 vasos

R3. 29 43 vasos

R4. 30 vasos

2.37. ¿Cuánto da 43 x 2

1 ?

R1. 64

R2. 63

R3. 84

R4. 83

2.38. ¿Cuál es el resultado de

56

35 ÷ ?

R1. 0.750

R2. 1825

R3. 83

R4. 1530

2.39. ¿Qué número se encuentra entre 72.5 y 72.4 ?

R1. 72.48

R2. No hay ninguno

R3. 73

R4. 72.6

2.40. ¿Cuál es el resultado de (-3) 2 ?

R1. 0

R2. -9

R3. 9

R4. 6

2.41. Se tiene un recipiente con

2 43 litros de miel de abeja.

¿Cuántos frasquitos de 51 de litro

se podrán llenar?

R1. 14

R2. 13.75

R3. 10

R4. 15.25


36

2.42. Si una micra equivale a la milésima parte de un milímetro, ¿qué expresión muestra lo que mide una micra?

R1. 10 -3 mm

R2. 0.000 1 mm

R3. 0.01 mm

R4. 0.1 3

2.43. Se obtuvieron prestados, sin intereses, 175 000 pesos. Éstos deben ser pagados en 5 años. ¿Cuánto se deberá pagar al mes?

R1. $2 938.65

R2. $3 000.00

R3. $2 550.50

R4. $2 916.66

2.44. ¿Cómo se escribe la fracción

00014 en decimales?

R1. 0.04

R2. 0.000 4

R3. 0.004

R4. 0.000 04

2.45. ¿Cómo se escribe 2 000 en notación científica?

R1. 0.2 x 10 3

R2. 2 x 10 3

R3. 20 x 10 3

R4. 0.02 x 10 3

2.46. ¿Qué valor debe tener la X para que se cumpla la siguiente desigualdad?

2012X ≥−

R1. 33X ≤

R2. 20X >

R3. 8X >

R4. 32X ≥

2.47. ¿Cuál es el número simétrico aditivo de –23 ?

R1. 46

R2. -46

R3. 23

R4. -21

ARITMÉTICA

37

2.48. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación? 49X =

R1. X = 7

R2. X = 8

R3. X = 9

R4. X = 6

2.49. ¿Qué expresión representa a la siguiente igualdad? 49X =

R1. X = 7 2

R2. X = 49 21

R3. X = (7 2) 2

R4. 7X =

2.50. ¿Qué número es igual a la siguiente expresión 5 3 ?

R1. 15

R2. 25 +5

R3. 35

R4. 125

2.51. ¿De qué otra forma se puede presentar la igualdad X = 9 2 x 81?

R1. X = 6 500

R2. X = 9 3

R3. X = 9 4

R4. X = 81 3

2.52. ¿Cuántas veces cabe el 4 en el número 16 ?

R1. 6

R2. 3

R3. 8

R4. 4

2.53. Escriba entre las fracciones los signos > o < , según corresponda.

a) 53____

32 b)

65____

2513

c) 2512_____

21 d)

52____

125

e) 65_____

74


38

EJERCICIOS RECOMENDADOS

2.54. 234.55 x 34.09 =

2.55. 0.008 9 x 878 =

2.56. 3.1416 x 3 2 =

2.57. 3 8 x 2 2 =

2.58. 3 008 ÷ 302 =

2.59. 0.065 7 ÷247 =

2.60. 345 – 49 + 15 =

2.61. 1.666 x 3 =

2.62. 12 x 12 x 12 =

2.63. 43

82

53 ++ =

2.64. 145

25

72 ++ =

2.65. 654

323 + =

2.66. 5312

526 ++ =

2.67. 21

1612 − =

2.68. 31

51

43 −− =

2.69. 523

878 − =

2.70. 10814

876 −+− =

2.71. 751

322

313 −+ =

2.72.

32

65 =

2.73. ( )

63

524 =

2.74. ( )

615

74 =

2.75.

52

75

83 =

2.76.

513

326 =

2.77. 73

34 ÷ =

2.78. 51

32 ÷ =

2.79. 736 ÷ =

2.80. 83

525 ÷ =

ARITMÉTICA

39

2.81. 92

85 ÷ =

2.82. 297 ÷ =

2.83. 3 2 x 3 3 =

2.84. 9 21

= 2.85. (2 2) 4 = 2.86. 0.000 112 5 x 10 5 = 2.87. 314 159 754 x 10 –8 =

En la utilización de exponentes debe recordar que: a1 = a a0 = 1 an + am = am+n (an)m = a(n) (m)

En la notación científica el número al que se eleva la base 10 indica:

• Si es positivo, es el número de lugares que se recorre el punto a la derecha.

• Si es negativo, es el número de lugares que se recorre el punto a la izquierda.


40

PROPORCIONALIDAD

A la relación que existe entre dos cantidades se le conoce como razón. Ésta por lo regular representa el número de veces que una cantidad está contenida en otra. Las razones se pueden representar por dos puntos o un cociente. Por ejemplo, si se dice que un automóvil se desplaza a una

velocidad media de 60 h

km y que la de una bicicleta es de 20 h

km , su razón

será de 3, porque la velocidad del automóvil contiene tres veces la velocidad de la bicicleta. Esto significa que la velocidad del automóvil es tres veces mayor que la de la bicicleta. La razón se puede plantear de la

siguiente manera 60 h

km (del “auto”) es a 20 h

km (de la “bici”). Esto se

representa como 60 : 20 ó 2060 . Esta relación también podría haber sido:

412

3090

39

1030 === , ya que si se hacen las divisiones, todas dan la misma

cantidad, 3. Cuando una razón se iguala a otra se dice que existe proporcionalidad entre las dos razones. Si en una razón al aumentar una cantidad la otra también aumenta, se dice que la proporcionalidad es directa. En el caso de que en la razón una cantidad aumente y la otra disminuya, la proporcionalidad es inversa.

Ejemplo de proporcionalidad directa. Dos albañiles pueden construir 24 m2 de muro al día. ¿Cuánto construirán 4, 6 y 10 albañiles?

Las razones proporcionales se pueden plantear señalando el número de m2 de construcción por albañil. Esto es 24 m2 : 2 albañiles, o también se puede

No. de albañiles 2

24

4

48

6

72

8

120Construcción en m2

ARITMÉTICA

41

escribir albañiles2

m24 2

; si se analizan las otras razones se puede observar que

van creciendo proporcionalmente; así por ejemplo, se puede establecer que:

672

224 =

Ejemplo de proporcionalidad inversa. Un pintor puede resanar y pintar 240 m2 en 6 días, dos pintores harán el mismo trabajo en 3 días, 4 lo harán en 1.5 días, etc...

Observe como la proporcionalidad es inversa ya que al aumentar el número de pintores el tiempo disminuye. Las razones proporcionales se pueden expresar de la siguiente manera:

1 : 6 :: 2 : 3

3 : 2 :: 6 : 1

La proporcionalidad se utiliza para resolver algunos problemas en los que se conoce una razón y un dato de la otra razón proporcional. Al método utilizado para resolver estas razones se le conoce como regla de tres.

Ejemplo

Si un kilo de pistaches cuesta 120 pesos y usted quiere comprar 46 pesos, ¿cuánto le deben despachar?

La razón que se conoce es que usted por 120 pesos recibe 1 000 gramos de

pistaches, 120 pesos : 1 000 g ó 0001

120 y su duda es por 46 pesos,

No. de pintores 1

6

2

3

3

2

4 6

1.5 1Tiempo necesario en días


42

¿cuántos gramos le deben despachar?; la razón proporcional será 46 :? ó

?46 .

Como las dos razones deben ser proporcionales, se puede plantear lo

siguiente: ?

460001

120 = . Para conocer el valor de la interrogación se

multiplica en cruz y luego se despeja a la ?. Multiplicación en cruz:

1 000 x 46 = 120 x ?

Despeje de la ?: 120460001 ×

= ?

Resolviendo se tiene que se deben despachar 383.33 gramos al pagar 46 pesos. La razones proporcionales quedarían representadas de la siguiente manera 120 : 1 000 :: 46 : 383.33, o también por:

33.38346

0001120 =

Las razones proporcionales también se utilizan para el cálculo del porcentaje, debido a que éste es la relación de una cantidad denominada base con el 100%.

Así, al preguntarse cuánto es el 38% de 425 pesos (los que en este caso son la base), se pueden plantear las siguientes razones proporcionales: 100% es a 425 y 38% es a (?). Las razones se pueden plantear de la siguiente manera:

?%38

425%100 =

Despejando la ? se tendrá:

5.161%100

%38425 =×

Con lo anterior, se puede decir que el 38% de 425 es 161.5.

ARITMÉTICA

43

También se podría calcular qué porcentaje es 125 de 625. Para lo que se plantearían las razones teniendo en consideración que la base es 625.

100% : 625 :: ?% : 125 ó 125%?

625%100 =

Despejando ?% se tiene: %20625

125%100 =× . Esto indica que 125 es el 20%

de 625.

Otro ejemplo del uso de las razones en el cálculo de porcentajes es el siguiente.

Para comprar un automóvil se debe pagar de enganche el 27%, esto representa 32 500 pesos. ¿Cuál es el valor del auto que se compró?

En este problema la incógnita es la base, que representa al 100%, por lo que las razones se plantearán de la siguiente manera:

100% : ? : : 27% : 32 500 ó 50032

27%?

100% =

Despejando ? se tiene: %27

%10050032 × = 120 370.40. Esta es la cantidad

que se pagará por el automóvil.

Observe que siempre se sigue un orden en las razones. Esto es, que si primero se pone el porcentaje en una razón, en la otra también se debe poner al inicio.


44

EJERCICIOS

2.88. Si 12 yardas equivalen a 10.968 m, ¿a cuánto equivaldrán en metros, 45 yardas?

R1. 131.16 m

R2. 41.13 m

R3. 38.1 m

R4. 40 m

2.89. Mary logra escribir 25 hojas en computadora cada 40 minutos. ¿En cuánto tiempo puede escribir 15 hojas?

R1. 24 minutos

R2. 22 minutos

R3. 20 minutos

R4. 22.8 minutos

2.90. Si 22.7 kg equivalen a 50 libras, ¿a cuánto equivale una libra?

R1. 41 kg

R2. 12 kg

R3. 3.141 6 kg

R4. 0.454 kg

2.91. 6 albañiles pueden repellar 360 m2 en 3 días. ¿En cuántos días harán el mismo trabajo 8 albañiles?

R1. 4 días

R2. 2 41 días

R3. 1.8 días

R4. 1.5 días

2.92. Al aplicar en un resorte 500 g se deforma 8 cm, dentro de los límites de la elasticidad del resorte, ¿cuánto se deformará si se aplican 625 g?

R1. 10 cm

R2. 12.5 cm

R3. 11 41 cm

R4. 9.4 cm

ARITMÉTICA

45

2.93. En el problema anterior, ¿cuánto necesita de carga el resorte para alargarse sólo 5.5 cm?

R1. 255.25 g

R2. 340.12 g

R3. 343.75 g

R4. 170.66 g

2.94. Si con 5 litros de pintura vinílica se pueden pintar 65 m2, ¿cuántos litros serán necesarios para pintar una pared que tiene 494 m2 ?

R1. 55 litros

R2. 38 litros

R3. 12.3 litros

R4. 38.4 litros

2.95. En la producción de chicotes de una fábrica se tienen 11 chicotes defectuosos por cada 550 que se producen. ¿Cuántos chicotes defectuosos se tendrán en un pedido de 8 800 chicotes?

R1. 240 chicotes

R2. 175 21 chicotes

R3. 220 chicotes

R4. 176 chicotes

2.96. Una cisterna para 3.5 m3 de agua tarda en llenarse 2 horas y 20 minutos. ¿Cuántos minutos tardará en llenarse una cisterna de 2 m3?

R1. 60 minutos

R2. 80 minutos

R3. 79.2 minutos

R4. 54 minutos


46

2.97. Un camión de pasajeros recorre 85 km cada hora. ¿Cuánto habrá recorrido después de 1.3 horas?

R1. 100 km

R2. 111 h

km

R3. 110.5 km

R4. 121.3 km

2.98. Si se paga de contado en la mueblería de Julieta, se hace el 18% de descuento sobre el precio de lista. Si una estufa cuesta 1 150 pesos, ¿en cuánto saldrá si se paga de contado?

R1. 1 000 pesos

R2. 943 pesos

R3. 950 pesos

R4. 855 pesos

2.99. Ernestina compró 480 pesos de materiales de belleza. Si a esto se le carga el 15% más de IVA, ¿cuánto pagó en total?

R1. 408 pesos

R2. 580 pesos

R3. 552 pesos

R4. 525 pesos

2.100. Si al pagar la cuenta en un restaurante le cobran 437 pesos y le dicen que esto ya tiene el 15% del IVA, ¿cuánto fue de cuenta?

R1. 380 pesos

R2. 371.45 pesos

R3. 365 pesos

R4. 350 pesos

ARITMÉTICA

47

2.101. En 1993, el 21.9% de los 5 200 millones de los pobladores del mundo eran chinos. ¿En ese año cuál era la población de China?

R1. 1 489.12 millones

R2. 1 200 millones

R3. 1 138.8 millones

R4. 890 millones

2.102. De cada 25 accidentes que suceden en el hogar, 2 son muy graves. ¿Qué porcentaje de los accidentes que suceden en el hogar no son muy graves?

R1. 98%

R2. 8%

R3. 2%

R4. 92%

2.103. Si 5 650 000 ha representan el 24% de las tierras laborables del país, ¿cuántas hectáreas hay en México de tierras laborables?

R1. 1 360 000 ha

R2. 23 541 667 ha

R3. 4 294 324 ha

R4. 5 325 564 ha

2.104. Si 11 chicotes salen con defecto de cada 550 que se fabrican, ¿qué porcentaje de la producción sale defectuosa?

R1. 2%

R2. 0.2%

R3. 0.02%

R4. 50%


48

2.105. Marco guardó durante 6 meses 7 200 pesos en el banco. Si, de intereses le dan el 14% anual, ¿cuánto dinero tendrá al final?

R1. 7 704 pesos

R2. 8 208 pesos

R3. 9 125 pesos

R4. 6 788.25 pesos

2.106. Mary compró un automóvil en 92 500 pesos; dio el 30% de enganche y el resto lo pagó en 24 meses sin intereses. ¿Cuánto pagó de enganche y a cómo le salen las mensualidades?

R1. $32 000.00 y $2 520.80

R2. $27 750.00 y $2 697.90

R3. $26 000.00 y $2 770.80

R4. $29 250.00 y $2 625.00

Recuerde que en una razón proporcional, cuando la base se relaciona con el número cien, se obtiene el porcentaje y además que en las razones proporcionales las unidades de los numeradores deben ser las mismas y las de los denominadores también deben ser iguales.

ÁLGEBRA

49

3. ÁLGEBRA

LOS DICHOSOS SIGNOS

Recuerde que en álgebra se manejan literales que pueden representar cualquier cantidad, como las letras c,b,a , etc. Para las incógnitas se usan, en general, las últimas letras del alfabeto, como x, y, z. Las letras están asociadas a su signo, positivo (+), o negativo (-). Cuando una letra no tiene signo a la izquierda, se entiende que es positiva. Para indicar una multiplicación se usan los paréntesis encontrados o se ponen las letras unas junto a otras. A veces se usa * o punto. Así no se confunde la x, (incógnita), con el signo x (por), de multiplicación de números.

Las reglas de los signos son:

Para multiplicar:

más por más da más (a) (b) = a b

más por menos da menos (a) (-b) = -a b

menos por menos da más (-a) (-b) = a b

menos por más da menos (-a) (b) = -a b

Para dividir:

más entre más da más aa = 1

más entre menos da menos a-a = -1

menos entre menos da más a-a- = 1

menos entre más da menos aa- = -1


50

POLINOMIOS, FACTORIZACIÓN Y PRODUCTOS NOTABLES

Ejemplos resueltos

A. ( ) ( ) dc4cd4dc3cd7 ==−+ B. =+−− )2x7x3(x9 234 467 x18x63x27 −+−

C. 3cd6

c3c9d18 +−=+−

D. ( ) 55xx5x5x 223 −+=−+ E. 222 bab2a)ba( +−=− F. 22 ba)ba)(ba( −=−+

EJERCICIOS

3.1. ( )

( ) =+−−−+−

xxz7xy5xz2xxy3

R1. xz5xy8 +−

R2. xz5xy2 +

R3. xz9x2xy2 −+

R4. xz9xy8 −

3.2. ( ) ( ) =−−− yxz73xyz21

R1. xyz42

R2. yxz63

R3. 0

R4. xyz42−

3.3. ( ) =− yx2x 2

R1. yx2x 2 ++

R2. yxx2 23 +

R3. yx2 2 +

R4. yxx2 23 −

ÁLGEBRA

51

3.4. =−

−d7

bcd35bd28 2

R1. bc5db4 2 −

R2. bc5bd4 +−

R3. bc5bd4 −

R4. bc35bd28 +

3.5. ( ) ( )( ) =

++−+

eb2eb5eb7 2

R1. ( ) 5.2eb5.3 −+

R2. ( ) ( )eb5eb27 2 +−+

R3. e2b2 +

R4. ( )eb5.1 +

3.6. =+−+−x3

6x15x27x9 23

R1. x65x9x3 2 +−+

R2. x25x9x 2 +−+− 3

R3. x65x9x9 2 +−+−

R4. 5x9x3 −+

3.7. ¿Cuál es el valor del polinomio y3 – 5y + 4y – 3, cuando y = 2 ?

R1. 7

R2. -7

R3. 9

R4. –9

3.8. ¿Qué valores tiene la expresión x2- 5x + 5, si 5x;0x == ?

R1. 5, 20

R2. -5, 5

R3. 5, 5

R4. -5, 25

3.9. ¿Cuáles son los números primos mayores que la unidad que multiplicados entre sí dan 126 ?

R1. 9, 2, 7 y 1

R2. 6, 1, 7 y 3

R3. 14, 3, 3 y 1

R4. 3, 2, 7 y 3


52

3.10. ¿Cuáles son dos factores que multiplicados entre sí producen el trinomio 432 x18x6x3 −+ ?

R1. ( )22 x6x21x3 −+

R2. ( )22 x6x3x3 +

R3. ( )432 x2x2x3 ++

R4. ( )42 x18x6xx3 −+

3.11. ¿Cuáles son los dos factores que multiplicados entre sí dan la expresión 24 b4x9 − ?

R1. ( )( )bx3b4x3 22 −+

R2. ( )( )b2xb2x9 22 +−

R3. ( )( )b2x3b2x3 22 −+

R4. ( )( )b2x9b2x 22 −+

3.12. ¿Qué polinomio resulta de llevar a cabo la multiplicación

a)x21)(x1( −+ ?

R1. ax2xa2a 222 −−

R2. ax2xaa 2−−

R3. ax2xaa 222 −−

R4. ax2xaa 22 −−

3.13. Si multiplicamos )c5)(c5( −+ , obtenemos:

R1. 2cc525 −−

R2. 2c25 +

R3. 2cc525 −+

R4. 2c25 −

3.14. 22 cac4a4 +− se puede escribir también como:

R1. 2)ca2( +

R2. 2)ca2( −

R3. )ca(a4 +

R4. 2)ca( +

ÁLGEBRA

53

3.15. El cubo de la suma de dos números, (a + b)3, es:

R1. 3223 yxy3yx3x +++

R2. 323 yxy3xy3x −++

R3. 3223 yyxxy3x ++−

R4. 233 xy9yx ++

3.16. El cuadrado de la suma de tres números, (a +b + c)2, es:

R1.

bc2ab2cba 222 ++++

R2.

bc2ac2ab2cba 222 +++−+

R3.

ab2bc2ab2cba 222 +++++

R4.

ac2ab2cba 222 ++++

3.17. El cubo de la diferencia de dos números, (a - b)3, es:

R1. 3223 bab3ba3a −++

R2. 3223 bab3ba3a −+−

R3. 3222 bab3ba3a ++−

R4. 2223` bab3ba3a +−−

3.18. =+− )5xy)(5xy(

R1. 25yx 22 +

R2. 25xy25yx 22 −+

R3. 25yx 22 −

R4. 25xy 2 −

3.19. =+++ 3223 bbc3cb3c

R1. 3)cb( +

R2. 3)cb( −

R3. 2)cbc3b( +−

R4. 3)bc( −


54

ECUACIONES DE PRIMER GRADO, SIMPLES Y SIMULTÁNEAS

Las ecuaciones de primer grado son del tipo 0bax =+ y se resuelven fácilmente transponiendo b y despejando x. En general, con una sola

variable, abx −= . Muchos problemas, como los que se verán a

continuación, tienen dos incógnitas y se pueden resolver planteando simultáneamente dos ecuaciones de primer grado, de la siguiente manera:

ax + by = c ----------- (1)

dx + ey = f ----------- (2)

Según los valores de los coeficientes a, b, c, d, e, f, las ecuaciones se pueden resolver de varias maneras. Una es despejando el valor de x de la primera ecuación y sustituyéndolo en la segunda, que entonces se convierte en una ecuación de primer grado con una variable.

Al despejar x de la ecuación (1), se tiene, abycx −

= y al sustituir x en la

ecuación (2), ( ) feya

bycd=+

− , de donde se despeja y, porque ya está

en función de puros términos constantes. Entonces este valor se sustituye en la primera ecuación para obtener x. Otra manera muy común de resolver dos ecuaciones simultáneas de primer grado es multiplicar todos los términos de una de ellas por un valor constante tal que iguale el coeficiente de x o de y en la otra ecuación. Ambos métodos se verán más adelante con los ejemplos resueltos.

Ejemplos resueltos

A. Sea 7x + 2 = 0.

Transponiendo el 2 y dividiendo entre 7, se obtiene x = - 72 .

ÁLGEBRA

55

B. La ecuación 064b16 2 =− se resuelve transponiendo el 64 (recuerde que al transponer se invierte el signo) y dividiendo entre 16. Queda

entonces 41664b2 == ; por lo tanto, b = 4 = ± 2.

C. Si las edades de Pedro y su hijo Juan, sumadas, dan 83 años y restadas dan 40 años, ¿cuál es la edad de cada uno? Llamémoslos P y J. Entonces, el enunciado dice:

40JP83JP

=−=+

Estas son dos ecuaciones simultáneas, muy simples. Si las sumamos término a término, resulta 123P2 = , y por lo tanto Pedro tiene 61.5 años y su hijo Juan tiene 21.5 años.

D. El señor Carral tiene 1 200 pesos y con ellos puede comprar 4 camisas y dos pantalones, o bien, 2 camisas y tres pantalones. ¿Cuánto valen cada camisa y cada pantalón?

Para resolver este problema, y cualquier otro, hay que plantearlo con lógica y sencillez. Llamemos C al precio de la camisa y P al del pantalón. Entonces el enunciado nos dice que:

2001P2C4 =+ --------- (1)

2001P3C2 =+ --------- (2)

Estas son dos ecuaciones simultáneas de primer grado. Podemos resolverlas sustituyendo el valor de una variable, por ejemplo de la ecuación (1), en la ecuación (2). La ecuación (1), despejando P, se puede

escribir: C26002

C42001P −=−= ---------- (3)


56

Sustituyendo el valor de P de la ec. (3) en la ec. (2), resulta:

2C + 3(600 – 2C) = 1 200

Haciendo las operaciones y despejando, obtenemos 150C = , valor que al ser sustituido en la ec. (1) produce; 2001P2)150(4 =+ , de donde

300P = .

Siempre deben comprobarse los resultados. La ec. (1) dice que 4 camisas de $150.00 más dos pantalones de $300.00 dan $1 200.00. Y la ec. (2) dice que 2 camisas de $150.00 más 3 pantalones de $300.00 dan también $1 200.00. Así que el problema está bien resuelto.

E. Doña Emilia llevó al banco 2 billetes de 500 pesos para que se los cambiaran, le devolvieron 17 billetes de 100 y 50 pesos. ¿Cuántos billetes de cada denominación le dieron?

Aquí podemos llamar q al número de billetes de 50 pesos y p al número de billetes de 100 pesos. Tendremos entonces que:

0001p100q50 =+ ----------- (1)

17qp =+ --------------------- (2)

De la ec. (2) se obtiene: q17p −= .

Este valor de p se sustituye en la ec. (1) que entonces queda:

50q + 100 (17 – q) = 1 000, de donde 50q + 1 700 – 100q = 1 000 y transponiendo términos 700 = 50q; q = 14.

Por lo tanto, 3p = . Para comprobar, 14 billetes de 50 pesos son 700 pesos y 3 billetes de $100.00 dan $300.00. Total 1 000 pesos.

ÁLGEBRA

57

EJERCICIOS

3.20. Un terreno rectangular es cuatro veces más largo que ancho. La mitad de su perímetro son 185 m. ¿Cuánto tiene de largo y cuánto de ancho?

R1. L = 140 m y A = 37 m

R2. L = 148 m y A = 36 m

R3. L = 160 m y A = 40 m

R4. L = 148 m y A = 37 m

3.21. La mitad, la tercera y la cuarta parte de un número suman 130. ¿Cuál es el número?

R1. 130

R2. 120

R3. 150

R4. 54

3.22. A un número le sumamos 13 unidades y luego le restamos 91. La suma de ambos resultados es 413. ¿Cuál es el número?

R1. 244

R2. 246

R3. 245.5

R4. 244.5

3.23. La suma de las edades de Roger, Alberto y Carlos es 187 años. Alberto tiene 3 años menos que Roger y es 11 años mayor que Carlos. ¿Qué edad tiene cada uno?

R1. R = 68 años, A = 65 años y C = 54 años





58

3.24. Encuentre el valor de x en la ecuación:

42x4)12x(12

4x2 −−=−−+−

R1. 15

R2. 18

R3. 12

R4. 16

3.25. ¿Cuánto vale a en la ecuación

013a

4a

5a =−++ ?

R1. 2960

R2. 4750

R3. 4760

R4. 2330

3.26. ¿Cuánto costará alfombrar un piso pentagonal regular de 3 m por lado y 4 m de apotema, si el metro cuadrado de alfombra cuesta $220.00 ?

R1. $5 600.00

R2. $7 550.00

R3. $6 600.00

R4. $6 800.00

3.27. Si multiplicamos la edad de la señora Norma por 5 veces, el resultado es el doble de su edad aumentada en 120 años. ¿Cuál es la edad de Norma?

R1. 45 años

R2. 40 años

R3. 50 años

R4. 55 años

La multiplicación y división de signos iguales dan positivo:

)+(=)+)(+( )+(=)+()+(

)+(=))(( -- )+(=)()(

--

La multiplicación o división de signos contrarios dan negativo:

)(=))(+( -- )(=)()+(

--

)(=)+)(( -- )(=)+()(

--

ÁLGEBRA

59

3.28. Resuelva estas ecuaciones:

1yx1yx

=−=+

R1. x = 0; y = 1

R2. x = 1; y = -1

R3. x = -1; y = 1

R4. x = 1; y = 0

3.29. ¿Cuánto valen m y n?

12n4m422n5m33

=+=−

R1. 3877n;

3837m ==

R2. 4237n;42

25m ==

R3. 4045n;40

39m ==

R4. 5253n;43

40m ==

3.30. Encuentre los valores de p y q que satisfacen las ecuaciones:

330q180p90333q27p450

=+=−

R1. 15045q;75

42p ==

R2. 309439q;309

240p ==

R3. 309439q;103

85p ==

R4. 101252q;101

82p ==

3.31. ¿Cuáles son los valores de x, y, que satisfacen las siguientes ecuaciones?

21

y1

x1

41

y1

x1

=−

=+

R1. 8y;38x −==

R2. 8y;48x −==

R3. 6y;36x −==

R4. 5y;54x −==


60

3.32. Resuelva las siguientes ecuaciones:

77b

5a

22b

3a

=+

=+

R1. 11

406b;11

670a ==

R2. 11406b;11

675a ==

R3. 11406b;11

675a ==

R4. 11406b;11

670a ==

3.33. Para ayudar a un amigo en desgracia, 24 compañeros de trabajo cooperaron con $12 000.00. Las mujeres dieron $600.00 y los hombres, $400.00. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres cooperaron?

R1. H = 12; M = 10

R2. H = 14; M = 10

R3. H = 10; M = 14

R4. H = 12; M = 12

3.34. Si al numerador de una fracción le restamos 5 unidades y al denominador le sumamos 2, la

fracción resultante es 51 . En

cambio, si al numerador le sumamos 4 unidades y al denominador le restamos 3, la fracción que resulta

es 91 . ¿Cuáles son el numerador y

el denominador originales?

R1. N = 233 ; D = 2

219

R2. N = 2

33 ; D = - 3

219

R3. N = - 2

33 ; D = - 2

219

R4. N = 233 ; D = 2

219

3.35. Los sueldos sumados de Alfonso y Porfirio nos dan $28 000.00. Si al sueldo de Alfonso se le quitan $1 000.00 y se divide entre el de Porfirio obtenemos 2. ¿Cuánto gana cada uno?

R1. A: $8 000.00; P: $20 000.00 R2. A: $19 000.00; P: $9 000.00 R3. A: $18 000.00; P: $10 000.00 R4. A: $17 000.00; P: $11 000.00

ÁLGEBRA

61

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Se conocen como ecuaciones cuadráticas, se llaman también polinomios de segundo grado. Su forma general es: 0cbxax 2 =++ , donde 2ax es el término cuadrático, bx; el término lineal y c, una constante.

Cuando no existe término lineal se tiene una ecuación cuadrática pura de la forma 0cax 2 =+ , que se resuelve fácilmente despejando 2x y

extrayendo raíz cuadrada. La solución es acx −±= . Hay que fijarse que

todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces o soluciones que las satisfacen.

Por ejemplo, en la ecuación 016x 2 =− .

Al despejar x se tiene:

4x4x

16x

2

1

2

−=+=±=

Esto indica que los valores de x1 = 4; x2 = -4, cumplen con la ecuación planteada.

Hay varias maneras de resolver una ecuación de segundo grado. La más general es completando los cuadrados. La ecuación puede reducirse a su forma más simple, con el coeficiente de 2x igual a la unidad:

,0cbxax 2 =++ es equivalente a 0acx

abx 2 =+)(+ , o sea que la ecuación

general de segundo grado siempre se puede escribir en la forma:

0qpxx 2 =++ ----------- (1)


62

Como 2

22

2ppxx

2px

++=

+ , la ecuación (1) se podría escribir así:

22

2pq

2px

+−=

+ , de donde extrayendo raíz cuadrada a ambos

miembros de la ecuación y despejando x, la solución es:

2

2pq

2px

+−±−=

En términos de los coeficientes originales, a, b, c, la fórmula de arriba se escribe así:

a2ac4b

a2bx

2 −±−=

Debe notarse que el radicando o discriminantes de esta ecuación, ac4b2 − , decide la naturaleza de las raíces. Si es mayor que cero, la

ecuación tiene dos raíces reales y diferentes entre sí. Si es igual a cero, la ecuación tiene dos raíces iguales. Y si el discriminante es negativo, la ecuación tiene dos raíces complejas. En general, trataremos en adelante con casos de raíces reales.

Un caso particular de ecuaciones de cuarto grado son las ecuaciones bicuadráticas que se pueden resolver usando las mismas fórmulas. Se trata de ecuaciones del tipo dx4 + ex2 + f = 0, donde haciendo la transformación y2 = x4, y = ± x2, la ecuación se resuelve en y ; a los valores que se obtengan se les extrae raíz cuadrada para obtener cuatro valores simétricos de x.

Ejemplos resueltos

A. Resuelva la ecuación x2 + 2x - 35 = 0. Aquí se puede aplicar la primera de las fórmulas antes anotadas, porque el coeficiente de 2x es la unidad,

ÁLGEBRA

63

p = 2, q = -35, entonces:

6113522x ±−=++±−= ; de donde 5x;7x 21 +=−= . El mismo valor

se habría obtenido aplicando la segunda fórmula, con a = 1; b = 2; c = -35 .

B. Encuentre las raíces de la ecuación 51x2x5 2 +−= .

Pasando a la izquierda todos los términos, con signo contrario e igualando a 0, nos queda una ecuación cuadrática con a = 5; b = 2; c = -51. Con la

fórmula resulta: 3x,

517x

516

51

1010204

102x

21 =−=

±−=+±−=

C. Sofía es dos años menor que Isabel. La suma de los cuadrados de sus edades es 34. ¿Cuántos años tiene cada niña?

Si llamamos S e I a las edades de Sofía e Isabel, respectivamente, las condiciones del problema son:

34IS2IS

22 =+−=

Sustituyendo S de la primera ecuación en la segunda, y resolviéndola resulta la siguiente ecuación de segundo grado en I:

030I4I2 2 =−−

Aplicando la fórmula general con 30c,4b,2a −=−== , se obtiene que 41I ±= .

Como no puede haber edades negativas, descartamos una raíz. Isabel tiene 5 años y, por lo tanto, Sofía tiene 3.


64

EJERCICIOS

3.36. Encuentre las cuatro raíces de la ecuación: x4 – 25x2 + 144 = 0

R1. 16, -16, 6 y -6

R2. 4, -4, 3 y -3

R3. 12, -12, 5 y -5

R4. –9, 9, -5 y 5

3.37. ¿Qué valores de x satisfacen la ecuación: x2 = 169 ?

R1. 12; -12

R2. 14; -14

R3. 13; -12

R4. 13; -13

3.38. ¿Cuáles son las raíces de la ecuación 3x2 + x = 24 ?

R1. 38 ; -3

R2. 37 ; -3

R3. 65 ; 6

1

R4. 3; -3

3.39. ¿Cuál es la solución de la ecuación ax2 + bx + c = 0, si a = 0, b = c = 1 ?

R1. 1x =

R2. 0x =

R3. 1x −=

R4. 2x =

3.40. Un terreno rectangular tiene de largo 3 m más que de ancho. Si le añadimos al largo 5 m y al ancho 4 m, la superficie del terreno se sextuplica. ¿Cuáles son las medidas del terreno original?

R1. 1.5 m x 4.5 m

R2. 2 m x 5 m

R3. 3 m x 6 m

R4. 2.5 m x 5.5 m

ÁLGEBRA

65

3.41. ¿Cuáles son los valores de x que satisfacen la ecuación:

3x22x

2x1x1

−−=

+−− ?

R1. 5, 1

R2. 4, -2

R3. –1, 5

R4. –5, 1

3.42. Si los alumnos de una clase se juntan y cotizan $3 900.00 para comprar nuevos mesabancos y cada uno da $100.00 más que el número de alumnos, ¿de cuántos alumnos se trata?

R1. 20 alumnos

R2. 35 alumnos

R3. 25 alumnos

R4. 30 alumnos

3.43. Se repartieron 300 textos entre los alumnos de un grupo y a cada alumno le tocaron 5 libros menos que el número de alumnos. ¿Cuántos alumnos eran?

R1. 30 alumnos

R2. 22 alumnos

R3. 20 alumnos

R4. 18 alumnos

3.44. El muro de una casa tiene forma de trapezoide regular con un área de 24 metros cuadrados. A lo largo del piso tiene 2 m más que a lo largo del techo. Su altura es 3 m mayor que el largo del techo. ¿Cuánto mide el muro en el techo?

R1. 3.5 m

R2. 3 m

R3. 4 m

R4. 4.5 m


66

3.45. El producto de las edades de Patricia y Beatriz es 3 780. Beatriz es 3 años menor que Patricia. ¿Qué edades tienen?

R1. 61; 58

R2. 62; 59

R3. 64; 61

R4. 63; 60

3.46. ¿Cuáles valores de x satisfacen la ecuación ( x – 43) (x + 44) = 0 ?

R1. –43; -44

R2. 43; -44

R3. –43; 44

R4. 43; 44

La ecuación general para resolver una ecuación de segundo grado del tipo ax2+ bx + c = 0 es:

a2

ac4b±b=x

2 --

ÁLGEBRA

67

GEOMETRÍA ANALÍTICA

La geometría estudia la forma, posición y relaciones de los cuerpos formados en dos dimensiones y también en tres dimensiones. En este prontuario trataremos únicamente de objetos en el plano, como puntos, líneas rectas y curvas, y figuras como triángulos, rectángulos y círculos.

La geometría analítica relaciona a la geometría con el álgebra. Este fue un gran avance en las matemáticas, debido a René Descartes (1596-1650), quien colocó los objetos geométricos en una cuadrícula graduada, llamada desde entonces el plano coordenado o cartesiano. La cuadrícula parte de un origen central con un eje vertical, de las ordenadas; y otro horizontal, de las abscisas. El plano se representa de la siguiente manera:

1

2

3

4

5

6

7

-1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1-7 -6 -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 6 7

Segundocuadrante

(- +)

y

x

Tercercuadrante

(- -)

Cuartocuadrante

(+ -)

Primercuadrante

(+ +)

FIGURA 1

En el eje de las x, de las abscisas, están representados todos los números reales, positivos hacia la derecha, a partir del origen, y negativos hacia la izquierda, como se muestra. De la misma manera, en el eje vertical y, de


68

las ordenadas, se representan todos los números reales, positivos hacia arriba a partir del origen y negativos hacia abajo. Cualquier punto en el plano se representa entonces por un par de números (x, y) que son sus coordenadas.

Según el cuadrante donde se encuentren los números, éstos podrán ser positivos o negativos. En el primer cuadrante, arriba y a la derecha del origen, ambos son positivos. En el segundo cuadrante los valores de x son negativos y los pares se escriben (-x, y). En el tercer cuadrante ambos son negativos, (-x, -y). Y en el cuarto cuadrante los valores de y son negativos, (x, -y). Sabiendo que x, y son distancias que se miden horizontal o verticalmente a lo largo de los ejes, se pueden definir en esos términos todas las propiedades de las figuras que se representan en el plano. Veamos algunas aplicaciones.

Propiedades de una recta. En la siguiente figura se representa una recta en el plano cartesiano:

y

y

y

x x x

2

0

1

1 0 2

FIGURA 2

Los extremos de la recta están definidos por dos pares de números, (x1, y1) (x2, y2). Es fácil calcular la longitud de la recta en función de sus coordenadas, si nos damos cuenta que 12 xx − es la base de un triángulo

ÁLGEBRA

69

rectángulo de altura 12 yy − . Por lo tanto la hipotenusa del triángulo es la longitud de la recta, o distancia entre dos puntos y se escribe:

( ) ( )212

212 yyxxd −+−= ------------- (1)

La fórmula (1) es aplicable tanto para números positivos como para negativos. El punto medio de una recta definida por las coordenadas de sus extremos se obtiene fácilmente por proporcionalidad de triángulos en la Figura 2:

( )

++=

2)yy(,

2)xx(y,x 2121

00 ------------ (2)

Se llama pendiente de una recta a su inclinación respecto al eje horizontal. Esta inclinación se mide dividiendo el cateto opuesto entre el cateto adyacente del triángulo rectángulo. En general se escribe:

12

12

xxyym

−−

= ----------- (3)

Nótese que puede haber pendientes negativas, si 2y es menor que 1y . Si ambas son iguales, 0m = y se trata de una línea horizontal, paralela al eje de las x.

b

y

x a

y

x

FIGURA 3


70

En la Figura 3 se muestra una recta que tiene pendiente negativa porque al aumentar los valores de x, los de y disminuyen. En la misma recta se muestran dos puntos, (x, y) .

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Dos rectas perpendiculares tienen pendientes que son el recíproco negativo una de

otra, 2

1 m1m −= . También se usa a veces la relación, para demostrar que

dos rectas son perpendiculares. La pendiente mide el cambio en las ordenadas cuando las abscisas aumentan, como en la recta de la Figura 3.

Queremos ahora encontrar una relación algebraica que defina los valores de y en función de los valores de x.

En otras palabras, queremos encontrar una ecuación que los relacione. Esto se puede hacer de varias maneras.

Una recta queda definida por su inclinación y uno de sus puntos. La inclinación o pendiente para un punto cualesquiera (x, y) sería, aplicando la

fórmula (3): 1

1

xxyym

−−

= . Entonces la ecuación de la recta en términos de

su pendiente se puede escribir:

Y – y1 = m(x – x1) --------------- (4)

Esta ecuación se puede escribir de una forma más simple, en términos de su intersección con el eje de las ordenadas, 0x;by 11 == . Este punto está indicado en la Figura 3. La ecuación de la recta nos queda entonces:

y – b = m( x – 0)

y = mx + b --------------- (5)

ÁLGEBRA

71

Una recta queda totalmente definida si se conocen dos de sus puntos. Sustituyendo m de la fórmula (3) en la (4), obtenemos la ecuación de la recta en función de dos puntos, (x1, y1), (x2, y2) :

( )112

121 xx

xxyyyy −

−−

=− --------------- (6)

Si en la ecuación (6) substituimos los dos puntos (x1, y1), (x2, y2) por sus intersecciones con el eje de las abscisas (a, 0 ) y de las ordenadas (0, b) como se muestra a continuación:

x1 = a y1 = 0

x2 = 0 y2 = b

Substituyendo el valor de x y y en la ecuación (6) se tiene:

bxaby

)ax(a00b0y

+−=

−−−=−

Dividiendo los dos términos entre b, se tiene:

bb

ax

by

+−=

De donde se obtiene la ecuación de la recta en función de sus intersecciones con los ejes coordenados:

1by

ax =+ -------------- (7)

(0,b)

(a,0)0

y

x


72

Finalmente, una ecuación de primer grado con dos variables se puede escribir en general así: Ax + Bx + C = 0, donde A, B, C, son cantidades constantes. Despejando y, nos queda:

BCx

BAy −−= ---------------- (8)

que tiene una forma idéntica a la ecuación (5), haciendo BAm −= ,

BCb −= .

Hemos mostrado entonces cinco formas de expresar la ecuación de una recta en el plano cartesiano, las fórmulas (4)-(8), todas equivalentes entre sí. Según el problema que se presente, convendrá aplicar una u otra de ellas.

Ejemplos resueltos

A continuación aplicaremos las fórmulas anteriores a un par de rectas.

12345

67

y

B

A

8

-1

-3-2

1-4 -3 -1-6 -5 -2 0 32 4 5 6 7 8x

FIGURA 4

En la Figura 4 se presentan dos rectas con distintas características en un plano cartesiano graduado con 8 unidades a partir del origen.

ÁLGEBRA

73

La recta A está definida por sus intersecciones, (0, 5) con el eje de las ordenadas y (6, 0) con el eje de las abscisas.

La recta B se origina en el punto (6, 8) y termina en el eje de las ordenadas en el punto (0, 3). Contestaremos las siguientes preguntas:

¿Cuál es la ecuación de cada recta, expresada en términos de su pendiente?

Recta A. Conocemos sus intersecciones con los ejes coordenados, por lo

tanto aplicamos directamente la fórmula (7): 15y

6x =+ . Para encontrar la

fórmula en términos de la pendiente, hacemos las operaciones para escribir la ecuación como se muestra en la fórmula (5):

Primero se definen los valores de x1, y1, x2 y y2:

x1 = 6, y1 = 0

x2 = 0, y2 = 5

(0,5)

(6,0)0

y

x

Se sustituyen estos valores en la ecuación (6):

630x

65y

)6x(60050y

+−=

−−−=−


74

Observe que esta ecuación tiene la misma estructura que la ecuación (5).

5x65

630x

65bmxy +−=+−=+=

La recta A tiene una pendiente negativa, 65m −= .

Recta B. Conocemos dos de sus puntos, (6, 8) y (0, 3). La pendiente se puede obtener directamente de la fórmula (3):

56

3806

yyxxm

12

12 =−−=

−−

=

y la fórmula de la recta B es entonces:

3x56y +=

Si continuáramos la recta B hasta que cruzara el eje de las abscisas, ¿cuál sería el valor de x en el cruce? Para encontrarlo basta hacer cero el valor

de y en la ecuación anterior, de donde resulta que 5.225x −=−= .

También se puede encontrar la longitud del tramo mostrado de la recta, aplicando la fórmula (1) para la distancia:

( ) ( ) 81.7613806d 22 ==−+−= unidades

Se puede ver que las rectas mostradas son perpendiculares entre sí, porque sus pendientes son inversas negativas una de otra, y el producto

165

56 −=

−

.

ÁLGEBRA

75

Las formas generales de las ecuaciones de las rectas A y B serían, transformando las que ya tenemos en función de sus pendientes:

Recta A: 030y6x5 =−+−

Recta B: 015y5x6 =+−

Para encontrar las coordenadas de la intersección de ambas rectas, basta con considerar a sus ecuaciones como simultáneas y encontrar los valores de x, y que las satisfacen. Dividiendo la primera ecuación entre 6 y la segunda entre 5, quedan así:

03yx56

05yx65

=+−

=+−−

Al restar ambas ecuaciones tenemos:

02x56x

65 =−+ , de donde 98.0

6160x == ; al sustituir en cualquiera de

las dos ecuaciones, encontramos el valor 18.461

255y == , que se puede

encontrar en la Figura 4, aproximadamente.


76

EJERCICIOS

3.47. ¿Cuál es la ecuación de pendiente 3 que pasa por(2, 0 )? Sugerencia: aplique la fórmula de la pendiente m.

R1. 6x3y +=

R2. 6x3y −=

R3. 3xy +=

R4. 3x3y +=

3.48. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (3, -4 ), (-8, -6 )?

R1. 050y11x2 =−−

R2. 050y11x =++

R3. 040y11x2 =++

R4. 050y11x2 =−−−

3.49. Si una línea intercepta el eje de las abscisas en 4 y el de las ordenadas, en 6− , ¿cuál es su ecuación?

R1. 012y2x3 =++

R2. 06yx3 =−+

R3. 012yx3 =−−

R4. 012y2x3 =−−

3.50. ¿Cuál es la ecuación de la recta que tiene pendiente igual a un tercio y cruza el eje de las ordenadas en 2 ?

R1. 012y3x3 =++

R2. 012y3x3 =+−

R3. 06y3x =++

R4. 06y3x =+−

ÁLGEBRA

77

3.51. Si una recta es paralela al eje de las abscisas y pasa por el punto (1, 4 ), ¿cuál es su ecuación?

R1. 4yx =+

R2. 1yx =−

R3. 1x =

R4. 4y =

3.52. Una recta es paralela a la representada por 2x – 3y + 7 = 0 y pasa por el punto (5, 2 ), ¿cuál es su ecuación?

R1. 04y3x2 =++

R2. 04y3x2 =−−

R3. 04y3x =+−

R4. 04y3x =−+

3.53. ¿Cuál es la recta perpendicular a la de ecuación 3x – 6y + 2 = 0, que además pasa por el punto (1, -4 )?

R1. 04x2y =+−

R2. 01x2y2 =++

R3. 02x2y =++

R4. 01xy =++

3.54. ¿Cuál es la recta que pasa por (-2, 3 ) y es paralela a la que pasa por (-8, -4 ) y (1, 5 ) ?

R1. 05yx =+−

R2. 03yx =+−−

R3. 05yx =−+

R4. 05yx2 =+−


78

3.55. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (-1, -4 ) y es perpendicular a la línea que pasa por (-1, 6 ) (2, 3 )?

R1. 011y6x =−+

R2. 022y3x2 =++

R3. 011y3x =+−

R4. 011y3x =−+

3.56. ¿Cuál es la ecuación de la línea perpendicular que corta en dos partes iguales a la que va de (-1, 6) a (3, -4) ?

R1. 03y5x2 =+−

R2. 03y5x2 =−+

R3. 05y3x =−+

R4. 05yx =−+

3.57. ¿Cuál es la ecuación de la recta que es paralela a la línea

02y5x3 =+− y pasa por la intersección de las dos rectas

x + 4y – 22 = 0 ;

3x + y = 0 ?

R1. 036y5x3 =++

R2. 036y5x3 =+−

R3. 036y5x3 =−−

R4. 036y5x3 =−−−

3.58. Si una recta pasa por (-6, -2) y su intersección con el eje de las abscisas es dos veces mayor que con el eje de las ordenadas, ¿cuál es su ecuación?

R1. 010yx2 =++

R2. 010yx =++

R3. 010y2x =++

R4. 010y2x =−+

ÁLGEBRA

79

3.59. ¿Cuál es la pendiente de las rectas A: 2x – 3y + 5 = 0 y B: 6x + 3y – 12 = 0 ?

R1. A = 31 ; B = -2

R2. A = 32 ; B = -2

R3. A = 32 ; B = 2

R4. A = 3; B = -2

Recuerde que la distancia entre dos puntos en una recta se obtiene por medio de la siguiente ecuación: 2

122

12 )yy(+)xx(=d -- Una recta se puede definir por la siguiente ecuación:

( )1

12

121 xx

xxyy

=yy ---

-

Si la recta cruza al eje de las ordenadas en y1 = b y x1 = 0, la ecuación será: b+mx=y En la que m es igual a la pendiente de la recta.


80

LAS SECCIONES CÓNICAS Y SUS ECUACIONES

Las secciones que resultan de cortar un cono de revolución circular fueron estudiadas por los geómetras griegos hace más de dos mil años. Con el advenimiento de la geometría analítica se analizaron sus ecuaciones de forma algebraica. A continuación revisaremos las formulaciones más sencillas.

Círculo. Si se corta un cono con un plano horizontal, perpendicular a su eje, resulta un círculo como se muestra en la Figura 5.

yr

x

y

x

FIGURA 5

Por definición, un círculo es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de otro, llamado el centro. Esta distancia se llama el radio (r). La ecuación general de un círculo simétrico respecto a los ejes coordenados es una simple aplicación del teorema de Pitágoras.

Se puede ver de la Figura 5 que:

222 ryx =+ --------------- (9)

ÁLGEBRA

81

Esta es la ecuación de un círculo, aplicable para cualquier valor de x, y, negativos o positivos, ya que los valores de las coordenadas están elevados al cuadrado.

Elipse. La elipse se obtiene cortando al cono con un plano inclinado respecto a su eje, como se muestra en la Figura 6.

d12d

2b

y

(x,y)

x

cca a

y

x

FIGURA 6

Con referencia a la Figura 6, se tiene una elipse de eje vertical 2b y eje horizontal a lo largo del eje de las abscisas y simétrico respecto al origen, de largo 2a donde se encuentran los focos a una distancia c del origen. La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a otros dos puntos llamados focos es constante, por lo tanto:

d1 + d2 = constante

Por definición, esta igualdad debe cumplirse también en el punto (a, 0), donde, d1 = a + c, d2 = a - c, entonces

a2dd 21 =+

Para el punto (b, 0), add 21 == . Luego 222 cba += .


82

La ecuación de la elipse puede escribirse, en función de un punto cualesquiera )y,x( , de la siguiente manera:

221 y)xc(d ++= , 22

2 y)xc(d +−= , entonces

a2y)xc(y)xc(dd 222221 =+−+++=+

Esta ecuación se puede escribir:

2222 y)xc(a2y)xc( ++−=+−

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación, “re-arreglando” los términos y simplificando se obtiene:

xcay)xc(a 2222 +=++

Volviendo a elevar al cuadrado y colocando todos los términos en x y en y de un sólo lado de la ecuación, tenemos:

224222222 caayacxxa −=+−

que se puede factorizar de la siguiente manera:

)c-a(ayax)c-a( 22222222 =+

Recordemos que de la geometría de la elipse se tiene que 222 cab −= , que al sustituir en la última ecuación resulta:

222222 bayaxb =+

y al dividir entre 22ba , obtenemos la ecuación de la elipse donde a está sobre el eje de las abscisas y es mayor que b:

1by

ax

2

2

2

2

=+ -------------- (10)

ÁLGEBRA

83

Ejemplo resuelto

¿Cuál es la ecuación de la elipse que con centro en el origen pasa por (5, 2), (8, 0) ?

Sabemos que la ecuación (10) debe ser satisfecha al substituir las coordenadas que se indican para ella. Debemos encontrar los valores de

2a y de 2b . Para el primer punto la ecuación sería:

1b4

a25

22 =+

Para el segundo punto:

1b0

a64

22 =+

De esta última ecuación se obtiene directamente 64a 2 = . Esto se podría haber visto directamente al notar que el punto (8, 0) es el vértice positivo del eje mayor, cuando 0y = . Sustituyendo el valor de 2a en la primera ecuación tenemos:

1b4

6425

2 =+

Para despejar, multiplicamos toda la ecuación por 2b y arreglamos los términos. Queda así:

22 b6439)

64251(b4 =−= , de donde

39256b2 = . La ecuación de la elipse

que buscamos sería entonces:

1

39256y

64x 22

=

+


84

Para comprobar que esta solución es la correcta podemos sustituir los valores del punto (5, 2) y se demuestra que:

16439

6425

392564

6425 =+=

+

Parábola. Se obtiene cortando al cono con un plano inclinado, como se muestra en la Figura 7.

d

p

(x,y)

p

y

x

FIGURA 7

La parábola es el lugar geométrico donde todos los puntos se encuentran equidistantes del foco y de la directriz que es una recta paralela al eje de las abscisas a una distancia del foco igual a 2p, tal como se observa en la Figura 7. El eje está a una distancia p del foco que por definición es la misma distancia a la directriz. La ecuación de una parábola simétrica respecto al eje de las ordenadas, como la que se muestra, se encuentra fácilmente. Tomemos el punto (x, y) de la parábola. Por definición se cumple que pyd += . Pero, aplicando el teorema de Pitágoras,

py)py(xd 22 +=−+= ,

ÁLGEBRA

85

de donde, elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y simplificando se obtiene la ecuación de la parábola con vértice en el origen y simétrica respecto al eje de las ordenadas:

py4x 2 =

p4xy

2

= ----------- (11)

Se puede observar que la ecuación (11) se satisface tanto para valores positivos como negativos de x; de aquí resultan las dos ramas simétricas de la curva en los cuadrantes primero y segundo del plano cartesiano.

Nótese que si la ecuación (11) tuviera signo negativo:

p4xy

2

−= ------------ (11’)

nos resultaría una parábola simétrica respecto al eje de las ordenadas pero con ramas que se abrirían hacia abajo, hacia los cuadrantes negativos en y, porque al aumentar x obtenemos valores crecientes pero negativos de y.

Las parábolas pueden también ser simétricas respecto al eje de las abscisas. En este caso las ecuaciones que resultan tienen intercambiadas las x y las y en las ecuaciones (11) y (11’), como sigue:

p4yx

2

=

que se abre hacia la derecha del origen y

p4yx

2

−=

que se abre hacia la izquierda del origen.


86

Ejemplo resuelto

Encuentre la ecuación de la parábola que pasa por el punto (2, 3), simétrica y con eje paralelo al de las ordenadas.

Aplicando la ecuación (11), ya que el punto dado debe ser uno de la parábola, encontramos el valor de p :

p443 = ; por lo tanto

31p = y la ecuación que buscamos es:

2x43y =

que se satisface para el punto dado, porque 4433 =

Hipérbola. Las curvas resultan de cortar al cono con un plano vertical, paralelo al eje, como se muestra en la Figura 8.

a

c

d 12d

(x,y)

b

x

y

FIGURA 8

ÁLGEBRA

87

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Con referencia a la Figura 8, la definición dice:

constantedd 21 =−

Los focos están situados a una distancia c y los vértices a una distancia a del origen. Las curvas que resultan son simétricas respecto a los ejes coordenados con centro en el origen.

Por otra parte, si analizamos el punto situado sobre el eje de las abscisas, (0, a), se cumple que:

acdacd

2

1

−=+=

y, por lo tanto, a2dd 21 =−

En la Figura 8 están marcadas con línea punteada dos rectas simétricas, que se cruzan en el origen. Son las asíntotas de las curvas, hacía donde tiende la hipérbola a medida que los valores de x crecen y crecen.

Estas rectas se cruzan con las tangentes verticales en los vértices de las curvas, en puntos situados a una distancia denominada b del origen. La ecuación de la hipérbola se puede obtener de una manera parecida a la que se usó para la elipse.

Consideremos el punto (x, y), situado a distancias d1, d2 de los focos, que están situados sobre el eje de las abscisas en los puntos (-c, 0); (c, 0).

Aplicando la formula (1) para encontrar la distancia entre dos puntos, tenemos:

a2)0y()cx()0y()cx(dd2222

21 =−+−−+++=−


88

Para resolver esta ecuación es conveniente escribirla de la siguiente forma:

2222 y)cx(a2y)cx( +−+=++

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación, simplificando, volviendo a elevar al cuadrado y factorizando, se llega al siguiente resultado:

)ac(aay)ac(x 22222222 −=−−

Como, por la construcción de la hipérbola resulta que a2 + b2 = c2, sustituyendo el valor de 2b por )ac( 22 − en la ecuación anterior y dividiendo ambos términos por 22ba , nos queda la ecuación de la hipérbola con centro en el origen:

1by

ax

2

2

2

2

=− ------------------- (12)

La solución de esta ecuación para 0x = no tiene sentido, porque resulta un número imaginario. Si hacemos 0y = , la solución es x = ± a , que señalan los puntos en los vértices de las dos curvas que forman la hipérbola.

Las ecuaciones de las asíntotas se obtienen al resolver la ecuación (12) para y. Se obtiene una ecuación de segundo grado cuya solución es:

2

2

xa1x

aby −±=

En la ecuación anterior, para valores crecientes de x, el valor del radical tiende muy rápidamente a la unidad y en el límite nos resultan las ecuaciones de las asíntotas, que son dos rectas que pasan por el origen y que limitan el trazo de la hipérbola, con ecuaciones:

xaby ±= ---------------- (13)

ÁLGEBRA

89

La ecuación (12) es para una hipérbola que tiene un eje transversal que coincide con el eje de las abscisas y centro en el origen, donde las curvas se abren hacia la derecha y hacia la izquierda del plano cartesiano.

La ecuación de una hipérbola donde el eje transversal coincide con el eje de las ordenadas es:

1bx

ay

2

2

2

2

=− ---------------------- (12’)

con asíntotas

xbay ±= ------------------------- (13’)

Dicho en otras palabras. Si el término en y es negativo, la hipérbola se abre hacia la derecha y hacia la izquierda. Si el término en x es negativo, la hipérbola se abre hacia arriba y hacia abajo.

Ejemplo resuelto

Encuentre la ecuación de la hipérbola que tiene los focos en (±4, 0) y un eje transversal de 4 unidades.

De los datos se concluye que 4c = y 2a = (la mitad de la longitud del eje transversal. Sabemos que 222 cba =+ . Por lo tanto 12416b2 =−= y la ecuación que buscamos es:

112y

4x 22

=−

La hipérbola se abre hacia la derecha e izquierda, con eje transversal coincidente con el de las abscisas.


90

Si los focos se encontraran en (0, ±4), con los demás datos iguales, la ecuación sería:

112x

4y 22

=−

y la parábola se abriría hacia arriba y hacia abajo.

GRÁFICAS DE ECUACIONES

Hasta ahora hemos visto ecuaciones de curvas dadas, que se pueden resolver mediante operaciones algebraicas. Sin embargo no sólo éstas, sino cualquier polinomio puede graficarse haciéndolo igual a una función y en el plano coordenado, dando sucesivos valores a x, haciendo las operaciones indicadas y señalando los puntos en el plano coordenado. Veremos un ejemplo muy sencillo. Sea la ecuación 3xy 2 += . Se forma primero una tabla de valores y con ellos se construye la gráfica, de la siguiente manera:

x x2 x2 + 3 = y

-5 25 28

-4 16 19

-3 9 12

-2 4 7

-1 1 4

0 0 3

1 1 4

2 4 7

3 9 12

4 16 19

5 25 29 FIGURA 9

y = x + 32 y

x

5

0 1-4 2-3 3-2 4-1

10

15

20

25

ÁLGEBRA

91

De la misma manera se pueden obtener las gráficas de polinomios que no tienen solución analítica cuando se hacen iguales a cero. A continuación, en la Figura 10, se muestra la gráfica de un polinomio de tercer grado.

y

x0 1-4 2-3 3-2 4-1

50

100

150

200y = x + 5x - 4x -103 2

FIGURA 10

La gráfica de un polinomio de quinto grado se muestra en la Figura 11.

y

1 000

-1 000

2 000

-2 000

y = x - 3x - 2x + 65 3

x0 1-4 2-3 3-2 4-1

FIGURA 11

Como último ejemplo de graficación, se muestra una ecuación de segundo grado en la Figura 12. Para este polinomio sí tenemos fórmulas que


92

encuentran sus raíces, los números señalados en las intercepciones con el eje de las abscisas. Si hacemos 0y = y aplicamos la fórmula, resulta:

05.1x,05.5x;05.326

192144612x 21 =−=±−=+±−= , que son las

abscisas de cruce con el eje de las x.

FIGURA 12

Ejemplos resueltos

A. ¿Cuál es la ecuación de un círculo que pasa por (-5, -4), con centro en el origen? Aquí simplemente hay que obtener el valor del radio r. Por la fórmula (1), de la distancia entre dos puntos:

41)4()5(r 22 =−+−= , y por lo tanto la ecuación es 41yx 22 =+ .

B. ¿Cuáles son las características de la ecuación 116y

9x 22

=+ ?

Primero, es una elipse porque dos términos sumados, elevados al cuadrado son iguales a la unidad. Aquí el eje mayor es vertical e igual a 4, mientras que el eje menor es igual a 3, porque el término menor divide a x.

ÁLGEBRA

93

El foco se encuentra de la fórmula 222 cba += , por lo tanto es igual a ± 13 y se mide verticalmente a lo largo del eje de las ordenadas.

C. ¿Cuál es la ecuación de una parábola que pasa por (2, -3), con vértice en el origen?

La fórmula general es px4y 2 = . La resolvemos con los datos que

tenemos para encontrar p: )2(p49 = , de donde 89p = y la ecuación es

x29y 2 = .

D. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices y de los focos de la

hipérbola cuya ecuación es: 14x

9y 22

=− ? En este caso el término positivo

es el de y 2, por lo tanto el eje transversal de las curvas es el de las ordenadas y los vértices se encuentran en (0, 3), (0, -3) El valor de a es 2 y el de b es 3. De la relación 222 bac += obtenemos el valor de c que es ± 13 . Así, las coordenadas de los focos son (0, 13 ); (0, - 13 ).

EJERCICIOS

3.60. ¿A cuál de las elipses mostradas corresponde la ecuación

14yx

22 =+ ?

R1

y y

y y

x

x

x x

R2.

R4.R3.

.

3.61. ¿Cuál es la ecuación de la elipse con focos (3,0) ; (-3,0) y vértices (6,0) ; (-6,0) ?

R1. 127y

36x 22

=+

R2. 127y

36x 22

=−

R3. 138y

27x 22

=+

R4. 136y

27x 22

=−


94

3.62. Si una elipse tiene vértices en (0,±7) y eje menor de longitud 4, ¿cuál es su ecuación?

R1. 149y

4x 22

=−

R2. 14y

49x 22

=+

R3. 149y

4x 22

=+

R4. 14y

49x 22

=−

3.63. ¿Cuál es la ecuación de la elipse que tiene eje mayor de longitud 28 y focos situados en (±10,0) ?

R1. 1=96y

196x 22

−

R2. 198y

96x 22

=+

R3. 1196y

96x 22

=+

R4. 196y

196x 22

=+

3.64. Una alberca ha sido diseñada en forma de elipse con longitud máxima de 24 m y ancho máximo de 8 m. ¿Cuál será el ancho en un punto que está a 4 m del extremo?

R1. 4.98 m

R2. 5.56 m

R3. 6.06 m

R4. 5.96 m

3.65. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en (±4,0), con un eje transversal igual a 4 ?

R1. 112y

4x 22

=+

R2. 112y

4x 22

=−

R3. 1y12x 22

=−4

R4. 14y

12x 22

=+

ÁLGEBRA

95

3.66. Si una hipérbola tiene los focos en (±10, 0) y los vértices en (±7, 0), ¿cuál es su ecuación?

R1. 151y

49x 22

=−

R2. 1=49y

51x 22

−

R3. 151y

49x 22

=+

R4. 1=50y

50x 22

−

3.67. Encuentre la ecuación de la parábola que tiene foco en (0, -2) y directriz y = 2.

R1. x8y 2 −=

R2. x8y 2 =

R3. y8x 2 =

R4. y8x 2 −=

3.68. ¿Cuál es la ecuación de la parábola que tiene el foco en (0, 5) y directriz y = -5 ?

R1. y20x 2 −=

R2. y20x 2 =

R3. x20y 2 =

R4. x20y 2 −=

3.69. Escriba la ecuación de una parábola con vértice (0, 0) y directriz y = -3.

R1. y9x 2 =

R2. y9x 2 −=

R3. y12x 2 −=

R4. y12x 2 =


96

3.70. Se decide en una ciudad construir un arco de forma parabólica que tiene del suelo al punto más alto 28 m con las bases separadas 12 m. ¿Cuál es la altura del arco en un punto alejado 3 m del centro de la base?

R1. 14 m

R2. 21 m

R3. 20 m

R4. 7 m

Recuerde las ecuaciones de las siguientes curvas: Círculo 222 r=y+x

Elipse =by

+ax

2

2

2

2

1

Parábola p4

x=y

2

Hipérbola =by

-ax

2

2

2

2

1

GEOMETRÍA

97

4. GEOMETRÍA ELEMENTOS BÁSICOS

La geometría nos permite conocer algunas propiedades de las figuras y con ello realizar mediciones o evaluaciones. En este apartado se analizará principalmente la geometría plana, al final se tratarán someramente algunos sólidos.

Algunos de los elementos más utilizados en la geometría son los siguientes:

Punto

Un lugar en un plano o figura que sirve de referencia; por ejemplo, el punto en donde se cruzan dos rectas. El punto no tiene dimensiones.

Recta

Es la línea que pasa por dos puntos en el plano y que tiene una dimensión.

Segmento

Una línea recta que tiene un punto de inicio y otro al final.

a b

Ángulo

Ángulo es la medida que existe entre dos líneas rectas que se cruzan en un punto llamado vértice.

vértice

ángulo


98

Líneas perpendiculares

Se forma un ángulo de 90º entre las dos líneas.

ángulo de 90º ángulo de 90º

Líneas paralelas

Nunca se cruzan.

Línea curva

Es la línea que pasa por dos puntos en el plano y que tiene dos dimensiones.

Triángulo

Está formado por tres líneas rectas unidas una después de la otra, donde el final de la primera y el final de la última, coincide con el inicio de la primera. Además, la suma de sus tres ángulos siempre es 180º.

Paralelogramos

Son figuras que tienen paralelos dos de sus lados. Si sus cuatro ángulos son rectos (90º ) y sus lados desiguales se llama rectángulo y cuando sus lados son iguales se llama cuadrado.

GEOMETRÍA

99

Circunferencia

Conjunto de puntos que equidistan del centro de un círculo.

Algunos trazos en el círculo

Tangente del círculo

d = diámetro

r = radio

Tangente del círculo

d

r

Polígonos

Conjunto de líneas rectas unidas en sus extremos una después de la otra, donde el extremo de la última coincide con el inicio de la primera. Estos pueden ser de tres lados, los que se llaman triángulos; de cuatro, cuadriláteros; de cinco, pentágonos; de seis, hexágonos, etc.

Polígonos regulares: sus lados y ángulos son iguales

Polígono irregular: los lados y los ángulos no son iguales


100

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

Es común representar a los ángulos entre los valores de 0º a 360º. Cada grado se divide en 60’ (minutos) y cada minuto a su vez se divide en 60’’ (segundos).

Para tener una idea general de la magnitud de un ángulo, se puede relacionar su posición con los cuadrantes de un círculo.

Primer cuadrante de 0º a 90º

Primer y segundo cuadrantes de 0º a 180º

Tres cuadrantes de 0º a 270º

Cuatro cuadrantes 360º

Los ángulos se pueden clasificar por su magnitud o por su relación con otros ángulos que se forman al prolongar las líneas que los integran.

Los ángulos por su magnitud se pueden clasificar como:

Agudo, aquel que mide menos de 90º.

ángulo < 90º

Recto, el que mide 90º. Observe que en las siguientes ilustraciones primero se presentan dos ángulos rectos y después sólo hay un ángulo recto.

ángulo = 90ºángulo de 90º ángulo de 90º

12

0°

90°

180°

270°

360°

3 4

GEOMETRÍA

101

Obtuso, mide más de 90 º y menos de 180 º.

90º < ángulo < 180º

Llano, es el que mide 180 º.

ángulo = 180º

Perigonal, es el ángulo que mide 360º.

0°360°

Los ángulos que se clasifican por su relación con las extensiones de las líneas que los forman pueden ser complementarios o suplementarios.

Ángulos complementarios. Son aquellos que su suma es de 90º.

El ∠ (ángulo) formado por a, b y c

es un ángulo recto (90º ) y los ∠s

α + β = 90º

De acuerdo a lo anterior se puede decir que el ∠ β es el complementario del ∠ αααα.

ángulo β

c

ab

ángulo α


102

Con lo anterior se puede decir que el ∠ complementario de 70º es 20º porque a 70 le faltan 20 para ser 90.

Ángulos suplementarios. Son aquellos que sumados dan 180º. Esto indica que α + β = 180º. Así se puede afirmar que al conocer a uno de los dos ángulos, se puede obtener fácilmente el otro. Por ejemplo si se sabe que α = 110º, el ∠ suplementario β valdrá 70º, porque a 110º le faltan 70, para ser 180º.

α + β = 180º

70º + 110º = 180º

Si en la figura anterior se prolonga la línea media que forman los ángulos α y β, se tendrán también dos ángulos suplementarios pero con diferente nomenclatura.

a + b = 180º

70º + 110º = 180º

Observe que α y b son suplementarios, así como β y a.

Además, β y b al estar opuestos o correspondientes son iguales, así como α y a.

Con lo anterior, al conocer un ángulo en una figura como la siguiente se pueden definir fácilmente los siete ángulos restantes.

α = 70º β = 110º

α = 70º

a = 70º

β = 110º

b = 110º

GEOMETRÍA

103

Si b = 60º se tendrá que:

a = 180º - 60º = 120º

c = a = 120º, porque son correspondientes.

d = b = 60º

a = v = 120º

porque los ángulos de dos líneas paralelas cruzados por una transversal son los mismos.

z = v = 120º

w = b = 60º

y = w = 60º

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo a las características de sus lados o las de sus ángulos.

Los triángulos clasificados conforme a las características de sus lados pueden ser isósceles, equiláteros o escálenos.

El triángulo isósceles tiene dos lados iguales (también tiene dos ángulos iguales).

Haciendo referencia a la figura se tiene que:

a = c ≠ b

Los ángulos α y β también son iguales.

α = β ≠ δ

a

αβ

δc

b

b

c

w

d

vz y

a


104

Un triángulo equilátero tiene sus tres ángulos y sus tres lados iguales, por lo que: a = b = c y α = β = δ

Los triángulos escálenos tienen sus tres lados y sus tres ángulos diferentes, por lo que: cba ≠≠ y δβα ≠≠

En la clasificación de los triángulos por las características de sus ángulos se tienen triángulos: acutángulos, en donde sus tres ángulos son agudos ( < 90º ); obtusángulos, los que tienen un ángulo obtuso ( > 90º ) y los rectángulos que cuentan con un ángulo recto (90º ).

Las partes de un triángulo

Lados. En el caso de un triángulo rectángulo tiene dos catetos y una hipotenusa.

hipotenusa c

cateto a

cate

to b

mediana

baricentro

Mediana. La que se obtiene al trazar una línea desde cualquiera de los vértices hasta la parte media del lado opuesto.

Baricentro. Es el punto en donde las tres medianas de un triángulo se unen.

Los ángulos exteriores de un triángulo

suman 360º y son los suplementarios

de los ángulos interiores opuestos en

el triángulo.

aα

β

δc

b

GEOMETRÍA

105

Los ángulos a, b y c son los ángulos exteriores del triángulo, por lo que a + b + c = 360º.

En los triángulos se puede calcular la magnitud de sus lados, su perímetro, la superficie o área y la magnitud de sus ángulos.

La magnitud de los lados se puede calcular por medio del teorema de Pitágoras, el que señala que la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

222 cba =+

En donde a y b son los catetos y c la hipotenusa.

Ejemplos resueltos

A. Una escalera está recargada sobre una pared de 3.46 m y está separada de la misma 2 m. ¿Cuánto mide la escalera?

En este caso un cateto es la separación (2 m)

otro es la altura de la pared (3.46 m)

y la hipotenusa es la longitud de la escalera.

Cateto a = 2 m

Cateto b = 3.46 m

Hipotenusa = c = ? (lo que se busca)

Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene: 222 cba =+

2 2 + 3.46 2 = c 2

escalera

separación (2 m)

pare

d (3

.46

m)


106

4 + 11.98 = c 2

16 = c 2

Se saca raíz cuadrada en los dos términos, con lo que se obtiene:

2c16 =

4 = c

La escalera mide, aproximadamente, 4 m.

Si no se conoce alguno de los catetos se despeja de la fórmula de la siguiente manera:

bacabc

22

22

=−

=−

Para obtener el perímetro de un triángulo se debe sumar la magnitud de sus tres lados.

a + b + c = P

B. Se va a poner malla a un terreno como el que se muestra en el croquis, si el metro lineal de malla cuesta 145 pesos, ¿cuánto se debe pagar por la cerca?

La longitud de la malla será el perímetro

del terreno.

10 m + 12 m + 15.62 m = 37.62 m

15.62 m

12 m

10 m

GEOMETRÍA

107

Si cada metro de malla cuesta 145 pesos se tendrán que pagar

145 pesos x 37.62 m = 5 454.90 pesos

La superficie de un triángulo se puede obtener aplicando la siguiente fórmula:

A2

hxb=

En la que b es la base del triángulo y h la altura, lo anterior se observa en el siguiente croquis:

b = base

h = altura

Recuerde que la altura (h) es la distancia de la perpendicular que sale de la base y que llega al vértice.

¿Cuál es la superficie del terreno al que se le puso malla?

Base = b = 12 m

Altura = h = 10 m

Aplicando la fórmula 2hxb

= A

Se tiene que: 2

m10xm12 = 60 m2

15.62 m

12 m

10 m


108

Observe que las superficies se miden en unidades cuadráticas, longitud al cuadrado (m2, cm2, mm2...).

La fórmula para obtener el área de un triángulo se obtiene al dividir el área de un cuadrado (a x b) entre dos.

h = altura

b = base

EJERCICIOS

4.1. Si un ángulo mide menos de 90 º es un ángulo:

R1. pequeño

R2. recto

R3. obtuso

R4. agudo

4.2. Si se tienen dos ángulos complementarios y uno mide 33 º12’’, ¿cuánto medirá el otro?

R1. 56º 48'

R2. 123 º 12 ’

R3. 57 º12’

R4. 62 º48 ’

4.3. Se tiene un triángulo rectángulo. Si uno de sus ángulos exteriores es igual a 120 º, ¿cuánto miden sus tres ángulos interiores?

R1. 90º, 70º y 20º

R2. 25º, 90º y 65º

R3. 60º, 90º y 30º

R4. 60º, 50º y 80º

Recuerde que ángulos complementarios son aquellos en los que su suma es 90° y que los ángulos suplementarios son aquellos que su suma es de 180°.

GEOMETRÍA

109

4.4. En un triángulo isósceles su ángulo desigual mide 84 º 44 ’. ¿Cuánto medirán sus otros dos ángulos?

R1. 42 º 26 ’ y 28 º 38 ’

R2. 47 º 38 ’

R3. 56 º 36’

R4. 12 º 16 ’ y 39 º 15 ’

4.5. El suplemento de un ángulo de 97 º 13 ’ es:

R1. 179 º

R2. 2 º 57 ’

R3. 98 º 03 ’

R4. 82 º 47 ’

4.6. ¿Cuánto valdrá la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos miden 20 y 25 ?

R1. 32.01

R2. 29.22

R3. 33.14

R4. 43.03

4.7. ¿Cuál será el área del triángulo del problema anterior?

R1. 140

R2. 45

R3. 250

R4. 320

4.8. Un terreno en forma de triángulo equilátero tiene de perímetro 180 m. ¿Cuál es su área?

R1. 1 558.84 m2

R2. 785.7 m2

R3. 295 m2

R4. 489.12 m2

El teorema de Pitágoras señala que: La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

a2 + b2 = c2


110

4.9. Se tiene una lámina en forma de rectángulo, de un lado mide 92 cm y del otro 86 cm. ¿Cuánto mide la diagonal que se puede trazar de un extremo al otro?

R1. 156.12 cm

R2. 125.94 cm

R3. 113.10 cm

R4. 128.57 cm

4.10. ¿Cuál es el área de un triángulo como el que se muestra en la figura?

25 m

10 m10 m

R1. 77.25 m2

R2. 90 m2

R3. 150 m2

R4. 75 m2

4.11. ¿Cuál es el ángulo complementario de 13 º 12 ’?

R1. 166º 48 ’

R2. 156º 35 ’

R3. 76º 48 ’

R4. 45º 17 ’

4.12. ¿Cuánto mide cada uno de los tres ángulos de un triángulo equilátero, si uno de sus lados mide 345 m?

R1. 60 º

R2. 180 º

R3. 360 º

R4. 50 º

4.13. ¿Cuánto mide el ángulo exterior αααα que se muestra en el triángulo isósceles de la figura?

R1. 110 º

R2. 125 º

R3. 130 º

R4. 115 º

50°

α

GEOMETRÍA

111

4.14. De acuerdo al siguiente dibujo,

indicar cuál

es el valor de

los ángulos

z, w, y y.

z w y

R1. 70 º 110 º 110 º

R2. 110 º 70 º 70 º

R3. 130 º 50 º 50 º

R4. 110 º 60 º 30 º

4.15. ¿Cuál es el perímetro y el área de un rectángulo cuya diagonal mide 10 m y su altura 6 m?

R1. p = 36 m; A = 52 m2

R2. p = 19 m; A = 100 m2

R3. p = 28 m; A = 48 m2

R4. p = 13 m; A = 70 m2

4.16. ¿Cuál será el perímetro y el área de un triángulo rectángulo que tiene altura de 6 m y su base es el doble de su altura?

R1. p = 39.156 m; A = 42 m2

R2. p = 31.416 m; A = 36 m2

R3. p = 36 m; A = 49 m2

R4. p = 32.211 m; A = 38 m2

4.17. ¿Cuál es el área del terreno que se muestra en el croquis?

R1. 68 m2

R2. 28 m2

R3. 36 m2

R4. 48 m2

4.18. ¿Cuántos ángulos agudos tiene un triángulo acutángulo?

R1. tres

R2. ninguno

R3. uno

R4. dos

8 m

8 m

6 m

6 m

b

c

w

d

v

z y

110°


112

SEMEJANZA

En geometría se dice que dos figuras son congruentes cuando se coloca una sobre la otra y son exactamente iguales. Semejanza es cuando existe una relación o razón definida entre cada una de las partes de las piezas semejantes. Por ejemplo, la sombra que se proyecta por el sol a las 10 a.m. de un edificio y la de un árbol son semejantes, aun cuando el edificio es más alto que el árbol.

sombradel árbol

sombra del edificio

α αsombrasombra

El ángulo α es igual en ambos triángulos y las sombras proyectadas son proporcionales. Esto quiere decir que los triángulos formados por la sombra y la altura del árbol y el edificio son semejantes.

Para que dos triángulos sean semejantes sus ángulos interiores correspondientes deben tener la misma medida y sus lados correspondientes deben ser proporcionales.

Esto nos indica que la sombra del árbol es proporcional a la sombra del edificio y que la altura del árbol es proporcional a la altura del edificio. Si a la sombra y altura del árbol se les llama a y h, respectivamente, y a la sombra y altura del edificio se les llama b y H, respectivamente.

GEOMETRÍA

113

Se pueden plantear las siguientes razones y proporciones:

a : b :: h : H

Hh

ba =

Si se conoce la sombra que proyecta el edificio, la altura del árbol y la sombra que proyecta este último, se podrá fácilmente conocer la altura del edificio, sin necesidad de medirlo. Porque se puede plantear la siguiente ecuación:

H = ahxb

Suponga que la altura h del árbol es 2.5 m, que la sombra proyectada del árbol a es 3.5 m y que la sombra proyectada del edificio a esa misma hora es 10.5 m. ¿Cuál será la altura del edificio?

Aplicando la ecuación anterior se tendrá:

5.75.35.2x5.10H ==

La altura del edificio es de 7.5 m.

La semejanza de triángulos se puede utilizar para calcular medidas poco accesibles.

α αa

h

H

b


114

Por ejemplo, de acuerdo al siguiente croquis suponga que usted está en la casa de Pedro y desea conocer a qué distancia se encuentra la casa de Pablo.

P = casa de Pablo

Río caudaloso

A = casa de Pedro

Para construir dos triángulos semejantes con las casas de Pedro y Pablo, camine a la derecha de la casa de Pedro en línea recta 50 m, en ese lugar coloque la marca B, vuelva a caminar ahora en línea perpendicular, alejándose del río 25 m, en ese punto ponga la marca C y mire hacia la casa de Pablo. Desde ahí pida a alguien que ponga la marca d en el cruce de su mirada hacia la casa de Pablo y mida cuánto hay desde ese punto a la casa de Pablo A y al punto B. Esto en un croquis se vería de la siguiente manera:

P = casa de Pablo

A = casa de Pedro

marca d

40 m 10 m

AB = 50 mBC = 25 m

α

Río caudaloso

B

C

GEOMETRÍA

115

Observe que los triángulos APd y BCd son semejantes, porque el ángulo αααα es el mismo y sus lados son proporcionales.

De acuerdo a lo anterior se pueden plantear las siguientes razones:

dBAd

BCAP =

La distancia que se está buscando es AP y se conocen los otros tres datos, por lo que fácilmente se puede obtener la distancia buscada.

10010)40)(25(

dB)Ad)(BC(AP ===

Esto nos indica que la distancia de la casa de Pedro a la de Pablo (AP) es de 100 m.

La semejanza también se utiliza para fijar escalas con las que se puede representar en un plano o dibujo: objetos, personas, casas o hasta un país. Así por ejemplo, con la escala adecuada, en la hoja de este libro se puede representar el plano de un continente.

Suponga usted que va a dibujar en un plano la fachada de una casa que tiene de altura 6.5 m y de frente 8.75 m. Para que el dibujo de esa casa quede bien representado, deberá escoger una escala que permita mostrar a los 6.5 m y 8.75 m de manera semejante y proporcional con todos sus detalles, en un plano del tamaño de la hoja de este libro.

7

1 2 3 5 6 7 8 9 10 114

1

2

3

4

5

6


116

Para lo anterior, observe que en el dibujo de la fachada se ha introducido una cuadrícula en la que se marca cada metro.

Para seleccionar una escala adecuada se debe analizar el tamaño que se desea (aumentado o disminuido) del dibujo.

Ejemplo

Si nuestra casa se va a dibujar en la mitad de una hoja que mide 21.6 cm por 14.05 cm, se deberá seleccionar una escala que disminuya de tamaño.

Si la dimensión de mayor tamaño de la casa es de 8.75 m y la de la hoja 14.05 cm, la escala deberá permitir representar 8.75 m en no más de 14 cm, con lo que tiene que cada uno de los cuadros del dibujo deben disminuirse a tal grado que quepan en la media hoja del libro.

Así al representar a cada metro por dos centímetros se tendrá que la dimensión máxima del dibujo será 8.75 x 2 = 17.5, dimensión que sí cabe en la hoja del libro.

Por lo que la escala seleccionada será de 1 m 2 cm. Esta escala implica que cada cuadrito del plano debe medir 2 cm en cada lado.

Con esta escala podemos obtener todas las dimensiones de la fachada de la casa aunque no estén señaladas. Esto se logra simplemente con medir en centímetros y dividir entre dos.

GEOMETRÍA

117

EJERCICIOS

4.19. Suponga que usted tiene de altura 1.70 m y que a las once de la mañana la sombra de un edificio de 15 pisos es de 12 m. Si su sombra a las 11 a.m. es de 40 cm, ¿qué altura tiene el edificio?

R1. 60 m

R2. 45 m

R3. 51 m

R4. 49 m

4.20. Si la cara de una persona mide 21 cm y en una fotografía aparece de 42 mm, ¿a qué escala está la fotografía?

R1. 2 cm es a 1 mm

R2. 21 cm es a 2 mm

R3. 1 mm es a 2 cm

R4. 2 mm es a 1 cm

4.21. Si la escala anterior se quisiera presentar sólo en mm, ¿cómo se leería?

R1. 10 mm 2 mm

R2. 1 mm 5 mm

R3. 2 mm 1 mm

R4. 10 mm 1 mm

4.22. Si el plano de una casa está en escala 1 : 100, ¿cuáles son las dimensiones reales de una recámara que mide en el plano: 3.5 cm por 4.2 cm?

R1. 3 500 cm por 4 200 cm

R2. 35 cm por 42 cm

R3. 3.5 cm por 4.20 m

R4. 350 cm por 400 cm


118

4.23. ¿Cuánto deberá medir una ventana en un plano que está a escala de 1:50, si ésta en su tamaño real mide 2.50 m de base por 3 m de alto?

R1. base 5 cm; alto 6 cm

R2. base 2.5 cm; alto 3 cm

R3. base 6 cm; alto 8 cm

R4. base 1.25 cm; alto 2 cm

4.24. Tiene dos triángulos semejantes, del primero sabe que tiene 18 m de altura y 12 m de base; del otro sólo conoce que su base mide 4 m. ¿Cuál es el área del segundo triángulo?

R1. 15 m2

R2. 24 m2

R3. 108 m2

R4. 12 m2

POLÍGONOS, CÍRCULOS Y SÓLIDOS

Polígonos

Los polígonos se definen como un conjunto de líneas rectas unidas una después de la otra, donde la última se une a la primera.

Estas figuras se pueden clasificar de diferentes maneras.

Una de las más comunes es la clasificación por el número de lados, en donde se tienen polígonos de tres lados, los que se llaman triángulos, los de cuatro lados se llaman cuadriláteros y los de más de cuatro que pueden ser pentágonos, hexágonos, heptágonos, octágonos, etc.

También se dividen en regulares e irregulares.

Los regulares son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales y los irregulares son los que sus lados y ángulos no son iguales.

GEOMETRÍA

119

POLÍGONOS IRREGULARES

CUADRILÁTERO PENTÁGONO HEXÁGONO

POLÍGONOS REGULARES

RECTÁNGULO PENTÁGONO HEXÁGONO

De todos los tipos de polígonos se puede obtener su perímetro y su área o superficie.

El perímetro es la suma de todos los lados, sus unidades son de longitud. La superficie o área, es el espacio que hay dentro de todos sus lados, sus unidades de superficie son de longitud al cuadrado (mm 2, cm 2, m 2, km 2, in 2, ft 2, etc.).

Para obtener el área de los polígonos regulares se pueden utilizar fórmulas previamente establecidas o dividir al polígono en triángulos, obtener el área de cada uno de ellos y después sumarlas, procedimiento llamado triangulación. En los polígonos irregulares sólo se puede obtener el área por medio de triangulación.

A continuación se presenta un ejemplo de triangulación de un polígono regular y uno irregular.


120

En un pentágono regular con lados de l de longitud, se puede hacer una triangulación en la que todos los triángulos sean iguales o una en la que no lo sean. Para la primera, se localiza el centro del pentágono y éste se une a cada uno de los vértices. La perpendicular a las bases de los triángulos (altura) se llama apotema (a). Con lo anterior se tendrá, para cada uno de los cinco triángulos obtenidos, la siguiente fórmula:

2axl

sp =

En donde:

l = longitud de cada lado

a = apotema

sp = superficie de uno de los p lados

Para el pentágono se tendrá la siguiente fórmula: 2

axlx5s =

Una fórmula para cualquier pentágono será la siguiente:

2axlxn

s =

n = número de lados

l = longitud de cada lado

a = apotema

En caso que la triangulación no tenga a todos los triángulos iguales, se deberá obtener el área de cada uno por separado y luego sumarlas para tener el área total.

l a = apotema

GEOMETRÍA

121

Suponga que tiene un octágono regular, con apotema de 5 m y lados de 4 m. ¿Cuál será su área?

Considerando que: n = 8, l = 4, a = 5, al aplicar la fórmula se tendrá:

S = 2

m5xm4x8=

2axlxn

= 80 m2

Para obtener la superficie de un polígono irregular, como el que se muestra a continuación, se trazan tantos triángulos rectángulos como se pueda y luego se obtiene el área de cada uno de ellos, para después sumarlas.

12

3 4

Se obtienen cuatro triángulos, por lo que para obtener el área de todo el polígono se deben sumar todas las superficies.

Círculos

La circunferencia es una curva cerrada donde la distancia desde su centro a cualquier punto de la curva siempre es la misma. El plano que está limitado por la circunferencia se llama círculo y en él se pueden trazar las siguientes líneas:

d = diámetro

r = radio

c = cuerda

t = tangente

t

rdc


122

Si se divide el perímetro P entre el diámetro d, de cualquier círculo siempre se obtendrá el número 3.1416, el que comúnmente se conoce como π (pi). Con lo anterior se puede definir que el perímetro de un círculo se obtiene con la fórmula:

P = ππππ x d

El área de un círculo se obtiene por medio de la siguiente fórmula:

A = ππππ x r 2

Si un círculo tiene de diámetro 14 cm, su perímetro se obtendrá por medio de la fórmula antes presentada P = ππππ x d.

P = 3.14 x 14 cm = 43.96 cm

Observe que π se redondeo a 3.14.

Al área también se obtiene por la fórmula presentada dando lo siguiente:

A = 3.14 x 7 2 cm2 = 153.86 cm2

El perímetro, por ser la longitud del contorno del círculo, tiene las mismas unidades que el diámetro.

En el caso del área, como se refiere a la superficie que se encuentra dentro de la circunferencia, sus unidades son de longitud pero al cuadrado. Si el radio está en cm se obtendrán centímetros pero al cuadrado.

Sólidos

Todo cuerpo que ocupe un lugar en el espacio es un sólido; su principal característica es que tiene tres dimensiones, a las que se les designa de diferentes maneras, algunas veces se les dice frente, fondo y alto.

GEOMETRÍA

123

En otras ocasiones se da el largo y el ancho de su base y el alto de la figura. Estas dimensiones se pueden ubicar en un sistema de ejes coordenados, los que son perpendiculares entre sí.

alto

frentefond

o

Un sólido puede estar contenido en otro o cortado por un plano, como se observa a continuación:

De los sólidos se puede conocer su volumen, que se representa por unidades de longitud al cubo (mm3, cm3, dm3, m3, etc.); para conocerlo se pueden dividir en tres grupos:


124

Los que su base es igual que su tapa.

hh

PARALELEPÍPEDO CILINDRO

Aquellos que su parte superior termina en un vértice.

h h

CONO PIRÁMIDE

Los que no tienen base.

ESFERA OVOIDE

Las fórmulas para obtener los volúmenes de algunos sólidos se obtienen de la siguiente manera:

GEOMETRÍA

125

Para los que su base y tapa son iguales, se obtiene el área de su base y se multiplica por su altura (h).

Los que su parte superior termina en vértice, se obtiene el área de su base

y se multiplica por la tercera parte 31 de su altura (h).

Para los sólidos que no tienen base de una forma definida no se utilizan recomendaciones genéricas para obtener su volumen sino que se recomienda aplicar directamente las fórmulas que se han deducido para tal fin.

Más adelante se presenta una tabla con las fórmulas básicas y algunos ejemplos para obtener el volumen.

De los sólidos también se puede conocer su superficie, lo que significa obtener el área de todas sus caras y luego sumarlas. Por ejemplo, si se desea saber la superficie de un cubo, primero se debe obtener el área de una de sus caras y luego ésta se multiplica por 6, por que tiene 6 caras iguales.

Ejemplo

¿Cuál será la superficie de una pirámide que tiene 15 cm de altura y base cuadrada con lados de 8 cm ?

El área de la base se obtiene multiplicando sus lados:

Ab = l1 x l2 = 8 cm x 8 cm = 64 cm2

El área de uno de los lados de la pirámide se obtiene al utilizar el teorema de Pitágoras porque los lados tienen forma de triángulo y se conocen dos catetos, uno es la altura de la pirámide (b) y el otro es la distancia que hay desde el centro de la base al centro de uno de los lados, se puede llamar apotema (a). Falta conocer la hipotenusa, que es la altura de los lados de la pirámide (h).


126

Observe el siguiente dibujo.

Para obtener la altura del triángulo

de una de las caras es necesario

conocer b y a. En este ejemplo

a = 4 y b = 15, por lo que h será:

h = 22 154 + = 241 = 15.52

Así, el área de una cara será:

A =2

)cm52.15)(cm8(2

)altura)(base( = = 62.08 cm2

Como se tienen cuatro caras de este tipo, se tendrá:

62.08 cm2 x 4 = 248.32 cm2

más el área de la base, que ya se había obtenido:

64 cm2 + 248.32 cm2 = 312.32 cm2

La superficie de la pirámide antes descrita es de 312.32 cm2.

En el caso de la esfera existe una fórmula específica para obtener su superficie, esta es:

s = 4 π r 2

Como usted ha observado, para expresar las áreas se utilizan unidades de longitud elevadas al cuadrado. Estas unidades de longitud se pueden dar en el sistema métrico decimal o inglés.

Algunas del primero son: mm2, cm2, dm2, m2 hm2, km2. Algunas del sistema inglés son: in 2, ft 2, yr 2.

bh

a

GEOMETRÍA

127

Más adelante se presentan las tablas de equivalencias de las unidades antes señaladas.

En el caso del volumen, sus unidades también son de longitud, pero elevadas al cubo y existe la posibilidad de referirse a unidades de capacidad, las que representan el volumen de un líquido que cabe en el sólido, las unidades más comunes son los mililitros y los litros en el sistema métrico decimal y en el sistema inglés, los galones.

FIGURA FÓRMULA EJEMPLO

Cubo

V = h 3

V = h x h x h

h = lado

Si h = 3 m

V = 3 x 3 x 3 = 9 m3

Paralelepípedo

área de la base x altura

V = a x b x h

a = ancho

b = profundidad

Si a = 2 m, b = 3 m y h = 2 m

V = 2 x 3 x 2 = 12 m3

Pirámide

h

área de la base x 31

de la altura

V = A x 3h

A = área de la base

Base de un rectángulo con a = 4 cm y b = 5 cm

la altura de la pirámide es 9 cm

V = 4 x 5 x 39 = 60 cm3

h

h

ab


128

Cilindro

Área de la base por la altura

V = A x h

A = área de la base

Cilindro con radio de 12 cm y altura de 15 cm

V = π r 2h

V = 3.14 x 12 2 x 15

V = 6 782.4 cm 3

Cono

Área de la base x 31

de la altura

V = A x 3h

V = πr2 3h

Si r = 5 cm y h = 12 cm

V = (3.14 X 5 2) 312

V = 314 cm3

Esfera

V = 3rπ4 3

r = radio

Si se tiene una esfera con 5 cm de radio

V = 35x14.3x4 3

V = 523.3 cm3

Tablas de algunas equivalencias de unidades de superficie y volumen.

Superficie UNIDAD EQUIVALENCIA

mm2 0.01 cm2

cm2 100 mm2

dm2 100 cm2 = 10 000 mm2

m2 100 dm2 = 10 000 cm2

h

h

r

GEOMETRÍA

129

dam2 100 m2

hm2 = ha (hectárea) 100 dam2 = 10 000 m2

km2 100 hm2 = 1 000 000 m2

m2 1.196 yr2 = 10.76 ft2

cm2 0.155 in2

m2 0.001 55 in2

ft2 (pies cuadrados) 930.25 cm2 = 0.093 m2

yr2 (yardas cuadradas) 0.835 m2

in2 (pulgadas cuadradas) 6.45 cm2

Volumen UNIDAD EQUIVALENCIA

mm3 0.001 cm3

cm3 1 000 mm3

dm3 1 000 cm3 = 1 litro

m3 1 000 dm3 = 1 000 litros

litros (l) 1 dm3 = 0.264 galones

mililitros (ml) 0.001 litros

galones 3.785 litros

Para hacer conversiones de unidades se recomienda utilizar la regla de tres. Por ejemplo, para convertir 125 litros a galones, se hace lo siguiente:

1 galón “es a” 3.785 litros “como” ? galones es a 125 litros, 125?

785.31 =

con lo que se obtiene que 785.31x125

= 33.02

125 litros = 33.02 galones


130

EJERCICIOS

4.25. ¿Cuántos triángulos se podrán formar con un polígono regular de 8 lados?

R1. 16

R2. 4

R3. 8

R4. 9

4.26. El terreno de una casa es rectangular, si tiene de área 330 m2 y de frente 22 m, ¿cuánto tiene de fondo?

R1. 15 m

R2. 20 m

R3. 32 m

R4. 14 m

4.27. ¿Cuál es el perímetro del siguiente polígono?

R1. 37 m

R2. 41 m

R3. 50 m

R4. 49 m

4.28. ¿Cuál es la superficie de un cubo que tiene 3 m de lado?

R1. 9 m2

R2. 27 m2

R3. 81 m2

R4. 54 m2

4.29. Si el perímetro de un heptágono regular mide 107.8 pies, ¿cuánto mide uno de sus lados?

R1. 746.6 ft

R2. 15.4 ft

R3. 55.8 ft

R4. 45 ft En la solución de los problemas de este libro tome a ππππ como 3.14.

10 m

12m

6m

8 m

5 m

GEOMETRÍA

131

4.30. ¿Cuál es el área de un trapecio como el que se muestra en la figura?

R1. 32 m2

R2. 60 m2

R3. 28 m2

R4. 36 m2

4.31. En la figura anterior, ¿cuánto vale su perímetro?

R1. 25 m

R2. 36 m

R3. 28 m

R4. 40 m

4.32. ¿Cuál es el área del paralelogramo que se muestra a continuación?

R1. 24 m2

R2. 30 m2

R3. 25 m2

R4. 28 m2

4.33. Si el volumen de un cubo es 2 197 cm3, ¿cuánto miden sus lados?

R1. 15 cm

R2. 13 cm

R3. 22.5 cm

R4. 14 cm

4.34. ¿Cuál es la superficie de un cilindro que tiene 2 m de radio y 4 m de alto?

R1. 35.25 m2

R2. 45.23 m2

R3. 40 m2

R4. 75.36 m2

4.35. ¿Cuál es el volumen del cilindro del ejemplo anterior?

R1. 69 m3

R2. 27 m3

R3. 50.24 m3

R4. 60 m3

6 m

4 m

12 m

5 m

6 m

4 m


132

4.36. ¿Cuánto mide el área de una cara de un cubo que tiene 3 375 cm3 de volumen?

R1. 500 cm2

R2. 225 cm2

R3. 235 cm2

R4. 160 cm2

4.37. ¿Cuál es el volumen de una pirámide con altura de 3 m y base hexagonal con lados de 1.5 m y apotema de 2 m ?

R1. 9 m3

R2. 15 m3

R3. 14 m3

R4. 22.5 m3

4.38. ¿Cuál es el diámetro de un círculo que tiene de área 50.24 cm2 ?

R1. 4 cm

R2. 6 cm

R3. 12 cm

R4. 8 cm

4.39. ¿Cuál es el área de los espacios que quedan entre la circunferencia y el cuadrado de la siguiente figura?

R1. 35 cm2

R2. 33.02 cm2

R3. 28.52 cm2

R4. 30.50 cm2

4.40. ¿Cuál es el volumen que resulta al extraer un cono del cilindro que se muestra en la figura? r = 10 cm, h = 25 cm

h

R1. 6 000 cm3

R2. 5 233.34 cm3

R3. 4 827.12 cm3

R4. 345.67 cm3

GEOMETRÍA

133

4.41. Si el volumen de un cubo es 27 cm3, ¿cuál será la superficie del triángulo que se forma al trazar dos diagonales como se muestra en el dibujo?

R1. 6.36 cm2

R2. 4.5 cm2

R3. 9 cm2

R4. 5 cm2

4.42. ¿Cuál es la superficie de una pirámide con altura de 10 cm y base pentagonal con lados de 6 cm y apotema de 5 cm?

R1. 75 cm2

R2. 423 cm2

R3. 375.25 cm2

R4. 4 242.7 cm2

4.43. ¿Cuál es la superficie de una pelota de fútbol que tiene de radio 14 cm?

R1. 153.86 cm2

R2. 2 800 cm2

R3. 2 461.76 cm2

R4. 2 359 cm2

4.44. ¿Cuál será el volumen del balón de fútbol del problema anterior?

R1. 5 678.14 cm3

R2. 11 488.21 cm3

R3. 24 456.21 cm3

R4. 123 345 cm3

4.45. ¿A cuántos litros equivalen 5 galones?

R1. 18.925 litros

R2. 20 litros

R3. 15.25 litros

R4. 52 litros


134

4.46. Si en un tanque para agua caben 475 litros, ¿cuántos m3 tendrá?

R1. 4.75 m3

R2. 47.5 m3

R3. 475 000 m3

R4. 0.475 m3

4.47. Si una cisterna tiene las siguientes medidas: base 1.5 m por 2.8 m y altura 3.2 m, ¿cuántos litros puede almacenar?

R1. 1 344 litros

R2. 124 440 litros

R3. 13 440 litros

R4. 12 440 litros

El perímetro indica lo que mide el contorno de una figura y se expresa en unidades lineales como: mm, cm, dm, m, km, in, ft.

El volumen mide el espacio que hay dentro de un sólido, como un cubo, una pirámide, un cono, etc; y se mide en unidades elevadas al cubo como: mm3, cm3, dm3, m3, in3, ft3.

Recuerde que 1 m3 = 1000 litros

El área permite conocer la superficie que se encuentra dentro de una figura plana y esta se expresa en unidades elevadas al cuadrado como: mm2, cm2, dm2, m2, km2, in2, ft2.

GEOMETRÍA

135

TRIGONOMETRÍA

Para relacionar las magnitudes de los ángulos con las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, se utilizan las funciones trigonométricas. Las más utilizadas son el seno (sen), el coseno (cos) y la tangente (tan). Para calcular estas funciones se establecen las siguientes convenciones:

Cateto opuesto (b). Es el lado del triángulo que se encuentra frente al ángulo que se está tratando (α).

Cateto adyacente (a). Es el lado del triángulo que se encuentra al lado del ángulo tratado y el ángulo recto.

Hipotenusa (h). Es el lado del triángulo que está opuesto al ángulo recto del triángulo.

Lo anterior se puede observar en las siguientes figuras:

hipotenusa hh

cate

to b

b

cateto a aα

Las principales funciones trigonométricas se definen de la siguiente manera:

sen α (se lee, seno de alfa)

sen αααα = hb =

hipotenusaopuestocateto

cos α (se lee, coseno de alfa)

cos αααα = ha =

hipotenusaadyacentecateto


136

tan αααα (se lee, tangente de alfa)

tan αααα =ab =

adyacentecatetoopuestocateto

Lo anterior implica que para cada ángulo α del triángulo rectángulo que se trate habrá una sola relación de los cocientes arriba señalados. Por ejemplo si se tiene un triángulo como el que se muestra a continuación, en el que α = 30 º:

sen 30 º = 5.0126

hipotenusaopuesto.c

==

cos 30 º = 866.01239.10

hipotenusaadyacente.c

==

tan 30 º = 577.039.10

6adyacente.copuesto.c

==

También en el mismo triángulo se podrían obtener las funciones trigonométricas del ángulo de 60 º:

sen 60 º = 866.01239.10

hipotenusaopuesto.c

==

cos 60 º = 5.0126

hipotenusaadyacente.c

==

tan 60 º = 73.1639.10

adyacente.copuesto.c

==

Con las expresiones anteriores se pueden establecer las tres funciones trigonométricas básicas de cada una de las magnitudes de los ángulos en un triángulo rectángulo. Para no tener que calcular dichas funciones existen tablas de funciones trigonométricas, como la que se muestra a continuación.

b = 6

α = 30°

h = 12

a = 10.39

GEOMETRÍA

137

Tabla de funciones trigonométricas

∝ sen ∝ cos ∝ tan ∝ ∝ sen ∝ cos ∝ tan ∝ 1º 2º 3º 4º 5º

6º 7º 8º 9º

10º

11º 12º 13º 14º 15º

16º 17º 18º 19º 20º

21º 22º 23º 24º 25º

26º 27º 28º 29º 30º

31º 32º 33º 34º 35º

36º 37º 38º 39º 40º

41º 42º 43º 44º 45º

0.017 0.035 0.052 0.070 0.087

0.105 0.122 0.139 0.156 0.174

0.191 0.208 0.225 0.242 0.259

0.276 0.292 0.309 0.326 0.342

0.358 0.375 0.391 0.407 0.423

0.438 0.454 0.469 0.485

0.5

0.515 0.530 0.545 0.559 0.574

0.588 0.602 0.616 0.629 0.643

0.656 0.669 0.682 0.695 0.707

1.000 0.999 0.999 0.998 0.996

0.995 0.993 0.990 0.988 0.985

0.982 0.972 0.974 0.970 0.966

0.961 0.956 0.951 0.946 0.940

0.934 0.927 0.921 0.914 0.906

0.899 0.891 0.883 0.875 0.866

0.857 0.848 0.839 0.829 0.819

0.809 0.799 0.788 0.777 0.766

0.755 0.743 0.731 0.719 0.707

0.017 0.035 0.052 0.070 0.087

0.105 0.123 0.141 0.158 0.176

0.194 0.213 0.231 0.249 0.268

0.287 0.306 0.325 0.344 0.364

0.384 0.404 0.424 0.445 0.446

0.488 0.510 0.532 0.554 0.577

0.601 0.625 0.649 0.675 0.700

0.727 0.754 0.781 0.810 0.839

0.869 0.900 0.933 0.966

1

46º 47º 48º 49º 50º

51º 52º 53º 54º 55º

56º 57º 58º 59º 60º

61º 62º 63º 64º 65º

66º 67º 68º 69º 70º

71º 72º 73º 74º 75º

76º 77º 78º 79º 80º

81º 82º 83º 84º 85º

86º 87º 88º 89º 90º

0.719 0.731 0.743 0.755 0.766

0.777 0.788 0.799 0.809 0.819

0.829 0.839 0.848 0.857 0.866

0.875 0.883 0.891 0.899 0.906

0.914 0.921 0.927 0.934 0.940

0.946 0.951 0.956 0.961 0.966

0.970 0.974 0.978 0.982 0.985

0.988 0.990 0.993 0.995 0.996

0.998 0.999 0.999 0.999

1

0.695 0.682 0.669 0.656 0.643

0.629 0.616 0.602 0.588 0.574

0.559 0.545 0.530 0.515

0.5

0.485 0.469 0.454 0.432 0.423

0.407 0.391 0.375 0.358 0.342

0.326 0.309 0.292 0.276 0.259

0.242 0.225 0.208 0.191 0.174

0.156 0.139 0.122 0.105 0.087

0.070 0.052 0.035 0.017

0

1.035 1.072 1.111 1.150 1.192

1.235 1.280 1.327 1.376 1.428

1.483 1.540 1.600 1.664 1.732

1.804 1.881 1.963 2.050 2.145

2.246 2.356 2.475 2.605 2.747

2.904 3.078 3.271 3.487 3.732

4.011 4.331 4.705 5.145 5.671

6.314 7.115 8.144 9.514

11.430

14.301 19.081 28.636 57.290


138

Las funciones trigonométricas se pueden utilizar para calcular partes de los triángulos o resolver algunos problemas relacionados con los triángulos, como el que se presenta a continuación.

Problemas resueltos

A. Se tiene una escalera recargada sobre un muro, como se muestra en el dibujo. ¿Cuánto mide la escalera y cuánto mide el muro?

En el problema se tienen definidos:

El cateto adyacente (1.5 m, en el piso) y el

ángulo αααα (75º ).

Se puede usar una función

trigonométrica que incluya a estos dos datos

y alguno de los que faltan. Por ejemplo, se puede usar la tangente de αααα, porque:

tan αααα = adyacente.copuesto.c

en este caso el cateto opuesto es la altura del muro que se está buscando, por lo que si se obtiene de las tablas el valor de la tangente del ángulo de 75º y se despeja el cateto opuesto (muro) se conocerá la altura del muro.

tan 75 º = 3.73 = adyacente.copuesto.c

despejando al cateto opuesto (muro) se tendrá:

(3.73) (c. adyacente) = c. opuesto

Sustituyendo, se obtiene el valor de la altura del muro.

3.73 x 1.5 m = 5.95 m

α = 75°

GEOMETRÍA

139

Para conocer la longitud de la escalera se puede usar la función del seno o coseno pues las dos incluyen a la hipotenusa, la que en este problema es la longitud de la escalera. Además ya se conocen los dos catetos. Usemos el seno para calcular la longitud de la escalera.

sen αααα= escalera

murohipotenusa

opuesto.c=

De las tablas se obtiene que el seno de 75 º= 0.965.

Sustituyendo y despejando, se obtiene la longitud de la escalera que es:

Escalera = 965.095.5 = 6.16 m

Con las funciones trigonométricas se pueden evaluar distancias muy grandes o inaccesibles, sólo es necesario establecer un triángulo rectángulo en el que la distancia a medir sea uno de los lados del triángulo. Lo anterior se observa en el siguiente ejemplo. B. ¿Cuál es la distancia que hay entre la casa de Pablo y la de Pedro, si al desplazarse 40 m Perpendicularmente a la línea recta que hay entre las dos casas se forma un ángulo de 68.2 º, como se muestra en el siguiente croquis? En este problema se conocen: el ángulo αααα =68.2 º y el cateto adyacente. Se desea conocer: el cateto opuesto.

P = casa de Pablo

A = casa de Pedro40 m

α = 68.2°

Río caudaloso

B


140

Se deberá utilizar una función trigonométrica que además del ángulo incluya a los dos catetos. Esta función es la tangente, porque

tan αααα = adyacente.copuesto.c

. Como en este problema la magnitud que se busca es

el cateto opuesto, éste se despeja de la función y al sustituir se obtiene la distancia que hay entre la casa de Pedro y la de Pablo. De tablas o por medio de una calculadora se obtiene la tangente de 68.2 º = 2.5

tan αααα x c. adyacente = c. opuesto

Sustituyendo:

2.5 x 40 m = 100 m

La casa de Pedro está a 100 m de la de Pablo.

También las funciones trigonométricas se utilizan para conocer la magnitud de un ángulo cuando sólo se tiene el valor de los lados de un triángulo rectángulo. Por ejemplo, si se tiene un terreno rectangular de 25 m de ancho por 40 m de largo, ¿cuál será el ángulo de la diagonal que cruza al terreno?

25 m

40 m

α = ?

En este problema se conocen los dos catetos y se necesita averiguar el ángulo, por lo que es necesario obtener el valor de la tangente y luego se busca en las tablas o con una calculadora a qué ángulo corresponde:

tan αααα = 625.04025

adyacente.copuesto.c

==

GEOMETRÍA

141

α = 70°

sombra = 7.28 m

Al buscar en las tablas a qué ángulo corresponde 0.625 se encuentra que:

∠ tan 0.625 = 32º

Lo anterior se lee como: ángulo cuya tangente es 0.625 es igual a 32º. Por lo que la diagonal del rectángulo del ejemplo tiene 32º.

EJERCICIOS

4.48. Si en un triángulo rectángulo su cateto adyacente mide 18 m y su hipotenusa 28 m, ¿cuánto mide el ángulo αααα ?

R1. 32º

R2. 45º

R3. 50º

R4. 15.3º

4.49. ¿Cuánto medirá la hipotenusa de un triángulo rectángulo si su cateto opuesto mide 22 m y su ángulo αααα 75º ?

R1. 22.77 m

R2. 25 m

R3. 30.25 m

R4. 23.05 m

4.50. ¿Cuánto valdrá la tangente de αααα en un triángulo rectángulo, como el que se muestra, si su hipotenusa vale 5.83 y su cateto adyacente 5 ?

R1. 0.980

R2. 0.322

R3. 0.600

R4. 0.425

4.51. A las 11 a.m. se proyecta la sombra de un edificio a 70º de inclinación y con una longitud de 7.28 m. ¿Cuánto mide de altura el edificio?

R1. 25 m

R2. 22.15 m

R3. 15.35 m

R4. 19.99 m

h = 5.83

a = 5α


142

4.52. ¿Cuáles son las magnitudes de los ángulos αααα y ββββ del terreno que se presenta en el siguiente croquis?

9.43 m

10 m

20 m

18 m

a

R1. 45º y 225º

R2. 32º y 238º

R3. 30º y 240º

R4. 50º y 220º

4.53. En el problema anterior, ¿cuál es el valor de la magnitud “a”?

R1. 15 m

R2. 18 m

R3. 13 m

R4. 17 m

4.54. Del triángulo rectángulo marcado en el prisma, ¿cuáles son las magnitudes aproximadas de sus dos ángulos agudos?

Nota. Cierre los resultados al número entero más cercano.

15

10

5

R1. 43º y 47º

R2. 25º y 65º

R3. 32º y 58º

R4. 35º y 55º

4.55. Coloque en el paréntesis el ángulo que representan las siguientes funciones trigonométricas.

a) ∠ sen 0.5 ( º)

b) ∠ cos 0.819 ( º)

c) ∠ tan 0.839 ( º)

d) ∠ cos 0.707 ( º)

e) ∠ tan 3.732 ( º)

GEOMETRÍA

143

20 m

5 m

140°

4.56. ¿Cuál es la magnitud del ángulo que se forma entre una de las caras del prisma cuadrangular y su base?

Nota. Cierre el resultado al número entero más cercano.

R1. 63º

R2. 75º

R3. 45º

R4. 58º

4.57. ¿Cuál será el perímetro de un terreno del que sólo se tienen los datos que se muestran en el dibujo?

α = 60°

25

10

R1. 75 m

R2. 82.15 m

R3. 79.55 m

R4. 77.31 m

4.58. ¿Cuál será la altura total del edificio griego que se muestra a continuación?

R1. 7.55 m

R2. 8.64 m

R3. 6.5 m

R4. 7.12 m

4.59. Un poste para alambres de energía eléctrica debe tensarse por medio de un cable como se muestra en la figura. ¿Cuál es la altura del poste?

2 m

65°

R1. 4.80 m

R2. 4.00 m

R3. 4.29 m

R4. 4.50 m

α

10

10


144

Recuerde que las principales funciones trigonométricas son:

Sen α α α α = hipotenusa

opuesto.c

Cos α α α α = hipotenusa

adyacente.c

Tan α α α α = adyacente.copuesto.c

PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

145

5. PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

En esta sección presentaremos algunas de las maneras en que la información se puede usar e interpretar, a través de ejemplos concretos.

La población de México en 1995

El INEGI publicó la siguiente tabla:

TABLA 1. POBLACIÓN DE MÉXICO POR GRUPOS DE EDAD, 1995

GRUPO DE EDAD TOTAL HOMBRES MUJERES

0 a 4 años 10 724 100 5 449 356 5 274 744

5 a 9 años 10 867 563 5 515 644 5 351 919

10 a 14 años 10 670 048 5 404 261 5 265 787

15 a 19 años 10 142 071 5 022 243 5 119 828

20 a 24 años 9 397 424 4 538 686 4 858 738

25 a 29 años 7 613 090 3 652 995 3 960 095

30 a 34 años 6 564 605 3 152 462 3 412 143

35 a 39 años 5 820 178 2 804 296 3 015 882

40 a 44 años 4 434 317 2 173 041 2 261 276

45 a 49 años 3 612 452 1 763 505 1 848 947

50 a 54 años 2 896 049 1 418 508 1 477 541

55 a 59 años 2 231 897 1 083 293 1 148 604

60 a 64 años 1 941 953 929 650 1 012 303

65 y más años 4 027 690 1 889 349 2 138 341

No especificado 214 853 103 210 111 643

TOTAL 91 158 290 44 900 499 46 257 791

En la Tabla 1 se pueden ver muchas cosas. Cuántos éramos en 1995 (91 158 290), cuántos hombres (44 900 499), cuántas mujeres (46 257 791) y muchos otros datos para los grupos de edad agrupados de 5 en 5 años. Estas son las cifras sumadas del censo y del conteo, pero muchas personas no necesitan el detalle.


146

Los mismos datos se podrían expresar en millones de personas y la tabla tendría menos números y también menos precisión.

TABLA 2. POBLACIÓN DE MÉXICO, 1995

Millones de personas


0 a 4 años 10.7 5.4 5.3 5 a 9 años 10.9 5.5 5.4 10 a 14 años 10.7 5.4 5.3 15 a 19 años 10.1 5.0 5.1 20 a 24 años 9.4 4.5 4.9 25 a 29 años 7.6 3.7 3.9 30 a 34 años 6.6 3.2 3.4 35 a 39 años 5.8 2.8 3.0 40 a 44 años 4.4 2.2 2.2 45 a 49 años 3.6 1.8 1.8 50 a 54 años 2.9 1.4 1.5 55 a 59 años 2.2 1.1 1.1 60 a 64 años 1.9 0.9 1.0 65 y más años 4.0 1.9 2.1 No especificado 0.2 0.1 0.1

TOTAL 91.0 44.9 46.1

A veces la información en números absolutos nos dice menos que una información en términos de porcentajes. Para la población podemos querer saber qué porcentajes están en cada rango de edad. Para ello hacemos el total de la población del país igual a 100% y en función de ello sacamos los porcentajes para cada rango de edad y para cada sexo.


147

La tabla quedaría así:

TABLA 3. POBLACIÓN DE MÉXICO EN 1995

Porcentajes de la población total


0 a 4 años 11.76 5.98 5.79 5 a 9 años 11.92 6.05 5.87 10 a 14 años 11.70 5.93 5.78 15 a 19 años 11.13 5.51 5.61 20 a 24 años 10.31 4.98 5.33 25 a 29 años 8.35 4.01 4.34 30 a 34 años 7.20 3.46 3.74 35 a 39 años 6.38 3.08 3.31 40 a 44 años 4.86 2.38 2.48 45 a 49 años 3.96 1.93 2.03 50 a 54 años 3.18 1.56 1.62 55 a 59 años 2.45 1.19 1.26 60 a 64 años 2.13 1.02 1.11 65 y más años 4.42 2.07 2.35 No especificado 0.24 0.11 0.12

TOTAL Población total:

100.00 49.26 91 158 290 personas

50.74

Los porcentajes aparecen con dos decimales para evitar errores de redondeo.

Esta misma información se puede presentar en forma gráfica de varias maneras. Por ejemplo, para ver a golpe de vista la diferencia entre hombres y mujeres, por grupos de edad.


148

GRÁFICA 1. MÉXICO: HOMBRES Y MUJERES POR GRUPOS DE EDAD, 1995

PERS

ON

AS

6 000 000

3 500 000

1 500 000

500 000

0

2 500 000

4 500 000

5 500 000

1 000 000

0 a

4 añ

os

5 a

9 añ

os

10 a

14

años

15 a

19

años

20 a

24

años

25 a

29

años

30 a

34

años

35 a

39

años

40 a

44

años

45 a

49

años

50 a

54

años

55 a

59

años

60 a

64

años

65 y

más

año

s

No

espe

cific

ado

2 000 000

3 000 000

4 000 000

5 000 000 HOMBRES

MUJERES

Aquí se pueden notar otras cosas que no son tan aparentes en los números de las Tablas 1 y 2. Por ejemplo, que a edades tempranas tenemos más hombres que mujeres, pero que a partir de los 14 años hay más mujeres que hombres.

De aquí se podría sacar la conclusión que más mujeres sobreviven los primeros años, pero esto habría que confirmarlo con estadísticas de mortalidad por grupos de edad y sexo. Sería aventurado decirlo sólo con base en la Gráfica 1.

Hay otras maneras de presentar la información gráfica, por ejemplo, invirtiendo los ejes de referencia.


149

GRÁFICA 2. POBLACIÓN DE MÉXICO POR GRUPOS DE EDAD, 1995

PERSONAS

1 00

0 00

0

500

000

1 50

0 00

0

2 00

0 00

0

2 50

0 00

0

3 00

0 00

0

4 00

0 00

0

5 00

0 00

0

3 50

0 00

0

4 50

0 00

0

5 50

0 00

0

6 00

0 00

0

HOMBRES

MUJERES

La Gráfica 2 presenta la información de la misma manera que la 1. Usar una u otra es cuestión de preferencia personal. Son más comunes presentaciones como la de la Gráfica 1.

También se puede presentar esta información con líneas:

GRÁFICA 3. POBLACIÓN DE MÉXICO POR GRUPOS DE EDAD, 1995

PERS

ON

AS

HOMBRES

MUJERES


150

En las tres gráficas anteriores hay que tener cuidado con la interpretación, porque, como no aparece explícita la categoría de 65 y más años, viéndolas superficialmente parecería que la población aumenta después de los 64 años y nos es así. La categoría implica grupos de edad que van desde los 65 años hasta algunos, ya muy pocos, de más de 100 años.

Datos de un grupo escolar

En la siguiente tabla se presentan algunos datos del grupo.

TABLA 4. GRUPO 4E, PRIMER SEMESTRE

SEXO EDAD ESTATURA PESO CALIFICACIÓN

Mujeres 13 1.49 45 7.3 Hombres 14 1.59 60 8.7 Mujeres 14 1.55 48 10.0 Mujeres 14 1.66 52 6.3 Mujeres 14 1.55 48 10.0 Hombres 15 1.55 56 6.2 Hombres 15 1.65 67 7.1 Hombres 15 1.54 53 5.9 Hombres 15 1.68 65 9.6 Hombres 15 1.63 61 8.8 Hombres 15 1.67 69 10.0 Mujeres 15 1.52 45 5.0 Mujeres 15 1.69 56 6.8 Mujeres 15 1.65 54 7.6 Mujeres 15 1.68 59 8.0 Mujeres 15 1.59 48 6.4 Hombres 16 1.61 58 6.7 Hombres 16 1.78 72 9.5 Hombres 16 1.66 59 8.0 Hombres 16 1.69 67 8.5 Hombres 16 1.75 70 8.2 Hombres 16 1.60 62 7.5 Hombres 16 1.59 59 5.2 Mujeres 16 1.73 64 9.5 Mujeres 16 1.62 58 8.4 Mujeres 16 1.65 59 9.8 Mujeres 16 1.58 51 8.8 Mujeres 16 1.71 65 5.2 Mujeres 16 1.66 59 8.6 Hombres 17 1.69 68 5.0 Mujeres 17 1.69 64 8.3


151

En la Tabla 4, los datos de 31 alumnos están organizados por edades entre 13 y 17 años. Para cada edad aparecen primero los hombres y después las mujeres. Son los datos de su maestro de educación física.

Es interesante examinar cuál es la edad más frecuente o moda. Para esto se construye un diagrama de frecuencias que se llama histograma, donde se cuentan las personas de cada edad y se anotan en una tabla, como la que se muestra, junto al histograma.

TABLA 5. FRECUENCIAS DE LAS EDADES DEL GRUPO 4E

No.

DE

PERS

ON

AS

EDADES

EDAD(AÑOS)

1314151617

14

1113

2

No. DE PERSONAS

14

12

4

10

87

1

5

32

6

9

013 14 15 16 17

13

11

Se puede ver que hay muchos más alumnos de 15 y 16 años que de las demás edades y que la edad que aparece más es la de 16 años, por ello se dice que la moda en las edades de ese grupo es 16.

La misma información se puede presentar en una gráfica circular, donde toda el área es 100%.

Observe que para elaborar este tipo de gráficas primero es necesario establecer los porcentajes de los datos que se van a graficar. En el caso concreto, de este grupo se elaboró una tabla, de la cual se obtuvo la información necesaria para hacer la gráfica circular.


152

EDAD Nº % 13 1 3 14 4 13 15 11 35 16 13 43 17 2 6

TOTAL 31 100

Hemos visto que la información se puede presentar de muchas maneras. De la información se pueden obtener visiones generales y ciertos indicadores.

Ejemplos resueltos

A. ¿En qué porcentajes son diferentes los números de hombres y de mujeres, según su rango de edad? De la Tabla 3 se obtiene:

TABLA 6. PORCENTAJES DE HOMBRES Y MUJERES POR RANGO DE EDAD

GRUPO DE EDAD HOMBRES MUJERES DIFERENCIA

0 a 4 años 5.98 5.79 -0.19 5 a 9 años 6.05 5.87 -0.18 10 a 14 años 5.93 5.78 -0.15 15 a 19 años 5.51 5.62 0.11 20 a 24 años 4.98 5.33 0.35 25 a 29 años 4.01 4.34 0.33 30 a 34 años 3.46 3.74 0.28 35 a 39 años 3.08 3.31 0.23 40 a 44 años 2.38 2.48 0.10 45 a 49 años 1.93 2.03 0.10 50 a 54 años 1.56 1.62 0.06 55 a 59 años 1.19 1.26 0.07 60 a 64 años 1.02 1.11 0.09 65 y más años 2.07 2.35 0.28 No especificado 0.11 0.12 0.01 TOTAL Población total:

49.26 91 158 290

50.74 personas

1.48

GRÁFICA 4. DISTRIBUCIÓN DE EDADES DEL GRUPO 4E

13%

43%

35%

3%

6%


153

Las diferencias se ven en la última columna, negativas las últimas porque hay más mujeres.

B. ¿Qué porcentaje de la población tiene menos de 20 años?

De la Tabla 2, se suman las cifras de los primeros cuatro renglones que representan la población de 0 a 19 años y se dividen entre la población total. Multiplicando por 100 se obtiene el porcentaje. Así:

%6.46)100(0.91

)1.107.109.107.10( =+++

C. ¿Qué porcentaje tiene 65 y más años?

De la misma manera, de la Tabla 2:

0.910.4 (100) = 4.4%

D. ¿Aumenta el peso de los alumnos del grupo 4E con la edad?

Aquí habría que sacar la media (también se le conoce como promedio) del peso de los alumnos para cada edad. La media de una serie de datos es igual a la suma de los datos dividida entre el número de ellos. Matemáticamente se escribe:

n

xmedia

n

1∑

= ,

donde x es un dato y n es el número de datos.

Para conocer los promedios de las diferentes edades de los alumnos del grupo 4E haríamos una tabla, como sigue:


154

EDAD PESO (en kg) PROMEDIO

13 45 45.0

14 60, 48, 52, 48 52.0

15 56, 67, 53, 65, 61, 69, 45, 56, 54, 59, 48 57.6

16 58, 72, 59, 67, 70, 62, 59, 64, 58, 59, 51, 65, 59 61.8

17 68, 64 66.0

Se ve que efectivamente aumenta el peso con la edad, como era de esperarse, de 45 kg a los 13 años hasta 66 kg a los 17 años. Pero hay que tener cuidado, la muestra de alumnos es demasiado pequeña para obtener información cuantitativa confiable.

Esta es una recomendación general. Para que la información sea confiable, primero las mediciones o los conteos deben hacerse bien y segundo, el número de datos debe ser lo suficientemente grande y representativo para estar seguro de lo que se está diciendo. Todas las encuestas señalaban en 1946 que Truman perdería la elección a la presidencia de Estados Unidos, pero ganó. Resultó que las encuestas eran telefónicas y la mayoría de los que votaron por Truman no tenían entonces teléfono.

Para que una muestra sea representativa de lo que se va a estudiar, es recomendable que sus elementos sean seleccionados de manera aleatoria. Esto quiere decir, que los elementos integrantes de una muestra deben ser tomados al azar de una lista de toda la población.

E. ¿Cuál es la moda y la mediana, en la edad de los alumnos del grupo 4E?

La moda en una muestra es el valor que se repite más veces, se representa Mo

En este caso es 16 años.


155

La mediana es la mitad del número de datos más uno. Y se escribe:

21ni +=

En este caso tenemos 31 datos, así que la mediana es 2

)131( + = 16. Esto

quiere decir que cuando se ordenen los datos del menor al mayor, el dato que se encuentre en la posición 16, está en la mediana de la muestra.

F. ¿Cuál es el rango de estaturas de los alumnos del grupo 4E?

El rango es la diferencia entre el valor más alto y el más bajo de una serie de datos. En el caso de las estaturas el rango sería, de la Tabla 4: 1.78 – 1.49 = 0.29 m.

EJERCICIOS

5.1. De la Tabla 1 indique, qué porcentaje de la población tiene entre 15 y 24 años.

R1. 20.3 %

R2. 21.4 %

R3. 21.1 %

R4. 20.0 %

5.2. ¿Qué por ciento había más mujeres que hombres en 1995? (use la Tabla 3)

R1. 1.33 %

R2. 1.24 %

R3. 1.48 %

R4. 1 %


156

5.3. ¿Cuántos hombres tenían menos de 10 años en 1995?

R1. 10 965 000

R2. 9 965 102

R3. 10 855 000

R4. 9 982 150

5.4. ¿Qué porcentaje de alumnos del grupo 4E sacaron 8 ó más de calificación?

R1. 55.2 %

R2. 62.1 %

R3. 55 %

R4. 54.8 %

5.5. ¿Cuál es la edad promedio de los alumnos del grupo 4E?

R1. 15.4 años

R2. 16 años

R3. 15 años

R4. 15.9 años

5.6. ¿Qué porcentaje de mujeres tiene el grupo 4E?

R1. 49.5 %

R2. 51.6 %

R3. 50.0 %

R.4. 50.8 %

Recuerde algunas de las características de un conjunto de datos:

• Moda es el dato que repite con mayor frecuencia.

• La media o promedio se obtiene de la suma de todos los datos, entre el número de datos.

• Frecuencia es el número de veces que se repite un dato con determinada característica.

• Mediana es la mitad del número de datos más uno.

NOCIONES DE PROBABILIDAD

157

6. NOCIONES DE PROBABILIDAD

El estudio sistemático de aquello que puede suceder por casualidad, como qué número puede ser el premiado en una rifa o cuál será el número que salga al tirar un dado, se llama probabilidad.

En los ejemplos anteriores no se puede tener seguridad plena de su resultado porque dependen del azar.

Cuando el resultado de un experimento depende del azar, se le llama fenómeno o experimento aleatorio, uno en que se conoce con certeza cuál será su resultado, se le llama determinista.

Al número de resultados favorables que se puedan obtener en un experimento se les llama eventos favorables posibles o casos favorables (E). Por ejemplo, cuando se arroja un dado y se dice que se espera que caiga 3 ó 6 se tendrán dos resultados favorables factibles, de los seis que pueden salir.

Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se le llama espacio de la muestra (S). Así, en el caso de nuestro dado, el espacio de la muestra es 6. Porque puede caer cualquiera de los siguientes seis números:

“1, 2, 3, 4, 5 ó 6 ”

La probabilidad en un experimento aleatorio se obtiene de la razón que hay entre el número de eventos favorables (E) y el número de elementos (S) que hay en el espacio del experimento.

SE)E(p =


158

Esta fórmula es conocida como la fórmula clásica de la probabilidad, en la que:

p(E) es la probabilidad de que en el experimento suceda.

E es el número de resultados favorables que pueden suceder.

S es el número de posibles resultados que pueden salir.

Ejemplo

¿Cuál es la probabilidad que al tirar un dado una vez, saque:

a) un número par

b) un número impar

c) el número 1

d) el número 8

e) un número entre 1 y 6 ?

En este experimento siempre se tendrá el mismo espacio de muestra (S), y diferente número de eventos factibles.

a) Probabilidad de que se obtenga en una tirada un número par.

Al analizar el espacio de la muestra (1,2,3,4,5,6) nos damos cuenta que pueden salir cualquiera de los números pares 2,4 ó 6. Esto nos indica que los eventos favorables pueden ser tres.

5.021

63)E(P a ===

Con lo anterior se establece que la probabilidad de que saque un número par es de 0.5 (en su forma decimal) o del 50% (en su forma porcentual).


159

b) Probabilidad de que saque un número impar.

En este caso los eventos factibles serán: 1, 3, 5. El espacio de la muestra también es 6.

5.021

63)E(P b ===

También en este caso la probabilidad se puede presentar en por ciento (50%) o en su forma decimal (0.5).

c) Probabilidad de que salga el número 1.

En este caso sólo existe un número uno, por lo que los eventos factibles son igual a uno.

1666.061)E(P c ==

La probabilidad de que salga el número 1 en una tirada es de 0.166 (forma decimal) o lo que es lo mismo el 16.6%.

d) Probabilidad de que salga el número 8.

Como no hay en los dados número 8, el número de eventos factibles es 0, por lo que la probabilidad será cero.

060)E(P d == , cero por ciento.

e) Probabilidad que en una tirada obtenga un número entre 1 y 6.

Como en esta posibilidad existen 6 eventos factibles la probabilidad será de 1 ó 100%. En este caso el experimento es determinista.

166)E(P e ==


160

Observe que como el número de eventos factibles nunca será mayor que el número de elementos del espacio de la muestra, la probabilidad en su forma decimal siempre será menor a uno. (100% en su forma porcentual).

Si en el mismo experimento del dado se quisiera conocer la probabilidad de sacar un 2 ó un 3, se tendría:

Probabilidad de sacar al 2. Como sólo hay un dos, E2 = 1

166.061)E(P 2 ==

Probabilidad de sacar al 3. Como sólo hay un tres, E3 = 1

166.061)E(P 2 ==

Como ambos eventos tienen la misma probabilidad y sólo se lanza una vez el dado entonces las probabilidades se pueden sumar.

333.031

62

61

61 ===+

Esto indica que la probabilidad de que salga el 2 ó el 3 en una tirada de dado es de 33.3%.

Se habría obtenido el mismo resultado al aplicar la fórmula clásica de la probabilidad, ya que el número de eventos factibles es dos (2 ó 3) y el espacio de la muestra es 6.

333.031

62

SE)E(p ====

Ahora, suponga que en lugar de lanzar un dado lanza dos. ¿Cuáles serán las posibilidades de sacar:

a) dos números pares

b) los números 1 y 3


161

c) dos números uno

d) dos números que sumados den 7 ?

En la solución de este ejemplo se debe tener en consideración que cada dado puede proporcionar 6 posibilidades por lo que el espacio de la muestra será 6 x 6 = 36. Esto indica que se pueden obtener en total 36 pares ordenados de números como solución de este problema.

a) Probabilidad de sacar dos números pares al tirar una vez dos dados.

El número de eventos factibles en este caso es: (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6). Con lo que se define que Ea = 9.

La probabilidad será:

25.0369

SE)E(P a

a ===

Lo anterior nos indica que se tiene 25% de probabilidad de sacar en una tirada de dos dados dos números pares. Observe que en este ejemplo las probabilidades que tienen por separado cada dado de sacar un número par

(63 ) no se suman, sino que se multiplican, porque una no depende de la otra.

25.0369

63x

63 ==

b) Probabilidad de obtener en una tirada de dos dados los números 1 y 3.

En este caso el número de eventos factibles adecuados es de 2, debido a que puede salir (1,3) o (3,1). Por lo que la probabilidad será:

055.0362

SE)E(P b

b ===


162

Esto nos indica que se tiene el 5.55% de probabilidad de que en una tirada de dos dados se obtenga 1 y 3.

c) Probabilidad de obtener dos unos, en una tirada de dos dados.

En este caso sólo se tiene una posibilidad de sacar dos unos, (1,1). Por lo que la probabilidad será:

0277.0361

SE)E(P c

)c ===

Con lo anterior se puede afirmar que la probabilidad de sacar un par de unos en la tirada de dos dados es de 2.77%.

d) Probabilidad de sacar dos números que sumados den 7.

Los eventos factibles de tener pares que sumen 7 son: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Por lo tanto Ed = 6. Por lo que la probabilidad será:

166.0366

SE)E(P d

d ===

La probabilidad de obtener un par de números que sume 7 es 16.6%.


163

Para visualizar gráficamente cómo está formado el espacio de la muestra y para analizar cuáles son los eventos favorables se utilizan los diagramas de árbol, en los que se ubican todos los resultados posibles de un evento.

Ejemplo

En el caso de lanzar una vez a dos dados el árbol de resultados será como el que se muestra en esta página.

La probabilidad se puede aplicar en el tratamiento de información como las encuestas o el análisis de las respuestas de cuestionarios.

Ejemplo

Al cuestionar a 334 personas, sobre cuál es su candidato preferido, contestaron lo que se muestra en la siguiente tabla:

POSIBLESRESULTADOS

PRIMERDADO

SEGUNDODADO

123456

(1, 1)(1, 2)(1, 3)(1, 4)(1, 5)(1, 6)

1

123456

(2, 1)(2, 2)(2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6)

2

123456

(3, 1)(3, 2)(3, 3)(3, 4)(3, 5)(3, 6)

3

123456

(4, 1)(4, 2)(4, 3)(4, 4)(4, 5)(4, 6)

4

123456

(5, 1)(5, 2)(5, 3)(5, 4)(5, 5)(5, 6)

5

123456

(6, 1)(6, 2)(6, 3)(6, 4)(6, 5)(6, 6)

6


164

CANDIDATO SIMPATIZANTES

Amarillo 58

Rosa 85

Café 97

Verde 62

Blanco 25

Negro 3

Abstenciones 4

TOTAL 334

Con la tabla de frecuencias anterior se puede decir que la preferencia por el candidato amarillo es 1736.0

33458 = , o sea, el

17.36% o que las abstenciones fueron 0119.0

3344 = , o sea, el 1.2%.

Así, con la información producto de la encuesta y un breve análisis se puede construir una tabla de preferencias como la que se muestra a continuación, y si fuera necesario hasta una gráfica.

CANDIDATO PREFERENCIA

Amarillo 17.36 %

Rosa 25.45 %

Café 29.04 %

Verde 18.56 %

Blanco 7.50 %

Negro 0.90 %

Abstenciones 1.20 %

TOTAL 100.00 %

PREFERENCIAS DE CANDIDATOS

AMARILLO BLANCOROSA NEGROCAFÉ ABSTENCIONESVERDE

1.20%7.50%

18.56%

29.04%

25.45%

17.36%

0.90%


165

EJERCICIOS

6.1. Si usted compra ocho boletos para la rifa de una televisión de 21 ”. ¿Cuál será la probabilidad de que se la saque, si se venden 115 números?

R1. 12.213%

R2. 0.69%

R3. 5.1%

R4. 6.96%

6.2. En una tienda hay una urna con 3 bolas rojas, 5 negras, 10 blancas, 20 amarillas, 40 verdes y 80 azules. Si saca una bola roja le regalan lo que haya comprado. ¿Qué probabilidad hay de que gane lo que compró?

R1. 0.19

R2. 0.25

R3. 0.019

R4. 0.99

6.3. En el problema anterior, resulta que las bolas rojas que salen premiadas no se regresan a la urna y ya salieron dos triunfadores. Ahora, ¿cuál es la probabilidad que salga premiado?

R1. 0.64%

R2. 6.32%

R3. 0.06%

R4. 1.63%

6.4. Si en una fábrica de tornillos existe la probabilidad de que el 2% de la producción tenga algún defecto, ¿cuántos tornillos pueden salir con defecto en un pedido de 8 756 tornillos?

R1. 220

R2. 176

R3. 112

R4. 154


166

6.5. Si en una baraja que tiene 52 cartas hay 4 reyes, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar una carta sea un rey?

R1. 0.01

R2. 73

R3. 0.076

R4. 121

6.6. Si en papeles independientes se escribe cada una de las letras de la palabra p, r, o, d, u, c, t, i, v, i, d, a, d y se introducen en una caja, ¿cuál será la probabilidad de sacar una consonante?

R1. 65%

R2. 72%

R3. 61.53%

R4. 53%

6.7. En el problema anterior, ¿cuál será la probabilidad de sacar una vocal?

R1. 0.385

R2. 0.28

R3. 0.35

R4. 0.67

6.8. En el mismo problema de la palabra “productividad”, ¿cuál es la probabilidad de la letra “i”?

R1. 133

R2. 132

R3. 0.076

R4. 14 %


167

6.9 Se tiene una pirinola con cuatro lados en los que se marcan los números 1, 2, 3 y4. También se tiene una caja con una bola roja y una negra. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar la pirinola y sacar una bola de la caja se obtenga el número 3, con bola roja?

R1. 14%

R2. 0.015

R3. 0.25

R4. 12.%

6.10. En el problema anterior, ¿cuál es la probabilidad de sacar de la caja bola negra y un número par?

R1. 0.025

R2. 25%

R3. 2.5%

R4. 1.25%

6.11. En el problema de la palabra “productividad”, ¿cuál es la prababilidad de no sacar la letra “d”?

R1. 85.12%

R2. 73.15%

R3. 76.92%

R4. 15.37%

Recuerde la fórmula clásica de la probabilidad

SE

=P )E(

En donde: P es la probabilidad de que en un experimento aleatorio suceda lo esperado (E)

(E) es el número de eventos esperados

S es el número de elementos que hay en el experimento.


168

RESPUESTAS

169

RESPUESTAS

1.1. R2 1.2. R3 1.3. R2 1.4. R1 1.5. R1 1.6. R2 1.7. R3 1.8. R4 1.9. R1 1.10. R4 1.11. R4 1.12. R3 1.13. R3 1.14. R2 1.15. R1 1.16. R4 1.17. R2 1.18. R3 1.19. R2 1.20. R4 1.21. R3 1.22. R1 1.23. R3 1.24. R2 1.25. R1 1.26. R2 1.27. R2 1.28. R4 1.29. R3 1.30. R1

1.31. R3 1.32. R2 1.33. R4 1.34. R2 1.35. R1 1.36. R3 1.37. R2 1.38. R4 1.39. R3 1.40. R2 1.41. R1 1.42. R4 1.43. R3 1.44. R2 1.45. R3 1.46. R3 1.47. R1 1.48. R4 1.49. R2 1.50. R1 1.51. R2 1.52. R3 2.1. a). (5) b). (3) c). (1) d). (2) e). (4)

2.2. R2 2.3. R3 2.4. R1 2.5. R4 2.6. a) menor que b) mayor que c) menor que d) mayor que e) mayor que 2.7. R3 2.8. R3 2.9. R1 2.10. R2 2.11. R2 2.12. R3 2.13. R4 2.14. R2 2.15. R3 2.16. R4 2.17. R3 2.18. R2 2.19. R1 2.20. R1 2.21. R3 2.22. R4 2.23. R2 2.24. R3 2.25. R1 2.26. R3

PROPEDÉUTICO DE MATEMATICAS

170

2.27. R2 2.28. R3 2.29. R4 2.30. R1 2.31. a) mayor que b) mayor que c) mayor que d) menor que 2.32. R2 2.33. R2 2.34. R1 2.35. R3 2.36. R4 2.37. R4 2.38. R2 2.39. R1 2.40. R3 2.41. R2 2.42. R1 2.43. R4 2.44. R3 2.45. R2 2.46. R4 2.47. R3 2.48. R1 2.49. R2 2.50. R4 2.51. R3 2.52. R4

2.53. a) > b) < c) > d) > e) < 2.54. 7 995.80 2.55. 7.81 2.56. 28.27 2.57. 8 2.58. 9.96 2.59. 0.000 265 2.60. 311 2.61. 4.998 2.62. 1 728

2.63. 531

2.64. 713

2.65. 218

2.66. 151113

2.67. 41

2.68. 6013

2.69. 40195

2.70. 43−

2.71. 724

2.72. 95

2.73. 54

2.74. 2110

2.75. 283

2.76. 3121

2.77. 913

2.78. 313

2.79. 14

2.80. 15614

2.81. 16132

2.82. 187

2.83. 243 2.84. 3 2.85. 256 2.86. 11.25 2.87. 3.141 597 54 2.88. R2 2.89. R1 2.90. R4 2.91. R2

RESPUESTAS

171




PROPEDÉUTICO DE MATEMATICAS

172

4.6. R1 4.7. R3 4.8. R1 4.9. R2 4.10. R4 4.11. R3 4.12. R1 4.13. R4 4.14. R2 4.15. R3 4.16. R2 4.17. R4 4.18. R1 4.19. R3 4.20. R4 4.21. R2 4.22. R3 4.23. R1 4.24. R4 4.25. R3 4.26. R1 4.27. R2 4.28. R4 4.29. R2 4.30. R4 4.31. R3 4.32. R1

4.33. R2 4.34. R4 4.35. R3 4.36. R2 4.37. R1 4.38. R4 4.39. R3 4.40. R2 4.41. R1 4.42. R4 4.43. R3 4.44. R2 4.45. R1 4.46. R4 4.47. R3 4.48. R3 4.49. R1 4.50. R3 4.51. R4 4.52. R2 4.53. R1 4.54. R3 4.55. a) 30º b) 35º c) 40º d) 45º

e) 75º 4.56. R1 4.57. R4 4.58. R2 4.59. R3

5.1. R2 5.2. R3 5.3. R1 5.4. R4 5.5. R1 5.6. R2

6.1. R4 6.2. R3 6.3. R1 6.4. R2 6.5. R3 6.6. R3 6.7. R1 6.8. R2 6.9. R4 6.10. R2 6.11. R3

libro mate

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