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Liceo Scientifico “F. Lussana” – Bergamoprogramma svolto di fisica –a.s. 2014 – 2015

classe 3E

prof. Paolo Mora

8 giugno 2015

1 Cinematica

Unità 1.1. Descrizione dei moti rettilinei

1. Definizione delle grandezze cinematiche e relative unità di misura (posizione, spostamento,istante, durata, velocità media e istantanea, accelerazione media e istantanea)

2. Il moto rettilineo uniforme: legge oraria, grafici s− t

3. Il moto rettilineo uniformemente accelerato: formula della velocità istantanea, legge oraria,grafici s− t e v − t

4. Il moto di caduta libera rettilineo

5. Moti vari: analisi con il metodo del grafico della velocità

Attività sperimentali e di laboratorio

• Analisi dei moti mediante l’uso di un sensore di posizione e di un’interfaccia di acquisizionedei dati collegata a PC [ esp n 1 ]

Unità 1.2. Moti in due dimensioni

1. Algebra vettoriale: somma di vettori, scomposizione di vettori, prodotto per uno scalare,prodotto scalare di due vettori (ripasso)

2. Moto circolare uniforme (solo aspetti cinematici)

3. Vettore posizione e vettore spostamento, definizione di velocità vettoriale (media eistantanea)

4. Definizione di accelerazione vettoriale (media e istantanea); accelerazione centripeta in unmoto circolare uniforme

5. Moto piano su una traiettoria curva (componenti tangenziale e normale dell’accelerazione)

1

PROGRAMMA DI FISICA–CLASSE 3E–A.S. 2014 – 2015 2

6. Composizione degli spostamenti e composizione delle velocità (cinematica relativa); sistemidi riferimento in caduta libera

7. Moto di caduta libera e principio di indipendenza dei moti


• Moto parabolico di una sferetta metallica in caduta libera; elaborazione dei dati con unfoglio elettronico [ esp n 2 ]

2 Dinamica

Unità 2.1. Sistemi inerziali e principi della dinamica

1. Sistemi di riferimento inerziali. L’esperimento mentale del “gran navilio” e il principio direlatività galileiana

2. L’interazione tra due oggetti e il concetto di forza

3. Effetti delle forze sul movimento degli oggetti: secondo principio della dinamica

4. Azione e reazione: il terzo principio della dinamica

5. Applicazione della seconda legge della dinamica ai moti rettilinei; piani orizzontali einclinati, in assenza e in presenza di attrito

6. Il moto circolare uniforme; periodo, frequenza; velocità angolare e velocità tangenziale(analisi dinamica)

7. Accelerazione centripeta e forza centripeta

8. Sistemi di riferimento non inerziali: forze apparenti


• Moto di un carrello sottoposto ad una forza costante; analisi quantitativa al variare dellamassa e della forza trainante [ esp n 3 ]

• Macchina di Atwood, stima dell’accelerazione di gravità [ esp n 4 ]

Unità 2.2. Lavoro ed energia

1. Il lavoro di una forza: definizione ed esempi

2. Il teorema dell’energia cinetica

3. Forze conservative; energia potenziale gravitazionale ed energia potenziale elastica

4. Il teorema di conservazione dell’energia meccanica per un oggetto su cui agiscono soloforze conservative

5. La relazione tra il lavoro delle forze non conservative e la variazione dell’energia meccanica


6. Potenza di una forza; rilettura del teorema dell’energia cinetica in termini di potenza


• Un peso lasciato cadere verticalmente mette in rotazione una ruota di bicicletta: latrasformazione di energia potenziale in energia cinetica [ esp n 5 ]

Unità 2.3. Quantità di moto

1. Definizione di sistema isolato

2. Il principio di conservazione della massa

3. Il teorema di conservazione della quantità di moto nei sistemi isolati

4. Quantità di moto; teorema dell’impulso

5. Centro di massa e quantità di moto

6. Un caso notevole: la conservazione della quantità di moto negli urti (urti elastici, anelastici,coefficiente di restituzione, urti elastici non centrali)


• Urto elastico tra due sferette: verifica della conservazione della qualntità di moto [ esp n 6 ]

Unità 2.4. Dinamica dei corpi in rotazione

1. Cinematica del moto circolare di un punto (ripasso); cinematica di un corpo rigido inrotazione attorno ad un asse fisso

2. Cinematica di un disco in moto di puro rotolamento

3. Energia cinetica e momento angolare per un corpo rigido in rotazione attorno ad un assefisso e per un disco in moto di puro rotolamento (momento di inerzia di un corpo rigidorispetto ad un asse)

4. Momento di una forza e di una coppia rispetto ad un asse

5. Momento angolare (di un punto materiale e di un corpo esteso) rispetto ad un asse

6. Equazione fondamentale della dinamica dei moti rotatori (per un corpo rigido in rotazioneattorno ad un asse fisso e per un disco in moto di puro rotolamento)

7. Conservazione del momento angolare per sistemi isolati


• Esperienze con lo sgabello girevole; giroscopio; rotolamento di alcuni solidi su un pianoinclinato [ esp n 7 ]


Ulteriori informazioni• Durante l’a.s. si è fatto riferimento al seguente testo:

– “Fisica e realtà – Ebook confezione cinematica + dinamica e termologia”, autoreRomeni C., edizione Zanichelli, Cod. ISBN 9 788 808 700 919

• Il presente programma, i testi delle prove scritte assegnate durante l’anno e le indicazioniper i lavori estivi saranno disponibili, a partire dal 13 giugno 2015, sulla piattaformaMoodle, raggiungibile dal sito del liceo oppure all’indirizzo:

[ http://elearning.liceolussana.com/moodle/login/index.php ]

Bergamo, lì 8 giugno 2015

(prof. Paolo Mora)

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(studente rappresentante)

——————————(studente rappresentante)

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Paolo

firma

Liceo Scientifico “F. Lussana” – Bergamolavoro estivo di fisica –a.s. 2014 – 2015

classe 3E

prof. Paolo Mora

8 giugno 2015

Esercizio 1. Un punto materiale si muove di moto rettilineo. Rispetto ad un assegnato sistemadi riferimento (s = coordinata posizione) sono note le seguenti informazioni:

• all’istante t = 2 s occupa la posizione s = −3,5m;

• nell’intervallo [ 2 s, 5 s ] si muove di moto uniforme con velocità pari a 2m/s ;

• nell’intervallo [ 5 s, 10 s ] si muove di moto uniformemente accelerato, con accelerazionepari a −1m/s2 ;

• prosegue poi di moto uniformemente accelerato fino a fermarsi all’istante 16 s.

1. Scrivi le equazioni s – t e v – t nei tre intervalli di tempo da t = 2 s a t = 16 s ;

2. determina gli istanti in cui v = 0 ;

3. rappresenta il grafico s – t da t = 2 s a t = 16 s ;

4. calcola lo spazio effettivamente percorso dal punto materiale da t = 2 s a t = 16 s.

Esercizio 2. Due punti materiali P e Q si muovono sulla stessa retta, nello stesso verso.All’istante t = 0 il punto P ha un vantaggio di 240m rispetto al punto Q. In figura 1 nellapagina seguente sono riportati i grafici v – t relativi ai due punti.

1. Determina l’istante in cui P e Q occupano la stessa posizione ;

2. calcola per via grafica (spiega la procedura seguita) gli spazi percorsi da ciascuno dei duepunti dall’istante t = 0 all’istante in cui Q supera P .

1

LAVORO ESTIVO DI FISICA–CLASSE 3E–A.S. 2014 – 2015 2

Figura 1: esercizio 2

Esercizio 3. Un corpo scivola, senza attrito, lungo un piano inclinato di 30°, partendo da fermoe coprendo uno spazio di 1m. Percorre poi un tratto orizzontale di 50 cm per poi risalire lungoun piano inclinato di 15° (vedi figura 2). Sapendo che l’accelerazione nei tratti inclinati vale, inmodulo, g sinϑ, con g = 9,81m/s2 e con ϑ = angolo di inclinazione:

1. calcola la velocità del corpo nel tratto orizzontale ;

2. calcola lo spazio percorso lungo il piano inclinato di 15° prima di fermarsi.


Esercizio 4. Un protone si muove di moto rettilineo; rispetto ad un assegnato sistema diriferimento mono – dimensionale la sua equazione spazio – tempo è:

x = (50m/s)t+ (10m/s2)t2 per t ∈ [ 0 s, 3 s ]

1. Calcola la velocità media della particella durante i primi 3 s ;

2. scrivi l’equazione velocità – tempo durante i primi 3 s ;

3. sapendo che dall’istante 3 s il moto procede con decelerazione uniforme per altri 2,5 s finchéla particella non si arresta:


(a) rappresenta (con la massima cura !) il grafico velocità – tempo per t ∈ [ 0 s; 5,5 s ] ;

(b) calcola lo spazio complessivamente percorso.

Esercizio 5. Due treni, che viaggiano uno alla velocità di 72Km/h e l’altro alla velocità di144Km/h, sono diretti uno contro l’altro su un binario rettilineo. Quando si trovano a 950mdi distanza azionano simultaneamente i freni, producendo moti uniformemente decelerati conaccelerazioni (in modulo) pari ad a.Determina il minimo valore di a che consente ai treni di evitare lo scontro.

Esercizio 6. Si lancia una palla verticalmente verso il basso dalla cima di un edificio alto36,6m. La palla passa, dopo 2,00 s, in corrispondenza di un punto situato ad un’altezza di12,2m rispetto al suolo.

1. Calcola la velocità iniziale della palla ;

2. calcola il tempo complessivo di caduta.

Esercizio 7. La corrente di un fiume largo 150m scorre verso Est alla velocità di 2,5m/s. La“solita” barca attraversa il fiume dalla riva Sud alla riva Nord. Sia R ′ un osservatore solidalecon la corrente, R un osservatore solidale con le rive. E’ noto che: la barca impiega 50 s perattraversare il fiume, descrivendo (per R) una traiettoria rettilinea che permette alla barca dirisalire il fiume per 75m.

1. Determina le componenti (orizzontale e verticale) della velocità della barca rispetto a R erispetto a R′ ;

2. calcola i moduli delle velocità della barca rispetto a R (velocità assoluta) e rispetto a R′(velocità relativa) ;

3. calcola gli spazi percorsi dalla barca rispettivamente in R e in R′.

Esercizio 8. Una pallina da golf viene lanciata con una velocità di modulo 10m/s ed un’incli-nazione di 60° rispetto all’orizzontale, dall’angolo di una buca, come rappresentato in figura 3nella pagina seguente

1. Spiega perché la pallina riesce ad uscire dalla buca ;

2. calcola il tempo di volo della pallina ;

3. determina la velocità iniziale minima che consentirebbe comunque alla pallina di usciredalla buca.



Esercizio 9. In relazione alla figura 4, un sasso lanciato in orizzontale da un promontorio alto80 metri colpisce una barca che si sta allontanando dalla riva ad una velocità di 4m/s. Sapendoche, all’istante del lancio, la barca dista dalla riva 42m, determinare la velocità iniziale v0 delsasso che gli consente di cadere nella barca.


Esercizio 10. Un punto materiale si muove di moto rettilineo. Rispetto ad un assegnatosistema di riferimento (s = coordinata posizione) sono note le seguenti informazioni:


• all’istante t = 2 s occupa la posizione s = −1,5m;

• nell’intervallo [ 2 s, 6 s ] si muove di moto uniforme con velocità pari a 2m/s ;

• nell’intervallo [ 6 s, 11 s ] si muove di moto uniformemente accelerato, con accelerazionepari a −1m/s2 ;

• prosegue poi di moto uniformemente accelerato fino a fermarsi all’istante 22 s.

1. Scrivi le equazioni s – t e v – t nei tre intervalli di tempo da t = 2 s a t = 22 s ;

2. determina gli istanti in cui v = 0 ;

3. rappresenta il grafico s – t da t = 2 s a t = 22 s ;

4. calcola lo spazio effettivamente percorso dal punto materiale da t = 2 s a t = 22 s.

Esercizio 11. La corrente di un fiume largo 150m scorre verso Est alla velocità di 3,0m/s.Una barca attraversa il fiume dalla riva Sud alla riva Nord. Sia R ′ un osservatore solidale conla corrente, R un osservatore solidale con le rive. E’ noto che: la barca impiega 2min perattraversare il fiume, descrivendo (per R) una traiettoria rettilinea, inclinata di 45° rispetto allesponde.

1. Determina le componenti (orizzontale e verticale) della velocità della barca rispetto a R erispetto a R′ ;

2. calcola i moduli delle velocità della barca rispetto a R (velocità assoluta) e rispetto a R′(velocità relativa) ;

3. calcola gli spazi percorsi dalla barca rispettivamente in R e in R′.

Esercizio 12. Una sferetta di massa 1,5Kg viene posta inizialmente ferma sulla sommità di unpiano inclinato lungo 22m. Sapendo che a metà percorso la sferetta possiede una velocità di8,5m/s, determina (la sferetta scivola senza attrito e senza rotolare):

1. l’altezza del piano inclinato ;

2. il tempo impiegato dalla sferetta per percorrere l’intero piano inclinato ;

3. il punto in cui si trova la sferetta quando la sua velocità vale 12,5m/s.

Esercizio 13. Un oggetto di massam (non nota) scende – con partenza da fermo – da uno scivoloruvido, inclinato di 35° rispetto all’orizzontale, in un tempo doppio di quello che impiegherebbese la superficie dello scivolo fosse priva di attrito. Calcola il coefficiente µd di attrito dinamicotra l’oggetto e lo scivolo.


Esercizio 14. La figura 5 mostra un disco di massa m = 1,50Kg che percorre una circonferenzadi raggio r = 20,0 cm sul piano privo di attrito di un tavolo e sostiene una massa M = 2,50Kgappesa ad un filo che passa attraverso un foro al centro del cerchio. Trova a quale velocità devemuoversi m per trattenere M a riposo.


Esercizio 15. Un blocco di massa m1 è attaccato ad una corda lunga L1, fissata all’altraestremità come mostrato in figura 6. La massa si muove su un tavolo privo di attrito descrivendouna circonferenza su un piano orizzontale. Un secondo blocco di massa m2 viene attaccato alprimo con una corda lunga L2; anch’essa si muove su una circonferenza. Determina, in funzionedel periodo T del moto, le tensioni delle due corde.


Esercizio 16. Una lastra di massa m1 = 40Kg è appoggiata su pavimento privo di attrito.su di essa è collocato un blocco di massa m2 = 10Kg, come riportato in figura 7 nella paginaseguente. I coefficienti di attrito statico e dinamico tra blocco e lastra valgono rispettivamenteµs = 0,60 e µd = 0,40. Il blocco da 10Kg è trainato da una forza F [ vedi figura 7 nella paginasuccessiva per la direzione e il verso ].

1. Determina la limitazione sull’intensità di F affinché i due blocchi si muovano senza slittarel’uno sull’altro ;

2. se l’intensità di F vale 100N, calcola le accelerazioni dei due blocchi.



Esercizio 17. Una pallina d’acciaio di massa 280 g viene “sparata” da una molla di costanteelastica 250N/m su una pista orizzontale ruvida. La molla è inizialmente compressa di unalunghezza pari a 15 cm; la pallina, dopo aver percorso un tratto piano di lunghezza 85 cm(comprensivo anche dei 15 cm di lunghezza della molla), risale un piano inclinato di 30° rispettoall’orizzontale. Il coefficiente di attrito cinematico tra il piano orizzontale e la pallina vale 0,45,mentre il piano inclinato è liscio.

1. Calcola il lavoro della forza elastica nella fase di spinta, il lavoro della forza di attrito neltratto in piano e della forza peso nella fase di salita ;

2. determina lo spazio percorso in salita sul piano inclinato.

Esercizio 18. Un pendolo semplice di lunghezza 2m e di massa 0,5Kg viene spostato dallasua posizione di equilibrio, in modo che il filo di sostegno formi con la verticale un angolo di 30gradi. Il pendolo viene poi abbandonato a se stesso. Determina:

1. le forze che agiscono sul pendolo e il lavoro compiuto da ciascuna di esse per portare ilpendolo nella posizione più bassa ;

2. la velocità del pendolo nel punto più basso della sua traiettoria.

Esercizio 19. Un vagoncino delle montagne russe di massa 675Kg parte da fermo nel punto Adi figura 8 e scivola lungo i binari. Se la forza di attrito ritardante è pari a 120N (e rimanecostante per tutto il percorso), calcola le velocità nei punti B e C.


Esercizio 20. Un ciclista percorre una strada in salita, inclinata di 8 gradi rispetto all’orizzontale,con una velocità costante di 3m/s. Le forze di resistenza dovute agli attriti volventi e all’aria sipossono stimare di intensità pari a 35N, con verso opposto alla velocità del ciclista, e la massacomplessiva ciclista+bicicletta vale 75Kg.


1. Calcola la potenza sviluppata dal ciclista e l’intensità della forza di attrito statico che sisviluppa tra gomme e asfalto ;

2. quale potenza servirebbe per muoversi alla velocità (costante) di 4m/s? [ gli attritimantengono lo stesso valore del caso precedente ].

Esercizio 21. Un carrello di massa 20Kg si sta muovendo (con attriti trascurabili) di motorettilineo uniforme con velocità 10m/s. A partire da un certo istante, a intervalli regolaridi tempo, vengono fatti cadere sul carrello 3 blocchi di plastilina di massa 5Kg ciascuno,inizialmente fermi, che si fissano sul carrello. Determina la velocità del carrello dopo ognicaduta.

Esercizio 22. Un blocco di massa 0,5Kg urta elasticamente alla velocità di 3m/s un altroblocco di massa 1,5Kg (inizialmente fermo) fissato, come mostrato in figura 9, ad una mollaideale di costante elastica k = 25N/m. I blocchi si muovono su una superficie orizzontale privadi attrito; la massa della molla è trascurabile. Determina:

1. le velocità dei due blocchi subito dopo l’urto ;

2. la compressione massima della molla (cioè lo spazio che il blocco di massa 1,5Kg compieprima di modificare il verso della velocità) e il lavoro compiuto dalla forza elastica nellafase di compressione.



Esercizio 23. Considera l’urto di due dischi da curling di 7Kg ciascuno, così come rappresentatoin figura 10. Il disco 2 è inizialmente fermo, il disco 1 si avvicina con velocità di modulo 1,5m/s;l’urto è elastico (ma non centrale !) e dopo lo scontro il disco 1 si muove con una velocità dimodulo v1f in una direzione inclinata di 66 gradi rispetto a quella iniziale.


1. Determina l’angolo ϑ che descrive l’inclinazione della velocità v2f ;

2. calcola i moduli delle velocità dei due dischi dopo l’urto.

Esercizio 24. Una pallottola di massa 3,50 g viene sparata orizzontalmente verso due blocchidi legno fermi su un pavimento liscio, come mostrato in figura 11 (a).

La pallottola trapassa il primo blocco di massa 1,20Kg e si conficca nel secondo, di massa1,80Kg.

Nella figura 11 (b) si vede che le velocità assunte dai due blocchi valgono rispettivamentev1 = 0,630m/s e v2 = 1,40m/s. Trascurando la quantità di materiale asportato dal primoblocco, calcola:

1. la velocità della pallottola quando emerge dal primo blocco ;

2. la velocità iniziale della pallottola.


Esercizio 25. In figura 12 si vede un proiettile di massa m = 1,0 g sparato in un blocco dimassa M = 0,50Kg, fissato all’estremità di un’asta rigida di lunghezza d = 0,6m.Il sistema proiettile+blocco+asta si pone in rotazione attorno al perno A. Il momento d’inerziadella sola asta attorno ad A vale 0,060Kgm2. Assumendo trascurabili gli attriti in A e ledimensioni del blocco:

1. calcola il momento d’inerzia dell’intero sistema rispetto al polo A nel momento in cui ilproiettile si conficca nel blocco ;

2. determina la velocità del proiettile prima dell’urto sapendo che subito dopo l’urto lavelocità angolare del sistema vale ω = 4,5 rad/s ;

3. supponendo l’asta omogenea, verifica che l’energia cinetica non si conserva durante l’urtoe che la quantità di moto, in modulo, aumenta durante l’urto.

Esercizio 26. Un cilindro omogeneo di massa M e raggio R rotola senza strisciare su un pianoinclinato di un angolo ϑ rispetto all’orizzontale.



1. Calcola l’accelerazione del centro del cilindro durante la discesa;

2. determina direzione, modulo e verso della forza di attrito (statico !) che consente al cilindrodi rotolare senza strisciare sul piano;

3. calcola il tempo impiegato dal cilindro per percorrere l’intero piano, partendo da fermo,sapendo che: M = 500 g, R = 5 cm, L = 1m = lunghezza del piano, ϑ = 30 gradi.

Esercizio 27. Una ruota è costituita da un anello di spessore trascurabile di massa M = 15Kg,sostenuto da raggi di massa trascurabile e lunghezza R = 0,60m, come rappresentato in figura 13.Essa sta ruotando attorno al proprio asse con una velocità angolare ω0 = 40 rad/s.

All’istante t = 0 alla sua periferia viene accostata una piastra con la quale essa sviluppa unaforza di attrito radente (tangente alla ruota) pari a 50N.

1. Calcola l’accelerazione angolare (negativa !!) sviluppata durante la frenata;

2. scrivi le due equazioni velocità angolare – tempo (ω – t) e angolo percorso – tempo (ϑ – t);

3. determina il tempo impiegato dalla ruota per fermarsi;

4. calcola il numero di giri compiuti dalla ruota durante la frenata.



Esercizio 28. Il guscio sferico uniforme di figura 14, di massa M = 4,5Kg e raggio R = 8,5 cm,ruota attorno ad un asse verticale, su cuscinetti privi di attrito. Una corda priva di massaavvolta intorno all’equatore della sfera, passando senza slittamenti sopra una puleggia, priva diattrito, avente momento di inerzia (rispetto al suo asse di rotazione) I = 3,0× 10−3 Kgm2 eraggio r = 5,0 cm, tiene appeso un piccolo oggetto di massa m = 0,6Kg.


1. Calcola l’accelerazione dell’oggetto di massa m ;

2. calcola la tensione del tratto orizzontale di corda.

Esercizio 29. La bacchetta omogenea di figura 15, lunga 2,0m, può ruotare intorno ad unperno orizzontale, privo di attrito, posto ad un’estremità.

L’asta viene lasciata libera (quindi con velocità iniziale nulla) dalla posizione corrispondentea ϑ = 40°.

Utilizzando la conservazione dell’energia meccanica determina la velocità angolare dellabacchetta nell’istante in cui passa per la posizione orizzontale (cioè ϑ = 0).


Esercizio 30. Un’asta sottile omogenea, di massa 4,0Kg e lunghezza 0,50m, è libera di ruotareattorno ad un asse verticale passante per il suo punto medio, così come rappresentato in figura 16nella pagina seguente.


Contro un’estremità dell’asta, inizialmente ferma, viene sparato un proiettile di massa 3,0 gcon una velocità orizzontale che forma un angolo di 60° con l’asta.

Il proiettile si conficca nell’asta, conferendole subito dopo l’urto una velocità angolareω = 10 rad/s.

1. Calcola il modulo della velocità del proiettile immediatamente prima dell’urto ;

2. determina la perdita di energia cinetica durante l’urto ;

3. dopo l’urto il sistema si muoverà di moto circolare uniforme o tenderà a fermarsi ? [ giustificaaccuratamente la tua risposta ].


Esercizio 31. Una biglia omogenea, di massa m = 0,280 g e raggio r = 1 cm, rotola senzastrisciare lungo una pista come mostrato in figura 17.

Il “ricciolo” ha un raggio R = 14 cm; la biglia parte (da ferma) da un’altezza h = 84 cm.


1. Determina la velocità del centro della biglia nell’istante in cui si appoggia al profilo nelpunto Q ;

2. nella stessa situazione di cui al punto 1. calcola la forza di reazione vincolare (in questocaso orizzontale) che il “ricciolo” esercita sulla biglia in Q.

Ulteriori informazioni• Il presente materiale contenente le indicazioni per il lavoro estivo sarà disponibile, a partiredal 13 giugno 2015, sulla piattaforma Moodle, raggiungibile dal sito del liceo oppureall’indirizzo:


[ http://elearning.liceolussana.com/moodle/login/index.php ]

• Istruzioni per l’uso: gli studenti che hanno giudizio sospeso in fisica o che hanno ricevutola segnalazione “aiuto in fisica” sono tenuti a svolgere tutti gli esercizi (tale lavoro saràcontrollato a settembre 2015, per i primi contestualmente alla prova orale); tutti glistudenti sono tenuti a svolgere tutti gli esercizi pari più 7 dei dispari, scelti a piacere.

• Si consiglia la lettura del libro

“Sette brevi lezioni di fisica”, Carlo Rovelli, ed. Adelphi (Piccola biblioteca n.666), 10,00e

Figura 18: copertina

http://www.adelphi.it/libro/9788845929250

Auguro a voi e alle vostre famiglie di trascorrere una serena estate !!

Bergamo, lì 8 giugno 2015

(prof. Paolo Mora)

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Paolo

firma

liceoscientiﬁco“f.lussana” –bergamo ... · a partire da un certo istante, a intervalli...

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