Lie群とLie代数

LastUpdate: 2007.5.20

目 次

1 基本事項 4

1.1 位相群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 基本性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Lie代数と Lie群の対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 指数写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 線形表現における Lie代数の対応 . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Lie部分群の位相的特徴付け . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Lie代数とLie群の構造 7

2.1 一般的定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 分解定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Mackey分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Gauss分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.3 Cartan分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.4 岩沢分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 局所コンパクト群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 コンパクト Lie群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 半単純 Lie群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.1 基本的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.2 複素半単純 Lie代数の構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.3 実単純 Lie代数の分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Lie代数とLie群の表現 19

3.1 線形表現の一般論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 可換群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 可解群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 半単純 Lie群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 複素半単純 Lie代数の有限次元既約表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5.1 ウェイト系の方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1

3.5.2 誘導表現の方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6 コンパクト群の既約表現：表現環 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.7 誘導ユニタリ表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.8 Poincare群のユニタリ表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.9 包絡環 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.9.1 定義と基本性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.9.2 不変作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.9.3 GL(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.9.4 SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.9.5 SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 古典群 42

4.1 古典群の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1 GL(n, F )と SL(n, F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.2 U(n),U(p, q), SU(n), SU(p, q), SU∗(2n) . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.3 O(n, F ), SO(n, F ),O(p, q;F ), SO(p, q;F ), SO∗(2n) . . . . . . . 45

4.1.4 Sp(n, F ), Sp(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 古典群の複素既約表現：誘導表現の方法 . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.1 古典群のGauss分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.2 有限次元複素解析的既約表現の指標 . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.3 基本表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Dynkin基底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 GL(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.1 GL(n,C)の Lie代数の構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.5 Ar型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5.1 SL(n,C)の Lie代数の構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5.2 SL(n,C)の複素解析的既約表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.6 Cr型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6.1 Sp(n,C)の Lie代数の構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6.2 Sp(n,C)の複素解析的既約表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.7 Br型およびDr型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.7.1 SO(n,C)の Lie代数の構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.7.2 SO(n,C)の複素解析的既約表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.8 スピノール群とスピノール表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.8.1 定義と一般的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.8.2 基本スピノール表現の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2

4.8.3 Majoranaスピノール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.9 部分群による表現の分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.9.1 SU(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.9.2 SO(8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.10 具体例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.10.1 SO(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.11 実単純 Lie群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.11.1 分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.11.2 同型関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5 例外群 83

6 超代数と超群 84

6.1 超代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.2 超空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.3 Lie超代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.4 単純複素 Lie超代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.4.1 古典 Lie超代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.4.2 Cartan型超代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.5 単純実 Lie超代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.5.1 分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.5.2 単純超対称代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.6 Lie超群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3

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1 基本事項

1.1 位相群

1.1.1 基本性質

【定理 1.1 (Schreierの定理)】 　 Gを連結位相群，Ueを単位元の任意の開近傍とする．このとき，

U (m)e := SetDefg = g±1

1 · · · g±1m gi ∈ Ue, 1 ≤ i ≤ m

とおくと，G = ∪∞

m=1U(m)e

が成り立つ．[From: 竹内勝・伊勢幹夫「リー群論」（岩波書店, 1992)] �

【命題 1.2 (正規離散部分群)】 　 位相群Gの任意の離散的正規部分群はGの中心に含まれる． �

1.2 Lie代数とLie群の対応

1.2.1 指数写像

【定義 1.3 (指数写像)】 　 GをLie群，gをその（左不変ベクトル場の作る）Lie代数とする．このとき，X ∈ gは完備でその生成する変換群は，Gの１径数部分群a(t)による右変換群Ra(t)と一致する．この１径数部分群a(t)を a(t) = exp(tX)

とおくと，exp : X �→ exp(X)

は，gからGへのなめらかな写像を与え，0 ∈ gの近傍で１対１となる．この写像 exp : g → Gを指数写像という． �

【命題 1.4】 　指数写像 exp : g → Gに対して

exp tX · exp tY = exp

{t(X + Y ) +

t2

2[X, Y ] + O

(t3)}

(1.1)

が成り立つ．これより，特に

[[exp tX, exp tY ]] = exp{t2[X, Y ] + O

(t3)}

(1.2)

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が成り立つ．ここで，a, b ∈ Gに対して

[[a, b]] := aba−1b−1

である． �

【定理 1.5 (Lie群の連結 Lie部分群と Lie環の部分環の対応)】 　 Lie群Gの Lie

代数を gとする．このとき，gの任意の部分代数hに対して，hをG上のベクトル場の包合系と見なし，単位元 eを含むその極大積分多様体をHとすると，HはGの連結 Lie部分群となる．逆に，Gの任意の連結 Lie部分群H に対して，そのLie代数 hは (左不変ベクトル場の線形集合として）一意的に gの部分代数と見なされる．gの部分代数とGの Lie部分群との対応は１対１で次の関係にある：

i) 連結 Lie部分群Hに対応する部分 Lie代数 hは

h = {X ∈ g | Exp(X) ⊂ H} .ここで，Exp(X) = { exp tX | t ∈ R}．

ii) 部分 Lie代数 hに対応する連結 Lie部分群Hは，

H = { expX · expY · · · expZ | X, Y, · · · , Z ∈ h} .[From: 竹内勝・伊勢幹夫「リー群論」（岩波書店, 1992)] �

1.2.2 線形表現におけるLie代数の対応

【命題 1.6 (線形表現におけるLie代数の対応)】 　 ρ : G → GL(V )を Lie群G

の V 上への線形表現とする．このとき，ξ, ηをGの左不変ベクトル場，dρを ρ

の微分写像とすると

dρg(ξ) = ρ(g)dρe(ξ),

dρg([ξ, η]) = ρ(g)[dρe(ξ), dρe(η)]

が成り立つ．これより，Gの Lie代数からGL(V )の Lie代数への線形写像 ρ∗ :

g → gl(V )をρ∗(ξ) := dρe(ξ)

により定義すると，ρ∗は Lie代数の同型を与える：

ρ∗([ξ, η]) = [ρ∗(ξ), ρ∗(η)].

�

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1.3 Lie部分群の位相的特徴付け

【定理 1.7 (Cartanの定理)】 　 Lie群Gの閉部分群H は常に Lie部分群の構造をもち，それは一意的である． �

【定理 1.8 (山辺の定理)】 　 Lie群Gの部分群HがGの位相に関して弧状連結であることとHがGの連結 Lie部分群となることは同等である． �

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2 Lie代数とLie群の構造

2.1 一般的定義

【定義 2.1 (Lie代数の可解性とベキ零性)】 　 Lie代数 gに対して，

i) g′ = [g, g], g′′ = [g′, g′], · · · , g(i+1) = [g(i), g(i)]とおく．このとき，g′ = 0ならばgは可換，g(k) = 0となる自然数 kが存在するならば可解という．

ii) g1 = g, g2 = [g, g1], · · · , gi+1 = [g, gi] とおく．このとき，gk = 0となる自然数kが存在するならば g はベキ零であるという．

�

【定義 2.2 (根基)】 　 Lie代数 gの可解イデアル全部の和は可解イデアルで最大可解イデアルとなる．これを gの根基 (radical)という． �

【定義 2.3 (Lie代数の半単純性)】 　 根基が 0，すんなわち 0以外に可解イデアルを持たないLie代数を半単純 (semisimple)という．gが半単純であって，さらに，0と g以外にイデアルを持たないとき単純 (simple)であるという． �

【注 2.4】 　

• 半単純性を 0以外に可換イデアルを持たないという条件により定義することもできる．

• 1次元複素Lie代数C(および実Lie代数R)は 0と自分自身以外にイデアルを持たないが，単純ではない．

�

【定義 2.5】 　連結 Lie群は，そのLie代数が半単純，単純，可解，ベキ零，可換でるとき，それぞれ半単純，単純，可解，ベキ零，可換であるという．可解性，ベキ零性，可換性は群論的な定義と一致する． �

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2.2 分解定理

2.2.1 Mackey分解

【定理 2.6 (Mackey分解 [Macky(1952))】 　] Gを可分局所コンパクト群，Kをその閉部分群とする．このとき，Gの Borel集合 Sが存在し，Gの任意の元 g

は一意的な次の分解をもつ：

g = ks, k ∈ K, s ∈ S.

[Ref. A. Barut and R. Raczka (1986)] �

2.2.2 Gauss分解

【定義 2.7 (Gauss分解:位相群)】 　 位相群Gは，次の性質を持つ部分群Z，D，Zを用いて

G = ZDZ

と表されるとき，Gauss分解を持つという．

i) Z DとDZは連結可解部分群で，[Z D,ZD] = Z，[DZ,DZ] = Z．

ii) Z ∩DZ = {e} and D ∩ Z = {e}．

[From A. Barut and R. Raczka (1986)] �

【定理 2.8 (Gauss分解:複素半単純 Lie代数)】 　 gを複素半単純 Lie代数， hをCartan部分代数，Δ±を正（負）ルートの集合，Δ = Δ+ ∪ Δ−，Eαを

[X,Eα] = α(X)Eα, α ∈ Δ, X ∈ h,

を満たす gの元，g± を {Eα|α ∈ Δ±}の線形包とする．このとき，次が成立する：

1. g+と g−は巾ゼロ部分代数．

2. 部分代数 g+ + h，g− + hは可解．

3. g = g+ + h + g−.

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�

【定理 2.9 (極大可解部分代数)】 　 複素半単純 Lie代数のGauss分解 g = g+ +

h + g−において，可解部分 Lie代数 g+ + hをBorel部分代数という．Borel部分代数は，極大可解部分代数であり，任意の極大可解部分代数は互いに内部自己同型で共役である． �

【定理 2.10 (Gauss分解:複素半単純 Lie群)】 　 すべての連結複素半単純 Lie群Gは，Gの自己同型の自由度を除いて一意的なGauss分解を持つ：

G = Z DZ.

ここで，Dは連結可換部分群，Z と Zは単連結，連結巾ゼロ部分群，ZDとDZはGの極大連結可解部分群．また，G − Z DZはGより低次元の閉集合．さらに，正則点 g ∈ Z DZに対して，分解 g = ζδz (ζ ∈ Z , δ ∈ Δ, z ∈ Z)により決まる元，ζ，δ，zは gの連続関数．[Ref. Zeloenko (1963); From A. Barut

and R. Raczka (1986)] �

【定理 2.11 (Gauss分解:実半単純 Lie群)】 　 すべての連結実半単純Lie群Gは次の分解を持つ：

G = Z DZ.

ここで，Dは単連結可換部分群Aと連結半単純コンパクト群Kの直積

D = A×K,

Z と Zは単連結かつ連結巾ゼロ部分群で，Z ∩DZ = {e}かつD ∩ Z = {e}．また，G− ZDZはGより低次元の閉集合. さらに，正則点 g ∈ Z DZに対して，分解 g = ζδz (ζ ∈ Z , δ ∈ Δ, z ∈ Z)により決まる元，ζ，δ，zは gの連続関数．[Ref. Zeloenko (1963); From A. Barut and R. Raczka (1986)] �

2.2.3 Cartan分解

【定理 2.12 (Cartan分解:実半単純Lie代数)】 　 実半単純Lie代数 gは次の形の分解を持つ：

g = k + p.

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ここで，kと pは次の性質を持つ：

[k, k] ⊂ k, [k, p] ⊂ p, [p, p] ⊂ k,

(X,X) < 0 for X = 0in k,

(Y, Y ) > 0 for Y = 0in p.

kは gの極大コンパクト部分代数である．[Ref. Helgason (1962); From A. Barut

and R. Raczka (1986)] �

【定理 2.13 (Cartan分解:実半単純 Lie群)】 　 Gを中心有限な連結実半単純Lie

群とし，その Lie代数 gの Cartain分解を g = k + pとする．このとき，K をLie代数 kに対応するGの連結部分群，Pを指数写像による線形空間 pの像とすると，Gは次のように表される：

G = PK .

[Ref. Cartan (1929); From A. Barut and R. Raczka (1986)] �

2.2.4 岩沢分解

【定理 2.14 (Iwazawa分解:実半単純Lie代数)】 　 実半単純Lie代数 gのCartan

分解を g = k + p，hP を pの極大可換部分代数とする．このとき，hP + n0が可解となる巾ゼロ部分代数 n0が存在し，gは次のように分解される：

g = k + hP + n0.

[Ref. Helgason (1962); From A. Barut and R. Raczka (1986)] �

【定理 2.15 (Iwazawa分解:実半単純 Lie群)】 　 中心有限な連結実半単純 Lie群Gに対して，その Lie代数の岩沢分解を g = k + hP + n0，K , AP，N を対応するGの連結部分群とする．このとき

G = K APN

が成り立ち，各元 g ∈ GはK , AP，N に属する元を用いて一意的に表される．AP とN は単連結となる．[Ref. Helgason (1962); From A. Barut and R.

Raczka (1986)] �

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2.3 局所コンパクト群

【定義 2.16 (局所コンパクト群)】 　 局所コンパクトな位相群を，局所コンパクト群という．位相群が局所コンパクトであるためには，単位元 eがコンパクト近傍を持つことが必要十分である． �

【命題 2.17 (局所コンパクト群の性質)】 　 局所コンパクト群は次の性質を持つ：

i) 局所コンパクト群の閉部分群は，局所コンパクトである．

ii) 局所コンパクト群は σ-コンパクトな開部分群をもつ．

ii) 局所コンパクト群Gの閉部分群H による商空間G/H は，局所コンパクトかつパラコンパクトである．

iii) 局所コンパクトな群の族 {Gα}(α ∈ A)の直積∏

αGαが局所コンパクトとなるためには，{Gα} が有限個を除きコンパクトとなることが必要十分である．

�

【定理 2.18 (R.Baire’s Category Theorem)】 　 σ-コンパクトな局所コンパクト群 Gが，局所コンパクト空間X に推移的に作用し，任意の x ∈ X に対して g �→ gxにより定義される写像 φx : G → X が連続であるとする．このとき，任意の点 x0 ∈ Xに対してその点の等方群をH0とすると，φx0は同相写像φ∗x0

: G/H0 → Xを引き起こす．特に，σ-コンパクトな局所コンパクト群Gから別の局所コンパク群Kの上への連続な代数的同型写像は同相写像である． �

【定義 2.19 (Haar measure)】 　 位相群 G上の正の正則 Borel測度 μが，Gの右作用（左作用）に対して不変であるとき，右（左）不変測度ないし右（左）Haar測度という． �

【定理 2.20 (A.Weyl:Haar measureの存在)】 　 任意の局所コンパクト群上には，ゼロでない右不変測度および左不変測度が，定数倍の自由度を除いて一意的に存在する． �

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【定義 2.21 (Modular function)】 　 群Gの任意の元 gに対して，右不変測度 μ

の左移動は再び右不変測度となる：

(Lg−1μ)(E) := μ(gE) = Δ(g)μ(E).

このとき，比例係数Δ(g)は，Δ(g1g2) = Δ(g1)Δ(g2) より群Gの正実表現となり，モジュラー関数とよばれる．特に，Δ(g) ≡ 1となる群は，ユニモジュラー群とよぶ． �

【定理 2.22】 　可換な局所コンパクト群およびコンパクト群は，ユニモジュラー群である．すなわち，両側不変なHaar測度を持つ． �

【定理 2.23 (Mackeyの分解定理)】 　 Gを可分な局所コンパクト群，Kをその閉部分群とする．このとき，GのBorel集合 Sが存在して，Gの任意の元 gは一意的な次の分解を持つ：

g = ks, k ∈ K, s ∈ S.

[Mackey, G.W. (1952) Ann. Math. 55: 101-139] �

2.4 コンパクトLie群

【定義 2.24 (コンパクト Lie代数)】 　 Lie代数Lに正定値の内積< X, Y >で

< [X, Y ], Z > + < Y, [X,Z] >= 0 ∀X, Y, Z ∈ L

となるものが存在するとき，gはコンパクトであるという． �

【定理 2.25】 　コンパクト Lie代数 gは，中心N および単純イデアル S1, · · · , Snをもちいて次のように直和分解される：

g = N ⊕ S1 ⊕ · · ·Sn.

�

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【定理 2.26】 　コンパクトLie群の Lie代数はコンパクトである．特に連結コンパクト Lie群Gは，連結な中心G0および連結な単純 Lie部分群G1, · · · , Gnの直積として表される：

G = G0 ×G1 × · · · ×Gn.

�

【定理 2.27】 　任意の複素半単純Lie代数 gはコンパクトな実型をもつ．すなわち，gはあるコンパクトな実 Lie代数の複素化と同型である． �

2.5 半単純Lie群

2.5.1 基本的性質

【定理 2.28 (Cartanの判定条件)】 　 Lie代数が半単純であるための必要十分条件は，そのKilling形式が非退化となることである． �

【定理 2.29 (自己同型群)】 　 半単純 Lie代数 gの微分作用素Dは常に適当なX ∈ gを用いてD = ad(X)と表される．したがって，gの自己同型群Aut(g)

の単位元を含む連結成分は，内部自己同型群 I(g)と一致する． �

2.5.2 複素半単純Lie代数の構造

【定義 2.30 (Cartan部分代数:一般)】 　 体K上の Lie代数 gの部分代数 hが，i)

hはベキ零であって，ii)hの gにおける正規化部分代数が hと一致するとき，h

をCartan部分代数という． �

【定義 2.31 (正則元)】 　 Lie代数 gの元Xに対して，g(X) := ∪n∈N ker(ad(X))n

とおくとき，dim g(X)が最小となる gの元Xを gの正則元という． �

【定理 2.32 (Cartan部分代数の存在と一意性)】 　 ([松島 65])

i) X0を Lie代数 gの正則元とするとき，g(X0)は g のCartan部分代数である．

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ii) gを代数的閉体K 上の Lie代数とする．このとき，gの任意の Cartan部分代数は正則元を含む．さらに，h, h′ を gの２つの Cartan部分代数とするとき，h′ = A(h)となる gの自己同型Aが存在する．

�

【定理 2.33 (Cartan部分代数の判定条件)】 　 複素半単純Lie代数 gに対して，h

がそのCartan部分代数であるための必要十分条件は，hが極大可換部分代数でかつ半単純，すなわち hの g上への adjoint表現が完全可約であることである．

�

【注 2.34 (複素半単純 Lie代数のCartan部分代数)】 　 gを複素半単純 Lie代数とすると，その任意のCartan部分代数 hは，Ann(X) := {Y ∈ g | [X, Y ] = 0}の次元が最小となり，ker(ad(X)2) = ker(ad(X)となる適当な元X を用いてh = Ann(X)と表される． �

【定義 2.35 (ルート)】 　 Lie代数 gのCartan部分代数を hとするとき，ad(h)の固有値

[X,Eα] = α(X)Eα, ∀X ∈ h

により決まる，hの双対空間 h∗の元αをルートと呼び，対応する固有空間を gα

と表す．また，ゼロでないルートの全体をΔ(⊂ h∗)と表す． �

【定理 2.36 (ルート分解の性質)】 　 gを複素半単純 Lie代数とする．このとき，次が成り立つ：

i) α ∈ Δなら，gαは１次元である．

ii) gはg = h ⊕

∑α∈Δ

gα

と直和分解される．

iii) gのキリング形式 κは h上で非退化である．

iv) Δは h∗を張る．Δにより生成される実線形部分空間を h∗Rとすると，キリング

形式 κは h∗R上で正定値である．

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v) α, β ∈ Δに対して，α + β = 0ならば，gαと gβはキリング形式 κに関して直交する．また，hと gαも直交する．

�

【定義 2.37 (Cartan計量)】 　 複素半単純 Lie代数 gに対して，h上のキリング形式 κから誘導される h∗上の内積を (α, β)として，α, β ∈ h∗に対して，

< β, α >>:= 2(β, α)

(α, α)

とおく．また，h∗から hへの線形写像 α �→ Hαを

β(Hα) = (β, α) ∀β ∈ h∗

により定義する．このとき，定義より (α, β) = (Hα, Hβ)がなりたつ． �

【定理 2.38 (ルート系の性質とWeyl基底)】 　 複素半単純 Lie代数 gに対して，次が成り立つ：

i) α ∈ Δなら−α ∈ Δ，かつm = ±1に対して，mα ∈ Δ．

ii) β = ±αとなる α, β ∈ Δに対して，p, qをそれぞれ β − pα, β + qα ∈ Δとなる最大の非負整数とする．このとき，−p ≤ m ≤ qとなる任意の整数mに対してβ +mα ∈ Δ，かつ p− q =< β, α >が成り立つ．

iii) （Weyl基底) gαの基底Eαとして，

[Eα, Eβ] =

⎧⎪⎨⎪⎩Hα (β = −α)

Nα,βEα+β (α + β ∈ Δ)

0 (α + β ∈ Δ, = 0)

となるものが取れる．ここで，p, qを ii)の非負整数として，Nα,βは次の条件を満たす数である：

N2α,β =

q(p+ 1)

2(α, α), Nα,β = −N−α,−β.

iv) α, β ∈ Δに対して，< α, β >>は 0,±1,±2,±3のいずれかの整数である．

�

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【定義 2.39 (単純ルートと基本ルート系)】 　 ルート系Δの部分集合Πが次の性質を持つとき，ΠをΔの基本系，その元を単純ルートと呼ぶ：

i) Πは h∗Rの基底となっている．

ii) どのルートもΠの元の整数係数の一次結合で表される．しかも，その係数はすべて非負か，すべて非正である．

基本系が存在するとき，Πに関する展開係数がすべて非負のものを正ルート，すべて非正のものを負ルートとよび，その集合をそれぞれΔ+，Δ−と表す (Δ =

Δ+ ∪ Δ−)． �

【定義 2.40 (ルート系の既約性)】 　 ルート系 Δが互いに直交する部分集合Δ1,Δ2(Δ = Δ1 ∪ Δ2)に分解できないとき，既約であるという． �

【定理 2.41 (複素半単純Lie代数の分類定理)】 　 複素半単純Lie代数 gのルート系Δは基本系を持つ．gが既約であための必要十分条件は，Δが既約であることである．複素単純 Lie代数の同値類は，既約なルートの基本系に対する次の

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Dynkin図式で分類される：

An

Bn

Cn

Dn

E6

E7

E8

F4

G2

�

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2.5.3 実単純Lie代数の分類

【定理 2.42】 　すべての実単純 Lie代数Lrは，共通部分を持たない次の２つのクラスに分類される：

A. Lrの複素化L = (Lr)Cが複素単純 Lie代数となるもの．すなわち，複素単純

Lie代数の実型．

B. 複素単純 Lie代数L と実 Lie代数と見なしたもの．

クラスBの実単純 Lie代数Lr∼=R L の複素化は単純でなく，(Lr)

C ∼= L ⊕ L

と直和分解される．ここで，L は (Lr)Cにおける複素共役である．Lrの元は

X + Xと表される．[BR86] �

【定理 2.43】 　すべての複素半単純 Lie代数はコンパクトな実型をもつ．[BR86]

�

【定理 2.44】 　複素半単純 Lie代数L の互いに同型でないすべての実型は次の手続きで得られる．[BR86]

1. LkをL のコンパクトな実型として，その同値でない involutive automorphism

Sをすべて求める．

2. 各 Sに対して，P± = (1 ± S)/2とおくと，(P+ + iP−)Lkが Sに対応する実型を与える．

�

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3 Lie代数とLie群の表現

3.1 線形表現の一般論

【定義 3.1 (線形表現)】 　 局所凸複素線形位相空間 V の有界作用素の全体をB(V )，その可逆元の作る部分集合をB×(V )．また，V がBanach空間のとき，ユニタリ作用素の全体をU (V )とする．位相群GからB×(V )への代数的準同型 g �→ Tgが強連続，すなわち任意の v ∈ V に対してG → Tgvが連続なとき，組R = (V, T )をGの V への線形表現という．特に，V がHilbert空間のとき，Tg ∈ U (V )(∀g ∈ G)となる線形表現をユニタリ表現という． �

【定義 3.2 (既約表現)】 　 局所凸線形位相空間 V の有界作用素の族A(⊂ B(V )

に対して，V の線形部分空間L に対してAL ⊂ L となるとき，A 不変空間という．特に，群Gの線形表現 (V , T )に対して，{Tg | g ∈ G}の不変空間をG

不変空間という．さらに，有界作用素の族 Aが既約とは，V の閉 A不変空間が {0}と V 以外の存在しないことをいう．特に，{Tg}が既約なとき，Gの表現 (V , T )が既約であるという． �

【定理 3.3 (実代数とその複素化の複素解析的表現の関係)】 　 実代数A の複素表現が複素既約であることと，それから誘導されるA の複素化A Cの複素解析的表現が複素既約であることは同値である． �

【定理 3.4 (実代数の実既約表現と複素既約表現の関係：有限次元)】 　 実代数A

の有限次元実線形空間V への表現 ρ : A � V が実表現として既約の時R-既約，V が複素構造 J をもち Jρ(a) = ρ(a)J ∀a ∈ A が成り立ち，V が自明なものを除いて J 不変な ρ-不変部分空間を持たないとき J-既約と呼ぶことにする．

1) V が複素構造Jをもち，ρ : A �V がJ-表現とする．このとき，ρの複素化 ρC :

A �V Cは i-可約かつJ-可約で，２つの表現 ρ±の直和となる：ρC ∼=R ρ+ ⊕ρ−．ρ，ρ±の間には，ρ+

∼=R ρ− ∼=R ρおよび ρ+∼=C ρ, ρ− ∼=C ρが成り立つ．

2) V が複素構造をもち，ρ : A � V が J-既約であるがR-可約であるとする．このとき，ρは互いにR同値なR-既約な実表現 ρ1

∼=R ρ2の直和 ρ = ρ1 ⊕ ρ2に分解され，ρ ∼=C ρ

C

1 となる．

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3) A のR-既約表現は，その複素化がC-可約なものとC-既約なものの２つのクラスに分類される．前者は，すべてA のC-既約のうちR-既約なものをR-表現と見なしたものとして得られ，同じR-既約表現に対応するC-表現はC-同値でなければ互いに複素共役である．一方，後者はすべてA のC-既約のうちR-可約なもののR-既約成分として得られ，もとのC-既約表現はその複素化とC同値である．

�

【定理 3.5 (複素Lie群とその実型の複素表現)】 　 複素 Lie群Gの複素解析表現が既約であるための必要十分条件は，Gの実型への制限が既約であることである． �

【定理 3.6 (実 Lie群の実表現と複素表現の関係)】 　 実 Lie群Gの実線形表現を (ρ, V )，それから誘導される複素表現を (ρ, V C)とする．(ρ, V C)が既約なら，(ρ, V )は既約である．逆に，(ρ, V )が既約であるとき，(ρ, V C)が既約であるための必要十分条件は，(ρ, V )自身が複素表現の構造を持たないこと，すなわちV の複素構造 J で ρと可換なものが存在しないことである．(ρ, V )が既約複素表現 (ρ′,W )と実表現として同型であるとき，(ρ, V C)は (ρ′,W )と同型な複素表現とその複素共役表現の直和となる． �

【定理 3.7 (実 Lie群の実既約表現)】 　 実 Lie群Gの複素既約表現が実表現として可約なら，実表現として同型な既約表現の直和に分解され，もとの複素表現は実既約成分の複素化と同型である．このようにして得られる実既約表現はもとの複素既約表現が複素同型なら実同型である．したがって，実 Lie群Gのすべての実既約表現は互いに同値でないつぎの２つのクラスに分類される．

1) Gの複素既約表現で実表現としても既約なもの．互いに複素同型でない複素既約表現からこのようにして得られる実表現が同値となることがある．

2) 実表現として可約なGの複素既約表現の実既約成分．

�

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【注 3.8 (実 Lie群の複素既約表現の分類)】 　 上記の定理より，実 Lie群の複素既約表現はその複素化の複素既約表現と一対一に対応する．実単純Lie群Grが複素単純 Lie群Gの実型の場合，後者はGの複素解析的既約表現と一対一に対応する．一方，Grが複素単純Lie群Gを実Lie群と見なしたものの場合は，Gr

の複素化はGと同型な複素単純 Lie群G1とG2の直積となり，GrのGへの埋め込みは，GからG1への複素同型とG2への複素半同型の積となる．したがって，Grの複素既約表現は，Gの複素解析的既約表現と複素半解析的既約表現のテンソル積で与えられる． �

【定理 3.9】 　Gを単連結 Lie群，T をGの有限次元既約表現，N をGの連結可解正規部分群とする．このとき，N の任意の元 nに対して

Tn = χ(n)I

が成り立つ．ここで，χ(n)は次の性質をもつN の指標である．

χ(g−1ng) = χ(n).

�

【定理 3.10】 　単連結 Lie群Gの極大可解正規部分群をR，Gの半単純 Levi因子をGsとする (G = R � Gs)．このとき，Gの任意の有限次元既約表現T は，Gs上で恒等的に１となり χ(g−1rg) = χ(r)(∀g ∈ G, ∀r ∈ R)を満たすGの指標χと半単純群Gsのある既約表現 Tsを用いて，T = χ⊗ Tsと表される． �

3.2 可換群

【定理 3.11】 　可換群の複素既約ユニタリ表現はすべて１次元である． �

【定義 3.12 (可換群の指標)】 　 可換な局所コンパクト群Gに対して，G上の複素連続関数 χで

χ(g1g2) = χ(g1)χ(g2), |χ(g)| = 1

を満たすものを指標という．指標の全体 Gは再び局所コンパクト可換群とり，指標群と呼ばれる． �

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【定理 3.13 (Stone, Naimark, Ambrose, Godementの定理)】 　 Tgを局所コンパクト可換群Gのユニタリ表現とすると，Tgは指標群 G上の適当なスペクトル測度Eを用いて

Tg =

∫G

χ(g)dE(χ)

と表される． �

3.3 可解群

【定理 3.14 (Lie)】 　 連結可解位相群の有限次元既約複素表現は１次元表現のみである．[BR86] �

【定理 3.15】 　連結可解位相群の有限次元表現 (T, V )は，dim V = rとするとき，指標列χ1, · · · , χrを対角成分とする下方三角型行列による成分表示を持つ：[BR86]

Tg =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

χ1(g)

χ2(g) 0·

·∗ ·

χr(g)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

�

3.4 半単純Lie群

【定理 3.16】 　連結非コンパクト半単純 Lie群は自明なものを除いて，忠実な有限次元ユニタリ表現を持たない． �

【定理 3.17】 　連結半単純 Lie群の有限次元表現は完全可約である． �

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3.5 複素半単純Lie代数の有限次元既約表現

3.5.1 ウェイト系の方法

以下，gを複素半単純Lie代数，Δをルート系，Πをその基本系，gのルート分解を

g = h ⊕∑α∈Δ

gα,

とする．

【定義 3.18 (ウエイト)】 　 (ρ, V )を gの線形表現とする．λ ∈ h∗に対して，Vの線形部分空間 Vλを

Vλ = {v ∈ V | ρ(X)v = λ(X)v ∀X ∈ h}

で定義し，Vλ = 0のとき λを表現 ρのウエイトという．ρのウエイトの全体をΛρと書く． �

【定理 3.19】 　 (ρ, V )を gの線形表現とするとき，α ∈ Δ，λ ∈ Λρ に対して，

ρ(gα)Vλ ⊆ Vλ+α.

特に，V が有限次元のとき，λ+ α ∈ Λρならば，ρ(gα)Vλ = 0． �

【定理 3.20 (ウエイト系の性質)】 　 (ρ, V )をgの有限次元表現とするとき，α ∈ Δ，λ ∈ Λρに対して，λ +mα ∈ Λρとなる最大の整数mを q, 最小の整数を−pとすると，−p ≤ m ≤ qとなる任意の整数mに対して λ+mα ∈ Λρで，しかも次の式が成り立つ：

p− q =< λ, α > .

特に，< λ, α >は整数で，λ− < λ, α > α ∈ Λρ． �

【定義 3.21 (巡回表現と原始ベクトル)】 　 複素半単純 Lie代数 gの線形表現(ρ, V )に対して，あるウェイト λ ∈ Λρとベクトル v ∈ Vλが存在して，

ρ(gα)v = 0, ∀α ∈ Δ+

が成り立ち，かつ vを含む ρ不変な V の真部分空間が存在しないとき，(ρ, V )

を (λ, v)-巡回表現，vを原始ベクトルと呼ぶ． �

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【定義 3.22 (最高ウエイト)】 　 gのCartan部分代数 hの双対空間 h∗に，

μ ≥ ν ⇔ μ− ν =∑αi∈Π

kiαi, ki ≥ 0

により半順序を定義する．ことのき，線形表現 (ρ, V )のウエイト系Λρ において，≥に関する最大ウェイトλが存在するとき，λを最高ウエイトという． �

【定理 3.23 (巡回表現の性質)】 　 (ρ, V )を gの（有限ないし無限次元の）(λ, v)-

巡回表現とする．このとき，次の性質が成り立つ：

i) λは最高ウエイトで，Π = {α1, · · · , αl}とするとき，任意のウエイトω ∈ Λρは非負の整数m1, · · · , ml を用いて，ω = λ−m1α1 − · · · −mlαlと表される．

ii) すべてのウエイトω ∈ Λρに対して，Vωは有限次元である．さらに，dim Vλ = 1

である．

iii) Δ− = {β1, · · · , βN}とするとき，V は，k1, · · · , kNを非負整数として，ρ(Eβ1)k1 · · · ρ(EβN

)kNv

の形の元で生成される．特に，V は Vω(ω ∈ Λρ)の直和である．

iv) V の ρ不変部分空間 U で，ρが V/U 上既約となるものが一意的に存在する．

�

【定理 3.24 (既約巡回表現の存在および最高ウエイトとの対応)】 　任意のλ ∈ h∗

に対して，λを最高ウエイトとする gの既約巡回表現が存在する．さらに，gの２つの（有限ないし無限次元）既約巡回表現が同値であるための必要十分は，最高ウエイトが一致することである． �

【定理 3.25 (既約表現と巡回表現の対応)】 　 gの（有限ないし無限次元の）既約表現 (ρ, V )が最高ウエイトを持てば，(ρ, V )は巡回表現である．とくに，有限次元既約表現は必ず巡回表現である． �

【定義 3.26 (基本整ウエイト，支配的整ウエイト)】 　 ルートの基本系 Π =

{α1, · · · , αl}に対して，Cartan行列Cij :=< αi, αj >を用いて

λi :=∑j

(C−1)ijαj

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により定義される h∗の基底 λi(i = 1, · · · , l)を基本整ウエイトと呼ぶ．さらに，λ ∈ h∗が非負整数m1, · · · , mlを用いて λ = m1λ

1 + · · ·+mlλlと表されるとき，

λを支配的整ウエイトと呼び，その全体をΛ+と表す．λ ∈ Λ+は，すべての単純ルートに対して< λ, αi >が非負整数となることと同等である． �

【定理 3.27 (有限次元既約表現と支配的整ウエイトの対応)】 　 λ ∈ h∗に対して，λを最高ウエイトとする gの既約表現が有限次元となるための必要十分条件は，λが支配的整ウエイト，すなわち λ ∈ Λ+となることである．したがって，gの任意の有限次元既約表現はΛ+により完全に分類される． �

【定義 3.28 (Weyl群)】 　 ルート α ∈ Δから定義される h∗の変換

σα : λ �→ λ− < λ, α > α

は，αに垂直な平面に対する反転となる．変換 σα(α ∈ Δ) の全体で生成されるh∗の有限変換群をΔのWeyl群W と呼ぶ． �

【定理 3.29 (ウエイト系のWeyl群に対する不変性)】 　 λ ∈ Λ+を最高ウエイトとする既約表現 (ρ, V )に対して，ΛρはWeyl群W で不変であり，σ ∈ W，μ ∈ Λρ

に対して，dimVμ = dimVσμ.

�

3.5.2 誘導表現の方法

【定義 3.30 (右正則表現)】 　 群Gに対して，その上の関数の集合をF (G)とする．このとき，g ∈ GにF (G)の線形変換

R : f �→ Rgf ; f ∈ F (G), (Rgf)(x) = f(xg)(x ∈ G)

を対応されることにより得られる表現を，Gの右正則表現と呼ぶ． �

【命題 3.31 (既約表現の正則表現への埋め込み)】 　 Gを位相群，g �→ TgをGの位相線形空間 V 上への既約表現とする．V の双対空間 V ∗の勝手な元 vを用いて，V からC(G)への写像Φ : u �→ fuを

fu(g) = 〈Tgu, v〉により定義する．このとき次の定理が成り立つ．[BR86]

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1. Φは一対一の線形写像で，既約表現 (T, V )をC(G)上の右正則表現の既約部分表現 (R,Φ(V ))に写す．すなわち，位相群の任意の既約表現は右正則表現の既約成分として実現される．

2. V が有限次元nを持つとき，その基底uiおよびV ∗の双対基底 viに関するTgの成分をDl

i(g) = 〈Tgui, vl〉とする．このとき，固定した lに対して，ei(g) = Dli(g)

(i = 1, · · · , n) はΦ(V )の基底となる．

�

【定義 3.32 (Gauss分解の対角因子の指標から誘導される既約表現)】 　 Lie群G

がGauss分解G = ZDZ

を持つとする．χを可解群K = Z Dの１次元表現，すなわち指標関数とし，V χ

を次のようなC(G)の線形集合とする：

V χ = {f ∈ C(G) | f(kg) = χ(k)f(g)∀k ∈ K, ∀g ∈ G} .

このとき，V χはGのC(G)上への右正則表現の不変部分空間となり，g ∈ GのGauss分解を g = ζδzとすると，f ∈ V χに対して

f(g) = f(ζδz) = χ(δ)f(z)

が成り立つ．逆に，任意の f(z) ∈ C(Z)に対して，この式により定義されたG

上の関数 f(g)は V χに属する．したがって，V χとC(Z) は一対一に対応する．この対応により得られるGのC(Z)（ないし V χ) の上への表現Rχを χから誘導された表現と呼ぶ．z ∈ Z，g ∈ Gに対して，zgのGauss分解を zg = ζ δzとおくと，Rχは具体的に

(Rχ(g)f)(z) = χ(δ)f(z)

と表される．さらに，Rχの既約成分のうち，f(z) ≡ 1を含む部分空間 V χ0 への

既約表現を，χから誘導される既約表現と呼ぶ． �

【定理 3.33 (有限次元既約表現に対するGauss分解の対角因子の指標と最高ウエイトの対応)】 　 GをGauss分解Z DZを持つ Lie群とする．このとき，Gの任意の有限次元既約表現 ρは，任意の z ∈ Zに対して ρ(z)で不変となベクトル(highest vector)u0をただ一つ持ち，任意の δ ∈ Dに対して ρ(δ)u0 = χ(δ)u0と

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なる．この指標関数 χ(highest weight)から誘導される既約表現は ρと同型となる．二つの既約表現は，対応する最高の重みが一致するとき，かつそのときにのみ同型となる．最高の重みが χのとき，既約誘導表現の表現空間 V χ

0 は

fg(z) = χ(δ); zg = ζ δz

により張られるC(Z)の部分空間となる．[BR86] �

【命題 3.34 (有限次元既約に対する指標の部分群への制限)】 　 Lie群GがGauss

分解 G = Z DZ をもち，その部分 Lie群 G0 の Gauss分解が G0 = Z0D0Z0

(Z0 = Z ∩G0, D0 = D ∩G0, Z0 = Z ∩G)で与えられるとする．このとき，Dの指標χがGの有限次元既約表現を誘導するならば，χのD0への制限χ0はG0

の有限次元既約表現を誘導する．[BR86] �

3.6 コンパクト群の既約表現：表現環

【定義 3.35】 　群G，体K に対して，G-K-加群のG-K-同値類の全体MK(G)

は [K]を単位元とする可換半環となる．そのGrothendieck環を (RK(G), φG) とするとき，RK(G)をGの体K 上の表現環と呼ぶ．K = Rのとき，RK(G)をRO(G)と，また，K = Cのとき，RK(G)を単にR(G)と表す． �

【定義 3.36】 　群Gに対して，G上のKに値を取る連続関数全体の作る可換環CK(G)において，K-指標全体の生成する部分環 chK(G)をGのK-指標環と呼ぶ． �

【命題 3.37】 　コンパクト群Gに対して，表現環RK(G)はK-指標環 chK(G)に同型で，既約G-K-加群の同値類，あるいは対応する指標を基底とする自由加群となる． �

【命題 3.38】 　コンパクト群 Gに対して，複素化写像 c : RO(G) → R(G)は単射である． �

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【定義 3.39】 　位相群Gの閉部分群 T がトーラスで，

G =⋃x∈G

xTx−1

となるとき，T を極大トーラスと呼ぶ． �

【命題 3.40】 　極大トーラスは，トーラス部分群の包含関係に関して極大である．群Gが弧状連結コンパクトLie群の時，この逆が成り立つ．特に，弧状連結コンパクト Lie群は極大トーラスを持つ． �

【定義 3.41】 　位相群Gが極大トーラス T を持つとき，T のGにおける正規化群NT (G)の T による剰余群

W (G) = NT (G)/T

をWeyl群という． �

【定理 3.42】 　Gを極大トーラス T を持つコンパクト群とする．このとき，包含写像 j : T → Gから誘導される環準同型

j∗ : RK(G) → RK(T )

は単射である．さらに，Weyl群W (G)の定義する T の同型

hωt = w−1tw ω = [w](w ∈ NT (G)), t ∈ T

から誘導される，W (G)のRK(T )への作用 h∗ωに対して不変なRK(T )の元の集合をRK(T )W (G)とすると，j∗(RK(G)) はRK(T )W (G)に含まれる．弧状連結なコンパクト Lie群に対しては

j∗(R(G)) = R(T )W (G)

である． �

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3.7 誘導ユニタリ表現

【定義 3.43 (準不変測度)】 　 Gを局所コンパクト群，Xを局所コンパクト空間とし，GがXに右から作用するとする．このとき，XのBorel測度 μが，任意の g ∈ Gに対して μg := Rgdμ ∼ dμ（同値）となるとき，μを準不変測度という． �

【定理 3.44 (準不変測度の存在)】 　 Gを局所コンパクト群，HをGの閉部分群，X = H\Gとする．

i) X 上には準不変測度で，Radon-Nikodym微分 dμg(x)/dμ(x) = dμ(xg)/dμ(x)

がG×X上の連続関数となるものが存在する．

ii) 任意の２つの準不変測度は同値である．

iii) 任意の準不変測度μは，ΔGとΔH をそれぞれG とHのモジュラー関数として，条件

ρ(hg) =ΔH(h)

ΔG(h)ρ(g) ∀h ∈ H

を満たす適当な正値局所可積分Borel関数 ρ(g)を用いて∫G

f(g)ρ(g)dg =

∫X

dμ(g)

∫H

f(hg)dh, g ≡ Hg,

と表される．ここで fは任意のG上のコンパクト台の関数である．μ は ρにより定数倍を除いて一意的に決まり，次の条件を満たす．

dμ(ga) = ωa(g)dμ(g); ωa(g) =ρ(ga)

ρ(g).

�

【定義 3.45 (誘導表現)】 　 Gを局所コンパクト群，K をその閉部分群，τ =

(H , Lk)をK のH 上へのユニタリ表現とする．右G空間X = K\G上の準不変計量をμとして，G上のH に値を取る関数u(g)で次の条件を満たすものの全体をH τ とする：

i) 任意の v ∈ H に対して，(u(g), v)はG上の関数としてBorel可測．

ii) u(kg) = Lku(g), ∀k ∈ K, ∀g ∈ G.

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iii) ‖u(g)‖ ∈ L2(X,μ).

このとき，u, v ∈ H τ に対して，(u(g), v(g))は g ∈ Xにのみ依存し μ可積となる．そこで，

(u, v) :=

∫X

(u(g), v(g))dμ(g)

により内積を定義すると，H τ は Hilbert空間となる．このとき，Gの右作用に対する μのRadon-Nikodym微分を

ωg(x) := dμ(xg)/dμ(x), x ∈ X, g ∈ G

とおくと，(Ugu)(h) := ω1/2

g (h)u(hg)

により定義されるUgはGのH τ 上へのユニタリ表現 (H τ , Ug) を与える．これをK のユニタリ表現 τ から誘導されたGのユニタリ表現といい，indGKτ と表す．同様に，左 G空間 Y = G/K とその準不変計量 ν に対して，上記の条件で

ii)を

ii)’ u(gk) = L−1k u(g)

で置き換えて得られるHilbert空間 Hτ に対して，

ωg(y) := dμ(g−1y)/dμ(y), y ∈ Y, g ∈ G,

(Ugu)(h) := ω1/2g (h)u(g−1h)

とおくと，左正則表現に対応する誘導表現 indGK τ が得られる．Gがユニモジュラーのとき，右誘導表現と左誘導表現はユニタリ同値で，

(Ju)(g) = u(g−1)

により定義される包合的ユニタリ写像 J により

JUJ−1 = U

で結ばれる． �

【注 3.46】 　誘導表現 indGKτは，Kのユニタリ表現 τ = (H , Lk)から主ファイバー束 (G,K\G,K)に随伴したH をファイバーとするベクトルバンドルH ×τ G

の大域断面の空間 Γ(H ×τ G)にGの右作用から自然に誘導される表現である．�

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【定理 3.47 (等質空間上の関数空間での表示)】 　 GのMackey分解をG = K×S �g = kgsgとおくと，対応

u ∈ H τ �→ u(g) := L−1kgu(g)

により，H τ は L2(X,μ,H )と同型となる．indKG τ は L2(X,μ,H )上で，

(Ugu)(x) = ω1/2g (x)L(x, g)u(xg)

と表される．ここで，

L(x, g) := L−1khLkhg

, x = h ∈ X = K\G

である．同様に，Mackey分解G = S ×Kに対して，対応

u ∈ H τ �→ u(g) := Lkgu(g)

により，H τ は L2(Y, ν,H )と同型となる．indKG τ は L2(Y, ν,H )上で，

(Ugu)(y) = ω1/2g (y)L(y, g)u(g−1y)

と表される．ここで，

L(y, g) := LkhL−1kg−1h

, y = h ∈ Y = G/K

である． �

【定理 3.48 (基本性質)】 　 誘導表現に対して次が成り立つ．

i) indGKτ = indGK τ（共役表現）．

ii) indGK(τ1 ⊕ τ2) = indGKτ1 ⊕ indGKτ2. さらに，一般に τ =∫τ(s)dμ(s)のとき，

indGKτ =∫

indGKτ(s)dμ(s).

iii) H ⊂ K ⊂ Gに対して，indGK(indKHτ) = indGHτ .

iv) indG1⊗G2K1⊗K2

τ1 ⊗ τ2 = indG1K1τ1 ⊗ indG2

K2τ2

�

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【定義 3.49 (imprimitivity)】 　 ρ = (H , Ug)をGのユニタリ表現，Eを右G空間X上のB(H )に値を取るスペクトル測度とする．EがXの任意のBorel集合 Zに対して

UgE(Z)U−1g = E(Zg−1), ∀g ∈ G

と変換するとき，EをXを底空間とする ρの imprimitivity系という．一般に，ユニタリ表現が imprimitivity系を持つとき，imprimitiveという．局所コンパクト群Gとその閉部分群Kに対して，その右誘導表現 indGKτ か

らX = K\G上の imprimitivity系Eτ が

(Eτ (Z)u)(g) := χZ([g])u(g)

により定義される．これを標準 imprimitivity系とよぶ． �

【定義 3.50 (Gøarding domain)】 　 U : G→ B(H )を局所コンパクト群のユニタリ表現とするとき，

DG = span

{u(φ) =

∫G

φ(g)Ugu

∣∣∣∣ u ∈ H , φ ∈ C0(G)

}で定義されるH の線形集合をGøarding domainという．DGはH で密であり，かつGの作用で不変である． �

【定理 3.51 (Imprimitivity定理)】 　 Gを局所コンパクト群，Kをその閉部分群，X = K\Gとする．Gのユニタリ表現 ρ = (H , Ug)と ∗線形写像E : C0(X) →B(H )が存在して，E[C0(X)]H はH において密で，かつ次が成り立つとする：

UgE(φ)U−1g = E(TRg φ), g ∈ G, φ ∈ C0(X).

このとき，適当なKのユニタリ表現 τ が存在して，(ρ, E) ∼= (indGKτ, Eτ )とな

る．ここで，Eτ は標準 imprimitivity系である．また，Kの二つのユニタリ表現 τ, τ ′に対して次が成り立つ：

τ ∼= τ ′ ⇔ (indGKτ, Eτ ) ∼= (indGKτ

′, Eτ ′).

�

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【定義 3.52 (正則半直積)】 　 N, Sは局所コンパクト群でN は可換群とする．半直積G = N �Sにおいて，N の指標群 N をGの共役変換によりG空間とみなす．このとき，NのG軌道の合併からなる N のBorel集合の列Z1, Z2, · · · が存在して，各G軌道が常にそれらの部分族の共通部分として表されるとき，GはN と Sの正則半直積であるという． �

【定理 3.53】 　N, Sは可分局所コンパクト群でN は可換群とする．このとき，それらの正則半直積G = N � Sの任意の既約ユニタリ表現は次のようにして得られる．まず，NのG軌道 Oとその元χを一つずつ取る．次に，Gの共役変換に対する χでの等方群をN � SOとして（O ≈ S/SO），SOの既約ユニタリ表現 τ = (H , Ls)を一つ取り，それから誘導される SのH χL = L2(O, μ; H )

上のユニタリ表現を indSSOτ = (H χL, UL

s )とする．このとき，

U(n,s)u(n) := 〈n, n〉ULs u(n), n ∈ N

とおくことにより，GのH χL上への既約ユニタリ表現が得られる．ここで，同じ軌道 O上の異なるベクトルχから得られる表現は互いにユニタリ同値であるが，異なる軌道に対応する表現は同値でない． �

3.8 Poincare群のユニタリ表現

【定理 3.54】 　

1) 固有 Poincare群の普遍被覆群G = R4 � SL(2,C)は，Gの部分群R4の既約ユニタリ表現の空間 R4 ∼= R4に自然に左から作用する：

G � (a, V ) � R4 : (a, V )p = Λ(V )p, V σaV

† = σbΛba.

この作用に関する軌道を O，Oの点 p0における等方群を H = R4 � K(K ⊂SL(2,C))とする．このとき，Gの既約ユニタリ表現は，軌道 OおよびKの既約ユニタリ表現の組と一対一に対応する．K の既約ユニタリを L : K � H ，H に値を取り，O ∼= G/K の普遍測度 μに関して２乗可積分可能な関数の集合をH = L2(O, H;μ)，KのMackey分解を SL(2,C) = SK � g = sgkgとするとき，対応するGの既約ユニタリ表現U : G� H の具体的な表式は

(Ugv)(p) = eip·aLkhL−1kg−1h

v(g−1p)

で与えられる．ここで，hは p = h ∈ SL(2,C)/K ∼= Oとなる SL(2,C)の元である．

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2) 具体的なGの既約ユニタリ表現の表現は，軌道 Oのタイプに応じて次の７つのファミリーに分類される：(p ∈ O)

1◦ O+m: p2 = −m2(m > 0), p0 > 0; K = SU(2).

Um,+;j � C2j ⊗L2(O+m;μ) (m > 0, j = 0, 1/2, 1, · · · )：V ∈ SL(2,C)は一意

的に

V = VpW ; W ∈ SU(2),

Vp =

(γ + 1

2

)1/2(1 +

γ

γ + 1βjσj

); p = (mγ,mγβ)

と分解される．SU(2)の既約表現をDjとして，

(Um,+;j(a,V ) v)(p) = e−ip·aDj(W )v(Λ−1(V )p); W = V −1

p V VΛ(V )p ∈ SU(2).

D(j,0)をDjに対応するスピノール表現として

ψ(p) := D(j,0)(Vp)u(p)

とおくと，(Um,+;j

(a,V ) ψ)(p) = e−ip·aD(j,0)(V )ψ(Λ−1(V )p).

2◦ O−m: p2 = −m2(m > 0), p0 < 0; K = SU(2).

Um,−;j � C2j ⊗L2(O

+m;μ) (m > 0, j = 0, 1/2, 1, · · · ): 表現の表式は Um,+;j

と同じ．

3◦ Oim: p2 = m2(m > 0); K = SL(2,R): 表現空間は，H ⊗ L2(Oim;μ)．ここで，HはKの表現空間で，一般にある空間上の関数空間として表される．V ∈ SL(2,C)は

V = VpW ; W ∈ SL(2,R),

Vp =

[cos

θ

2+ i sin

θ

2(sinφσ1 − cos φσ2)

](cosh

ψ

2+ sinh

ψ

2

);

p/m = (sinhψ, coshψ sin θ cosφ, coshψ sin θ sinφ, coshψ cos θ)

と分解される．ここで，

Vpσ3V†p = (1/m)paσa; p

2 = m2.

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この分解を用いて，

(U(a,V )v)(p, x) = e−ip·aD(W )v(W ∗ x,Λ−1p);

W = V −1p V VΛ(V )p =

(α β

γ δ

)∈ SL(2,R),

W ∗ x =αx+ γ

βx+ δ.

K = SL(2,R)の既約表現に対応して，３種類の既約表現が存在する．

i) U im;iσ,ε ( m > 0, σ ≥ 0, ε = 0, 1): Kの表現空間は

H = L2(R; dx),

D(W )は

Diσ,ε(W ) = |βx+ δ|−iσ−1

(βx+ δ

|βx+ δ|)ε.

ii) U im;n,±( m > 0, n = 0, 1, 2, · · · ): K の表現空間 H は複素上半平面上の複素関数の空間で，内積は

(u, v) =i

2πΓ(n)

∫Im z>0

u(z)v(z)(Im z)n−1dzdz.

D(W )はDn(W ) = (βz + δ)−n−1.

iii) U im;ρ(m > 0,−1 < ρ < 1, ρ = 0): K の表現空間 H はR上の関数の空間で，内積は

(u, v) =1

Γ(−ρ)∫

R2

|x1 − x1|−1−ρu(x1)v(x2)dx1dx2.

D(W )はDρ(W ) = |βx+ δ|ρ−1.

4◦ O+0 : p2 = 0, p0 > 0. K = R

2� S1 （2次元Euclide群の連結成分の２重被

覆）．このとき，V ∈ SL(2,C)は次のように分解される：

V = VpW ; W =

(eiθ/2 e−iθ/2z

0 e−iθ/2

)∈ K, (0 ≤ θ < 4π)

Vp =

(x 0

w 1/x

); p0 + p3 = x2, p0 − p3 = |w|2, p1 + ip2 = xw,

Vp(1 + σ3)V†p = 2paσa.

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i) U0,+;j � L2(O+0 ; dμ) (j = 0, 1/2, 1, · · · ):

(U0,+;j(a,V )u)(p) = e−ip·aeijθ(W )u(Λ−1p);

W = V −1p V VΛ−1p ∈ K.

ii) U0,+;r,ε � L2(S1; dφ) ⊗ L2(O

+0 ; dμ) (r > 0, ε = 0, 1).

(U0,+;r,ε(a,V ) u)(p, z) = e−ip·aeiz·z(W )(−1)ε∗f(W,z)(Λ−1p, e−iθ(W )z); (|z| = r),

f(W, z) = 0(0 ≤ θ(W ) − arg(z) < 2π, f(W, z) = 1(2π ≤ θ(W ) − arg(z) < 4π).

5◦ O−0 : p2 = 0, p0 < 0. K = R2 � S1

i) U0,−;j � L2(O−0 ; dμ) (j = 0, 1/2, 1, · · · ):

ii) U0,−;r,ε � L2(S1; dφ) ⊗ L2(O

−0 ; dμ) (r > 0, ε = 0, 1).

6◦ O00: p = 0. K = SL(2,C). この場合は，SL(2,C)の既約ユニタリ表現に帰着される：

i) U0,0;iρ,j (m = 0, p0 = 0, ρ ≥ 0, j = 0, 1/2, 1, · · · ).i) U0,0;ρ (m = 0, p0 = 0,−1 < ρ < 1, ρ = 0).

�

3.9 包絡環

3.9.1 定義と基本性質

【定義 3.55 (包絡環)】 　 体K上のLie代数 gに対して，gの体K上のテンソル代数を T とする．X ⊗ Y − Y ⊗X − [X, Y ] (X, Y ∈ g)の形の元から生成される T の両側イデアルを J として，U(g) := T/J により定義されるK 上の代数を gの包絡環 (universal enveloping algebra)という． �

【命題 3.56 (包絡環の基本性質)】 　 体K上の Lie代数 gに対して，その包絡環を U(g)と表す．

i) gの部分代数 hの包絡環は，1と hから生成される U(g)の部分代数に同型である．

36 目次へ

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ii) 体K上の２つのLie代数 g1, g2の直和 g1 +g2の包絡環は，テンソル積U(g1)⊗K

U(g2)と同型である．

iii) gのイデアルaに対し，aが生成するU(g)の両側イデアルをAとすると，U(g)/A ∼=U(g/a)が成り立つ．

[From 数学事典] �

【定理 3.57 (Poincare-Birkhoff-Wittの定理)】 　 Lie代数 gの包絡環を U(g)とする．gの基底X1, · · · , Xnに対し，その単項式の全体{

X i11 · · ·X in

n

∣∣ i1, · · · , in ≥ 0}

は，U(g)の基底となる．また，その対称化の全体⎧⎨⎩e{i1···ir} :=1

r!

∑σ∈S(r)

Xiσ(1)· · ·Xiσ(r)

∣∣∣∣∣∣ r = 0, 1, · · · , 1 ≤ i1, · · · , ir ≤ n

⎫⎬⎭も基底となる．[From 数学事典，A. Burut and R. Raczka (1986)] �

【命題 3.58 (Lie代数の表現と包絡環の表現の対応)】 　 Lie代数 gの体K 上の任意の表現 (ρ, V )は，その包絡環の表現 (ρ, V )に一意的に拡張され，ρが既約（完全可約）であることと ρが既約（完全可約）であることとは同等である．また，gの２つの表現 ρ1, ρ2が同値であることと ρ1と ρ2が同値であることは同等である．[From 数学事典] �

3.9.2 不変作用素

【定義 3.59 (不変作用素)】 　 Lie代数 gに対し，その包絡環の中心に属する元を不変作用素という． �

【定義 3.60 (不変テンソル)】 　 Lie群Gの有限次元線形表現 (ρ, V )に対して，Vの反変テンソル gi1···ir が

ρ(h)i1j1 · · · ρ(h)irjrgj1···jr = gi1...ir , ∀h ∈ G

37 目次へ

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を満たすとき，gi1···ir を ρに対する r階（反変）不変テンソルという．同様に，共変テンソル gi1···ir が

gj1···jrρ(h)j1i1· · · ρ(h)jrir = gi1...ir , ∀h ∈ G

を満たすとき，gi1···ir を ρに対する r階（共変）不変テンソルという． �

【定理 3.61 (不変作用素と不変テンソルの対応 [Gel’fand)】 　] Lie代数 gの包絡環 U(g)の要素 P

P = cI +∑i

giXi +∑ij

gijXiXj + · · ·

が U(g)の中心に属するための十分条件は，gi, gij, · · · が gの随伴群（の随伴表現）に対する不変テンソルとなることである．さらに，これらの係数テンソルが対称テンソルのときには，この条件は必要十分である．[From A. Burut and

R. Raczka (1986)] �

【定理 3.62 (不変作用素の生成元：半単純Lie代数)】 　 ランク rの半単純 Lie代数 gに対して，r個の多項式型不変作用素が存在し，その固有値の組によりgのすべての有限次元既約表現が完全に分類される．[Ref. Chevalley (1955); From

A. Burut and R. Raczka (1986)] �

3.9.3 GL(n)

【命題 3.63 (GL(n)の不変テンソル)】 　 GL(n,C )およびその任意の実型の随伴表現に対する不変テンソルは

gi1j1 · · · ipjp = δi1

j1 · · · δipjp

に比例する． �

【定理 3.64 (不変テンソルの値)】 　 最高ウエイトmをもつU(n)の既約表現の表現空間をHmとする．このとき，不変テンソル

Cp = Ei2i1Ei3

i2 · · ·Ei1 ip (3.1)

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のHm上での値はCp(m1, · · · , mn) = Tr(apE) (3.2)

と表される．ここで，a = (aij)およびE = (Eij)は次の n次正方行列である：

aij = (mi + n− i)δij −Qij , (3.3)

Qij =

{1 for i < j,

0 for i ≥ j., (3.4)

Eij = 1. (3.5)

また，mの関数として，C1, C2, · · · , Cnは独立であり，任意のCpはこれらの関数に従属する．[From A. Burut and R. Raczka (1986)] �

【定理 3.65 (不変作用素の生成母関数)】 　 複素関数

Π(z) :=n∏i=1

(1 − z

1 − λiz

); λi = mi + n− i (3.6)

により定義される関数

G(z) := z−1 (1 − Π(z)) (3.7)

は，不変作用素の既約表現上での値に対する生成母関数となる：

G(z) =∞∑p=0

Cp(m1, · · · , mn)zp. (3.8)

[From A. Burut and R. Raczka (1986)] �

3.9.4 SU(n)

【定理 3.66 (SU(n)の不変作用素とスペクトル)】 　 SU(n)の Lie代数の標準基底 hi (i = 1, · · · , n− 1), Ea

b (1 ≤ a = b ≤ n)に対して

Eii = hi − 1

n

n−1∑j=1

hj, Enn = −1

n

n−1∑j=1

hj, (3.9a)

Eab = Ea

b (1 ≤ a = b ≤ n) (3.9b)

39 目次へ

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とおくとき，SU(n)の不変作用素は

Cp := Ei2i1Ei3

i2 · · · Ei1 ip−1 (3.10)

の線形結合で表される (C1 ≡ 0)．さらに，最高ウエイト m (m1 ≥ m2 ≥· · ·mn−1 ≥ 0)の既約表現に対するその固有値は，GL(n)に対する不変作用素C

GL(n)p を用いて

Cp(m) = CGL(n)p (m1, · · · , mn) (3.11)

とあらわされる．ここで，

mi = mi − 1

n

n−1∑j=1

mj , mn = −1

n

n−1∑j=1

mj . (3.12)

C2, · · · , Cnは互いに独立で，SU(n)の不変作用素を生成する． �

3.9.5 SO(n)

ここでは，4.7.1 で説明した方法で SO(n)を SL(n)に埋め込んで考える（SO(n)と表す）．さらに，添え字を SO(2r + 1)に対して I = 1, 2, · · · , r, 0,−r, · · · ,−2,−1,

SO(2r)に対して I = 1, 2, · · · , r,−r, · · · ,−2,−1と取ることにし，この添え字の元でEa

bに対応する行列（ないしGL(n)の Lie代数の基底）を EIJ と書くことにすると，

SO(n)の Lie代数はXJ

I = EJI − E−I−J (3.13)

により生成される．ただし，XJI は独立でなく関係式

XJI = −X−I−J (3.14)

を満たす．この記法を用いると，SO(2r)および SO(2r+ 1)の Lie代数の標準基底は次のように表される：

hj = Xjj , (3.15a)

Ej+k+ = Xj−k, Ej+k− = Xj

k, Ej−k+ = Xkj, Ej−k− = X−kj , (3.15b)

Ej+ = iXj0, Ej− = −iX0

j . (3.15c)

また，XIJ は SO(n)のベクトル表現に対する (1, 1)型のテンソル作用素となる．交

換関係は[XI

J , XKL] = δJKXI

L − δiLXKJ − δ−IK X−JL + δJ−LXK

−I . (3.16)

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【定理 3.67 (SO(n)の不変作用素とスペクトル)】 　 SO(n)に対して，

Cp := XI2I1XI3

I2 · · ·XI1Ip (3.17)

は不変作用素となり，その最高ウエイトm = (m1, · · · , mr)の既約表現に対する値は，

aIJ = (mI + rI + α)δIJ +β

2(1 + εI)δI,−J − θJI , (3.18)

θJI =

{1 for J < I,

0 for J ≥ I(3.19)

により定義される行列 a = (aIJ)を用いて

Cp(m1, · · · , mr) = Tr(apE) (3.20)

と表される．ただし，εr,r−1,··· ,−r+1,−r = −1，α, β, rI は表 1 に示された値である．また，m−i = −mi (i = 1, · · · , r), εI = 0(I = 0), 1(I > 0),−1(I < 0)である．SO(2r + 1)については，これらのうち，C2, C4, · · · , C2rが不変作用素の生成元となる．一方，SO(2r)に対しては

C ′r :=

∑εI1J1···IrJrX

I1J1 · · ·XIrJr (3.21)

も不変作用素となり，その値は

C ′r(m1, · · · , mr) = (−1)r(r−1)/22rr!(m1 + r1) · · · (mr + rr). (3.22)

ここで，XIJ = X−IJ．C2, · · · , C2r−2, C′rは SO(2r)の生成元となる． �

群 α β rI IのレンジSU(n) n−1

20 n+1

2− I 1, 2, · · · , n

O(2r + 1) n− 12

1 (r + 12)εI − I 1, · · · , r, 0,−r, · · · ,−1

Sp(2r) r −1 (r + 1)εI − 1 1, · · · , r,−r, · · · ,−1

O(2r) n− 1 1 rεI − I 1, · · · , r,−r, · · · ,−1

表 1: 不変作用素のスペクトルバラメーター

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4 古典群n次正方行列代数M(n)の基底Ea

b (a, b = 1, . . . , n)を

(Eab)ij = δiaδ

bj (4.1)

により定義する．このとき，Ea

bEcd = δbcEa

d (4.2)

が成り立つ．また、任意のM = (M ij) ∈ GL(n)に対して，

M−1EabM = (M−1)caM

bdEc

d (4.3)

と変換する。すなわち、EabはGL(n)の自然なF n表現 (F = R,C)に対して (1, 1)型テンソル作用素となっている．

注： 対応

Z = X0 + iX1 ∈M(n,C) �→ X =

(X0 −X1

X1 X0

)∈M(2n,R) (4.4)

はR-代数としての同型対応を与える．この対応において，

detX = | detZ|2. (4.5)

同様に

X = Z0 + jZ1 ∈M(n,H) �→ Z =

(Z0 −Z1

Z1 Z0

)∈M(2n,C) (4.6)

はR-代数としての同型対応を与える．この対応の像Zは，次の条件により特徴づけられる：

ZJ = JZ; Z ∈M(2n,C) (4.7)

ここで，

J =

(0 In

−In 0

)∈ GL(2n). (4.8)

これより，detZ ∈ R. (4.9)

【命題 4.1】 　 Z ∈ GL(2n,C)が JZ = ZJ を満たすなら，detZ ≥ 0となる．特に，

GL(n,H) ∼= R+ × SL(n,H) (4.10)

が成り立つ． �

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4.1 古典群の定義

4.1.1 GL(n, F )と SL(n, F )

可換体 F を係数とする n次正方行列の全体をM(n, F )として，一般線形群は

GL(n, F ) = {X ∈M(n, F ) | detX = 0} (4.11)

で定義される．この群の中心Zは

Z = {kIn | k ∈ F ∗} ∼= F ∗ (4.12)

で，GL(n, F )から FP n−1に誘導される変換群は

GSL(n, F ) = GL(n, F )/Z. (4.13)

また，特殊線形群は

SL(n, F ) = {X ∈ GL(n, F ) | detX = 1} (4.14)

で定義され，その中心Z0は

Z0 = Z ∩ SL(n, F ) = {kIn | kn = 1} . (4.15)

特に，SL(n,C)は単純かつ半単純な複素 Lie群，SL(n,R)はその非コンパクト実型を与える．

SL(n, F )から FP n−1に誘導される変換群は

PSL(n, F ) = SL(n, F )/Z0. (4.16)

n = 2で F = F2,F3の場合，

PSL(2,F2) ∼= S3, PSL(2,F3) ∼= A4 (4.17)

を除くと，PSL(n, F )(n ≥ 2)は非可換な単純群である．また，F が代数的閉体の時，GSL(n, F ) = PSL(n, F )となる．同様に，F = Hに対して，標準対応M(n,H) � X �→ Z ∈ M(2n,C)のもとで，

GL(n,H) = {X ∈ M(n,H) | detZ > 0} (4.18)

により，H係数の一般線形群GL(n,H)が定義される．この群に対して

GL(n,H) ∼= {Z ∈ GL(2n,C)∣∣ JZ = ZJ

}, (4.19)

dimR GL(n,H) = 4n2, (4.20)

が成り立つ．また，特殊線形群 SL(n,H)を

SL(n,H) = {X ∈ GL(n,H) | detZ = 1} (4.21)

により定義する．

43 目次へ

目次へ

4.1.2 U(n),U(p, q), SU(n), SU(p, q), SU∗(2n)

Ip,qを対角型行列

Ip,q = diag[

p︷ ︸︸ ︷+1, · · · ,+1,

q︷ ︸︸ ︷−1, · · · ,−1 ] (4.22)

とする．このとき，体 F (= C,H)に対して，ユニタリ群および特殊ユニタリ群を

U(p, q;F ) ={X ∈ GL(p+ q, F )

∣∣ XT Ip,qX = Ip,q}, (4.23)

SU(p, q;F ) = U(p, q;F ) ∩ SL(p+ q, F ), (4.24)

U(n, F ) = U(n, 0;F ), SU(n, F ) = SU(n, 0;F ) (4.25)

と定義する．ただし，x = x0+ ix1 +jx2+kx3 ∈ Hに対して，x = x0−ix1−jx2−kx3

で，U(p, q; H) = SU(p, q; H) (4.26)

となる．特に，F = Cに対しては

U(p, q) = U(p, q; C), SU(p, q) = SU(p, q; C) (4.27)

と表す．SU(p, q)は単純かつ半単純な実Lie群で，特に SU(n)はコンパクトかつ単連結である．また，U(p, q)および SU(p, q)の中心 Z，Z0は，n = p+ qとして

Z = {zIn | |z| = 1} ∼= U(1), (4.28a)

Z0 = {zIn | zn = 1} ∼= Zn (4.28b)

となり，射影ユニタリ群は

PU(n) = U(n)/Z ∼= SU(n)/Z0 (4.29)

により定義される．最後に，

Jn =

(0 In

−In 0

)(4.30)

として，実 Lie群 SU∗(2n)を

SU∗(2n) ={X ∈ SL(2n,C)

∣∣ JX = XJ}

(4.31)

44 目次へ

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により定義する．Z ∈ SU∗(2n)は

Z =

(A B

−B A

); detZ = 1, A,B ∈M(n,C) (4.32)

と表され，

SU∗(2n) ∼= SL(n,H), (4.33)

dimR SU∗(2n) = 4n2 − 1. (4.34)

SU∗(2n)は SL(2n,C)の非コンパクト実型の一つを与える．

4.1.3 O(n, F ), SO(n, F ),O(p, q;F ), SO(p, q;F ), SO∗(2n)

F = R,C,Hに対して，Ip,qを (p, q)型の単位対角行列として，(p, q)型直交群を

O(p, q;F ) ={X ∈ GL(p+ q, F )

∣∣ X∗T Ip,qX = Ip,q}, (4.35a)

SO(p, q;F ) = O(p, q;F ) ∩ SL(p+ q, F ), (4.35b)

O(n, F ) = O(n, 0;F ), SO(n, F ) = SO(n, 0;F ) (4.35c)

により定義する．ただし，x = x0 + ix1 + jx2 + kx3 ∈ Hに対して，x∗ = x0 + ix1 −jx2 + kx3である．特に，F = Cに対して，

O(p, q; C) = O(p+ q,C), SO(p, q; C) = SO(p+ q,C) (4.36)

で，SO(n,C)(n ≥ 3, = 4)は単純かつ半単純な複素 Lie群である．また，F = Hに対しては，

O(p, q; H) = SO(p, q; H) = SO(p+ q,H) (4.37)

となる（SLの定義の特殊性により）．一方，F = Rに対しては，

O(p, q; R) = O(p, q), SO(p, q; R) = SO(p, q), O(n,R) = O(n), SO(n,R) = SO(n)

(4.38)

と表記する．SO(p, q)(p+ q > 2)は半単純な実 Lie群である．また，SO(n)はコンパクトとなる．最後に，

SO∗(2n) ={Z ∈ SO(2n,C)

∣∣ Z†JZ = J}

(4.39)

45 目次へ

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と定義すと，標準対応 SL(n,H) � X → Z ∈ SL(2n,C)は同型対応

SO(n,H) ∼= SO∗(2n) (4.40)

を誘導する．SO∗(2n)は SO(2n,C)の非コンパクト実型の一つを与える．

4.1.4 Sp(n, F ), Sp(p, q)

Jp,q ∈ GL(2p+ 2q, F )を

Jp,q =

(0 Ip,q

−Ip,q 0

)(4.41)

とおく，このとき，F = R,C,Hに対して，

Sp(p, q;F ) ={X ∈ GL(2n, F )

∣∣ XTJp,qX = Jp,q}, (4.42a)

Sp(n, F ) = Sp(n, 0;F ) (4.42b)

と定義する．

X =

(A B

C D

)∈M(2p+ 2q, F ) (4.43)

が Sp(p, q;F )に属する条件は，A,B,C,D ∈M(p + q, F )を用いて

CT Ip,qA = AT Ip,qC, (4.44a)

BT Ip,qD = DT Ip,qB, (4.44b)

AT Ip,qD − CT Ip,qB = Ip,q (4.44c)

と表される．これより，F = C,Hに対しては，Sp(p, q;F ) ∼= Sp(p + q, F )となる．Sp(n,C)(n ≥ 1)は単純複素 Lie群を，Sp(n,R)はその非コンパクト実型を与える．また，Ip,q,p,qを対角型行列

Ip,q,p,q = diag[Ip,q, Ip,q] ∈ GL(2p+ 2q,R) (4.45)

として，実 Lie群 Sp(p, q)を

Sp(p, q) ={X ∈ Sp(p, q; C)

∣∣ X†Ip,q,p,qX = Ip,q,p,q}, (4.46)

Sp(n) = Sp(n, 0) = Sp(n,C) ∩ U(2n) (4.47)

により定義する．これらも Sp(n,C)の実型を与え，Sp(n)はコンパクトである．

46 目次へ

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【命題 4.2 (Sp(p, q)とU(p, q; H)の同型性)】 　 X = X0 + iX1 + jX2 + kX3 ∈U(p, q; H)を

X = Z0 + jZ1; Z0, Z1 ∈M(p + q,C) (4.48)

と表すとき，

X �→ Y =

(Z0 −Z1

Z1 Z0

)∈M(2p + 2q; C) (4.49)

により，同型対応U(p, q; H) ∼= Sp(p, q)が得られる． �

4.2 古典群の複素既約表現：誘導表現の方法

4.2.1 古典群のGauss分解

【命題 4.3】 　

1. Z を対角成分がすべて１の n次上方三角型行列の全体，Z を対角成分がすべて１の n次下方三角型行列の全体，Dを n次対角型正則行列の全体とすると，Z DZはGL(n,C)のGauss分解を与える．以下，Dの元を次のように表す．

D ={[δ1, · · · , δn]

∣∣ δj ∈ C×} . (4.50)

2. D0 = D ∩ SL(n,C)とすると，Z D0Zは SL(n,C)のGauss分解を与える．D0

の元は次のように表される．

D0 = {[δ1, · · · , δn] | δ1 · · · δn = 1} . (4.51)

3. Jnを

Jn = (δi+j,n+1) =

⎛⎜⎜⎝1

1

0 ··· 0

11

⎞⎟⎟⎠ (4.52)

で定義される n次正方正則行列とする．このとき，

SO(n,C) ∼= {g ∈ GL(n,C)∣∣ J−1

n gJn = (g−1)T}. (4.53)

この同一視のもとで，GL(n,C)のGauss分解ZDZのSO(n,C)への制限Z0D0Z0

は SO(n,C)のGauss分解を与える．D0の元は，n = 2νのとき，．

D0 ={[δ1, · · · , δν , δ−1

ν , · · · , δ−11 ]∣∣ δj ∈ C

×} , (4.54)

47 目次へ

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n = 2ν + 1のとき

D0 ={[δ1, · · · , δν , 1, δ−1

ν , · · · , δ−11 ]∣∣ δj ∈ C

×} . (4.55)

と表される．

4. σを

σ =

(0 −JnJn 0

)(4.56)

で定義される 2n次正方正則行列とする．このとき，

Sp(n,C) ∼= {g ∈ GL(2n,C)∣∣ σ−1gσ = (g−1)T

}. (4.57)

この同一視のもとで，GL(2n,C)のGauss分解ZDZのSp(n,C)への制限Z0D0Z0

は Sp(n,C)のGauss分解を与える．D0の元は，

D0 ={[δ1, · · · , δn, δ−1

n , · · · , δ−11 ]∣∣ δj ∈ C

×} (4.58)

と表される．

�

4.2.2 有限次元複素解析的既約表現の指標

【定理 4.4】 　GL(n,C)の一価複素解析的有限次元既約表現は，指標は

χ = δm11 · · · δmn

n : m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mn, mj ∈ Z

から誘導される既約表現と一対一に対応する． �

【定理 4.5】 　 SL(n,C)の有限次元複素既約表現は，指標は

χ = δm11 · · · δmn−1

n−1 : m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mn−1 ≥ 0, mj ∈ Z

から誘導される既約表現と一対一に対応する． �

【定理 4.6】 　 Sp(n,C)の有限次元複素既約表現は，指標は

χ = δm11 · · · δmn

n : m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mn ≥ 0, mj ∈ Z

から誘導される既約表現と一対一に対応する． �

48 目次へ

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【定理 4.7】 　 SO(2n+ 1,C)の有限次元複素既約表現は，指標は

χ = δm11 · · · δmn

n : m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mn ≥ 0

から誘導される既約表現と一対一に対応する．ただし，mjはすべて整数であるか，すべて半奇数であるかのいずれかである． �

【定理 4.8】 　 SO(2n,C)の有限次元複素既約表現は，指標は

χ = δm11 · · · δmn

n : m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mn−1 ≥ |mn|から誘導される既約表現と一対一に対応する．ただし，mjはすべて整数であるか，すべて半奇数であるかのいずれかである． �

4.2.3 基本表現

【定義 4.9】 　複素単純Lie代数L の任意の既約表現の指標 (maximal weight)w

が，既約表現の列 ρjに対応する一次独立な指標の系 wj(j = 1, · · · , J)の非負整係数線形結合として表されるとき，ρjをL の基本表現という．wjは基本整ウエイトと一致する． �

【定理 4.10】 　Ar型，Br型，Cr型，Dr型の複素半単純 Lie代数は r個の基本表現をもつ．対応するmaximal weightは次のようになる．

1) Ar型 (SL(r + 1,C))およびCr型 (Sp(r,C))：

w1 = (1, 0, 0, · · · ), w2 = (1, 1, 0, · · · ), · · · , wr = (1, 1, · · · , 1).

2) Br型 (SO(2r + 1,C))：

w1 = (1, 0, 0, · · · ), w2 = (1, 1, 0, · · · ), · · · , wr−1 = (1, · · · , 1, 0),

wr = (1/2, · · · , 1/2).

3) Dr型 (SO(2r,C))：

w1 = (1, 0, 0, · · · ), w2 = (1, 1, 0, · · · ), · · · , wr−2 = (1, · · · , 1, 0, 0),

wr−1 = (1/2, · · · , 1/2, 1/2), wr = (1/2, · · · , 1/2,−1/2).

�

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4.3 Dynkin基底

hをCartan部分代数，h∗をその双対空間，Δをルート系，Π = {α1, · · · , αn}をその基本ルート系とする．線形同値写像 h∗ � α �→ Hα ∈ hを

(Hα, h) = α(h) ∀h ∈ h (4.59)

により定義する．このとき，(α, β) := (Hα, Hβ) (4.60)

により，hの内積より h∗の内積が誘導される．このとき，

Hj :=2

(αj, αj)Hαj

(j = 1, · · · , n) (4.61)

は hの基底となる．この双対基底 F jをルート空間のDynkin基底とよぶ：

F j(Hk) = δjk (j, k = 1, · · · , n) (4.62)

F 1, · · · , F nは基本表現の最高ウェイトと一致する．したがって，任意の表現のウェイトΛを F jで

Λ =∑j

λjFj (4.63)

と成分表示すると，

λj =2(Λ, αj)

(αj , αj)∈ Z (4.64)

が成り立つ．(λ1, · · · , λn)はDynkinラベルと呼ばれる．

Cjk :=2(αj, αk)

(αk, αk)≡< αj, αk >> (4.65)

によりCartan行列を定義すると，

F j = (C−1)jkαk (4.66)

が成り立つ．また，

Gjk := (C−1)jk(αk, αk)

2(4.67)

とおくと，(F j, F k) = Gjk. (4.68)

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4.4 GL(n)

4.4.1 GL(n,C)のLie代数の構造

交換関係 Eab(a, b = 1, · · · , n)がLie代数 gl(n,C)の基底となり，その交換関係は次

式で与えられる：[Ea

b, Ecd] = δbcEa

d − δdaEcb. (4.69)

Cartan部分代数L0 =< E1, · · · , En >; Ea = Ea

a. (4.70)

ルート系 Cartan部分代数L0の双対空間L ∗0 の基底EaをEaの双対基底,

Ea(Eb) = δab ,

とする．このとき，[Ea, Eb

c] = (δab − δac)Ebc (4.71)

より，ルート系Δは

Δ ={Ea − Eb

∣∣ 1 ≤ a, b ≤ n}, (4.72)

α = Ea −Eb �→ Eα = Eab. (4.73)

Gauss分解 L = L− + L0 + L+.

正ルート空間は

Δ+ ={Ea − Eb

∣∣ 1 ≤ a < b ≤ n}, (4.74a)

L+ = 〈E+ab := Ea

b; a < b〉, (4.74b)

負ルート空間は

Δ− ={− Ea + Eb

∣∣ 1 ≤ a < b ≤ n}, (4.75a)

L− = 〈E−ab := Eb

a; a < b〉. (4.75b)

Weyl基底の交換関係は，

[E+ab, E

+cd] = δbcE

+ad − δadE

+cb, (4.76a)

[E−ab, E

−cd] = δadE

−cb − δcbE

−ad, (4.76b)

[E+ab, E

−ab] = Ea − Eb. (4.76c)

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4.5 Ar型

4.5.1 SL(n,C)のLie代数の構造

基底 Lie代数L = sl(n,C)の基底は，

hj := Ejj −En

n (j = 1, · · · , n− 1), Eab (1 ≤ a = b ≤ n). (4.77)

Cartan部分代数L0 = 〈h1, · · · , hn−1〉. (4.78)

Cartan計量 j, k = 1, · · · , n− 1として，

[hj , Eab] = (δja − δjb − δan + δbn)Ea

b

より，

[hj , Ekl] = (δjk − δjl)Ek

l, (4.79a)

[hj , Ekn] = (δjk + 1)Ek

n, (4.79b)

[hj , Enk] = −(δjk + 1)En

k. (4.79c)

よって，Tr (ad(hj)ad(hk)) = 2n(δjk + 1). (4.80)

これより，Cartan計量をγjk = (hj , hk) = δjk + 1 (4.81)

で定義する．このとき，双対空間L ∗0 に誘導される計量は，h

j を hj の双対基底として

γjk = (hj, hk) = δjk − 1

n. (4.82)

ルート系

Δ ={hj − hk

∣∣ j, k = 1, · · · , n− 1} ∪{± (hj +

n−1∑k=1

hk)

∣∣∣∣∣ j = 1, . . . , n− 1

}.

(4.83)

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基本ルート系

α1 = h1 − h2, · · · , αn−2 = hn−2 − hn−1, αn−1 = h1 + · · ·+ hn−2 + 2hn−1 (4.84)

とおくと，

hj − hk = αj + αj+1 + · · · + αk−1 (1 ≤ j < k ≤ n− 1),

hj +

n−1∑k=1

hk = αj + αj+1 + · · ·+ αn−1 (j = 1, · · · , n− 1),

n(h1 + h2 + · · ·+ hn−1

)= α1 + 2α2 + · · ·+ (n− 1)αn−1,

hj = αn−1 + · · · + αj − 1

n{(n− 1)αn−1 + · · ·+ α1} . (4.85)

Gauss分解とWeyl基底 L = L− + L0 + L+.

正ルート空間は

Δ+ ={hj − hk

∣∣ 1 ≤ j < k ≤ n− 1} ∪{hj +

n−1∑k=1

hk

∣∣∣∣∣ j = 1, . . . , n− 1

},

L + : α = hj − hk �→ Eα = E+jk,

α = hj +

n−1∑k=1

hk �→ Eα = E+j := Ej

n. (4.86)

負ルート空間は

Δ− ={− (hj − hk)

∣∣ 1 ≤ j < k ≤ n− 1} ∪{− (hk +

n−1∑j=1

hj)

∣∣∣∣∣ k = 1, . . . , n− 1

},

L − : α = −(hj − hk) �→ Eα = E−jk,

α = −(hj +n−1∑k=1

hk) �→ Eα = E−j := En

j. (4.87a)

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Wyle基底の交換関係

[hj , hk] = 0,

[X,Eα] = α(X)Eα; X ∈ L0,

[E+j , E

+k ] = 0, [E+

j , E+kl] = −δjlE+

k , [E+jk, E

+kl] = δklE

+jm − δjmE

+lk,

[E−j , E

−k ] = 0, [E−

j , E−kl] = δjlE

−k , [E−

jk, E−kl] = −δklE−

jm + δjmE−lk,

[E+j , E

−j ] = hj , [E+

j , E−k ] = Ej

k (j = k),

[E±j , E

∓kl] = ∓δjkE±

l ,

[E+jk, E

−jk] = hj − hk, [E+

jk, E−lm] = δkmEj

l − δjlEmk.

4.5.2 SL(n,C)の複素解析的既約表現

【定理 4.11 (分類)】 　

1. SL(n,C)の有限次元複素既約表現は次の条件を満たす最高ウエイトと一対一に対応する：

λ = mjhj : m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mn−1 ≥ 0.

2. SL(n,C)の随伴表現の最高ウエイトは

λ = 2h1 + h2 + · · ·+ hn−1 = α1 + α2 + · · · + αn−1.

3. SL(n,C)の基本整ウエイトは

λ1 = h1, λ2 = h1 + h2, · · · , λn−1 = h1 + · · ·+ hn−1.

4. Cnの p次交代形式の作る線形空間をΛpとする．このとき，C

nへの作用から決まる SL(n,C)のΛp(1 ≤ p ≤ n− 1)上への表現は既約で，基本整ウエイト λpを最高ウエイトとする基本表現 ρpとなる．特に，dim ρp = nCp.

�

【定理 4.12 (実型の複素規約表現)】 　 SL(n,C)の任意の実型の複素既約表現はSL(n,C)の複素解析的既約表現 (ρ, V )と一対一に対応し，ρの実型への制限により得られる．また，これらのすべての既約表現は，ベクトル表現のテンソル積の既約分解により得られる． �

54 目次へ

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【命題 4.13 ([1] × [1]の既約分解)】 　 最高ウエイト λの既約表現を (λ)と表すとき，

(λ1) × (λ1) = (2λ1) + (λ2). (4.88)

すなわち，n次対称行列の全体は最高ウエイト 2λ1をもつ SL(n,C)の既約表現を与える． �

4.6 Cr型

4.6.1 Sp(n,C)のLie代数の構造

【命題 4.14】 　 (4.57)により Sp(n,C)を SL(2n,C)の部分群として定義する．このとき，A,B,C,D ∈M(n,C)に対して，

X =

(A B

C D

)∈ sl(2n,C)

が Lie代数 sp(n,C)の属するための必要十分条件は，Jnを (4.52)で定義される行列として，

JnAJn = −DT , JnBJn = BT , JnCJn = CT (4.89)

と表される．これは，BとCが補対角線 (i+ j = n + 1)に関する反転で不変，DがAの同じ反転の (−1)倍であることを意味する． �

以下，EabはGL(2n,C)に対する (a, b)-成分行列とし，a < bのとき，E+ab = Ea

b，E−ab = Eb

aと表記する．また，j, k, l,mは 1, · · · , nの範囲の値を取るものとする．

基底 リー代数 sp(n,C)の基底は

hj := Ejj − E2n+1−j2n+1−j (j = 1, · · · , n),

E±j 2n+1−k + E±

k 2n+1−j, Ejk − E2n+1−k2n+1−j (1 ≤ j, k ≤ n). (4.90)

Cartan部分代数L0 = 〈h1, · · · , hn〉. (4.91)

55 目次へ

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Cartan計量[hj , Ea

b] = (δja − δjb − δa 2n+1−j + δb 2n+1−j)Eab (4.92)

より，

[hj , E±k 2n+1−l] = ±(δjk + δjl)E

±k 2n+1−l,

[hj , Ekl] = (δjk − δjl)Ek

l,

[hj , E2n+1−k2n+1−l] = −(δjk − δjl)E2n+1−k2n+1−l.

よって，Tr (ad(hj)ad(hk)) = 4nδjk. (4.93)

したがって，Cartan計量は

γjk = (hj, hk) = 2δjk. (4.94)

このとき，双対空間L ∗0 に誘導される計量は，h

jを hjの双対基底として

γjk = (hj , hk) =1

2δjk. (4.95)

ルート系Δ =

{± hj ± hk∣∣ 1 ≤ j ≤ k ≤ n

}(4.96)

基本ルート系

α1 = h1 − h2, · · · , αn−1 = hn−1 − hn, αn = 2hn. (4.97)

とおくと，

hj − hk = αj + · · ·+ αk−1 (1 ≤ j < k ≤ n),

hj + hk = αj + · · ·+ αk−1 + 2αk + · · ·+ 2αn−1 + αn (1 ≤ j < k ≤ n− 1),

2hj = 2αj + · · ·+ 2αn−1 + αn (1 ≤ j ≤ n− 1),

hj + hn = αj + · · ·+ αn (1 ≤ j ≤ n− 1),

2hn = αn. (4.98)

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Gauss分解とWeyl基底 L = L− + L0 + L+.

Δ± ={± (hj + hk),±(hj − hk)

∣∣ 1 ≤ j ≤ k ≤ n}. (4.99)

L ± : α = ±2hj �→ Eα = E±j := E±

j 2n+1−j ,

α = ±(hj + hk) �→ Eα = E±jk+ :=

1√2(E±

j 2n+1−k + E±k 2n+1−j),

α = ±(hj − hk) �→ Eα = E±jk− :=

1√2(E±

j k − E±2n+1−k 2n+1−j). (4.100)

Wyle基底の交換関係

[hj , hk] = 0, [X,Eα] = α(X)Eα; X ∈ L0,

[E±j , E

±k ] = 0, [E±

j , E±kl+] = 0, [E±

j , E±kl−] = ∓δjlE±

kl+,

[E±jk+, E

±lm+] = 0,

[E±jk+, E

±lm−] = ∓ 1√

2

(δjmE

±kl+ + δkmE

±jl+

),

[E±jk−, E

±lm−] = ± 1√

2

(δklE

±jm− + δjmE

±lk−),

[E+j , E

−k ] = δjkhj , [E±

j , E∓kl+] = ± (δjlE∓

kl− + δjkE±kl−), [E±

j , E∓kl−] = ∓δjkE±

kl+,

[E+jk±, E

−jk±] =

1

2(hj ± hk),

[E+jk+, E

−lm+] =

1√2

(δjlEkm− + δkmEjl− + δjmEkl− + δklEjm−) ,

[E±jk+, E

∓lm−] = ∓ 1√

2

(δjlE

±km+ + δklE

±jm+

), [E+

jk−, E−lm−] =

1√2

(δkmEjl− − δjlEmk−) .

4.6.2 Sp(n,C)の複素解析的既約表現

【定理 4.15】 　

1. Sp(n,C)の有限次元複素既約表現は次の条件を満たす最高ウエイトと一対一に対応する：

λ = mjhj : m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mn ≥ 0.

57 目次へ

目次へ

2. Sp(n,C)の随伴表現の最高ウエイトは

λ = 2h1 = 2α1 + · · ·+ 2αn−1 + αn.

3. Sp(n,C)の基本整ウエイトは

λ1 = h1, λ2 = h1 + h2, · · · , λn = h1 + · · ·+ hn.

4. C2nの p次交代形式の作る線形空間をΛpとする．このとき，C2nへの作用から決まる Sp(n,C)のΛp(1 ≤ p ≤ 2n− 1)上への表現は既約で，1 ≤ p ≤ nのとき基本整ウエイト λpを最高ウエイトとする基本表現 ρpとなる．特に，dim ρp =

2nCp(1 ≤ p ≤ n). また，Λpへの表現とΛ2n−pへの表現は同型となる．

�

【定理 4.16】 　 Sp(n,C)の任意の実型の複素既約表現は Sp(n,C)の複素解析的既約表現 (ρ, V )と一対一に対応し，ρの実型への制限により得られる． �

Proof. SL(n,C)の証明と同じ．

4.7 Br型およびDr型

4.7.1 SO(n,C)のLie代数の構造

SO(2r,C)は次の対応により SO(2r + 1,C)の部分群と見なす：

SO(2r,C) � A �→(A 0

0 1

)∈ SO(2r + 1,C)

この対応は，自然なGauss分解L = L− + L0 + L+の対応を与える．

基底と交換関係 Lie代数 so(n,C)の基底は

Mab = Eab − Eb

a (4.101)

で与えられ，その交換関係は

[Mab,Mcd] = −δacMbd − δbdMac + δadMbc + δbcMad (a, b, c, d = 1, · · · , n). (4.102)

58 目次へ

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Cartan部分代数 rank=r ( n = 2r or n = 2r + 1)

L0 = 〈h1, · · · , hr〉 : hj = −iM2j−1 2j (j = 1, · · · , r). (4.103)

Cartan計量Tr (ad(hj)ad(hk)) = 2(n− 2)δjk. (4.104)

以下，L0およびL ∗0 の元は基底 hjおよびその双対基底 hjに関する成分表示で表し，

Cartan計量を(hi, hj) = δij , (hi, hj) = δij (4.105)

と規格化する．この規格化では

α = xjhj �→ Hα = xjhj . (4.106)

ルート系 Br型：n = 2rのとき，

Δ ={±hj ± hk (1 ≤ j < k ≤ r)

}. (4.107)

Dr型：n = 2r + 1のとき，

Δ ={±hj (1 ≤ j ≤ r), ±hj ± hk (1 ≤ j < k ≤ r)

}. (4.108)

基本ルート系 Br型：n = 2r + 1のとき，

Π : α1 = h1 − h2, · · · , αr−1 = hr−1 − hr, αr = hr (4.109)

とおくと，

hj = αj + · · ·+ αr (1 ≤ j ≤ r),

hj − hk = αj + · · ·+ αk−1 (1 ≤ j < k ≤ r),

hj + hk = αj + · · ·+ αk−1 + 2αk + · · ·+ 2αr (1 ≤ j < k ≤ r). (4.110)

Dr型：n = 2rのとき，

Π : α1 = h1 − h2, · · · , αr−1 = hr−1 − hr, αr = hr−1 + hr (4.111)

59 目次へ

目次へ

とおくと，

hj − hj+1 = αj (1 ≤ j ≤ r − 1),

hj − hk = αj + · · ·+ αk−1 (1 ≤ j < k − 1 < r),

hj + hk = αj + · · · + αk−1 + 2αk + · · · + 2αr−2 + αr−1 + αr (1 ≤ j < k ≤ r − 2),

hj + hr−1 = αj + · · ·+ αr (1 ≤ j ≤ r − 2),

hj + hr = αj + · · · + αr−2 + αr (1 ≤ j ≤ r − 2),

hr−1 + hr = αr. (4.112)

Gauss分解とWeyl基底 L = L− + L0 + L+

Br型：n = 2r + 1のとき，

Δ± = { ± hj | 1 ≤ j ≤ r} ∪ { ± hj + ηhk) | 1 ≤ j < k ≤ r, η = ±1} . (4.113)

に対して，

L± : α = ±hj �→ Eα = Ej± := − i√2(M2r+12j−1 ± iM2r+1 2j),

α = ±hj + ηhk

�→ Eα = Ej±kη :=1

2{±M2j−1 2k−1 − ηM2j 2k + i(M2j 2k−1 ± ηM2j−1 2k)}

(4.114)

Dr型：n = 2rのとき，

Δ± = { ± hj + ηhk) | 1 ≤ j < k ≤ r, η = ±1} . (4.115)

に対して，

L± : α = ±hj + ηhk

�→ Eα = Ej±kη :=1

2{±M2j−1 2k−1 − ηM2j 2k + i(M2j 2k−1 ± ηM2j−1 2k)}

(4.116)

ここで，Ejεkη = −εηEkηjε. (4.117)

60 目次へ

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Weyl基底の交換関係

[hi, hj] = 0,

[X,Eα] = α(X)Eα; X ∈ L0,

[Ejε, Ej(−ε)] = εhj ,

[Ejε, Ekη] = εEjεkη,

[Ejε′, Ekεlη] = ε(δjkδ(ε′ + ε)Elη − δjlδ(ε

′ + η)Ekε),

[Ejεkη, Ej(−ε)k(−η)] = εhj + ηhk,

[Ejεkη, Ej′ε′k′η′ ] = δjj′δ(ε′ + ε)ηEkηk′η′ − δkk′δ(η

′ + η)ε′Ejεj′ε′

+δjk′δ(η′ + ε)εε′ηEkηjε′ + δkj′δ(ε

′ + η)ε′Ejεk′η′ .

【注 4.17】 　上記の Gauss分解は，GL(n,C)ないし SL(n,C)の Gauss分解のSO(n,C)への制限とはなっていない．これら２つのGauss分解は次のように対応する．

SO(n,C) � A �→ TAT−1 ∈ SL(n,C).

ここで T は次の２つの行列の結合である: T = T2T1

T1 :(T1)oo = 1/

√2 (T1)oe = −i/√2

(T1)eo = 1/√

2 (T1)ee = i/√

2.

ここで，o, eはそれぞれ奇数および偶数の添え字．

T2 :

(T2)j 2j−1 = 1; 1 ≤ j ≤ (n+ 1)/2,

(T2)n+1−j 2j = 1; 1 ≤ j ≤ n/2,

他の成分 = 0.

T1は座標変換

x′2j−1 =1√2(x2j−1 + ix2j) = zj ,

x′2j =1√2(x2j−1 − ix2j) = zj

と，また, T2は座標の並べ替え

(1, 2, · · · , n− 1, n) �→ (1, 3, · · · , 4, 2)

61 目次へ

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と対応する．この写像により，SO(n,C)のWeyl基底は次のようなSL(n,C)のWeyl基底と対応する．

hj �→ hj − hn+1−j ,

Ej± �→ ±i(E±j r+1 −E±

r+12r+2−j),

Ej±kη �→ P±η(E±j n+1−k − E±

k n+1−j) + P∓η(E±j k −E±

n+1−k n+1−j) (j < k).

ただし，Pη = (1 + η)/2. �

4.7.2 SO(n,C)の複素解析的既約表現

【定理 4.18 (SO(2r + 1,C))】 　

1. SO(2r + 1,C)の有限次元複素既約表現は次の条件を満たす最高ウエイトと一対一に対応する：

λ = mjhj : m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr ≥ 0.

ただし，mjはすべてが整数かすべてが半奇数．

2. SO(2r + 1,C)の随伴表現の最高ウエイトは

λ = h1 + h2 = α1 + 2α2 + · · · + 2αr.

3. SO(2r + 1,C)の基本整ウエイトは

λ1 = h1, · · · , λr−1 = h1 + · · · + hr−1,

λr =1

2(h1 + h2 + · · ·+ hr).

4. C2r+1の p次交代形式の作る線形空間をΛpとする．このとき，C2r+1への作用から決まる SO(2r+ 1,C)のΛp(1 ≤ p ≤ 2r)上への表現は既約で，Λpへの表現とΛ2r+1−pへの表現は同型となる．Λpへの表現は，1 ≤ p ≤ r − 1のとき基本整ウエイト λpを最高ウエイトとする基本表現 ρp，p = rのとき 2λrを最高ウエイトとする既約表現となる．特に，dim ρp = nCp.

�

62 目次へ

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【定理 4.19 (SO(2r,C))】 　

1. SO(2r,C)の有限次元複素既約表現は次の条件を満たす最高ウエイトと一対一に対応する：

λ = mjhj : m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ |mr|.

ただし，mjはすべてが整数かすべてが半奇数．

2. SO(2r,C)の随伴表現の最高ウエイトは

λ = h1 + h2 = α1 + 2α2 + · · · + 2αr−1 + αr.

3. SO(2r,C)の基本整ウエイトは

λ1 = h1, · · · , λr−2 = h1 + · · · + hr−2,

λr−1 =1

2(h1 + · · · + hr−1 − hr),

λr =1

2(h1 + · · · + hr−1 + hr).

4. C2rの p次交代形式の作る線形空間を Λpとする．このとき，C2rへの作用から決まるSO(2r,C)のΛp(1 ≤ p ≤ 2r−1)上への表現は p = rのとき既約で，Λpへの表現とΛ2r−pへの表現は同型となる．Λpへの表現は，1 ≤ p ≤ r−2のとき基本整ウエイトλp を最高ウエイトとする基本表現ρp，p = r−1のときλr−1 +λrを最高ウエイトとする既約表現となる．特に，dim ρp = nCp. また，Λrへの表現は可約で，ΛrのHodge双対に関する固有空間への分解 Λr = Λ+

r + Λ−r が既

約分解を与える．Λ+r およびΛ−

r への表現は，それぞれ最高ウエイト2λrおよび2λr−1の既約表現となる．２つの表現は同じ次元，2rCr/2をもつ．

�

4.8 スピノール群とスピノール表現

4.8.1 定義と一般的性質

【定義 4.20】 　体 k上のC�(V, q)に対して，その可逆元の作る乗法群をC�×(V, q)

とする．C�×(V, q)の随伴表現

Ad : C�×(V, q) → Aut(C�(V, q))

63 目次へ

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をAdφ(y) = φyφ−1 φ ∈ C�×(V, q), y ∈ C�(V, q)

で，また，C�×(V, q)のねじれ随伴表現

Ad : C�×(V, q) → GL(C�(V, q))

をAdφ(y) = α(φ)yφ−1 φ ∈ C�×(V, q), y ∈ C�(V, q)

により定義する．ここで，αはα(v) = −v (v ∈ V )により一意的に決まるC�(V, q)

の主自己同型である．φが偶元，すなわち φ ∈ C�0(V, q)のとき，Adφ = Adφ，φ ∈ C�1(V, q)のとき，Adφ = −Adφである． �

【命題 4.21】 　 v, w ∈ V に対して，q(v) = 0のとき，Advは V における vの垂直な超平面に関する反転を表す：

Adv(w) = −Adv(w) = w − q(v, w)

q(v)v.

�

【定義 4.22】 　C�×(V, q)の部分群を

Pin(V, q) :={v1 · · · vr ∈ C�×(V, q)

∣∣ q(vj) = ±1∀j} ,Spin(V, q) := Pin(V, q) ∩ C�0(V, q)

で定義する．Spin(V, q)は (V, q)上のスピノール群と呼ぶ． �

【定義 4.23】 　体 kの乗法群 k×が k× = (k×)2 ∪ (−(k×)2) となるとき，kをスピン体という． �

【定理 4.24】 　

64 目次へ

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1) V をスピン体 k上の有限次元ベクトル空間，qをその非退化計量とするとき，次の完全列が存在する：

0 → F → Spin(V, q)fAd=Ad−→ SO(V, q) → 1,

0 → F → Pin(V, q)fAd−→ O(V, q) → 1.

ここで，F は√−1 ∈ kのときZ2 = {1,−1}，その他のときZ4 = {±1,±√−1}

である．特に，k = Rのとき，次の完全列が存在する：

0 → Z2 → Spinr,s → SOr,s → 1,

0 → Z2 → Pinr,s → Or,s → 1.

さらに，(r, s) = (1, 1)のとき，Or,sの各連結成分上でこの２価の被覆空間は非自明である．また，Spinnは n ≥ 3のとき単連結である．

2) V の次元が偶数の時，次の完全列が存在する：

0 → F → Pin(V, q)Ad−→ O(V, q) → 1.

V の次元が奇数の時，次の完全列が存在する：

0 → F ′ → Pin(V, q)Ad−→ SO(V, q) → 1.

ここで，F ′ = F ∪ {Γ,−Γ}．ただし，e1, · · · , enを V の正規直交基底としてΓ = e1 · · · en．

�

【定義 4.25】 　C�nの実ベクトル空間 S上への実既約表現を Spinnに制限して得られる表現

Δn : Spinn → GL(S)

を Spinnの実スピノール表現と呼ぶ．同様に，C�nの複素ベクトル空間S上への複素既約表現を Spinnに制限して得られる複素表現

ΔCn : Spinn → GLC (S)

を Spinnの複素スピノール表現と呼ぶ． �

65 目次へ

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【定理 4.26】 　 n ≡ 3(mod4)のとき，C�nの２つの既約表現から得られる実スピノール表現Δnは同値となる．したがって，任意の nに対して，実スピノール表現は一意的である．さらに，次が成り立つ：

i) n ≡ 3, 5, 6, 7(mod8)のとき，Δnは既約である．

ii) n ≡ 1, 2(mod8)のとき，Δnは２つの同値な既約表現の直和となる．

iii) n = 4mのとき，Δnは非同値な２つの既約表現の直和となる：

Δ4m = Δ+4m ⊕ Δ−

4m.

それぞれは体積要素ωの固有値+1，−1の固有空間となる．

�

【定理 4.27】 　 nが奇数のとき，C�nの２つの既約表現から得られる複素スピノール表現ΔC

n は同値となる．したがって，すべての nに対してΔCn は一意的

である．さらに，次が成り立つ：

i) n = 2m+ 1のとき，ΔC2m+1は既約で，その次元は 2mとなる．

ii) n = 2mのとき，ΔC2mは同値でない２つの既約表現の直和となる：

ΔC2m = ΔC +

2m ⊕ ΔC −2m .

それぞれは複素体積要素ωC := imωの固有値+1，−1の固有空間となり，いずれも次元 2m−1を持つ．

�

4.8.2 基本スピノール表現の構成

Γμを n次元実Clifford 代数C�1,n−1の生成元とする：

ΓμΓν + ΓνΓμ = 2ημν . (4.118)

66 目次へ

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1. n = 2rのとき

i) C�2r ∼=r⊗ C�2 ∼=

r⊗ C(2) ∼= C(2r):

Γ0± =1

2(±Γ0 + Γ1), Γj± =

1

2(Γ2j ± iΓ2j+1) (j = 1, · · · , r − 1) (4.119)

とおくと，

{Γa+,Γb+} = 0, {Γa−,Γb−} = 0, {Γa+,Γb−} = δab. (4.120)

よって，v0をC�nの有限次元既約複素表現の”最高ウエイト”ベクトル

Γa+v0 = 0 (4.121)

とすると，表現空間は

|s0 s1 · · · sr−1〉 = (Γ0−)1−2s0 · · · (Γr−1−)1−2sr−1v0 (sa = ±1/2) (4.122)

で張られる 2r次元複素空間となる．また，

S0 =1

2Γ0Γ1, Sj = − i

2Γ2jΓ2j+1 (j = 1, · · · , r − 1) (4.123)

とおくと，

Sa = Γa+Γa− − 1

2=

1

2− Γa−Γa+, (4.124)

[Sa,Γb±] = ±Γa±δba. (4.125)

より，Γa±の表現は

Sa|s0 s1 · · · sr−1〉 = sa|s0 s1 · · · sr−1〉,Γa±|s0 s1 · · · sr−1〉 = (−1)(1−2s0)+···+(1−2sa−1)|s0 · · · sa−1 sa ± 1/2 sa+1 · · · sr−1〉.

となる．これは，成分表示では，

Γa+ =

a︷ ︸︸ ︷σ3 ⊗ · · · ⊗ σ3 ⊗ ( 0 1

0 0 ) ⊗r−a−1︷ ︸︸ ︷

I2 ⊗ · · · ⊗ I2, (4.126a)

Γa− =

a︷ ︸︸ ︷σ3 ⊗ · · · ⊗ σ3 ⊗ ( 0 0

1 0 ) ⊗r−a−1︷ ︸︸ ︷

I2 ⊗ · · · ⊗ I2, (4.126b)

Sa =

a︷ ︸︸ ︷I2 ⊗ · · · ⊗ I2 ⊗1

2σ3 ⊗

r−a−1︷ ︸︸ ︷I2 ⊗ · · · ⊗ I2 (4.126c)

67 目次へ

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と表される．これより，Γaは次のように成分表示される：

Γ0 = (iσ2) ⊗r−1︷ ︸︸ ︷

I2 ⊗ · · · ⊗ I2, (4.127a)

Γ1 = (σ1) ⊗r−1︷ ︸︸ ︷

I2 ⊗ · · · ⊗ I2, (4.127b)

Γ2j =

j︷ ︸︸ ︷σ3 ⊗ · · · ⊗ σ3 ⊗(σ1) ⊗

r−j−1︷ ︸︸ ︷I2 ⊗ · · · ⊗ I2, (4.127c)

Γ2j+1 =

j︷ ︸︸ ︷σ3 ⊗ · · · ⊗ σ3 ⊗(σ2) ⊗

r−j−1︷ ︸︸ ︷I2 ⊗ · · · ⊗ I2 . (4.127d)

ただし，j = 1, · · · , r − 1である．特に，

Γ0 = Γ0, Γ1 = Γ1, Γ2j = Γ2j , Γ2j+1 = −Γ2j+1 (j = 1, · · · , r − 1) (4.128)

となる．また，

(Γ0)T = −Γ0, (Γ1)T = Γ1, (Γ2j)T = Γ2j, (Γ2j+1)T = −Γ2j+1 (j = 1, · · · , r−1).

(4.129)

ii) Spin(2r,C) ⊂ C�2r � C2r:

M0j = −Σ0j =i

4[Γ0,Γj],

Mjk = iΣjk =1

4[Γj,Γk] (j, k = 1, · · · , 2r − 1) (4.130)

とおくと，iΣμν は SO(2r − 1, 1)の標準交換関係

i[Σμν ,Σλσ] = −ημλΣνσ − ηνσΣμλ + ημσΣνλ + ηνλΣνσ (4.131)

を満たす．また，Mabは SO(2r,C)の標準生成元の交換関係 (4.102)を満たし，そのCartan部分代数の標準基底 haは

ha = −iM2a 2a+1 = Sa (a = 0, · · · , r − 1) (4.132)

となる．また，L±のWeyl基底は

E0±kε = iΓ0±Γkε, Ej±kε = ∓Γj±Γkε (4.133)

と表される．いま，Γ ∈ C�2rを

Γ = i−r+1Γ0Γ1 · · ·Γ2r−1 = 2rS0S1 · · ·Sr−1

= σ3 ⊗ · · · ⊗ σ3 (4.134)

68 目次へ

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と定義すると，(Γ)2 = 1, {Γ,Γμ} = 0, [Γ,Σμν ] = 0 (4.135)

より，スピノール表現Spin(2r,C)�C2rは可約で，Γ = ±1の二つの表現 ρ±に分解される:

ρ+� |s0 · · · sr−1〉 (s0 · · · sr−1 > 0),

ρ−� |s0 · · · sr−1〉 (s0 · · · sr−1 < 0).

それぞれの表現は最高ウエイトベクトル

ρ+ : |1/2 · · ·1/2 1/2〉; λ = (h0 + · · · + hr−1 + hr)/2,

ρ− : |1/2 · · ·1/2 − 1/2〉; λ = (h0 + · · ·+ hr−1 − hr)/2

を含んでおり，かつ既約である．これらは基本スピノール表現に対応し，その次元はいずれも 2r−1である．

2. n = 2r + 1のとき ．

i) C�2r+1∼= C�2r ⊕ C�2r ∼= C(2r) ⊕ C(2r): C�2r+1は

Γ0±, · · · ,Γr−1±,Γ2r (4.136)

により生成される．このとき，

(ΓΓ2r)2 = 1, [Γ,Γ2r] = 0, [ΓΓ2r,Γa±] = 0 (a = 0, · · · , r − 1). (4.137)

ΓΓ2rはC�2r+1の中心に属する射影的要素となる．したがって，C�2r+1はΓ2r =

±Γとなる２つのイデアルに直和分解され，因子はともにC�2rと同型となる．

ii) Spin(2r + 1,C) ⊂ C�2r+1 � C2r: SO(2r + 1,C)の標準生成元は，SO(2r,C)の

標準生成元Mμν(0 ≤ μ, ν ≤ 2r − 1)と

M0 2r = −Σ0 2r =i

4[Γ0,Γ2r],

Mj 2r = iΣj 2r =1

4[Γj,Γ2r] (j = 1, · · · , 2r − 1) (4.138a)

により与えられる．したがって，C�2r+1の既約分解とC�2rの既約表現からSpin(2r+

1,C)のスピノール表現が一意的に定まる．今の場合，Σμ,2rはΓと反可換でΓ = 1

の要素とΓ = −1の要素の間を結ぶので，この表現は既約となり，最高ウエイトは

|1/2 1/2, · · · , 1/2 >;λ = (h1 + · · · + hr)/2. (4.139)

これは，SO(2r + 1,C)の基本スピノール表現に対応し，その次元は 2r.

69 目次へ

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交換関係による特徴付け SO(n, 1)の生成元

iΣμν =1

4[Γμ,Γν ] (4.140)

は一般に交換関係[iΣαβ ,Γμ] = ημβΓα − ημαΓβ (4.141)

と表される．これより，無限小 Lorentz変換 δΛαβに対して，[

i

2ΣαβδΛαβ,Γ

μ

]= −δΛμ

νΓν (4.142)

が成り立つ．この積分形は

S(Λ)−1ΓμS(Λ) = ΛμνΓ

ν ; (4.143)

δS =i

2ΣαβδΛαβ. (4.144)

Γμの表現が(Γ0)† = −Γ0, (Γj)† = Γj (4.145)

を満たすとき，S†Γ0 = Γ0S−1 (4.146)

が成り立つ．

4.8.3 Majoranaスピノール

【定義 4.28 (Majoranaスピノール)】 　 スピノール表現

ρ : Spin(D − 1, 1) ⊂ Spin(D,C) ⊂ C�D � C2[D/2]

= V

に対して，B ∈M(V ,C)が存在して，

M :={ζ ∈ V

∣∣ ζ = Bζ}

(4.147)

が ρで不変でM = {0}となるとき，M の元をMajoranaスピノールという．�

【命題 4.29】 　スピノール表現 ρに対してMajoranaスピノールが存在するための必要十分条件は，ρが Spin(D− 1, 1)のR-表現 ρ0の複素化を成分として含むことである．この条件はさらに，ρで不変なV の複素部分空間V1およびV1の一次変換Bが存在して，ρ1 = ρ|V1とおくと，V = V，ρ1 = Bρ1B

−1，BB = 1

が成り立つことと同値である． �

70 目次へ

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【命題 4.30】 　 §4.8.2で構成したC�Dの既約表現 ρのもとで，D = 2k+2, 2k+3

に対して，B0 = ikΓ3Γ5 · · ·Γ2k+1, B1 = ΓB0 (4.148)

とおくと，

B0 = B0, B1 = B1, (4.149)

B20 = (−1)k(k+1)/2, B2

1 = (−1)k(k−1)/2, (4.150)

ΓB0 = (−1)kB0Γ (4.151)

およびB0Γ

μB−10 = (−1)kΓμ, B1Γ

μB−11 = (−1)k+1Γμ (4.152)

が成り立つ．ただし，B1に対する式はD = 2k + 2の時のみ成り立つ． �

【定理 4.31】 　スピノール表現 ρ : Spin(D− 1, 1) ⊂ C�D � C2[D/2]= V に対して，

Majoranaスピノールが存在するための必要十分条件は各次元Dに対して次のように表される：

i) D ≡ 0(mod4): 常に存在し， V = M ⊕ iM となる．Weylスピノールへの分解V = W+ + W− (W± = P±V , P± := (1±Γ)/2)に対して，ρ = ρ+ ⊕ ρ−とおくとき，C-線形同型E : W− → W+が存在して，ρ− = E−1ρ+Eとなる．Majorana

スピノールを定義する線形変換Bは，このEを用いて

B =

(0 cE

(cE)−1 0

)(4.153)

と表される．ここで，cはゼロでない任意の複素数である．スピン表示に対しては，D ≡ 0(mod8)の時にB0が，D ≡ 4(mod8)の時にB1がこの条件を満たす．Weyl表示のもとで，ζ ∈ W+は

ζ = ξ ⊕ c−1E−1ξ (4.154)

と表される．

ii) D ≡ 2(mod4): 条件はD ≡ 2(mod8)．このとき，Weylスピノールへの分解V = W+ + W− (W± = P±V , P± := (1±Γ)/2)に対して ρ± ∼=C ρ±となり，スピン表示では線形変換Bの一般形は

B = eiθ+P+B0 + eiθ−P−B0 (4.155)

となる．ここで θ±は任意の実数である．B1もこのクラスに含まれる．

71 目次へ

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iii) D ≡ 1(mod2): 条件はD ≡ 1, 3(mod8). 線形変換Bの一般形はB = eiθB0となる．

�

4.9 部分群による表現の分解

4.9.1 SU(4)

SU(4)の構造 SL(4,C)のWeyl基底は

L0 : hj := Ejj − E44 (j = 1, 2, 3), (4.156a)

L± : E±jk (1 ≤ j < k ≤ 3), E±

j (j = 1, 2, 3). (4.156b)

基本ルート系は，hj(hk) = δjkとして，

Π : α1 = h1 − h2, α2 = h2 − h3, α3 = h1 + h2 + 2h3. (4.157)

基本表現系は

F 1 = h1 =1

4(3α1 + 2α2 + α3), (4.158a)

F 2 = h1 + h2 =1

2(α1 + 2α2 + α3), (4.158b)

F 3 = h1 + h2 + h3 =1

4(α1 + 2α2 + 3α3). (4.158c)

正ルートおよびそのDynkin成分は

level Dynkin weight

3 (1 0 1) α1 + α2 + α3 = 2h1 + h2 + h3, (4.159a)

2 (−1 1 1) α2 + α3 = h1 + 2h2 + h3, (4.159b)

(1 1 − 1) α1 + α2 = h1 − h3, (4.159c)

1 (2 − 1 0) α1, (4.159d)

(−1 2 − 1) α2, (4.159e)

(0 − 1 2) α3. (4.159f)

F jに双対的なL0の基底は

H1 = h1 − h2, H2 = h2 − h3, H3 = h3. (4.160)

レベルベクトル R ∈ L0は

R = [3 4 3] = 3H1 + 4H2 + 3H3. (4.161)

72 目次へ

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4.9.2 SO(8)

SO(8)の構造 SO(8,C)のWeyl基底は

L0 : Sj := −iM2j−1 2j (j = 1, 2, 3, 4), (4.162a)

L± : E±jkη := Ej±k±η

= − i

2[−M2j 2k−1 ± iM2j−1 2k−1 ± iη(−M2j 2k ± iM2j−1 2k)](4.162b)

基本ルート系は，hj(Sk) = δjkとして，

Π : α1 = h1 − h2, α2 = h2 − h3, α3 = h3 − h4, α4 = h3 + h4. (4.163)

基本表現系は

F 1 = h1 = α1 + α2 +1

2(α3 + α4), (4.164a)

F 2 = h1 + h2 = α1 + 2α2 + α3 + α4, (4.164b)

F 3 =1

2(h1 + h2 + h3 − h4) =

1

2(α1 + 2α2 + 2α3 + α4), (4.164c)

F 4 =1

2(h1 + h2 + h3 + h4) =

1

2(α1 + 2α2 + α3 + 2α4). (4.164d)

正ルートおよびそのDynkin成分は

level Dynkin weight

5 (0 1 0 0) α1 + 2α2 + α3 + α4 = h1 + h2, (4.165a)

4 (1 − 1 1 1) α1 + α2 + α3 + α4 = h1 + h3, (4.165b)

3 (−1 0 1 1) α2 + α3 + α4 = h2 + h3, (4.165c)

(1 0 − 1 1) α1 + α2 + α4 = h1 + h4, (4.165d)

(1 0 1 − 1) α1 + α2 + α3 = h1 − h4, (4.165e)

2 (−1 1 − 1 1) α2 + α4 = h2 + h4, (4.165f)

(1 1 − 1 − 1) α1 + α2 = h1 − h3, (4.165g)

(−1 1 1 − 1) α2 + α3 = h2 − h4, (4.165h)

1 (2 − 1 0 0) α1, (4.165i)

(−1 2 − 1 − 1) α2, (4.165j)

(0 − 1 2 0) α3, (4.165k)

(0 − 1 0 2) α4. (4.165l)

73 目次へ

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F jに双対的なL0の基底は

H1 = S1 − S2, H2 = S2 − S3, H3 = S3 − S4, H4 = S3 + S4. (4.166)

レベルベクトル R ∈ L0は

R = [6 10 6 6] = 6H1 + 10H2 + 6H3 + 6H4. (4.167)

8v表現 (1 0 0 0)

8v :

(1 0 0 0)

(−1 1 0 0)

(0 − 1 1 1)

(0 0 − 1 1) (0 0 1 − 1)

(0 1 − 1 − 1)

(1 − 1 0 0)

(−1 0 0 0)

(4.168)

8s表現 (0 0 0 1)

8s :

(0 0 0 1)

(0 1 0 − 1)

(1 − 1 1 0)

(−1 0 1 0) (1 0 − 1 0)

(−1 1 − 1 0)

(0 − 1 0 1)

(0 0 0 − 1)

(4.169)

これは実表現．

8′s表現 (0 0 1 0)

8′s :

(0 0 1 0)

(0 1 − 1 0)

(1 − 1 0 1)

(−1 0 0 1) (1 0 0 − 1)

(−1 1 0 − 1)

(0 − 1 1 0)

(0 0 − 1 0)

(4.170)

これは実表現．

74 目次へ

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U(4) = SU(4) × U(1) ⊂ SO(8) 対応 C4 → R8 : (z1, · · · , z4) �→ (x1, y1, · · · , x4, y4)

(zj = xj − iyj)によりU(4)を SO(8)を埋め込むと，

Ejk �→ E2j−1 2k−1 + E2j 2k, (4.171a)

iEjk �→ E2j−1 2k −E2j 2k−1 (4.171b)

より，複素化GL(4,C) = SL(4,C)×GL(1,C)と SO(8,C)の Lie代数のWeyl基底は次のように対応する：

−1 �→ S1 + S2 + S3 + S4, (4.172a)

hj �→ Sj − S4 (j = 1, 2, 3), (4.172b)

E±jk �→ E±

jk− (1 ≤ j < k ≤ 3). (4.172c)

これより，基本表現系の双対基底の対応は

GL(4,C) SO(8,C)

H1 = h1 − h2 �→ S1 − S2 = H1, (4.173a)

H2 = h2 − h3 �→ S2 − S3 = H2, (4.173b)

H3 = h3 �→ S3 − S4 = H3, (4.173c)

H4 = −1 �→ S1 + S2 + S3 + S4 = H1 + 2H2 +H3 + 2H4 (4.173d)

となる．したがって，基本表現系の対応は

SO(8) SU(4) × U(1)

F 1 �→ F 1 + F 4, (4.174a)

F 2 �→ F 2 + 2F 4, (4.174b)

F 3 �→ F 3 + F 4, (4.174c)

F 4 �→ 2F 4. (4.174d)

Dynkin表示でのウエイトベクトルは行列

P (SO(8) → SU(4) × U(1)) =

⎛⎜⎜⎜⎝1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 2 1 2

⎞⎟⎟⎟⎠ (4.175)

により変換される．

75 目次へ

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たとえば，SO(8)の 8v, 8s, 8′s表現は次のように分解される．

8v表現：8v = 41 + 4−1

(1 0 0 0) (1 0 0)1

(−1 1 0 0) (−1 1 0)1

(0 − 1 1 1) (0 − 1 1)1

(0 0 − 1 1) (0 0 1 − 1) (0 0 − 1)1 (0 0 1)−1

(0 1 − 1 − 1) (0 1 − 1)−1

(1 − 1 0 0) (1 − 1 0)−1

(−1 0 0 0) (−1 0 0)−1

(4.176)

8s表現：8s = 60 + 12 + 1−2

(0 0 0 1) (0 0 0)2

(0 1 0 − 1) (0 1 0)0

(1 − 1 1 0) (1 − 1 1)0

(−1 0 1 0) (1 0 − 1 0) (−1 0 1)0 (1 0 − 1)0

(−1 1 − 1 0) (−1 1 − 1)0

(0 − 1 0 1) (0 − 1 0)0

(0 0 0 − 1) (0 0 0)−2

(4.177)

8′s表現：8′s = 4−1 + 41

(0 0 1 0) (0 0 1)1

(0 1 − 1 0) (0 1 − 1)1

(1 − 1 0 1) (1 − 1 0)1

(−1 0 0 1) (1 0 0 − 1) (−1 0 0)1 (1 0 0)−1

(−1 1 0 − 1) (−1 1 0)−1

(0 − 1 1 0) (0 − 1 1)−1

(0 0 − 1 0) (0 0 − 1)−1

(4.178)

76 目次へ

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4.10 具体例

4.10.1 SO(4)

Lie代数

Ji := −1

2εijkMjk, Ni := Mi4 (4.179)

とおくと，[Ji, Jj] = εijkJk, [Ji, Nj ] = εijkNk, [Ni, Nj] = εijkJk. (4.180)

これより，

J±i :=

1

2(Ji ±Ni) (4.181)

とおくと，[J±i , J

±j ] = εijkJ

±k , [J±

i , J∓j ] = 0. (4.182)

したがって，so(4) ∼= so(3) ⊕ so(3). (4.183)

SU(2) × SU(2) → SO(4): σ1, σ2, σ3をPauli行列として，

σ : x ∈ E4 → σ(x) := x4 − i(x1σ1 + x2σ2 + x3σ3) ∈M(2,C) (4.184)

とおくと，det σ(x) = x2

1 + x22 + x2

3 + x24, σ(x)σ(x)† = det σ(x) (4.185)

より，σは S3から SU(2)への同相写像を与える：

σ : S3 � SU(2). (4.186)

この対応により，SU(2)の SU(2)への左作用および右作用から誘導される S3 の変換は，

− i

2(σi)L �→ J+

i ,i

2(σi)R �→ J−

i (4.187)

となる．これより，写像

φ : SU(2) × SU(2) � (A,B) → O ∈ SO(4);

Aσ(x)B† = σ(Ox) (4.188)

は局所同型写像となり，

φ−1(1) = {(1, 1), (−1,−1)} ∼= Z2. (4.189)

よって，SO(4) ∼= SU(2) × SU(2)/Z2. (4.190)

77 目次へ

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Hopf fibring: Z = (z1, z2) ∈ C2に対して，

σ(Z) =

(z2 iz1iz1 z2

)(4.191)

とおくと，Hopf fibringは

p : S3 � Z �→ [z1, z2] ∈ CP 1, (4.192a)

U(1) � S3 : Z → eiψZ. (4.192b)

また，CP 1と S2の対応は

CP 1 � [z1, z2] �→(

2z1z2|z1|2 + |z2|2 ,

|z2|2 − |z1|2|z2|2 + |z1|2

)∈ S2. (4.193)

これより，S2の標準的な角度座標 (θ, φ)を用いて

z1z2

= eiφ tanθ

2. (4.194)

したがって，Z ∈ S3は

z1 = ei(ψ+φ)/2 sinθ

2, z2 = ei(ψ−φ)/2 cos

θ

2. (4.195)

ここで，θ, φ, ψの標準的な変域は

0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ ψ < 4π. (4.196)

S3の標準計量は，これらを用いて，

ds2(S3) =1

4(dθ2 + sin2 θdφ2) +

1

4(dψ − cos θdφ)2. (4.197)

また，左不変微分形式 ωが，Z0 = (0, 1)，

U(θ, φ, ψ) =

(ei(ψ−φ)/2 cos θ

2ie−i(ψ+φ)/2 sin θ

2

iei(ψ+φ)/2 sin θ2

e−i(ψ−φ)/2 cos θ2

)

=

(e−iφ/2 0

0 eiφ/2

)(cos θ

2i sin θ

2

i sin θ2

cos θ2

)(eiψ/2 0

0 e−iψ/2

)(4.198)

とおくとき，左不変微分形式 ωが

ω = Tr(Aσ(dZ0));

σ(dZ) = U(θ, φ, ψ)σ(dZ0) = dU(θ, φ, ψ)σ(Z0) (4.199)

78 目次へ

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より，

ω =i

2Tr

[A

(ω3 ω1 − iω2

ω1 + iω2 −ω3

)]. (4.200)

ここで，

ω1 = dθ cosψ − dφ sin θ sinψ, (4.201a)

ω2 = dθ sinψ + dφ sin θ cosψ, (4.201b)

ω3 = dψ − dφ cos θ. (4.201c)

よって，ω1, ω2, ω3が左不変微分形式の基底となる．Aと ωIとの対応は

A = −iσI → ωI . (4.202)

U = U(α, β, γ)の右作用に対応する変換を f とおくと，

ω = TrAσ(Z)−1σ(dZ) (4.203)

に対して，

f ∗ω = TrAσ(f(Z))−1σ(df(Z)) = TrAU−1σ(Z)−1σ(dZ)U

= TrUAU−1σ(Z)−1σ(dZ). (4.204)

これより

f ∗ω1 = (cosβ cos γ + cosα sin β sin γ)ω1 + (sin β cos γ − cosα cos β sin γ)ω2

+ sinα sin γ ω3, (4.205a)

f ∗ω2 = (cosβ sin γ − cosα sin β cos γ)ω1 + (sin β sin γ − cosα cosβ cos γ)ω2

− sinα cos γ ω3, (4.205b)

f ∗ω3 = − sinα sin β ω1 + sinα cosβ ω2 + cosα ω3. (4.205c)

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4.11 実単純Lie群

4.11.1 分類

複素型 実型 定義 極大コンパクト群An−1 X ∈ SL(n,C)

SU(n) X†X = In コンパクトSU(p, q)(p+ q = n) X†Ip,qX = Ip,q S(U(p) × U(q))

SL(n,R) X = X SO(n)

SU∗(n) = SL(n/2,H) Jn/2X = XJn/2, n:even Sp(n/2)

Bn XTX = In, X ∈ SL(2n+ 1,C)

SO(2n+ 1) X = X コンパクトSO(p, q)(p+ q = 2n + 1) X = Ip,qXIp,q SO(p) × SO(q)

Cn XTJnX = Jn, X ∈ GL(2n,C)

Sp(n) X†X = I2n コンパクトSp(p, q)(p+ q = n) X†Kp,qX = Kp,q Sp(p) × Sp(q)

Sp(n,R) X = X U(n)

Dn XTX = In, X ∈ SL(2n,C)

SO(2n) X = X コンパクトSO(p, q)(p+ q = 2n) X = Ip,qXIp,q SO(p) × SO(q)

SO∗(2n) = SO(n,H) X†JnX = Jn U(n)

G2 G2 コンパクトG2(2) SU(2) × SU(2)

F4 F4 コンパクトF4(−20) SO(9)

F4(4) Sp(3) × SU(2)

E6 E6 コンパクトE6(2) SU(6) × SU(2)

E6(−14) SO(10) × U(1)

E6(6) Sp(4)

E6(−26) F4

E7 E7 コンパクトE7(7) SU(8)

E7(−5) SO(12) × SU(2)

E7(−25) E6 × U(1)

E8 E8 コンパクトE8(8) SO(16)

E8(−24) E7 × SU(2)80 目次へ

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Ref: Helgason S 1978B; Besse AL 2002B

注：

1. この表において，実型について位相の自由度は考慮されていない（Lie代数のみの分類）．

2. 半単純 Lie群の実型Gに対して，その Lie代数 gを極大コンパクト部分代数 k

を用いて g = k + mと直和分解するとき，δ = dim(m) − dim(k)を gの標数(charater)と呼ぶ．例外群に対しては，各単純複素 Lie群において同じ標数をもつ実型は同型となるので，上の表では，実型をランク rと標数 δを用いて，Gr(δ)と表記している．

4.11.2 同型関係

1. A型 ⇒ B/D型

su(2) ∼= so(3),

su(4) ∼= so(6),

sl(2,R) ∼= so(2, 1),

sl(4,R) ∼= so(3, 3),

sl(2,C) ∼= so(3, 1),

su(1, 1) ∼= so(2, 1),

su(2, 2) ∼= so(4, 2),

su(3, 1) ∼= so∗(6) = so(3,H),

su∗(2) = sl(1,H) ∼= su(2) ∼= so(3),

su∗(4) = sl(2,H) ∼= so(5, 1).

2. C型 ⇒ B/D型

sp(1) ∼= so(3),

sp(2) ∼= so(5),

sp(1,R) ∼= so(2, 1),

sp(2,R) ∼= so(3, 2),

sp(1, 1) ∼= so(4, 1).

81 目次へ

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3. B/D型内部での同値関係

so(4) ∼= so(3) ⊕ so(3),

so(2, 2) ∼= so(2, 1) ⊕ so(2, 1),

so∗(4) = so(2,H) ∼= so(3) ⊕ so(2, 1),

so∗(8) = so(4,H) ∼= so(6, 2).

82 目次へ

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5 例外群Reviews

• John C. Baez, ”The Octonions”

83 目次へ

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6 超代数と超群

6.1 超代数

【定義 6.1 (超環)】 　 環 (R,+, ·)は，そのZ2次数付け，すなわち加法群としての直和分解R = R0 ⊕R1が与えられ，Rα ·Rβ ⊂ Rα+β(α, β ∈ Z2)が成り立つとき，超環 (super-ring)という．超環 Rにおいて，a ∈ R0 ないし a ∈ R1 となる元を斉次元 (homogeneous

element)といい，その全体を h(R)で表す．また，a ∈ h(R)の次数 |a|を，

| | : h(R) → Z2; a �→ α ⇔ a ∈ Rα

により定義する．さらに，超環Rにおいて，常に

ab = (−1)|a||b|ba

が成り立つとき，Rは可換 (commutative)であるという． �

【定義 6.2 (結合的超代数)】 　 Z2次数付き代数A = A0 + A1は，その積演算が結合的であるとき結合的超代数という． �

【定義 6.3 (可換超代数)】 　 結合的超代数A = A0 + A1において，

ab = (−1)degadegbba

が成り立つとき，A を可換超代数という． �

【例 6.4 (行列超代数)】 　 Fを係数とする p+ q次の正方行列の全体M(p+ q,F)

の作る代数に，

次数 0 :

(A 0

0 D

)A ∈M(p,F), D ∈M(q,F)

次数 1 :

(0 B

C 0

)B ∈M(p, q,F), C ∈M(q, p,F)

によりZ2次数を定義すると，結合的超代数が得られる．この超代数をM(p|q,F)

と表す． �

84 目次へ

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【例 6.5 (外積代数)】 　 F係数L次元線形空間 V (FF = R,C)から作られる外積代数

∧V を FBLと表し，その偶元の次数を 0，奇元の次数を 1とおくと，可換

超代数が得られる．これは，Grassmann代数に単位元を付加したものと一致する． �

【定義 6.6 (超行列)】 　 可換超代数A を係数とする行列を超行列と呼ぶ．超行列M を

M =

(A B

C D

)A ∈ M(p, r,F), B ∈M(p, s,F), C ∈ M(q, r,F), D ∈M(q, s,F)

と表すとき，

(p|q) × (r|s)偶超行列： A,D ∈ A0, B, C ∈ A1

(p|q) × (r|s)奇超行列： A,D ∈ A1, B, C ∈ A0

と定義する．このタイプの超行列の全体をM(p|q, r|s; A )と表す．特に，(p|q)×(p|q)型の超行列の集合をM(p|q; A )と表す．これは，結合的超代

数をなす．行列超代数M(p|q; F)は，自然な埋め込みにより，M(p|q; FBL)の部分超代数となる．さらに，(1|0)×(r|s)偶超行列を (r|s)超行ベクトル，(p|q)×(1|0)

偶超行列を (p|q)超列ベクトルという． �

【定義 6.7 (超行列の基本演算)】 　

M =

(A B

C D

)

を超行列M ∈M(p|q, r|s,A )とする．

i) (Grassmann数との積) Grassmann数E ∈ A とM の積を，

EM :=

(E1p 0

0 (−1)degEE1q

)M,

ME := M

(E1r 0

0 (−1)degEE1s

)

により定義する．

85 目次へ

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ii) (超転置) M の超行列としての転置を

stM :=

(AT (−1)degMCT

−(−1)degMBT DT

)

により定義する．このとき，次の性質がなりたつ：

st(MN) = (−1)degMdegN stN stM,st(EM) = Est(M), st(ME) = st(M)E, E ∈ FBL

iii) (超トレース) 超行列としてのトレースを

strM := TrA− (−1)degMTrD

で定義する．このとき，次の性質が成り立つ．

str(MN) = (−1)degMdegNstr(NM),

str(EM) = E(strM), srt(ME) = (strM)E,

str(stM) = strM,

str(SMS−1) = strM.

ここで，Sは可逆な (p|q)正方偶超行列である．

iv) (超行列式) M が (p|q)正方偶超行列であるとき，超行列としての行列式を

sdetM :=det(A− BD−1C)

detD

により定義する．このとき次の性質が成り立つ：

sdet(MN) = (sdetM)(sdetN),

sdet(stM) = sdetM,

sdet(expM) = exp(strM).

v) (共役) E ∈ CBLに対してその共役E�を

E� :=

{E∗ E ∈ CBL0

−iE∗ E ∈ CBL1

86 目次へ

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により定義する．ここで，E∗は通常の複素共役である．これを用いて，M の共役を

M ‡ :=

(A�T C�T

B�T D�T

)と定義する．このとき，次の性質が成り立つ．

(MN)‡ = N ‡M ‡,

(M ‡)‡ = M,

sdet(M ‡) = (sdetM)� = (sdetM)∗.

�

6.2 超空間

【定義 6.8 (超空間)】 　 外積代数RBL = RL0 + RL1より作られる実線形空間

RBm,nL =

m︷ ︸︸ ︷RBL0 × · · · × RBL0 ×

n︷ ︸︸ ︷RBL1 × · · · × RBL1

を超空間といい，その点を一般に

(X;Θ) = (X1, · · · , Xm,Θ1, · · · ,Θn)

で表す．RBLの元Zを基底EM(Mは{1, · · · , L}の部分集合）を用いてZ =

∑M ZMEM

と表すとき，Zのノルムを

‖Z‖ =∑M

|ZM |

により定義する．このとき，RBLはBanach代数となる．このノルムを用いて，超空間のノルムを

‖(X;Θ)‖ :=∑j

‖Xj‖ +∑k

‖Θk‖

により定義する． �

87 目次へ

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【定義 6.9 (超微分)】 　 Banach代数CBLに値を取る超空間 RBm,nL の開集合 U

上の関数 F (X,Θ)に対して，

F (X + Y ;Θ + Ψ) = F (X;Θ)+∑j

Y j ∂F (X ;Θ)

∂Xj+∑k

Ψk ∂F (X;Θ)

∂Θk+‖(Y ;Ψ)η(Y ;Ψ)

となる U 上の CBL値関数 ∂F (X ;Θ)/∂Xj，∂F (X ;Θ)/∂Θk および (Y ;Ψ) =

(0; 0)の近傍で定義された関数 η(Y ;Ψ)が存在して，

‖(Y ;Ψ)‖ → 0 ⇒ ‖η(Y ;Ψ)‖ → 0

が成り立つとき，∂F (X ;Θ)/∂Xj，∂F (X ;Θ)/∂Θk を F (X;Θ)の超偏微係数という．ただし，∂F (X ;Θ)/∂Θkはこの定義では一意的に定まらず，E1,··· ,Lに比例する項を加える自由度の除いて決まる． �

【定理 6.10 (C∞関数)】 　 超空間CBm,nL の開集合U 上のCBL値関数 F (X;Θ)

が，超微分の意味でC∞とする．

i) Θkの積を一般にΘΛと表すと，

F (X;Θ) =∑Λ

FΛ(X)ΘΛ

となる．すなわち，F はΘkの多項式となる．さらに，Xの c数成分 (E∅ = 1

の係数）をX0としてF (X0) = F (X0E∅)

とおくと，

F (X) = F (X) ≡∑j

(j−1)DjF (X0)(X − X0E∅)j.

�

【定義 6.11 (超微分可能関数)】 　 U ⊂ RBm,nL 上の C∞CBL値関数を F (X;Θ)

とする．L ≥ 2nとして，L′ = [(L+ 1)/2]とおく．このとき，

F (X;Θ) =∑

Λ

FΛ(X)ΘΛ

において，F λ(X∅)の値が常にCBL′(⊂ CBL)に含まれるとき，F を U 上の超微分可能関数という． �

88 目次へ

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【定理 6.12】 　 F (X;Θ)を U ⊂ CBm,nL 上の超微分可能関数とする．このとき，

その奇変数Θkに関する偏微分を

∂F (X;Θ)

∂Θk=∑

Λ

(−1)degFΛ

FΛ(X)ΘΛ/k

と定義し，上記の一般的定義におけるE1,··· ,Lに比例する不定性を取り除く．ただし，kがΛに含まれる場合は，その位置を p(k)として

ΘΛ/k :=

{(−1)p(k)−1ΘΛ−{k} k ∈ Λ,

0 k ∈ Λ.

このとき，次が成り立つ．

i) 超偏微分は線形作用素である．

ii) 超偏微分について一般化されたLeibnitzの公式が成り立つ．ただし，F (X;Θ)

が同次元のとき，∂FG

∂Θk=

∂F

∂ΘkG+ (−1)degFF

∂G

∂Θk.

iii) ∂/∂Xj と ∂/∂Xj′ および ∂/∂Θkは可換，∂/∂Θkと ∂/∂Θk′ は反可換．

�

【定義 6.13 (超解析関数)】 　 RBm,nL の開集合U上のCBLに値を取る超微分可能

関数 F (X;Θ)は，その CBLの基底 EM に関する成分 FM(X;Θ)がすべてXjμ

の解析関数のとき，超解析的という． �

89 目次へ

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6.3 Lie超代数

【定義 6.14 (Lie超代数)】 　 Z2次数付き線形空間Ls = L0 + L1に次の性質をもつ積 [a, b]が定義されているとき，Lsを Lie超代数という：

i) a, bがそれぞれ同次元のとき，

deg([a, b]) = dega+ degb.

ii) a, b, c ∈ Ls，α, β ∈ C(R)のとき，

[αa+ βb, c] = α[a, c] + β[b, c].

iii) a, bが同次元のとき，[b, a] = −(−1)degadegb[a, b].

iv) a, b, cが同次元のとき

[a, [b, c]](−1)degadegc + [b, [c, a]](−1)degbdega + [c, [a, b]](−1)degcdegb = 0.

�

【例 6.15 (行列の Lie超代数)】 　 行列の超代数M(p|q,F)(F = R,C)において

[M,N ] := MN − (−1)degMdegNNM

とおくと，この超交換子に対してM(p|q,F)は Lie超代数となる．さらに，

sl(p|q; F) := {M ∈M(p|q,F) | strM = 0}は，M(p|q; F)の部分 Lie超代数となる．また，

K :=

(1p 0

0 Jq

); Jq :=

(0 1q/2

−1q/2 0

)で定義されるK ∈M(p|q; F)を用いて，

osp(p|q; F) :={M ∈M(p|q,F)

∣∣ stMK + (−1)degMKM = 0}

とおくと，次数ゼロの部分が

L0 = so(p) ⊕ sp(q/2,F)

となる直交シンプレクティック Lie超代数が得られる． �

90 目次へ

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【定義 6.16 (Lie超代数の次数付き表現)】 　 Lie超代数Lsから，行列の作るLie

超代数M(p|q,F)への Lie超代数としての準同型Γを，Lsの次数付き表現という． �

91 目次へ

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6.4 単純複素Lie超代数

【定義 6.17 (古典Lie超代数とCartan型Lie超代数)】 　 Lie超代数L = L0+L1

において，代数演算により誘導される表現L0 �L1が完全可約のとき，L は古典Lie超代数 (classical Lie superalgebra)，完全可約でないときCartan型Lie

超代数 (Cartan type Lie superalgebra)という． �

【定義 6.18 (簡約可能なLie代数)】 　 Lie代数 gは，半単純 Lie代数と中心の直和となるとき簡約可能という． �

【命題 6.19】 　Lie超代数が古典的であることと，Lie代数L0が簡約可能であることは同等である． �

【定理 6.20 (古典複素 Lie超代数の分類定理)】 　 単純複素 Lie超代数は次のように分類される：

(1) 基本 (basic)古典単純複素 Lie超代数

(a) Killing形式が非退化となるもの．

(i) 単純複素 Lie代数

(ii) 次の６つの系列：

A(m|n) = sl(m+ 1|n+ 1; C), m > n = 0, 1, 2, · · · ,B(m|n) = osp(2m+ 1|2n; C), m = 0, 1, · · · , n = 1, 2, · · · ,C(n) = osp(2|2n− 2; C), n = 2, 3, · · · ,D(m|n) = osp(2m|2n; C), m = 2, 3, · · · , n = 1, 2, · · · , m = n+ 1,

F (4),

G(3).

(b) Killing形式が恒等的にゼロとなるもの．

A(n|n) = sl(n+ 1|n+ 1; C), n = 1, 2, · · · ,D(n+ 1|n) = osp(2n+ 2|2n; C), n = 1, 2, · · · ,D(2|1;α), α ∈ C − {0,−1,∞} .

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(2) 特異 (strange)古典単純複素 Lie超代数

P (n), n = 2, 3, · · · ,Q(n), n = 2, 3, · · ·

[Cornwell JF 1989[Cor89]; Kac VG 1977[Kac77]] �

【定理 6.21 (Cartan型Lie超代数の分類定理)】 　 Cartan型 Lie超代数は次の４つの離散系列で尽くされる：

1) W (n) (n = 3, 4, · · · )2) S(n) (n = 3, 4, · · · )3) S(n) (n = 4, 5, · · · ,)4) H(n) (n = 4, 5, · · · ,)

[Cornwell JF 1989[Cor89]; Kac VG 1977[Kac77]] �

6.4.1 古典Lie超代数

gl(m|N): Q ∈ M(m + N)を A ∈ M(m), B ∈ M(m,N), C ∈ M(N,m), D ∈ M(N)

を用いて

Q =

(A B

C D

)(6.1)

と表し，

L = M(m+N), (6.2a)

L0 = {Q ∈ L | B = C = 0} , (6.2b)

L1 = {Q ∈ L | A = D = 0} (6.2c)

とおく．このとき，[∗, ∗]±を[Q1, Q2]± = [Q1, Q2] for Q1, Q2 ∈ L0, (6.3a)

[Q1, Q2]± = [Q1, Q2] for Q1 ∈ L0, Q2 ∈ L1, (6.3b)

[Q1, Q2]± = {Q1, Q2} for Q1, Q2 ∈ L1 (6.3c)

と定義すると，{L , [∗, ∗]±}は超代数 gl(m|N)となる．以下，Q ∈ L をQ[A,D;B,C]

と表記する．

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osp(N |2p): Ω(2p)を条件

Ω2(2p) = −1, Ω(2p)

T = −Ω(2p) (6.4)

を満たす 2p次の正方行列，G(N)をN 次の対称正則行列とする．osp(N |2p)を次の条件を満たす gl(N |2p)の部分代数として定義する：

ATG(N) +G(N)A = 0, (6.5a)

DTΩ(2p) + Ω(2p)D = 0, (6.5b)

C = Ω(2p)BTG(N) (6.5c)

このとき，[osp(N |2p)]0の生成する群Gは

G = O(N) ⊗ Sp(p) (6.6)

が成り立つ．特に，

Sp(2,C) ∼= SO(5,C) (6.7)

より，osp(N |4)の適当な実型は SO(2, 3) × SO(N)に対応する実超代数，すなわちAdS4上のN -拡張超代数となる．また，”宇宙項”ゼロの極限をとると，Minkowski時空E3,1上のN -拡張超代数が得られる．

sl(m|N): sl(m|N)を次の条件を満たす gl(m|N)の部分代数として定義する：

TrA = TrD. (6.8)

このとき，G = SL(m,C) ⊗ SL(N,C) ⊗ GL(1,C) (6.9)

が成り立つ．さらに，H(m)を符号 (p, q)(p+ q = m)のm次エルミート行列，H(N)を正のN 次

エルミート行列として，条件

H(m)AH−1(m) = −A†, (6.10a)

H(N)DH−1(N) = −D†, (6.10b)

H(m)BH−1(N) = −C† (6.10c)

を満たす sl(m|N)の実部分代数を su(p, q|N)とおくと，

G = SU(p, q) ⊗ SU(N) ⊗ U(1) (6.11)

94 目次へ

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が成り立つ．特に，

SU(2, 2) ∼= SO(2, 4) (6.12)

より，su(2, 2|N)はAdS5上の拡張超対称代数を与える．

P (n)とQ(n): P (n)は次の条件を満たす gl(n|n)の部分代数として定義される：

AT +D = 0, TrA = 0, (6.13a)

BT = B, CT = −C. (6.13b)

すなわち，

G = SL(n,C), (6.14a)

G� L1 : (2)n + [2]n. (6.14b)

また，Q′(n)を次の条件を満たす sl(n|n)の部分代数として定義する：

A = D, B = C, TrB = 0. (6.15)

ただし，Q′(n)は中心 {aI2n | a ∈ C} ∼= Cをもつので，

Q(n) = Q′(n)/C (6.16)

により単純な超代数Q(n)を定義する．このとき，

G = SL(n,C), (6.17a)

G� L1 : Adjoint表現 (6.17b)

となる．

D(2, 1, α), G(3), F (4):

1. D(2, 1, α)

G = SL(2,C) ⊗ SL(2,C) ⊗ SL(2,C), (6.18a)

G� L1 : (2, 2, 2). (6.18b)

2. G(3)

G = SL(2,C) ⊗G2, (6.19a)

G� L1 : (2, 7) (6.19b)

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3. F (4)

G = SL(2,C) ⊗ SO(7,C), (6.20a)

G� L1 : (2, 8) (6.20b)

6.4.2 Cartan型超代数

ai, a†i (i = 1, · · · , n)をフェルミ型生成消滅演算子とする：{

ai, a†j

}= δij , {ai, aj} =

{a†i , a

†j

}= 0.

W (n)(n ≥ 3):

W (n) = G−1 ⊕G0 ⊕G1 ⊕ · · · ⊕Gn−1, (6.21a)

[Gi, Gj ] ⊂ Gi+j, (6.21b)

L0 = G0 ⊕G2 ⊕ · · · , L1 = G−1 ⊕G1 ⊕ · · · . (6.21c)

ここで，

G−1 = 〈ai (i = 1, · · · , n)〉, (6.22a)

G0 = 〈a†iaj (i, j = 1, · · · , n)〉, (6.22b)

G1 = 〈a†ia†jak (i = j, k = 1, · · · , n)〉, (6.22c)

· · · · · · ,Gn−1 = 〈a†1 · · ·a†nai (i = 1, · · · , n)〉. (6.22d)

G0∼= gl(n)でW (n)の次元は n · 2n．また，W (2) = sl(2|1).

S(n) (n ≥ 3):

S(n) = G−1 ⊕G0 ⊕G1 ⊕ · · · ⊕Gn−2, (6.23a)

[Gi, Gj ] ⊂ Gi+j, (6.23b)

L0 = G0 ⊕G2 ⊕ · · · , L1 = G−1 ⊕G1 ⊕ · · · . (6.23c)

96 目次へ

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ここで，

G−1 = 〈ai (i = 1, · · · , n)〉, (6.24a)

G0 = 〈a†1a1 − a†jaj (j = 2, · · · , n),

a†iaj (i = j = 1, · · · , n)〉, (6.24b)

G1 = 〈a†i (a†1a1 − a†jaj) (i = j = 1, · · · , n),

a†1(a†2a2 − a†jaj) (j = 3, · · · , n),

a†ia†jak (i = j = k = 1, · · · , n)〉, (6.24c)

G2 = 〈a†ia†j(a†1a1 − a†kak) (i = j = k = 1, · · · , n),

a†ka†1(a

†2a2 − a†jaj) (k = j = 3, · · · , n),

a†1a†2(a

†3a3 − a†jaj) (j = 4, · · · , n),

a†ia†ja

†kal (i = j = k = l = 1, · · · , n)〉, (6.24d)

· · · · · ·

G0∼= sl(n)で dim(S(n)) = (n− 1)2n + 1.

S(n) (n ≥ 4): S(n)において，G−1を次の集合で置き換えたのも：

G−1 = 〈(1 + a†1a†2 · · ·a†n)ai (i = 1, · · · , n)〉. (6.25)

H(n) (n ≥ 4):

H(n) = G−1 ⊕G0 ⊕G1 ⊕ · · · ⊕Gn−3, (6.26a)

[Gi, Gj ] ⊂ Gi+j, (6.26b)

L0 = G0 ⊕G2 ⊕ · · · , L1 = G−1 ⊕G1 ⊕ · · · . (6.26c)

ここで，

G−1 = 〈ai (i = 1, · · · , n)〉, (6.27a)

G0 = 〈a†iaj − a†jai (i, j = 1, · · · , n)〉, (6.27b)

G1 = 〈a†[ia†jak] (i, j, k = 1, · · · , n)〉, (6.27c)

· · ·

G0∼= so(n)で dim(H(n)) = 2n − 2.

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6.5 単純実Lie超代数

6.5.1 分類

Ref: Parker M: JMP21, 689(1980)

【定理 6.22 (実古典単純Lie超代数と複素古典単純Lie超代数の関係)】 　 実古典単純Lie超代数L の複素化L ⊗Cは，複素古典単純Lie超代数L ′と同型であるか，またはそらの２個の直和である．後者の場合，対応する複素古典単純Lie超代数は実 Lie超代数として単純である．また，この対応において，L を複素 Lie超代数L ′の実型という．[Parker M 1980[Par80]] �

【定理 6.23 (実古典単純Lie超代数の分類)】 　 古典複素単純 Lie超代数L の実型は，複素Lie代数L0の実型により同型を除いて一意的に定まり，次のいずれかで与えられる：

1. A(m|n) (m > n ≥ 0) の実型

sl(m+ 1|n+ 1; R) : L0 = sl(m+ 1,R) ⊕ sl(n+ 1,R) ⊕ R,

sl(m+1

2|n+1

2; H)

: L0 = su∗(m+ 1) ⊕ su∗(n+ 1) ⊕ R, m, n :奇数,

su(m+ 1 − p, p|n+ 1 − q, q) : L0 = su(m+ 1 − p, p) ⊕ su(n + 1 − q, q) ⊕ iR

2. A(n|n) (n ≥ 1)の実型

sl(n+ 1|n+ 1; R) : L0 = sl(n + 1,R) ⊕ sl(n+ 1,R),

sl(n+1

2|n+1

2; H)

: L0 = su∗(n+ 1) ⊕ su∗(n + 1), n :奇数,

su(n+ 1 − p, p|n+ 1 − p, p) : L0 = su(n+ 1 − p, p) ⊕ su(n+ 1 − p, p),

H(4;n; R) : L0 = sl(n + 1,C).

3. B(m|n) (m ≥ 0, n ≥ 1) の実型

osp(2m+ 1 − p, p|2n; R) : L0 = so(2m+ 1 − p, p) ⊕ sp(n,R).

4. C(n) (n ≥ 2)の実型

osp(2|2n− 2; R) : L0 = so(2) ⊕ sp(n− 1; R),

osp(1|n− 1 − p, p; H) : L0 = so∗(2) ⊕ sp(n− 1 − p, p).

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5. D(m|n) (m ≥ 2, n ≥ 1)の実型

osp(2m− p, p|2n; R) : L0 = so(2m− p, p) ⊕ sp(n,R),

osp(m|n− p, p; H) : L0 = so∗(2m) ⊕ sp(n− p, p).

6. P (n) (n ≥ 2)の実型

PI(n) : L0 = su(n+ 1), n : odd,

PII(n) : L0 = sl(n+ 1,R).

7. Q(n) (n ≥ 2)の実型

QI(n) : L0 = su(p, n+ 1 − p),

QII(n) : L0 = su∗(n + 1), n : odd,

QIII(n) : L0 = sl(n + 1,R).

8. D(2|1;α)の実型

DI(2|1;α) : L0 = sl(2,R) ⊕ sl(2,R) ⊕ sl(2,R); α : real,

DII(2|1;α) : L0 = su(2) ⊕ su(2) ⊕ sl(2,R); α : real,

DIII(2|1;α) : L0 = sl(2,C) ⊕ sl(2,R); α + α = −1.

9. G(3)の実型

GI(3) : L0 = sl(2,R) ⊕ g2,0,

GII(3) : L0 = sl(2,R) ⊕ g2,2.

ここで，g2,0はG2の Lie代数のコンパクト実型 (= AutC)，g2,2は非コンパクト実型．

10. F (4)の実型

FI(4) : L0 = sl(2,R) ⊕ so(7),

FII(4) : L0 = sl(2,R) ⊕ so(3, 4),

FIII(4) : L0 = su(2) ⊕ so(2, 5),

FIV (4) : L0 = su(2) ⊕ so(1, 6).

[Parker M 1980[Par80]] �

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6.5.2 単純超対称代数

【定理 6.24 (単純超対称代数の分類)】 　 古典単純実 Lie超代数L = L0 + L1

で．L0が時空対称性を表す Lie代数 so(D, 1), so(D− 1, 2), so(D, 2)を直和因子として含むものは次のものに限られる：

D L L0 L1 複素型2 su(1, 1|p,N − p) so(2, 1) ⊕ u(p,N − p); N = 2 (2, N) + (2, N) A(1|N − 1)

sl(2|N ; R) so(2, 1) ⊕ sl(N,R) ⊕ R;N = 2 (2, N) + (2, N)

su(1, 1|2) so(2, 1) ⊕ su(2) (2, 2) + (2, 2) A(1|1)

su(1, 1|1, 1) so(2, 1) ⊕ su(1, 1) (2, 2) + (2, 2)

sl(2|2; R) so(2, 1) ⊕ sl(2,R) (2, 2) + (2, 2)

osp(p,N − p|2; R) so(2, 1) ⊕ so(p,N − p) (2, N) B/D([N/2]|1)

osp(2, 1|2N ; R) so(2, 1) ⊕ sp(N ; R) (3, 2N) B(1|N)

osp(2|p,N − p; H) so(2, 1) ⊕ so(3) ⊕ sp(p,N − p) (2, 2, 2N) D(2|N)

DI(2|1;α) so(2, 1) ⊕ sl(2,R) ⊕ sl(2,R) D(2|1;α)

DII(2|1;α) so(2, 1) ⊕ so(4) (2, 4)

DIII(2|1;α) so(2, 1) ⊕ sl(2,C)

GI(3) so(2, 1) ⊕ g2,0 (2, 7) G(3)

GII(3) so(2, 1) ⊕ g2,2

FI(4) so(2, 1) ⊕ so(7) (2, 8) F (4)

FII(4) so(2, 1) ⊕ so(3, 4)

3 H(4; 1; R) so(3, 1) (2, 1) + (1, 2) A(1|1)

osp(3, 1|2N ; R) so(3, 1) ⊕ sp(N,R) D(2|N)

osp(3|p,N − p; H) so(3, 1) ⊕ sp(p,N − p) D(3|N)

DIII(2|1;α) so(3, 1) ⊕ sl(2,R) α + α = −1 D(2|1;α)

osp(2, 2|2N ; R) so(2, 2) ⊕ sp(2,R) D(2|N)

4 osp(4, 1|2N ; R) so(4, 1) ⊕ sp(N,R) B(2|N)

osp(1|1, 1; H) so(4, 1) ⊕ so(1, 1) 4 + 4 C(3)

osp(N |1, 1; H) so(4, 1) ⊕ so∗(2N);N ≥ 2 D(N |2)

osp(p,N − p|4; R) so(3, 2) ⊕ so(p,N − p); N ≥ 1 (4, N) B/D([N/2]|2)

osp(3, 2|2N ; R) so(3, 2) ⊕ sp(N,R) B(2|N)

osp(2|4; R) so(3, 2) ⊕ so(2) C(5)

100 目次へ

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D L L0 L1 複素型5 sl(2|N ; H) so(5, 1) ⊕ su∗(2N) ⊕ u(1) N = 2 A(3|2N − 1)

sl(2|2; H) so(5, 1) ⊕ so(5, 1) A(3|3)

osp(5, 1|2N ; R) so(5, 1) ⊕ sp(N,R) D(3|N)

QII(3) so(5, 1) 15adj Q(3)

su(2, 2|p,N − p) so(4, 2) ⊕ u(p,N − p);N = 4 (4, N) + (4, N) A(3|N − 1)

su(2, 2|p, 4 − p) so(4, 2) ⊕ su(p, 4 − p) (4, 4) + (4, 4) A(3|3)

sp(4, 2|2N ; R) so(4, 2) ⊕ sp(N,R) D(3, N)

QI(3) so(4, 2) 15ad Q(3)

6 osp(6, 1|2N ; R) so(6, 1) ⊕ sp(N,R) B(3|N)

FIV (4) so(6, 1) ⊕ su(2) (8, 2) F (4)

osp(5, 2|2N ; R) so(5, 2) ⊕ sp(N,R) B(3|N)

FIII(4) so(5, 2) ⊕ su(2) (8, 2) F (4)

7 osp(7, 1|2N ; R) so(7, 1) ⊕ sp(N,R) D(4|N)

osp(4|p,N − p; H) so(6, 2) ⊕ sp(p,N − p) (8, 2N) D(4|N)

osp(6, 2|2N ; R) so(6, 2) ⊕ sp(N,R)

2m osp(2m, 1|2n; R) so(2m, 1) ⊕ sp(n,R) B(m|n)

osp(2m− 1, 2|2n; R) so(2m− 1, 2) ⊕ sp(n,R) B(m|n)

2m− 1 osp(2m− 1, 1|2n; R) so(2m− 1, 1) ⊕ sp(n,R) D(m|n)

osp(2m− 2, 2|2n; R) so(2m− 2, 2) ⊕ sp(n,R) D(m|n)�

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6.6 Lie超群

【定義 6.25 (線形超群)】 　 (p|q)× (p|q)型偶超行列の集合Gsが次の条件を満たすとき，次元 (m,n)の線形超群という：

i) Gsは Lie群である．

ii) Gsの単位元の近傍の局所座標系 (V, φ)として

φ : V → U ⊂ RBm,nL

がとれ，φ−1の各成分は U 上の超解析関数である．

�

【例 6.26 (U(p|q), SU(p|q))】 　

U(p|q) :={G ∈M0(p|q; CBL)

∣∣ G‡G = 1},

SU(p|q) := {G ∈ U(p|q) | sdetG = 1} .�

【定理 6.27 (Lie代数と超生成元)】 　 Gsを次元 (m,n)の超群とし，その単位元の近傍での超空間座標表示をG(X;Θ)とする．

i) Gsは (m+ n)2L−1次元の Lie群であり，その線形 Lie代数L (Gs)の基底は

M Ij =

∂G(X;Θ

∂XjI

|(X ;Θ)=0, NJk =

∂G(X ;Θ

∂ΘkJ

|(X ;Θ)=0

で与えられる．ここで，I, Jはそれぞれ {1, · · · , L}の偶数個，奇数個の部分集合である．

ii) G(X;Θ)の超偏微係数を

Mj =∂G(X ;Θ

∂Xj|(X ;Θ)=0, Nk =

∂G(X ;Θ

∂Θk|(X ;Θ)=0

とおくと，M I

j = EIMj , NJk = EJNk

が成り立ち，L (Gs)の元は一般に (X;Θ) ∈ RBm,nL をパラメーターとして

M =∑j

XjMj +∑k

ΘkNk

と表される．Mj , Nk ∈M(p|q; CBm,nL )はL (Gs)の超生成元と呼ばれる．

102 目次へ

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iii) 単位元の近傍ではG(X;Θ) = exp M

が成り立つ．

�

【定理 6.28 (Lie超代数との関係)】 　 Ls = L0 +L1を dim L0 = m, dim L1 = n

となる実 Lie超代数，Γ : Ls → M(p|q; C)をその忠実な次数付き表現とする．このとき，次が成り立つ．

i) a1, · · · , amをL0の基底，b1, · · · , bnをL1の基底として，

M Ij = EIΓ(aj), NJ

k = EJΓ(bk)

によりM(p|q; CBL)の元を定義すると，これらの線形包は (m+n)2L−1次元実Lie代数Ls(CBL)をなす．

ii) Lie代数Ls(CBL)に対応する線形 Lie群は次元 (m,n)の線形 Lie超群となる．

iii) 0 ≤ N ≤ Lとなる任意の整数N に対して，M Ij , N

Jk のうち |I|, |J | ≥ N となる

もので張られるLs(CBL) の部分空間はそのイデアルとなる．N ≥ 1ならこれは固有イデアルとなり，さらに，N > L/2ならば可換イデアルとなる．特に，Ls(CBL)は半単純 Lie代数とならない．

iv) i),ii)で定義されるLie超代数の集合から線形Lie超群の集合への写像は全射でない．

�

103 目次へ

参考文献[BR86] Barut, A. and Raczka, R.: Theory of Group Representations and Applica-

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