ligjerata e gjashte, distribucioni normal

1

Distribucioni normal dhe distribucioni standard normal

Ligjrata e gjasht

2

Qllimet e msimit

Pas prfundimit t ligjrats ju duhet t jeni n gjendje q t :

Dini kakrakteristikat e distribucionit normal dhe distribucionit standard normal t probabilitietit.

Definoni dhe kalkuloni vlern e t, gjegjsisht Z.

Prcaktoni probabilitetin se nj vrojtim gjindet n mes t dy pikave duke shfrytzuar distribucionin normal

standard (variabln e standardizuar ose devijimin e

normalizuar)

Prcaktoni probabilitetin q nj vrojtim do t jet mbi ose

nn nj vler t dhn duke shfrytzuar distribucionin normal standard.

3

Variablat e rastsishme kontinuale -Shembuj

Experimenti

Variabla rastesishme

Vlerat e mundshme

Pesha e100 Njerzve Pesha 45.1, 78, ...

Jetgjatsia e baterive Or 900, 875.9, ...

Shpenzimet pr ushqim shpenzimet 54.12, 42, ...

Matja e kohs n Mes te dy arritjeve

Koha e arritjes

0, 1.3, 2.78, ...

4

Funksioni i probabilitetit t variablave t vazhdueshme

1. Formul matematikore

2. Paraqet t gjitha vlerat e x, &

Frekuencave, f(x)

f(X) - Nuk sht probabilitetit

3. Karakteristikat

Siprfaqja nn lakore sht 1

Mund t gjinden probabilitet

m pak se nj vler e caktuar

. Vlerat

(Vlerat, Frekuencat)

Frekuencat

f(x)

a b x

5

Probabiliteti i variablave t rastsishme t vazhdueshme

Probabiliteti sht

siprfaqja nn

lakore

1984-1994 T/Maker Co.

P c x d ( )

f(x)

X

c d

6

Llojet e distribucionit t variablave kontinuale

Llojet e distribucioneve kontinuale

Uniform Normal Eksponencial

7

Kurdo q shohim nj lakore normale, mundemi q t imagjinojm nj Bar-diagram brenda saj.

13

15 14 16

12 17 21 20 19 18 22

8

Shembull: Rezultatet e nj kuizi shkollor t 51 studentve

1 13

2

3

4

5

15 14 16

8 7 6

9

12 17 21 20 19 18 22

Rezultatet e kuizit

Nr

stu

den

tve

9

Mesatarja

12+13+13+14+14+14+14+15+15+15+15+15+15+16+16+16+16+16+16+16+16+17+17+17+17+17+17+17+17+17+18+18+18+18+18+18+18+18+19+19+19+19+19+20+20+20+20+20+21+21+22=867

867/51=17

1 13

2

3

4

5

15 14 16

8 7 6

9

12 17 21 20 19 18 22

Rezultatet e kuizit

Nr studentv

e

10

Moda

12

13 13

14 14 14 14

15 15 15 15 15 15

16 16 16 16 16 16 16 16

17 17 17 17 17 17 17 17 17

18 18 18 18 18 18 18 18

19 19 19 19 19 19

20 20 20 20

2 121

22

Rezultatet e kuizit

1 13

2

3

4

5

15 14 16

8 7 6

9

12 17 21 20 19 18 22

11

Mediana 12,13,13,14,14,14,14,15,15,15,15,15,15,16,16,16,16,16,16,16,16,17,17,17,17,17,17,17,17,17,18,18,18,18,18,18,18,18,19,19,19,19,19,1

9,20,20,20,20,21,21,22

1 13

2

3

4

5

15 14 16

8 7 6

9

12 17 21 20 19 18 22

Rezultatet e kuizit

Nr studentv

e

12

Nr

stu

de

ntv

e

Nga ky shembull mund t prfundojm se mesatarja, moda dhe mediana do t bien n t njjtn vler n shprndarjen normale

1 13

2

3

4

5

15 14 16

8 7 6

9

12 17 21 20 19 18 22

Rezultatet e kuizit

13

Shprndarja normale

Shprndarja normale sht njra prej shprndarjeve t shumta t

probabiliteteve q mund t ket

variabla e rastsishme e

vazhdueshme.

Shprndarja normale sht m e e rndsishmja dhe m s shumti e

shfrytzuar nga t gjitha shprndarjet

probabilitare.

14

Shprndarja normale

Shum dukuri n botn reale ose jan t shprndarna n kt form ose i prafrohen shprndarjes normale.

Pr variablat e rastsishme t cilat paraqesin gjatsin dhe peshn e njerzve, rezultatet n

provim, peshn e paketimit t produkteve,

qndrueshmrin n vjet t ndonj objekti ( poqet

elektrike, aparatet televizive), koha q sht e

nevojshme pr t kryer ndonj pun, konsiderohet se

kan shprndarje (prafrsisht ) normale.

15

Karakteristikat e Shprndarjes normale

1. N form t ziles & Simetrike

2. Mesatarja , mediana

dhe moda jan t

barabarta

3. Siprfaqja nn lakoren e shprndarjes

normale sht e

barabart me 1

4. Variabla e rastsishme

ka infinit vlera

Mesatarja

Mediana

Moda

X

f(X)

16


Shprndarja normale e probabiliteteve ose lakorja normale sht n form t

ziles (lakore simetrike).

Mesatarja aritmetike e saj shnohet me , kurse devijimi standard me .

Variabla e rastsishme e vazhdueshme X, q ka shprndarje normale quhet

variabl e rastsishme normale.

17


18


Siprfaqja nn lakoren normale

sht e

barabart me 1

ose 100 ashtu

si sht e

prezantuar n

figurn vijuese:

19


Lakorja e shprndarjes normale sht simetrike n raport me mesataren

aritmetike, ashtu si sht e prezantuar n

figurn vijuese.

Kjo do t thot se 50% e siprfaqes s trsishme nn lakoren normale gjindet n

ann e majt t mesatares aritmetike, e

50% n ann e djatht t mesatares

aritmetike.

20


Kjo do t thot se s trsi50% e

siprfaqes shme

nn lakoren

normale gjindet n

ann e majt t

mesatares

aritmetike, e 50%

n ann e djatht t

mesatares

aritmetike.

21


Mesatarja aritmetike dhe devijimi standard jan dy parametrat e shprndarjes normale.

Kur jan t dhn kta dy parametra, mund t prcaktojm siprfaqen nn

lakoren normale pr cilindo qoft

interval.

22


Nuk ka vetm nj shprndarje normale , por ekzistojn familje e tr e

shprndarjeve normale t cilat jan t

prcaktuara nga prametrat , .

Nga lvizja e tyre merr formn edhe shprndarja normale .

Vlera e prcakton qendrn e lakores s shprndarjes normale n boshtin

horizontal, kurse vlera e tregon shprndarjen e shprndarjes normale.

23


Tri lakore t shprndarjes

normale me

mesatare t

njetj por me

devijim

standard t

ndryshm.

24


Tri lakore t shprndarjes

normale me

mesatare t

ndryshme e

me devijim

standard t

njejt.

25

Funksioni i probabiliteit-formula matematikore

2

2

1

e2

1)(

x

xf

x = Vlera e variabls s rastsishme (- < x < )

= Devijimi standard i popullimit

= 3.14159

e = 2.71828

= Mesatarja e variabls s rastsishme x

Mos e mbani n mend kt formul!

26

Shnimi i shprndarjes normale

X sht N (, )

Variabla e rastsishme X ka shprndarje

normale (N) me mesatare dhe devijim standard .

X sht N(40,1)

X sht N(10,5)

X sht N(50,3)

27

Efektet e lvizjes s parametrave ( & )

X

f(X)

CA

B

28

Probabiliteti i shprndarjes normale

c dx

f(x)

Probabiliteti

sht nn

lakoren

normale!

( ) ( ) ?dc

P c x d f x dx

29

X

f(X)

Numr i pafundm i tabelave

Shprndarjet normale

dallohen nga mesatarja dhe

devijimi standard.

Secila shprndarje do

t krkonte tabeln e

vet.

Q sht numr i pafundm i tabelave!

30

Numr i pafundm i tabelave

Pr fat t mir ekziston mundsia pr shfrytzimin e nj shprndarje normale

t veant e cila na shrben si mjet i

ndrmjetm pr zgjidhjen e problemeve

praktike dhe largimin e integraleve.

Nj shprndarje e till normale quhet shprndarja normale e standardizuar,

kurse procedura q duhet t aplikohet

patjetr quhet standardizim.

31

Shprndarja Normale Standarde

Ideja qndron n at q pr kt shprndarje sht konstruktuar tabela e

shprndarjes normale standarde, ashtu

q pr fardo shprndarje normale reale,

prmes procedurave t standardizimit

shndrrohen n shprndarje standarde dhe

zgjedhja e problemit, gjegjsisht

probabilitetet gjinden prmes tabelave.

32

Shprndarja normale standarde

Shprndarja normale standarde: Shprndarja normale me mesatare

aritmetike =0 dhe devijim standard

=1 quhet shprndarje normale standarde.

33


Shprndarja standarde normale

sht e prezantuar me

figurn vijuese e cila

shnohet me z. Me

fjal t tjera, njsit

pr lakoren e

shprndarjes

standarde normale

jan t shnuara me z

dhe quhen vlerat e z

ose rezultati i z.

34

Vlera e z ose rezultati i Z: Njsit e shnuara n boshtin horizontal t lakores

s shprndarjes standarde normale me

shenjn Z quhen vlera t z ose

rezultatet e z .

Vlera specifike e Z jep distancn n mes t mesatares dhe piks t prezantuar

me z n kuptimin e devijimit standard.


35


N botn reale, variabla e rastsishme e vazhdueshme mund t ket (gjithmon )

shprndarje normale me vlera t

mesatares aritmetike dhe t devijimit

standard t ndryshme nga 0 dhe 1.

N kto raste hapi i par q duhet t ndrmerret sht shndrrimi

shprndarjes s dhn normale n

shprndarje standarde normale

36

Kjo procedur si kemi cekur edhe m lart quhet standardizim i

shprndarjes normale. Njsit e

shprndarjes normale ( q nuk sht

shprndarje standarde) jan t

shnuara me x.

Ne e dim gjithashtu se variabla e rastsishme e shprndarjes standarde

normale sht e shnuar me z.

37

Shndrrimi i Vlers X n vlern Z: Pr variabln e rastsishme x, nj

vler e caktuar e x mund t

shndrrohet n vlerat korresponduese

t z duke prdorur formuln vijuese:

38

Shndrrimi i shprndarjes normale n shprndarje standarde normale

Shndrrimi i Vlers X n vlern

Z: Pr variabln e

rastsishme x, nj

vler e caktuar e x

mund t

shndrrohet n

vlerat

korresponduese t

z duke prdorur

formuln vijuese:

ZX

Ku: x- sht vler e fardo vrojtimi t veant - mesatarja e shprndarjes normale

- devijimi standard i shprndarjes normale

39

Standardizimi i shprndarjes normale

X

Nj tabel!

Shprndarja

normale

= 0

= 1

Z

ZX


Z sht N(0,1)

40

Shembull i standardizimit

X= 5

= 10

6.2

Shprndarja

normale

ZX

6 2 5

1012

..

Z= 0

= 1

.12

Shprndarja normale

standarde

41

Z= 0

= 1

.12

Z .00 .01

0.0 .0000 .0040 .0080

.0398 .0438

0.2 .0793 .0832 .0871

0.3 .1179 .1217 .1255

Gjetja e probabiliteteve

.0478

.02

0.1 .0478

Tabela e shprndarjes

standarde normale (nj pjes)

Probabilitetet

Zona e hijzuar

42

43

44

Shembull P(3.8 X 5)

X = 5

= 10

3.8

Shprndarja

normale

ZX

3 8 5

1012

..

Z = 0

= 1

-.12

.0478

Shprndarja

standarde normale

Fusha e hijezuar

45

Shembull P(2.9 X 7.1)

5

= 10

2.9 7.1 X

Shprndarja

normale

ZX

ZX

2 9 5

1021

71 5

1021

..

..

0

= 1

-.21 Z.21

.1664

.0832 .0832

Shprndarja

standarde normale

Fusha e hijzuar

46

47

Shembull P(X 8)

X = 5

= 10

8

Shprndarja

normale

Shprndarja

standarde normale

ZX

8 5

1030.

Z = 0

= 1

.30

.1179

.5000 .3821

Fusha e hijezuar

48

Shembull P(7.1 X 8)

= 5

= 10

87.1 X

Distribucioni

normal

ZX

ZX

71 5

1021

8 5

1030

..

.

= 0

= 1

.30 Z.21

.0832 .1179

.0347

Distribucioni

standard normal

Fusha e hijzuar

49

SHEMBULL praktik

T ardhurat mujore t posa diplomuarve n nj korporat t

madhe kan shprndarje normale me

mesatare aritmetike prej = $2000 dhe

devijim standard prej = $200. Sa sht vlera e Z pr nj t ardhur prej

x= $2200? Pr nj t ardhur prej

X=$1700?

2200 20001

200

XZ

50

SHEMBULL vazhdim

Pr X=$1700,

Vlera Z = 1 tregon se vlera 2200$ sht 1 mbi mesataren aritmetike prej $2000, derisa Vlera Z=-1,5 tregon se vlera prej $1700 sht 1.5 nn mesataren aritmetike q sht $2000.

1700 20001,5

200

XZ

51

Rndsia e distribucionit normal

Shprndarja normale paraqet shprndarjen teorike

t probabiliteteve m t rndsishme pr kto

arsye:

1. Nj numr i madh i fenomeneve n natyr dhe shoqri kan prafrsisht shprndarje normale.

Shembuj tipik jan: gjatsia, pesha, tensioni i

gjakut, rezultatet n testet e intelegjencs,

gabimet gjat matjeve, etj.

52


N prgjithsi, nse numr i madh i faktorve kan ndikim t vazhdueshm,

dhe ndikimi i do njrit prej tyre sht

shum i vogl, mund t pritet q

dukuria t ket shprndarje normale.

53


2. Shprndarja normale mund t shrbej si

zvendsues i shklqyeshm i

shprndarjeve teorike diskrete, sidomos atij

t Poison-it dhe Binomial, pr ato vlera t

parametrave q nuk jan t dhn n

tabeln e probabiliteteve. Me fjal t tjera,

shum shprndarje teorike diskrete, n

kushte t caktuara, tentojn kah shprndarja

normale.

54


3. Nga shprndarja normale jan

formuar edhe shum shprndarje t

tjera t vazhdueshme, q gjithashtu

kan rndsi shum t madhe n

analizn statistikore si jan ai i

Studenti-it, Shprndarja hi n

katror, Fisherit, etj.

55


4. Shprndarja normale paraqet bazn pr nxjerrjen e konkluzioneve pr parametra t

populacionit pr shkak t :

a) lidhjes s saj me Teoremn Qendrore

Kufitare dhe

b) pr arsye se metodat parametrike kan

supozimin e prbashkt q trsia prej nga

merret mostra ka shprndarje normale.

ligjerata e gjashte, distribucioni normal

Documents