limita funkcie - stuba.skvelichova/m1_p/limitafunkcie.pdf · limita funkcie sprava – cauchyho...
TRANSCRIPT
![Page 1: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/1.jpg)
LIMITA FUNKCIE
![Page 2: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/2.jpg)
-okolím bodu a nazývame interval v R
Pravé okolie bodu a
Ľavé okolie bodu a
0),,()( aaaO
0),,()(
aaaO
0),,()(
aaaO
![Page 3: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/3.jpg)
Heineho definícia limity funkcie
Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom okolí O(a) bodu a. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu rovnajúcu sa číslu b, ak pre každú postupnosť
takú, že xn D(f), xn a,
má postupnosť funkčných hodnôt
limitu rovnajúcu sa číslu b, .
1}{ nnx axnn
lim
1)}({ nnxf
bxf nn
)(lim
))(limlim,),(,}{(
)(lim
1 bxfaxaxfDxx
bxf
nn
nn
nnnn
ax
![Page 4: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/5.jpg)
Z definície limity vyplýva, že
neexistuje, ak sa podarí nájsť dve také postupnosti,
pre ktoré
a
bxfax
)(lim
1}{ nnx
1}{ nnx
axxaxaxfDxx nn
nn
nnnn
limlim,,),(,
)(lim)(lim nn
nn
xfxf
![Page 6: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/6.jpg)
31
1lim,
1coslim
3
10
x
xneexistuje
x xx
![Page 7: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/7.jpg)
Cauchyho definícia limity
Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom okolí O(a) bodu a. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu rovnajúcu sa číslu b, ak pre každé kladné číslo ɛ > 0 existuje také kladné číslo > 0, že pre každé x O(a), x a je f(x) O(b) .
))()(),(,0,0(
)(lim
bOxfaxaOx
bxfax
))(0,0,0(
)(lim
bxfax
bxfax
![Page 8: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/8.jpg)
![Page 9: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/9.jpg)
0sin
lim,1sin
lim0
x
x
x
x
xx
![Page 10: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/10.jpg)
Funkcia nemá v bode a limitu rovnajúcu sa číslu b, ak pre nejaké (aspoň jedno) ɛ-okolie čísla b,
Oɛ(b) = (b − ɛ, b + ɛ)
δ-okolie bodu a,
O(a) = (a − δ, a + δ)
z definície neexistuje.
![Page 11: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/11.jpg)
1])[sgn(lim,1])[sgn(lim
])[sgn(lim
00
0
xxxx
neexistujexx
xx
x
![Page 12: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/12.jpg)
Limita funkcie zľava – Heineho definícia
Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom ľavom okolí O-
(a) bodu a.
Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu zľava rovnajúcu sa číslu b .
))(limlim,,}{(
)(lim
1 bxfaxaxx
bxf
nn
nn
nnn
ax
![Page 13: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/13.jpg)
Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia
Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+
(a) bodu a.
Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu sprava rovnajúcu sa číslu b .
))()()(,0,0(
)(lim
bOxfaOx
bxfax
![Page 14: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/14.jpg)
Limita funkcie f v bode a existuje práve vtedy, ak existuje v bode a limita sprava aj limita zľava a tieto sa rovnajú.
)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax
![Page 15: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/15.jpg)
Základné vlastnosti limity funkcie
1. Funkcia môže mať v bode a len jednu limitu.
2. Ak má funkcia f v bode a limitu, potom existuje také okolie bodu a, na ktorom je funkcia f ohraničená.
3. Ak f(x) = c, c R, tak
Racxf
ax
)(lim
![Page 16: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/16.jpg)
4. Ak , potom
a)
b)
c)
d)
BxgAxfaxax
)(lim,)(lim
BAxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim))()((lim
BAxgxfxgxfaxaxax
.)(lim).(lim))().((lim
0)(,),(,0,0
,)(lim
)(lim
)(
)(lim
xgaxaOxB
B
A
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
zmysel a))((
ymajú výraz ),(,0ak
))(lim())((lim
)(
)(lim)(
Bxg
Bxg
ax
xg
ax
Axf
axaOx
Axfxf ax
![Page 17: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/17.jpg)
5. Limita troch funkcií, Ak
6. Ak na nejakom okolí O(a) bodu a platí
potom aj
Poznámka: Vlastnosti 1) – 6) platia aj pre jednostranné limity.
bxgxhxgxf
axaOxbxhxf
ax
axax
)(lim potom ),()()(
),(0,ak a )(lim)(lim
,)(lim a )()( bxgaxxgxfax
bxfax
)(lim
![Page 18: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/18.jpg)
Nevlastná limita funkcie v bode a
))(),(,0,(
)(lim
KxfaxaOxRK
xfax
))(),(,0,(
)(lim
KxfaxaOxRK
xfax
![Page 19: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/19.jpg)
Ďalšie vlastnosti limity funkcie v bode a
7. Ak
platí
axaOx
xgbxfaxax
),(,0
,0)(lim,)(lim
)(
)(lim potom ,0
)(
)(
)(
)(lim potom ,0
)(
)(
xg
xf
xg
xf
xg
xf
xg
xf
ax
ax
![Page 20: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/20.jpg)
8. Ak je funkcia f v nejakom okolí O(a) bodu a
ohraničená a platí , potom
a)
b)
))()((lim xgxfax
0)(
)(lim xg
xf
ax
)(lim xgax
![Page 21: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/21.jpg)
Limita a nevlastná limita funkcie
v nevlastných bodoch
Nech je funkcia f definovaná na intervale (a, ).
))()(:,0(
)(lim
bOxfAxRA
bxfx
))(:,(
)(lim
KxfAxRARK
xfx
))(:,(
)(lim
KxfAxRARK
xfx
![Page 22: LIMITA FUNKCIE - stuba.skvelichova/M1_P/LimitaFunkcie.pdf · Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070718/5eddda45ad6a402d6669110c/html5/thumbnails/22.jpg)
Nech je funkcia f definovaná na intervale (-, a).
))()(:,0(
)(lim
bOxfAxRA
bxfx
))(:,(
)(lim
KxfAxRARK
xfx
))(:,(
)(lim
KxfAxRARK
xfx