Definicin de lmite Taller matemtico 1/12 10. LIMITES DE FUNCIONES La funcin no est definida en el punto x = 1 ya que se anula el denominador. Para valores prximos a x = 1 tenemos

Definicin de lmite Taller matemtico 2/12 A vista de la tabla pueden hacerse tres importantes observaciones: I) Cuando x toma valores prximos 1, la funcin f(x) toma valores prximos a 1/2.II) Cuanto ms prximo es x a 1, ms lo es f(x) a 1/2. III) Podemos acercarnos con f(x) tanto como queramos a 1/2, eligiendo x convenientemente prximo a 1. Por verificarse la tercera, diremos que es el lmite de la funcin cuando x tiende a 1. Es decir, es el lmite de f(x), cuando x se acerca a 1, si para cualquier valor , positivo y pequeo que se considere, por ejemplo = 0,0000001, siempre podemos encontrar valores x, suficientemente prximos a 1 pero distintos de 1, de modo que sea

Definicin formal de lmite Taller matemtico 3/12 Se dice que la funcin f tiene lmite L cuando x tiende al valor a, si para cada > 0, existe un > 0 tal que para los x que verifican 0 < | x a | < se tiene que | f(x) L | < . Abreviadamente podemos escribir La definicin dada se escribe en forma equivalente empleando intervalos en la forma: El valor del lmite es independiente del valor de la funcin en el punto, y que en general el valor de depende del elegido y del punto a considerado.

Propiedades de los lmites Taller matemtico 4/12 Las principales propiedades de los lmites de funciones son lassiguientes: Si y , entonces se verifica que: 1. Si existe el lmite de una funcin en un punto, es nico. 2. 3. 4. 5.

6.

Ejemplo 1. Taller matemtico 5/12 Las funciones y toman los mismos valores en un entorno reducido del punto x = 1 y como es tambin es sto es lo que ocurre cuando se efecta en forma directa el clculo del lmite

Lmites laterales Taller matemtico 6/12 En la definicin de lmite tomamos valores de x prximos al valor a en ambos lados de a. Puede ocurrir que el lmite exista a condicin de que tomemos valores de x prximos pero slo a un lado del punto a, esta idea nos lleva a los lmites laterales. Escribiremos Para la existencia de lmite de una funcin en un punto han de existir los lmites laterales y coincidir, es decir,

Lmites laterales Taller matemtico 7/12 Ejemplo 2. La funcin posee en el punto x = 1 lmite por la izquierda, que vale 2, lmite por la derecha, que vale 3, pero al no coincidir estos valores la funcin no tiene lmite en ese punto.

Lmites infinitos y lmites en el infinito Taller matemtico 8/12 Se considera la recta real ampliada, el lmite de una funcin en un punto puede ser y la variable puede tender a a y se escribe, por ejemplo,Indeterminaciones y clculo de lmites Aparte de la indeterminacin de la forma con k 0, que

obliga a hallar los lmites laterales para decidir la existencia o no del lmite, existen siete indeterminaciones ms, que se representan como

Ejemplo 3. Taller matemtico 9/12 El lmite no presenta indeter- minacin. El lmite siguiente es indeterminado de la forma y lo calculamos as:

Donde hemos simplificado la expresin entre x - 2, ya que numerador y denominador son polinomios mltiplos de x - 2, al tener ambos el valor x = 2 como raz.Ejemplo 4.

Ejemplo 5. Taller matemtico 10/12 El lmite presenta una indeterminacin del tipo y si simplificamos numerador y denominador, resulta

es decir, tenemos otra indeterminacin. sta se resuelve hallando los lmites laterales, que son por lo que el lmite pedido no existe.

Ejemplo 6. Taller matemtico 11/12 El lmite presenta una indeterminacin que se resuelve dividiendo numerador y denominador entre la potencia mayor del denominador, que es Si hubisemos dividido entre la potencia mayor del numerador, que es nos habra quedado una indeterminacin del tipo lo que nos habra obligado a calcular los lmites laterales.

Para hallar el limite multiplicamos numerador y denominador de la fraccin por la expresin conjugada del denominador, que es la que origina la indeterminacin, obteniendoEjemplo 7. Taller matemtico 12/12