limites y continuidad

El cálculo infinitesimal es el estudio del cambio, de lamisma manera que la geometría es el estudio del espacio.

El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en laciencia y la ingeniería y se usa para resolver problemas paralos cuales el álgebra por sí sola es insuficiente. Este cálculose construye con base en el álgebra, la trigonometría y lageometría analítica e incluye dos campos principales,cálculo diferencial y cálculo integral, que estánrelacionados por el teorema fundamental del cálculo. Enmatemática más avanzada, el cálculo es usualmentellamado análisis y está definido como el estudio de lasfunciones.

Lic. Santiago León González 1

Cálculo Infinitesimal

Teorema Fundamental del CálculoAproximación Intuitiva

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. El área de esta franja sería A(x+h) − A(x).Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con dicha franja. Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 (cero) como límite.Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

f(x) ≈ [ A(x + h) - A(x) ] / h

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.


LÍMITES Y CONTINUIDAD DEFUNCIONES

Introducción

El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite Len el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.


Veamos un ejemplo: Consideremos la función dada por la gráfica de la figura y fijémonos en el punto x =2 situado en el eje de abscisas:


¿Qué ocurre cuando nos acercamos al punto 2 moviéndonos sobre el eje x? Tomemos algunos valores como 2,1, 2,01, 2,001.Vemos en la figura que en este caso las imágenes de dichos puntos sobre la curva, f(2,1), f(2,01), f(2,001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3.Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1,9, 1,99, 1,999 en este caso las imágenes f(1,9), f(1,99), f(1,999) se acercan también al mismo valor, y =3.

Concluimos que el límite de la función f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cual expresamos como:

Lım f(x) = 3

x→2

Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el límitede una función en un punto es el valor en el eje Y al quese acerca la función, f(x), cuando la x se acerca, en el ejede abcisas a dicho punto.


LÍMITES

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Sin embargo la expresión matemática rigurosa de límite es algo más compleja:

Definición: Dada una función f(x) y un punto x = a, se dice que el límite de f(x) cuando x se acerca a a es L, y se expresa como:

lim f(x) = Lx a


cuandoDado ε > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < εLo que viene a expresar esta formulación matemática es que si x está “suficientemente cerca” de a, entonces su imagen f(x) también está muy próxima a L

LÍMITES Y CONTINUIDAD

En la práctica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados límites laterales, que se definen de la siguiente forma:

Definición:Se define el límite lateral por la derecha de a de la función f(x), y se expresa como:

Lim f(x)x→a+

al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.

De igual modo, el límite lateral por la izquierda de a de la función f(x) se expresa como:

Lim f(x)x→a-

y se define como el límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.

Propiedad: Para que una función f(x) tenga límite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:

lım f(x) = lım f(x) = lım f(x)x→a x→a+ x→a−


LÍMITES Y CONTINUIDADTEOREMAS DE LÍMITES

Sean f y g funciones con límites en c, n un número entero y kuna constante. Se tiene entonces que:

• El límite de una constante es la constante:

• El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función:


http://es.wikipedia.org/wiki/N%FAmero_entero

• El límite de una suma es igual a la suma de los límites:

• El límite de un producto es igual al producto de los límites:

• El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el denominador evaluado en el límite no sea cero.

siempre y cuando 9Lic. Santiago León González



• El límite de la potencia de una función es igual a la potencia enésima del límite de la función:

• El límite de un radical enésimo de una función es igual al radical enésimo del límite de la función:

10Lic. Santiago León González

Teorema de Bolzano

Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b].

Si f (a) y f (b) tienen signos opuestos.

Entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que:

f (c)=0


Teorema de los Valores Intermedios o Darboux


Si k es un número comprendido entre f (a) y f (b).

Entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo cerrado [a, b] tal que: f (c)=k

O También:


Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f (x) toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b).

Teorema de Bolzano – Weierstrass

Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] entonces.

Existe al menos un punto c del intervalo cerrado [a, b] donde f alcanza su valor máximo, es decir:

f (c) ≥ f (x) para todo x de [a, b]

Existe al menos un punto d del intervalo cerrado [a, b] donde f alcanza su valor mínimo, es decir:

f (d) ≤ f (x) para todo x de [a, b]


Teorema de Rolle


Si f (x) es una función derivable en el intervalo abierto (a, b).

Si f (a)=f (b).

Entonces existe al menos un punto c perteneciente

al intervalo abierto (a, b) tal que:

f '(c)=0


Teorema de Lagrange o del Valor Medio o de los Incrementos Finitos


Teorema de Cauchy


Regla de L’Hôpital


IndeterminacionesOperación Indeterminación

Sustracción

Multiplicación

División

Elevación a potencia


limites y continuidad

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