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Limiti di funzioni e loro applicazioniVersione da non divulgare. Scritta per comodita degli studenti. Puo

contenere errori.

ENRICO ROGORA1

1Dipartimento di Matematica”Sapienza”, Universita di Roma

Roma, Novembre 2013

ENRICO ROGORA Matematica e Statistica

limx→+∞ f = a

IdeaPer quanto vicino io possa immaginare di andare ad un numero a,pur di applicare la mia funzione a numeri sufficientemente grandi, lafunzione assume definitivamente valori ancora piu vicini ad a.

Definizione

∀ε > 0,∃M(ε) > 0

t.c.x > M =⇒ |f (x)− a| < ε

Esempio

limx→+∞(1 + 1/x)x = e


Osservazioni sulla definizione di limx→+∞ f (x) = aLa definizione di limx→+∞ f (x) = a e molto simile a quella chedefinisce il limite di una successione ma e piu restrittiva. Fissatoε > 0, non basta che la condizione sia soddisfatta per tutti gli interiabbastanza grandi ma deve essere soddisfatta per tutti i numeri realiabbastanza grandi. Per esempio, la funzione sin(πx)e sempre nullaper valori di x interi e quindi la successione s(n) = sin(2πn) ha limitezero per n che va a infinito. La funzione f (x) = sin(2πx) invececontinua ad oscillare tra −1 e 1 e quindi non ha limite per x che tendea +∞.

0 2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

x

sin(

pi *

x)


limx→+∞ f = −∞

IdeaPer quanto piccolo (molto negativo) io possa immaginare un numero,pur di applicare la funzione a numeri sufficientemente grandi, lafunzione assume definitivamente valori ancora piu piccoli.

Definizione

∀N > 0,∃M(N) > 0

t.c.x > M =⇒ f (x) < −N

Esempio

limx→+∞−x = −∞


limx→+∞ f = +∞

Definizione

∀N > 0,∃M(N) > 0

t.c.x > M =⇒ f (x) > N

Esempio

limx→+∞ x = +∞


limx→−∞ f = a

Definizione

∀ε > 0,∃M(ε) > 0

t.c.x < −M =⇒ |f (x)− a| < ε

Esempio

limx→−∞(1 + 1/x)x = e


limx→−∞ f = −∞

Definizione

∀N > 0,∃M(N) > 0

t.c.x < −M =⇒ f (x) < −N

Esempio

limx→−∞ x = −∞


limx→−∞ f = +∞

Definizione

∀N > 0,∃M(N) > 0

t.c.x < −M =⇒ f (x) > N

Esempio

limx→−∞−x = +∞


Limiti al finitoPer una funzione reale di variabile reale possiamo porci il problema dicogliere l ’andamento della funzione quando la variabile si avvicinaad un dato elemento del dominio. Possiamo avvicinarci a ogni valoreda sinistra oppure da sinistra.Abbiamo di conseguenza limiti da sinistra, che si indicano limx→a− elimiti da destra, che si indicano limx→a+ .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

c(0, 2)

c(-1

, 1)

a


limx→a− f = b

IdeaPer quanto vicino io possa immaginare di andare ad un numero b, purdi applicare la mia funzione a numeri sufficientemente vicini e minoridi a, la funzione assume definitivamente valori ancora piu vicini ab.

Definizione

∀ε > 0,∃δ(ε) > 0

t.c.0 < a− x < δ =⇒ |f (x)− b| < ε

Esempio

limx→0−

e1/x = 0


limx→a+ f = b

Definizione

∀ε > 0,∃δ(ε) > 0

t.c.0 < x − a < δ =⇒ |f (x)− b| < ε

Esempio

limx→0+

e1/x

1 + e1/x = 1


limx→a− f = −∞

Definizione

∀N > 0,∃δ(N) > 0

t.c.0 < a− x < δ =⇒ f (x) < −N

Esempio

limx→0−

1x

= −∞


limx→a+ f = −∞

Definizione

∀N > 0,∃δ(N) > 0

t.c.0 < x − a < δ =⇒ f (x) < −N

Esempio

limx→0+

−1x

= −∞


limx→a− f = +∞

Definizione

∀N > 0,∃δ(N) > 0

t.c.0 < x − a < δ =⇒ f (x) > N

Esempio

limx→0−

−1x

= +∞


limx→a+ f = +∞

Definizione

∀N > 0,∃δ(N) > 0

t.c.0 < x − a < δ =⇒ f (x) > N

Esempio

limx→0+

1x

= +∞


limx→a f = b

Quando e possibile definire il limite destro e il limite sinistro di unafunzione in un punto e tali limiti coincidono, chiameremo tale valorelimx→a f . E possibile una definizione compatta.

Definizione

∀ε > 0,∃δ(ε) > 0

t.c.0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x)− b| < ε

Esempio

limx→0

sin xx

= 1


limx→a f = +∞

Definizione

∀N > 0,∃δ(N) > 0

t.c.0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) > N

Esempio

limx→0

1x2 = +∞


limx→a f = −∞

Definizione

∀N > 0,∃δ(N) > 0

t.c.0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) < −N

Esempio

limx→0− 1

x2 = −∞


Proprieta: Il valore del limite in un punto dipende solodai valori che la funzione assume vicino a quel punto.In particolare, non dipende dal valore nel punto, dovela funzione puo anche non essere definita.

Sia p ∈ R e siano f e g due funzioni che coincidono in tutti i punti diun intervallo aperto contenente p, salvo in p, dove posso anche nonessere definite in p. Allora se esiste uno tra limx→a f e limx→ g, esisteanche l’altro e i due limiti coincidono

Se cambio una funzione ridefinendola in un punto, i valori del limitenon cambiano.Sia

f (x) = x

e sia

g(x) =

x Se x < 01 Se x = 0x Se x > 0

Allora limx→0 f = 0 e limx→0 g = 0ENRICO ROGORA Matematica e Statistica

Limiti elementari

Le funzioni costanti

Sia f (x) = c una funzione costante, allora

limx→−∞

f = limx→α

f = limx→+∞

f = c

(c, α ∈ R).

Le funzioni lineari

Sia f (x) = a + bx una funzione lineare, allora (a,b, α ∈ R).Se b > 0

limx→−∞

f = −∞ limx→α

f = a + b · α limx→+∞

f = +∞

Se b < 0

limx→−∞

f = +∞ limx→α

f = a + b · α limx→+∞

f = −∞


Limiti e proprieta algebricheSiano f e g due funzioni che ammettono limite finito in un puntoa ∈ R. Allora

Limite della sommaEsiste limx→a f + g, e

limx→a

f + g = limx→a

f + limx→a

g

Limite del prodotto

Esiste limx→a f · g, e

limx→a

f · g = limx→a

f · limx→a

g

Limite del quoziente

Se limx→a g 6= 0, allora esiste limx→a f/g, e

limx→a

f/g = limx→a

f/ limx→a

g


Algebra dell’infinito: somma

+ −Inf a +Inf−Inf −Inf −Inf IND

a′ −Inf a′ + a +Inf+Inf IND +Inf +Inf


Algebra dell’infinito: prodotto

• −Inf a 0 b +Inf−Inf +Inf +Inf IND −Inf −Inf

a′ +Inf a′ · a 0 a′ · b −Inf0 IND 0 0 0 INDb′ −Inf b′ · a 0 b′ · b +Inf

+Inf −Inf −Inf IND +Inf +Inf

dove a < 0,a′ < 0 e b > 0,b′ > 0


Algebra dell’infinito: quoziente

/ −Inf a 0 b +Inf−Inf IND 0 0 0 IND

a′ +Inf a′/a 0 a′/b −Inf0 Inf Inf IND Inf Infb′ −Inf b′/a 0 b′/b +Inf

+Inf IND 0 0 0 IND

dove a < 0,a′ < 0 e b > 0,b′ > 0


Quando non si conosce il segno

Come accade per la funzione f = 1/x quando x tende a zero, puosuccedere che limx→z f =∞ senza poter determinare il segno. Sianno allora le seguenti regole per il calcolo dei limiti (dove il simbolo∞ rappresenta il limite infinito di una funzione senza ladeterminazione del segno

∞+∞ = IND ∞−∞ = IND ∞+ a =∞ (a ∈ R)

∞ ·∞ =∞ ∞ · 0 = IND ∞ · a =∞ (a 6= 0).

∞/0 =∞ ∞/∞ = IND ∞/a =∞ (a 6= 0)

0/∞ = 0 ∞/∞ = IND a/∞ = 0 (a 6= 0)


Cautele

Attenzione ad usare le tabelle presentate nell slide precedenti. Il lorosignificato e di stabilre delle regole per calcolare il limite di duefunzioni con dato limite, legate con un’operazione algebrica. Quindi,per esempio, 1/0 =∞ significa che se ho una funzione g(x) tale chelimx→a g = 0 e se esiste il limite della funzione 1/g(x) per x chetende a zero, allora limx→a 1/g =∞. Si osservi che l’affermazionecolorata in verde non e scontata.Si consideri per esempio la funzione g(x) = x2 · sin(1/x2). Per ilteorema dei carabinieri

limx→0

g = 0

La funzione 1/g in questo caso NON HA LIMITE in zero in quantonon esiste alcun intorno punturato di zero tutto contenuto nel dominiodi definizione di 1/g in quanto g ha infiniti zeri che si addensano inzero.


Forme indeterminate

0/0 ∞/∞ +∞−∞ 1∞ 0∞

Esempi

limx→0x

x2+x = xx(x+1) = 1

(x+1) = 1

limx→+∞x

x2+x = xx2(1+1/x)

= 1x(1+1/x) = 0


Esempi di funzioni che non ammettono limite

x/|x |, non ha limite per x che tende a zerosin x , non ha linite per x che tende a ±∞sin 1/x , non ha limite per x che tende a zero


Il teorema dei due carabinieri

Siano f , g e h tre funzioni, definite in un intervallo aperto contenentoil punto a e sia

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

per ogni x dell’intervallo, (escluso eventualmente il punto a stesso)Supponiamo anche che esistano limx→a f e limx→a h e che sianouguali.Allora esiste anche limx→a g ed e uguale ai precedenti.

Applicazione

limx→0

sin xx

= 1


limx→0 sin x/x = 1Assumiamo x > 0. Dalla figura seguente, ottenuta prolungando ilraggio che congiunge l’origine con il punto di coordinate (sin x cos x)fino ad intersecare il segmento verticale per il punto di coordinate(1,0), si vede come

sin(x) ≤ x ≤ sin(x)/ cos(x)

dove la misura del cateto rosso segue dalla similitudine tra i duetriangoli rettangoli di cateti rosso e blu rispettivamente.

xsin(x)

sin(x)/cos(x)


limx→0 sin x/x = 1 (II)

Prendendo il reciproco delle disuguaglianze della slide precedente,otteniamo

1sin x

≥ 1x≥ cos x

sin xe moltiplicando per sin x , che e positivi perche abbiamo suppostox > 0

1 ≥ sin xx≥ cos x .

Per il teorema dei due carabinieri e per la continuita della funzionecos x abbiamo quindi

limx→0+

sin xx

= 1

Analogamente si dimostra che limx→0−sin x

x = 1 e quindi che

limx→0

sin xx

= 1


limx→+∞ (1 + 1/x)x = e

Sia n(x) il pi‘grande intero minore o uguale a x , ovveron(x) ≤ x < n(x) + 1. Ovviamente n(x) tende a +∞ quando x tende a+∞. Poiche una potenza di base maggiore di 1 cresce quandoaumentiamo la base e quando aumentiamo l’esponente(

1 +1

n + 1

)n

<

(1 +

1x

)x

<

(1 +

1n

)n+1

Osserviamo che

limn→+∞

(1 +

1n + 1

)n

= limn→+∞

(1 + 1

n+1

)n+1

(1 + 1

n+1

) =e1

= e.

limn→+∞

(1 +

1n

)n+1

= limn→+∞

(1 +

1n

)n(1 +

1n

)= e.

e si conclude che limx→+∞ (1 + 1/x)x = e con il teorema deicarabinieri.


limx→−∞ (1 + 1/x)x = e

Per valutare limx→−∞ (1 + 1/x)x introduciamo una nuova variabile,y = −1− x . Allora

limx→−∞

(1 + 1/x)x = limy→+∞

(−y−1− y

)−1−y

= limy→+∞

(1 + y

y

)−1−y

=

limy→+∞

[(1 +

1y

)y (1 +

1y

)]= e · 1 = e


Cambio di variabile in un limite

Spesso per calcolare un limite si opera un cambio di variabili. Per esempio, percalcolare

limx→0

sin(x2)

x2

si trasforma la funzione sin(x2)

x2 operando il cambio di variabile w = x2 per ottenere la

funzione sin ww .

Si nota che quando x tende a zero, anche w tende a zero, e quindi

limx→0

sin(x2)

x2= lim

w→0

sin(w)

w= 1

Questo modo di procedere e corretto, ma bisognerebbe osservare che quando x tendea zero, la variabile w tende a zero da destra, e quello che dobbiamo calcolare nelsecondo membro dovrebbe essere in effetti

limw→0+

sin(w)

w

che pero coincide con limw→0sin(w)

w . Il procedimento di cambiare variabili per valutareun limite risulta valido in numerosi casi, ma puo non valere in situazioni patologicheche non incontreremo nel corso.

http://www.batmath.it/matematica/a_limiti/camb_var.htm


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