Limiti i vargut

2

Përmbajtja

Vargjet Numerike:

Kuptimi i vargut numerik

Vargjet e kufiuara dhe ato monotone

Vargu Aritmetik

Vargu Gjeometrik

Limiti i vagut

Vetitë e vargjeve konvergjente

Forma

Forma

Forma

Numri e

Përdorimi i limitit në jetën e përditshme

Literatura

Limiti i vargut

3

Vargjet Numerike

Kuptimi i vargut numerik

Le të jetë E R nënbashkësi e bashkësisë së numravë realë.Në qoftë se

elementet e saj I shkruajmë në renditje të caktuar :

…,

Fitojmë varg numerik.P.sh:

1,3,5,7,…,

2,4,8,16,…,

Janë dy vargje numerike.

Përkufizimi:

Varg numerik quhet pasqyrimi nga bashkësia e numrave natyrorë në bashkësinë

e numrave realë:

x : N → R

d.m.th funksioni i cili çdo numri natyral n ia shoqëronë numrin real ( ).

Elementet ,…, quhen terma ose kufiza të vargut.

Kufiza quhet termi i përgjithshëm i vargut.

Shembull:Nëse termi i përgjithsëm i një vargu është : , atëherë

vargu do të duket kështu :

n=1→ n=3→

n=2→ n=4→

Vargu: -1,0,1,3…

Limiti i vargut

4

Vargun termat e të cilit janë të barabarta e quajmë varg konstant ose

stacionar.

Shembull: Nëse termi I përgjithshëm i vargut është :

n=1→ n=3→

n=2→ n=4→

Vargu:1,1,1,1…

Vargjet e kufizuara dhe vargjet monotone

Përkufizim: Thuhet se vargu është I kufizuar nga sipër (poshtë) në qoftë se ekziston

numri M(m) R në mënyrë që :

,

M(m)- quhet kufiri i sipërm(I poshtëm) I vargut.

Përkufizim:

Vargu ( është:

a) Monotono-rritës nëse , .

b) Monotono-zvogëlues nëse , .

c) Monotono-jozvogëlues nësë , .

d) Monotono-jorritës nësë , .

Vargu që plotëson njërin nga këto kushtet a)−d) quhet varg monoton.

Limiti i vargut

5

Shembull:Të tregohet se a është vargu i kufizuar, nëse .

n=1→ n=2→ n=3→ n=4→

Vargu është I kufizuar edhe nga sipër edhe nga poshtë, përkatësisht

M= ndërsa m=0.

Detyra1:Të tregohet monotonia e vargjeve:

a) b) c) d)

Zgjidhja:

a)

Vargu është varg monotono-rritës.

b)

Vargu është monotono-rritës.

c)

Vargu është monotono-zvogëlues

d)

Vargu është monotono-rritës.

Limiti i vargut

6

Vargu aritmetik

Përkufizim:

Varg aritmetik quhet vargu kur distanca ndërmjet dy termave të njëpasnjëshëm

është konstant d :

,

Numri d quhet ndryshimi(diferenca) i vargut aritmetik.

Vargu: është varg aritmetik.

Termi I përgjithshëm I vargut aritmetik llogaritet me formulën:

E cila rrjedh nga:

,

, .

.

.

.

Shuma e vargut e aritmetik llogaritet me formulën :

ose

Detyra2:Të gjendet diferenca e vargjeve :

a) 1,3,5,7… b) -2,-5,-8,-11,… c) d)

Zgjidhje :

a) 1,3,5,7,… b) -2,-5,-8,-11,… c) d)

Limiti i vargut

7

Detyra3:Të gjendet termi i përgjithshëm i vargut nëse :

a) c)

b) d)

Zgjidhja:

a) c)

b) d)

Detyra4:Të gjendet:

a) c)

b) d)

Zgjidhja:

a)

.

.

Limiti i vargut

8

b)

.

.

c)

. .

d)

.

.

Detyra5:Të njehsohet , ,dhe n e vargut aritmetik nëse:

.

Zgjidhja:

.

.

Limiti i vargut

9

T

Detyra6:Sa është syprina e trekëndëshit të dhjetë me radhë:

…

Zgjidhja:

Detyra7:Një dyqan 16 rende me kanaçe, në secilin rend ka një kanaçe më pak

se në rendin më poshtë tij.Nëse rendi I fundit I ka 28 kanaçe.Sa kanaçe janë

gjithsej?

.

.

Në dyqan janë 328 kanaçe.

Limiti i vargut

10

Detyra8:Me një janar Agimi deponoi në llogarinë e tij bankare 100$.Me të

parin të çdo8muaji ai depozonte 10$.

a) Sa shumë para do të ketë Agimi në llogarinë e tij në fund të shkurtit?

b) Sa shume para do të ketë Agimi në llogarinë e tij në fund të marsit?

c) Sa shumë para do të ketë Agimi në llogarinë e tij pas 2 vitesh?

Zgjidhja:

a)

.

Në fund të muajit shkurt Agimi në llogarinë e tij kishte 110$.

b)

.

Në fund të muajit mars Agimi në llogarinë e tij kishte 120$.

c)

Pas dy vitesh Agimi në llogarinë e tij kishte 330$.

Detyra9: Ju vizitoni Grand Canyon dhe gjuani një qindarkë nga një

shkëmb.Qindarka në sekondën e parë do të bjerë 16m në sekondën e dytë 48m,

në sekondën e tretë 80m , dhe kështu me radhë . Cila është distanca totale që

objekti do të kalojë pas 6 sekondash?

Zgjidhja:

Limiti i vargut

11

Detyra10: Shuma e këndeve të brendshme të një trekëndëshi është 180 º, e një

katërkëndësh është 360 º dhe i një pentagoni 540 º. Duke supozuar këtë model

vazhdon, gjeni shumën e këndeve të brendshme të një dymbëdhjetëkëndëshi.

Zgjidhja:

.

Shuma e këndëve të brendshme të dymbëdhjetëkëndëshit është 1800 .

Detyra11:Një teatër ka 60 ulëse në rendin e parë, 68 në rendin e dytë,76 në

rendin e tretë dhe kështu me radhë.Nëse teatri ka 20 rreshta ,sa ulëse janë në

rreshtin e njëzet të teatrit?

Zgjidhja:

Rreshti i 20 i teatrit ka 212 ulëse.

Limiti i vargut

12

Vargu Gjeometrik

Përkufizim:

Vargu quhet varg gjeometrik nëse herësi i cilitdo term dhe termit para tij

është numër i njëjtë q:

Numri q quhet herës i vargut gjeometrik.

Numri quhet termi(kufiza) i parë.

Numri quhet termi(kufiza) i përgjithshëm.

Pra:

është varg gjeometrik.

Termi I përgjithshëm I vargut gjeometrik llogaritet me formulën:

E cila rrjedh nga:

Shuma e vargut gjeometrik llogaritet me formulën:

ose , .

Limiti i vargut

13

Detyra12:Të gjendet herësi i vargjeve gjeometrike:

a) c)

b) 2,1 1/2,1/4,… d)

Zgjidhja:

a) b) 2,1 1/2,1/4,…

c) d)

Detyra13:Të gjenden n dhe , nëse:

a) . b) .

Zgjidhja:

a) .

. .

Limiti i vargut

14

b)

.

Detyra14:Në vargun gjeometrik të gjenden dhe n nëse:

a)

b)

Zgjidhja:

a)

b)

Limiti i vargut

15

Detyra15:Mr.Voldi është një mësues të cilit I pëlqen të shkruajë shumë pytje në

provime.Zakonisht ai fillon semestrin me vetëm 10 pyetje në provimin e parë,

mirëpo për secilin provim të ardhshëm ai bëtnë një herë e gjysmë më shumë

pyetje se sa ishin në provimin paraprak!

a) Sa pyetje janë në provimin e dytë?

b) Sa pyetje janë në provimin e tretë?

c) Nëse Mr.Voldi bëri 6 provime për një semestër , sa shumë pyetje kanë të

gjitha testet së bashku?

Zgjidhja:

Mr.voldi në provimin e dytë kishtë bërë 15 pyetje.

b)

Mr.Voldi në provimin e tretë kishte bërë 23 pyetje.

c)

Mr.Voldi në gjashtë provimet e semestrit të parë kishte bërë 104 pyetje.

Limiti i vargut

16

Detyra16: Nëse ju I ankoheni hotelit tuaj që vaska e nxehtë nuk është edhe aq e

nxehtë dhe hoteli ju thotë që pas qdo ore temperatura do të rritet për 10%.Nëse

temperature aktuale është 75 , sa do të jetë temperatura e vaskë se nxehtë pas 3

orësh?

Zgjidhja: Temperatura fillestare është .Nëse temperatura rritet për 10%,

temperatura do të jetë 110% e temperaturës fillestare.Kështu do të jetë

1.10.Dhe janë katër terma:

75,pas 1 ore, pas 2 ore,pas 3 ore

Temperatura e vaskës pas 3 orësh do të jetë .

Detyra17:Një kulturë e bakterieve dyfishohet qdo 2 orë.Nëse në fillim janë 500

bakterie, sa bakterie do të ketë pas 24 orësh?

Zgjidhja:

Rritja e numrit të bakterieve është varg gjeometrik me herës 2.Ndërsa numri I

orëve është varg aritmetik me diferencë 2.Kshtu që :

.

Numri i bakterieve pas 24 orësh do të jetë 2,048,000.

Limiti i vargut

17

Detyra18: Një punëtor i minierave zbulon një mostër mineral që përmban 500

mg të materialit radioaktiv. Është zbuluar se materiali radioaktiv qdo ditë ë

kalon zvogëlohet për gjysmën e tij. Gjeni sasinë e materialit radioaktiv në

mostër ne fillim të ditës së 7.

Zgjidhja:

Në fillim të ditës së shtatë mostra përmban mg material radioaktiv.

Detyra19:Kompania “Hybrid Cars,Inc” prodhon makina.

Vitin e parë kompania prodhoi 80,000 makina.

Gradualisht , prodhimi u rrit me të njëjtin ritëm.

Vitin e pestë,kompani prodhoi dy herë ë shumë makina se në vitin e parë.

Sa është totali i makinave që ka prodhuar kompania deri në vitin e tetë?

Zgjidhja:

Deri në vitin e tetë kompania ka prodhuar 1,268,432 makina.

Limiti i vargut

18

Detyra20:Nëse në bankë keni një llogari me 150$ në të.Dhe qdo vit ju fitoni

4% interes në llogarinë tuaj, që do të thotë se shuma e parave në llogarinë tuaj

do të shumëzohet me 1.04 qdo vit.Nëse ju nuk i merrni paratë nga banka:

a) Sa shumë para do të ketë në llogari pas 4 vitesh?

b) Sa shumë para do të ketë në llogari pas 20 vitesh?

Zgjidhja:

a)

Pas 4 vitesh shuma e parave në llogari do të jetë 175.5$.

b)

.

Pas 20 vitesh shuma e parave në llogari do të jetë 330$.

Detyra21:Në një regjion të caktuar, numri i aksidenteve rritet për 20% në një

periudhë prej katër vitesh.Sa aksidente kanë ndodhur në 2006, nëse në 2002

ishin 5120 aksidente?

Zgjidhja:

Në vitin 2006 kanë ndodhur 5222 aksidente.

Limiti i vargut

19

Limiti i vargut

Simboli „lim" është shkurtimi i fjalës latine limes ose fjalës frenge limite, që do

të thotë kufi ose cak.

Përkufizim:

Numri quhet limit i vargut në qoft se për çdo numër pozitiv , sado

i vogël qoftë , ekziston numri përkatës natyral i tillë që :

.

Ky fakt simbolikisht shkruhet:

dhe lexohet: limiti i kur shkon (tenton) në infinit është i barabartë me ,

ose shkon në kur shkon në infinit.

P.sh.:

a) ;

b) ;

c) ,

d) ndërsa nuk ekziston.

Vargu quhet konvergjent në qoftë se ka limit.Përndryshe ai quhet divergjent.

Përkufizim:Vargu quhet varg konvergjent, nëse ekziston një numër real

i tillë që:

.

Vargu që nuk është konvergjent quhet varg divergjent.

Limiti i vargut

20

Për shembull:

- është varg konvergjent, sepse .

Kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që vargu të konvergjojë është që për

çdo të ekzistojë një numër natyral i tillë që:

, - numër natyral.

Përkufizim: Vargu , limiti i të cilit është zero , quhet varg

pambarimisht i vogël (shkurt shënohet: ) ose zero-varg.

P.sh. është një varg . Kuptohet, çdo varg është varg

konvergjent, por e anasjellta nuk vlen. Kështu, është varg

konvergjent, por nuk është .

Përkufizim: Varga quhet varg pambarimishr i madh (shënohet: ),

nëse për çdo numër , sado i nzadh qoftë numri , ekziston numri natyral i

tillë që

.

Ky fakt simbolikisht shënohet: .

Limiti ka edhe format:

Format e pacaktuara :

Format e caktuara:

Limiti i vargut

21

VETI TË VARGJEVE KONVERGJENTE

Marrim dy vargje konvergjente dhe , ku

dhe . Lidhur me këto vargje formulojmë këto rregulla të

rëndësishme:

Teorema mbi limitin e shumës(ndryshimit):

Limiti i shumës algjebrike të dy vargjeve konvergjente dhe

është i barabartë me shumën algjebrike të limiteve të tyre, pra:

.

Teorema mbi limitin e prodhimit:

Limiti i prodhimit të dy vargjeve konvergjente , është i

barabartë me prodhimin e limiteve të të tyre, pra:

.

Teorema mbi limitin e herësit:

Limiti i herësit të dy vargjeve konvergjente , , ku , është i

barabartë me herësin e limiteve të tyre, pra:

Teorema mbi limitin e fuqisë:

Monotonia e limitit:

Teorema mbi kufizueshmërinë:

Vargu konvergjent është i kufizuar

Teorema mbi uniitetin e limitit të vargut:

Vargu konvergjent ka limit të vetëm.

Teorema mbi vlerën absolute:

Limiti i vargut

22

Forma

Detyra1: Të vërtetohet se .

Zgjidhja:

Në numërues dhe emërues fuqia më e madhe është 1 përkatësisht n,prandaj edhe

numëruesin dhe emëruesin i pjestojmë me n.

Detyra2:Të gjendet limiti i vargut nëse

Zgjidhja: ,pasi që në numerues dhe emërues fuqia më e madhe

është1,përkatësisht n, pjestojmë me n.

Detyra3:Të njehsohen limitet e vargjeve:

c)

b) d)

Zgjidhja:

a)

b)

c)

d)

Limiti i vargut

23

Detyra4:Të njehsohen limitet e vargjeve:

a) c)

b) d)

Zgjidhja:

a) , pasi që fuqia më e madhe është1,përkatësisht n, atëherë edhe

numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me n:

,pasi që fuqia më e madhe është , atëherë edhe

numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me :

c) , pasi që fuqia më e madhe është 3,përkatësisht , atëherë edhe

numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me :

d) , pasi që fuqia më e madhe është 3,përkatësisht ,

atëherë edhe numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me :

Limiti i vargut

24

Detyra5:Të njehsohen limitet e vargjeve:

a) c)

b) d)

Zgjidhja:

a) , pasi që fuqia më e madhe është ,përkatësisht , atëherë

edhe numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me , :

b) , pasi që fuqia më e madhe është1,përkatësisht n, atëherë edhe

numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me n:

c) , pasi që fuqia më e madhe është1,përkatësisht n, atëherë edhe

numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me n:

d) , pasi që fuqia më e madhe është1,përkatësisht n, atëherë edhe

numëruesin edhe emëruesin i pjestojmë me n:

Limiti i vargut

25

Detyra6:Të njehsohen limitet e vargjeve:

a) c)

b) d)

Zgjidhja:

a) , pasi që fuqia më e madhe është1,përkatësisht n, atëherë edhe

numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me n:

b) pasi që fuqia më e madhe është1,përkatësisht n, atëherë edhe

numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me n:

c) , pasi që fuqia më e madhe është , atëherë

edhe numëruesin edhe emëruesin i pjestojmë me :

d) , pasi që fuqia më e madhe është , atëherë

edhe numëruesin edhe emëruesin i pjestojmë me :

Limiti i vargut

26

Detyra7:Të njehsohen limitet:

a) b)

c) d)

e)

Zgjidhja:

a) ;

b)

c)

Limiti i vargut

27

d)

e)

Limiti i vargut

28

Detyra8:Të njehsohen limitet:

a) b)

c) d)

Zgjidhja:

a)

b)

c)

d)

Limiti i vargut

29

Forma

Detyra9:Të njehsohen limitet e vargjeve:

a) b)

c) d)

Zgjidhja:

a)Racionalizojmë shprehjen,shprehja shumëzohet dhe pjestohet me

:

b)Racionalizojmë shprehjen me :

c)Racionalizojm shprehjen me

; tani pjestojmë me n, pasi që edhe fuqia më e madhe është 1(n):

d)Racionalizojmë shprehjen me :

; pjestojmë me fuqinë më të madhe që

është 1, përkatësisht n :

Limiti i vargut

30

Detyra10:Të njehsohen limitet e vargjeve:

a) b)

c)

d)

Zgjidhja:

a)

Nga formula e shohim se shprehjen

duhet ta racionalizojmë me :

b)

Nga formula e shohim se shprehjen

duhet racionalizuar me

:

Limiti i vargut

31

c)

Nga formula e shohim se shprehjen

duhet racionalizuar me

:

d) Nga formula e shohim se shprehjen

duhet racionalizuar me :

.

Limiti i vargut

32

Forma

Detyra11:Të njehsohen limitet e vargjeve:

a) c) e)

b) d) f)

Zgjidhja:

a)

b)

c) Shprehja pjestohet me fuqinë më të madhe , ,përkatësisht numëruesi dhe

emëruesi:

d)Në fillim zbërthehet fuqia n+1, pastaj pjestojm me fuqinë më të madhe:

e)Në fillim zbërthehet fuqia 2n-1,pastaj pjestojmë me fuqinë më të madhe:

f)Në fillim zbërthehen fuqitë dhe ,pstaj pjestojmë me fuqinë më

të madhe:

Limiti i vargut

33

Numri

Numri e-është quajtur sipas matematikani zviceran Leonhard Euler

Numri e, së bashku me 0,1, dhe i, paraqesin pesë numrat më të rëndësishëm të

cilët gjejnë përdorim të gjithanshëm në matematikë dhe përbëjnë

identitetin e Eulerit : .

Numri e është e një konstante e rëndëshishmë matematikore që është baza

e logaritmit natyral . Kjo është përafërsisht e barabartë me , dhe

është kufiri i kur n tenton në pafundësi . Ajo gjithashtu

mund të llogaritet si shumë e vargjeve të të pafundme:

Rrjedhimisht vargu i dhënë konvergjon dhe limitin i tij, e tij e shënojmë me e:

dhe (1)

Numri e-është numër iracional dhe duket kështu: 2.7192818284459…

Limiti i vargut

34

Numri e paraqet edhe bazën e logaritmit natyral .

Detyra12:Duke zbatuar relacionin (1) të njehsohen limitet:

a) c)

b) d)

Zgjidhja:

a)Shprehjen e transformojmë në mënyrë që ta zbatojmë

rezultatin (1) :

= =

b)Si në rastin e parë:

= =

c)

zëvendësojmë:

d)

=

zëvendsojmë:

Limiti i vargut

35

Detyra13:Të njehsohen limitet:

a) c)

b) d)

Zgjidhja:

a)

Zëvendsojmë:

b)

c)

zëvendsojmë:

d)

zëvendësojmë:

Limiti i vargut

36

Detyra14:Të njehsohen limitet:

a) b)

c) c)

Zgjidhja:

a)

b)

c)

d)

Limiti i vargut

37

Përdorimi i limitit në jetën e përditshme

Limiti gjen përdorim të madh në jetën e përditshmë, ka shumë dukuri të cilat ne

i hasim çdo ditë dhe që mund të shpjegohen përmes limitit.

Disa shembuj që lidhen me limitet janë:

Për të gjetur sipërfaqen nën një lakore.

Për të gjetur sipërfaqen e poligoneve, duke e ndarë në trekëndësha dhe

pastaj duke i mbledhur ata:

Në makina, përkatësish në matësin e shpejtësisë.

Në lojëra olimpike, rekordet , p.sh në vrapim

Në trafik, p.sh vetëm një sasi e caktuar e automjeteve mund të kalojnë

përnjëherë në një rrugë.

Në kimi,reagimi i dy substancave që me kalimin e kohës formojnë një

substancë të re.

Kur një copë akulli bie në një gotë me ujë të nxehtë, temperatura e ujit do

të fillojë ti afrohet temperaturës së dhomës, në këtë rast koha tenton në

infinit.

Limiti i vargut

38

Mesazhet, janë një tjetër dukuri e limitit, në disa rrjete mund të dërgoni

vetëm një mesazh ose edhe kur simbolet brenda një mesazhi janë të

kufizuara,

Literatura

Matematika,11-Minir Efendija,Qamil Haxhibeqiri,Ramadan Limani

Wikipedia-Numri e- http://sq.wikipedia.org/wiki/Numri_e

Vargjet Numerike-Armend Shabani

Detyra të ndryshme- http://www.shmoop.com/series/word-problem-

exercises-2.html,

http://www.regentsprep.org/Regents/math/algtrig/ATP2/SequenceW

ordpractice.htm