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1LINEALIZACIN1. Introduccin:Cuando se requiere realizar el anlisis dinmico de sistemas no-lineales, puede tomarse las siguientes alternativas:1. Transformar el sistema no-lineal en uno lineal haciendo una transformacin apropiada de sus variables. 2.Simular el sistema no-lineal usando una computadora analgica o digital y calcular su solucin numricamente. 3.Desarrollar un sistema lineal que aproxime el comportamiento dinmico del sistema no-lineal alrededor del punto especfico de operacin.

GICI-Grupo de Investigacin en control Industrial22. LINEALIZACINLinealizacin es el proceso matemtico que permite aproximar un sistema no-lineal a un sistema lineal. Esta tcnica es ampliamente usada en el estudio de procesos dinmicos y l en el diseo de sistemas de control por las siguientes razones:1. Se cuenta con mtodos analticos generales para la solucin de sistemas lineales. Por lo tanto se tendr una solucin general del comportamiento del proceso, independientemente de los valores de los parmetros y de las variables de entrada. Esto no es posible en sistemas no-lineales pues la solucin por computadora da una solucin del comportamiento del sistema valida solo para valores especficos de los parmetros y de las variables de entrada.

GICI-Grupo de Investigacin en control Industrial32. Todos los desarrollos significativos que conllevan al diseo de un sistema de control ha sido limitado a procesos lineales. 3. VARIABLES DE DESVIACIN Se define la variable de desviacin, X (t), como la diferencia entre el valor de la variable o seal x(t) y su valor en el punto de operacin.Matemticamente se define:

donde X(t): variable de desviacin.x(t): variable absoluta correspondiente : el valor de x en el punto de operacin (valor base)

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4Grfico de las variables de desviacin, variable absoluta y el punto de operacin.El valor base, es el valor de la variable en estado estable y generalmente describe el valor inicial del sistema dinmico y por lo tanto es constante, implicando que:

GICI-Grupo de Investigacin en control Industrial5por lo tanto derivando n veces la ecuacin, obtenemos:

El punto de operacin generalmente est en estado estacionario, entonces:

por lo tanto:

y la transformada de Laplace es,

As la ecuacin linealizada en funcin de las variables de desviacin no incluyen trminos constantes.

GICI-Grupo de Investigacin en control Industrial64. LINEALIZACIN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.Considrese la ecuacin diferencial de primer orden:

Donde es una funcin no-lineal de x, y k es una constante. Expandiendo la funcin no-lineal en series de Taylor alrededor del punto , se obtiene:

GICI-Grupo de Investigacin en control Industrial7Esta expansin se evala en el punto . La aproximacin lineal, consiste en eliminar todas las derivadas de orden dos y mayores, entonces el valor aproximado de la funcin ser:

El error introducido en la aproximacin es del mismo orden de la magnitud del termino:

Por lo tanto la aproximacin lineal, dada en la ecuacin, es satisfactoria cuando x es muy cercano a , pues en ese caso el valor del termino es muy pequeo.

GICI-Grupo de Investigacin en control Industrial8Geomtricamente, la aproximacin es una lnea recta que pasa por el punto de operacin, generalmente corresponde al valor de estado estacionario, entonces:

Por lo tanto:

por el punto con pendiente y es por definicin tangente a la curva en el punto de operacin. Por lo tanto, la aproximacin es exacta solo en el punto de operacin.La aproximacin linealizada, correspondiente a la ecuacin original, resulta ser:

GICI-Grupo de Investigacin en control Industrial9Si las condiciones iniciales son:

Finalmente, la ecuacin inicial, se ha transformado en:

Puede observarse de la ecuacin anterior, que los trminos constantes en la ecuacin linealizada quedan eliminados cuando el valor base es la condicin inicial de estado estacionario.

GICI-Grupo de Investigacin en control IndustrialLa aproximacin lineal es tangente a la funcin no lineal en el valor base,

Lnea TangenteFuncin No Lineal

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GICI-Grupo de Investigacin en control Industrial115. LINEALIZACIN DE FUNCIONES DE DOS O MS VARIABLES

Considrese la funcin no-lineal de dos variables . Si es el valor en estado estable de x(t) y es el valor en estado estable de y(t) . La expresin lineal en serie de Taylor alrededor del punto esta dada por:

GICI-Grupo de Investigacin en control Industrial12La aproximacin lineal consiste en eliminar los trminos de orden superior a partir del termino de segundo orden. Entonces la expansin lineal de la funcin no-lineal toma la forma:

donde:

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