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Linear Relaxation

for Hub Network Design Problems

東京大学 齋藤廣大東京大学 松浦史郎東京大学 松井知己

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Hub Network

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Hub Network Problem

ここで扱う問題：ハブ空港は与えられている｡各非ハブ空港は , 唯一のハブ空港に接

続｡非ハブ空港間の輸送はハブを経由する｡全てのハブ空港対は直接繋がっている｡目的関数：総輸送費用の最小化

研究内容：非凸 2 次計画としての定式化線形緩和問題→ Hitchcock 型輸送問題計算実験

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定式化

H ， N ：ハブ空港 , 非ハブ空港 の集合cij ：空港 i から j への単位輸送費用

wij ：空港 i から j への需要量

min. ∑(p,q)∈N×N wpq (∑i∈H cpi xpi

+ ∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj + ∑j∈H cjq xqj )

s. t. ∑i∈H xpi =1 (∀p∈N), ：どこかに接続

xpi∈ ｛ 0,1 ｝（∀ (p,i)∈N×H).

xpi =1⇔ 非ハブ p はハブ i に接続する

5

目的関数

∑(p,q)∈N×N wpq

(∑i∈H cpi xpi

+ ∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj

+ ∑j∈H cjq xqj )

∑ 全ての非ハブペア (p,q) (p から q への需要 )

(p から接続するハブ i へ

+ ハブ i からハブ j へ

+ q に接続するハブ j から q へ )

p

ij

qcij

cpi

cjqhub

hub

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2 次項の線形化

fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj

gpq(x) ：関数 fpq(x) の整数点での関数値の，下側凸包をとった関数

11

x1

x2

fpq

11

x1

x2

gpq

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線形化と連続緩和

min. ∑(p,q)∈N×N wpq (∑i∈H cpi xpi

+ ∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj + ∑j∈H cjq xqj )

s. t. ∑i∈H xpi =1 (∀p∈N),

xpi∈ ｛ 0,1 ｝（∀ (p,i)∈N×H).

線形化＋連続緩和min. ∑(p,q)∈N×N wpq (∑i∈H cpi xpi

+ gpq(x) + ∑j∈H cjq xqj )

s. t. ∑i∈H xpi =1 (∀p∈N),

1≧xpi 0≧ （∀ (p,i)∈N×H).

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Primal Approach

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1

2

3

4

1

2

3

4

p q

線形化

線形化＝ Hitchcock 型輸送問題fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj

hub 空港 hub 空港

非 hub空港

非 hub空港

xp1 =1 xq3 =1

fpq(x)= c13

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1

2

3

4

1

2

3

4

p q

線形化

線形化＝ Hitchcock 型輸送問題fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj

hub 空港 hub 空港

非 hub空港

非 hub空港

xp3 =1 xq2 =1

fpq(x)= c32

11

1

2

3

4

1

2

3

4

p q

線形化

線形化＝ Hitchcock 型輸送問題fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj

hub 空港 hub 空港

非 hub空港

非 hub空港

xq2 =1

fpq(x)= c32

0.2

0.3

0.5

0.7

0.2

0.1

0.2

0.3

0.2

0.2

0.1

12

1

2

3

4

1

2

3

4

p q

線形化

線形化＝ Hitchcock 型輸送問題fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj

hub 空港 hub 空港

非 hub空港

非 hub空港

xq2 =1

fpq(x)= c32

0.2

0.3

0.5

0.7

0.2

0.1

0.2

0.3

0.2

0.2

0.1

13

線形化

fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj

gpq(x) ：関数 fpq(x) の下側凸包をとった関数

＝下記の Hitchcock 型輸送問題の最適値

min. ∑ (i,j)∈H×H cij yij

∑ i∈H yij = xqj (∀j∈H ） ,

∑ j∈H yij = xpi (∀i∈H ） ,

yij 0 ( (≧ ∀ i,j)∈H×H ) .

14

輸送問題の内包

輸送問題の内包

Hub 空港非 hub 空港

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Dual Approach

16

線形不等式

fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj

gpq(x) ：関数 fpq(x) の整数点での関数値の，下側凸包をとった関数

11

x1

x2

fpq

11

x1

x2

gpq

これらの線形不等式を直接記述する .

17

線形不等式

fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj

gpq(x) ：関数 fpq(x) の下側凸包をとった関数

11

x1

x2

gpq

これらの線形不等式を直接記述する .

線形不等式 ⇔ Hitchcock 型輸送問題の 双対許容端点解

線形不等式の列挙⇔ 双対許容端点解の列挙

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双対許容端点解

線形不等式の列挙⇔ 双対許容端点解の列挙

定理 [Balinski] 非退化の仮定のもとでは , n×n Hitchcock 型輸送問題の双対許容端点解は 2n-2Cn-1 存在する .

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等式不等式系のサイズ

fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj

gpq(x) ：関数 fpq(x) の下側凸包をとった関数

. 変数 等式制約 不等式制約 (k : hub の数）Primal k2 2k ー 1 k2

Dual 0 0 2k-2Ck-1

k=2 4 3 0. 0 0 2 ．

k=3 9 7 0. 0 0 6 ．

k=4 16 7 0. 0 0 20 ．

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既往の研究との関連

Primal Approach Skorin-Kapov, Skorin-Kapov, O’kelly[1994]ハブが固定されていない問題について，定

式化を提案．ハブの変数を固定すると，Primal Approach と同じ定式化になる

Dual ApproachSohn and Park [1998]ハブが 2 個で固定されているとき，線形不

等式系で整数解多面体を記述（多項式時間解法）． Dual Approach での不等式系を採用

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計算機実験

CAB data: O’kelley : アメリカ ２５空港間データ

25 空港から 3 つを選んで Hub 空港として計算機実験を行った．

すべての計算実験例において，線形緩和問題を解く事で整数最適解が選ばれた .

Primal Approach と Dual Approach では， Primal Approach の方が計算機時間は早い．

どの問題も 5~8 分程度で解ける． (lp solve)

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おわり