lineare algebra ii fs 20n.ethz.ch/~leniklau/download/linalgfs20ii/praesentation...ย ยท 2020. 5....
TRANSCRIPT
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1
Lineare Algebra II โ FS 20
รbung 13
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2
Ablauf
Einfรผhrung
Recap einiger Sachen
Besprechung von 3 Aufgaben der Lernkontrolle
Theorie
โข Inhomogene lineare Systeme (hรคufiger Fall)
Tipps Serie 13
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3
Recap
Fragen
Fรผr reelle Matrizen gilt
Wenn A symmetrisch ist โ Es existiert eine orthonormale Eigenbasis.
Es existiert eine orthonormale Eigenbasis.โ A ist symmetrisch.
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4
Recap
Lรคnge vom | ๐ | Vektor
๐ = ๐ด๐ฅ โ ๐
-
5
Recap
Lรคnge vom | ๐ | Vektor
๐ = ๐ด๐ฅ โ ๐
๐ = ๐๐๐ด โ ๐ด = ๐๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐ = ๐๐
Orthogonale Matrix
๐๐๐ = ๐๐
-
6
Recap
Lรคnge vom | ๐ | Vektor
๐ = ๐ด๐ฅ โ ๐
๐ = ๐๐๐ด โ ๐ด = ๐๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐ = ๐๐
Orthogonale Matrix
๐๐๐ = ๐๐
๐ =9 30 30 0
๐ฅ =13/97/3
๐ =2071
๐ 0
๐ฅ
๐0
๐1
-
7
Recap
Lรคnge vom | ๐ | Vektor
๐ = ๐ด๐ฅ โ ๐
๐ = ๐๐๐ด โ ๐ด = ๐๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐ = ๐๐
๐ = ๐๐ ๐ฅ โ ๐๐ = | ๐ ๐ ๐ฅ โ ๐ |
Orthogonale Matrix
๐๐๐ = ๐๐
-
8
Recap
Lรคnge vom | ๐ | Vektor
๐ = ๐ด๐ฅ โ ๐
๐ = ๐๐๐ด โ ๐ด = ๐๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐ = ๐๐
๐ = ๐๐ ๐ฅ โ ๐๐ = | ๐ ๐ ๐ฅ โ ๐ |
Eine orthogonale Matrix verรคndert die Lรคnge eines Vektors nicht.
๐ = ๐ ๐ฅ โ ๐
Orthogonale Matrix
๐๐๐ = ๐๐
-
9
Recap
Lรคnge vom | ๐ | Vektor
๐ = ๐ด๐ฅ โ ๐
๐ = ๐๐๐ด โ ๐ด = ๐๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐ = ๐๐
๐ = ๐๐ ๐ฅ โ ๐๐ = | ๐ ๐ ๐ฅ โ ๐ |
Eine orthogonale Matrix verรคndert die Lรคnge eines Vektors nicht.
๐ = ๐ ๐ฅ โ ๐ =9 30 30 0
13/97/3
โ2071
=2070
โ2071
=00โ1
=| ๐1 |
๐ = | ๐1 |
Orthogonale Matrix
๐๐๐ = ๐๐
๐ 0 ๐ฅ ๐0
๐1
-
10
Recap
System 1.Ordnung
๐โฒ = ๐ด๐Eigenwerte und Eigenvektoren sind berechnet.
Weg 1 Weg 2
Allgemeine Lรถsung direkt hinschreiben
๐ ๐ก = ๐1๐1๐๐ก๐ธ๐๐1 + ๐2๐2
๐๐ก๐ธ๐๐2
Allgemeine Lรถsung schreiben als
๐ ๐ก = ๐๐๐ท๐ก๐ถ = ๐ธ๐๐1 ๐ธ๐๐2
๐
๐๐1๐ก 0
0 ๐๐2๐ก
๐1๐2
Koeffizienten aus ๐(๐) berechnen๐ 0 = ๐1๐ธ๐๐1 + ๐2๐ธ๐๐2
โ Wir erhalten das genau gleiche LGS.
Koeffizienten als ๐ป๐ช = ๐(๐) berechnen.Lineares Gleichungssystem
T: Matrix, Y(0): rechte Seite, C: unbekannte
Lรถsung mit den Anfangsbedingungen
Berechnete Koeffizienten einsetzen.
Lรถsung mit den Anfangsbedingungen
๐ ๐ก = ๐๐๐ท๐ก ๐โ1๐(0)=๐ถ
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11
Recap
System 1.Ordnung
๐โฒ = ๐ด๐Eigenwerte und Eigenvektoren sind berechnet.
Weg 1 Weg 2
Allgemeine Lรถsung direkt hinschreiben
๐ ๐ก = ๐1๐1๐๐ก๐ธ๐๐1 + ๐2๐2
๐๐ก๐ธ๐๐2
Allgemeine Lรถsung schreiben als
๐ ๐ก = ๐๐๐ท๐ก๐ถ = ๐ธ๐๐1 ๐ธ๐๐2
๐
๐๐1๐ก 0
0 ๐๐2๐ก
๐1๐2
Koeffizienten aus ๐(๐) berechnen๐ 0 = ๐1๐ธ๐๐1 + ๐2๐ธ๐๐2
โ Wir erhalten das genau gleiche LGS.
Koeffizienten als ๐ป๐ช = ๐(๐) berechnen.Lineares Gleichungssystem
T: Matrix, Y(0): rechte Seite, C: unbekannte
Lรถsung mit den Anfangsbedingungen
Berechnete Koeffizienten einsetzen.
Lรถsung mit den Anfangsbedingungen
๐ ๐ก = ๐๐๐ท๐ก ๐โ1๐(0)=๐ถ
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12
Recap
Aufgabe 2 โ Eigenvektoren einer Matrix
-
13
Recap
Aufgabe 2 โ Eigenvektoren einer Matrix
Eigenwertgleichung
๐ต๐ฃ1 = ๐1๐ฃ1๐ต๐ฃ2 = ๐2๐ฃ2
-
14
Recap
Aufgabe 2 โ Eigenvektoren einer Matrix
Eigenwertgleichung
๐ต๐ฃ1 = ๐1๐ฃ1๐ต๐ฃ2 = ๐2๐ฃ2
Der Eigenvektor mit der
Matrix multipliziert.
-
15
Recap
Aufgabe 2 โ Eigenvektoren einer Matrix
Eigenwertgleichung
๐ต๐ฃ1 = ๐1๐ฃ1๐ต๐ฃ2 = ๐2๐ฃ2
Der Eigenvektor mit der
Matrix multipliziert.
Ein Vielfaches des
Eigenvektors.=
-
16
Recap
Aufgabe 2 โ Eigenvektoren einer Matrix
Eigenwertgleichung
๐ต๐ฃ1 = ๐1๐ฃ1๐ต๐ฃ2 = ๐2๐ฃ2
Der Eigenvektor mit der
Matrix multipliziert.
Ein Vielfaches des
Eigenvektors.=
-
17
Recap
Aufgabe 2 โ Eigenvektoren einer Matrix
a) Dieser Fall ist nicht mรถglich, da ๐ต๐ฃ1 nicht mehr in die Richtung von ๐ฃ1 zeigt.
-
18
Recap
Aufgabe 2 โ Eigenvektoren einer Matrix
b)
Dieser Fall ist mรถglich,
die Eigenwerte wรคren.
๐1 = 1, ๐2 = โ1
-
19
Recap
Aufgabe 2 โ Eigenvektoren einer Matrix
c) Dieser Fall ist mรถglich, die
Eigenwerte wรคren.
๐1 = 0, ๐2 = 1
-
20
Recap
Aufgabe 2 โ Eigenvektoren einer Matrix
d)
Dieser Fall ist
mรถglich, die
Eigenwerte
wรคren.
๐1 = 0.5, ๐2 = 2
-
21
Recap
Aufgabe 2 โ Eigenvektoren einer Matrix
a) b)
c) d)
Dieser Fall ist mรถglich, die
Eigenwerte wรคren.
๐1 = 1, ๐2 = โ1
Dieser Fall ist
mรถglich, die
Eigenwerte wรคren.
๐1 = 0.5, ๐2 = 2
Dieser Fall ist
mรถglich, die
Eigenwerte
wรคren.
๐1 = 0, ๐2 = 1
Dieser Fall ist nicht mรถglich,
da ๐ต๐ฃ1 nicht mehr in die Richtung von ๐ฃ1 zeigt.
Diese Grafik kann
keine Darstellung
sein.
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22
Recap
Aufgabe 3
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23
Recap
Aufgabe 3 Erklรคrung
Wir sehen, dass die 2. und die 4. sowie die 3. und die 5. Spalte linear abhรคngig sind.
Das heisst, der Rang unserer Matrix ist ๐ ๐๐๐ ๐ถ = 5 โ 2 = 3. (wir kรถnnten zwei Nullzeilen erzeugen)
Die Dimension des Bildes ist also dim ๐๐ ๐ถ = ๐ ๐๐๐ ๐ถ = 3.
Die Dimension des Kerns ist deshalb: dim ker ๐ด = 5 โ 3 = 2.
Die geom.Vf von ๐ = 0 ist also 2.
Die alg.Vf von ๐ = 0 ist also โฅ 2.
Die Spur von ๐ถ ist ๐๐๐ข๐ ๐ถ = 0 + 4 + 10 + 24 + 1 = 39
(II)
2โ (II)
(III)
0.5โ (III)
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24
Recap
Aufgabe 3 Erklรคrung
a) ๐ถ hat nur einen einzigen Eigenwert.
Falsch, da die Spur die Summe der Eigenwerte ist und hier die Spur nicht null ist gibt es also sicher also noch einen anderen Eigenwert als 0.
a) 0 ist ein Eigenwert von C mit alg. Vf = 2.
Richtig, das ist die einzige Aussage die รผbrig bleibt.
a) C hat 5 paarweise verschiedene Eigenwerte.
Falsch, Da der Eigenwert 0 mindestens alg.Vf = 2 hat, gibt es hรถchstens 4 paarweise verschiedene Eigenwerte.
a) 1 ist eine Eigenwert von C mit alg.Vf = 4.
Falsch, Da der Eigenwert 0 mindestens alg.Vf = 2 hat, kann eine anderer Eigenwert hรถchstens alg.Vf = 3 (5-2) haben.
-
25
Recap
Aufgabe 8
-
26
Theorie
Inhomogene Systeme
Allgemein๐โฒ = ๐ด ๐ฅ ๐ + ๐ต ๐ฅ
Beispiel
๐โฒ =1 ๐ฅ๐ฅ 1
๐ +sin(๐ฅ)cos(๐ฅ)
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27
Theorie
Inhomogene Systeme hรคufiger Fall
Konstante Koeffizienten, konstanter Stรถrterm
๐โฒ = ๐ด๐ + ๐ต
Beispiel Prรผfung S16
๐โฒ =1 0 02 1 โ23 2 1
๐ +555
๐ ๐ =โ๐๐๐
-
28
Theorie
Schritt 1 โ Lรถsen des homogenen Systems
๐โฒ = ๐ด๐
๐โฒ =1 0 02 1 โ23 2 1
๐
Eigenwerte๐1 = 1, ๐2 = 1 + 2๐, ๐3 = 1 โ 2๐
Eigenvektoren
-
29
Theorie
Schritt 1 โ Lรถsen des homogenen Systems
Lรถsung hinschreiben
๐โ ๐ก
= ๐1๐๐ก
2โ32
+ ๐๐ก ๐2 cos(2๐ก) โ ๐3sin(2๐ก)001
โ ๐2 sin 2๐ก + ๐3cos(2๐ก)010
-
30
Theorie
Schritt 2 โ Eine partikulรคre Lรถsung finden.
๐โฒ =1 0 02 1 โ23 2 1
๐ +เธ
555๐
-
31
Theorie
Schritt 2 โ Eine partikulรคre Lรถsung finden.
๐โฒ =1 0 02 1 โ23 2 1
๐ +เธ
555๐
Ansatz
Da b konstant ist wรคhlen wir ๐๐ =
๐ผ๐ฝ๐พ
= ๐๐๐๐ ๐ก. als Ansatz.
-
32
Theorie
Schritt 2 โ Eine partikulรคre Lรถsung finden.
๐โฒ =1 0 02 1 โ23 2 1
๐ +เธ
555๐
Ansatz
Da b konstant ist wรคhlen wir ๐๐ =
๐ผ๐ฝ๐พ
= ๐๐๐๐ ๐ก. als Ansatz.
Einsetzen000
=1 0 02 1 โ23 2 1
๐๐ +555
-
33
Theorie
Schritt 2 โ Eine partikulรคre Lรถsung finden.
๐โฒ =1 0 02 1 โ23 2 1
๐ +เธ
555๐
Ansatz
Da b konstant ist wรคhlen wir ๐๐ =
๐ผ๐ฝ๐พ
= ๐๐๐๐ ๐ก. als Ansatz.
Einsetzen000
=1 0 02 1 โ23 2 1
๐๐ +555
Die linke Seite ist null, weil ein
konstanter Vektor (hier der
Ansatz ๐๐) abgeleitet 0 ergibt.
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34
Theorie
Schritt 2 โ Eine partikulรคre Lรถsung finden.
Einsetzen000
=1 0 02 1 โ23 2 1
๐๐ +555
-
35
Theorie
Schritt 2 โ Eine partikulรคre Lรถsung finden.
Einsetzen000
=1 0 02 1 โ23 2 1
๐๐ +555
anders geschrieben ist das ein lineares Gleichungssystem.1 0 02 1 โ23 2 1
๐๐ =โ5โ5โ5
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36
Theorie
Schritt 2 โ Eine partikulรคre Lรถsung finden.
Einsetzen000
=1 0 02 1 โ23 2 1
๐๐ +555
anders geschrieben ist das ein lineares Gleichungssystem.1 0 02 1 โ23 2 1
๐๐ =โ5โ5โ5
Mit Gauss finden wir die Zeilenstufenform.1 0 00 1 โ20 0 5
๐๐ =โ550
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37
Theorie
Schritt 2 โ Eine partikulรคre Lรถsung finden.
Einsetzen000
=1 0 02 1 โ23 2 1
๐๐ +555
anders geschrieben ist das ein lineares Gleichungssystem.1 0 02 1 โ23 2 1
๐๐ =โ5โ5โ5
Mit Gauss finden wir die Zeilenstufenform.1 0 00 1 โ20 0 5
๐๐ =โ550
โ ๐๐ =โ๐๐๐
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38
Theorie
Schritt 3 โ Allgemeine Lรถsung des inhomogenen Systems
Allgemeine inhomogene Lรถsung
= allgemeine homogene Lรถsung + 1 partikulรคre Lรถsung
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39
Theorie
Schritt 3 โ Allgemeine Lรถsung des inhomogenen Systems
Allgemeine inhomogene Lรถsung
= allgemeine homogene Lรถsung + 1 partikulรคre Lรถsung
๐ ๐ก = ๐๐ ๐ + ๐๐ ๐
= ๐๐ ๐๐
๐โ๐๐
+ ๐๐ ๐๐๐(๐๐) โ ๐๐๐๐๐(๐๐)๐๐๐
โ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ + ๐๐๐๐๐(๐๐)๐๐๐
+โ๐๐๐
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40
Theorie
Schritt 3 โ Allgemeine Lรถsung des inhomogenen Systems
Allgemeine inhomogene Lรถsung
= allgemeine homogene Lรถsung + 1 partikulรคre Lรถsung
๐ ๐ก = ๐๐ ๐ + ๐๐ ๐
= ๐๐ก ๐๐
2โ32
+ ๐๐ ๐๐๐ (2๐ก) โ ๐๐๐ ๐๐(2๐ก)001
โ ๐๐ ๐ ๐๐ 2๐ก + ๐๐๐๐๐ (2๐ก)010
+โ550
-
41
Theorie
Schritt 4 โ Konstanten mit der Anfangsbedingung bestimmen
= ๐๐ก ๐๐
2โ32
+ ๐๐ ๐๐๐ (2๐ก) โ ๐๐๐ ๐๐(2๐ก)001
โ ๐๐ ๐ ๐๐ 2๐ก + ๐๐๐๐๐ (2๐ก)010
+โ550
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42
Theorie
Schritt 4 โ Konstanten mit der Anfangsbedingung bestimmen
= ๐๐ก ๐๐
2โ32
+ ๐๐ ๐๐๐ (2๐ก) โ ๐๐๐ ๐๐(2๐ก)001
โ ๐๐ ๐ ๐๐ 2๐ก + ๐๐๐๐๐ (2๐ก)010
+โ550
Wir wollen ๐๐, ๐๐ und ๐๐ bestimmen.
๐ 0 = ๐๐
2โ32
+ ๐๐
001
+ ๐๐
010
+โ550
=โ๐๐๐
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43
Theorie
Schritt 4 โ Konstanten mit der Anfangsbedingung bestimmen
= ๐๐ก ๐๐
2โ32
+ ๐๐ ๐๐๐ (2๐ก) โ ๐๐๐ ๐๐(2๐ก)001
โ ๐๐ ๐ ๐๐ 2๐ก + ๐๐๐๐๐ (2๐ก)010
+โ550
Wir wollen ๐๐, ๐๐ und ๐๐ bestimmen.
๐ 0 = ๐๐
2โ32
+ ๐๐
001
+ ๐๐
010
+โ550
=โ๐๐๐
๐ 0 =
2๐๐ โ 5โ3๐๐ + ๐๐ + 5
2๐๐ + ๐๐
=โ340
2 0 0โ3 0 12 1 0
๐๐๐๐๐๐
=2โ10
โ
๐๐๐๐๐๐
=1โ22
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44
Theorie
Schritt 4 โ Konstanten mit der Anfangsbedingung bestimmenEingesetzt in die Lรถsung erhalten wir also
= ๐๐ก ๐2โ32
+ โ๐๐๐๐ (2๐ก) โ ๐๐ ๐๐(2๐ก)001
โ โ๐๐ ๐๐ 2๐ก + ๐๐๐๐ (2๐ก)010
+โ550
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Theorie
Tipps Serie 13
1) (b) ist eine gute รbung
2) (a) Normalengleichungen aufstellen โ lรถsen(b) (i) QR-Zerlegung in Matlab (von Hand zu aufwendig) โlรถsen(b) (ii) Normalengleichungen mit ยซ\ Operatorยป lรถsen
3) Gute Aufgabe, auch als Prรผfungsvorbereitung
4) Auch diese Aufgabe ist gut als Prรผfungsvorbereitung
5) (c) Welchen Rang hat die Matrix in diesem Fall?
6) (c) ๐ด๐๐ฅ = (โฆ ) Verwende: ๐ด๐ฅ = ๐๐ฅ
7) Die Eigenwerte sind ziemlich mรผhsam. Rang von A berechnen. โ Aussage รผber Eigenwert 0Spur von A ist die Summer der Eigenwerte.Schaue sonst auch in den Zusatztipps.
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46
Theorie
Tipps Serie 13
8) (a) Gib die gesuchte T und D-Matrix an.
9) (c) Ansatz fรผr ein allgemeines Polynom aus ๐2๐ ๐ฅ = ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐
10) (a) Zeige dass๐น ๐ผ๐ ๐ฅ + ๐ฝ๐ ๐ฅ = ๐ผ๐น ๐ ๐ฅ + ๐ฝ๐น ๐ ๐ฅ
(c) entweder analog zu (b) oder mit einem Basiswechsel.Fรผr die Lรถsung mit dem Basiswechsel kรถnnt ihr die Musterlรถsung anschauen. Fรผr die Schnelle kรถnnte der Weg analog zu (b) aber einfacher sein.
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47
Theorie
Tipps Serie 13
11) (a) Schaut euch die Bedinungen fรผr einen Unterraum nach. Prรผft diese fรผr die drei Vektorrรคume.
Fรผr die Basis: รผberlegt euch wie viele freie Parameter ihr zur Verfรผgung habt. Das ist die Anzahl an Basisยปvektorenยป die ihr braucht. Wรคhlt dann eine solche Anzahl linear unabhรคngiger Vektor aus.
12) Sehr schwierige und mรผhsame Aufgabe
Schreibe mir direkt ein Mail mit deiner Frage fรผr Tipps an [email protected] dann kann ich dir konkrete Tipps geben.
mailto:[email protected]
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Theorie
Tipps Serie 13
13) Schreibe mir direkt ein Mail mit deiner Frage fรผr Tipps an [email protected] dann kann ich dir konkrete Tipps geben.
(a) ๐ด๐ = ๐โฒโฒ = ๐๐, nehmt ๐ โ 0 an. Dann kรถnnt ihr die DGL entweder direkt als System 2. Ordnung oder durch Rรผckfรผhrung auf 1. Ordnung berechnen. (Musterlรถsung macht Rรผckfรผhrung)
Weil die Funktionen in ๐ถ02 0, ๐ sind muss
๐ 0 = 0๐ ๐ = 0
gelten.
(b) Einsetzen, wobei ๐ด๐, ๐ = โจ๐โฒโฒ, ๐โฉโ partielle Integration
(c) Fรผr die Berechnung von ๐๐ , ๐๐ kรถnnt ihr sin2 ๐ผ =
1โcos(2๐ผ)
2benutzen.
mailto:[email protected]
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49
Theorie
Tipps Serie 13