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Lineare Algebra Winter Semester 2007-2008
Ubungsblatt 1: Zu losen bis 10. Oktober
(1) Bestimmen Sie ob die folgenden Mengen mit der ublichen Multiplkationund Addition Vektorraume uber R sind:(a) Die Menge der rationalen Zahlen Q;
(b) Die einpunktige Menge
0000
⊆ R4;
(c) Die Menge aller zweidimensionalen Spaltenvektoren mit ganzzahligenKoordinaten;
(d) Die Menge P3 der Polynome mit Grad hochstens drei:P3 =
{
a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 | a0, a1, a2, a3 ∈ R}
.(2) Finden Sie die Summe der zwei Vektoren (Figur 1) mit dem Verfahren:
(a) Spitze zu Schaft;(b) Parallelogramregel;(c) Addition der Komponenten;
(3) Gegeben sind zwei Vectoren a, b in R2. Finden Sie reelle Skalare λ und µ
so dass:
(−3)(0.5a − 0.2b) + (4a + 0.5b) = λa + µb.
(4) Zeigen Sie, dass sich zwei nicht parallele Geraden im R2 in genau einemPunkt schneiden.
X AXIS
Y AXIS
1 2 3 4−1−2−3
Figure 1. Vektoren for problem II-1
1
UE Lineare Algebra I, Wintersemester 2007/2008
2. Ubungsblatt, bis 17.10.2007
1. Bestimmen Sie, ob die Vektoren u =
1−25
, v =
231
und w =
38−3
linear
abhangig oder linear unabhangig sind. Wie verhalt es sich, wenn man nur je zweiVektoren betrachtet, d.h. u, v oder u, w oder v, w?
2. Es sind folgende Abbildungen fi : R3 → Rni (1 ≤ i ≤ 5) gegeben:
(a) n1 = 2, f1 :
x
y
z
7→
y
2
z
1+x2
(b) n2 = 1, f2 :
x
y
z
7→ x − y + z + 1
(c) n3 = 3, f3 :
x
y
z
7→
2x + y
2+ z
−x − 2z
3
x − y + z
(d) n4 = 2, f4 :
x
y
z
7→ y
(
z
x
)
(e) n5 = 3, f5 :
x
y
z
7→
x − y − 1y − z + 2z − x − 1
Bestimmen Sie, welche fi lineare Abbildungen sind.
3. Gegeben sind die folgenden Abbildungen gi (1 ≤ i ≤ 3). Zeigen Sie, dass die gi lin-eare Abbildungen sind und finden Sie zu jedem gi eine Matrix Ai, die gi reprasentiert.Ist Ai durch gi eindeutig bestimmt?
(a) g1 : R2 → R2,
(
ξ1
ξ2
)
7→
(
ξ2 − ξ1
2ξ1
)
(b) g2 : R3 → R4,
ξ1
ξ2
ξ3
7→
ξ1 − ξ3 + 3ξ2
0ξ4 + ξ3
ξ1 + ξ2 + ξ3 − ξ4
(c) g3 : R2 → R2,
(
ξ1
ξ2
)
7→
(
v1
v2
)
, wobei
(
v1
v2
)
Losung des Gleichungssystems
v1 − 2v2 = ξ1
−2v1 + 3v2 = ξ2
ist.
4. (Schriftlich) Zeigen Sie: Fur alle λ ∈ R sind die beiden Vektoren
1λ
λ
und
λ
λ
−1
linear unabhangig.
5. Stellen Sie den Vektor
111
als Linearkombination der drei Vektoren
−271
,
2−11
und
253
dar. Finden Sie ferner einen Vektor im R3, der sich nicht als Linearkom-
bination dieser drei Vektoren schreiben laßt.
6. Zeigen Sie, dass drei Vektoren im R2 immer linear abhangig sind.
UE Lineare Algebra I, Wintersemester 2007/2008
3. Ubungsblatt, bis 24.10.2007
1. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginarteil folgender komplexen Zahlen:
(2 − 8i) + (5 + 4i) ; (2 − 8i) − (5 + 4i) ; (2 − 8i) · (5 + 4i) ;2 − 8i
5 + 4i
(b) Ein Argand Diagramm ist die graphische Darstellung von komplexen Zahlenals Punkte in der komplexen Ebene, wobei auf der x-Achse (= reelle Achse)der Realteil und auf der y-Achse (= imaginare Achse) der Imaginarteil einerkomplexen Zahl aufgetragen wird.
Zeichnen Sie 1 + 3i, 2− 2i, − 4 + i, − 2− 2i in ein Argand Diagramm ein,und berechnen Sie die Betrage dieser komplexen Zahlen.
2. Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen α = ℜ(α) + iℑ(α) die die Gleichung
α2 = −5 − 12i
erfullen.
Bestimmen Sie weiters die Losungen der quadratische Gleichung
z2 − (4 + i) z + (5 + 5i) = 0.
3. Bestimmen Sie das Bild des Punktes z = 2 + it, t ∈ R unter den folgenden Trans-formationen:
• z 7→ iz,
• z 7→ z2,
• z 7→ ez,
• z 7→ 1/z.
4. Zeigen Sie:
(a) Wenn eine Menge S = {0} nur den Nullvektor enthalt, dann ist S linearabhangig.
(b) Jede Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthalt, ist linear abhangig.
(c) Ist Am×n eine Matrix so dass∑n
j=1 aij = 0 fur alle i = 1, 2, . . . ,m gilt (also jedeZeilesumme 0 ergibt), dann sind die Spalten von A linear abhangig.
(d) Jede Teilmenge einer linear unabhangigen Menge von Vektoren ist linear un-abhangig.
(e) Jede Obermenge einer linear abhangigen Menge von Vektoren ist linear abhangig.
5. Bestimmen Sie alle Losungen der folgenden Systeme linearer Gleichungen:
{
x − 2y = −2x − 2y = 2
;
{
x − 2y = −2−2x + 4y = 4
;
2x + z = 3x − y − z = 1
3x − y = 4.
Geben Sie eine graphische Deutung der Resultate.
6. Es sei P ∈ Rn, und V2 ⊂ Rn ein zweidimensionaler Untervektorraum. Zeigen Sie:
Es gibt genau eine Ebene E ⊂ Rn mit P ∈ E und{−→PQ | P,Q ∈ E
}
= V2, namlich
E ={
X ∈ Rn|−−→PX ∈ V2
}
.
UE Lineare Algebra I, Wintersemester 2007/2008
4. Ubungsblatt, bis 31.10.2007
1. Sei K ein Korper. Gegeben sei die Menge
V = {alle Funktionen f : K → K}.
(a) Wir definiern eine Vektorsumme (f + g)(x) = f(x) + g(x) und eine skalareMultiplikation (kf)(x) = kf(x) fur f, g ∈ V und k ∈ K;
Zeigen Sie dass V mit den obigen Operationen ein Vektorraum uber K ist.
2. Gegeben ist der Vektorraum V aller Funktionen von dem Zahlenkorper R in denZahlenkorper R. Bestimmen Sie in jedem der folgenden Falle ob W ein Unterraumvon V ist:
(a) W = {f : R → R |f(−x) = f(x) fur alle x ∈ R.}
(b) W = {f : R → R | x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)}
3. Gegeben sei V = R3.
(a) Zeigen Sie, dass W = {(a, b, 0)|a, b ∈ R} ein Unterraum von V ist.
(b) Ist C ∪ W einen Unterraum von V , wobei C = {(0, 0, c)|c ∈ R}?
4. Fur 2 × 2 Matrizen mit Eintragen in R definieren wir eine Vektorsumme so:
(
a11 a12
a21 a22
)
+
(
b11 b12
b21 b22
)
=
(
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
)
und skalare Multiplication
k
(
a11 a12
a21 a22
)
=
(
ka11 ka12
ka21 ka22
)
,
mit aij, bij ∈ R und k ∈ R. Mit diesen obigen Operationen ist die Menge der 2 × 2Matrizen mit Eintragen in R ein Vektorraum. Finden Sie α und β so, dass
C =
(
−1 −4−9 −10
)
= αA + βB,
wobei
A =
(
1 10 1
)
und B =
(
1 23 4
)
.
5. Gegeben ist die Menge V aller (n×n) Matrizen mit Eintragen in R. Wir definiereneine Vektoraddition und eine skalare Multiplikation analog wie fur 2 × 2 Matrizenim letzten Beispiel (also komponentenweise). Sei
W := {symetrische Matrizen; das heißt aij = aji fur alle 0 ≤ i, j ≤ n}.
Bestimmen Sie, ob W ein Unterraum von V ist.
UE Lineare Algebra I, Wintersemester 2007/2008
5. Ubungsblatt, bis 07.11.2007
1. Bestimmen Sie alle Losungen des folgenden linearen Gleichungssystems uber C:
(1 + i)x − 3y + iz = −17ix − (2 + i)y + z = i
(1 − 2i)x − y − iz = 0
2. Sei R[X] der R-Vektorraum aller Polynomfunktionen f : R → R, X 7→∑n
i=0 aiXi,
wobei a0, . . . , an ∈ R. Untersuchen Sie, welche der folgenden Abbildungen linearsind:
(a) D : R[X] → R[X],∑n
i=0 aiXi 7→
∑ni=1(i · ai)X
i−1 (Differentiation)
(b) gr : R[X] → R, f 7→ gr(f) (Gradabbildung)
(c) ωa : R[X] → R, f 7→ f(a) (Auswertung an der Stelle a ∈ R)
(d) Die Abbildung κl : R[X] → R,∑n
i=0 aiXi 7→ al, mit l ∈ N0
3. Es seien a, b, c ∈ C. Unter welchen notwendigen und hinreichenden Bedingungenhat das lineare Gleichungssystem
ax + by = c
x + y = 1
(a) eine Losung ( xy ) ∈ C2?
(b) eine Losung ( xy ) ∈ R2?
Bestimmen Sie samtliche Losungen in C2 bzw. R2. Deuten Sie die reellen Losungengeometrisch.
4. (schriftlich) Sei K ein Korper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, undseien V1 und V2 Untervektorraume von V . Zeigen Sie, dass folgende Aussagenaquivalent sind:
(a) V = V1 + V2 und die Summe ist direkt.
(b) Ist [x1, . . . , xm] eine Basis von V1 und [y1, . . . , yn] eine Basis von V2, dann ist[x1, . . . , xm, y1, . . . , yn] eine Basis von V .
5. Es sei K ein Korper und φ : V → W ein Isomorphismus von K-Vektorraumen.Zeigen Sie, dass fur K-Untervektorraume V1, . . . , Vn von V folgende Aussagen aquivalentsind:
1
(a) V =∑n
i=1 Vi und die Summe ist direkt.
(b) W =∑n
i=1 φ(Vi) und die Summe ist direkt.
Warum ist diese Aussage im Allgemeinen falsch, wenn φ kein Isomorphismus ist?
2
UE Lineare Algebra I, Wintersemester 2007/2008
6. Ubungsblatt, bis 14.11.2007
1. Betrachten Sie die folgende drei Abbildungen R2 → R2:
(a) f1: Rotation um den Winkelθ gegen den Uhrzeigersinn.
(b) f2: Spiegelung an der x-Achse.
(c) f3: Projektion auf die Geradey = x.
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildungen fi sind linear.
(b) Finden Sie zu jedem fk eine Matrix Ak = [aij] die fk reprasentiert:
fk (p) = fk
(
x1
x2
)
=
(
a11x1 + a12x2
a21x1 + a22x2
)
.
2. Eine Dreiecksmatrix ist eine n × n Matrix, fur die alle Eintrage unterhalb (obereDreiecksmatrix) bzw. oberhalb (untere Dreiecksmatrix) der Hauptdiagonalen Null
sind. Zeigen Sie: Ist T eine Dreiecksmatrix mit tii 6= 0 fur alle i = 1, . . . , n, dannsind die Zeilen von T linear unabhangig; weiters sind die Spalten von T linearunabhangig.
3. Gegeben sind die folgenden Teilmengen des R4:
A =
1223
,
2413
,
3614
, B =
0011
,
1234
.
Zeigen Sie, dass gilt: lineare Hulle von A = lineare Hulle von B.
4. Geben Sie eine geometrische Darstellung der linearen Hullen der folgenden Vektorenin R3:
(a)
132
,
264
,
−3−9−6
,
(b)
−400
,
050
,
110
,
(c)
100
,
110
,
111
.
5. A = {a1, a2, . . . , an} sei eine Basis des Vektorraum V uber K.
(a) Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor von V auf hochstens eine Weise alsLinearkombination der ai schreiben lasst,
v = β1a1 + β2a2 + · · · + βnan ,
d.h. , die βi ∈ K sind durch v eindeutig bestimmt.
(b) Schreiben Sie den Vektor
14
−3
∈ V = R3, K = R, als eindeutige
Linearkombination der Basis
11−1
,
15−1
,
−300
des R3.
UE Lineare Algebra I, Wintersemester 2007/2008
7. Ubungsblatt, bis 28.11.2007
1. Nehmen Sie an dass x,y, und z linear unabhangige Vektoren sind. Zeigen Sie, dassdie drei Vektoren x + y, x − y und x − 2y + z auch linear unabhangig sind.
2. Finden Sie eine Basis und erklaren warum dies eine Basis ist fur:
(a) den Vektorraum V aller 3 × 3 Matrizen mit komplexen Eintragen uber demKorper C .
(b) den Vektorraum V aller Polynome vom Grad hochstens 4 uber dem Korper R.
3. Gegeben sei der Vektorraum V aller Funktionen f : R → R.
(a) Zeigen Sie, dass die Funktionen g = x2 and h(x) = x2 + 1 linear unabhangigsind. (Zwei Funktionen sind als Vektoren des Vektorraums genau dann gleich,wenn sie fur alle x ∈ R desselben Wert annehmen).
(b) Geben Sie ein Beispeil zweier Funktionen, die linear abhangig sind.
4. Entscheiden Sie, ob {(3,3,3),(1,2,3),(4,-2,2)} eine Basis des R3 ist.
5. Gegeben {(1,2,3),(1,1,1)}, finden Sie einen dritten Vektor, um eine Basis des R3 zuerhalten.
6. Gegeben ist der Unterraum des R4 definiert durch {(a, b, c, d)|a − b = 0, c = 4d}.Finden Sie eine Basis fur diesen Unterraum.
7. Sei W eine Unterraum eines endlich dimensionen Vektroraums V der Dimension n.Beweisen Sie
(a) die Dimension von W ist kleiner gleich n.
(b) wenn die Dimension von W gleich n ist, dann ist W = V .
8. (Wiederholung) Seien U und W Unteraume eines endlich dimensionalen Vektor-raums. Sei {u1, .., un} eine Basis von U und {w1, .., wm} eine Basis von W und seiV = U ⊕ W . Beweisen Sie, dass {u1, .., un, w1, .., wm} eine Basis von V ist.
UE Lineare Algebra I, Wintersemester 2007/2008
8. Ubungsblatt, bis 05.12.2007
1. Gegeben sind die zwei Vektoren
v1 =
1−30−1
, v2 =
21−10
des R4. Erganzen Sie v1, v2 zu einer Basis [v1, v2, v3, v4] des R4.
2. Der Korper C der komplexen Zahlen ist vermoge der Skalarmultiplikation R×C →C, λ(x + iy) = (λx) + i(λy) ein zweidimensionaler R-Vektorraum mit der Basis[1, i]. Sei z = a + ib ∈ C mit a, b ∈ R. Durch Multiplikation mit z ist eine R-lineareAbbildung x 7→ zx von C nach C gegeben. Finden Sie die Matrixdarstellung dieserAbbildung bzgl. der Basis [1, i].
3. Fur Funktionen f, g : R → R definieren wir das Produkt fg : R → R (wie ublich)wertweise: (fg)(x) = f(x)g(x). Bestimmen Sie die Menge aller Abbildungen f :R → R fur die die Menge {f, f2, f 3, . . . } linear abhangig im R-Vektorraum allerFunktionen von R nach R ist.
4. (schriftlich) Uberlegen Sie sich, ob die Menge {sin(x), cos(x)} linear abhangig oderlinear unabhangig im R-Vektorraum aller Funktionen von R nach R ist.
5. Stellen Sie die bzgl. der Standardbasen des R3 bzw. R4 gegebenen Matrix
0 1 −10 2 01 1 1−3 0 0
bzgl. der neuen Basen
1−100
,
10−10
,
100−1
,
1000
und
1−10
,
10−1
,
001
dar.
6. Sei V der R-Vektorraum aller Polynomfunktionen von R nach R deren Grad ≤ 3ist. Sei di : V → V die Abbildung, die jeder Polynomfunktion ihre i-te Ableitungzuordnet (1 ≤ i ≤ 3). Finden Sie die Matrixdarstellung von di bzgl. der Basis[1, x, x2, x3].
UE Lineare Algebra I, Wintersemester 2007/2008
9. Ubungsblatt, bis 12.12.2007
1. Sei P3 der R-Vektorraum aller Polynomfunktionen f : R → R, x 7→ a0 + a1x +a2x
2 + a3x3 wobei a0, a1, a2, a3 ∈ R. Dann hat das Polynom f(x) = 1−x+3x2−x3
die Darstellung
0112
bzgl. der Basis B = {1 + x, 1− x, x2 + x3, x2 − x3}. Finden
Sie einen neuen Basis D des P3, so dass das Polynom f(x) die Darstellung
1020
bzgl. der neuen Basis D hat.
2. Mit Mm×n(K) bezeichnen wir die Menge aller m × n-Matrizen uber K; mit derublichen Addition und skalaren Multiplikation ist Mm×n(K) ein linearer Raum uberK. Gegeben seien V ein n-dimensionaler Vektorraum und W ein m-dimensionalerVektorraum uber K. Dann ist L(V,W ) = {f : V → W |f ist K− linear } einK-Vektorraum mit der ublichen Addition + : L(V,W ) × L(V,W ) → L(V,W ),(f + g)(x) = f(x) + g(x) und Skalarmultiplikation · : K × L(V,W ) → L(V,W ),(λf)(x) = λf(x).
Zeigen Sie, dass Mm×n(K) zu L(V,W ) isomorph ist.
3. Gegeben sei eine Menge S. Betrachten Sie den R-Vektorraum L aller Funktionenf : S → R mit der ublichen Addition + : L×L→ L, (f + g)(x) = f(x) + g(x) undder ublichen Skalarmultiplikation · : R× L→ L, (λf)(x) = λf(x).
Zeigen Sie:
(a) wenn S = {1, 2, . . . , n}, dimL = n;
(b) wenn S = R, dimL =∞.
4. Transformieren Sie das lineare Gleichungssystem
x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 0
2x1 + 4x2 + x3 + 3x4 = 03x1 + 6x2 + x3 + 4x4 = 0
auf reduzierte Echelon-Form, und bestimmen Sie alle seine Losungen uber R.
5. Gegeben ist die folgende Menge
S =
23−1
1
,
1573
,
−2
4164
,
0−2
60
,
1−1
32
,
−3−1
3−6
⊂ R4
(a) Zeigen Sie, dass [S] = R4
(b) Finden Sie eine Teilmenge von S die eine Basis des R4 ist.
UE Lineare Algebra I, Wintersemester 2007/2008
10. Ubungsblatt, bis 09.01.2008
1. Seien f : R → R und g : R → R Abbildungen. Wir definieren (f ◦ g)(x) :=f(g(x)). Zeigen Sie: Wenn f und g bijektiv sind, dann ist auch (f ◦ g) bijektiv.
2. Sei die Menge F = {f1, f2, ..., fn} eine Basis fur den Vektorraum V und E ={e1, e2, ..., en} ebenfalls eine Basis fur V . Wir konnen dann jeden Basisvektor von F
als Linearkombination von Vektoren von E schreiben, das heißt
fi = ai1e1 + ai2e2 + ai3e3 + · · · + ainen .
Sei P diejenige Matrix deren i-te Spalte der Koordinatenvektor des Vektors fi
bezuglich der Basis E ist. Die invertierbare Matrix P heißt”Ubergangsmatrix“
von der Basis E zur Basis F . Fur jeden Vektor v ∈ V gilt dann die GleichungP [v]f = [v]e, wobei zum Beispiel [v]e den Spaltenvektor bezeichnet, dessen Eintragedie Koordinaten von v bezuglich der Basis E sind.
(a) Verwenden Sie das Konzept”Inverse Matrix“ und finden die Ubergangsmatrix
von F nach E.
(b) Nehmen Sie an dass T : V → V ein lineare Abbildung ist und [T ]e dieMarixdarstellung von T bezuglich der Basis E ist, das heißt [Tv]e = [T ]e[v]e.Verwenden Sie das Konzept
”Inverse Matrix“ und finden Sie eine Formel fur
die Marixdarstellung von T bezuglich der Basis F .
3. Gegeben sind die folgenden Mengen ⊂ R3:
A =
111
,
341
,
539
, B =
1−27
,
2−312
,
3−417
.
Bestimmen Sie, ob die lineare Hulle von A gleich der linearen Hulle von B ist.
4. Gegeben ist die 3 × 3 Matrix
A =
1 0 22 −1 34 1 8
.
Finden Sie A−1.
1
5. (a) Ist
A =
1 0 00 2 32 0 0
invertierbar? Begrunden Sie Ihre Aussage.
(b) Ist
A =
(
1 0 00 1 0
)
invertierbar? Begrunden Sie Ihre Aussage.
6. Gegeben sei die lineare Abbildung T (x, y, z) = (x+2y−z, y +z, x+y +2z). Findeneinen Basis fur Kern(T ).
2
UE Lineare Algebra I, Wintersemester 2007/2008
11. Ubungsblatt, bis 16.01.2008
1. Bestimmen Sie ob die folgende Matrix invertierbar ist und berechnen Siegegebenenfalls die Inverse:
1 3 −1−4 0 2−5 2 2
2. Bestimmen Sie ob die folgende Matrix invertierbar ist und berechnen Siegegebenenfalls die Inverse:
1 −1 0 −14 2 0 26 0 2 21 3 5 0
3. Bestimmen Sie eine Basis fur den Kern und das Bild folgender Matrix:
1 −1 −1 04 3 8 66 0 6 61 3 7 4
4. Sei A eine n × n Matrix uber R und k ∈ N0. Wir definieren die k-te Potenz Ak
von A rekursiv durch A0 := I, Ak := A · Ak−1, wobei I die n × n Einheitsmatrixbezeichnet.
(a) Zeigen Sie, dass Kern(A) ⊂ Kern(A2) ⊂ Kern(A3) ⊂ · · · ⊂ Kern(Ak) ⊂ . . .
gilt, und dass es ein k0 ≥ 0 mit Kern(Ak0) = Kern(Ak) fur alle k ≥ k0 gibt.Wir definieren dann K(A) := Kern(Ak0).
(b) Zeigen Sie, dass Bild(A) ⊃ Bild(A2) ⊃ Bild(A3) ⊃ · · · ⊃ Bild(Ak) ⊃ . . . gilt,und dass es ein k0 ≥ 0 mit Bild(Ak0) = Bild(Ak) fur alle k ≥ k0 gibt. Wirdefinieren dann B(A) := Bild(Ak0).
5. Seien die Voraussetzungen und Bezeichnungen wie im vorigen Beispiel.
(a) Zeigen Sie, dass K(A) invariant unter A ist, d.h., dass Ax ∈ K(A) fur allex ∈ K(A) gilt. Ditto fur B(A).
(b) Beweisen Sie, dass Rn = K(A) + B(A), und dass die Summe K(A) + B(A)direkt ist.
1
6. Sei A eine n × n Matrix uber R. Seien K und B Untervektorraume des Rn sodassRn = K +B ist, diese Summe direkt ist, und K und B invariant unter A sind. (ZurTerminologie
”invariant“ siehe das vorige Beispiel.) Seien v1, . . . , vl und w1, . . . , wm
Basen von K bzw. B. Dann gilt l + m = n. Zeigen Sie, dass die Matrixdarstellung[A]b von A bzgl. der Basis b = (v1, . . . , vl, w1, . . . , wm) die folgende Gestalt hat:
[A]b =
(
X 0l,m
0m,l Y
)
Hierbei bezeichnen X eine l × l Matrix, Y eine m × m Matrix und 0α,β die α × β
Nullmatrix.
7. Bestimmen Sie den Rang folgender Matrix:
0 −1 1 1 0−2 2 −2 2 0−3 1 4 3 10 1 0 4 −1
2
UE Lineare Algebra I, Wintersemester 2007/2008
12. Ubungsblatt, bis 30.01.2008
1. Gegeben ist die 3 × 4 Matrix
A =
1 3 1 −4−1 −3 1 0
2 6 2 −8
.
Uberprufen Sie, dass rang(
AT A)
= rang (A) = rang(
AAT)
.
2. Ein System linearer Gleichungen Ax = b von m linearen Gleichungen in n Variablenuber R heißt konsistent, wenn es eine Losung hat. Sonst heißt es inkonsistent.
(a) Im Fall b = 0 (homogenes Gleichungssystem), zeigen Sie:
i. das lineare Gleichungssystem Ax = 0 ist immer konsistent.
ii. das lineare Gleichungssystem Ax = 0 hat genau eine Losung (d.h. x = 0)⇔ rang(A) = n.
(b) Im Fall b 6= 0 (inhomogenes Gleichungssystem), zeigen Sie:
i. das lineare Gleichungssystem Ax = b ist konsistent ⇔ rang([A|b]) =rang(A).
ii. das lineare Gleichungssystem Ax = b hat genau eine Losung ⇔ rang(A) =n.
3. Finden Sie ein homogenes System von 3 linearen Gleichungen in 4 Variablen uberR das die folgende allgemeine Losung hat
x2
−2100
+ x4
−3021
.
4. Zeigen Sie, dass fur invertierbare Matrizen Ar×r, Bs×s gilt:
(a)
(
A 0r,s
0s,r B
)
−1
=
(
A−1 0r,s
0s,r B−1
)
,
(b)
(
A C
0s,r B
)
−1
=
(
A−1 −A−1CB−1
0s,r B−1
)
.
5. Eine quadratische Matrix heißt nilpotent vom Index k, wenn Nk = 0 und Nk−1 6= 0fur die positive naturliche Zahl k gilt.
(a) Sei N ∈ Rn×n nilpotent vom Index n und y ein Vektor, sodass Nn−1y 6= 0.Zeigen Sie dass, B = {y,Ny,N2y, . . . , Nn−1y} eine Basis von Rn ist.
(b) Zeigen Sie: [N ]B
=
0 0 · · · 0 01 0 · · · 0 00 1 · · · 0 0...
.... . .
......
0 0 · · · 1 0
(c) Seien A und B zwei nilpotente n × n Matrizen vom Index n. Dann existierteine invertiebare Matrix P , sodass A = P−1BP (das folgt nach (b) ).
6. Gegeben ist die 2 × 2 Matrix
(
0 1−2 3
)
.
Finden Sie alle Unterraume V ⊂ R2 die invariant unter A sind, d.h., alle V ⊂ R2
mit Ax ∈ V fur alle x ∈ V .
7. Gegeben sei die Matrix
A =
(
1 −11 1
)
.
Berechnen Sie alle Eigenwerten und Eigenvektoren von A.
8. Fur quadratische Matrizen A uber einem Korper K
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
an1 an2 · · · ann
definiert man die Spur (”trace” auf English), sp(A), als die Summe der
Diagonalelemente: sp(A) = a11 + a22 + · · · + ann =n∑
i=1
aii.
Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften:
(a) sp(
AT A)
≥ 0.
(b) sp(
AT A)
= 0 ⇔ A = 0.
(c) Fur Matrizen Am×n und Bn×m gilt sp (AB) = sp(BA).
(d) Invarianz der Spur unter zyklischen Vertauschungen:fur n × n Matrizen A,B,C gilt sp (ABC) = sp (BCA) = sp (CAB).
(e) Die Spur ist invariant unter Basistransformationen:fur eine Matrix A und eine invertierbare Matrix B gilt sp (B−1AB) = sp (A).