lineares gleichungssystem für a und a d in matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞...
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Der unendlich hohe Potentialtopf
x
V∞∞
L <10 nm
e-
ψ(0)=ψ(L)=0Es muss aber auch erfüllt werden:
(0) exp( 0) exp( 0) 0A jk A jk A Aψ + − + −= + − = + =
( ) exp( ) exp( ) 0L A jkL A jkLψ + −= + − =
→ Lineares Gleichungssystem für A+ und A- d
1 10
exp( ) exp( )A
jkL jkL A
+
−
⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠
In Matrixform:
Nichtriviale Lösung, falls Determinante verschwindet:
( )det exp( ) exp( ) 2 sin( ) 0jkL jkL j kL= − − = − = ; n ganze Zahlnk nLπ
⇒ =
A A− +⇒ = −
Wiederholung !
Ende 28.4.2005
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Eigenschaften der Lösungen:
-es gibt nur bestimmte diskrete Energien(„Quantelung“)
-es gibt eine Minimalenergie W≠0 !!(„Nullpunktsenergie“)
22
( ) sin ; W2n n n
n x nx BL m Lπ πψ
⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Lösungen haben die Form: wobei n=1,2,...
Der unendlich hohe Potentialtopf: Eigenschaften der Lösungen
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
Wiederholung !
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L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3-das Elektron ist über den ganzenTopf „verschmiert“ (aber nicht gleichmässig)
-die niedrigste Lösung hat keinen Nulldurchgang(Knoten)
- je höher die Energie, desto mehr Knoten
22
( ) sin ; W2n n n
n x nx BL m Lπ πψ
⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Lösungen haben die Form: wobei n=1,2,...
Der unendlich hohe Potentialtopf: Eigenschaften der Lösungen
Eigenschaften der Lösungen:
-abwechselnd symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen W1
W2
W3
W
Wiederholung !
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-ebene Wellen, die irgendwie durch den Topf in ihrer Ausbreitung gestört werden(ähnlich dem freien Elektron)
- lokalisierte, gebundene Zustände, die so ähnlich aussehen wie beim Potentialtopfmit unendlich hohen Wänden
Der endliche Potentialtopf: Struktur der Lösungen
0
0 : 2( )
:2
LxV x
LV x
⎧ >⎪⎪= ⎨⎪− ≤⎪⎩
V(x)
- V0-L/2 L/2
Wir vermuten zwei qualitativ unterschiedliche Lösungsarten:
Wiederholung !
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Der endliche Potentialtopf: Gebundene Lösungen
-Stetigkeitsbedingungen werden nur für -diskrete k erfüllt:
→endliche Anzahl von Eigenfunktionen mit diskreten Energieeigenwerten
cos( )2( )
cos( )exp ( )2 2 2
g
LA kx für xu x L LA k x Lfür x
κ
⎧ ≤⎪= ⎨ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎪ >⎝ ⎠⎩
Symmetrische (gerade) Lösungen:
Antisymmetrische (ungerade) Lösungen:
sin( ) für 2
( ) sin( )exp ( ) für 2 2 2
sin( )exp ( ) für 2 2 2
u
LB kx x
L L Lu x B k x x
L L LB k x x
κ
κ
⎧≤⎪
⎪⎪⎪ ⎡ ⎤= − >⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤− − < −⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩
-im Gegensatz zur klassischen Lösungendliche Aufenthaltswahrscheinlichkeitausserhalb des Topfes !!
„Teilchen tunnelt aus dem Topf heraus “
„Quantenmechanischer Tunneleffekt“
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
WineV
x in nm
|ΨW2 |2
|ΨW1 |2
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
WineV
x in nm
|ΨW2 |2
|ΨW1 |2
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
WineV
x in nm
|ΨW2 |2
|ΨW1 |2
-L/2 L/2
Wiederholung !
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Eigentliche und Uneigentliche Lösungen
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
WineV
x in nm
|ΨW2 |2
|ΨW1 |2
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
WineV
x in nm
|ΨW2 |2
|ΨW1 |2
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
WineV
x in nm
|ΨW2 |2
|ΨW1 |2
Seit Anfang der Vorlesung verfolgen uns schon die uneigentlichen Lösungen, z.B. freien Elektron.
In den meisten Fällen gibt es eigentliche und uneigentliche Eigenzustände.
Uneigentliche Zustände sind nicht normierbar:
*'
für k'=k( ) ( ) ( ' )
0 sonstk kx x dx k kψ ψ δ∞
−∞
∞⎧= = −⎨⎩
∫
Eigentliche Zustände sind normierbar:
* 1 für m=n( ) ( )
0 sonstm n mnx x dxψ ψ δ∞
−∞
⎧= =⎨⎩
∫
Wiederholung !
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V(x)
-C
-L/2 L/2
V(x)
-C
-L/2 L/2
Kontinuumslösungen beim Potentialtopf
Klassisch für W>0:
Teilchen rauscht über den Topf hinweg (wird beschleunigt und dann wieder abgebremst)
Quantenmechanik für W>0:
( ) exp( ) exp( )x A jkx A jkxψ + += − −Wieder der Ansatz, der (fast) immer funktioniert:
Periodische Lösungen auch ausserhalb des Topfes.
Qualitatives Bild der Lösungen:
-grössere kinetische Energien entsprechend kleineren Wellenlängen im Bereich desTopfes
-V0
Wiederholung !
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V(x)
- L/2
V(x)
-L/2
Potentialtopf: W>0, Kontinuumslösungen
Klassisch für W>0:
Teilchen rauscht über den Topf hinweg (wird beschleunigt und dann wieder abgebremst)
Quantenmechanisch für W>0:
Aus ( ) sin( )exp ( )2 2
wird
( ) sin( )sin( '( )) 2 2
gedämpft
Kontinuum
L Lx B k x
L Lx B k x
ψ κ
ψ κ
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
= −
Qualitatives Bild der Lösungen:
wobei 20
2
2= mV kκ −
Periodische Lösungen auch ausserhalb des Topfes.
-C-V0
Wiederholung !
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Potentialtopf: W>0, Kontinuumslösungen
Ähnliches Verhalten wie beim Durchgang von Licht (=elektromagnetische Welle)durch ein Fabry-Perot-Interferometer:
Wiederholung !
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Potentialbarriere
V0
W<V0:
Klassisch würde das Elektron an der Barriere mit 100%iger Wahrscheinlichkeitreflektiert werden.
Quantenmechanisch „durchtunnelt“ es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit die Barriere
12 2
00
0 0
sinh ( 2 ( ) / )( ) 1
4( / )(1 / )m V W a
T W VW V W V
−⎛ ⎞−⎜ ⎟< = +⎜ ⎟−⎝ ⎠
Tunneleffekt in Reinkultur
denn:
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
T
E [eV] (V0=3eV)
Wiederholung !
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Quantenmechanische Eigenwertgleichung:
Meßwerte in der Quantenmechanik: Normierung
2 2
2ˆ ( ) ( ) . . ( ) ( )
2n nF x f x z B x W xm x
ψ ψ ψ ψ⎧ ⎫∂
= − =⎨ ⎬∂⎩ ⎭
*
*
( ) ( )<F>=
( ) ( )
dx x F x
dx x x
ψ ψ
ψ ψ∫∫
Erwartungswert:
Normierung einer Wellenfunktion:
*
( )( )=( ) ( )
normxx
dx x x
ψψψ ψ∫
(geht nur bei eigentlichen Zuständen)
*<F>= ( ) ( )norm normdx x F xψ ψ∫Dann gilt:
* ( ) ( ) 1norm normdx x xψ ψ =∫L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
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Meßwerte in der Quantenmechanik: Normierung
1 21 ( )2
1 () )2
( x xxψ ψψ +=Bsp.:
Ist normiert,
*1 1
* *1 1 1
L
0
L
0
*2 2
* *2 1
1 0 02
2 2 2
12
1 1( ) ( )2 2
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
1 1( ) ( )2 2
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2
12 2 2 2 2 2
xx x
x x x x
x
x x dx xx
dxψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψψ ψψ ψ
→ →→ →
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
++
∫
∫
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
1 2wenn ( ) und ( ), dax xψ ψ
Was ergibt sich, wenn das Elektron nicht in einem Eigenzustand ist ??
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*1
*2 21
L 2 2
20
<W>=2
1 1( ) ( )2 2
1 1( ) ( )2 2
dxm x
x xx xψ ψψ ψ⎧ ⎫∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
∫
* *2
L
021 1 21
1 1( ) ( )2
1 1( ) ( )22 2
= x W W dxx xxψ ψψ ψ⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫
*2 2 2
0
*1 1 1
L 1 1 ( ) ( )2
1 1 ( )2 2
=2
( ) W x xx x dW xψ ψ ψ ψ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫
1 21 22 2
1 12
= W WW W++ =
Erwartungswert bei Messung der Energie:
Meßwerte in der Quantenmechanik: Erwartungswert
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
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Meßwerte in der Quantenmechanik: Die Einzelmessung
4. Postulat der Quantenmechanik: (1. Teil)
n
Wenn eine Eigenfunktion zum Operator ist, dann führt die Messung von F stets zum gleichen Ergebni
Wenn keine Eigenfunktion von F ist, dann
s, nämlich
ergibtein
dem Eigenw
e einzelne
er
Me
t f .
ssung
Fψ
ψ
n2
n n
von F ein Ergebnis, das irgendeinem
der Eigenwerte von F entspricht. Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Eigenwert f zu messen, ist proportional
zu a , wobei a der zugehörige Entwicklungskoeffizient ist .
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Wahrscheinlichkeit für die Messung von W1:
21
12
a =
Wahrscheinlichkeit für die Messung von W2:
22
12
a =
Meßwerte in der Quantenmechanik
aber: es kommt bei der Messung immer
W1 oder W2 heraus, niemals ein Zwischenwert !!
4. Postulat der Quantenmechanik: (2. Teil)
n
n
Misst man bei Messung der Observablen den Eigenwert F , dann wird das quantenmechanische System so präpariert, dass es unmittelbar nach der Messung im zugehörigen Eigenzustand is t.
F
ψ
1 21 ( )2
1 () )2
( x xxψ ψψ +=
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
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Meßwerte in der Quantenmechanik: Kryptografie
Quelle: G. Bastian
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Meßwerte in der Quantenmechanik: Kryptografie
Quelle: G. Bastian
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Gliederung der Vorlesung Festkörperelektronik
1. Grundlagen der Quantenphysik2. Aufbau der Materie3. Elektronen in Kristallen4. Halbleiter5. Quantenstatistik6. Dotierte Halbleiter7. Der pn-Übergang
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Quantenmechanische Probleme in 3D
2 2
2 ( ) ( ) ( ) ( )2
x V x x W xm x
ψ ψ ψ∂− + =
∂
zu lösen ist dann die dreidimensionale S.-Glg:
2
2 2 2 2
2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )2
r V r r W rm x y z
ψ ψ ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
− + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∇
x
y
z
Nehmen wir den dreidimensionalen harm. Oszi.:3
2
1( )
2 i ii
mV r xω=
= ∑
Das Potential ist somit additiv
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )V r f x f y f z= + +
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Quantenmechanische Probleme in 3D
Bei einem additiven Potential kann die S-Glg. durch einen Produktansatz separiert werden:
31 2( , , ) ) )( (( )xx z zyy ψψψ ψ=Produktansatz:
2
3
2
1 1 12
2
22 23
2
2 32 (( ) ( ) () (( ) ( ) ( )) ) )2
(f yf x x xx
Wm
f z z zyz
yy
ψ ψψ ψ ψψ⎡ ⎤⎛ ⎞− + + + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
∂∂
∂∂∂ ∂
Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung ergibt:
1 1 1
1
2 2 2
2 2 21 1
2
3 3 3
3 3 3
( ) ( ) '''( ) ( ) ( )
( )
( ) ''( ) ( )
( ) ( )
' (
( )
)
((
( )
( ) ( ) ) ( )2
( ) )
y y y
f y
xm
z z z
f z z z
x x
Wyf x x x y
ψ ψ ψ
ψ
ψ ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ ψ
ψψ ψ
⇒ − + + +
+ + =
1 32( ) (( ) )) (ffV r yx f z= + +
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( )11
1
13
1
12
1
2 ''( )( )
(( ) (
''( )( )
''( )( )
( ) )) ()
2 zx yz
f z Wz
yf W
mW W
yx
xy
xf
ψψψ ψ ψ
ψ− + + + + + = = + +
Quantenmechanische Probleme in 3D
D.h. die Funktionen müssen die eindimensionalen S.-Glg. erfüllen. Die dreidimensionale Lösung ergibt sich dann als Produkt der 1D-Lösungen.
Gleichung muss gelten für alle x,y,z. Daher muss auch einzeln gelten:
2 21
1 1 1 1 112 2''( )
( ) ''( ) ( ) ( ) ( )( ) x x
xf x W x f x x W x
xm mψ
ψ ψ ψψ
− + = ⇔ − + =
etc. etc.
Für die Energieeigenwerte gilt in diesem Fall:
, ,nx ny n nz nznx yW WW W= + +
Zustände:
( , , ( )( )) ( ) nnx n zyxz zyx y ψψψψ =
Sprechweise: Zustand wird beschrieben durch die drei Quantenzahlen nx,ny,nz
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Abb: Elektronenmikroskopische Aufnahme sogenannter Quantenpunkte (Quelle: Infineon).
Elektronische Zustände in einem Quantenpunkt (quantum dot)
x
y
z
Wachstum von Quantenpunkten
Quelle: J. Reithmaier, Uni Würzburg
In nullter Näherung handelt es sich um einen unendlich hohen dreidimensionalen Potentialtopf.
5nm
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Elektronische Zustände in einem Quantenpunkt (quantum dot)
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
W
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
L0
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
x
∞∞E
E1
E2
E3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
W1
W2
W3
WZustände im unendlich hohen 1 D Potentialtopf
22
W2
xnx
nm L
π⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) sin xnx n
n xx A
Lπ
ψ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Für den unendlich hohen Potentialtopf in 3 D ergibt sich also:
( )22
2 2 2nzW=W +W +W
2
0
nx ny x y zn n nm LW
π⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
, ,( ) sin sin sinyx znx nx ny nz
n yn x n zx A
L L Lππ π
ψ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
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( )2 2 20 0 x y z1 +1 +1 W 3 (n =n =n =1)W=
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 20 0
x y z x y z x y z
2 +1 +1 1 +2 +1 1 +1 +2 6(n =2; n =n =1);(n =1; n =2; n =1);(n =1; n =1; n =2) (dreifach entartet)
W W= = =
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
x y z x y z x y z
2 +2 +1 2 +1 +2 1 +2 +2 9 (n =n =2;n =1);(n =2; n =1; n =2);(n =1; n =2; n =2) (dreifach entartet)
W W W W= = =
( )2 2 20 0
x y z
2 +2 +2 12 (n =n =n =2) (nicht entartet)
W W=
Energieschema der Zustände in einem Quantenpunkt (quantum dot)
Zustände werden klassifiziert durch die 3 Quantenzahlen nx,ny,nzUnterschiedlicher Entartungsgrad für unterschiedliche Energieniveaus
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
x y z x y z x y z
3 +1 +1 1 +3 +1 1 +1 +3 11 (n =3; n =n =1 n =1; n =3; n =1 n =1; n =1; n =3) (dreifach entartet)
W W W W= = =
W (W0)
12
9
6
3
11
![Page 25: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/25.jpg)
Die Sache mit dem Spin
Experimenteller Nachweis: Stern und Gerlach (1922)
- Elektronenstrahl spaltet auf beim Durchgang durch ein inhomogenes Magnetfeld
e - Elektronen tragen ein magnetisches Moment- “ sind komplizierter als eine punktförmige Masse- haben einen Eigendrehimpuls (Spin)
-dieser Freiheitsgrad muss bei der Beschreibung des Zustandes mit berücksichtigt werden
- der Spin kann beim Elektron zwei Werte einnehmen: s=-1/2;+1/2 (Fermion)
-Erweiterung der Quantenzahlen:z.B. für den Quantenpunkt
( , , ) ( , , , )x y z x y zn n n n n n s→
-Erweiterung der Wellenfunktion:
12
12
( , )( , )
( , )
r tr t
r t
ψψ
ψ−
⎡ ⎤⎢ ⎥
→ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
„Spinor“
![Page 26: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/26.jpg)
- von fundamentaler Bedeutung für den Aufbau der Materie:
Pauli‘schesAusschliessungsprinzip:
Zwei Fermionen unterscheiden sich in mindestens einer Quantenzahl !
, , ,x y zn n n s d.h. maximal zwei Elektronen sind in einem Zustand mit den Quantenzahlen nx,ny,nz
.. der Spin ergibt sich als Konsequenz einer relativistischen Formulierung derQuantenmechanik.
.. das Pauli-Prinzip muss bei einer saubereren Vorgehensweise als Postulatformuliert werden.
Die Sache mit dem Spin
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Mehrelektronensysteme
Konsequenzen für den Aufbau von Mehrelektronensystemen:
-minimale Energie des Mehrelektronenproblems ergibt sich, wenn alle Zustände „von unten nach oben“ mit jeweils zwei Elektronen aufgefüllt werden.
1-fach entartet (maximal 2 Elektronen)
3-fach entartet (maximal 6 Elektronen)
3-fach entartet (maximal 6 Elektronen)
1-fach entartet (maximal 2 Elektronen)W (W0)
12
9
6
3
11
W (W0)
12
9
6
3
11 3-fach entartet (maximal 6 Elektronen)
![Page 28: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/28.jpg)
Aufbau der Materie: Das Wasserstoffatom
Warum ist schon das Wasserstoffatom ein verdammt schwieriges System ?
1. Problem: Es handelt sich um ein Zweiteilchenproblem !?
1 Elektron
1 Protoner
KR
KMem
...das führt zunächst mal auf zwei gekoppelte Schrödinger-Gleichungen für Proton und Elektron.
aber: MasseProton=1.672*10-27kg Masse (Elektron)=9.1*10-31kg>>
Born-Oppenheimer-Näherung: Gegenüber der schnellen Elektronenbewegung kann die Kernbewegung zunächst vernachlässigt werden. Kernkoordinaten gehen dann als Parameter ein.
Elektron bewegt sich also im Potential des (festgehaltenen) Protons.
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Von Elektron gesehenes Potential(Proton ist bei r = 0):
( )r
erV0
2
4πε−=
( ) ( )2 2
2 2 20 0
, , , ,2 4
e x y z W x y zm x y zπε
⎡ ⎤⎢ ⎥− ∆ − Ψ = Ψ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
2. Problem: Das Coulombpotential separiert nicht in sowas wie
rr
1 Proton
erKM
em
Aufbau der Materie: Das Wasserstoffatom
( ) ( )2
0
( ) , , , ,2
V r x y z W x y zm
⎡ ⎤− ∆ + Ψ = Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦
1 Elektron
1 32( ) (( ) )) (ffV r yx f z= + +
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Aufbau der Materie: Das Wasserstoffatom
Übergang zu Kugelkoordinaten: ( ) ( ) ( )1 2 3, , bzw. , , , ,x y z x x x r θ ϕΨ Ψ →Ψ
1
2
3
sin cossin sincos
x rx rx r
θ ϕθ ϕθ
=
=
=
2 2 21 2 3r x x x= + +
23
2
22
2
21
2
xxx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∆
22
2 2
2 2 2 2
1
2 1 1 1(sin )sin sin
I
r r r rθ
θ θ θ θ ϕ
−
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂∆ = + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
wobei "Drehimpulsoperator"I r xp=
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H-Atom: Eigenfunktionen
- mehrere mögliche Eigenfunktionen ΨWn(r,θ,φ) für einen Eigenwert Wn. entartete Zustände
- Nomenklatur:n = 1, 2, 3, … (Hauptquantenzahl)
oder K, L, M, …
l = 0, 1, 2, 3, … n - 1 (Nebenquantenzahl,Drehimpulsquantenzahl)oder s, p, d, f, …
m = - l, - l + 1, … l (Magnetquantenzahl)
- z.B. für n = 2 vier verschiedene Eigenfunktionen und damit vierverschiedene räumliche Elektronenverteilungen
Konzeptionell genau wie beim Quantenpunkt aber diesmal mathematisch komplizierterergeben sich wieder Eigenfunktionen und Eigenwerte:
http://www.falstad.com/qmatom/
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H-Atom: Eigenwerte
Wie beim Potentialtopf sind auch die Eigenwerte des H-Atoms diskret.
eV13.6Ry1,2,3nnRyW 2n −==−= …
W1=-13.6 eV
W2=- 3.4 eVW3=-1.5 eV
1 nm 2 nm
optische Übergänge beim Wasserstoff
![Page 33: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/33.jpg)
Aufbau der Materie: Vom H-Atom zum Periodensystem- in anderen Atomen ähnliche Wellenfunktionen (Orbitale)
- das Potential für die äußeren Elektronen wird durch die inneren abgeschirmt
- Beschreibung ebenfalls durch die „Quantenzahlen“ n,l,m
- wird u. U. sehr kompliziert, da die Elektronen miteinander wechselwirken
1s2s 2p
3s 3p 3d4s 4p 4d 4f
5s 5p 5d 5f6s 6p 6d 6f
7s 7p 7d 7f
4 e 12 e
20 e38 e
56 e88 e 118 e
Besetzung erfolgt(fast) nach dem folgenden Schema:
![Page 34: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/34.jpg)
Beschreibung der Elektronen erfolgt durchdie Elektronenkonfigurationen:
H (1e): 1s1
He (2e): 1s2
..
Si (14e): 1s22s22p63s23p2
C (6e): 1s22s22p2
1s2s 2p
3s 3p 3d4s 4p 4d 4f
5s 5p 5d 5f6s 6p 6d 6f
7s 7p 7d 7f
4 e 12 e
20 e38 e
56 e88 e 118 e
1s2s 2p
3s 3p 3d4s 4p 4d 4f
5s 5p 5d 5f6s 6p 6d 6f
7s 7p 7d 7f
4 e 12 e
20 e38 e
56 e88 e 118 e
Aufbau der Materie: Vom H-Atom zum Periodensystem
![Page 35: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/35.jpg)
Aufbau des Periodensystems
![Page 36: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/36.jpg)
Vom Atom zum Material
Verschiedene Arten der chemischen Bindung:
Ionenbindung kovalente Bindung metallischeBindung
van-derWaalsBindung
![Page 37: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/37.jpg)
Vom Atom zum Material: Die Ionenbindung
Na: 1s22s22p63s1
Cl: 1s22s22p63s23p5
Energetische Betrachtung:
Ionisierungsenergie: Na+5.1eV=Na++e
Elektronenaffiniät: Cl+e=Cl-+3.6eV
Nettoaufwand: 1.5 eV
![Page 38: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/38.jpg)
Potentielle Energie eines Ionenpaares als Funktion des Abstandes:
2
04 n
e Br r
ϕπε
= − +
Coulombanziehung Pauli-Abstossung
Vom Atom zum Material: Die Ionenbindung
![Page 39: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/39.jpg)
Potentielle Energie eines Ionenpaares als Funktion des Abstandes:
Vom Atom zum Material: Die Ionenbindung
Netto-Energiegewinn pro NaCl-Paar
7.95 eV
![Page 40: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/40.jpg)
Das allereinfachste Molekül: Das Wasserstoffmolekülion H2+
M M
Proton A Proton B
Elektronm
RAB
rA rB
..und wieder mal die S-Glg:
22
0
( ) ( ) ( )2
⎛ ⎞−∇ + Ψ = Ψ⎜ ⎟
⎝ ⎠V r r E r
m
... und wieder mal verdammt kompliziert, da 3 Teilchen und ein kompliziertes Potential
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
(…hier wird die Energie als E statt W bezeichnet)
![Page 41: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/41.jpg)
Wieder Born-Oppenheimer Näherung: „Kerne an einer Position festhalten“
2 2 22
0 0 02 4 4a b
e eHm r rπε πε−
= ∇ − −
Gesamt-Coulombpotential
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
M M
proton a proton b
electronm
Rab
ra rb
M M
proton a proton b
electronm
Rab
ra rb
![Page 42: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/42.jpg)
Allgemeines Verfahren zur Lösung der S-Glg. bei komplizierten Potentialen:
1. Schritt: Annahme einer Schätzfunktion Ψα
*0( ) ( )α α αψ ψ= ≥∫∫∫W dV r H r EFür den Energieerwartungswert
gilt dann
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
Bestimmung einer Näherungslösung durch das Rayleigh-Ritz-Verfahren:
E0Eα
2. Schritt: Variiere Ψα so, dass Wα minimal wird
beste Näherungslösung für Ψ
![Page 43: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/43.jpg)
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
1 2
Ansatz für die Ratefunktion: ,
wobei und die Eigenzuständeeines Wasserstoffatoms bei a bzw. b sind
b
b
c cα
α
ψ ϕ ϕϕ ϕ
= +
Linearkombination von Atomorbitalenengl.: linear combination of atomic orbitals, LCAO
( ) ( )2 2 2
* * 21 2 1 2
0 0 0
2 4 4α αϕ ϕ ϕ ϕ
πε πε⎛ ⎞−
= + ∇ − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫∫∫ b ba b
e eW dV c c c cm r r
Für den Energieerwartungswert gilt dann:
![Page 44: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/44.jpg)
E soll minimal werden 1 2
, 0E Ec c∂ ∂
=∂ ∂
Es ergeben sich zwei Lösungen:
E
E1S
anti-bindend
1S
anti-
bindend1 1
±= +
±SC DE E
S
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
2*
04αϕ ϕπε
= −∫∫∫ ba
eD dVr
Aufspaltung wird durch das Resonanz/Austauschintegral bestimmt
![Page 45: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/45.jpg)
( )
αψ ϕ ϕ= +bindend bA
( )
αψ ϕ ϕ= −antibindend bB
bindender Zustand
anti-bindender Zustand
Es ergibt sich für den bindenden Zustand eine Absenkung der Energie, da das Elektron stärker delokalisiert ist.
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
![Page 46: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/46.jpg)
Variation des Kernabstandes:
Gebundener Zustand beim Energieminimum
Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung
Energiegewinn pro Atom bei Si: 4.64 eV
http://falstad.com/qm1d/
![Page 47: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/47.jpg)
Zwei unendlich entfernte Potentialtöpfe2 unendlich voneinander entfernte Potentialtöpfe haben dieselben
Energiezustände (ihre Energien sind entartet).
x0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
1.5
2
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
1.5
2
EineV
x in nm
|Ψ2 |2
|Ψ1 |2
|Ψ2 |2
|Ψ1 |2
eV
eV
E1 0.229=
E2 0.887=
![Page 48: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/48.jpg)
Zwei 0,5 nm entfernte PotentialtöpfeWerden die Potentialtöpfe einander näher gebracht,
wechselwirken sie und die Energieentartung wird aufgehoben.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
2
E1 0.226=
E2 0.232=
E3 0.87=
E4 0.905=
W
x
eV
eV
eV
eV
![Page 49: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/49.jpg)
Zwei 0,3 nm entfernte Potentialtöpfe
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
E1 0.216=
E2 0.24=
E3 0.836=
E4 0.942=
W
x
eV
eV
eV
eV
Die Eigenfunktionen verändern sich ebenfalls.
![Page 50: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/50.jpg)
Zwei 0,15 nm entfernte PotentialtöpfeJe näher sich die Potentialtöpfe kommen, desto weiter spalten sich die
Energieniveaus.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
E1 0.19=
E2 0.257=
E3 0.774=
E4 1.007=
W
x
eV
eV
eV
eV
![Page 51: Lineares Gleichungssystem für A und A d In Matrixform · 2005. 5. 26. · ψ xxdx ψδ ∞ −∞ ⎧ ... WWWW=== W (W 0) 12 9 6 3 11. Die Sache mit dem Spin Experimenteller Nachweis:](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060711/60777ad62797b955eb7c0bdc/html5/thumbnails/51.jpg)
Aufspalten der EnergiezuständeTrägt man die Energiezustände als Funktion des Abstandes zwischen
den zwei Potentialtöpfen auf, erhält man den folgenen Graphen:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Abstandin nm
Ene
rgie
(eV
)
Quelle: Martina Gerken