Linearna algebra Tok 104, Grupa A 12. decembar 2018.

1. Rexiti sistem Gausovim metodom u zavisnosti od realnog parametra a:

ax + y + z = a(a+ 1)x + (a− 1)y + 2z = 2a− 1(a− 2)x + y − z = a− 2

.

2. a) Odrediti realne koeficijente polinoma P (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx− 8, tako da bude deiv sax+ 2i, a da pri dee�u sa x+ 2 daje ostatak 32. Na�i ostale nule polinoma P (x).

b) Odrediti sva rexe�a jednaqine z3 =(

8√3(−√3 + 3i)

)50

.

3. a) Ispitati da li su skupovi

U ={p ∈ R5[x]

∣∣ p(4) = 0, deg p 6= 3}

i V ={p ∈ R5[x]

∣∣ p′(−2)− 3p′′(0) = p(10)}

vektorski potprostori vektorskog prostora R5[x].

b) Odrediti bar po jednu bazu i dimenziju vektorskih prostora

U ={(x, y, z) ∈ R3

∣∣ x+ y + 3z = 0}

i V = L ((1, 1, 0), (2, 1, 1, ), (2,−1, 3)).

Pokazati da je R3 = U + V . Da li je prethodna suma direktna?

Vreme za rad je 90 minuta. Sre�no!

Linearna algebra Tok 104, Grupa B 12. decembar 2018.

1. Rexiti sistem Gausovim metodom u zavisnosti od realnog parametra a:

(a+ 1)x + y + z = 1x + (a+ 1)y + z = ax + y + (a+ 1)z = a2

.

2. a) Odrediti realne koeficijente polinoma P (x) = x4 + ax2 + bx+ c, tako da bude deiv sa x− 2i,a da pri dee�u sa x− 1 daje ostatak 5. Na�i ostale nule polinoma P (x).

b) Odrediti sva rexe�a jednaqine z3 =(

8√2(−1 + i)

)50

.

3. a) Ispitati da li su slede�i skupovi

U ={p ∈ R5[x]

∣∣ p(11) = 0, deg p 6= 2}

i V ={p ∈ R5[x]

∣∣ p′′′(3)− 3p(0) = 2p′(−1)}

vektorski potprostori vektorskog prostora R5[x].

b) Odrediti bar po jednu bazu i dimenziju vektorskih prostora

U ={(x, y, z) ∈ R3

∣∣ x+ 2y + z = 0}

i V = L ((1, 0, 1), (1, 3,−3, ), (7, 9,−5)).

Pokazati da je R3 = U + V . Da li je prethodna suma direktna?

Vreme za rad je 90 minuta. Sre�no!

Kolokvijum iz Linearne algebreqetvrti tok, 27.1.2019.

1 Rexiti sistem nad poljem Z11

4x + 3y + 5z = 23x + 4y + 2z = 78x + 10y + 6z = 4.

2 Ispitati da li je (M2(R),z, •) vektorski prostor nadpoljem R ako su operacije definisane sa

XzY = X + Y + E i α •X = αX + (α− 1)E.

3 Neka je An kvadratna n× n matrica qiji su svi koeficijenti jednaki 1.a) Odrediti prirodne brojeve m i n takve da su mno�enja XAm i AnX definisana za sve matriceX ∈M23(R).b) Za m i n iz dela pod a) pokazati da je U = {X ∈M23(R) | XAm = AnX} potprostor vektorskogprostora M23(R).v) Odrediti bar jednu bazu i dimenziju vektorskog prostora U .

4 Dati su vektorski prostoriU =

{p ∈ R4[x]

∣∣ p′(1) = p′′(−1)}, V = L

(x− x2, x2 − x3, x3 − x

)i W =

{p ∈ R3[x]

∣∣ 2p(1) = p(2)}.

a) Odrediti bar jednu bazu i dimenziju vektorskog prostora (U ∩ V ) +W .b) Odrediti dimenziju vektorskog prostora U ∩ V ∩W .

5 U zavisnosti od realnog parametra λ odrediti rangmatrice 1 1 1 1

1 λ λ2 λ3

1 λ2 λ3 λ4

.

6 Odrediti inverz matrice1 2 1 02 5 1 11 3 1 −21 4 −2 4

.

Vreme za rad je 3 sata. Sre�no!

Kolokvijum iz Linearne algebreqetvrti tok, 27.1.2019.

1 Rexiti sistem nad poljem Z11

4x + 3y + 5z = 23x + 4y + 2z = 78x + 10y + 6z = 4.

2 Ispitati da li je (M2(R),z, •) vektorski prostor nadpoljem R ako su operacije definisane sa

XzY = X + Y + E i α •X = αX + (α− 1)E.

3 Neka je An kvadratna n× n matrica qiji su svi koeficijenti jednaki 1.a) Odrediti prirodne brojeve m i n takve da su mno�enja XAm i AnX definisana za sve matriceX ∈M23(R).b) Za m i n iz dela pod a) pokazati da je U = {X ∈M23(R) | XAm = AnX} potprostor vektorskogprostora M23(R).v) Odrediti bar jednu bazu i dimenziju vektorskog prostora U .

4 Dati su vektorski prostoriU =

{p ∈ R4[x]

∣∣ p′(1) = p′′(−1)}, V = L

(x− x2, x2 − x3, x3 − x

)i W =

{p ∈ R3[x]

∣∣ 2p(1) = p(2)}.

a) Odrediti bar jednu bazu i dimenziju vektorskog prostora (U ∩ V ) +W .b) Odrediti dimenziju vektorskog prostora U ∩ V ∩W .

5 U zavisnosti od realnog parametra λ odrediti rangmatrice 1 1 1 1

1 λ λ2 λ3

1 λ2 λ3 λ4

.

6 Odrediti inverz matrice1 2 1 02 5 1 11 3 1 −21 4 −2 4

.

Vreme za rad je 3 sata. Sre�no!

1

Pismeni ispit iz Linearne algebreqetvrti tok, 17.6.2019.

1 Neka je RN skup svih realnih nizova i neka je

U ={x ∈ RN ∣∣ x je aritmetiqki

}i V =

{x = (xn)n∈N ∈ RN

∣∣xn+3 = 5xn+2 − 8xn+1 + 4xn, ∀n ∈ N}.

a) Pokazati da su U i V vektorski potprostori RN.b) Odrediti bar po jednu bazu i dimenziju U i V .v) Odrediti bar po jednu bazu i dimenziju U + V i U ∩ V . Da li je prethodna suma direktna?

2 a) U zavisnosti od realnog parametra λ odrediti rang matrice

A =

1 λ+ 2 −1 λ+ 1λ+ 1 6 −2 4−1 −3 λ λ− 3

.

b) Za λ = −5 odrediti kanonsku matricu A0, kao i invertibilne matrice P i Q takve da va�iA0 = PAQ.

3 Linerno preslikavanje L : R3[x] −→ R3 ima matricu

2 1 13 0 −34 −5 −19

u odnosu na par baza

e = {1 + x, 1− x, 1 + 2x2} i f = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}.a) Odrediti matricu preslikavanja L u odnosu na par kanonskih baza vektorskih prostora R3[x] iR3.b) Odrediti bar po jednu bazu KerL i ImL, kao i rang i defekt preslikavanja L.

4 Izraqunati vrednost determinante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 · · · n1 8 27 · · · n3

1 32 243 · · · n5

......

... . . . ...1 22n−1 32n−1 · · · n2n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

5 Izraqunati

minp∈R3[x]

p(0)=p′′(0)

∫ 1

−1|x|(p(x)− 14)2dx.

6 Neka je A =

1 −2 2−2 4 −42 −4 4

.a) Odrediti dijagonalnu matricu D i ortogonalnu matricu P takve da va�i A = PDP T .b) Izraqunati A2019.v) Svesti kvadratnu formu na q(x, y, z) = x2 + 4y2 + 4z2 − 4xy + 4xz − 8yz na dijagonalni oblik.

Vreme za rad je 3 sata. Usmeni deo ispita je u ponedeljak 24.6.2019. u 16:30. Sre�no!

1

Pismeni ispit iz Linearne algebreqetvrti tok, 26.6.2019.

1 a) U zavisnosti od realnog parametra α odrediti skup rexenja U sistema jednaqinaαx + 2y + z − (1 + α)t = 0−αx + 2y + 3z = 0

(1 + α)x + 2y − (1 + 2α)t = 04x + 2y − 2z − (3 + 2α)t = 0

.

b) Odrediti bar jednu bazu i dimenziju ortogonalne dopune U⊥, ako je skalarni proizvod na R4 zadat sa(a, b, c, d) ◦ (a′, b′, c′, d′) = aa′ + 2bb′ + cc′ + dd′.v) Odrediti bar po jednu bazu i dimenziju U +V i U ∩V , gde je V = L ((1,−1, 1, 0), (1, 0, 1,−1), (0,−1, 0, 1)).Da li je prethodna suma direktna?

2 Ispitati da li je podskup U potprostor vektorskog prostora V i ako jeste odrediti bazu i dimenzijuU ako jea) V = M2(R), U = {M ∈ V | trM = detM},

b) V = M2(R), U ={M ∈ V

∣∣ trM = tr(ATMA

)}, gde je A =

(1 0 11 0 1

),

v) V = R6[x], U = { p ∈ V | deg p+ deg (p(1)x3) < 6}.

3 a) Pokazati da je preslikavanje

L : R3[x] −→M2(R), Lp =

p(0) 31∫0

p(t)dt− 32p′(0)

p(1) + p(−1) p′′(3)2

linearno.b) Odrediti bar po jednu bazu KerL i ImL, kao i rang i defekt preslikavanja L.v) Odrediti matricu preslikavanja L u odnosu na par baza {1 + x + x2, 1 − 2x + x2,−1 + x + 2x2} i{(

1 11 0

),

(1 10 1

),

(1 01 1

),

(0 11 1

)}.

4 Neka je

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

5 3 0 0 · · · 0 02 5 3 0 · · · 0 00 2 5 3 · · · 0 00 0 2 5 · · · 0 0...

......

.... . .

......

0 0 0 0 · · · 5 30 0 0 0 · · · 2 5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣determinanta reda n.a) Pokazati da va�i ∆n+2 = 5∆n+1 − 6∆n, za sve n ∈ N.b) Izraqunati ∆n.

5 Neka je

A =

0 −2 31 1 −10 −1 2

.

a) Odrediti �ordanovu formu J matrice A iinvertibilnu matricu P takve da va�i A =PJP−1.b) Izraqunati An, n ∈ N.

6 a) Pokazati da je preslikavanje

◦ : R3[x]× R3[x] −→ R, p ◦ q = p(0)q(0) + p(1)q(1) +p′′(0)q′′(0)

4

skalarni proizvod na R3[x].b) Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu R3[x].v) Izraqunati rastojanje polinoma 1 + x+ x2 od potprostora R2[x].g) Izraqunati ugao izme�u polinoma 1 + x+ x2 i ortogonalne dopune R2[x]⊥.

Vreme za rad je 3 sata. Usmeni deo ispita je u utorak 9.7.2019. u 17:30. Sre�no!

1

Pismeni ispit iz Linearne algebreqetvrti tok, 4.9.2019.

1 a) Pokazati da je skup V =

{(a 00 b

)∣∣∣∣ a, b > 0

}sa operacijama

A⊕B = A

(1 00 2

)B i α�

(a 00 b

)=

(aα 00 2α−1bα

)jedan vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

b) Ispitati da li su podskupovi U1 =

{(a 00 a+ 1

)∣∣∣∣ a > 0

}i U2 =

{M ∈ V

∣∣detM = 12

}potprostori

vektorskog prostora (V,⊕,�).

2 Odrediti inverz matrice

1 −1 0 0 · · · 0 0−1 2 −1 0 · · · 0 00 −1 2 −1 · · · 0 00 0 −1 2 · · · 0 0...

......

... . . . ......

0 0 0 0 · · · 2 −10 0 0 0 · · · −1 2

.

3 Date su matrice A =

(1 21 0

), B =

(−1 10 0

), C =

(1 01 3

)i D =

(1 0−1 −1

)i polinomi

p(x) = 1 + 2x, q(x) = x− x2 i r(x) = 1− 3x+ 2x2.a) Pokazati da je preslikavanje

L :M2(R) −→ R3[x], L(M) = (M ◦ A)p+ (M ◦B)q + (C ◦M)(q + r)

linearno ako je skalarni proizvod na M2(R) zadat sa A ◦B = tr(ABT

).

b) Odrediti bar po jednu bazu KerL i ImL, kao i rang i defekt preslikavanja L.v) Odrediti matricu preslikavanja L u odnosu na par kanonskih baza, kao i u odnosu na par baza{A,B,C,D} i {p, q, r}.4 U zavisnosti od realnog parametra αizraqunati vrednost determinante reda n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

α α · · · α α 1n

α α · · · α 1n−1

α

α α · · · 1n−2

α α...

... . . . ......

...α 1

2· · · α α α

1 α · · · α α α

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

5 a) Odrediti �ordanovu kanonsku formu Jmatrice

1 −1 −2 3 20 0 −2 3 10 1 1 −1 00 0 −1 2 50 0 0 0 2

.

b) Izraqunati J100.

6 a) Pokazati da je preslikavanje

◦ : R[x]× R[x] −→ R, p ◦ q = 1

π

1∫−1

p(t)q(t)√1− t2

dt

skalarni proizvod na vektorskom prostoru R[x].b) Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu vektorskog potprostora R3[x].v) Izraqunati ugao koji polinom x2 zaklapa sa potprostorom R2[x].

Vreme za rad je 3 sata. Usmeni deo ispita je u qetvrtak 12.9.2019. u 17:00. Sre�no!

1

Pismeni ispit iz Linearne algebreqetvrti tok, 15.9.2019.

1 Neka je U = {p ∈ R4[x]| p(1) = p′(1), p(0) = p(−1)} i V = L (p1, p2, p3, p4), gde je

p1(x) = 3 + x2 + x3, p2(x) = 2− 2x− x2 + x3, p3(x) = 4 + 2x+ 3x2 + x3 i p4(x) = 1 + 2x+ 2x2.

a) Odrediti po jednu bazu i dimenziju vektorskih potprostora U + V i U ∩ V . Da li je prethodnasuma direktna?b) Odrediti sve λ ∈ R za koje polinom 2 + x+ λx2 + x3 pripada U + V .

2 Odrediti sve matrice A za koje je

adjA =

2 −2 0−6 9 −18 −12 2

.

3 Neka jeL : R3[x] −→ R3[x], L(p)(x) = p′′(0)x3 − p′(x)

(x2 − x+ 1

)+ p(−1).

a) Pokazati da je L dobro definisan linearni operator na vektorskom prostoru R3[x].b) Odrediti bar po jednu bazu KerL i ImL, kao i rang i defekt operatora L.v) Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore operatora L.

4 Izraqunati vrednost determinante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 0 0 · · · 01(21

) (22

)0 · · · 0

1(31

) (32

) (33

)· · · 0

......

...... . . . ...

1(n1

) (n2

) (n3

)· · ·

(n

n−1

)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

5 Neka je A kvadratna 3× 3 matrica determinante −4 i traga 1 qija je jedna sopstvena vrednost1.a) Odrediti sve sopstvene vrednosti matrice A.b) Odrediti dimenziju L (E,A,A2, A3, . . . , A100).v) Pokazati da je L (E,A,A2, A3, . . . , A100) = L (E,A2, A4, A6, . . . , A100).

6 a) Odrediti 3 × 3 matricu A takvu da preslikavanje v 7→ Av predstavlja projekciju na ravanπ : x− 2y − 2z = 0 u vektorskom prostoru R3 (sa standardnim skalarnim proizvodom).b) Izraqunati ugao koji vektor (1, 1, 1) zaklapa sa ravni π.

Vreme za rad je 3 sata. Usmeni deo ispita je u qetvrtak 26.9.2019. u 17:00. Sre�no!

1