Linearne funkcije

y=kx+ n

odsečak prave na y osi

M(x,0) x-osi jednačina x ose je jednačina y=0

A(0,y) y-osi jednačina y ose je jednačina x=0

Sve tačke x ose imaju ordinatu (y-koordinatu) jednaku nuli

Sve tačke y ose imaju apscisu (x-koordinatu) jednaku nuli

1. y= 2x+4

x-osa y=0 0= 2x+4 x=-2

y-osa x=0 y=0+4 y=4

Nacrtajmo sada tu funkciju:

ova funkcija je rastuća jer je k0

2. y= 2x- 4

y=0 0= 2x-4 x= 2

x=0 y=0-4 y= -4

i ova funkcija je rastuća jer je k 0

3. y= -2x+4

y=0 0= -2x+4 x= 2

x=0 y= 0+4 y=4

ova funkcija je opadajuća jer je k 0

4. y= -2x -4

y=0 0= -2x -4 x= -2

x=0 y= 0 – 4 y= -4

opadajuća jer je k 0

U slučaju k 0 (za primere 1. i 2.) ugao koji prava zaklapa sa pozitivnim smerom x ose je oštar i funkcija raste.

Za k 0 (primeri 3. i 4.) prava i pozitivan deo x ose zaklapaju tup ugao i funkcija opada

k- koeficijent pravca prave

y= kx+n x=0

y=n M(0,n)

n je odsečak prave na y –osi

Ispitati funkciju znači odrediti njenu oblast definisanosti (domen, nule, znak i tok).

Ispitivanje funkcije po ovim elementima znači određivati vrednosti nezavisno promenljive x za koje je funkcija (zavisno promenljiva y) definisana, jednaka nuli, pozitivna ili negativna, raste ili opada.

1. y= 2x+4a) D(y)= R

domen

(svaki realan broj se može pomnožiti sa dva i tome dodati 4 tj. izraz kojim je zadata funkcija je definisan)

b) nula funkcije je vrednost x za koju je y jednako nuli

y=0 2x+4=0 x= -2 N(-2,0)

Nula funkcije je presek prave sa x-osom (u geometrijskom smislu)

c) y 0 2x+4 0 2x -4 x -2

y 0 x (-2,)y 0 x (-,-2)

d) f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) primer: neka je x1 dete od deset godina, a x2 dete od dve godine onda je logično da se njihove visine odnose kao f(x1) f(x2) tj. ako je 102 onda je i visina deteta od deset godina veća od visine deteta od dve godinef(x) x1 x2 f(x1) f(x2) f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) primer:neka je x1 osoba od 80 godina i x2 osoba sa 60 gidina primećijemo da se visina sa godinama smanjuje pa je f(x1) f(x2)k=2 0 (0,90) y=kx+n

N(-2,0) M(0,4) x1 f(x1) x2 f(x2)

-2 0 04 f(x) (pošto su isti relacijski znaci funkcija raste)

2. y= -2x+4a) D(y)= Rb) y=0 -2x+4=0 x=2 N(2,0)c) y 0 -2x+4 0 -2x -4 x2

y 0x (-,2)y 0x (2, )

d) k= -2 0 (90,180) y=kx+n M(0,4) N(2,0)

02 40 f(x) x-1, x 0

3. y= IxI-1 = -x -1, x 0

y= x-1

x=0 y= -1 M(0,-1)

y=0 x= 1 N(1,0)

y 0 x-10 x 1 x (1,+) y0 x (-,1) k=1 0 y

y= -x-1

x= 0 y= -1 A(0,-1)

y=0 x= -1 B(-1,0)

y 0 -x-1 0 -x 1 x -1 x (-, -1)

y 0 x (-1,+)

k= -1 0 y

x-1, x-1 0 x-1, x 1 4. y= Ix-1I = -x+1, x-1 0 = -x+1, x 1

y= x-1

x=0 y= -1 M(0,-1)

y=0 x= 1 N(1,0)

y 0 x-1 0 x 1 x (1,+)

y 0 x (-,1)

k= 1 0 y

y= -x+1

x=0 y=1 A(0,1)

y=0 x= 1 B(1,0)

y 0 -x+1 0 -x -1 x 1 x (-,1)

y 0 x (1,+)

k= -1 0 y

2x-1-5, 2x-1 0 2x-6, x 1/2

5. y= I2x-1I -5= =

-2x+1-5, 2x-10 -2x-4, x 1/2

y= 2x-6

x=0 y= -6 M(0,-6)

y=0 x= 3 N(3,0)

y 0 2x-6 0 2x 6 x 3 x (3,+)

y 0 x (-,3)

k= 2 0 y

y= -2x-4

x=0 y= -4

y=0 x= -2

y 0 -2x-4 0 -2x 4 x -2 x (-, -2)

y 0 x (-2, +)

k= -2 0 y

x+3-2x+1, x+3 0 -x+4, x -3

6. y= Ix+3I-2x+1 = =

-x-3-2x+1, x+30 -3x-2, x -3

y= -x+4

x=0 y= 4

y=0 x= 4

y 0 -x+4 0 -x -4 x 4 x (-,4)

y 0 x (4, +)

k= -1 0 y

y= -3x-2

x=0 y = -2

y=0 x= -2/3

y 0 -3x-2 0 -3x 2 x -2/3 x (-, -2/3)

y 0 x (-2/3, +)

k=-3 0 y

7. Data je funkcija y=(m-2)x+2m+3. Odredi parametar m tako da funkcija bude rastuća i da na y odseca pozitivan odsečak, a zatim za najmanju celobrojnu vrednost m iz dobijenog intervala skiciraj grafik i ispitaj funkciju.

y= (m-2)x+2m+3

k n

k 0 n 0 m-2 0 2m+3 0 m 2 m - 3/2 m 2

najmanja celobrojna vrednost iz ovog intervala je onda m=3

y=(m-2)x+2m+3 y= (3-2)x+2*3+3 = x+6+3 = x+9

y= x+9

D(y)=R

x=0 y= 9

y=0 x= -9

y x x>-9 x (-9,+)

y<0 x (-,-9)

k=1>0 y

0>

8. Data je funkcija y=(m-2)x+2m+3. Odredi parametar m tako da funkcija bude rastuća i da na y odseca negativan odsečak, a zatim za najmanju celobrojnu vrednost m iz dobijenog intervala skiciraj grafik i ispitaj funkciju.

k 0 n < 0 m-2 0 2m+3 < 0 m 2 m < - 3/2 m

jednačina nikad ne može da zadovoljava ove uslove

9. Data je funkcija y=(m-2)x+2m+3. Odredi parametar m tako da funkcija bude opadajuća i da na y odseca pozitivan odsečak, a zatim za najveću celobrojnu vrednost m iz dobijenog intervala skiciraj grafik i ispitaj funkciju.

k < 0 n > 0 m-2 < 0 2m+3 > 0 m < 2 m > - 3/2 m (-3/2,2)

najveća celobrojna vrednost iz ovog intervala je onda m=1

y=(m-2)x+2m+3 y= (1-2)x+2*1+3 = -x+2+3 =- x+5

y= -x+5

D(y)=R

x=0 y= 5

y=0 x= 5

y -x -x>-5 x<5 x (-,5)

y<0 x (5,+)

k=-1<0 y

10. Data je funkcija y=(m-2)x+2m+3. Odredi parametar m tako da funkcija bude opadajuća i da na y odseca negativan odsečak, a zatim za najveću celobrojnu vrednost m iz dobijenog intervala skiciraj grafik i ispitaj funkciju.

k < 0 n < 0 m-2 < 0 2m+3 < 0 m < 2 m < - 3/2 m (-,-3/2)

najveća celobrojna vrednost iz ovog intervala je onda m= -2

y=(m-2)x+2m+3 y= (-2-2)x+2*(-2)+3 = -4x-4+3 = -4 x-1

y= -4x-1

D(y)=R

x=0 y= -1

y=0 x= -1/4

y -4x -4x>1 x< -1/4 x (-,-1/4)

y<0 x (-1/4,+)

k=-1<0 y