1

5. Linearni operatoriNeka su X i Y prostori konanih dimenzija n i m respektivno. Pod pojmom operatora A:XY podrazumijevamo preslikavanje koje svakom elementu xX pridruuje neki element yY. injenicu daje y slika elementa x piemo simbolom y=A(x) ili y = Ax. Po dogovoru, svako preslikavanje A :XY je jednoznano, a to znai da (x l , x 2 X) A(x 1 ) A (x 2 ) x 1 x 2 . 5.1. Definicija linearnog operatora Linearni operatori ili linearna preslikavanja (engl. linear operator, njem. Lineare Abbildung (lineare Operator), franc. application lineaire, rus. lineijniji operator) su takva preslikavanja linearnih prostora koja uvaavaju njihovu linernu strukturu. Zato izuavanje linearnih operatora predstavlja najvaniji dio linearne algebre. Definicija 1. Neka su X i Y linearni prostori nad poljem K. Preslikavanje A : X Y naziva se linearni operator ako za njega vrijede uslovi (x 1 , x2 X) A(x1 + x2 ) = A(x 1 ) + A(x 2 ), A(ax) = aA(x). (aditivnost) (homogenost) (1) (2) (xX)(a R)

Primjedbe. 1) Uslovi (1) i (2) ekvivalenti su s uslovom linearnosti (x 1 , x2 X)(a 1 , a2 R) A(a1 x 1 + a 2 x 2 ) = a1 A(x 1 ) + a 2 A(x 2 ), tj. operator je linearan akko je aditivan i homogen.

(3)

Zaista, ako je A linearni operator, imamo: A(a 1 x 1 + a 2 x 2 ) = (1) = A(a 1 x 1 ) + A(a 2 x 2 ) = (2) = a1 A(x 1 ) + a 2 A(x 2 ); obratno: za a 1 = a 2 = 1 iz (3) dobijamo (1); za a 1 = a a2 = 0 iz (3) dobijamo (2), pa je A linearni operator. 2) Ako je Y prostor skalara (najee prostor realnih (kompleksnih) brojeva) onda se linearni operator zove linearni funkcional ili linearna forma. 3) Specijalno, kada je Y X imamo preslikavanje (operator) koje elementima iz X pridruuje elemente iz X. 4) Skup svih linearnih operatora A :X Y oznaavaemo sa L(X, Y). Primjer1. Neka je X = Kn, Y = Km i AM m,n (K). Svaka takva matrica definie neki linearni operator. Prirodna veza izmeu matrice i linearnoga operatora definie se sa (xX) A(x) := Ax (Y), gdje je Ax proizvod matrica. Ovako definisan operator zaista je linearan, zbog poznatih osobina mnoenja matrica. Primjedba. Zadavanje operatora pomou neke matrice najvaniji je primjer linearnoga operatora. Dobar dio ovoga poglavlja biti e posveen prouavanju veze izmeu matrice i linearnog operatora. Pokazaemo da vrijedi i obratna tvrdnja: svakom linearnom operatoru odgovara jedna matrica. Bilo bi netano zakljuiti da je pojam linearnog operatora nepotreban, poto se on moe potpuno opisati matricama. Meutim, situacija je neto sloenija. Preciznija veza izmeu operatora i matrice mogla bi se ovako opisati: ako su zadane baze vektorskih prostora, tada svakom operatoru za taj par baza odgovara jedna matrica. Meutim, promijenom baze, istom operatoru odgovara neka druga matrica. Linearni operator zadaje se neovisno od baze prostora, ali tek izbor baze odreuje koja mu matrica odgovara. Najinteresantnija analiza matrinoga rauna upravo se sastoji u tome da se daju odgovori na sljedea dva pitanja: 10 kako odabrati bazu prostora pa da prikaz linearnoga operatora bude po mogunosti to jednostavnija matrica (to slinija dijagonalnoj); 20 da li (i kada) dvije razliite matrice A, B pripadaju istome linearnom operatoru (u razliitim bazama)?

2

5.1. Matrica operatoraOpiimo obrnutu vezu: kako linearni operator odreuje matricu. Neka su X i Y linearni prostori tako da je dimX = n, dimY = m. Neka je e = (e1 ..., e n ) baza u prostoru X, a f = (f 1 ,.,., f m) baza u prostoru Y. Neka je A:X Y linearni operator. Operator A prevodi svaki vektore ejX u aj = A(ej)Y (j = 1,2,..., n), koji se mogu razloiti po bazi f Y . Dakle, vrijediA (e1 ) = a11f1 + a21f2 + A (e2 ) = a12 f1 + a22 f2 + A (en ) = a1n f1 + a2n f2 + + am1fm , + a m 2 fm , + amn fm .m,n

(j = 1,n)

A (e j ) = aijfi .i =1

m

Pomou ovih koeficijenata definiemo matricu A M m,n (K): A = A ef := (a ij )

, tj.

a1n a 2n . amn Vidimo da j-ta kolona matrice A ine kordinate vektora A(ej) po bazi f = (f 1 ,.,., f m). Tvrdimo da vrijedi A(x) = Ax, za svaki vektor xX. Zaista, svaki vektor x X moe se razloiti po bazi e = (e1 ..., e n ) X, tj. ( x X) (!(x1 ,, xn ) K n ) x = x1e1 + + xn en .Isto tako, svaki vektor y Y moe se razloiti po bazi f = (f1 ,.,., f m) Y, tj. (4) ( y Y) ( !(y1 ,, y m ) K m ) y = y1f1 + + fm fm . Onda vrijediA (x) = x j A (e j ) = x j aijfi = ( aij x j )fi .j=1 j=1 i =1 i =1 j=1 n n m m n

a11 a12 a a 22 A = 21 am1 am2

(5)

Uporeujui (4) i (5) zakljuujemo da je na osnvu :n i = 1,m y = aij x j y = A (x) = Aef x i j=1

(

)

Time je tvrdnja dokazana. Dakle, dokazali smo vrlo slijedei stav:

Stav1. Neka su X i Y linearni prostori tako da je dimX = n, dimY = m, e = (e1 ..., e n ) je baza u X i f = (f 1 ,.,., f m ) je baza u prostoru Y. Linearnom operatoru A:X Y odgovara za taj par baza matrica A = A ef := (a ij ) ije su kolone koordinate vektora A(ej) u bazi f = (f 1 ,.,., f m). Usto vrijedim,n

A(x) = Ax.

(6)

Relacija (6), veza operatora i matrice, toliko je vana da smo zbog jednostavnosti formule namjerno bili nedovoljno precizni. Paljiviji italac e uoiti da u formuli (6) vektor x s lijeve i s desne strane nema isto znaenje. S lijeve strane, on je element vektorskoga prostora X i njegov prikaz u bazi toga prostora ima oblik T n x = x1e1 + + xn en . S desne strane, vektor x poistovjeujemo s vektorom-kolonom x = [x1,..., xn] K , a zatim, nakon mnoenja s matricom A, vektor Ax (koji pripada prostoru Y) treba shvatiti na nain: (Ax)1f1 +. . . + (Ax)m fm . Ove su veze prirodne i italac e doi sam do odgovarajuih ispravnih interpretacija. Pogledajmo primjenu stava 1 na primjerima.

3

Primjer 2. Jedinini operator E : X X, definisan je formulom E(x) = x za svaki x X. Kako za svaki vektor baze vrijedi E(ej) = ej, to ovom operatoru odgovara (u bilo kojoj bazi) jedinina matrica E. Primjer 3. Nui operator O: X Y, definiran je formulom O(x) = 0, za svaki x X. Njemu odgovara nula matrica tipa (m,n). d Primjer4. Odredimo matricu koja odgovara operatoru diferenciranja A n = : Pn Pn u bazi dt i (i = 0,n) ei (t) = t .Vrijednosti operatora na vektorima baze je: A n (e0 )(t ) = 0; ( i = 1,n) Njegova matrica u tom paru baza glasiAn (e i ) (t ) = it i1 = iei1 (t ) .

0 1 0 0 0 0 2 0 . An = 0 0 0 n 0 0 0 0 Vjeba. Neka je An operator iz prethodnog primjera. Odgovaritti na slijedea pitanja: 1. Izraunati kvadrat matrice An tog operatora. d2 2. Kojem operatoru odgovara ta matrica? Da li je An2 = B = 2 : Pn Pn , gdje je B operator dt drugog izvoda? 3. Za n= 4, napii matricu A4 i provjeri da je A44 = 0. 4. Uvjeri se da je A n = O . Prokomentarii taj rezultat! Da li on neto govori o n-tim izvodima n funkcija bazi: (i = 0,n) ei (t) = t i .