lineer cebir jeoloji müh. 2013-2014 baharumm.kocaeli.edu.tr/14_15/bolum4.pdfdeterminant...
TRANSCRIPT
Minör nedir?
A = (aij) nxn kare matrisinde, bir aij (1 ≤i ≤, 1 ≤j ≤n) öğesinin bulunduğu i. Satır ile j. sütunun çıkarılmasıyla elde edilen (n-1). mertebeden alt kare matrisin determinantına, A matrisinin aij öğesinin minörü denir ve aij öğesinin minörü Mij ile gösterilir.
Genel olarak, n. mertebeden bir kare matris olan A matrisinin, aij öğesinin minörünü şöyle gösterebiliriz:
Lin
eer
Ceb
ir -
Arz
u E
rdem
- J
eolo
ji M
uh
.
1
27
.04
.20
14
Minör nedir?
Lin
eer
Ceb
ir -
Arz
u E
rdem
- J
eolo
ji M
uh
.
2
27
.04
.20
14
Minör Örneği
Lin
eer
Ceb
ir -
Arz
u E
rdem
- J
eolo
ji M
uh
.
3
27
.04
.20
14
Kofaktör (Eşçarpan) nedir?
A = (aij) nxn kare matrisinde, bir aij (1 ≤i ≤, 1 ≤j ≤n) öğesinin minörü olan Mij nin (-1)i+j ile çarpılmasıyla elde edilen sayıya, aij
öğesinin kofaktörü (eşçarpanı) denir ve aij nin kofaktörü Aij ile gösterilir.
Örnek?
Lin
eer
Ceb
ir -
Arz
u E
rdem
- J
eolo
ji M
uh
.
4
27
.04
.20
14
Determinant nedir?
n ≥2, A = (aij) nxn kare matrisi için, 1 ≤i≤n olmak üzere, seçildikten sonra sabit kalan
olarak ifade edilir. Bu yazılışa A matrisinin determinantının i. satıra göre açılımı denir. Benzer olarak, A nın determinantı bir sütunun kofaktörlerine göre de hesaplanabilir. 1 ≤j ≤n olmak üzere, j. sütuna göre açılım
Lin
eer
Ceb
ir -
Arz
u E
rdem
- J
eolo
ji M
uh
.
5
27
.04
.20
14
Determinant Örneği (3x3 matris)
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
6
Determinant Örneği (4x4 matris)
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
7
Determinant Örneği (4x4 matris)
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
8
Determinant Örneği (5x5 matris)
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
9
Determinant Örneği (5x5 matris)
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
10
Saruss Kuralı
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
11
Saruss Kuralı
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
12
Saruss Kuralı Örneği
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
13
Determinant Özellikleri
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
14
A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi iki satırı yer değiştirildiğinde elde edilen matris B ise det(B) = -det(A) dır.
• Örnek?
• Bir önceki örnekte 𝐴 =1 −1 20 3 41 1 5
det(A)=1 bulunmuştu
buna göre B =0 3 41 −1 21 1 5
için det(B)=-1 olarak elde ederiz.
Determinant Özellikleri
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
15
A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi bir satırındaki tüm öğeler bir r sayısıyla çarpıldığında elde edilen matris B ise det(B) = r det(A) dır. Bu özelliğin bir sonucu olarak, A = (aij) nxn olmak üzere, det(r A) = 𝑟𝑛det(A)dır. Örnek?
• Bir önceki örnekte 𝐴 =1 −1 20 3 41 1 5
det(A)=1 bulunmuştu
buna göre B =1 −1 20 6 81 1 5
için det(B)=2 olarak elde ederiz.
C =3 −3 60 9 123 3 15
için det(C)= 33det(A)=27 olarak buluruz.
Determinant Özellikleri
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
16
Bir A kare matrisinin herhangi iki satırı aynı ya da orantılı ise det(A) = 0 dır. Örnek?
• 𝐴 =1 −1 21 −1 21 1 5
ise det(A)=0 dır.
B =1 −1 20 6 80 3 4
için det(B)=0 olarak elde ederiz.
Determinant Özellikleri
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
17
Bir A kare matrisinin herhangi bir satırının tüm öğeleri sıfır ise det(A) = 0 dır. Örnek?
• 𝐴 =1 3 20 0 01 4 5
ise det(A)=0 dır.
Determinant Özellikleri
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
18
Bir A kare matrisinin herhangi bir satırı 𝑟 gibi bir sayıyla çarpılıp, başka bir satırına eklendiğinde elde edilen matris B ise det(B) = det(A) dır. Örnek?
• Bir önceki örnekte 𝐴 =1 −1 20 3 41 1 5
det(A)=1 bulunmuştu. A
matrisinin 1.satırı -1 ile çarpıp 3.satıra eklediğimizde elde
ettiğimiz matris B=1 −1 20 3 40 2 3
olmak üzere
det(B)=det(A)=1 olarak buluruz.
Determinant Özellikleri
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
19
Altüçgensel ya da üstüçgensel bir matrisin determinantı köşegen üzerindeki öğelerin çarpımına eşittir. Örnek?
• 𝐴 =1 −1 20 3 40 0 5
için det(A)=1*3*5=15 dir.
𝐵 =
1 0 0 012 −2 0 03 5 7 04 2 1 −1
için det(B)=1*(-2)*7*(-1)=14 dır.
Determinant Özellikleri
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
20
Bir A kare matrisinin transpozesi'nin determinantı, A matrisinin determi-nantına eşittir. Yani det(A) = det(𝐴𝑡) dir. Bu özellikten dolayı yukarıda verilen tüm özelliklerde satır yerine sütun yazıldığında sonuçlar yine doğru olur. Örnek?
• Bir önceki örnekte 𝐴 =1 −1 20 3 41 1 5
det(A)=1 bulunmuştu.
Buna göre 𝐴𝑡 =1 0 1
−1 3 12 4 5
için det(𝐴𝑡) =1 dir.
Determinant Özellikleri
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
21
A ve B n. mertebeden iki matris ise det(AB) = det(A) det(B) dir. Örnek?
Ek Matris Nedir?
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
22
Ek Matris Örneği
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
23
Regüler-Singüler Matris Nedir?
A n. mertebeden bir kare matris olsun. Bu durumda AA* = A*A= det(A)In dir.
A, bir kare matris olsun. Eğer det (A) ≠0 ise A ya regüler matris, det (A) =0 ise A ya singüler matris denir.
A, bir kare matris olsun. A nın tersinin olabilmesi için gerek ve yeter koşul regüler matris olmasıdır
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
24
Ters Matrisin Bulunması
𝐴 =1 0 0
−1 4 00 2 3
alt üçgensel matrisi için det(A)=12 dir.
Şimdi sırayla kofaktörlerini bulalım:
,
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
25
𝐴11 = −1 212= 12
𝐴12 = −1 3 −3= 3
𝐴13 = −1 4 −2= −2
𝐴21 = −1 30 = 0
𝐴22 = −1 43 = 3 𝐴23 = −1 52= −2
𝐴31 = −1 40 = 0 𝐴32 = −1 50 = 0 𝐴33 = −1 64 = 4
Ters Matrisin Bulunması
Böylece kofaktörlerinden oluşan matris :
12 3 −20 3 −20 0 4
ve bu matrisin transpozesini alırsak ek matrisi:
𝐴∗ =12 0 03 3 0
−2 −2 4 olarak buluruz. Böylece
𝐴−1 =1
12
12 0 03 3 0
−2 −2 4 olarak buluruz.
,
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
26
Ters Matris Özellikleri
•
,
27
.04
.20
14
Li
nee
r C
ebir
- A
rzu
Erd
em -
Jeo
loji
Mu
h.
27