Titkos Tamás

Lineáris funkcionálok

integrál-reprezentációja

Szakdolgozat

Témavezet®:Dr. Czách Lászlóegyetemi docens

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi KarAlkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék

2009

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 21.1. Történeti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Bevezet® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Felhasznált fogalmak, tételek, jelölések . . . . . . . . . . . . . 6

2. Vektorhálón értelmezett lineáris funkcionálok 72.1. Deníciók, jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Lineáris funkcionálok felbontása . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Halmazfüggvények kiterjesztése 123.1. Bels® mértékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. A kiterjesztés létezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3. A kiterjesztés egyértelm¶sége . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4. A Riesz reprezentációs tétel 274.1. A reprezentáló mérték létezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. A reprezentáló mérték egyértelm¶sége . . . . . . . . . . . . . . 334.3. A klasszikus tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5. A Riesz reprezentációs tétel - egy másik megközelítés 395.1. Deníciók, jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2. A tétel bizonyítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3. Függvényterek duálisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Irodalomjegyzék 58

1

1. fejezet

Bevezetés

Mindenekel®tt szeretnék köszönetet mondani témavezet®mnek, Czách Lászlótanár úrnak, akit®l rengeteget tanulhattam az elmúlt évek során. Különösenhálás vagyok az általa ajánlott érdekes témáért, és a szakdolgozat megírásaközben nyújtott nélkülözhetetlen segítségéért.

1.1. Történeti áttekintés

Figyelembe véve, hogy már 1903-ban is ismert volt olyan tétel, amely egy foly-tonos lineáris funkcionál hatását az integrál fogalmának segítségével írta le,mondhatjuk, hogy a címben megjelölt téma több, mint száz éves múlttal ren-delkezik. Matematikatörténeti érdekességként megpróbáljuk bemutatni, hogymiként alakult ki a klasszikus Riesz integrál-reprezentációs tétel mai formája.

A fent említett, 1903-ban publikált eredmény Jacques Hadamard nevéhezf¶z®dik, és a következ®t mondja ki. Legyen I = [a, b] ⊆ R. Ekkor tetsz®legesΦ ∈ C(I)∗ folytonos lineáris funkcionálhoz van olyan (gn) ⊆ C(I) függvény-sorozat, amelyre

Φ(f) = limn→+∞

∫ b

a

f(x)gn(x) dx (∀f ∈ C(I)).

Ezen reprezentáció lényeges hiányossága, hogy nem ad unicitást a (gn)n∈N

2

függvénysorozatra. Ennél többet igazolt Maurice Fréchet, amikor 1904-benmegmutatta, hogy a gn-ek választhatók polinomnak.

A Riesz Frigyes által 1909-ben bizonyított tétel már a Riemann-Stieltjesintegrál fogalmát használja, és garantál egyfajta unicitást [11]. Tetsz®legesΦ ∈ C(I)∗ folytonos lineáris funkcionálhoz létezik olyan g : I → R korlátosváltozású függvény, amelyre

Φ(f) =

∫I

f dg (f ∈ C(I)).

Egyértelm¶ségr®l akkor beszélhetünk, ha a fenti formulában szerepl® repre-zentáló függvényt®l megköveteljük, hogy ne csak korlátos változású, hanemjobbról folytonos is legyen. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a C(I) tér duálistere azonosítható az I-n értelmezett, korlátos változású, jobbról folytonosfüggvények Banach terével, ahol a norma a függvény teljes változása. Ugyan-ezt igazolta Eduard Helly 1912-ben, a Hahn-Banach tétel segítségével.

1913-ban Johann Radon jóval általánosabb feltételek mellett bizonyítottaRiesz tételét. Az eddigi I intervallum helyett jelölje K az Rn tér egy kompaktrészhalmazát. Ekkor minden Φ ∈ C(K)∗ folytonos lineáris funkcionálhozmegadható egyetlen olyan K Borel halmazain értelmezett µ reguláris el®jelesmérték, amelyre

Φ(f) =

∫K

fdµ (∀f ∈ C(K)).

A következ® általánosítás Stefan Banach nevéhez f¶z®dik. Az 1937-ben pub-likált bizonyításban a K ⊆ Rn feltétel helyett K egy tetsz®leges kompaktmetrikus tér. (Ugyanezt a tételt kés®bb belátta Stanislaw Saks is [13].)

Els®ként Markov próbálkozott azzal, hogy elhagyja a K-ra vonatkozó kom-paktsági megkötést. (A reprezentálhatóságot normális tér korlátos folytonosfüggvényein értelmezett funkcionálokra igazolta.)

3

1940-ben jelent meg Shizuo Kakutani Concrete representation of abstract(M)-spaces cím¶ cikke [8], amelyben a következ® tételt igazolta: legyen Ω

kompakt T2-tér, jelölje az Ω-n értelmezett valós érték¶ folytonos függvényekvektorterét C(Ω). Ekkor tetsz®leges C(Ω)-n értelmezett f(x) korlátos lineárisfunkcionál, amely rendelkezik az

(1) ‖f‖ = 1 és

(2) x ∈ C(Ω), x ≥ 0 ⇒ f(x) ≥ 0

tulajdonságokkal, el®áll fµ(x) =∫

Ωx(t)µ(dt) alakban, ahol µ(E) egy Ω Borel

halmazain értelmezett teljesen additív nemnegatív halmazfüggvény. Fennálltovábbá, hogy µ(Ω) = 1.

Érdemes megjegyezni, hogy a bizonyítás Neumann János ötletein alapul [16].1953-ban Edwards a ech-Stone kompaktikáció segítségével igazolta, hogyaz alaptér lokális kompaktsága helyett elegend® feltenni a teljes regularitást[3].

Természetesen rengetegen foglalkoztak még a témával (Halmos, Alexandrov,Kantorovics, Arens, és még sorolhatnánk), de ehelyütt már csak V.S. Vara-darajan On a theorem of F. Riesz concerning the form of linear functionalscím¶ 1958-ban írt cikkét említjük meg [15]. Azon túl, hogy az eddigiekt®l tel-jesen eltér® bizonyítást adott, tett egy fontos megjegyzést is. Ahhoz, hogy egymérhet® függvény integrálját meg tudjuk határozni, elég az integráló mértékértékeit a nullát nem tartalmazó Borel halmazok ®sképein ismerni. Termé-szetes tehát, hogy a reprezentáló mértéket ezen fenti halmazok által generáltσ-gy¶r¶n értelmezzük. Az, hogy ez a mérték kiterjed-e Borel mértékké, egyteljesen más kérdés. Megjegyezzük, hogy Varadarajan azt is megmutatta,hogy a tér T2-ségére tett feltevés elhagyható.

4

1.2. Bevezet®

Ezen szakdolgozat célja a jól ismert Riesz integrál-reprezentációs tétel egyabsztrakt változatának bizonyítása. Ehhez a második fejezetben bevezet-jük a vektorháló és a monoton σ-folytonos pozitív lineáris funkcionál fogal-mát. Megvizsgáljuk ezek speciális típusait, majd igazolunk néhány felbontásitételt.

Kiderül majd, hogy a reprezentáló mérték létezése nagyban függ attól, hogyegy adott halmazrendszeren értelmezett, R-be képez® halmazfüggvény kiter-jeszthet®-e mértékké. Kérdés továbbá, hogy mit lehet mondani a kiterjesztésegyértelm¶ségér®l. A harmadik fejezetben ezt a témát járjuk körül.

A következ® két fejezet a diplomamunka legfontosabb része. Két lényegesenkülönböz® módon igazoljuk a korábban már többször említett (és addigra márprecízen ki is mondott) Riesz tételt. Fontos megjegyeznünk, hogy mindkétesetben bizonyítunk egyfajta unicitást is. Végül bemutatjuk a tétel néhányalkalmazását.

A felépítést indokló további megjegyzések, illetve (ahol szükséges) hivatko-zások az adott fejezetek elején találhatóak.

5

1.3. Felhasznált fogalmak, tételek, jelölések

A következ® jelölésekkel élünk: N jelöli a természetes, R a valós, R+ a nemne-gatív valós, R+ pedig a kiterjesztett érték¶ nemnegatív valós számok halma-zát. Ha H0, H,K tetsz®leges halmazok, H0 ⊆ H, f : H → K függvény, akkorf |H0 jelöli az f H0-ra vett megszorítását. Valós érték¶ függvényvek monotonfogyó, pontonkénti konvergenciájára a ↓ egyszer¶sített jelölést használjuk,azaz fn ↓ g, ha a közös értelmezési tartományuk minden x elemére n → +∞esetén az fn(x) számsorozat monoton fogyólag tart g(x)-hez. Hasonlóan értel-mezend® az fn ↑ g jelölés. Adott X halmaz egy tetsz®leges K részhalmazánakkarakterisztikus függvényét χK-val jelöljük. Azt mondjuk, hogy a (Kn)n∈N

halmazsorozat tartalmazásra nézve monoton fogyó (vagy röviden monotonfogyó), ha minden n ∈ N-re Hn+1 ⊆ Hn. Egy adott X halmaz hatvány-halmazát, azaz az X összes részhalmazaiból álló halmazrendszert P(X)-szeljelöljük. Funkcionál alatt mindig halmazrendszeren értelmezett, R-be képez®függvényt értünk (linearitást tehát nem tételezünk fel).

Ismertnek tekintjük a klasszikus mértékelmélet fogalmainak, felépítési mód-jainak és nevezetes eredményeinek ismeretét (úgy mint Beppo-Levi tétel,Lebesgue-féle dominált konvergencia tétel, Fatou lemma, Lebesgue felbontástétel, Radon-Nikodym tétel). Ezek mindegyikét kimondás, vagy hivatkozásnélkül alkalmazzuk. ([5],[7])

A dolgozatban szintén hivatkozás nélkül alkalmazzuk a funkcionálanalízisismert eredményeit, valamint az általános topológia elemi fogalmait. ([2],[12])

6

2. fejezet

Vektorhálón értelmezett lineáris

funkcionálok

Ezen fejezetben megismerkedünk néhány speciális típusú vektorháló fogal-mával. Megvizsgáljuk a rajtuk értelmezett, R-be ható lineáris leképezéseket,különös tekintettel arra, hogy milyen esetben bonthatóak fel két pozitív li-neáris funkcionál különbségére.

2.1. Deníciók, jelölések

Legyen X nemüres halmaz. Jelölje u∧v és u∨v az X-en értelmezett valós ér-ték¶ függvények alsó, illetve fels® burkoló függvényét, u+ és u− az u függvénypozitív, illetve negatív részét, tehát

u+ := u ∨ 0, u− := u ∧ 0.

Nyilvánvaló, hogy u = u+ − u− és |u| = u+ + u−.

2.1.1. Deníció. Az X halmazon értelmezett valós érték¶ függvények vala-

mely U (X) részhalmazát (valós) vektorhálónak nevezzük, ha

(1) U (X) R-feletti vektortér a szokásos m¶veletekkel

7

(2) ∀ u ∈ U (X) : |u| ∈ U (X).

Mivel bármely u, v : X → R függvények esetén:

u ∨ v =1

2(u + v) +

1

2|u− v|, u ∧ v =

1

2(u + v)− 1

2|u− v|,

ezért ha U (X) vektorháló és u, v ∈ U (X), akkor egyúttal

u ∧ v, u ∨ v, u+, u− ∈ U (X).

Ezzel a következ® ekvivalens denícióhoz jutottunk: Az X-en értelmezettvalós érték¶ függvények valamely U (X) halmazát (valós) vektorhálónak ne-vezzük, ha

(1) U (X) R-feletti vektortér a szokásos m¶veletekkel

(2) ∀ u, v ∈ U (X) : u ∧ v, u ∨ v ∈ U (X)

Jelölje a továbbiakban U (X)+ a vektorháló nemnegatív elemeit, 1X pedig azX-en értelmezett konstans 1 érték¶ függvényt. Megjegyzend®, hogy általában1X /∈ U (X). A kés®bbiekben fontos szerepet játszik az alábbi deníció.

2.1.2. Deníció. Azt mondjuk, hogy az U (X) vektorháló Stone-féle vek-

torháló, ha teljesül rá az úgynevezett Stone-feltétel, azaz hogy tetsz®leges

u ∈ U (X) esetén u ∧ 1X ∈ U (X).

2.1.3. Példa. Ha X lokálisan kompakt T2-tér, akkor az X-en értelmezett

valós érték¶ folytonos és kompakt tartójú függvények C0(X) halmaza Stone-

féle vektorháló. Ha X kompakt T2-tér, akkor C0(X) = C(X), így az X-en

értelmezett valós érték¶ folytonos függvények halmaza Stone-féle vektorháló.

Ha (X, Σ, µ) mértéktér, akkor tetsz®leges 1 ≤ p ≤ +∞ esetén az Lp(X, Σ, µ)

tér szintén rendelkezik a Stone-tulajdonsággal.

2.1.4. Deníció. Normált vektorhálón egy olyan (U (X), ‖.‖) rendezett pártértünk, ahol U (X) vektorháló, ‖.‖ pedig olyan norma U (X)-n, amelyik

kielégíti az alábbi feltételeket:

8

(1) u, v ∈ U (X)+, u ≤ v ⇒ ‖u‖ ≤ ‖v‖

(2) u ∈ U (X) : ‖u‖ = ‖|u|‖

Megjegyezzük, hogy a fent megemlített Stone-féle vektorhálók egyúttal nor-mált vektorhálók is.

2.1.5. Deníció. A Φ : U (X) → R lineáris funkcionált pozitívnak nevez-

zük, ha u ≥ 0 esetén Φ(u) ≥ 0.

2.1.6. Deníció. Az U (X) vektorhálón értelmezett Φ : U (X) → R lineáris

funkcionált monoton σ-folytonosnak nevezzük, ha (un)n∈N ⊆ U (X) : un ↓ 0

esetén limn→+∞ Φ(un) = 0.

2.1.7. Megjegyzés. Ha Φ monoton σ-folytonos pozitív lineáris funkcionál,

akkor teljesülnek az alábbiak is:

(1) (un)n∈N ⊆ U (X), u ∈ U (X) : un ↑ u ⇒ Φ(un) → Φ(u)

(2) (un)n∈N ⊆ U (X)+, u ∈ U (X)+ : u =∑

n∈N un ⇒ Φ(u) =∑

n∈N Φ(un)

2.1.8. Deníció. A Φ : U (X) → R lineáris funkcionált korlátos válto-

zásúnak nevezzük, ha tetsz®leges u ∈ U (X)+ esetén:

supΦ(v) : v ∈ U (X)+, v ≤ u < +∞.

2.2. Lineáris funkcionálok felbontása

2.2.1. Tétel. Egy Φ : U (X) → R lineáris funkcionál pontosan akkor áll el®

két pozitív lineáris funkcionál különbségeként, ha korlátos változású.

Bizonyítás. Tegyük fel el®ször, hogy Φ el®áll Φ = Φ1 − Φ2 alakban, ahol Φ1

és Φ2 pozitív lineáris funkcionálok U (X)-en. Legyen u ∈ U (X)+ tetsz®legesfüggvény, ekkor bármely v ∈ U (X)+, v ≤ u mellett

Φ(v) = Φ1(v)− Φ2(v) ≤ Φ1(u),

9

amib®l már következik, hogy Φ korlátos változású.

Megfordítva, tegyük fel, hogy Φ : U (X) → R korlátos változású lineárisfunkcionál. Tetsz®leges u ∈ U (X)+ mellett legyen

Φ+(u) := supΦ(v) : v ∈ U (X)+, v ≤ u.

Ekkor feltétel szerint 0 ≤ Φ+(u) < +∞. Megmutatjuk, hogy a fenti egyen-l®séggel értelmezett Φ+ : U (X)+ → R+ funkcionál additív.Legyenek u1, u2 ∈ U (X)+. Ekkor bármely v1, v2 ∈ U (X)+ : v1 ≤ u1, v2 ≤ u2

esetén v1+v2 ∈ U (X)+, v1+v2 ≤ u1+u2, ezért Φ(v1)+Φ(v2) = Φ(v1+v2) ≤Φ+(u1 + u2), amib®l v1, v2-re szuprémumot véve következik, hogy

Φ+(u1) + Φ+(u2) ≤ Φ+(u1 + u2).

A másik irányú egyenl®tlenség igazolásához legyen v ∈ U (X)+ tetsz®legesolyan függvény, amelyre v ≤ u1 + u2. Ekkor a v1 := v ∧ u1, v2 := v − v1

jelölések mellett könnyen látható, hogy: v1, v2 ∈ U (X)+, v1 ≤ u1, v2 ≤ u2,így Φ(v) = Φ(v1) + Φ(v2) ≤ Φ+(u1) + Φ+(u2), amib®l következik, hogy

Φ+(u1 + u2) ≤ Φ+(u1) + Φ+(u2).

Ezzel megmutattuk, hogy Φ+(u1 + u2) = Φ+(u1) + Φ+(u2), azaz a Φ+ funk-cionál additív U (X)+-on.

Egyszer¶en igazolható, hogy tetsz®leges u ∈ U (X)+ és c ∈ R+ eseténΦ+(cu) = cΦ+(u), vagyis Φ+ pozitív-homogén. Terjesszük ki az U (X)+-onértelmezett Φ+ funkcionált az egész U (X)-re a

Φ+(u) := Φ+(u+)− Φ+(u−) (u ∈ U (X))

egyenl®séggel, ahol u+, illetve u− az u függvény pozitív, illetve negatív része.Egyszer¶en igazolható, hogy Φ+ mint U (X)-en értelmezett funkcionál, line-áris. Mivel Φ+ pozitív értékeket vesz fel U (X)+-on, ezért Φ+ pozitív lineárisfunkcionál.

10

Ezek után a Φ− := Φ+−Φ jelölés mellett nyilvánvaló, hogy a Φ− : U (X) → Rfunkcionál lineáris, és ha u ∈ U (X)+, akkor Φ(u) ≤ Φ+(u) miatt Φ−(u) ≥ 0,azaz Φ− is pozitív lineáris funkcionál. Ezzel a tételt igazoltuk.

2.2.2. Tétel. Ha (U (X), ‖.‖) normált vektorháló, akkor minden Φ ∈ U (X)∗

folytonos lineáris funkcionál el®áll két folytonos, pozitív lineáris funkcionál

különbségeként.

Bizonyítás. Legyen u ∈ U (X)+, ekkor minden v ∈ U (X)+, v ≤ u mellettΦ(v) ≤ |Φ(v)| ≤ ‖Φ‖‖v‖ ≤ ‖Φ‖‖u‖, amib®l nyilván következik, hogy Φ kor-látos változású, így a 2.2.1. Tétel szerint el®áll két pozitív lineáris funkcionálkülönbségeként. A fenti egyenl®tlenségb®l az is következik, hogy

Φ+(u) = supΦ(v) : v ∈ U (X)+, v ≤ u ≤ ‖Φ‖‖u‖.

Legyen most u ∈ U (X), ekkor Φ+(u) = Φ+(u+) − Φ+(u−), így |Φ+(u)| ≤Φ+(u+)+Φ+(u−) ≤ ‖Φ‖(‖u+‖+‖u−‖), és mivel u+ ≤ |u|, u− ≤ |u|, továbbá‖|u|‖ = ‖u‖, ezért

|Φ+(u)| ≤ 2‖Φ‖‖u‖,

amib®l következik, hogy a Φ+ : U (X) → R pozitív lineáris funkcionál folyto-nos is. Mivel Φ− = Φ+−Φ, ezért Φ− is folytonos. Ezzel a tételt bebizonyítot-tuk.

A fenti tétel alkalmazására az 5. Fejezetben látunk konkrét példát, amikorisleírju bizonyos normált vektorhálók folytonos duálisát.

11

3. fejezet

Halmazfüggvények kiterjesztése

Az el®z® fejezetben bevezettük a szükséges fogalmakat, amelyek segítségévelmegfogalmazhatjuk a Riesz-féle integrál-reprezentációs tétel egy absztraktváltozatát. Kés®bb ennél többet fogunk állítani, egyel®re azonban elégedjünkmeg az alábbi megfogalmazással:Legyen U (X) Stone-féle vektorháló. Ekkor minden Φ : U (X) → R pozitív,monoton σ-folytonos lineáris funkcionálhoz létezik olyan µ mérték, hogy aΦ(u) =

∫X

u dµ egyenl®ség teljesül minden u ∈ U (X) függvény esetén.

Nyilván ahhoz, hogy a fenti formula értelmes legyen, szükséges, hogy a vektor-háló minden eleme mérhet® legyen, azaz az x : u(x) ≥ 1 alakú halmazoknakµ-mérhet®nek kell lenniük. Másfel®l meg van kötve a kezünk atekintetben is,hogy ha valamely E ⊆ X halmaz µ-mérhet® és létezik (un)n∈N ⊆ U (X)

monoton fogyó függvénysorozat, hogy

infn∈N

un(x) = limn→+∞

un(x) = χE(x) (∀x ∈ X),

akkor a µ(E) = infn∈N Φ(un) egyenl®ségnek teljesülnie kell. (Hiszen

µ(E) =

∫X

χE dµ =

∫X

infn∈N

un dµ = infn∈N

(∫X

un dµ

)= inf

n∈NΦ(un),

ahol a harmadik egyenl®ség a Lebesgue-féle dominált konvergencia tétel miattteljesül.)

12

Kézenfekv® tehát, hogy a Φ funkcionálhoz tartozó µ mértéket a fentiek szerintkonstruáljuk. Csakhogy azon E ⊆ X halmazok, amelyek karakterisztikusfüggvénye el®áll, mint U (X)-beli függvények monoton csökken® sorozatánakpontonkénti limesze, nem feltétlenül alkotnak σ-algebrát, és így a fenti µ(E) =

infn∈N Φ(un) egyenl®séggel értelmezett halmazfüggvény nem mérték.

A következ® fejezetben elégséges feltételt adunk a mértékké való kiterjeszt-het®ségre bizonyos K ⊆ P(X) halmazrendszeren értelmezett Φ funkcionálokesetén. Els®ként bevezetjük a bels® mérték fogalmát, amelynek segítségével(a küls® mértékek elméletéb®l ismert Caratheodory kiterjesztéshez hason-lóan) könnyedén konstruálhatunk újabb mértékeket, és amely igen hatékonyfegyver lesz a kiterjesztés létezésének bizonyításánál.

A 3.1., illetve 3.2. szakaszok felépítése (s®t maga a bels® mérték deníciójaés a funkcionálokra tett két speciális feltétel is) D.H. Fremlint®l származik[6].

3.1. Bels® mértékek

3.1.1. Deníció. Legyen X tetsz®leges halmaz. A Φ : P(X) → R+ hal-

mazfüggvényt X-en értelmezett bels® mértéknek nevezzük, ha rendelkezik a

következ® tulajdonságokkal:

(i) Φ(∅) = 0

(ii) A, B ∈ P(X), A ∩B = ∅ ⇒ Φ(A ∪B) ≥ Φ(A) + Φ(B)

(iii) Ha (An)n∈N az X részhalmazainak egy tartalmazásra nézve monoton

fogyó sorozata, és Φ(A0) < +∞, akkor: Φ(⋂

n∈N An) = infn∈N Φ(An)

(iv) Φ(A) = supΦ(B) : B ⊆ A, Φ(B) < +∞ (∀A ∈ P(X))

13

3.1.2. Lemma. Legyen X tetsz®leges halmaz, Φ : P(X) → R+ tetsz®leges

halmazfüggvény, amely az üres halmazon nullát vesz fel. Ekkor a

Σ = E : E ⊆ X, Φ(A) = Φ(A ∩ E) + Φ(A \ E) (∀A ⊆ X)

halmazrendszer algebra X-en. Fennáll továbbá, hogy Φ(E∪F ) = Φ(E)+Φ(F ),

ha E, F ⊆ X és E ∩ F = ∅.

Bizonyítás. Mivel a deníció szimmetrikus, nyilvánvaló, hogy E ∈ Σ eseténEc ∈ Σ is teljesül, azaz Σ komplementumzárt. Így elegend® azt igazolni, hogy∅ ∈ Σ és hogy Σ véges uniózárt.Legyen E, F ∈ Σ, A ⊆ X tetsz®leges. Ekkor:Φ(A ∩ (E ∪ F )) + Φ(A \ (E ∪ F )) =

= Φ((A ∩ (E ∪ F )) ∩ E) + Φ((A ∩ (E ∪ F )) \ E) + Φ(A \ (E ∪ F )) =

= Φ(A ∩ E) + Φ((A \ E) ∩ F ) + Φ(A \ (E ∪ F )) =

= Φ(A ∩ E) + Φ((A \ E) ∩ F ) + Φ((A \ E) \ F ) =

= Φ(A ∩ E) + Φ(A \ E) = Φ(A), azaz: E ∪ F ∈ Σ.

Másrészt mivel Φ(∅) = 0, ezért tetsz®leges A ⊆ X-re: Φ(A∩ ∅) + Φ(A \ ∅) =

Φ(∅) + Φ(A) = Φ(A), így ∅ ∈ Σ.Végezetül ha E, F ⊆ X, E ∩ F = ∅, akkor: Φ(E ∪ F ) = Φ((E ∪ F ) ∩ E) +

Φ((E ∪ F ) \ E) = Φ(E) + Φ(F ).

Ennél azonban jóval többet állíthatunk, ha Φ nem tetsz®leges halmazfügg-vény, hanem egy bels® mérték X-en. Igaz ugyanis a következ® tétel:

3.1.3. Tétel. Legyen X tetsz®leges halmaz, Φ : P(X) → R+ bels® mérték.

Ekkor a

Σ = E : E ⊆ X, Φ(A) = Φ(A ∩ E) + Φ(A ∩ Ec) (∀A ⊆ X)

halmazrendszer σ-algebra, (X, Σ, Φ|Σ) pedig teljes mértéktér.

14

Bizonyítás. (1. lépés) Mivel Φ bels® mérték, ezért Φ(∅) = 0 és így a fentilemma szerint a Σ halmazrendszer algebra. Vegyük észre, hogy tetsz®legesE ⊆ X-re

E ∈ Σ ⇔ Φ(A) ≤ Φ(A ∩ E) + Φ(A \ E) (∀A ⊆ X : Φ(A) < +∞).

Az nyilvánvaló, hogy E ∈ Σ esetén az egyenl®tlenség fennáll. Megfordítvalegyen A ⊆ X tetsz®leges. A bels® mértékek (iv) tulajdonsága miatt Φ(A) =

supΦ(B) : B ⊆ A, Φ(B) < +∞ és Φ(B) ≤ Φ(B ∩ E) + Φ(B \ E) feltételszerint, így:

Φ(A) = supΦ(B) : B ⊆ A, Φ(B) < +∞ ≤

≤ supΦ(B ∩ E) + Φ(B \ E) : B ⊆ A, Φ(B) < +∞ ≤

≤ supΦ(B ∩ E) : B ⊆ A, Φ(B) < +∞+

+ supΦ(B \ E) : B ⊆ A, Φ(B) < +∞ = Φ(A ∩ E) + Φ(A \ E).

Kihasználva, hogy Φ szuperadditív, Φ(A∩E)+Φ(A\E) ≤ Φ(A) és így belülvégig egyenl®ség teljesül. Mivel A ⊆ X tetsz®leges volt, azt kaptuk, hogyE ∈ Σ.

(2. lépés) Megmutatjuk, hogy Σ zárt a megszámlálható unióra, azaz σ-algebra.Legyen (En)n∈N ⊆ Σ. Feltehet®, hogy (En)n∈N egy monoton növ® halmazso-rozat, E :=

⋃n∈N En. Az el®z® pont szerint elegend®, hogy minden A ⊆ X,

Φ(A) < +∞ részhalmaz esetén Φ(A) ≤ Φ(A ∩ E) + Φ(A \ E) teljesüljön.Használva a bels® mértékek (iv) tulajdonságát:

Φ(A \ E) = infn∈N

Φ(A \ En) = limn→+∞

Φ(A \ En).

Másfel®l A∩E ⊇ A∩En, így Φ(A∩E) + Φ(A \E) ≥ limn→+∞(Φ(A∩En) +

Φ(A \ En) = Φ(A).

(3. lépés) Vezessük be a µ := Φ|Σ jelölést. Igazolni fogjuk, hogy µ σ-additívΣ-n, azaz mérték. Legyen En ⊆ Σ diszjunkt halmazsorozat, E :=

⋃n∈N En.

Az nyilvánvaló, hogy µ(E) ≥∑

n∈N µ(En).

15

Tegyük fel indirekt, hogy µ(E) >∑

n∈N µ(En) szigorú egyenl®tlenség teljesül.Ekkor létezik A ⊆ E :

∑n∈N µ(En) < Φ(A) < µ(E) < +∞, hiszen µ(E) =

Φ(E) = supΦ(A) : A ⊆ E, Φ(A) < +∞.Az Fn :=

⋃i≤n Ei jelölés mellett (Fn)n∈N halmazsorozat monoton növ®, és

így (A \ Fn)n∈N monoton fogyó, üres metszettel. Ekkor ∀n ∈ N-re: Φ(A) =

Φ(A ∩ Fn) + Φ(A \ Fn), így Φ(A) = limn→+∞(Φ(A ∩ Fn) + Φ(A \ Fn)) =

=∑

n∈N Φ(A ∩ En) ≤∑

n∈N µ(En) < Φ(A), ami ellentmondás. (Közben fel-használtuk Φ véges additivitását és a bels® mértékek (iii) tulajdonságát.)Ezzel megmutattuk, hogy µ mérték.

(4. lépés) Igazoljuk, hogy a µ mérték teljes. Legyen E ∈ Σ, µ(E) = 0 ésB ⊆ E. Ekkor tetsz®leges A ⊆ X-re (Φ(A) < +∞): Φ(A∪B) + Φ(A \B) ≥Φ(A \B) ≥ Φ(A \ E) = Φ(A ∩ E) + Φ(A \ E) = Φ(A).Az (1. lépés)-ben leírtak szerint ez ekvivalens azzal, hogy B ∈ Σ. Világostovábbá, hogy Φ(B) ≤ Φ(E) = 0. Ezzel a tételt bebizonyítottuk.

Az eddigiek segítségével igazolhatjuk els® kiterjesztési tételünket:

3.1.4. Tétel. Legyen X tetsz®leges halmaz, K ⊆ P(X) X-beli halmazrend-

szer, amelyre teljesülnek az alábbi (i)− (iii) feltételek:

(i) ∅ ∈ K

(ii) K1, K2 ∈ K , K1 ∩K2 = ∅ ⇒ K1 ∪K2 ∈ K

(iii) K1, K2 ∈ K ⇒ K1 ∩K2 ∈ K .

Ha emellett a Φ0 : K → R+ funkcionál rendelkezik a következ® :

Φ0(K) = Φ0(L) + supΦ0(K′) : K ′ ∈ K , K ′ ⊆ K \ L

(∀K, L ∈ K : L ⊆ K) (3.1)

tulajdonsággal, akkor létezik Φ0-nak additív kiterjesztése egy K -t tartalmazó

Σ algebrára.

16

Bizonyítás. Deniáljuk a Φ funkcionált és a Σ halmazrendszert a követke-z®képp:

Φ(A) := supΦ0(K) : K ∈ K , K ⊆ A (A ⊆ X),

Σ := E : E ⊆ X, Φ(A) = Φ(A ∩ E) + Φ(A \ E) (∀A ⊆ X).

(1. lépés) Megmutatjuk, hogy Σ X-beli algebra, és hogy Φ|K = Φ0. A 3.1.2.Lemma miatt elég, hogy Φ(∅) = 0. Ez nyilvánvalóan teljesül, helyettesítsünkugyanis (3.1)-be K = L = ∅ -et. Ugyancsak (3.1)-b®l látható, hogy L, K ∈ K

és L ⊆ K esetén Φ0(L) ≤ Φ0(K). Innen pedig világos, hogy:

Φ(K) = supΦ0(K) : K ′ ∈ K , K ′ ⊆ K = Φ0(K) (∀K ∈ K ).

(2. lépés) Megmutatjuk, hogy Φ0 additív K -n, Φ szuperadditív P(X)-en.Legyen K1, K2 ∈ K , K1 ∩K2 = ∅. Ekkor (ii) szerint K1 ∪K2 ∈ K és:Φ0(K1 ∪ K2) = Φ0(L) + supΦ0(K

′) : K ′ ∈ K , K ′ ⊆ (K1 ∪ K2) \ L.Speciálisan L = K1 helyettesítéssel Φ0(K1 ∪K2) = Φ0(K1) + Φ0(K2).Legyen most A, B ∈ X (A ∩B = ∅) tetsz®leges. Ekkor:

Φ(A) + Φ(B) =

= supΦ0(K1) : K1 ∈ K , K1 ⊆ A+ supΦ0(K2) : K2 ∈ K , K2 ⊆ B =

= supΦ0(K1) + Φ0(K2) : K1, K2 ∈ K , K1 ⊆ A, K2 ⊆ B =

= supΦ0(K1 ∪K2) : K1, K2 ∈ K , K1 ⊆ A, K2 ⊆ B ≤ Φ(A ∪B),

azaz Φ szuperadditív.

(3. lépés) Megmutatjuk, hogy K ⊆ Σ. Legyen K ∈ K , A ⊆ X tetsz®leges.Azt kell igazolnunk, hogy Φ(A) = Φ(A ∩ K) + Φ(A \ K). Ehhez legyenL ⊆ A, L ∈ K . Ekkor (3.1) szerint:Φ0(L) = Φ0(L ∩K) + supΦ0(K

′) : K ′ ∈ K , K ′ ⊆ L \ (L ∩K) =

= Φ0(L∩K) + supΦ0(K′) : K ′ ∈ K , K ′ ⊆ L \K ≤ Φ(A∩K) + Φ(A \K)

17

Mivel L ⊆ A tetsz®leges volt, szuprémumot véve adódik, hogy:Φ(A) = supΦ0(L) : L ∈ K , L ⊆ A ≤ Φ(A ∩K) + Φ(A \K).A másik irányú egyenl®tlenség a Φ szuperadditvitása miatt teljesül, ezzelmegmutattuk, hogy K ⊆ Σ.

3.2. A kiterjesztés létezése

Az el®z® szakaszban minden eszközt el®készítettünk ahhoz, hogy bebizonyít-hassuk a tételt, amely egy Φ : K → R+ halmazfüggvény mértékké valókiterjeszthet®ségére ad elégséges feltételt.

3.2.1. Deníció. Legyen (X, Σ, µ) mértéktér, K egy tetsz®leges halmaz-

rendszer. Azt mondjuk, hogy µ mérték belülr®l reguláris K -ra nézve, ha

µ(E) = supµ(K) : K ∈ Σ ∩K , K ⊆ E (∀E ∈ Σ)

3.2.2. Megjegyzés. Jegyezzük meg, hogy a denícióban nem feltételeztük

K -r®l, hogy K ⊆ Σ, s®t még azt sem, hogy K ⊆ P(X).

3.2.3. Megjegyzés. µ pontosan akkor belülr®l reguláris K -ra nézve, ha be-

lülr®l reguláris K ∩ Σ-ra nézve.

3.2.4. Tétel. Legyen X tetsz®leges halmaz, K ⊆ P(X) X-beli halmazrend-

szer, amelyre teljesülnek az alábbi feltételek:

(i) ∅ ∈ K

(ii) K1, K2 ∈ K , K1 ∩K2 = ∅ ⇒ K1 ∪K2 ∈ K

(iii) (Ki)i∈N ⊆ K ⇒⋂

i∈N Ki ∈ K .

Legyen továbbá Φ0 : K → R+ tetsz®leges funkcionál, amely rendelkezik a

következ® (α)-(β) tulajdonságokkal:

(α) Φ0(K) = Φ0(L) + supΦ0(K′) : K ′ ∈ K , K ′ ⊆ K \ L

(∀K, L ∈ K : L ⊆ K)

18

(β) Ha (Ki)i∈N a K elemeinek egy tartalmazásra nézve monoton fogyó so-

rozata, akkor:⋂

i∈N Ki = ∅ ⇒ infi∈N Φ0(Ki) = 0.

Ekkor létezik X-en olyan µ mérték, amely kiterjeszti Φ0-t, és amely belülr®l

reguláris K -ra nézve.

Bizonyítás. A korábbi tételhez hasonlóan deniáljuk a Φ halmazfüggvényt ésa Σ halmazrendszert a következ®képp:

Φ(A) := supΦ0(K) : K ∈ K , K ⊆ A (A ⊆ X)

Σ := E : E ⊆ X, Φ(A) = Φ(A ∩ E) + Φ(A \ E) (∀A ⊆ X).

Ekkor a 3.1.4. Tétel szerint Σ ⊆ P(X) algebra, amely tartalmazza K -t, Φ

additív Σ-n, és Φ|K = Φ0. Elegend® megmutatnunk, hogy Φ bels® mértékX-en. Ekkor ugyanis a 3.1.3. Tételb®l rögtön adódik, hogy Σ egy σ-algebra,Φ|Σ pedig teljes mérték. A bels® mértékek (i), (ii) és (iv) tulajdonságainakteljesülése a Φ deníciójából azonnal látszik. Csak azt kell megmutatnunk,hogy (iii) is fennáll.Azaz ha (An)n∈N az X részhalmazainak egy tartalmazásra nézve monoton fo-gyó sorozata, és Φ(A0) < +∞, akkor: Φ(

⋂n∈N An) = infn∈N Φ(An). Els®ként

igazoljuk az egyenl®séget abban a speciális esetben, amikor az An halma-zokról nem csak azt tesszük fel, hogy az X részhalmazai, hanem még aztis, hogy K -beliek. Ezt használva, a második lépésben igazoljuk az eredetiegyenl®séget.

(1. lépés) Legyen tehát (Kn)n∈N monoton fogyó sorozat, (Kn)n∈N ⊆ K ,Φ(K0) < +∞. A K -ra tett (iii) feltevés miatt L :=

⋂n∈N Kn ∈ K . Jelöljük

a Φ függvény Σ-ra való lesz¶kítését µ-vel. Ekkor nyilván µ(L) ≤ infn∈N µ(Kn).A fordított irányú egyenl®tlenség igazolásához legyen ε > 0 tetsz®leges. AΦ0 funkcionál (α) tulajdonsága és a Φ0 = µ|K = Φ|K egyenl®ségek miattlétezik K ′ ∈ K , hogy K ′ ⊆ K0 \ L és µ(K0) ≤ Φ0(L) + Φ0(K

′) + ε2. Igaz to-

vábbá, hogy (Kn ∩K ′)n∈N ⊆ K egy monoton fogyó halmazsorozat, amelyre⋂n∈N(Kn ∩K) = ∅.

19

Ekkor a (β) tulajdonság szerint ∃n ∈ N, amelyre µ(Kn ∩K ′) ≤ ε2.

Így µ(K0)−µ(L) = µ(K0 \L) = µ(K0 \ (K ′∪L))+µ(K ′). Kihasználva, hogyµ(K ′) = µ(K ′ \Kn) + µ(K ′ ∩Kn), valamint hogy µ(K ′ \Kn) ≤ µ(K \Kn),folytathatjuk a fenti egyenl®séget:

µ(K0)− µ(L) =

= µ(K0 \ (K ′ ∪ L)) + µ(K ′ ∩Kn) + µ(K ′ \Kn) ≤

≤ µ(K0 \ (K ′ ∪ L)) + µ(K ′ ∩Kn) + µ(K0 \Kn) =

= µ(K0 \ (K ′ ∪ L)) + µ(K ′ ∩Kn) + µ(K0)− µ(Kn),

ahol az els® két tag ε2-nél kisebb, azaz: µ(K0)− µ(L) ≤ ε + µ(K0)− µ(Kn),

és így µ(Kn) ≤ µ(L) + ε. Mivel ε > 0 tetsz®leges volt, azt kaptuk, hogyµ(L) = infn∈N µ(Kn).

(2. lépés) Rátérhetünk az általános eset igazolására.Legyen tehát (An)n∈N ⊆ X monoton fogyó halmazsorozat, Φ(A0) < +∞.Nyilván Φ(

⋂n∈N An) ≤ infn∈N Φ(An). A fordított irányú egyenl®tlenség iga-

zolásához legyen ε > 0 tetsz®leges.Kihasználva, hogy Φ(A0) < +∞, Φ deníciójából adódik, hogy

∀n ∈ N ∃Kn ∈ K : Kn ⊆ An, Φ(Kn) ≥ Φ(An)− ε

2n.

Vezessük be a következ® jelöléseket: Ln :=⋂

i≤n Ki , A :=⋂

n∈N Ai .Ekkor Φ(An+1)− µ(Ln+1) =

= Φ(An+1)−µ(Kn+1 ∩Ln) = Φ(An+1)− (µ(Kn+1) + µ(Ln)−µ(Kn+1 ∪Ln)).Vegyük észre, hogy Kn+1 ⊆ An+1 ⊆ An és Ln ⊆ Kn ⊆ An . Ekkor perszeKn+1∪Ln ⊆ An és µ(Kn+1∪Ln) ≤ Φ(An). Továbbá a Kn-ek választása miatt

Φ(An+1)− µ(Ln+1) ≤1

2nε + Φ(An)− µ(An)

n = 0-ra: Φ(A0)− µ(L0) = Φ(A0)− µ(K0) < ε

n = 1-re: Φ(A1)− µ(L1) ≤ 12ε + Φ(A0)− µ(K0) < 1

2ε + ε

és így tovább, az egyenl®tlenséget iterálva: Φ(An)− µ(Ln) ≤∑

i≤n12i ε < 2ε.

Mivel minden n ∈ N-re Kn ⊆ An, A =⋂

n∈N An, L =⋂

n∈N Kn, ezért L ⊆ A

20

és így Φ(A) ≥ µ(L).

Továbbá az (1. lépés)-ben leírtak szerint µ(L) = infn∈N µ(Ln), így fennálla következ® egyenl®tlenség:

Φ(A) ≥ µ(L) = infn∈N

µ(Ln) ≥ infn∈N

Φ(An)− 2ε.

Ezzel megmutattuk, hogy Φ(A) ≥ infn∈N Φ(An), azaz Φ egy bels® mérték.Ekkor tehát a 3.1.3. Tétel szerint µ := Φ|Σ teljes mérték. Továbbá ∀E ∈ Σ :µ(E) = Φ|Σ(E) = Φ(E) = supΦ0(K) : K ⊆ E, K ∈ K =

= supΦ(K) : K ⊆ E, K ∈ K = supµ(K) : K ⊆ E, K ∈ K ,azaz µ belülr®l reguláris a K -ra nézve. Ezzel a bizonyítást befejeztük

3.3. A kiterjesztés egyértelm¶sége

Látni fogjuk, hogy a fenti kiterjesztési tétel már elegend® a Riesz repre-zentációs tételben szerepl® µ mérték létezéséhez. Érdemes azonban továbbvizsgálódnunk annak érdekében, hogy a kiterjesztés (és így a reprezentálómérték) unicitásáról is mondhassunk valamit.

Fremlin igazolta, hogy ha a Φ funkcionál Σ σ-algebrára való kiterjesztését®lmegköveteljük azt is, hogy K -ra nézve belülr®l reguláris, úgynevezett loká-lisan meghatározott mérték legyen, akkor a 3.2.4. Tételben megkonstruált µ

mértéken kívül nincs más, a feltételekek kielégít® kiterjesztés. Nekünk azon-ban olyan egyértelm¶ségi állításra van szükségünk, amely az U (X) vektor-háló által generált σ-algebrára vonatkozik. Els®ként bevezetünk néhány újfogalmat.

3.3.1. Deníció. Azt mondjuk, hogy a µ : Σ ⊆ P(X) → R+ mérték szemi-

nit, ha ∀F ∈ Σ (µ(F ) = +∞) ∃E ∈ Σ : E ⊆ F, 0 < µ(E) < +∞.

3.3.2. Deníció. (Fremlin) Azt mondjuk, hogy a µ : Σ ⊆ P(X) → R+

mérték lokálisan meghatározott, ha szeminit, és tetsz®leges E ⊆ X-re ekvi-

valens:

21

(i) E ∈ Σ

(ii) E ∩ F ∈ Σ, ha F ∈ Σ és µ(F ) < +∞

3.3.3. Megjegyzés. A fenti tulajdonságot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy

az X egy részhalmaza vagy µ-mérhet®, vagy van olyan véges µ-mérték¶ hal-

maz, amelyet rosszul metsz (vagyis a metszet nem µ-mérhet®).

3.3.4. Lemma. A 3.2.4. Tételben megkonstruált µ mérték lokálisan meg-

határozott.

Bizonyítás. A µ szeminit, hiszen Φ0 véges érték¶, µ|K = Φ0 és µ(F ) =

Φ|Σ(F ) = supΦ0(K) : K ∈ K , K ⊆ F. A lokális meghatározottságigazolásához legyen E ⊆ X tetsz®leges részhalmaz. Feltétel szerint E∩F ∈ Σ,ha F ∈ Σ és µ(F ) < +∞. Meg kell mutatnunk, hogy:∀A ⊆ X : Φ(A) = Φ(A ∩ E) + Φ(A ∩ Ec). Ehhez legyen K ⊆ A, K ∈ K

tetsz®leges (Φ0(K) = Φ(K) = µ(K) < +∞). Ekkor persze K ∩ E ∈ Σ ésK ∩Ec ∈ Σ, továbbá fennáll, hogy Φ(K) = µ(K) = µ(K ∩E)+µ(K ∩Ec) =

Φ(K ∩E) + Φ(K ∩Ec) ≤ Φ(A∩E) + Φ(A∩Ec). K-ban szuprémumot véve:Φ(A) = supΦ(K) : K ∈ K , K ⊆ A ≤ Φ(A ∩ E) + Φ(A ∩ Ec). MivelΦ bels® mérték, ezért a másik irányú egyenl®tlenség is teljesül. Azt kaptuktehát, hogy E ∈ Σ.Az (i) ⇒ (ii) implikáció nyilvánvaló, ezért a bizonyítást befejeztük.

Szükségünk van még a mérhet® burok fogalmára, és néhány tulajdonságára.

3.3.5. Deníció. Legyen (X, Σ, µ) mértéktér, A ⊆ X. Azt mondjuk, hogy

az E ⊆ X halmaz mérhet® burka A-nak, ha A ⊆ E, E ∈ Σ és µ(F ∩ E) =

µ∗(F ∩ A) (∀F ∈ Σ) (ahol µ∗ a µ által generált küls® mértéket jelöli).

3.3.6. Lemma. Legyen (X, Σ, µ) mértéktér, A ⊆ X . Ekkor

(a) az E halmaz (E ∈ Σ, A ⊆ E) pontosan akkor mérhet® burka A-nak, ha

µ(F ) = 0 minden F ⊆ E \ A, F ∈ Σ esetén.

22

(b) ha A befedhet® véges mérték¶ halmazzal, akkor van mérhet® burka.

Bizonyítás. (a) Legyen E mérhet® fedése A-nak, és legyen F ⊆ E \ A. Ek-kor feltétel szerint µ(F ∩ E) = µ∗(F ∩ A). Továbbá µ(F ∩ E) = µ(F ) ésµ∗(F ∩ A) = µ∗(∅) = 0, így tehát µ(F ) = 0.

Megfordítva, tegyük fel, hogy µ(F ) = 0 minden F ⊆ E \A, F ∈ Σ esetén, deE nem mérhet® burka A-nak. Ekkor létezik H ∈ Σ : µ∗(A∩H) < µ(E ∩H).Legyen G ∈ Σ olyan, hogy A ∩H ⊆ G és µ∗(A ∩H) = µ(G).Ilyen G létezik, választható ugyanis Gn ∈ Σ halmazoknak olyan sorozata,hogy

∀n ∈ N : µ∗(A ∩H) ≤ µ(Gn) ≤ µ∗(A ∩H) +1

2n.

Ekkor a G :=⋂

n∈N Gn választással µ∗(A ∩ H) ≤ µ(G) ≤ infn∈N µ(Gn) ≤µ∗(A ∩H).

Ezek után legyen F := (E ∩H) \ G. Világos, hogy µ(G) < µ(E ∩H), ezértµ(F ) > 0. Ugyanakkor F ⊆ E és F ∩ A ⊆ (H ∩ A) \ G, ami üres. Követke-zésképp F ⊆ E \ A, ami ellentmondás, hiszen µ(F ) 6= 0.

(b) Legyen H egy véges mérték¶ befedése A-nak, E ∈ Σ pedig olyan fe-dés, hogy µ(E) = µ∗(A). (Ilyen E létezését láttuk az (a) pontban.) Ekkor E

mérhet® burka az A-nak. Legyen ugyanis F ⊆ E \ A, F ∈ Σ. Ekkor perszeA ⊆ E \ F , és µ(E) = µ∗(A)-b®l adódik, hogy µ(E ⊆ F ) = µ(E). Mivel E

véges mérték¶ (kihasználva, hogy H az), ezért µ(F ) = 0. Az (a) pont szerinttehát E mérhet® burka A-nak.

Ezzel minden eszközt el®készítettünk a szakasz legfontosabb tételének bi-zonyításához. Igazolni fogjuk, hogy a Φ funkcionál különböz® σ-algebrákravaló kiterjesztései (ha léteznek egyáltalán) szoros kapcsolatban állnak a koráb-ban megkonstruált µ mértékkel .

23

3.3.7. Tétel. Legyen X tetsz®leges halmaz, K ⊆ P(X) X-beli halmazrend-

szer, amelyre:

(i) ∅ ∈ K

(ii) K1, K2 ∈ K , K1 ∩K2 = ∅ ⇒ K1 ∪K2 ∈ K

(iii) (Ki)i∈N ⊆ K ⇒⋂

i∈N Ki ∈ K

Legyen továbbá Φ0 : K → R+ tetsz®leges funkcionál, amely rendelkezik a

következ® (α)-(β) tulajdonságokkal:

(α) Φ0(K) = Φ0(L) + supΦ0(K′) : K ′ ∈ K , K ′ ⊆ K \ L

(∀K, L ∈ K : L ⊆ K)

(β) Ha (Ki)i∈N a K elemeinek egy tartalmazásra nézve monoton fogyó so-

rozata, akkor:⋂

i∈N Ki = ∅ ⇒ infi∈N Φ0(Ki) = 0.

Ekkor a 3.2.4. Tételben meghatározott µ mérték maximális a Φ0 funkcionál

azon σ-additív kiterjesztései között, amelyek K -ra nézve belülr®l regulárisak.

(Abban az értelemben, hogy ha (X, Σ′, µ′) mértéktér, µ′ rendelkezik a fenti

tulajdonságokkal, akkor µ kiterjeszti µ′-t. )

Bizonyítás. Legyen µ = Φ|Σ, ahol Φ(A) := supΦ0(K) : K ∈ K , K ⊆ A, ésΣ = E : E ⊆ X, Φ(A) = Φ(A ∩ E) + Φ(A ∩ Ec) (∀A ⊆ X).Legyen ezen kívül µ′ egy K ⊆ Σ′ σ-algebrán értelemezett, K -ra nézve be-lülr®l reguláris mérték. Azt fogjuk igazolni, hogy ha F ∈ Σ′, akkor F ∈ Σ,és µ(F ) = µ′(F ). Mivel µ lokálisan meghatározott mérték a 3.3.4. Lemmaszerint, elég megmutatnunk, hogy ∀E ∈ Σ : µ(E) < +∞ esetén F ∩E ∈ Σ.

Legyenek H1 ∈ Σ, illetve H2 ∈ Σ az E ∩ F , illetve E \ F halmazok mérhet®burka. Ilyen H1 és H2 létezik a 3.3.6. Lemma szerint, hiszen H1, H2 ⊆ E ésµ(E) < +∞.

Azt fogjuk igazolni, hogy µ(H1∩H2) = 0. Ezzel készen is leszünk, ugyanis az(E ∩H1) \ (E ∩ F ) ⊆ (H1 ∩H2) tartalmazás, és a µ-mérték teljessége maga

24

után vonja, hogy (E ∩ H1) \ (E ∩ F ) ∈ Σ. Amib®l viszont rögtön adódik,hogy E ∩ F ∈ Σ, kihasználva, hogy E ∩H1 ∈ Σ.

Tegyük fel indirekt, hogy µ(H1 ∩ H2) > 0. A µ bels® regularitása miatt∃K ∈ K : K ⊆ H1 ∩H2, és µ(K) > 0. Mivel K ⊆ H1 ∩H2, ezért K ∩E 6= ∅és K ∩ F 6= ∅. Ezen a ponton használjuk, hogy µ′ is belülr®l reguláris K -ranézve. A fenti K-hoz létezik ugyanis K1 és K2, hogy K1 ⊆ K∩F, K2 ⊆ K\F ,és µ′(K) ≥ µ′(K1∪K2) = µ′(K1)+µ′(K2) > µ′(K∩F )+µ′(K \F )−µ(K) =

µ′(K)− µ(K) = 0, hiszen µ′|K = µ|K = Φ0.

Vegyük észre, hogy a µ′(K1) + µ′(K2) > 0 egyenl®tlenségb®l adódóan µ′(K1)

és µ′(K2) közül legalább az egyik pozitív. Ez viszont mindenképp ellentmon-dás, mert K1 ⊆ H2 \ (E \ F ), K2 ⊆ H1 \ (E ∩ F ), amely halmazok egyikesem tartalmazat pozitív mérték¶ halmazt a 3.3.6. Lemma (a) pontja miatt.Ezzel beláttuk, hogy Σ′ ⊆ Σ.

Az, hogy µ|Σ′ = µ′, könnyen adódik a K -ra vonatkozó bels® regularitásból,és abból, hogy µ′|K = µ|K = Φ0. Ugyanis tetsz®leges F ∈ Σ′-re µ′(F ) =

supµ′(K) : K ∈ K , K ⊆ F = supµ(K) : K ∈ K , K ⊆ F = µ(F )

Innen már egyszer¶en adódik egyfajta unicitás. Bár a Φ-re és K -ra vonat-kozó feltevések teljesen megegyeznek a 3.3.7 Tételben leírtakkal, a könnyebbátláthatóság kedvéért a tételt hivatkozások nélkül, precízen kimondjuk.

3.3.8. Tétel. Legyen X tetsz®leges halmaz, K ⊆ P(X) X-beli halmazrend-

szer, amelyre:

(i) ∅ ∈ K

(ii) K1, K2 ∈ K , K1 ∩K2 = ∅ ⇒ K1 ∪K2 ∈ K

(iii) (Ki)i∈N ⊆ K ⇒⋂

i∈N Ki ∈ K

Legyen továbbá Φ0 : K → R+ tetsz®leges funkcionál, amely rendelkezik a

következ® (α)-(β) tulajdonságokkal:

25

(α) Φ0(K) = Φ0(L) + supΦ0(K′) : K ′ ∈ K , K ′ ⊆ K \ L

(∀K, L ∈ K : L ⊆ K)

(β) Ha (Ki)i∈N a K elemeinek egy tartalmazásra nézve monoton fogyó so-

rozata, akkor:⋂

i∈N Ki = ∅ ⇒ infi∈N Φ0(Ki) = 0.

Legyen adott továbbá A ⊆ P(X) egy K -t tartalmazó σ-algebra. Ekkor ha

létezik Φ0-nak K -ra nézve belülr®l reguláris kiterjesztése A -ra, akkor az

egyértelm¶.

Bizonyítás. Legyenek µ1 és µ2 A -n értelmezett, a fenti tulajdonságokkal ren-delkez® mértékek. Ekkor a 3.3.7. Tételben szerepl® µ mérték mindkett®nekkiterjesztése, azaz A ⊆ Σ és µ1 = µ|A = µ2.

Végül néhány egyszer¶ észrevétel:

3.3.9. Megjegyzés. Érdemes meggyelnünk a 3.3.7. Tétel bizonyításánál,

hogy maga a Φ halmazfüggvény, illetve annak tulajdonságai semmilyen szere-

pet nem játszottak. Mindössze a bel®le konstruált µ mérték teljességét, lokális

meghatározottságát, és bels® regularitását használtuk. Valamint azt, hogy µ

és µ′ egyaránt deniálva vannak K -n, és ott egybe is esnek.

3.3.10. Következmény. Legyen X tetsz®leges halmaz, K ⊆ P(X) tetsz®le-

ges halmazrendszer. Tegyük fel, hogy µ1 és µ2 két teljes, lokálisan meghatáro-

zott mérték, amelyek értelmezve vannak K -n, belülr®l regulárisak K -ra nézve

és µ1|K = µ2|K . Ekkor µ1 = µ2.

26

4. fejezet

A Riesz reprezentációs tétel

Ezen fejezetben igazoljuk f® tételünket. Els®ként olyan bizonyítást adunk,amely az egész eddigi apparátust felhasználja. Azt is mondhatjuk, hogy azeddigi er®feszítéseink kizárólag ezt a részt voltak hivatottak el®készíteni.

4.1. A reprezentáló mérték létezése

Az ebben a szakaszban található bizonyítások Fremlint®l származnak [6].

4.1.1. Lemma. Legyen X tetsz®leges halmaz, U (X) Stone-tulajdonságú vek-

torháló. Jelölje K0 a következ® halmazrendszert:

K0 := K : K = x : u(x) ≥ 1 ⊆ X (u ∈ U (X)).

Legyen ezen kívül µ olyan mérték X-en, amely a K0 halmazrendszeren tel-

jesíti a következ® egyenl®séget:

µ(K) = infΦ(u) : u ∈ U (X) , χK ≤ u (∀K ∈ K0),

ahol Φ : U (X) → R egy monoton σ-folytonos pozitív lineáris funkcionál.

Ekkor az∫

Xu dµ formula értelmes minden u ∈ U esetén, és Φ(u) =

∫X

u dµ.

Bizonyítás. Elég az u ≥ 0 esettel foglalkozni, mert Φ is és az∫operáció is

lineáris. Elkészítünk egy (wn)n∈N ⊆ U (X) és egy (vn)n∈N K-lépcs®s függvény

27

sorozatot, amelyekre fennáll, hogy

∀n ∈ N : wn ≤ vn ≤ u, wn ↑ u.

Ekkor persze Φ(wn) ↑ Φ(u), Φ(wn) ≤∫

Xvn dµ ≤ Φ(u), és így:∫

X

u dµ = limn→+∞

∫X

vn dµ = Φ(u).

Vegyük észre, hogy ha v ∈ U (X), K ∈ K0, és v ≤ χK , akkor Φ(v) ≤ µ(K).(Ugyanis µ(K) = infΦ(u) : u ∈ U (X) , χK ≤ u, v ≤ χK ≤ u ⇒ v ≤ u ésígy Φ(v) ≤ Φ(u), mivel Φ pozitív.)

Legyen u ∈ U (X) és deniáljuk a Kn,k halmazokat, illetve az un,k függvénye-ket a következ®képp:

Kn,k := x : u(x) ≥ k

2n, un,k := u ∧

((k

2n

)· 1X

)(n, k ∈ N).

Ekkor 2n(un,k+1−un,k) ≤ χKn,k≤ 2n(un,k−un,k−1). A fenti észrevétel szerint

egyúttal 2nΦ(un,k+1 − un,k) ≤ µ(Kn,k) ≤ 2nΦ(un,k − un,k−1) is fennáll. Azegyenl®ltenségeket 1

2n -nel szorozva és összegezve 4n-ig k-ra azt kapjuk, hogy

Φ(un,4n+1 − un,1) ≤1

2n

∑k≤4n

µ(Kn,k) ≤ Φ(u ∧ 2n · 1) ≤ Φ(u)

Vezessük be a wn := un,4n+1−un,1 ∈ U (X) és vn := 12n

∑k≤4n χKn,k

∈ U (X)

jelöléseket. Ekkor wn ↑ u, ugyanis n → +∞ esetén: un,4n+1 ↑ u és un,1 ↓ 0.Mivel Φ monoton σ-folytonos, ezért Φ(wn) → Φ(u).

A Beppo-Levi tételb®l és a Φ(wn) ≤ 12n

∑k≤4n µ(Kn,k) =

∫X

vn dµ ≤ Φ(u)

egyenl®tlenségekb®l azonnal adódik, hogy u integrálható, és∫X

u dµ = limn→+∞

∫X

vn dµ = Φ(u),

amit bizonyítani akartunk.

28

4.1.2. Tétel. Legyen U (X) Stone-féle vektorháló, Φ : U (X) → R pozitív

lineáris funkcionál. Ekkor az alábbiak ekvivalensek.

(i) Φ monoton σ-folyonos

(ii) Létezik µ mérték X-en, amelyre∫

Xu dµ értelmes minden u ∈ U (X)

esetén, és∫

Xu dµ = Φ(u).

Bizonyítás. A (ii) ⇒ (i) irány nyilvánvaló. (Hivatkozhatunk akár a Lebesgue-féle dominált konvergencia tételre, akár a Fatou-lemmára)

Az (i) ⇒ (ii) implikáció bizonyításához deniáljuk a következ® X-beli K

halmazrendszert:

K := K : K ⊆ X, ∃(un)n∈N ⊆ U (X) : infn∈N

un(x) = χK(x) (∀x ∈ X)

. Vegyük észre, hogy K zárt a véges unióra, és a megszámlálható metszetre:

K1, K2 ∈ K ⇒ ∃(u1,n)n∈N, (u2,n)n∈N ∈ U (X) : χK1 = infn∈N(u1,n)

χK2 = infn∈N(u2,n). Ekkor infn∈N((u1,n) ∨ (u2,n)) = χK1∪K2

(Ki)i∈N ⊆ K , ∀i ∈ N ∃(ui,n)n∈N ∈ U (X) : infn∈N ui,n = χKi.

Ekkor: inf(i,n)∈N×N ui,n = χ⋂i∈N Ki

Az el®z® lemmát akarjuk alkalmazni, ehhez azonban meg kell mutatnunk,hogy az x : u(x) ≥ 1 alakú halmazok mind K -ban vannak (azaz K0 ⊆ K ).Mivel U (X) Stone-tulajdonságú vektorháló, u ∈ U (X), ezért:

un := 2n((u ∧ 1X)− (u ∧ (1− 2n) · 1X)) ∈ U (X) (n ∈ N), (4.1)

látható továbbá, hogy infn∈N un = χx: u(x)≥1. Deniáljuk ezek után K -n akövetkez® Φ0 : K → R+ halmazfüggvényt:

Φ0(K) := infΦ(u) : u ∈ U (X), χK ≤ u (K ∈ K) (4.2)

29

Ha erre a Φ0-ra teljesülnek a 3.2.4. Tételben szerepl® (α) és (β) feltevések,akkor a 3.3.7. Tétel szerint létezik egy Σ ⊆ P(X) σ-algebra, és azon egy µ

mérték, amely maximális a Φ0-t kiterjeszt®, K -ra nézve belülr®l regulárismértékek között. Igazoljuk tehát ezen (α)− (β) tulajdonságokat:

(α): Legyen K, L ∈ K , L ⊆ K, γ := supΦ0(K′) : K ′ ∈ K , K ′ ⊆ K \ L.

Azt kell megmutatnunk, hogy Φ0(K) = Φ0(L) + γ.

(≥) Legyen K ′ ∈ K , K ′ ⊆ K \L, ε > 0 tetsz®leges. Mivel K ′, L ∈ K , így∃(uK,n)n∈N, ∃(uL,n)n∈N ⊆ U (X) : χK′ = infn∈N(uK′,n), χL = infn∈N(uL,n).Legyen továbbá u ∈ U (X) olyan, hogy Φ(u) ≤ Φ0(K) + ε teljesüljön. Ilyenu a Φ deníciója szerint létezik. Deniáljuk ezek után a vK′,n és vL,n függvé-nyeket a következ®képp:

vK′,n := u ∧ infi≤n

uK′,i, vL,n := u ∧ infi≤n

uL,i (∀n ∈ N)

Világos, hogy (vK′,n)n∈N, (vL,n)n∈N ⊆ U (X), továbbá (vK′,n ∧ vL,n)n∈N mo-noton fogyó függvénysorozat, amelyre infn∈N(vK′,n ∧ vL,n) = χK′ ∧ χL = 0.Így a Φ monoton σ-folytonossága miatt Φ(vK′,n ∧ vL,n) → 0 (n → +∞).Következésképp a fenti ε > 0-hoz ∃n ∈ N : (vK′,n ∧ vL,n) < ε.

Ekkor: Φ0(L) + Φ0(K′) ≤ Φ(vL,n) + Φ(vK′,n) = Φ(vL,n + vK′,n) =

= Φ(vL,n ∨ vK′,n) + Φ(vL,n ∧ vK′,n) ≤ Φ(u) + ε ≤ Φ0(K) + ε + ε.Mivel ε > 0 tetsz®leges volt, így Φ0(L) + Φ0(K

′) ≤ Φ0(K). Ezek utánK ′ ∈ K -ra szuprémumot véve: Φ0(L) + γ ≤ Φ0(K).

(≤) Legyen ε ∈ (0, 1) tetsz®leges, uK , uL ∈ U (X) olyanok, hogy χK ≤ uK

és χL ≤ uL, továbbá Φ(uL) ≤ Φ0(L) + ε. Tekintsük a következ® K ′ halmazt:

K ′ := x : x ∈ K, (1X ∧ uK(x))− uL(x) ≥ ε ⊆ K.

Ekkor fennáll, hogy K ′ ⊆ K \ L. Ugyanis 1 − uL(x) ≥ ε ⇔ 1 − ε ≥ uL(x),ami pedig x ∈ L esetén nem teljesül, ugyanis 1 = χL(x) ≤ uL(x).

30

S®t, az is igaz, hogy K ′ ∈ K , mert 1ε[(uK∧1X)−uL] ∈ U (X), következésképp

x : 1ε((uK(x) ∧ 1X)− uL(x)) ≥ 1 ∈ K .

Ezek után, ha w ∈ U (X), w ≥ χK′ , akkor uL(x) + w(x) ≥ 1− ε (∀x ∈ K )

és

Φ0(K) ≤ 1

1− εΦ(uL + w) ≤ 1

1− ε(Φ0(L) + ε + w).

Az egyenl®tlenséget (1− ε)-nal szorozva, és w ≥ χK′-re inmumot véve:

(1− ε)Φ0(K) ≤ Φ0(L) + ε + Φ0(K′) ≤ Φ0(L) + ε + γ.

Mivel ε > 0 tetsz®legesen kicsi volt, azt kaptuk, hogy Φ0(K) ≤ Φ0(L) + γ,amit bizonyítani akartunk.

(β) Legyen (Kn)n∈N ⊆ K monoton fogyó halmazsorozat üres metszettel.Ekkor ∀n ∈ N ∃(un,k)k∈N ⊆ U (X) : infk∈N un,k = χKn . Tekintsük a követ-kez® vn := infi,j≤n ui,j függvényeket. Nyilvánvaló, hogy (vn)n∈N ⊆ U (X), vn

monoton fogyó függvénysorozat és infn∈N vn = infn∈N χKn = 0.Így infn∈N Φ(vn) = 0. Node χKn = infj≤n χKj

≤ vn ⇒ Φ0(Kn) ≤ Φ(vn).Következésképp infn∈N Φ0(Kn) = 0.

Igazoltuk tehát a Φ0 funkcionál rendelkezik az (α) és (β) tulajdonságokkal,így hivatkozhatunk a 3.2.4. Tételre, amely szerint van Φ0-t kiterjeszt® µ mér-ték. S®t, ez a µ a K0 elemein a µ(K) = infΦ(u) : u ∈ U (X), u ≥ χKegyenl®séggel van deniálva, azaz teljesíti a 4.1.1. Lemma feltételeit. Ezzelmegmutattuk, hogy Φ(u) =

∫X

u dµ (∀u ∈ U (X)).Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Miel®tt megkezdenénk az unicitás bizonyítását, érdemes megjegyezni, hogyvan olyan U (X) függvényháló, amely nem teljesíti a Stone-feltételt, és létezikolyan pozitív, monoton σ-folytonos lineáris funkcionál, amelyhez nem létezika fenti µ reprezentáló mérték. A példa Bogatchevt®l származik [1].

4.1.3. Példa. Jelölje F azon f : [0, 1] → R függvények halmazát, ame-

lyek rendelkeznek a következ® tulajdonsággal: valamely α ∈ R valós számra a

31

t : t ∈ [0, 1], f(t) 6= α(1 + t) halmaz els® kategóriájú. (Azaz el®áll meg-

számlálható sok sehol sem s¶r¶ halmaz uniójaként.) Ekkor F függvényháló.

Deniáljuk Φ-t F -en a következ® módon: Φ(f) := α, ahol α ∈ R az f-hez

tartozó, a fentieknek eleget tev® konstans. Ekkor Φ pozitív lineáris funkcionál,

monoton σ-folytonos, és nem létezik µ mérték az I := [0, 1] ⊆ R halmazon,

hogy Φ(f) =∫

If dµ teljesüljön tetsz®leges f ∈ F esetén.

Bizonyítás. Els®ként jegyezzük meg, hogy Φ funkcionál jóldeniált, azaz:∀f ∈ F ∃!α ∈ R, amelyre a t : f(t) 6= α(1 + t) halmaz els® kategóriájú.Adott f ∈ F -re Ef := t : f(t) = αf (1 + t), ahol αf az f -hez tartozó kons-tans. Ha f, g ∈ F , akkor Ef∪Eg els® kategóriájú és f(t)+f(g) = (α+β)(1+t)

az Ef ∩Eg-n kívül. Emellett tetsz®leges c ∈ R konstansra cf(t) = cαf az Ef

halmazon kívül, így F lineáris tér. Nyilvánvaló, hogy |f | ∈ F , ha f ∈ F , ígyF függvényháló, amely nem teljesíti a Stone-feltételt. Szintén nyilvánvaló,hogy a Φ funkcionál lineáris, és hogy f ≥ 0 esetén Φ(f) ≥ 0.Tegyük fel, hogy (fn)n∈N ⊆ F , fn ↓ 0. Ekkor az Efn halmazok uniója els®kategóriájú. Emiatt:

∃t ∈ [0, 1] : Φ(fn) =fn(t)

1 + t(∀n ∈ N),

ugyanis [0, 1] második kategóriájú, a Baire-féle kategória tétel szerint. Innenpersze azonnal látszik, hogy Φ(fn) → 0, ha n → +∞. Ezzel igazoltuk, hogyΦ monoton σ-folytonos.

Tegyük fel indirekt, hogy van olyan µ mérték [0, 1]-en, amelyre nézve mindenF -beli függvény mérhet®, és fennál a Φ(f) =

∫[0,1]

f dµ egyenl®ség. Mivel aΨ(t) := 1 + t függvény az α = 1 konstanssal F -beli, ezért a [0, 1] mindennyílt részhalmaza mérhet®. Továbbá az a tény, hogy Ψ ≥ 1, maga után vonja,hogy µ([0, 1]) ≤ Φ(Ψ) = 1, így a µ megszorítása a B([0, 1]) Borel σ-algebráravéges mérték.Ekkor van olyan els® kategóriájú E Borel halmaz, amelyre: µ([0, 1] \E) = 0.(Az E halmazt megkonstruálhatjuk, mint sehol sem s¶r¶ Kn kompakt hal-mazok (µ([0, 1] \Kn) < 1

n) uniója. Ilyen Kn-eket pedig úgy készítünk, hogy

32

egy sehol sem s¶r¶, 0-mérték¶ halmaz pontjai körül kidobunk elég kis inter-vallumokat.)

Tekintsük ezek után a következ® f függvényt: f(t) := 0, ha t ∈ E, f(t) :=

1 + t, ha t ∈ [0, 1] \ E. Világos, hogy f ∈ F és Φ(f) = 1. Másfel®l viszont∫[0,1]

f dµ = 0, ami ellentmondás.

4.2. A reprezentáló mérték egyértelm¶sége

Végezetül rátérhetünk az unicitás kérdésére. Használni fogjuk a 4.1. szakasz-ban bevezetett K0, illetve K jelöléseket, azazK0 := K : K ⊆ X,∃u ∈ U (X) : K = x : u(x) ≥ 1K := K : K ⊆ X, ∃(un)n∈N ⊆ U (X) : infn∈N un(x) = χK(x) (∀x ∈ X).

4.2.1. Megjegyzés. Rögtön jegyezzük meg, hogy a K halmazrendszer ál-

tal generált σ-algebra megyegyezik a K0 által generált σ-algebrával. (Jelölje

ezeket σA(K ), illetve σA(K0).)

Bizonyítás. A σA(K0) ⊆ σA(K ) tartalmazás nyilvánvaló, hiszen K0 ⊆ K ,ahogy azt az egzisztencia tétel bizonyításában igazoltuk. Megfordítva, ele-gend® megmutatnunk, hogy K ∈ K ⇒ K ∈ σA(K0). Legyen tehát K ∈ K .Feltétel szerint ∃(un)n∈N ⊆ U (X) : infn∈N un(x) = χK(x) (∀x ∈ X). Ekkor∀n ∈ N : K ⊆ x : x ∈ X, un(x) ≥ 1, így

K ⊆⋂n∈N

x : x ∈ X, un(x) ≥ 1.

Tegyük fel most, hogy x0 ∈⋂

n∈Nx : x ∈ X, un(x) ≥ 1. Az un választásamiatt infn∈N un(x0) ≥ 1 ⇒ infn∈N un(x0) = 1 ⇒ x0 ∈ K, következésképpK =

⋂n∈Nx : x ∈ X, un(x) ≥ 1, azaz K ∈ σA(K0)

33

4.2.2. Tétel. Legyen X tetsz®leges halmaz, U (X) Stone-tulajdonságú vek-

torháló. Ekkor tetsz®leges Φ : U (X) → R pozitív, monoton σ-folytonos line-

áris funkcionálhoz egyértelm¶en létezik olyan K -ra nézve belülr®l reguláris µ

mérték σA(K0)-on, amelyre

Φ(u) =

∫X

u dµ (∀u ∈ U (X))

Bizonyítás. A 3.2.4 Tételben megmutattuk, hogy létezik olyan µ mérték,amely kiterjeszti (4.2).-vel deniált Φ0 funkcionált, s®t maximális a K -ranézve belülr®l reguláris kiterjesztések között. Mivel K0 ⊆ K ⊆ Σ, ezértnyilvánvalóan a σA(K0) ⊆ Σ tartalmazás is fennáll, hiszen Σ σ-algebra. Kö-vetkezésképp a µ|σA(K0) mérték kielégíti a 3.3.8. Tétel feltételeit, így egyetlena Φ0 funkcionál K -ra nézve belülr®l reguláris kiterjesztései között.

Tegyük fel most, hogy ν egy tetsz®leges σA(K0)-on értelmezett mérték, amelyK -ra nézve belülr®l reguláris, és amelyre Φ(u) =

∫X

u dν. Legyen K ∈ K

tetsz®leges halmaz. Ekkor (4.1) szerint létezik (un)n∈N ⊆ U (X) függvényso-rozat, amelyre infn∈N un = limn→+∞ un = χK , következésképp a Beppo-Levitétel szerint

µ(K) =

∫X

χK dµ = limn→+∞

∫X

un dµ = limn→+∞

∫X

un dν =

∫X

χK dν = ν(K).

Azaz µ|K = ν|K , azaz ν is kiterjesztése Φ0-nak, amib®l már következik, hogyµ = ν.

Az eddigiekben csak egyfajta feltételes unicitást bizonyítottunk, ugyanisa reprezentáló mértékt®l megköveteltük, hogy az adott K halmazrendszerrenézve belülr®l reguláris legyen. Felmerül a kérdés, hogy mely esetekben hagy-ható el ez a megkötés, azaz mikor áll fenn valódi egyértelm¶ség.

A továbbiakban µ jelöl a 4.2.2. Tételben szerepl® reprezentáló mértéket,amely belülr®l reguláris a K halmazrendszerre nézve, ν pedig egy tetsz®-leges mérték, amelyre Φ(u) =

∫X

u dν (∀u ∈ U (X)).

34

4.2.3. Lemma. Tetsz®leges A ∈ σA(K0)-ra µ(A) ≤ ν(A).

Bizonyítás. Legyen K ∈ K tetsz®leges. Attól, hogy ν-r®l nem tettük fel,hogy belülr®l reguláris K -ra nézve, a µ|K = ν|K egyenl®ség még fennáll.Létezik ugyanis (un)n∈N ⊆ U (X), amelyre infn∈N un = limn→+∞ un = χK ,így

µ(K) =

∫X

χK dµ = limn→+∞

∫X

un dµ = limn→+∞

∫X

un dν =

∫X

χK dν = ν(K),

ahogy azt a 4.2.2. Tételben igazoltuk. Legyen most A ∈ σA(K0) tetsz®leges.Ekkor µ bels® regularitása és a fenti egyenl®ség miatt:

µ(A) = supµ(K) = ν(K) : K ⊆ A, K ∈ K ≤ ν(A),

azaz µ ≤ ν, amit bizonyítani akartunk.

4.2.4. Lemma. Tegyük fel, hogy az A ∈ σA(K0) halmaz befedhet® K -belivel.

Ekkor µ(A) = ν(A).

Bizonyítás. Legyen tehát A ∈ σA(K0), K ∈ K , amelyre A ⊆ K. Ekkor

µ(K) = µ(A) + µ(K \ A) ≤ ν(A) + ν(K \ A) = ν(K).

Kihasználva, hogy µ|K = ν|K és hogy µ ≤ ν, adódik, hogy µ(A) = ν(A).

4.2.5. Lemma. Tegyük fel, hogy az A ∈ σA(K0) halmaz befedhet® megszám-

lálható sok K -belivel. Ekkor µ(A) = ν(A).

Bizonyítás. Legyen tehát A ∈ σA(K0), (Kn)n∈N ⊆ K , amelyre A ⊆⋃

n∈N Kn.Ekkor A =

⋃n∈N(A∩Kn). A klasszikus diszjunktizációs eljárással megkonst-

ruálható az A-nak egy olyan diszjunkt A =⋃∗

n∈N(A∩K ′n) felbontása, amely-

ben minden tényez® befedhet® K -belivel. A 4.2.4. Lemma szerint ∀n ∈ N-reµ(A ∩K ′

n) = ν(A ∩K ′n), így

µ(A) =∑n∈N

µ(A ∩K ′n) =

∑n∈N

ν(A ∩K ′n) = ν(A),

amit bizonyítani akartunk.

35

4.2.6. Tétel. Legyen X tetsz®leges halmaz, U (X) Stone-féle vektorháló. Ha

X befedhet® megszámlálható sok K -beli halmazzal, akkor egyértelm¶en létezik

µ mérték σA(K0)-on, amelyre

Φ(u) =

∫X

u dµ (∀u ∈ U (X)).

Bizonyítás. Ha X befedhet® megszámlálható sok K -belivel, akkor mindenA ∈ σA(K0)-beli is. Alkalmazva a 4.2.5.Lemmát minden A ∈ σA(K0) hal-mazra azt kapjuk, hogy µ(A) = ν(A), azaz µ = ν.

4.3. A klasszikus tétel

Ebben a bekezdésben, a fenti 4.2.6. Tétel alkalmazásaként meghatározzuk aC(K)-tér topologikus duálisát, ahol K kompakt topologikus tér.

4.3.1. Deníció. Legyen (X, τ) topologikus tér. Az F ⊆ X halmazt zéró

halmaznak nevezzük, ha létezik olyan f : X → R folytonos függvény, amelyre

F = f−1[0].

4.3.2. Deníció. Legyen (X, τ) topologikus tér. Ekkor a zéró halmazok által

generált σ-algebrát Baire σ-algebrának nevezzük, és Ba(X)-szel jelöljük.

4.3.3. Deníció. Legyen (X, τ) topologikus tér. Ekkor Baire mérték alatt

Ba(X)-en értelmelmezett mértéket értünk.

4.3.4. Deníció. Legyen (X, τ) topologikus tér, f : X → R függvény. Azt

mondjuk, hogy az f Baire-mérhet®, vagy Ba(X)-mérhet®, ha az R tetsz®leges

nyílt G részhalmazára f−1[G] ∈ Ba(X).

4.3.5. Lemma. Legyen (X, τ) topologikus tér. Ekkor Ba(X) a legsz¶kebb σ-

algebra, amelyre nézve minden valós érték¶ folytonos függvény mérhet®.

Bizonyítás. Legyen f : X → R folytonos függvény, α ∈ R. Deniáljuk a g

függvényt a következ®képp:

g(x) := max(0, f(x)− α) (x ∈ X).

36

Ekkor g folytonos, és x : f(x) ≤ α = x : g(x) = 0, azaz x : f(x) ≤ αzéró halmaz, és így x : f(x) ≤ α ∈ Ba(X), azaz f mérhet®.

Megfordítva, legyen Σ tetsz®leges σ-algebra, amelyre nézve minden valós ér-ték¶ folytonos függvény mérhet®. Legyen továbbá F ⊆ X tetsz®leges zéróhalmaz. Ekkor deníció szerint létezik olyan folytonos g függvény, amelyreF = g−1[0]. Ekkor persze F ∈ Σ, és így Ba(X) ⊆ Σ.

4.3.6. Deníció. Legyen (X, τ) topologikus tér. Ekkor Cb(X) jelöli az X-en

értelmezett valós érték¶ korlátos folytonos függvények halmazát.

4.3.7. Tétel. Legyen (X, τ) topologikus tér. Ekkor a Cb(X) → R pozitív,

monoton σ-folytonos lineáris funkcionálok, és az X-en értelmezett véges Baire

mértékek között bijekció áll fenn.

Bizonyítás. Legyen µ egy véges Baire mérték X-en. Ekkor minden f ∈ Cb(X)

függvény integrálható µ szerint, továbbá a Φµ : f 7→∫

Xf dµ lineáris funk-

cionál pozitív, és a Fatou-lemma miatt monoton σ-folytonos is.Megfordítva, legyen most Φ : Cb(X) → R egy pozitív, monoton-σ folytonoslineáris funkcionál. Ekkor a 4.2.6. Tétel alkalmazható, ugyanis 1X ∈ Cb(X),így X ∈ K . Következésképp egyértelm¶en létezik olyan µ mérték σA(K0)-on,amelyre:

Φ(f) =

∫X

f dµ (f ∈ Cb(X)).

Igazolni fogjuk, hogy σA(K0) = Ba(X), azaz µ Baire-mérték. Legyen G

tetsz®leges zéró halmaz. Létezik tehát g ∈ Cb(X) függvény, amelyre G =

x : g(x) = 0 = x : g(x) ≤ 0 ∩ x : g(x) ≥ 0.Ugyanakkor x : g(x) ≤ 0 és x : g(x) ≥ 0 σA(K0)-beliek, ugyanisx : g(x) ≥ 0 = x : g(x) + 1 ≥ 1 és 1X ∈ Cb(X) ⇒ g + 1X ∈ Cb(X).Hasonlóan igazolható, hogy x : g(x) ≤ 0 ∈ σA(K0). Ezzel megmutattuk,hogy Ba(X) ⊆ σA(K0). A másik irányú tartalmazáshoz legyen K ∈ K0

tetsz®leges. Ekkor létezik k ∈ Cb(X) : K = x : k(x) ≥ 1. Node

37

x : k(x) ≥ 1 = x : k(x) − 1 ≥ 0 = x : (k(x) − 1) ∧ 0 ≥ 0 =

x : (k(x)− 1) ∧ 0 = 0 ∈ Ba(X), hiszen (k(x)− 1) ∧ 0 ∈ Cb(X).

Igazoltuk tehát, hogy σA(K0) = Ba(X), azaz az 4.2.6 tételben szerepl® mér-ték Baire-mérték. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

4.3.8. Tétel. Legyen (K, τ) kompakt topologikus tér. Ekkor minden Φ ∈C(K)∗ folytonos lineáris funkcionálhoz egyértelm¶en létezik µ el®jeles Baire

mérték, amelyre

Φ(f) =

∫K

f dµ (f ∈ C(K)).

Bizonyítás. Tudjuk, hogy C(K) ellátva a maximum-normával normált vek-torháló, így a 2.2.2. Tétel szerint tetsz®leges Φ ∈ C(K)∗ folytonos lineárisfunkcionál el®áll két pozitív folytonos lineáris funkcionál különbségeként. ADini Tétel szerint ezek mindegyike monoton σ-folytonos is, alkalmazhatótehát a 4.3.7. Tétel, hiszen kompakt topologikus téren C(K) = Cb(K).Azaz Φ = Φ+ − Φ−, és léteznek µ1, illetve µ2 Baire-mértékek (méghozzáegyértelm¶en), amelyekre tetsz®leges f ∈ C(K) esetén fennáll, hogy:

Φ+(f) =

∫K

f dµ+, Φ−(f) =

∫K

f dµ−.

Mivel 1X ∈ C(K), ezért µ1 és µ2 véges Baire mértékek, így µ := µ1 − µ2

el®jeles Baire mérték.

38

5. fejezet

A Riesz reprezentációs tétel - egy

másik megközelítés

Ebben a fejezetben bemutatjuk a Tétel egy másik változatának rövid ésfrappáns bizonyítását. Az alapgondolat ugyanaz, mint Jürgen Kindler cik-kében [10], azonban ott nem esik szó az unicitásról. Azon túl, hogy ezt ahiányosságot egy elegáns bizonyítással pótoljuk, több észrevételt is teszünkmagát a reprezentáló mértéket illet®en. El®re megjegyezzük, hogy az eddi-giekt®l eltér®en az integrálelméletnek nem a lépcs®sfüggvényeken keresztültörtén® felépítésével dolgozunk majd. Továbbá mérték alatt nem σ-algebrán,hanem σ-gy¶r¶n értelmezett, kiterjesztett valós érték¶ nemnegatív σ-additívhalmazfüggvényt értünk.Célunk, hogy a dolgozat ezen része a Bevezet®ben és az 1. Fejezetben leír-takkal kiegészítve önmagában is olvasható legyen.A most következ® felépítés és az egyértelm¶ség bizonyítása teljes egészébenCzách László munkája. Ragaszkodni fogunk az általa írt kéziratban használtjelölésekhez.

39

5.1. Deníciók, jelölések

5.1.1. Jelölés. Legyen X tetsz®leges halmaz, f : X → R tetsz®leges függ-

vény. Ekkor X(f > c) := x ∈ X : f(x) > c(c ∈ R). Hasonlóan értend®ek

az X(f = c), X(f < c), X(f 6= c) jelölések.

5.1.2. Deníció. Legyen X tetsz®leges nemüres halmaz, S ⊆ P(X) X-beli

σ-gy¶r¶. Az f : X → R függvényt mérhet®nek nevezzük az S σ-gy¶r¶re

vonatkozóan, ha minden c ∈ R mellett X(f 6= 0) ∩ X(f > c) ∈ S . Ha az

S σ-algebra, akkor f mérhet®sége azt jelenti, hogy X(f > c) ∈ S minden

c ∈ R esetén.

5.1.3. Deníció. Legyen V valós vektorháló. Jelölje B0 azt a legsz¶kebb X-

beli σ-gy¶r¶t, amelyre nézve a vektorháló minden eleme mérhet®. Ezt a B0

σ-gy¶r¶t a V vektorháló által meghatározott Baire-féle σ-gy¶r¶nek, elemeit

pedig Baire-halmazoknak nevezzük.

Könnyen el®állíthatjuk a B0 σ-gy¶r¶ egy generátorrendszerét, azaz olyanG0 ⊆ B0 halmazredszert, amelyre S (G0) = B0, ahol S (G0)-lal jelöltük aG0 halmazrendszert tartalmazó legsz¶kebb X-beli σ-gy¶r¶t.

Tekintsük ugyanis a következ®

G0 := X(f > 1) : f ∈ V+

halmazrendszert, amelyre nyilván G0 ⊆ B0, így S (G0) ⊆ B0. Ha megmu-tatjuk, hogy minden f ∈ V függvény S (G0)-mérhet®, akkor B0 értelmezésemiatt B0 ⊆ S (G0), így a fentiek gyelembe vételével igazolva lesz, hogy

B0 = S (G0). (5.1)

Legyen el®ször f ∈ V+. Ekkor c > 0 mellett 1cf ∈ V+, így X(f > c) =

X(1cf > 1) ∈ G0 ⊆ S (G0), továbbá X(f > 0) =

⋃n∈N X(f > 1

n) ∈ S (G0),

végül c < 0 mellett X(f 6= 0) ∩ X(f > c) = X(f > 0) ∈ S (G0), amivel

40

megmutattuk, hogy minden V+-beli függvény S (G0)-mérhet®.

Mivel bármely f ∈ V el®áll f = f+ − f− alakban, ahol f+, f− ∈ V+, továbbákét mérhet® függvény különbsége is mérhet®, ezért minden V -beli függvényS (G0)-mérhet®. Ezzel a kívánt (5.1) egyenl®séget igazoltuk.

Könnyen igazolható továbbá, hogy a G0 halmazrendszer háló, azaz bármelyA, B ∈ G0 esetén egyúttal A∪B és A∩B ∈ G0. Ha ugyanis A, B ∈ G0, akkorlétezik f, g ∈ V+, amelyre A = X(f > 1), B = X(g > 1). Világos, hogyA ∪B = X(f ∨ g > 1), A ∩B = X(f ∧ g > 1).Közismert, hogy ha H halmazrendszer X-beli háló, akkor a

P0 := A \B : A, B ∈ H , B ⊆ A

egyenl®séggel értelmezett P0 halmazrendszer X-beli félgy¶r¶, amely szinténgenerátorrendszere B0-nak, tehát az (5.1) egyenl®ség mellett fennáll a

B0 = S (P0) (5.2)

egyenl®ség is.

Korábban megemlítettük, hogy a C0(X) (X lokálisan kompakt Hausdortér), C(K) (K kompakt topologikus tér), Lp(X,S , µ) terek mindegyike Stone-tulajdonságú vektorháló. Érdemes meggondolnunk, hogy ezen terekben ho-gyan írható le a Baire-féle σ-gy¶r¶.

Tekintsük el®ször a C0(X) Stone-féle vektrohálót, ahol X lokálisan kompaktT2 tér. Jelölje G∗ az X tér olyan nyílt részhalmazainak összességét, amelyek-nek lezárása kompakt, továbbá legyen Kσ az X tér olyan részhalmazainakösszessége, amelyek el®állnak megszámlálható sok kompakt halmaz egyesíté-seként. Ha f ∈ C0(X), f ≥ 0, akkor X(f > 1) nyílt halmaz, X(f > 1) ⊆suppf , így X(f > 1) ∈ G∗, továbbá az

X(f > 1) =⋃n∈N

X(f ≥ 1 +1

n)

41

egyenl®ségb®l következik, hogy X(f > 1) ∈ Kσ, ami azt jelenti, hogy a

G0 := X(f > 1) : f ∈ C0(X), f > 0

halmazrendszer minden eleme relatív kompakt nyílt, és egyidej¶leg Kσ-belihalmaz, vagyis G0 ⊆ G∗ ∩ Kσ.

Legyen most G ∈ G∗ ∩ Kσ egy tetsz®leges halmaz. Ekkor G el®áll⋃

n∈N Kn

alakban, ahol mindegyik Kn halmaz az X kompakt részhalmaza. Mivel aGc := X\G halmaz zárt, ezért az Uriszon-lemma miatt van olyan fn : X → Rfolytonos függvény, amelyre 0 ≤ fn ≤ 1 és

fn|Kn = 1 fn|Gcn

= 0.

Tekintsük az f :=∑

n∈N12n fn egyenl®séggel értelmezett f : X → R+ fo-

lytonos függvényt, amelyre f |G > 0, f |Gc = 0, így suppf ⊆ G. Mivel G

kompakt, ezért f ∈ C0(X). Legyen továbbá F ∈ C0(X) tetsz®leges olyanfüggvény, amelyre F |G = 1, és 0 ≤ F ≤ 1 az egész X-en. Végül legyeng := f + F , ekkor g ∈ C0(X), X(g > 1) = G, tehát G ∈ G0, amivel meg-mutattuk, hogy G∗ ∩ Kσ ⊆ G0. Innen már következik, hogy G0 = G∗ ∩ Kσ,tehát a C0(X) vektorháló által meghatározott Baire-féle σgy¶r¶ a következ®alakban áll el®:

B0 = S (G∗ ∩ Kσ).

Jelölje K0 az X tér kompakt Gδ halmazainak összességét. Igazolható, hogy aK0 halmazrendszer is generátorrendszere B0-nak, azaz B0 = S (K0).

A fentiekb®l következik, hogy ha X kompakt-T2 tér, akkor a C(X) vektor-háló által meghatározott Baire-féle σ-gy¶r¶ generátorrendszere: G0 = G∩Kσ,ahol G az X tér nyílt halmazainak osztálya.

Ha (X, S , µ) egy mértéktér, akkor 1 ≤ p < +∞ mellett az Lp(X, S , µ)

vektorháló Baire-halmazainak σ-gy¶r¶je azonos az S σ-véges mérték¶ hal-mazainak összességével.

42

5.1.4. Deníció. Ha f : X → R+ függvény, akkor a

[0, f) := (x, y) : x ∈ X, y ∈ [0, f(x)) =⋃x∈X

x × [0, f(x))

egyenl®séggel értelmezett [0, f) ⊆ X×R+ halmazt az f függvény szubgráfjának

nevezzük.

Nyilvánvaló, hogy tetsz®leges A ⊆ X és c > 0 esetén [0, cχA) = A × [0, c).Legyenek f és g : X → R+ olyan nemnegatív függvények, amelyekre g ≤ f .Jelölje [g, f) a [0, f) \ [0, g) halmazt. Ekkor

[g, f) = (x, y) : x ∈ X, y ∈ [g(x), f(x)).

5.1.5. Lemma. Legyen V egy valós vektorháló. Ekkor a következ®

P := [g, f) : f, g ∈ V+, g ≤ f

halmazrendszer (X × R+)-beli félgy¶r¶.

Bizonyítás. Tekintsük a V+-beli függvények szubgráfjaiból álló

H := [0, f) : f ∈ V+

halmazrendszert. Ekkor H háló, és így az önmagával vett zárójeles különbsége,azaz a

[0, f) \ [0, g) : [0, f), [0, g) ∈ H, [0, g) ⊆ [0, f)

halmazrendszer félgy¶r¶. Nyilvánvaló, hogy a fenti halmazrendszer azonosP-vel.

Végezetül igazolunk egy kiterjesztési tételt, amelyre a reprezentációs tételbizonyításánál szükségünk lesz.

5.1.6. Deníció. A P félgy¶r¶n értelmezett µ : P → R+ mérték σ-véges, ha

minden A ∈ P halmaz befedhet® megszámlálható sok véges µ-mérték¶ P-belihalmaz uniójaként.

43

5.1.7. Lemma. Jelölje T az olyan σ(P)-beli halmazok osztályát, amelyek

befedhet®k megszámlálható sok véges µ-mérték¶ halmaz uniójával. Ekkor T σ-

gy¶r¶. Következésképp ha P σ-véges mérték, akkor P ⊆ T , és így S (P) = T .

Bizonyítás. Legyen T1, T2 ∈ T . Ekkor nyilván T1 \T2 ∈ T , hiszen a T1 fedésefedi T1 \T2-t is. A T σ-uniózártsága pedig egyszer¶en következik abból, hogymegszámlálható sok megszámlálható halmaz uniója megszámlálható.

5.1.8. Tétel. Ha µ σ-véges mérték a P félgy¶r¶n, akkor a µ kiterjesztése

S (P)-re egyértelm¶.

Bizonyítás. Els®ként jegyezzük meg, hogy tetsz®leges félgy¶r¶n értelmezettmértéknek van σ-additív kiterjesztése a generált σ-gy¶r¶re, éspedig az úgy-nevezett Caratheodory kiterjesztés. Ismert továbbá, hogy ha µ jelöli a µ Ca-ratheodory kiterjesztését, µ pedig egy tetsz®leges kiterjesztést, akkor µ ≤ µ.

Legyen A ∈ P tetsz®leges véges mérték¶ halmaz. Ekkor persze µ(A) = µ(A).Vegyük észre, hogy ekkor az A halmaz minden mérhet® H részhalmazáraµ(H) = µ(H). Ugyanis

µ(A) = µ(A) = µ(H) + µ(A \H) ≤ µ(H) + µ(A \H) = µ(A) = µ(A)

és µ(H) ≤ µ(H), továbbá µ(A\H) ≤ µ(A\H) a fentiek szerint, ezért egyen-l®ség csak úgy teljesülhet, ha µ(H) = µ(H), µ(A \H) = µ(A \H).

Legyen ezután H ∈ S (P) tetsz®leges. A fenti lemma szerint létezik olyanvéges µ-mérték¶ halmazokból álló P-beli sorozat, amely befedi H-t. Mivel Pfélgy¶r¶, ezért a fed®halmazok választhatóak páronként diszjunktnak. Azaz

∃(An)n∈N ⊆ P : Ai ∩ Aj = ∅, ha (i 6= j), µ(An) < +∞, H ⊆⋃n∈N

An.

Ekkor a Hn := H ∩ An jelölés mellett⋃

n∈N Hn = H, Hn ⊆ An (n ∈ N), ésígy µ(H) =

∑n∈N µ(Hn) =

∑n∈N µ(Hn) = µ(H). Ezzel megmutattuk, hogy

a µ mérték kiterjesztése a P félgy¶r¶r®l a generált σ-gy¶r¶re egyértelm¶.

44

5.2. A tétel bizonyítása

5.2.1. Tétel. Ha V egy Stone-féle valós vektorháló és B0 az általa meg-

határozott Baire-féle σ-gy¶r¶, akkor minden Φ : V → R monoton σ-folytonos

pozitív lineáris funkcionálhoz létezik egyetlen olyan µ : B0 → R+ mérték, hogy

minden f ∈ V mellett

Φ(f) =

∫X

f dµ,

emellett µ|G0 véges, így µ σ-véges mérték.

Bizonyítás. Tekintsük az el®z® lemmában megadott

P := [g, f) : g, f ∈ V+, g ≤ f

félgy¶r¶t, és értelmezzük rajta a ν halmazfüggvényt a következ® egyenl®ség-gel:

ν([g, f)) := Φ(f − g) = Φ(f)− Φ(g) ([g, f) ∈ P),

Nyilvánvaló, hogy µ nemnegatív, véges érték¶ halmazfüggvény a P félgy¶r¶n.Megmutatjuk, hogy σ-additív is. Legyen

[g, f) =⋃n∈N

[gn, fn)

a [g, f) ∈ P halmaz egy P-beli diszjunkt felbontása. Ekkor minden x ∈ X

mellett [g(x), f(x)) =⋃∗

n∈N[gn(x), fn(x)), és így

f(x)− g(x) =∑n∈N

(fn(x)− gn(x)) (x ∈ X),

vagyis f − g =∑

n∈N(fn − gn), ahol f − g ∈ V+, fn − gn ∈ V+ (n ∈ N), ígyΦ monoton σ-folytonossága miatt Φ(f − g) =

∑n∈N Φ(fn − gn), azaz

ν([g, f)) =∑n∈N

ν([gn, fn)),

45

amivel igazoltuk, hogy a ν : P → R+ halmazfüggvény σ-additív, tehát mér-ték a P félgy¶r¶n.

Ismeretes, hogy a P-n értelmezett ν mérték egyértelm¶en kiterjesztehet®a generált S (P) σ-gy¶r¶re. Az egyszer¶ség kedvéért az S (P)-re kiterjesztettmértéket is ν-vel jelöljük. Tekintsük a B0 Baire-féle σ-gy¶r¶nek a fentiekbenbevezetett

G0 := X(g > 1) : g ∈ V+

generátorrendszerét, továbbá az

I0 := [0, c) : c ∈ R+

intervallumrendszert. Megmutatjuk, hogy G0 × I0 ⊆ S (P).

Legyen G := X(g > 1) ∈ G0 és I := [0, c) ∈ I0, tehát itt g ∈ V+ és c ≥ 0,legyen továbbá

gn := (n(g − g ∧ 1)) ∧ 1X (n ∈ N). (5.3)

Ekkor a Stone-feltétel gyelembevételével gn ∈ V+ (n ∈ N). Könnyen igazol-ható továbbá, hogy gn ↑ χG és egyúttal cgn ↑ cχG, amib®l következik, hogya ([0, cgn))n∈N halmazsorozat is monoton növeked®, emellett⋃

n∈N

[0, cgn) = [0, cχG) = G× [0, c) = G× I. (5.4)

Mivel itt [0, cgn) ∈ P, ezért G× I ∈ S (P), amib®l a kívánt tartalmazás márkövetkezik.

Jelölje B+ a [0, +∞) intervallumba es® Borel halmazok összességét. EkkorB+ σ-gy¶r¶ (s®t, σ-algebra), emellett könnyen látható, hogy az I0 generátor-rendszere B+-nak, vagyis B+ = S (I0). Ezek után G0 × I0 ⊆ S (P)-b®l márkövetkezik, hogy S (G0 × I0) ⊆ S (P), következésképp

S (G0 × I0) = S (S (G0)×S (I0)) = S (B0 × B+) ⇒ S (B0 × B+) ⊆ S (P).

(5.5)

46

Legyen n ∈ N, f :=∑

i≤n ciχBiegy B0-mérhet® nemnegatív lépcs®sfüggvény

X-en, azaz: ci ≥ 0, Bi ∈ B0, Bi ∩ Bj = ∅, ha i 6= j (i, j ≤ n). Ekkor[0, f) =

⋃∗i≤n Bi × [0, ci), amib®l látható, hogy [0, f) ∈ S (B0 × B+).

Ha most f ∈ V+ egy tetsz®leges függvény, akkor van olyan (fn)n∈N nemne-gatív, B0-mérhet® lépcs®sfüggvényekb®l álló sorozat, amelyre fn ↑ f . Ekkor[0, fn) ∈ S (B0 × B+) (n ∈ N), így [0, f) ∈ S (B0 × B+), amib®l következik,hogy P ⊆ S (B0 × B+) és egyuttal

S (P) ⊆ S (B0 × B+). (5.6)

Ebb®l és az 5.5 tartalmazásból kapjuk, hogy

S (P) = S (B0 × B+). (5.7)

Ha B ∈ B0 egy tetsz®leges halmaz, akkor B × [0, 1) ∈ S (B0 ×B+) = S (P).Ennek gyelembe vételével a B0 σ-gy¶r¶n értelmezhet® a µ halmazfüggvénya következ® egyenl®séggel:

µ(B) := ν(B × [0, 1)) (B ∈ B0).

Könnyen igazolható, hogy a µ : B0 → R+ halmazfüggvény mérték. Megmu-tatjuk, hogy tetsz®leges g ∈ V+-ra µ(G) < +∞ és G = X(g > 1) ∈ G0. MivelχG ≤ g, ezért G× [0, 1) = [0, χG) ⊆ [0, g), amib®l következik, hogy

µ(G) = ν(G× [0, 1)) ≤ ν([0, g)) = Φ(g) < +∞.

Megmutattuk tehát, hogy µ|G0 véges. Mivel G0 generátorrendszere B0-nak,ezért innen már egyszer¶en adódik, hogy a µ : B0 → R+ mérték σ-véges.

Jelölje λ az egydimenziós Lebesgue-mérték B0-ra való lesz¶kítését, és tekint-sük a µ× λ : B0 × B+ → R+ szorzatmértéket. Ez nyilván σ-véges a B0 × B+

félgy¶r¶n, így az 5.1.8. Tétel szerint a generált S (B0 × B+) σ-gy¶r¶re valókiterjesztése egyértelm¶ (S (B0×B+) = S (P)). Az egyszer¶ség kedvéért jel-ölje a kiterjesztett mértéket is µ× λ.

47

Megmutatjuk, hogy ν = µ× λ. Ehhez elegend® igazolni, hogy:

ν|G0×I0 = µ× λ|G0×I0 . (5.8)

Tekintsük ugyanis a P0 := A \ B : A, B ∈ G0, B ⊆ A félgy¶r¶t, amelygenerátorrendszere B0-nak. Jelölje továbbá P a P := I \ J : I, J ∈ I0, J ⊆I halmazrendszert. Ekkor persze P is félgy¶r¶, amelyre S (P) = B+. Fennálltovábbá, hogy P0×P félgy¶r¶, amelyre S (P0×P) = S (B0×B+) = S (P).Viszont (5.8) fennállásából következik, hogy

ν|P0×P = µ× λ|P0×P .

Az (5.8) igazolásához legyen G× I ∈ G0 × I0 egy tetsz®leges halmaz. TehátG = X(g > 1) ∈ G0, I = [0, c) ∈ I0, ahol g ∈ V+, c ≥ 0. A korábbi (5.3) és(5.4) egyenl®ségek felhasználásával

ν(G× I) = limn→+∞

ν([0, cgn)) = limn→+∞

Φ(cgn) = c limn→+∞

Φ(gn), (5.9)

amib®l c = 1 esetén nyerjük, hogy

µ(G) = ν(G× I) = limn→+∞

ν([0, cgn)) = limn→+∞

Φ(cgn). (5.10)

Innen ν(G× I) = cµ(G) = µ(G)λ(I), amib®l a ν|G0×I0 = µ× λ|G0×I0 egyen-l®ség már következik.

A most bizonyított ν = µ× λ egyenl®ségb®l a tétel már könnyen adódik:Legyen ugyanis f ∈ V+ egy tetsz®leges függvény. Mivel f B0-mérhet®, ezértµ-integrálható, emellett ∫

X

f dµ = (µ× λ)([0, f)).

Másrészt a ν : P → R+ mérték deníciója szerint: Φ(f) = ν([0, f)), így:

Φ(f) =

∫X

f dµ (f ∈ V+)

Mivel minden f ∈ V függvény el®áll két V+-beli függvény különbségeként,ezért a fenti egyenl®ség minden f ∈ V függvényre is igaz, amivel a tétel

48

lényeges részét igazoltuk.

Hátra van még a mérték unicitásának igazolása. Tegyük fel, hogy a µ mér-téken kívül létezik másik µ : B0 → R+ mérték, amelyre fennáll, hogy:

Φ(f) =

∫X

f dµ (∀f ∈ V ).

Legyen G = X(g > 1) ∈ G0 egy tetsz®leges halmaz, és tekintsük az (5.3)egyenl®séggel értelmezett (gn)n∈N ⊆ V+ függvénysorozatot. Ekkor a fentiekmiatt

∫X

gn dµ =∫

Xgn dµ (∀n ∈ N).

Mivel gn ↑ χG, ezért az utóbbi egyenl®ség a Beppo-Levi tétel felhasználásávalkapjuk, hogy µ(G) = µ(G) (G ∈ G0). Így fennáll az is, hogy µ|G0 = µ|G0 ,amib®l már következik, hogy µ = µ, amit bizonyítani akartunk.

5.3. Függvényterek duálisa

Végezetül lássuk a fenti tétel néhány alkalmazását.

Ha X kompakt T2-tér, akkor a maximum normával ellátott C(X) tér normáltvektorháló, tehát a korábbi 2.2.2. Tétel szerint minden Φ ∈ C(X)∗ folytonoslineáris funkcionál el®áll két pozitív lineáris és folytonos funkcionál különbsé-geként.

Ha (X, S , µ) egy tetsz®leges mértéktér, akkor a szokásos normával ellátottLp := Lp(X, S , µ) függvénytér normált vektorháló, így az el®z®höz hason-lóan tetsz®leges Φ ∈ Lp folytonos lineáris funkcionál el®áll két pozitív lineárisés folytonos funkcionál különbségeként.

Legyen most X lokálisan kompakt T2-tér, jelölje K az X összes kompakt rész-halmazából álló halmazrendszert. Tetsz®leges K ∈ K mellett jelölje CK

0 (X)

a C0(X) vektortér azon elemeinek halmazát, amelyek tartója K-ban fekszik,

49

azaz

CK0 (X) := f : f ∈ C0(X), suppf ⊆ K.

Ekkor persze CK0 (X) lineáris altere C0(X)-nek. Jelölje a továbbiakban IK

a CK0 (X) altérnek a C0(X)-be való beágyazását, vagyis azt a leképezést,

amelyre

IK(f) = f (f ∈ CK0 (X))

Ha mindegyik CK0 (X) alteret ellátjuk a maximum normával, és τK-val jelöljük

a CK0 (X)-beli normatopológiát, akkor létezik C0(X)-en olyan leger®sebb lo-

kálisan konvex τ topológia, amelyik mellett mindegyik IK : CK0 (X) → C0(X)

beágyazás folytonos. Ezt a τ topológiát a τK : K ∈ K topológia-családinduktív limeszének nevezik [14].

Könnyen igazolható, hogy egy Φ : C0(X) → R lineáris funkcionál ponto-san akkor τ -folytonos, ha Φ-nek mindegyik CK

0 (X)-ra való lesz¶kítése τK-folytonos, ami egyenérték¶ azzal, hogy mindegyik K ∈ K halmazhoz létezikolyan MK ≥ 0 állandó, hogy minden f ∈ CK

0 (X) esetén

|Φ(f)| ≤ MK‖f‖. (5.11)

Könnyen látható, hogy minden Φ : C0(X) → R τ -folytonos lineáris funk-cionál korlátos változású is. Legyen f ∈ C0(X) tetsz®leges, K := suppf .Ekkor bármely g ∈ C0(X), g ≤ f esetén g ∈ CK

0 (X), így az (5.11) egyenl®t-lenség g-re való alkalmazásával kapjuk, hogy

Φ(g) ≤ |Φ(g)| ≤ MK‖g‖ ≤ MK‖f‖,

amib®l már következik, hogy supΦ(g) : g ∈ C0(X)+, g ≤ f ≤ +∞.

Ebb®l és a 2.2.2. Tételb®l következik, hogy tetsz®leges Φ : C0(X) → Rτ -folytonos lineáris funkcionál el®áll két pozitív lineáris funkcionál különbsé-geként.

50

Megfordítva, legyen most Φ : CK0 (X) → R egy pozitív lineáris funkcionál.

Megmutatjuk, hogy Φ τ -folytonos. Legyen K ∈ K egy tetsz®leges hal-maz. Ekkor az Uriszon-lemma alapján van olyan gK ∈ C0(X) függvény,amelyre 0 ≤ gK ≤ 1, és gK |K = 1. Ekkor minden f ∈ CK

0 (X) függ-vényre: −‖f‖g ≤ f ≤ ‖f‖g, amib®l −‖f‖Φ(g) ≤ Φ(f) ≤ ‖f‖Φ(g). Ekkoraz MK := Φ(g) jelölés mellett |Φ(f)| ≤ MK‖f‖, ami azt jelenti, hogy aΦ-nek a C0(X)-re való lesz¶kítése τK-folytonos, amib®l következik, hogy Φ

τ -folytonos.

A fentiek gyelembevételével már nyilvánvaló, hogy minden Φ : C0(X) → Rτ -folytonos lineáris funkcionál el®áll két τ -folytonos pozitív lineáris funk-cionál különbségeként.

Lássuk tehát, hogy miként alkalmazható a Riesz integrál-reprezentációs tétel.Els®ként vezessük be a következ® fogalmat:

5.3.1. Deníció. A (V, ‖.‖) normált vektorhálót Riesz-féle vektorhálónak

nevezzük, ha egyrészt V Stone tulajdonságú, másrészt minden Φ ∈ V ∗ folyto-

nos (azaz norma-topológiában folytonos) lineáris funkcionál egyúttal monoton

σ-folytonos is.

Ha tehát V Riesz-féle vektorháló, akkor minden Φ ∈ V ∗ folytonos lineárisfunkcionál el®áll

Φ = Φ+ − Φ−

alakban, ahol Φ+, illetve Φ− mindegyike monoton σ-folytonos pozitív lineárisfunkcionál, de akkor az 5.2.1. Tétel szerint a V vektorhálóhoz tartozó B0

Baire-féle σ-gy¶r¶n léteznek olyan µ+, illetve µ− mértékek, hogy mindenf ∈ V mellett

Φ+(f) =

∫X

f dµ+, illetve Φ−(f) =

∫X

f dµ−

A fentiek szerint igaz tehát a következ® tétel:

51

5.3.2. Tétel. Ha (V, ‖.‖) egy Riesz-féle vektorháló és B0 a hozzá tartozó

Baire-féle σ-gy¶r¶, akkor léteznek olyan µ+ és µ− mértékek B0-on, hogy tet-

sz®leges f ∈ V esetén

Φ(f) =

∫X

f dµ+ −∫

X

f dµ−. (5.12)

Ha a µ+ és a µ− mértékek közül legalább az egyik véges, akkor a µ := µ+−µ−

jelölés bevezetésével µ : B0 → R el®jeles mérték, emellett minden f ∈ V

esetén

Φ(f) =

∫X

f dµ. (5.13)

Legyen most X kompakt Hausdor tér. Ekkor a maximum-normával ellátottC(X) vektortér tér Riesz-féle vektorháló, mert ha Φ ∈ C(X)∗ egy norma-folytonos lineáris funkcionál, (fn)n∈N ⊆ C(X)+ olyan függvénysorozat, amely-re fn ↓ 0, akkor a jól ismert Dini tétel miatt fn → 0 egyenletesen X-en, deakkor Φ folytonossága miatt Φ(fn) → 0, ami éppen azt jelenti, hogy Φ mo-noton σ-folytonos. Alkalmazható tehát a fenti tétel. Figyelembe véve, hogy1X ∈ V , a µ+, illetve µ− mértékek mindegyike véges, megkaptuk a következ®klasszikus eredményt:

5.3.3. Tétel. Ha X kompakt Hausdor tér, akkor a maximum-normával

ellátott (C(X), ‖.‖) tér esetén minden Φ ∈ C(X)∗ norma-folytonos lineáris

funkcionálhoz létezik egyetlen olyan véges érték¶ µ : B0 → R el®jeles mérték

a C(X)-hez tartozó B0 Baire-féle σ-gy¶r¶n, hogy minden f ∈ C(X) esetén

Φ(f) =

∫X

f dµ

5.3.4. Megjegyzés. Mivel a mérték unicitását csak pozitív lineáris és mo-

noton σ-folytonos funkcionálok esetén igazoltuk, ezért némi meggondolást

igényel a fenti tételben szerepl® µ el®jeles mérték egyértelm¶sége. Ha létezne

két ν és µ : B0 → R véges érték¶ el®jeles mérték, hogy minden f ∈ C(X)

mellett

Φ(f) =

∫X

f dµ =

∫X

f dν,

52

akkor tekintsük a µ és ν el®jeles mértékek µ = µ+−µ− és ν = ν+−ν− Jordan

felbontását. A fentiek szerint minden f ∈ C(X)-re fennáll, hogy:∫X

f d(µ+ + ν−) =

∫X

f d(ν+ + µ−),

amib®l következik, hogy µ+ + ν− = ν+ + µ− és így µ = ν.

A Riesz-féle vektorháló fogalma a fentinél általánosabban is értelmezhet®. Haugyanis V egy Stone-féle vektorháló, τ pedig olyan lokálisan konvex vektor-topológia V -n, hogy a V -n értelmezett minden τ -folytonos lineáris funkcionálel®áll két τ -folytonos pozitív lineáris funkcionál különbségeként, másrésztminden τ -folytonos lineáris funkcionál egyúttal monoton σ-folytonos is, akkora (V, τ) lokálisan konvex topologikus vektorteret is Riesz-féle vektorhálónaknevezzük. Nyilvánvaló, hogy a fentiekben igazolt reprezentációs tétel ebbenaz esetben is érvényes.

Legyen X lokálisan kompakt T2-tér, akkor a fentiekben láttuk, hogy az X-enértelmezett valós érték¶ folytonos és kompakt tartójú függvények halmazaStone-féle vektorháló. Jelölje τ a már deniált induktív limesz topológiátC0(X)-en. Ekkor (C0(X), τ) lokálisan konvex tér. A fentiekben láttuk, hogyC0(X)-en minden τ -folytonos lineáris funkcionál el®áll két τ -folytonos pozitívlineáris funkcionál különbségeként, továbbá a Dini tétel segítségével könnyenigazolható, hogy minden τ -folytonos lineáris funkcionál egyúttal monoton σ-folytonos is. Ezekb®l következik, hogy (C0(X), τ) Riesz-féle vektorháló, teháta reprezentációs tétel minden C0(X)-en értelmezett τ -folytonos lineáris funk-cionálra is teljesül.

Következ® alkalmazásként leírjuk az Lp := Lp(X, S , ν) tér duális terét ab-ban az esetben, amikor (X, S , ν) σ-véges mértéktér.

Els®ként igazoljuk az önmagában is érdekes, fordított Hölder-egyenl®tlenség(vagy Toeplitz-Landau) néven ismert tételt [4]

53

5.3.5. Tétel. Legyen (X, S , ν) mértéktér, 1 ≤ p ≤ +∞, q legyen olyan,

hogy 1p

+ 1q

= 1 teljesüljön. Ha az f : X → R függvény mérhet®, és az

X(f 6= 0) halmaz σ-véges mérték¶, és minden g ∈ Lq esetén az fg ∈ L1,

akkor f ∈ Lp.

Bizonyítás. Els®ként jegyezzük meg, hogy ν(X(f = +∞)) = 0. Ha ugyanisν(X(f = +∞)) 6= 0, akkor a ν σ-végessége miatt:

∃S ∈ S : S ⊆ X(f = +∞), 0 < ν(S) < +∞

Ekkor χS ∈ Lq, és feltétel szerint∫

X|fχS| dν < +∞, másrészt

∫X|fχS| dν =∫

S|f | dν = +∞, ami ellentmondás.

Ezzel tehát megmutattuk, hogy f ν-majdnem mindenütt véges érték¶. Mi-vel az X(f 6= 0) halmaz feltétel szerint σ-véges mérték¶ így létezik olyan(sn)n∈N S -mérhet® lépcs®sfüggvény-sorozat, amelyre sn(x) → f(x) (továbbá|sn(x)| ↑ |f(x)|) ν-majdnem mindenütt pontonként.

Deniáljuk ezek után ∀n ∈ N esetén a Φn : Lq → R lineáris funkcionált a

Φn(g) :=

∫X

sng dν (g ∈ Lq)

képlettel. (A fenti∫

Xsng dν integrál létezik, mert sng = sng+ − sng− és

sng+ ≤ fg+, sng− ≤ fg−, így |sng| ≤ |fg|, fg-r®l pedig feltettük, hogyL1-beli.)Könnyen igazolható, hogy ‖Φn‖(Lq)∗ = ‖sn‖Lp , így a Banach-Steinhaus tételszerint

supn∈N

‖sn‖Lp = supn∈N

‖Φn‖(Lq)∗ = ‖sn‖Lp ≤ M.

Azt kaptuk tehát, hogy 1 ≤ p < +∞ esetén

Mp ≥ limn→+∞

‖sn‖pLp = lim

n→+∞

∫X

|sn|pdν =

∫X

|f |p dν

teljesül a Lebesgue monoton konvergencia tétel szerint, és így f ∈ Lp. Hap = +∞, akkor M ≥ limn→+∞ sn(x) = f(x) ν-majdnem minden x ∈ X

esetén, így f ∈ L∞. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

54

5.3.6. Tétel. Legyen (X, S , ν) σ-véges mértékér, 1 ≤ p ≤ +∞. Ekkor min-

den Lp := Lp(X, S , ν)-n értelmezett Φ ∈ (Lp)∗ folytonos lineáris funkcionál-

hoz található egyetlen olyan g ∈ Lq függvény (ahol 1p+ 1

q= 1), hogy tetsz®leges

f ∈ Lp mellett

Φ(f) =

∫X

fg dµ.

Bizonyítás. A Beppo-Levi tétel segítségével könnyen igazolható, hogy az Lp

téren értelmezett minden norma-folytonos lineáris funkcionál monoton σ-folytonos is, ezért (Lp, ‖.‖) normált tér Riesz-féle vektorháló, emellett köny-nyen látható, hogy az Lp-hez tartozó Baire-féle σ-gy¶r¶ azonos S -sel. Legyentehát Φ ∈ (Lp)∗ folytonos lineáris funkcionál. Ekkor Φ el®áll Φ = Φ+ − Φ−

alakban, ahol Φ+ és Φ− monoton σ-folytonos pozitív lineáris funkcionálok.A Riesz-féle reprezentációs tétel szerint léteznek olyan µ+ és µ− mértékekS -en, hogy minden f ∈ Lp esetén

Φ+(f) =

∫X

f dµ+, Φ−(f) =

∫X

f dµ−.

Ekkor azonban el®fordulhat, hogy a µ+ és a µ− mértékek egyike sem véges.Egyszer¶en igazolható azonban, hogy a µ+ és µ− egyaránt abszolút folyto-nosak a ν mértékre nézve, és mivel µ+, µ− és ν mértékek σ-végesek, ezértalkalmazható a Radon-Nikodym tétel. Azaz léteznek olyan nemnegatív végesérték¶ mérhet® függvények X-en - jelölje ezeket g+, illetve g− -, hogy mindenH ∈ S mellett

ν+(H) =

∫H

g+ dν, ν−(H) =

∫H

g− dν.

Ekkor Φ+(f) =∫

Xfg+ dν, Φ−(f) =

∫X

fg− dν, így a g := g+ − g− jelölésbevezetésével:

Φ(f) =

∫X

fg dν. (5.14)

Meg kell még mutatnunk, hogy g ∈ Lq. Azt látjuk, hogy a fenti (5.14) in-tegrál tetsz®leges f ∈ Lp esetén véges. Ekkor hivatkozhatunk a fordított

55

Hölder-egyenl®tlenségre, amelyb®l már adódik, hogy g ∈ Lq. Mivel g egyér-telm¶, a bizonyítást befejeztük.

Végezetül leírjuk az L∞(X) függvénytér duálisát. A szakdolgozat ezen részefüggetlen a korábbiaktól. Nem használjuk fel eddigi tételeinket, pusztán is-mertetünk egy önmagában is érdekes eredményt. A tételt már Kantorovichigazolta az 1964-es könyvében [9].

5.3.7. Deníció. Legyen X tetsz®leges nemüres halmaz, A ⊆ P(X). Ek-

kor jelölje B(X,A) az X-en értelmezett, R-be képez®, korlátos A-mérhet®

függvények vektorterét. A B(X,A) vektortér a szuprémum normával ellátva

Banach tér.

5.3.8. Lemma. Legyen X 6= ∅ tetsz®leges halmaz, A ⊆ P(X) algebra. Ekkor

tetsz®leges Φ : B(X,A) → R folytonos lineáris funkcionálhoz egyértelm¶en

létezik µ korlátos változású végesen additív el®jeles mérték, amelyre

Φ(u) =

∫X

u dµ,

továbbá fennáll, hogy ‖Φ‖B(X,A)∗ = ‖µ‖(X), ahol ‖µ‖ jelöli a µ teljes válto-

zását.

Bizonyítás. Legyen Φ ∈ B(X,A)∗. Az A elemein deniáljuk µ-t a

µ(A) := Φ(χA) (A ∈ A)

egyenl®séggel. Mivel Φ lineáris, ezért µ végesen additív el®jeles mérték. Iga-zoljuk, hogy µ korlátos változású. Legyen k ∈ N, (En)k

n=1 ⊆ A az X egypartíciója. Deniáljuk az s :=

∑kn=1 sgn(Φ(χEn)) ·χEn lépcs®sfüggvényt. Ek-

kor persze s ∈ B(X,A), és

k∑n=1

|µ(En)| =k∑

n=1

sgn(Φ(χEn)) · Φ(χEn) = |Φ(s)| ≤ ‖Φ‖‖s‖∞ = ‖Φ‖.

Következésképp ‖µ‖(X) ≤ ‖Φ‖B(X,A)∗ . Igazoljuk ezek után, hogy Φ(u) =∫X

u dµ fennáll minden B(X,A)-beli u függvényre.

56

Legyen u ∈ B(X,A) rögzített, ε > 0 tetsz®leges. Tekintsük a [−‖u‖∞, ‖u‖∞]

intervallumnak egy ε-nál nomabb (In)kn=1 felosztását. Minden 1 ≤ n ≤ k-ra

legyen En := x : x ∈ X, u(x) ∈ In, legyen továbbá ξn ∈ In tetsz®leges, ésdeniáljuk az s lépcs®sfüggvényt az

s(x) :=k∑

n=1

ξn · χEn(x) (x ∈ X)

egyenl®séggel. Ekkor |u(x) − s(x)| ≤ ε (∀x ∈ X), így ‖u − s‖∞ ≤ ε. A Φ

leképezés linearitását és a Φ(χE) = µ(E) egyenl®séget használva|Φ(u) −

∫X

s dµ| = |Φ(u) −∑k

n=1 ξnµ(En)| = |Φ(u) −∑k

n=1 ξnΦ(χEn)| =

|Φ(u− s)| ≤ ‖Φ‖‖u− s‖∞ ≤ ‖Φ‖ · ε.

Ezek után készítsük el az εk := 1k-hoz tartozó sk lépcs®sfüggvényt. Ezekre

fennáll, hogy sk → u X-en egyenletesen, limn→+∞∫

Xsn dµ = Φ(u), és így∫

Xu dµ = Φ(u).

Hátra van még annak igazolása, hogy ‖Φ‖B(X,A)∗ ≤ ‖µ‖(X). Kihasználva,hogy ‖u− s‖∞ ≤ ε, a háromszög egyenl®tlenség szerint:|Φ(u)| ≤ |

∫X

s dµ| + ‖Φ‖B(X,A)∗ · ε ≤∑k

n=1 |ξn||µ(En)| + ‖Φ‖B(X,A)∗ · ε ≤(‖u‖∞+ε)

∑kn=1 |µ(Ek)|+‖Φ‖B(X,A)∗ ·ε ≤ (‖u‖∞+ε)‖µ‖(X)+‖Φ‖B(X,A)∗ ·ε.

Mivel ε > 0 tetsz®leges volt, azt kaptuk, hogy |Φ(u)| ≤ ‖u‖∞ · ‖µ‖, követke-zésképp ‖Φ‖B(X,A)∗ ≤ ‖µ‖, amit bizonyítani akartunk.Megfordítva, ha µ végesen additív el®jeles mérték, akkor a Φ(u) :=

∫X

u dµ

egyenl®séggel deniált Φ funkcionál nyilvánvalóan lineáris és folytonos.

Legyen (X,A, ν) mértéktér, azaz X nemüres halmaz, A ⊆ P(X) σ-algebra,ν egy A-n értelmezett mérték. Tekintsük a szokásos L∞(X) := L∞(X,A, ν)

teret.

5.3.9. Tétel. Tetsz®leges Φ : L∞(X) → R folytonos lineáris funkcionál

egyértelm¶en reprezentálható

Φ(u) =

∫X

u dµ (∀u ∈ L∞(X)) (5.15)

57

alakban, ahol µ egy A-n értelmezett végesen additív el®jeles mérték. Fennáll

továbbá, hogy ‖Φ‖L∞(X)∗ = ‖µ‖(X). Megfordítva, tetsz®leges végesen additív

el®jeles mérték folytonos lineáris funkcionált határoz meg az (5.15) egyen-

l®séggel.

Bizonyítás. Legyen Φ ∈ L∞(X)∗. Az L∞(X) tér elemei a ν-majdnem min-denütt korlátos függvények ekvivalenciaosztályai. Egy adott u ∈ B(X,A)

ekvivalencia osztályát [u]-val jelöljük. Ezzel a hozzárendeléssel meghatároz-tunk egy B(X,A) → L∞(X) leképezést, amelyre fennáll, hogy ‖[u]‖L∞(X) ≤supx∈X |u(x)|. Deniáljuk a következ® Φ0 funkcionált B(X,A)-n:

Φ0(u) := Φ([u]) (u ∈ B(X,A)).

Ekkor |Φ0(u)| = |Φ([u])| ≤ ‖Φ‖L∞(X)∗‖[u]‖L∞(X) ≤ ‖Φ‖L∞(X)∗ ·supx∈X |u(x)|,és így ‖Φ0‖B(X,A)∗ ≤ ‖Φ‖L∞(X)∗ . Másrészt minden ekvivalencia osztálybólválasztható olyan u : X → R reprezentáns, amelyre

supx∈X

|u(x)| = ‖[u]‖L∞(X).

Így |Φ([u])|‖[u]‖L∞(X)

= |Φ0(u)|supx∈X |u(x)| ≤ ‖Φ0‖B(X,A)∗ , következésképp ‖Φ0‖B(X,A)∗ =

‖Φ‖L∞(X)∗ . Mivel Φ0 ∈ B(X,A)∗, ezért a fenti 5.3.8. Lemma szerint egyér-telm¶en létezik olyan µ végesen additív el®jeles mérték, amelyre

Φ0(u) =

∫X

u dµ és ‖Φ0‖B(X,A)∗ = ‖µ‖(X).

Jegyezzük meg, hogy ha u, v ∈ B(X,A), u = v ν-majdnem mindenütt, akkor∫X

u dµ = Φ0(u) = Φ([u]) = Φ([v]) = Φ0(v) =

∫X

v dµ.

Ha speciálisan A ∈ A, ν(A) = 0, akkor χA ∈ [0] és így µ(A) =∫

XχA dµ =

Φ([0]) = 0. Ezzel megmutattuk, hogy µ korlátos változású el®jeles mérték(X,A, ν)− n.Megfordítva, nyilvánvaló, hogy ha µ végesen additív el®jeles mérték, akkor aΦ([u]) =

∫X

u dµ egyenl®séggel értelmezett Φ funkcionál jóldeniált, lineárisés folytonos.

58

Irodalomjegyzék

[1] V. I. Bogachev. Measure theory. Vol. I, II. Springer-Verlag, Berlin,2007.

[2] John B. Conway. A course in functional analysis, volume 96 of GraduateTexts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 1990.

[3] R. E. Edwards. Functional analysis. Theory and applications. Holt,Rinehart and Winston, New York, 1965.

[4] Irene Fonseca and Giovanni Leoni. Modern methods in the calculus of

variations: Lp spaces. Springer Monographs in Mathematics. Springer,New York, 2007.

[5] D. H. Fremlin. Measure theory. Vol. 1. Torres Fremlin, Colchester, 2004.The irreducible minimum, Corrected third printing of the 2000 original.

[6] D. H. Fremlin. Measure theory. Vol. 4. Torres Fremlin, Colchester, 2006.Topological measure spaces. Part I, II, Corrected second printing of the2003 original.

[7] Paul R. Halmos. Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc.,New York, N. Y., 1950.

[8] Shizuo Kakutani. Concrete representation of abstract (M)-spaces. (Acharacterization of the space of continuous functions.). Ann. of Math.

(2), 42:9941024, 1941.

59

[9] L. V. Kantorovich and G. P. Akilov. Functional analysis in normed

spaces. Translated from the Russian by D. E. Brown. Edited by A.P. Robertson. International Series of Monographs in Pure and AppliedMathematics, Vol. 46. The Macmillan Co., New York, 1964.

[10] Jürgen Kindler. A simple proof of the Daniell-Stone representation theo-rem. Amer. Math. Monthly, 90(6):396397, 1983.

[11] Frigyes Riesz and Béla Sz.-Nagy. Functional analysis. Dover Bookson Advanced Mathematics. Dover Publications Inc., New York, 1990.Translated from the second French edition by Leo F. Boron, Reprint ofthe 1955 original.

[12] Walter Rudin. Functional analysis. McGraw-Hill Book Co., New York,1973. McGraw-Hill Series in Higher Mathematics.

[13] Stanisªaw Saks. Theory of the integral. Second revised edition. Englishtranslation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach.Dover Publications Inc., New York, 1964.

[14] Helmut H. Schaefer. Topological vector spaces. The Macmillan Co., NewYork, 1966.

[15] V. S. Varadarajan. On a theorem of F. Riesz concerning the form oflinear functionals. Fund. Math., 46:209220, 1959.

[16] John von Neumann. Invariant measures. American Mathematical So-ciety, Providence, RI, 1999.

60